TUGAS M6 KB 1 PEMODELAN MATEMATIKA
Nama No. Peserta Prodi PPG/Kelas LPTK Tahap
: Farid Hidayat, S.Pd. : 18032118010173 : (180) Matematika Matematika / Kelas A : UNS :2
1. Carilah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang disebutkan dengan masalah keuangan. Tuliskan model matematikanya dan tentukan keputusannya! 2. Carilah
masalah
dalam
kehidupan
sehari-hari
yang
disebutkan
dengan
masalah
dengan
masalah
perdagangan. perdaga ngan. Tuliskan Tulisk an model mode l matemati mat ematikanya kanya dan tentukan te ntukan keputusannya! keputus annya! 3. Carilah
masalah
dalam
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
kesehatan. Tuliskan model matematikanya dan tentukan keputusannya! 4. Carilah masalah dalam kehidupan sehari-hari sehari -hari yang membahas dengan masalah fis ika. Tuliskan model matematikanya dan tentukan keputusannya! 5. Carilah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang disebutkan dengan masalah kimia. Tuliskan model matematikanya dan tentukan keputusannya! 6. Carilah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang membahas dengan masalah biologis. Tuliskan model matematikanya dan tentukan keputusannya Penyelesaian: 1. Hubungan antara modal awal dengan modal setelah n periode yang dibungakan secara majemuk dinyatakan dalam rumus berikut. Jika suatu modal sebesar M dibungakan dengan bunga majemuk dengan suku bunga b p% bunga, maka besar modal setelah setelah n periode adalah Mn p% b untuk setiap periode bunga, dengan rumus :
Contoh: Sejumlah uang sebesar M didepositokan selama 2 tahun dengan sukubunga majemuk 10% pertahun. Jika pada hari valuta, uang tersebut menjadi Rp12.000.000,-. Tentukan besar uang yang telah didepositokan. Jawab:
Dalam masalah ini, akan dicari nilai tunai, dengan rumus:
= (1 ) = (+) = 2,2, = 12.000. 000.000, 000, ,, = 10% = 0,1 = (+,) = .,. = 9.917.355,37 atau
Jadi besar uang yang telah didepositokan adalah M = Rp 9.917.355,37
2. Permasalahan:
Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp.9200,00/kg dan pisang Rp.7000,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah….. Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan masalah diatas, maka kita perlu merubah permasalahan tersebut ke dalam model matematika terlebih dahulu.
= = 8000 6000 ≤ 1.200.000 ⇔ 4 3 ≤ 600 ≤ 180 ≥, ≥ 0 Misal:
mangga ,
pisang
Model matematikanya:
..... (1)
..... (2)
Laba penjualan mangga = 9200 – 8000 = 1200 Laba penjualan pisang = 7000 – 6000 = 1000 Laba maksimum =
1200 1000
Titik potong: Dari pers (1) dan (2) Eliminasi x
4 3 = 600⇔4 3 = 600 = 180⇔4 4 = 720 = 120 = 120 = 180 = 180120 = 60 () = 1200 1000 Titik potong = (60, 120) Titik Pojok
(0, 0)
0
(150, 0)
180.000
(60, 120)
192.000
(0, 180)
180.000
Jadi laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp 192.000 dengan menjual mangga sebanyak 60 mangga dan 120 pisang.
3. Penerapan Kalkulus dalam Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam Pengobatan Kanker Untuk menentukan dosis radiasi sinar X dalam pengobatan kanker, pertama tama petugas dosimeter harus menghitung volume dari kanker tersebut. Untuk menghitung volume kanker digunakan integral karena bentuk sel kanker yang tidak beraturan. Salah satu bentuk dari sel kanker adalah sebagai berikut.
Gambar Sel Kanker
Untuk menentukan volume dari sel tersebut maka sel tersebut harus di bagi menjadi beberapa bagian agar dapat dihitung volumenya menggunakan integral. Gambaran sederhananya adalah sebagai berikut:
Gambar 2.3.2
Maka untuk menentukan volumenya dapat dihitung dengan cara sebagai berikut:
= ∭ (,,) () (,) = ∫ ∫() ∫(,) (,,) √ − −− = ∫− ∫−√ − ∫− −− √ − −− = ∫− ∫−√ −[|− −−] − = 2 ∫− ∫−√ −
4. Penerapan Turunan pada bidang Fisik a Dalam bidang fisika dibahas mengenai gerak lurus berubah beraturan, yang berarti bahwa kecepatan benda selama bergerak tidaklah tetap. Misalnya benda bergerak menempuh jarak s dalam waktu t . Kecepatan rata-rata dapat ditentukan dengan : Kecepatan rata-rata :
ℎ = ∆s ℎ ∆t
Jika kecepatan pada saat t dinotasikan dengan v(t) maka kecepatan dirumuskan dengan :
V(t) =
Jika fungsi kecepatan terhadap waktu v(t) diturunkan lagi maka akan diperoleh percepatan a(t) =
Dengan kata lain, percepatan pada waktu t adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan. Percepatan juga diartikan sebagai turunan kedua dari fungsi jaraknya yaitu
= = ( ) = = s”t
a(t) =
contoh: Posisi partikel ditunjukkan oleh persamaan s= f (t ) = t 3- 6t 2 + 9t (t dalam detik dan s dalam meter). Tentukan : a. Kecepatan pada waktu t? b. Kecepatan setelah 2 detik? c. Kapan partikel berhenti? d. Kapan partikel bergerak maju ? Jawab : a. Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi. s= f (t )=t 3-6t 2 + 9t v(t )= =3t 2-12t + 9 b. Kecepatan setelah 2 detik bermakna sebagai kecepatan sesaat pada t =2 v(t ) = 3t 2 - 12t + 9 v(2) = 3(2)2-12(2) + 9 =-3m/dt c. Partikel berhenti jika v(t )=0 v(t )= 3t 2-12t + 9 = 0 2 3t -12t +9 2 3(t -4t +3)
3(t -1)(t -3)=0 t 1=
1 dan t 2= 3 Partikel berhenti setelah t = 1 atau t = 3
d. Partikel bergerak maju (dalam arah positif) jika v(t)>0 3t 2-12t +9=3(t -1)(t-3)>0 Partikel bergerak maju jika t < 1 atau t > 3
Partikel bergerak mundur jika 1 < t < 3
5. Aplikasi Matematika Dalam Kimia (Menentukan pH dengan Menggunakan Logaritma) Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan Pengertian logaritma timbul sebagai kebalikan (invers) dari eksponen. .Dalam kimia log digunakan untuk menentukan derajat keasaman atau pH. Untuk mencari nilai pH melalui perhitungan kita dapat menggunakan logaritma engan ketentuan 1. Untuk larutan asam rumusnya : pH = -log[H+] 2. Untuk larutan basa rumusnya : pH = -log[OH-] a. Asam kuat Rumus : [H+] = a.Ma b. Asam lemah Rumus : [H+] = √Ka.Ma c. Basa kuat Rumus : [OH-] = b.M b d. Basa lemah Rumus : [OH-] = √Kb.Mb Keterangan a : valensi asam Ka : tetanpan ionisasi asam Ma : molaritas asam b : valensi basa Kb : tetapan ionisasi basa Mb : molaritas basa Contoh soal aplikasi logaritma pada soal menentukan nilai pH Berapa pH dari 0,47 gram HNO 2 ………… (k a HNO2 = 4.10 -4,Mr HNO2 = 47)
Jawab : Mol HNO2 = gram/Mr = 0,47/47 = 0,01 mol (10 -2 mol) [H+] = √K a.Ma =√4.10-4.10-2 =2.10-3M pH = -log [H+] = -log 2.10-3 = 3-log 2 = 3-0,3 =2,7 6. Penerapan aljabar dalam bidang biologi, salah satunya yaitu dalam Hukum HardyWeinberg.
ovum
A A
Jumlah :
Perkawinan Sperma A A AA Aa Aa Aa
Anak
AA Aa Aa aa
p2 AA + 2pqAa + q 2 aa
Perimbangan alel A-A pada masyarakat
Frekuensi
p x p = p2 p x q = pq p x q = pq q x p =q2
Sesuai dengan perhitungan dalam skema itu ada suatu rumus aljabar yang disebut hukum HardyWeinberg :
(pA + qa)2 Ini dibaca: dalam masyarakat panmixis kalau ferekuensi alel A p dan frekuensi alel a q, maka frekuensi individu dari pasangan kedua alel itu berupa persamaan kuadrat. Contoh Penggunaan hukum hardy – weiberg
Persentase orang albino pada masyarakat Diketahui frekuensi orang albino pada suatu masyarakat ialah 1: 10.000 (ini kalau dipersentagekan : 0,01%). Carilah berapa persentage orang pembawa (Aa) Orang albino : aa aa
= q2 = 1/10000
q
=
1/1000
1
= 0,01 P+q
= 1 p = 1-0,01 = 0,99.
Orang pembawa Aa berfrekuensi 2 pq= 2 x 0,99 x 0,01 = 0,0198 =0,0198x 100% =1,98% Ini berarti ada kira-kira 2 orang pembawa setiap 100 orang penduduk, atau 1 orang tiap 50 penduduk Dari rumus persamaan kuadrat diatas dapat kita lihat. Bahwa orang hetrozihot itu jauh lebih banyak dari pada orang homozogot baik yang resesif mupun yang dominan.
