BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Adapun yang menjadi latar belakang dalam penulisan makalah ini adalah untuk memenuhi persyaratan dari tugas kuliah sekaligus menambah wawasan . Critical Journal Review bagi mahasiswa adalah tugas wajib yang harus dikerjakan dimana tugas CJR ini adalah tugas yang telah diberikan oleh bapak Dosen kepada mahasiswa disetiap smesternya. Dimana tugas CJR tersebut telah tercantum di kurikulum baru berbasis KKNI yang baru-baru ini digunakan di Universitas Universitas Negeri Medan, CJR akan menjadi bagian penting penting di setiap semester perkuliahan. Yang menjadi latar belakang penulis memilih judul ini yaitu, terlihat dari judul yang sangat terkait erat dengan subisub pokok pembahasa sebuah materi yang terdapat pada diktat Mata kuliah ALJABAR TEKNIK. Dimana pada jurnal ini memiliki judul membawa Matriks kedalam bentuk Kanonik Jordan. Dalam sebuah buku diktat akjabar teknik terdapat sebuah pokok pembahasan mengenai matriks. Inilah yang melatar belakangi penulis memilih jurnal tersebut.
1.2 Tujuan a. Untuk mengetahui peranan pengting jurnal. b. Untuk mengetahui metode yang digunakan dalam jurnal tersebut. c. Untuk menetahui hasil dari penelitian jurnal tersebut. d. Untuk mengetahui penilaian terhadap jurnal.
1
BAB II RINGKASAN JURNAL
2.1. IDENTITAS JOURNAL
A. Judul
: Invers Matriks Tergenalisasi Atas Aljabar Maxplus
B. Penulis
: Mustofa
C. Volume dan halaman : vol.7, No.1,20-30 Jurnal Matematika dan Komputer D. Tahun
: 30 April 2004
E. ISNN
: 1410 - 8518
F. Lembaga penulis jurnal :
2.2. RINGKASAN Abstrak
Jika A matriks atas lapangan, maka pasti terdapat dengan tunggal suatu matriks B yang memenuhi sifat ABA = A. Matriks B yang memenuhi sifat ini disebut invers tergeneralisasi matriks A. Dalam aljabar maxplus, tidak ada jaminan bahwa setiap matriks memiliki invers tergeneralisasi. Jika A mempunyai invers tergeneralisasi, maka A dikatakan reguler. Dalam makalah ini akan dibahas bagaimana menentukan suatu matriks A atas aljabar maxplus regular atau tidak. Kata kunci: Matriks, invers tergeneralisasi, aljabar maxplus, reguler 2.3. TEORI A.
Kajian teori
Aljabar maxplus memiliki peranan yang sangat banyak dalam menyelesaikan persoalan di beberapa bidang seperti teori graf, kombinatorika, teori sistem, teori antrian dan proses stokastik. Hal ini telah dibahas dalam beberapa buku dan jurnal seperti Bacelli, et.al (2001), Heidergott, (1999), Fleming, (2004), Menguy, et.al (2000). Sebagai contoh yang sederhana, misal suatu kegiatan dimodelkan dalam graf aktivitas sebagai berikut:
2
Bobot garis berarah dari titik i ke titik j menyatakan waktu tersingkat yang diperlukan untuk memulai kegiatan pada titik i sampai memulai kegiatan pada titik j,dalam bentuk matriks dinyatakan sebagai A ji. Jika tidak ada garis yang menghubungkan titik i dengan titik j, maka A ji = -∞. Kegiatan pada titik j , baru dapat dimulai jika seluruh kegiatan yang mendahului titik j sudah selesai. Dalam gambar di atas, kegiatan pada titik 4 baru dapat dimulai jika
seluruh kegiatan pada titik 2 dan 5 sudah selesai. Jikax j menyatakan waktu tercepat dapat dimulainya kegiatan pada titik j, maka x j dapat dinyatakan sebagai x = maks( A + x ) . Terlihat bahwa masalah ini melibatkan dua j
ji
i
i=1,2,..,6
operasi yaitu maksimum ( maks) dan penjumlahan (+), yang merupakan operasi dalam aljabar maxplus. Dalam aljabar linear, sudah dikenal konsep invers tergeneralisasi suatu matriks atas lapangan. Yaitu, jika A matriks atas lapangan, maka pasti terdapat invers tergeneralisasi matriks A, namakan B, sehingga ABA = A. Untuk itu dalam makalah ini akan dibahas tentang matriks atas aljabar maxplus, khususnya tentang invers tergeneralisasi dari matriks atas aljabar maxplus. Jika A sebarang matriks atas aljabar maxplus, maka belum tentu A mempunyai invers tergeneralisasi. Dalam makalah ini akan dibahas syarat matriks A mempunyai invers tergeneralisasi dan sekaligus menentukan invers tergeneralisasi dari matriks A atas aljabar maxplus.
3
B. Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan model research and development . Peneliti mengkaji berbagai sumber tentang masalah membawa matriks kedalam bentuk Kanonik Jordan. Alat bantu yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak Scilab 5.3. C. Hasil Diskusi dan Pembahasan 1. Aljabar Maxplus
Aljabar maxplus adalah himpunan
∞}, dengan
R himpunan semua
bilangan real yang dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan penjumlahan, yang dinotasikan dengan
⊗ ) dinotasikan
dengan Rmax dan {-∞} dinotasikan dengan ε. Elemen operasi
⊕ dan operasi
⊗ . Selanjutnya (
R
∪ {-∞}, ⊕,
ε merupakan elemen netral terhadap
⊕ dan 0 merupakan elemen identitas terhadap operasi ⊗. Struktur aljabar dari R
max
adalah semifield, yaitu :
∪ ⊕ ) merupakan semigrup komutatif dengan elemen netral {-∞} (R ∪ {-∞}, ⊗ ) merupakan grup komutatif dengan elemen identitas 0 Operasi ⊕ dan ⊗ bersifat distributif Elemen netral bersifat menyerap terhadap operasi ⊗ , yaitu ∀ a ∈ R , ε ⊗ a = a ⊗ ε =ε
1. ( R {-∞}, 2. 3. 4.
max
2. Matriks atas Rmax
Dalam aljabar linear, jika F field, maka dapat dibentuk suatu matriks berukuran m × n dengan entri –entrinya adalah elemen –elemen F . Hal yang serupa dapat dikerjakan pada Rmax , yaitu dapat dibentuk matriks A berukuran m × n dengan entri-entrinya elemen Rmax.
⊕ dan ⊗ pada matriks atas aljabar maxplus didefinisikan sebagai berikut: (1) ( A B⊕ ) = A ⊕ B Operasi
ij
(2) ( A B
ij
ij
)
ij
4
=
⊕( A ⊗ B ) ik
kj
k
contoh :
1 2⎤ -2 7 ⎤ ⎡ ⎡ dan , maka Jika = ⎢ =⎢ ⎣ ⎥⎦ B ⎣ 1 3⎥⎦ ⊕ ⎤ ⎡1 7⎤ ⎡ ⎤⎡ 1 2 -2 7⎤ ⎡1 -2 2 7 dan = ⎢ = = ⊕ ⊕ ⎥ A B ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎣-2 3 ⎦ ⎣1 -3 ⎦ ⎣-2 1 3⊕ −3⎦ ⎣1 3⎦ A B⊗ = ⎡⎢{1+(-2)} {2 1} {1+7} {2 ( 3)} ⎤ ⎡ 3 8⎤⎥ {-2+(-2)} {3 1} {-2+7} {3 ( 3)} ⎥⎢ 4 5 ⎣ ⎦⎣ ⎦ A
-2 3
=
Jika ( Rmax)n ×
n
menyatakan himpunan semua matriks dengan entri-entrinya elemen R max, ,
maka matriks E dengan ( ) = ij
⎨⎧0, jika i =
j dan matriks
∀
ε dengan (ε)ij =
ε,
i, j
, jika i ≠ j ⎩ berturut– turut merupakan matriks identitas dan matriks nol. Jadi , (1) ( E ⊗ A ) = ( A ⊗ E ) = A untuk setiap A ∈( R )
ε
(2) (ε
⊕
A ) = ( A
⊕
ε )
∈
n
× n ;
= A, untuk setiap A ( R max)n × n.
Perlu diperhatikan bahwa ( R max)n × semiring, sebab terhadap operasi
max
⊗ ( R
n
bukan merupakan semifield, tetapi merupakan
∈
) × n tidak komutatif dan tidak setiap A ( R ) × n
max
n
max
n
mempunyai invers . 3. Pemetaan Residuated Pada R dapat dilengkapkan suatu relasi urutan max
≤ , yaitu a
≤ b
⇔ a ⊕ b =
Sehingga (Rmax , ≤ ) merupakan poset ( himpunan terurut parsial ). Definisi 1. Suatu pemetaan f pada himpunan teurut parsial dikatakan isoton jika
x≤y
⇒
f(x) ≤ f(y)
Contoh 1. 5
b.
⊗ 5 merupakan pemetaan isoton, yaitu untuk setiap x, y ∈ R berlaku x ≤ y ⇒ f (x) = x ⊗ 5 = x + 5 ≤ y + 5 = y ⊗ 5 = f (y) f : Rmax → Rmax dengan f (x) = x max
Definisi 2. Suatu pemetaan isoton f : D → E dengan D dan E masing-masing himpunan terurut parsial dikatakan pemetaan residuated jika untuk setiap b
∈
E, maka { x / f(x) ≤ b} mempunyai elemen maximal,
dinotasikandenganf #(b).Pemetaanisotonf #:E → Ddisebutresidualdarif.
Contoh 2. Pada contoh 1 di atas, f merupakan pemetaan residuated , sebab untuk setiap y {x/ f(x) = x
∈R
,
max
⊗ 5 ≤ y }mempunyai elemen maximal, yaitu x = f (y) = y-5. #
Hubungan antara f # seperti yang dibahas dalam bacilli,
et.al (2001) adalah
sebagai berikut: f ο f #≤ I
(1a)
f #ο f ≥ I
1b) (
Selanjutnya residual dari f #(b) digunakan untuk menentukan ada tidaknya solusi dari persamaan f (x) = b, dinyatakan dalam teorema sebagai berikut: Teorema 3. Jika f : D → E pemetaan residuated, maka persamaan f(x) = b mempunyai solusi
jika dan hanya jika f ( f #(b)) = b.
Bukti :
⇐) Diketahui f ( f (b)) = b, maka persamaan f (x) = b mempunyai solusi, yaitu x = f (b) (⇒ ) (
#
#
Diketahui f (x) = b mempunyai solusi, misalkan x1 . Diperoleh f (x1) = b. Karena f # (b) adalah elemen maksimal dalam { x/ f (x) ≤ b}, maka x1
≤ f # (b). Karena f isoton maka f (x1) ≤ f( f # (b)).
Menurut (1a) f f # (b) ≤ b, akibatnya b = f (x1) ≤ f f # (b) ≤ b, yaitu f ( f # (b)) = b. 4. Penyelesaian Persamaan Ax = b dalam Aljabar Maxplus
⎡ A(x) ⊕ ⊕ ⊕ A x ⎤ ⎢ ⊕ A(x) ... ⎥ A x ⊕ ⊕ ⎢ ( ) ( ) ... ( )⎥ A x A x . , maka Ax = ⎢ .................................................. ⎥ ⎢ ⊕ ⊕⊕ ⎥ A x ⎥ ⎢ 111
1n
( )n
122
∈
∈
Jika A ( Rmax)n × n dan x Rnmax
211
6
222
2n
n
⎣ A(x)
⎡ A x ⎤ ⎢ A x ⎥ ⎢ ( )⎥ , maka Ax = ⊕ f x =⎢ () ............ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ A x( ) ⎥ x ≤ x ⇒ f x ≤ ( ) .Sehingga
n1
1
( ) ... A x 2 n
2
() nn
⎦
n
()
j
1 j
n
Dibentuk
() j
j
2 j
f x
(2)
j=1 j j
j
nj
j
j
j
Untuk setiap j, jika
j
j
A merupakan pemetaan isoton.
j
() j
h
k
Selain itu untuk setiap
h
k
j, { / ( ) f x j j
≤ b } mempunyai elemen maksimal, yaitu
x j = min {b1 – A1j , b2 – A2j , …, bn – Anj }. Jadi A merupakan pemetaan residuated. Dengan
kata lain. A dapat dipandang sebagai suatu pemetaan residuated dari R nmax ke Rnmax . Berdasarkan uraian ini, yaitu karena x j = min { b1 – A1j , b2 – A2j , …, bn – Anj }, maka residual b dari A adalah A b [ ( )] = min( #
).
j
1≤ ≤
Sehingga untuk menentukan solusi persamaan Ax = b, seperti pada pembahasan pada teorema 3, dapat dilakukan dengan mengecek apakah A ( A#(b)) = b. Hal ini dinyatakan dalam teorema di bawah ini. Teorema 4. Jika A
∈
( Rmax)n × n ,dan b
∈
Rnmax , maka persamaan Ax = b mempunyai solusi
jika dan hanya jika A(A#(b))= b.
Bukti :
⇐ Diketahui A( A (b)) = b. Jadi persamaan Ax = b mempunyai penyelesaian , yaitu x = A (b) (⇒ ) ( )
#
#
Misalkan persamaan Ax = b mempunyai solusi x•. diperoleh A x•=b, sehingga A x• ≤ b. Karena A#( b) merupakan elemen maksimal dalam { x/ Ax ≤ b ) maka x• ≤ A# (b). Diperoleh
⇔
A x• ≤ A ( A# (b )) b = A x• ≤ A ( A\b) ………(*)
Selanjutnya menurut (1a) A (A\b) ≤ b………………...(**)
Dari (*) dan (**) diperoleh A ( A# (b)) = b. 7
5. Invers Tergeneralisasi Matriks atas Aljabar Maxplus
Salah satu tujuan mencari invers tergeneralisasi matriks atas lapangan , seperti dalam Penrose, (1954) adalah untuk menentukan solusi sistem persamaan linear AXB = C . Berikut
ini definisi invers tergeneralisasi matriks atas aljabar maxplus, seperti definisi yang ditulis oleh Blyumin dan Goland, (2001). Definisi 5. Jika A
∈
∈
( Rmax )n × m , maka matriks B
( Rmax )
m ×n
dikatakan invers
tergeneralisasi dari matriks A( atau g-invers dari A) jika ABA=A.
Untuk menentukan ada tidaknya matriks
B yang memenuhi
ekuivalen
∈
ABA = A,
dengan menentukan ada atau tidaknya solusi persamaan AXA = A dengan A ( Rmax )n × m .
⊕ ⊕[ ( A + X + A )] . Sehingga diperoleh m
Elemen ke-ij pada AXA adalah
[ AXA] = ij
n
ik
kl
lj
k =1 l=1
persamaan
⊕⊕[ ( A + m
n
ik
)] = A
A
kl+
lj
(3)
ij
X k =1 l=1
Jika untuk setiap k,l dibentuk
maka persamaan (3) menjadi
( )= Aik+
ij kl
X + A kl
lj
(4)
nm
⊕ ⊕ ( ) = A ij
i= =1 j1
(5)
kl
ij
8
BAB IV PEMBAHASAN
A. Relevansi antara Topik Jurnal dengan Karya-karya dan Bidang Keahlian Penulis
Adapun Relevansi antara Topik Jurnal dengan karya-karya dan Bidang Keahlian Penulis adalah Terdapat relevansi atara topik jurnal terhapad bidang keahlian penulis, dimana pada identitas jurnal tertera; 1. Tasiwan merupakan bagian dari pendidik di SMP 1 peninggaran pekalongan. 2. S.E. Nugroho dan Hartono merupakan akademisi pada jurusan Fisika FMIPA Universitas Negri Semarang.
B.
Pokok-pokok Argumentasi Penulis dalam Pendahuluan
Adapun Pokok-pokok Argumen Penulis di dalam pendahuluan adalah sebagai berikut: 1. Proses pembelajaran pada Mata Kuliah Aljabar Linear yang merupakan bagain Dari Matematika Teknik hingga memperoleh pemahaman Ilmiahnya. 2. Gambaran umum pendidikan Matematika Teknik di Indonesia, yang hasilnya belum mampu bersaing pada taraf internasional. 3. Anggapan perlunya pengkajian tentang pengaruh model Matriks Tergenalisasi Atas Aljabar Maxplus terhadap kemampuan analisis dan sistesis Mahasiswa.
C. Pemilihan serta Cakupan Kajian Teori
Adapun Literatur yang digunakan dalam penulisan adalah literatur baru karena hanya 2 (dua) pustaka yang dibawah tahun 2000 yang berasal dari jurnal-jurnal yang telah dipublikasikan sebelumnya. Hal Ini merupakan langkah pembaharuan penelitian yang terdahulu, sehingga penelitian terbaru memberikan informasi yang lebih baru dan yang akan sangat bermanfaat bagi pembaca dengan pembaharuan-pembaharuan kemudian.
D. Metodologi Penelitian yang digunakan dan Relevansinya
Metodologi dalam penelitian ini dengan desain penelitian menggunakan quasi-exsperimental, dengan perbandingkan hasil pada kelompok eksperimen dan kelompok kontrol pada kondisi sebelum dengan sesudah penerapan. Subjek penelitian ini merupakan siswa SMP 1 Paninggaran Semarang. Populasi dalam penelitian ini adalah seluruh siswa
9
yaitu 503 sampel siswa diambil secara acak. Sehingga sampel dan populasi penelitian merupakan subyek homogen dengan taraf kepercayaan 95% dan 99%.
E.
Kerangka Berpikir Penulis pada Bagian Pembahasan
Penelitian ini dilakukan dengan pemberian tugas proyek pada siswa. Selanjutnya, produk proyek siswa digunakan sebagai prekonsepsi siswa dalam pemberian konsep di dalam kelas yang dikuatkan melalui diskusi kelompok dan peta konsep pada pertemuan pertama, metode ekspositori pada pertemuan kedua, dan eksperimen laboratorium pada pertemuan ketiga. Dari kegiatan penelitian yang dilakukan, kelas eksperimen dan kontrol mengalami peningkatan kemampuan analisis – sintesis.
F.
Kesimpulan dan Saran yang Diajukan Penulis serta Implikasinya pada Penelitian Berikutnya
Gambaran peneliti tentang model pembelajaran yang diginakan: Model advance organizer berbasis proyek berpengaruh untuk meningkatkan kemampuan analisis-sintesis siswa dalam aspek menguraikan, mengkategorikan, mengidentifikasi, merumuskan pernyataan, merekonstruksi, menentukan dan menganalisa konsep.
Adanya Kendala yang dihadapi peneliti yaitu: dalam memilih dan mendesain proyek yang tepat sesaui konsep yang akan diajarkan.
Peneliti menyarankan: bagi guru untuk kreatif mengembangkan model-model proyek yang sesuai. Disamping itu, hendaklah guru berusaha mengembangkan berbagai model pembelajaran yang mem-bangkitan kemampuan berpikir tingkat tinggi didalam proses pembelajaran sedini mungkin untuk menunjang proses belajar selanjutnya, sehingga kemampuan berpikir siswa berkembang secara berkelanjutan
G. Keunggulan dan Kelemahan Jurnal
1.
Keunggulan a.
Penelitian ini mengungkap tentang kemajuan pemahaman siswa pada kemampuan tingkat berfikir dan ranah kognitif yang lebih tinggi yaitu Analisis dan Sintesis.
b.
Penelitian melakukan pengamatan dan penilaian perkembangan kemampuan siswa yang lengkap dari seluruh kegiatan.
10
c.
Peneliti telah mencantumkan saran yang merupakan harapan peneliti. Sehingga pembaca dapat mengambil dampak positif dari penelitian tersebut dengan informasi-informasi dan ilmu-ilmu pengetahuan yang diberikan.
2.
Kelemahan Tidak adanya gambaran tentang penentuan kelas kontrol dan kelas eksperimen yang dipilih.
11
DAFTAR PUSTAKA
1. Anton, H. 2002. Aljabar Linear Elementer . Jakarta: Erlangga Ayres, F. 1994. Matriks. Jakarta: Erlangga. Bacelli, F.et.al . 2001. Synchronization and Linearity. New York: John Wiley & Sons Blyumin,S.L, Goland,J.S.2002.
One-sided Complements and Solution of the equation of
axb=c in semiring. IJJMS29:28 hal:254-458.Hindawi Publishing Corp Cohen,G.et.al.1997. Linear Projector in The max- plus Algebra.
5th IEEE Mediterranean
Conference on Control and Systems. Paphos Cyprus, 21-23 July 1997 Flemming,W.H,
2004.
Max-Plus
Stochastic Processes.
Applied Mathemamatic
Optimization. New York : Springer-Verlag Heidergot, B. 2000. A Characterization of (max,+) -linear queueing system. Queueing System.2359(2000) 237-262. Menguy, E. 2000. A fist Step Towards Adaptive Control for Linear System in Max Algebra. Discrete Event Dynamic System: Theory and Application.
Boston: KluwerAcademic
Publisher. Penrose,R.1954. A generalized Inverse for Matrices. Cambridge Philoshopical Society
12
Mathematical Proceedings of The
13
14
