Intrusion de Agua

Intrusión de de Agua__________________ Agua_____________________________ _______________________ _____________________ _________202

8

I N E G U NT T R R U U S S I I O O N N D D E A A G A U

8.1.- Introducción

Muchos reservorios están limitados parcial o totalmente por el acuífero adyacente, los mismos que pueden ser muy grandes o pequeños en comparación al reservorio de gas o petróleo. Cuando existe una caída de presión en el reservorio debido a la producción, se provoca una expansión del agua del de l acuífero, con la consiguiente intrusión de agua la cual es definida por We. El propio acuífero puede estar totalmente limitado, de manera que el reservorio y el acuífero forman una unidad volumétrica cerrada. Por otra parte el reservorio puede aflorar en algún lugar donde se puede reabastecerse de aguas superficiales. Por último el acuífero puede ser lo bastante grande para mantener la presión del reservorio y ser acuíferos horizontales adyacentes. Una caída de presión en el reservorio hace que el acuífero reaccione para contrarrestar o retardar la declinación de la presión suministrando una intrusión de agua la cual puede ocurrir debido a: • • •

Expansión del agua. Compresibilidad de las rocas del acuífero. Flujo artesiano donde el acuífero se eleva por encima del nivel del reservorio.

Desde un punto de vista analítico, el acuífero puede considerarse como una unidad independiente que suministra agua al reservorio debido a la variación de la presión con el tiempo de producción. Un modelo simple para estimar la entrada de agua esta basada en la ecuación de compresibilidad. We = ctW i ( Pi − Pwf )

Ec.(.8.1)

Donde Ct es la compresibilidad total del acuífero, Wi volumen inicial de agua del acuífero, Pi presión inicial en el contacto Agua/gas. Esta ecuación presentada puede ser aplicada a acuíferos pequeños, donde existe un inmediato equilibrio de la presión entre el reservorio y el acuífero. Para acuíferos grandes es necesario un modelo matemático en función del tiempo y declinación de la presión, para íntegramente la variación de presión en el reservorio. Entre los modelos existentes en la literatura podemos ver el modelo de Van Everdingen & Hurst, Fetkovich, Hurst modificado, Carter-Tracy, Leung. 8.2.-Clasificación de los Acuíferos

41

Los acuíferos básicamente se clasifican según su: Régimen de flujo Geometría de flujo Extensión 8.2.1.-Clasificación de los acuíferos según su régimen de flujo

Esta clasificación clasificación esta basada basada en la declinación de presión y el caudal caudal de entrada de agua hacia el yacimiento que puede ser: estable, semiestable o inestable. Una representación de estos tipos de régimen de flujo se ilustra en la Fig. 8.1 donde se muestra el comportamiento de la presión con respecto al tiempo. 8.2.1.1.-Acuíferos de régimen estable

El acuífero presenta régimen estable si la presión en el yacimiento permanece constante, no cambia con el tiempo. El cambio de presión y caudal con respecto al (41) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 637-641


Tiempo es cero. Generalmente este tipo de régimen no ocurre en la realidad, solo cuando se realiza un programa de inyección de agua.

Regimen Re gimen Estable

R e m e S e g i m m i e es t n a ab l e e R e g i m I n n e s m e n t a ab l e e

N O I S E R P

0.0 Tiempo

Fig. 8.1 Comportamiento de la presión según el régimen de flujo 8.2.1.2.-Acuíferos de régimen semiestable

También llamado régimen de seudo-estado, este tipo de régimen es caracterizado por la declinación lineal de la presión en función al tiempo y consecuentemente una constante declinación del caudal. 8.2.1.3.-Acuíferos de régimen inestable

El régimen inestable frecuentemente llamado transiente, tiene la característica de presentar un cambio de la presión y el caudal en función del tiempo. En ninguna parte del yacimiento presenta una presión constante 8.2.2.-Clasificación de los acuíferos según su geometría de flujo

Existen 3 formas de geometría en los acuíferos que pueden ser: lineal, radial o de fondo. 8.2.2.1.- Acuíferos lineales

Estos acuíferos presentan una geometría de flujo paralela a su buzamiento, como se los muestra en la Fig.8.2. El sentido de flujo es unidireccional.

Agua

Petróleo

Fig. 8.2 Esquema de un acuífero acuífero lineal 8.2.2.2.- Acuíferos radiales

Son aquellos acuíferos que presentan geometría geometr ía de flujo concéntrica, es decir, que el flujo empieza circunferencialmente hacia un punto central, como se ilustra en la Fig.


8.3. Al existir existir declinación de la presión, el agua proveniente del acuífero desplaza al petróleo en un sentido radial. Generalmente este tipo de acuíferos acuíferos se presenta en la mayoría de los yacimientos de petróleo. 8.2.2.3.- Acuíferos de fondo

Existen formaciones saturadas con agua situadas en la parte inferior de la capa de petróleo. Como se observa en la Fig. 8.4. La geometría de flujo en este tipo de acuíferos es pendiente arriba, hacia la cresta de la estructura. Este movimiento se debe a que el agua del acuífero posee presión y al crearse una diferencial a su favor, por efecto de la extracción de petróleo, ingrese agua a la zona de petróleo

PETROLEO

Fig. 8.3 Esquema de un acuífero acuífero radial

Petróleo

Agua

Fig. 8.4 Esquema de un acuífero acuífero de fondo 8.2.3.-

Clasificación de los acuíferos según su extensión

Los acuíferos presentan limitaciones algunos son pequeños o algunos presentan áreas bastante grandes, en función a su límite exterior se los los puede clasificar clasificar en: acuíferos finitos, infinitos o realimentados 8.2.3.1.- Acuíferos infinitos

Son aquellos acuíferos que no presentan límites, son inmensamente grandes, en algunos casos forman grandes cuencas de agua. 8.2.3.2.- Acuíferos finitos


Estos acuíferos también denominados sellados, tienen una extensión limitada de tal manera que se puede conocer su dimensión en su totalidad. 8.2.3.3.- Acuíferos realimentados

También se los conoce como sobrealimentados, esto debido a que son acuíferos que están conectados ya sea a otros acuíferos o a fuentes externas como grandes lagos o lagunas que suministran agua al acuífero. 8.3.-Determinación de la entrada de agua

Se han elaborado modelos matemáticos para determinar la entrada del d el agua hacia el yacimiento. A excepción del modelo de Pote, en todos los modelos propuestos el tiempo es una variable dependiente de la entrada de agua. La aplicación del modelo se basa en función a la clasificación anteriormente mencionada. 8.3.1.-Modelo de Pote

42

Este modelo es utilizado en acuíferos que tienen las siguientes características: Geometría de flujo Radial Extensión finita o sellada Acuíferos pequeño o muy pequeño El tiempo es independiente Permeabilidades altas Este modelo es basado en la definición de la compresibilidad. Ocurre una caída de presión en el yacimiento, debido a la producción de los fluidos, esto causa una expansión del agua del acuífero y flujo flujo al yacimiento. La compresibilidad es definida matemáticamente C=

1 ∂V ∗ V ∂P

=

1 ∆V ∗ V ∆P

Ec.(.8.2)

La variación de volumen debido al cambio de presión viene dada por :

∆V = C ∗ V ∗ ∆P

Ec.(.8.3)

Aplicando la definición de la compresibilidad en el acuífero se tiene: Entrada de Agua= (Compresibilidad del acuífero)*(Volumen del agua inicial)* (Caída de presión) We

= (Cw + Cf ) ∗ Wi ∗ (Pi − P)

Ec.(.8.4)

Donde: We = Entrada de agua al yacimiento (bbl) Cw

= Compresibilidad del acuífero (psi-1)

Cf = Compresibilidad de la formación (psi-1) Wi = Volumen inicial de agua en el acuífero (bbl) El volumen de agua inicial en el acuífero se calcula con la expresión

⎡ π ∗ (r w2 − r o2 )∗ h w ∗ φ ⎤ Wi = ⎢ ⎥ 5.615 ⎣ ⎦ Donde rw = Radio del acuífero [pies] (42) GULF Publishing Company : Obr. Cit., p. 642-644

Ec.(.8.5)

Intrusión de Agua__________________________________________________206

ro

= Radio del yacimiento [pies]

hw

= Espesor del acuífero [pies]

φ

= Porosidad [frac]

Determinación simultanea del volumen In-Situ y la entrada de agua aplicando el modelo de Pote para acuíferos pequeños de alta permeabilidad donde se presenta un flujo continuo de intrusión de agua débil hacia el yacimiento. Primeramente tenemos que definir las formulas de la entrada de agua en base a la ecuación general de balance de materia para reservorio de gas presentada en el capitulo anterior Ec. 7.14

⎛ B − Bgi ⎞ B gi ⎡ C w S wi + C f ⎤ W e − W p Bw ⎟+ P = ⎜⎜ g ∆ + ⎢ ⎥ ⎟ G GBg ⎝ B g ⎠ Bg ⎣ 1 − S wi ⎦ ⎛ Bg − Bgi ⎞ GBgi ⎡ C w S wi + C f ⎤ W e − W p Bw ⎟+ ∆ + G p = G⎜ P ⎜ Bg ⎟ Bg ⎢⎣ 1 − S wi ⎥⎦ B g ⎝ ⎠ ⎡ C w S wi + C f ⎤ G p B g = G ( B g − B gi ) + GBgi ⎢ ⎥ ∆P + W e − W p Bw 1 − S wi ⎣ ⎦ F = G p B g + W p Bw = GE g + GE fw + W e = G E g + E wf + W e G p

Ec.(.7.14)

Ec.(.8.6)

Ec.(.8.7) Ec.(.8.8)

Remplazando la ecuación 8.4 en la 8.8 tenemos: F = GE g

⎡ S C + C f ⎤ + GBgi ⎢ wi w ⎥(Pi − P ) + W (C w + C f )(Pi − P ) 1 − S wi ⎣ ⎦

Ec.(.8.9)

Dividiendo por la energía total del sistema Et F = G ( E g

+ E wf ) + W C w + C f (Pi − P ) = GE t + W C w + C f ( P − P) F =G+ i W (C w + C f ) E t

( Pi

− P)

Ec.(.8.10) Ec.(.8.11)

E t

Aplicando el método de la línea recta calculamos simultáneamente el volumen del acuífero y el gas In-Situ como así también su entrada de agua para cada etapa de presión. Ejemplo 8.1 mediante la ecuación de balance de materiales determinar los siguientes parámetros: • Actividad del Acuífero • Determinación del G, W y We para diferentes presiones con el modelo del acuífero de Pote Los datos obtenidos del reservorio son los siguientes: Pr= 6411 Psi Kr= 100 md Por= 15 % Cf=0.000006 1/Psi Goes= 100 BCF Tr= 239 o F h= 200 Pies Sw= 15 % Cw=0.000003 1/Psi Area = 320 Acre

⎡ S wi C w + C f ⎤ ⎥ (Pi − P ) S 1 − wi ⎣ ⎦

Procedemos a realizar los cálculos de acuerdo E fw = GB gi ⎢


Tabla 8.1 Datos del historial de producción, presión del reservorio

Tabla 8.2 Calculo para determinar el volumen In-Situ y Entrada de Agua

Analizamos el Grafico de Cole para determinar la actividad del acuífero asociado Fig. 8.5 Fig. 8.5 Grafico de Cole análisis de energía Ana li sis de Cole 110000 109000 108000

) 107000 c p 106000 M M ( 105000 t E / 104000 F 103000 102000 101000

Analisis de Cole

100000 0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

Gp (MMpc)

La pendiente negativa en la figura 8.5 nos muestra una presencia de un acuífero débil asociado. El volumen In-Situ Determinado mediante el balance de Materiales aplicando el modelo de Pote es 101003 MMPC y su pendiente determinada es 0.604 Bbl/MMPC. Por lo tanto el volumen de agua es: W =

M

=

0.604

(Cw + Cf ) (0.000003 + 0.000006 )

= 67111 MBbl = 67.11MMBbl


Fig. 8.6 Determinación Simultánea del Modelo de Pote

Remplazando W, Cw, Cf, Swi, Pi en la ecuación 8.4 tenemos la instrucción de agua a diferentes presiones We = C w

8.3.2.-

+ C f ∗ Wi ∗ ( Pi − P) = (0.000003 + 0.000006) * 67.11 * (6411 − p )

MODELO DE VAN EVERDINGEN & HURST

Las ecuaciones de flujo para petróleo en el fondo de pozo son idénticas a las ecuaciones de flujo descrito para un acuífero en el reservorio. Solamente existe diferencia en la escala radial y en los parámetros de la roca y fluidos. Los modelos de flujo consideran una condición de contorno interna de un pozo a caudal constante. Cuando un pozo de gas es abierto a un caudal constante la respuesta de la presión en el fondo de pozo puede ser descrita bajo condiciones transiente de flujo antes de los efectos de límites del reservorio. Una descripción del comportamiento del acuífero es interesante, ya que para el cálculo de la entrada de agua con la declinación de la presión. Van Everdingen, presento modelos clásicos de entrada de agua para dos tipos de acuíferos lineal y radial. Aplicando el concepto de transformadas de Laplace, Everdingen resolvió el problema mediante la ecuación de difusividad en el sistema reservorio-acuífero considerando una presión constante en el contacto. 8.3.2.1.-

ACUIFERO RADIAL

El sistema reservorio Acuífero esta representado en la Figura 8.7. f = θ /360 o


Acuífero Ro.

Reserv. Rw.

Figura No 8.7 La ecuación general de flujo para calcular la presión en el fondo de pozo esta dada:

= 2π t DA + 1 / 2 ln

p D (t D )

4t D γ

− 1 / 2 P D (t DA )

Ec. (8.12)

Donde: P D (t D ) =

2π kh qu

( Pi − Pwf )

Ec. (8.13)

Resolviendo la ecuación de difusividad para el sistema reservorio acuífero y aplicando la ecuación transformada de Laplace a la ecuación expresada en términos de variables dimensionales tenemos: 1 r D

∂ ∂r D

( r D

∂P D ∂ p ) = D ∂t D ∂t D

Donde radio adimensional: Tiempo adimensional:

Presión Adimensional:

Ec. (8.14)

r D

t D =

P D =

=

r r D

kt

Φ uc t R o

Ec. (8.15) Ec. (8.16)

2

( Pi − P ) ( Pi − Po )

Ec. (8.17)

Con estos conceptos anteriores, la ley de Darcy puede ser escrita de la siguiente manera:

∂ p ) ro Ec. (8.18) u ∂r Usando las definiciones de las variables adimensionales de las q=

Donde

f =

θ

2π fkh

( r

2π

ecuaciones 8.13 , 8.15, y 8.16, 8.17 la ecuación 8.18 puede ser descripta en términos de variables adimensionales:

− (r D

∂ p D qu = q D (t D ) ) rD =1 = 2π fkh∆P0 ∂r D

Ec. (8.19)


Donde q D (t D ) es el caudal adimensional calculado en el contacto reservorioacuífero. Es más facil expresar la solución en entrada de agua acumulada: t

2π fkh∆ p 0

0

u

∫

We ≡ qdt =

∫

tD

0

q D

dt dt D

Ec. (8.20)

dt D

De la definición de tiempo adimensional: dt

=

dt D

θ uc t r 2 o

Ec. (8.21)

k

Sustituyendo la ecuación 8.20 en 8.21 tenemos: We ≡ 2π f θ c t hr o

2

tD

∆Po ∫0

Ec. (8.22)

q D dt D

Finalmente integrando y denominando q en relación al t D porW D (t D ) ) la ecuación se simplifica como: Ec. (8.23) We ≡ U ∆POW D (t D ) Donde: 2 U ≡ 2π f θ c t hr o Ec. (8.24) U ≡ 1.119 f θ ct hr o

2

La constante U es denominada como constante de entrada de agua del acuífero y We o es la entrada adimensional acumulada para cada presión en el contacto. W D (t D ) . Puede ser obtenido del flujo del acuífero, considerándose tres modelos de acuíferos los cuales son: radial, infinito o acuífero con mantención de la presión en los límites. La diferencia que existe entre estos tres modelos esta en las condiciones de contorno externos. En cualquiera de los casos la entrada de agua puede ser calculada mediante la siguiente ecuación: W D

t D

≡ ∫0

q D (t D ) dt D

tD

= −∫0

( r D

∂P D ) dt ∂r D r =1 D D

Ec. (8.25)

Existen tablas y gráficos donde nos muestra el comportamiento de la entrada de agua, para un reservorio infinito, sellado y realimentado en superficie. Ver las Figuras 8.8, y las tablas 8.14 para el influjo acumulado adimensional. Bird y Cols realizaron ajustes matemáticos a las tablas presentadas por Van Everdingen y Hurts que puede ser programado fácilmente para valores de Rd < 100 1.6179

⎛ 1 ⎞ ⎛ Y ⎞ ⎟⎟ + σ 3 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ W D (t D ) ≡ Y 1 ⎜⎜ ⎝ 1 + Y 2 ⎠ ⎝ 1 + Y 2 ⎠ σ ⎛ t d ⎞ ⎟ Y 2 ≡ ⎜⎜ ⎟ ⎝ σ 1 ⎠ 2.33849 σ 1 ≡ 0.53226(r D − 1) σ 2 ≡ 2.72055 + 0.00401826 r D σ 3 ≡ (r D2 − 1) * 0.5

1.21257

Ec. (8.26)

2

Ec. (8.27) Ec. (8.28) Ec. (8.29) Ec. (8.30)

Las ecuaciones de Van Everdinger y Hurst es aplicable solamente a reservorios circulares rodeados de un acuífero horizontal circular finito o infinito de espesor constante, porosidad permeabilidad y compresibilidad constante.


8.3.2.2.-

ACUIFERO LINEAL

La Figura 8.8 nos muestra un sistema de flujo lineal reservorio acuífero, si comprimimos el nivel acuífero hacia el reservorio tenemos un flujo lineal cuyas variables adimensionales depende de la longitud, las cuales son:

=

Longitud adimensional :

x D

Tiempo adimensional:

t D =

Presión adimensional:

P D =

x

Ec. (8.31)

L kt

Φ uc t L

Ec. (8.32) 2

( Pi − P ) ( Pi − Po )

Ec. (8.33)

La ecuación de Darcy para flujo lineal esta definida por: kA ∂ p ( ) X = 0 Ec. (8.34) q= u ∂r Donde el Área es el espesor por la altura A=w*h usando las definiciones de las ecuaciones 8.31, 8.32 , 8.33 y 8.34 la ecuación se puede escribir en variables adimensionales como: ∂ p quL Ec. (8.35) − ( D ) xD = 0 = = q D (t D ) ∂ x D kA∆P0 La solución en términos de la entrada acumulada nos da la siguiente ecuación: t kA∆P0 tD ∂t Ec. (8.36) W e ≡ ∫ qdt = q dt D D 0 ∂t D uL ∫0 dt dt D

=

θ uc t L2 o k

Ec. (8.37)

Finalmente sustituyendo la ecuación 8.32 en la ecuación 8.36 se tiene que: W e ≡ wLhθ c t ∆P0

∫

t D

0

We ≡ U ∆POW D (t D ) U ≡ wLhθ c t .

Fig. 8.9 Entrada de Agua Adimensional

q D dt D

Ec. (8.38) Ec. (8.39) Ec. (8.40)


8.3.2.3.-EFECTOS DE SUPERPOSICION

En la presente sección estamos presentado los modelos clásicos de entrada de agua, los cuales considera que la caída de presión en el contacto es constante. Así mismo, la expresión: We = U ∆ pW D (t D ) Ec. (8.41) Solo es aplicable cuando la caída de presión en el contacto, ∆ p, es constante. En la práctica, no se espera que la presión en el contacto sea constante debido al agotamiento del reservorio. El principio de la superposición, puede ser utilizado para expandir la utilización de las soluciones clásicas para los casos en que la presión en el contacto varíe con el tiempo: We =

O, equivalentemente,

τ

q(τ )

0

∆ p O

∫

∆ p(t − τ )d τ

Ec. (8.42)


We =

τ

q (t − τ )

0

∆ p O

∫

∆ p(τ )d τ

Ec. (8.43)

Donde q(t) es la solución clásica de caudal para una caída de presión constante, ∆ p0 en el contacto, We es la entrada de agua acumulado para una variación de presión cualquiera en el contacto, ∆ p(t) = pi – p(t), y τ es apenas una variable de integración. Utilizando las definiciones de las variables adimensionales t D y qD del modelo radial, dadas por las ecuaciones 8.19 y 8.18, o del modelo lineal, ecuaciones 8.35 y 8.36, la ecuación 8.39, puede ser escrita como:

∫

We = U

t D

0

q D (tD − τ D )∆ p (τ D )d τ D

Ec. (8.44)

O también:

∫

We = U

t D

0

W D (tD − τ D )∆ p (τ D )d τ D '

Ec. (8.45)

Donde W’ D es la derivada del influjo adimensional en relación a t D , o sea , es el propio caudal adimensional. La constante de influjo, U , para los modelos radiales y lineales está definida por las ecuaciones 8.24 y 8.43, respectivamente. Como la mayoría de las soluciones clásicas solo tienen solución analítica con las transformadas de Laplace, una opción para realizar el efecto de superposición es con las transformadas de Laplace. Tomando la relación al t D de la ecuación 8.44 o de la ecuación 8.26, teniéndose: We(u ) = U q D (u )∆ p(u ) = U uW D (u ) ∆ p (u )

Ec. (8.46)

Donde u es la variable de Laplace. ∆ p = (u ) es la transformada de Laplace de ∆ p(t) y W D (u ) es la solución en la transformada de Laplace. 8.3.2.4.-TEORIA DEL AJUSTE DE LA ENTRADA DE AGUA

En las secciones previas, la entrada de agua acumulativa dentro del reservorio, es debida a la caída de presión instantánea aplicada en el contacto o el límite del reservorio expresada de la siguiente manera: Ec. (8.47) We ≡ U ∆POW D (t D ) En el caso más práctico de la entrada de agua acumulativa es la observación de la presión del reservorio, ya que es necesaria para los cálculos del volumen de agua introducidos dentro del reservorio, correspondiente a la declinación continua de presión en el contacto o la frontera del reservorio. El cálculo es dividido en una serie de etapa de presión para cada caída de presión promedio, se determina un ∆ p(t) = pi – p(t )correspondiente a la entrada de agua, la cual puede ser calculada con la ecuación 8.47. Una forma aproximada de tratar el problema es discretizar la condición de contorno interno, esto es, la presión en el contacto p(t). La curva continua de la presión es dividida en una serie de intervalos de presión constante, como mostramos en la figura 8.10 Para la curva de presión discretizada de la figura 8.10a ecuación puede ser escrita como: n −1

∑ ( p

W (t Dn ) = U

j = 0

n −1

t Dj −1

i

− p j +1 )∫t

W D' (t Dn

− τ D )d τ D

Dj

= U ∑ ( p i − p j +1 )[W D (t Dn − τ Dj ) − W D (t Dn − τ Dj +1 )] j = 0

Ec. (8.48


Donde la presión media en cada intervalo es: p j +1

=

p j

+ p j +1 2

, j

= 0, n − 1

Ec. (8.49)

Substituyendo la ecuación 8.49 en la ecuación 8.48, expandiendo la sumatoria y colectando los términos comunes, se obtiene:

Figura 8.10 Discretización de la presión en el contacto

⎛ p j −1 − p j +1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟W D (t Dn − t Dj ) ∑ 2 j = 0 ⎝ ⎠ n −1

We(t Dn ) = U

n −1

∑ ∆ p

We(t Dn ) = U

j

(

W D t Dn

− t Dj ) ,

Ec. (8.50) Ec. (8.51)

j = 0

Donde:

∆ p j = p1 − p j +1 =

p j −1

− p j +1 2

Ec. (8.52)

8.4.1. MODELO DE FETKOVICH

El modelo aproximado presentado por Fetkovich se aplica a acuíferos finitos y admite que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre el régimen pseudo permanente. A pesar de ser aproximado, el modelo presentado por Fetkovich tiene la ventaja de permitir el cálculo continuo sin la necesidad de recalcular todos los pasos anteriores como ocurre en el modelo de van Everdingen & Hurst. Fetkovich admite el régimen pseudo permanente para el flujo de acuífero para el reservorio: q=

dWe dt

= J ( p a − p )

Ec. (8.53)

Donde J es el índice de productividad, p a la presión media del acuífero y p la presión en el contacto reservorio – acuífero. Partiendo de la ecuación de balance de materia (EBM), se puede escribir que: Ec.(8.54) We = c t W i ( p i − p a ) c f es Donde c t = c w + la compresibilidad total del acuífero y W i es el volumen de agua, inicial, replanteando la ecuación 8.54, se tiene:


⎛ We ⎞ ⎟⎟ = p i ⎜⎜1 − c W p ⎝ t i i ⎠

p a

Ec.(8.55)

Wei es la entrada máxima que un acuífero sellado puede aportar, correspondiente a la expansión de agua el acuífero al ser despresurizado de pi para la presión cero. De la

ecuación 8.54.

Wei = c t W i p i

Ec. (8.56)

Substituyendo la ecuación 8.56 en la ecuación 8.55, se obtiene: We ⎞ = p i ⎛ ⎜1 − ⎟ ⎝ Wei ⎠

p a

Ec (8.57)

Cuya derivada en relación al tiempo es dada por: d p a dt

=−

p i dWe

Ec. (8.58)

Wei dt

Substituyendo la ecuación 8.53 en la ecuación 8.58, se obtiene: d p a

=−

dt Jp i

−

Wei

p i Wei

dt =

J ( p a

− p)

d p a p a

Ec. (8.59) Ec. (8.60)

− p

Después de separar las variables. Esta ecuación puede ser integrada de t = 0 (cuando We = 0 y p a = pi ) a t , esto es, se puede escribir:

−

Jp i

∫

t

t dt =

Wi

0

∫

d p a

pi

p i

p a

− p

Ec (8.61)

Resolviendo las integrales, la ecuación 8.42 se simplifica:

−

⎛ p a − p ⎞ ⎟⎟ p p − ⎝ i ⎠

Ec. (8.62)

⎛ J p ⎞ − p = ( p i − p) exp⎜ − i t ⎟ ⎝ Wei ⎠

Ec. (8.63)

J p i

t = ln⎜⎜

Wei

O también: p a

Substituyendo la ecuación 8.63 en la ecuación 8.53: q = J ( p i

⎛ J p ⎞ − p) exp⎜ − i t ⎟ ⎝ Wei ⎠

Ec. (8.64)

La ecuación 8.64 es la ecuación del caudal de agua con que fluye el acuífero al reservorio en función del tiempo y también nos muestra de la caída de presión en el contacto, ( pi – p). Esta ecuación es generalmente independiente de la geometría del acuífero. La cual puede ser integrada para obtener la entrada de agua:

∫

t

We ≡ qdt = J ( p i 0

t ⎛ J p ⎞ − p) ∫0exp⎜ − i t ⎟ ⎝ Wei ⎠

Ec. (8.65)

Finalmente, resolviendo la integral de la ecuación 8.65 se llega a: We =

Wei pi

( p i

⎡ ⎛ J p ⎞⎤ − p) ⎢1 − exp⎜ i ⎟⎥ ⎝ Wei ⎠⎦ ⎣

Ec. (8.66)

La ecuación 8.66 favorece el influjo del acuífero en función del tiempo para una caída de presión constante, ( pi – p), en el contacto. Algunas observaciones pueden ser echas al respecto de las ecuaciones del modelo de Fetkovich: (a) Observación 1


Note que con el pasar del tiempo, el caudal aportado por el acuífero, ecuación 8.64, decrece exponencialmente tendiendo a cero. O sea, el influjo dado por la ecuación 8.66 tiende a un valor máximo. Tomando el límite de la ecuación para t ⎯ ⎯→ ∞ y usando la ecuación 8.56, el influjo máximo puede ser escrito como: Wei

We max =

p i

( p i

− p)

Ec. (8.67)

= c t Wi ( p i − p) (b) Observación 2

En la práctica la caída de presión en el contacto no es constante y la ecuación 8.66 no es directamente aplicable. Fetkovich mostró la ecuación 8.66 cuando la presión varía en el contacto, sin hacer la superposición. El influjo durante el primer intervalo de tiempo (∆t 1) puede ser expresado por:

∆W e1 =

Wei pi

⎡

⎛ ⎝

( p i − p1 )⎢1 − exp⎜ − ⎣

J p i Wei

⎞⎤ ∆t 1 ⎟⎥ ⎠⎦

Ec. (8.68)

Donde p1 es la media de las presiones en el intervalo ∆t 1 .Para el segundo intervalo de tiempo (∆t 2):

∆W e 2 =

Wei pi

⎡

( p a1 − p 2 )⎢1 − exp⎛ ⎜− ⎝

⎣

J p i Wei

⎞⎤ ∆t 2 ⎟⎥ ⎠⎦

Ec. (8.69)

Donde p a1 es la presión media del acuífero en el final del primer intervalo de tiempo y es calculado a partir de la ecuación de balance de materia en el acuífero, ecuación 8.55, p a1

⎛ ∆We1 ⎞ = p i ⎜1 − ⎟ Wei ⎝ ⎠

Ec. (8.70)

Y p 2 es la media de las presiones en el contacto en el intervalo de tiempo ∆t 2 .Para un intervalo de tiempo ∆t n . ∆Wen =

Wei p i

⎡

⎛ ⎝

( p an −1 − p n )⎢1 − exp⎜ − ⎣

J p i Wei

⎞⎤ ∆t n ⎟⎥ ⎠⎦

Ec. (8.71)

Donde:

⎛ 1 n −1 ⎞ ⎛ W en −1 ⎞ ⎟ Wej pi = p i ⎜⎜1 − ∆ = ⎜1 − ⎟ ∑ ⎟ Wei Wei j =1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p an −1

Y p n

=

+ p n

p n −1

2

(c) observación.3

Ec. (8.72)

Ec. (8.73)

Al utilizar el índice de productividad del acuífero, J , para flujo permanente, se admite que el acuífero sea realimentado de modo que la presión en su límite externo se mantenga constante e igual a pi . La condición de flujo permanente implica que no hay límite para el influjo máximo, esto es, Wci es infinito. En este caso, el caudal del acuífero, ecuación 8.64 se reduce a: q≡

dWe dt

= J ( p i − p )

Ec. (8.74)

Cuya integral es el influjo acumulado: We = J

t

∫ ( p 0

i

− p )dt

Ec. (8.75)


La ecuación 8.75 es un caso particular del modelo Fetkovich y fue presentado por Schilthius en 1936. (d) Observación 4.

La Tabla 8.3 presenta el índice de productividad del acuífero, J , para los modelos de acuíferos radiales y linear, regímenes de flujo permanente y pseudo permanente. Para otras geometrías, el índice de productividad para el régimen pseudo permanente puede ser definido como: J =

2π kh

Ec. (8.76)

µ ⎛ 4 A ⎞ ⎟ ln⎜ 2 ⎜⎝ γ C A r O2 ⎠⎟

Donde C A es el factor de forma de Dietz (Tabla 8.13), A es el área del acuífero, γ es la exponencial de la constante de Euler (γ=1,781...) y r O es el radio del reservorio circula rizado. En la Tabla 8.4, el tiempo adimensional t DA es definido como: r DA

=

kt

Ec. (8.77)

φ µ C t A

Tabla 8.3 – Índice de productividad del acuífero para los flujos radial y linear Condición de Flujo

Acuífero Radial

J = Pseudo permanente

2π f kh

⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ µ ⎢ln⎜⎜ e ⎟⎟ − 3 ⎥ ⎢⎣ ⎝ r O ⎠ 4 ⎥⎦

J = Permanente

8.5.1.-

Acuífero Linear

J =

3 kh w

J =

kh w

2π f fk

⎛ r ⎞ µ ln⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ r O ⎠

µ L

µ L

MODELO DE CARTER – TRACY

El modelo de Carter-Tracy es aplicable a cualquier geometría de flujo, conociendo la presión adimensional en función del tiempo para cualquier geometría de acuífero considerada. Esta cobertura de los distintos tipos de acuífero posibles contemplados es una gran ventaja de este modelo en relación al de van Everdingen & Hurst. El modelo de Carter-Tracy, así mismo como Fetkovich, no requiere la aplicación del principio de superposición de efectos en el cálculo del influjo. El influjo acumulado puede ser expresado a través de la integral de convolucion:

∫

We(t Dj ) = U

t DJ

0

∆ p(τ )

dW D (t D d τ

− τ )

d τ

Ec (8.78)

Donde t D es el tiempo adimensional definido para cada geometría de acuífero, U , es la constante de entrada de agua y que también depende de la geometría del sistema, ∆ p(t D ) = pi – p(t D ) es la caída de presión en el contacto. W D( t D ) es el influjo de agua acumulado adimensional, τ es una variable de integración y j se refiere a la discretización del tiempo. En el modelo de Carter-Tracy para la entrada de agua acumulado We es aproximado por la ecuación: Ec. (8.79) We t Dj = We t Dj −1 + a j −1 t Dj − t Dj −1 Donde a j-1 es una constante. Esta ecuación admite que un intervalo entre t D j-1 y t D j la entrada varia linealmente con el tiempo. Combinando las ecuaciones 8.78 y 8.79, se obtiene:


∫

U

t D

0

∆ p(τ )

dWD(tD − τ ) d τ

(

d τ = We t Dj −1

) + a − (t j 1

Dj

− t Dj −1 )

Ec. (8.80)

Aplicándose la transformada de Laplace con relación al tiempo adimensional a la ecuación 8.80, se obtiene: U u ∆ p(u ) W D (u ) =

We t Dj −1

− a j −1t Dj −1

u

+

a j −1 u

Ec. (8.81)

2

Donde u es la variable de Laplace. Para el problema en cuestión es posible probar que (van Everdingen & Hurst, 1949): 1

= u p D (u )W D (u ) Ec. (8.82) u2 Donde pD( t D ) es la solución para la presión adimensional en la fase interna de un acuífero produciendo un caudal constante y W D( t D ) es la entrada adimensional para el caso de presión constante en el contacto. Substituyéndose la ecuación 8.82 en la ecuación 8.81 y explicitándose la transformada de la caída de presión en el contacto gasagua, se obtiene la ecuación:

∆ p(u ) =

1 U

{[We(t − ) − a − t − ]u p Dj 1

j 1 Dj 1

D

}

(u ) + a j −1 p D (u )

Ec. (8.83)

Cuya intervención resulta en: 1

∆ p(t Dj ) =

{[We(t − ) − a − t − ]} p

(t Dj ) + a j −1 p D (t Dj ) Ec (8.84) U Donde p’ D( t D ) es la derivada de presión adimensional en relación al tiempo adimensional. Explicitándose la constante a j-1 en la ecuación 8.84: U ∆ p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj ) Ec. (8.85) a j −1 = ' p D (t Dj ) − t Dj −1 p D (t Dj ) Dj 1

' D

j 1 Dj 1

Substituyendo la expresión resultante en la ecuación 8.79, se obtiene: U ∆ p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D (t Dj ) '

We(t Dj ) = We(t Dj

− 1) +

p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )

(t

Dj

− t Dj −1 )

Ec. (8.86)

Que es la ecuación para el cálculo de la entrada de agua acumulada. Conforme mencionado anteriormente, la función pD( t D ) representa la presión adimensional en la fase interna de un acuífero produciendo con un caudal constante. En caso de un acuífero lineal infinito, esto es, de un acuífero que se comporta en un régimen transciente de flujo, la presión adimensional es determinada por la expresión: p D (t D ) = 2

t D

π

Ec. (8.87)

En el caso de un acuífero radial infinito esa expresión es: p D (t D ) =

1 2

[ln(t D ) + 0.80907]

Ec (8.88)

8.6.1 MODELO DE LEUNG

En esta sección serán discutidos dos modelos aproximados, presentados por Leung , denominados modelo pseudo permanente (PSS model) y modelo pseudo permanente modificado (MPSS model). Así mismo como el modelo presentado por Fetkovich, discutido en el punto 8.4, los modelos PSS y MPSS son aplicables a acuífero finitos y consideran que el flujo del acuífero para el reservorio se da sobre régimen pseudo permanente. Los modelos de Leung también tienen una ventaja, en relación al modelo de van Everdingen & Hurst, de prescindir del esfuerzo computacional asociado a la superposición del efecto tradicional cuando la presión en el contacto acuífero-reservorio es variable con el tiempo.

Intrusión de Agua__________________________________________________219 8.6.1.1.-MODELO PSEUDO PERMANENTE (PSS )

Cuando un acuífero finito de geometría cualquiera de régimen pseudo permanente (PSS), el caudal del influjo de agua es dado por: Ec. (8.89) q = J [ p a (t ) − p(t )] Donde J es el índice de productividad del acuífero, p a la presión media del acuífero y p la presión en el contacto reservorio-acuífero. El índice de productividad es definido por la expresión: Ec. (8.90) J = kA µ δ ∞ Donde δ∞ es el radio de drene constante sobre el régimen PSS y A es el área abierta a la entrada de agua. Vale resaltar que si p a y p fuese constante el caudal en la ecuación 8.89, sería permanente; mas como la presión varía con el tiempo, el régimen de flujo es clasificado apenas como pseudo permanente. El radio de drenaje pseudo permanente δ∞, depende de cómo varía la presión en el contacto con el tiempo: La variación gradual (SIBP) o variación lineal (LIBP). Para acuífero lineal o radio de drenaje adimensional ( δ∞ / L) vale 0.4053 y 0.333 para variación gradual y variación lineal, respectivamente. Para acuífero radial, es la misma condición de presión en la frontera interna o contacto, el radio de drenaje depende también del tamaño del acuífero dado por el parámetro reD, en la tabla 8.3 están presentados los radios de drenaje para valores r eD entre 1.1 y 50 tanto para el caso de variación de presión gradual (SIBP) y para la variación lineal de presión (LIBP). Para acuíferos pequeños (r eD < 1.5 ), el flujo es aproximadamente lineal y los radios de drenaje son equivalentes para acuífero lineal con δ∞ /ro = 0.333 (reD – 1) para LIBP y δ∞ / ro = 0.4053 (reD –1) para SIBP. Cuando el acuífero es grande (r eD >50) el radio de drenaje, independientemente del comportamiento de la presión en el contacto (SIBP o LIBP), tiende asintóticamente para la expresión: δ ∞ r O = ln(r eD ) − 3 4 Ec. (8.91) Como mostramos en la tabla 8.3 la ecuación 8.91 es la expresión del radio de drene usado por Fetkovich. Partiendo de la ecuación del balance de materia (EBM), se puede mostrar que: Ec. (8.92) We = c t W i [ p i − p a (t )] Y ∆We = c t W i ( p an − p an +1 ) Ec. (8.93) Donde ct = c w + cf es la compresibilidad total del acuífero y Wi es el volumen inicial de agua del acuífero. El subíndice n se refiere al instante de tiempo t n y el subíndice n+1 al instante t n+1. El caudal de la entrada de agua es dado por la derivada de la entrada de agua acumulada, ecuación 8.92, en relación al tiempo: q = −c t W i

d p a (t ) dt

Ec. (8.94)

Combinándose las ecuaciones 8.89 y 8.94, se obtiene la ecuación que gobierna el flujo pseudo permanente, esto es: d p a (t ) dt

= α [ p(t ) − p a (t )]

Ec. (8.95)

Donde la constante ∞ es definida por: α ≡

J c t W i

=

A

k

c t W i µ δ ∞

Ec. (8.96)


Note que la ecuación 8.95 solo es válida después de tomar el régimen pseudo permanente (esto es, para t > t pss). Una hipótesis básica del modelo PSS es que la ecuación 8.95 sea una buena aproximación también para el periodo 0< t < t pss. Tabla 8.3 – Radio de drene adimensional para acuífero radial (Ref. Leung) reD

/ ro LIBP

SIBP

Feitkovich

1.1

0.0333

0.0405

-

1.5

0.1637

0.19165

-

2

0.3156

0.3601

-

3

0.5779

0.6388

0.3486

4

0.7940

0.8611

0.6363

5

0.9755

1.0457

0.8594

6

1.1313

1.2002

1.0418

7

1.2674

1.3345

1.1959

8

1.3880

1.4572

1.3294

9

1.4963

1.5648

1.4472

10

1.5943

1.6575

1.5526

20

2.2595

2.2610

2.2457

3.1650 3.1260 La condición inicial es dada por la expresión:

3.1620

50

p a (t = 0) = p(t = 0) = p i

Ec. (8.97) Utilizando la ecuación 8.95 puede ser resuelto para la presión media del acuífero: p a (t ) = pa (0)e α t

t

+ α ∫0 p(τ )e −α (t −τ ) d τ

Ec. (8.98)

Si la ecuación 8.98 fuera integrada por partes, se obtiene una forma alternativa de presión media de acuífero como una función de derivada de presión en el contacto. p a (t ) = p(t ) −

∫

dp(τ )

t

0

d τ

e

−α ( t −τ )

d τ

Ec. (8.99)

Una vez obtenida la presión media del acuífero. p a a partir de la ecuación 8.98 o 8.99, el caudal del influjo de agua, q, y el influjo acumulado, We, son calculados con las ecuaciones 8.89 y 8.92, respectivamente. Las ecuaciones 8.98 y 8.99 son conocidas como integrales de convoluçion (o superposición). Por el hecho de la integración puede ser expresado como un producto en dos funciones, una evaluada en tiempo τ y otra en t - τ variando de 0 a t , la integral en t n+1 que es igual a la integral en t n mas un incremento de la integral en el intervalo ∆t = t n+1 – t n .Consecuentemente, para cada tiempo de interés la integral tiene que ser evaluada desde t = 0 hasta el tiempo t considerado, que vuelve el proceso cada vez mas eficiente a medida que el tiempo crece. En vista de esa dificultad. Leung presentó un esquema más eficiente denominado FCM (fast convolution method).método de la convolucion rápida Definiéndose la integral en la ecuación 8.79 como I (t), siendo que I n+1 es la integral evaluada en tiempo t n+1. Así mismo.


I n +1

t n +1

= ∫0

t n

= ∫0

p(τ )e

p(τ )e

= ⎡⎢ ∫0 ⎣

t n +1

−α ( t n +1 −τ )

d τ

−α ( t n +1 − t n + t n −τ )

p(τ )e

−α ( t n +1 −τ )

d τ +

∫

t n +1

t n

− ∆t d τ ⎤ e α +

⎥⎦

p(τ )e

∫

t n +1

t n

−α ( t n +1 −τ )

p (τ )e

Ec. (8.100)

d τ

−α ( t n +1 −τ )

d τ

O simplemente:

= I n e −α ∆t + ∆ I

Ec. (8.101) Como muestra la ecuación 8.82 la integral de convolución en tiempo t n+1 es igual a la suma de la integral anterior t n multiplicada por el factor de decaimiento exponencial exp(-α∆t), con la integral entre los limites t n y t n-1. Las presiones históricas t n no es necesario para evaluar I n+1: luego el esfuerzo computacional y la cantidad de memoria requerida son reducidos. Usando la ecuación 8.101, las ecuaciones 8.98 y 8.99 pueden ser escritas respectivamente, como: I n +1

p an +1

t n +1

= p an e −α ∆t + α ∫t

p(τ )e

−α ( t n +1 −τ )

Ec. (8.102)

d τ

n

Y p an +1

t n +1

= p n +1 + ( p an − p n )e −α ∆t − ∫t

n

dp (τ ) d τ

e

−α ( t n +1 −τ )

d τ

Ec. (8.103)

La forma expresada por la ecuación 8.102 es preferible a la ecuación 8.103 porque es más conveniente, si evaluamos la integral. Los datos de la presión en el contacto en función del tiempo, es necesario para calcular la integral de convolucion, ecuación 8.102, son normalmente expresados como valores discretos con el tiempo. Luego, para calcular la integral, alguna forma de interpolación entre los datos es necesaria. Dos esquemas simples de interpolación fueron sugeridos por Leung: 1. I nterpolación Linear de Pres ión en el Contacto, denominada LIBP (Linear Interpolation of Boundary Pressure). En este caso los datos discretos de presión son interpolados linealmente:

⎛ p n +1 − p n ⎞ ⎟(t − t n ) + p n , ⎝ ∆t ⎠

p LI (τ ) = ⎜

t n

≤ t ≤ t n +1

Ec.(8.104)

2. I nterpolación Gr adual de Pr esi ón en el Contacto , denominado SIBP (Step Interpolation of Boundary Pressure). En este caso las presiones interpoladas entre tn y tn+1 son dadas por:

⎛ p n + p n +1 ⎞ ⎟t n , 2 ⎝ ⎠

p SI (τ ) = ⎜

t n

≤ t ≤ t n +1

Ec. (8.105)

Combinándose las ecuaciones 8.102 y 8.103, se obtiene la expresión para el cálculo de presión media del acuífero en tiempo t n+1 para el esquema LIBP: p an +1

= p n +1 ( p an − p n )e −α ∆t +

− p n α ∆t

p n +1

(e −α ∆t − 1)

Ec. (8.106)

Por otro lado, combinándose las ecuaciones 8.103 y 8.105, se obtiene la presión media del acuífero en tiempo t n+1 para el esquema SIBP: p an +1

= p an e −α ∆t +

p n

+ p n +1 2

(1 − e −α ∆t )

Ec (8.107)

Los parámetros del modelo PSS de Leung para acuíferos lineales y radiales, requeridos en las ecuaciones 8.89, 8.92 y 8.21, están resumidos en la tabla 8.3. El procedimiento de cálculo del modelo PSS de Leung consiste en lo siguientes pasos: Paso 1 – parámetros Básicos. A partir del valor de (t PSS )D y de la definición de t D (ver tabla 8.3) calcule t PSS y verifique si ∆t > t PSS , para confirmar la validez del modelo PSS


de Leung. De ahí calcule valor de ∆t .

δ ∞ y

∆ de tabla 8.3, así también el exp(-α∆t) para cada nuevo

Paso 2 – Presión media del acuífero. A partir de la condición inicial o de la presión media

del acuífero en el intervalo de tiempo anterior. p an , calcule p an −1 con la ecuación 8.99 (LIBP) o la ecuación 8.100 (SIBP). Paso 3 – Influjo de Agua. Con las ecuaciones 8.92 y 8.93 calcule los valores de Wen+1 y ∆We usando la presión media actual en el acuífero, p an −1 , obtenida en el paso 2. 8.6.1.2.- MODELO PSEUDO PERMANENTE MODIFICADO (MPSS )

Leung mostró que, para un acuífero (r eD > 10), el modelo PSS presenta una cierta imprecisión por el hecho de que el modelo no lleva en cuenta los efectos trancientes que ocurren en el corto del tiempo. Como una alternativa para sanar este inconveniente. Leung desarrollo un nuevo modelo simplificado, denominado modelo pseudo permanente modificado (MPSS). En el modelo MPSS, la presión media del acuífero es definida como p a.mpss (t ) = (1 − β 1 ) p1 (t ) + β 1 p a. pss (t )

Ec. (8.108)

Donde p1(t) es la presión interpolada dada por la ecuación 8.103 y 8.105, y p a. PSS es la presión media del acuífero obtenido del modelo PSS. El coeficiente de peso r β 1 es dado por la ecuación: β 1

=

4

⎡ J 0(a l ) 2 ⎤ 2 2 − 1 a1 ⎢ ⎥(r eD − 1) 2 2 1 ( ) J a r 1 eD ⎣ ⎦

Ec. (8.109)

Siendo a1 la primera raíz de la ecuación de Bessel: J l (am reD) y (am)-JO(am)Yl(am reD)=0, donde JO y Jl son las funciones de Bessel de primer grado y Y o y Yl las funciones de Bessel de segundo grado. En la tabla 8.4 están presentados los valores de a1 y β 1 en función de los valores de r eD normalmente encontrados en los estudios de reservorio. La tabla 8.4 presenta también el intervalo de validez de los modelos MPSS y PSS. Como se puede observar, para r eD entre 1 y 50, el tiempo inicial de validez del modelo MPSS fue reducido en relación al del modelo PSS de aproximadamente un ciclo logarítmico. Ejemplo 8.2 Se desea determinar la entrada de agua en el reservorio en función de la presión y tiempo por los cinco métodos mencionado en este capitulo y hacer la comparación entre ellos. Las propiedades del nivel acuífero son los siguientes: Pr = 3952 psi Tr= 190 o F Prof. = 8868 pies h acuif.= 262 pies Kw = 15 md Poros.= 0.18 % A acuif.= 264818263 pie^2 ReD = 2.81 Angulo. Inters. = 280 o

Radio nivel Gasif. = Radio nivel Acuif. = Viscosidad Agua = Saturación Agua = Saturación Irresid. = Compresib. Agua = Compresib. Form. = Compresib.Total w =

3959 pies 11120 pies 0.55 cp 0.45 % 0.22 % 3*10^-6 psi^-1 3.5*10^-6 psi^-1 5.3*10^-6 psi^-1

Intrusión de Agua__________________________________________________223 Tabla 8.4 – Parámetros del modelo PSS de Leung Parámetro

Acuífero Linear

J c t W i α

Acuífero Circular

k A L

2π f kh

µ (δ ∞ L )

µ (δ ∞ r O )

(c w

+ c f )φ A L

k

n L

(c w

φµ c t δ ∞ L

k

3 4 L

SIBP,δ ∞

π 2 kt

t D

φµ c t L2

2π

−1

=

n r O2

2π

2

2 (δ ∞ r O ) r eD

−1

2 ⎡⎛ r 2 ⎞ 2 1 ⎛ 3r eD − 1 ⎞⎤ eD ⎟⎟ ln(r eD ) − ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎥ r O ⎢⎜ 2 ⎜ 4 ⎝ r eD − 1 ⎠⎥ ⎢⎣⎝ r eD − 1 ⎠ ⎦ ⎡ 2 1 ⎤ 1 r O ⎢ ⎥( ) 2 2 − 1 a r r ⎣ l eD eD ⎦

L

LIBP, δ ∞

2

2 φµ c t δ ∞ r O r eD

(δ ∞ L)

= θ

+ c f )φπ (r e2 − r O2 )hf , donde f = θ

2

=

, donde f

=

nt

kt

L2

φµ c t r O2

=

LIBP, (t PSS )D

0.57

2 0.25r eD

SIBP,(t PSS )D

0.15

2 0.25r eD

nt r o2

Tabla 8.5 – Parámetros del modelo PSS modificado

reD

a1

Modelo valido para t D> MPSS PSS

β1

1.1 15.3348 0.8105 1.5 2.8899 0.8417 0.04 0.675 2 1.3606 0.8705 0.08 1.2 3 0.6256 0.9000 0.35 2.7 4 0.3935 0.9171 0.8 4.8 5 0.2823 0.9307 1.3 7.5 6 0.2182 0.9389 2 10.8 7 0.1767 0.9441 3 14.7 8 0.1476 0.9508 3.7 19.2 9 0.1264 0.9539 5 24.3 10 0.1104 0.9580 6 30 20 0.0471 0.9723 40 120 50 0.0160 0.9855 200 750 Obs.: (i) δ∞ /rO obtenido de la tabla 3.2 (SIBP): (ii) Para el modelo MPSS, el t D limite para validez del modelo fue obtenido a partir de la comparación con la solución exacta, con error menor que el 5%: (iii) Para el modelo PSS, tD > 0.25 r eD2 (ver tabla 3.3): y (iv) Cuando r eD → ∞, a1 → 0 y β 1 → 1.0. Método de Van Everdingen

W e

= U × ∆P × W D t D

1.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi Fracción del ángulo de contacto = 280/360 = 0.78


U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2 U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi

2.- El tiempo adimensional depende del tiempo de declinación de la presión que la mostraremos en la tabla 8.5 del balance de materiales del reservorio gasifero. t D

=

2.309kt θ * u w c t r o

2

=

t D

=

2.309 *15 *1.830 0.18 * 5.33 *10^ −5 * 3959 ^ 2

= 7.69

3.- Con el dato del tiempo adimensional y con la relación de radio del nivel gasifero/acuífero reD se determina WD con tablas (8.11) o graficas. Para td =7.69 con una relacion reD=2.8 determinamos el WD de 3.5 4.- Finalmente en este último punto determinamos la entrada de agua acumulada con la siguiente ecuación:

W e = U × ∆P × W D t D W e = 3438 * 49 * 3.5 = 586349 Son los barriles de agua que han entrado en la primera

etapa

Tabla 8.6

Se tiene un volumen de agua introducido de 7.281 MMBls Método de Fetkovich

q=

dWe dt

= J ( p a − p )

We = c t W i ( p i

1.- Primeramente calculamos la Wei la entrada de agua inicial Wei = c t W i ( p i

− pa )

Wei = 3.14 * (11120 2

Wei = π ( r w

2

− r g 2 )θ hc t Pw

− 3952 2 ) * 0.18 * 262 * 3952 * 5.33 *10^ −6 = 60064184 Bbls

− pa )


2.- Calculamos el Índice de productividad para condiciones de flujo Pseudo permanente y Permanente Pseudo permanente J =

2π f kh

⎡ ⎛ r ⎞ ⎤ µ ⎢ln⎜⎜ e ⎟⎟ − 3 ⎥ ⎢⎣ ⎝ r O ⎠ 4 ⎥⎦

J =

0.023244 * 0.78 *15 * 262

J =

0.023244 * 0.78 *15 * 262

⎡ ⎛ 11120 ⎞ 3 ⎤ 0.55⎢ln⎜ ⎟ − 4⎥ 3959 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

= 458 Bpd/psi

Permanente J =

2π f fk

⎛ r ⎞ µ ln⎜⎜ e ⎟⎟ ⎝ r O ⎠

⎛ 11120 ⎞ 0.55 ln⎜ ⎟ ⎝ 3959 ⎠

3.- Calculamos tDA final t D

=

= 125 Bpd/psi

=

t D A

15 *11.26 * 2.309 0.18 * 0.55 * 5.33 *10^ −6 * 264818263

2.309kt f θ uc t A

= 2.79

Tabla 8.7 Fecha de

Tiempo

Prueba A ñ os

Sep-89 Jul-91 Ago-94 Nov-95 Dic-97 Nov-98 Ago-99 Dic-00

0,00 1,83 4,92 6,17 8,25 9,17 9,92 11,26 Delta Wen Bbls

744723 1231072 1687025 2720518 2568534 2682522 3423446 Donde

∆Wen =

Wei p i

Presion Prom. R e s e r v o r i o A c u i f er o Pn ps i ps i Pr esion

3952 3854 3839 3713 3592 3554 3408 3280

tDA.

3952 3903 3847 3776 3653 3573 3481 3344

0,45 1,22 1,53 2,04 2,27 2,46 2,79

Went

Presion

A cu m ulado Bbls

P r om edi o Pan ps i

744723 1975795 3662820 6383339 8951873 11634395 15057841

3952 3928 3887 3832 3742 3658 3569 3457

⎡

⎛ ⎝

( p an −1 − p n )⎢1 − exp⎜ − ⎣

J p i Wei

⎞⎤ ∆t n ⎟⎥ ⎠⎦


Esta ecuación se puede ser aplicada, según el incide de productividad si es permanente o pseudo permanente. Este método en la mayoría de las aplicaciones es muy optimista en cuanto a la instrucción de agua siendo su Volumen de 15057 MBbls Método de Tracy

∫

We(t Dj ) = U

t DJ

0

∆ p(τ )

We(t Dj ) = We(t Dj

dW D (t D

− 1) +

− τ )

d τ d τ U ∆ p(t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj ) p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )

(t

Dj

− t Dj −1 )

Tabla 8.8 Fecha de


Tiempo

R eservor io

A ñ os

ps i

0,000 1,830 4,918 6,170 8,255 9,173 9,921 11,258

3952 3854 3839 3713 3592 3554 3408 3280

Per iodo Ps eudo Perm anente o Transiente P d( t d) P ´ d( t D )

0,00 2,23 5,50 6,83 9,04 10,02 10,81 12,23

0,000 0,253 0,253 0,253 0,253 0,253 0,253 0,253

Delta Presión ps i

98 15 126 121 38 146 128

Td

Tda

0 8 21 26 35 39 42 47

0,00 0,35 0,95 1,19 1,60 1,77 1,92 2,18

Del We(TDj)

We

0 1156851 279239 1453762 1616700 763579 1656030 1719639

0 1156851 1436090 2889852 4506552 5270130 6926161 8645800

Con el método de Tracy tenemos una entrada de agua de 8.645 MMBbls 1.- El cálculo de tD lo realizamos con la siguiente Ecuación: t D

=

2.309kt θ * u w ct r o

2

=

2.- El tiempo adimensional tDA la calculamos con la siguiente ecuación t D A

=

t D

π (.reD 2

− 1)

3.- Calculamos la constante de intrusión de agua en Bbls/psi U = 1.119 * f % * hacf. Ctf. Ro^2 U = 1.119 *0.78* 0.18 * 262*5.33e-6* 3959^2 = 3438 Bls/psi 4.- Determinamos las presiones adimensionales para la transiente y seudo permanente


Periodo Pseudo Permanente

Periodo Transiente

Pd(td)=(2/reD^2)*tD+ ln reD-3/4 Pd(tD)=1/2tD Pd(tD)=2/reD^2 tDa<0,1 tDa>=0,1 5.- Determinar el influjo de agua con la siguiente ec: Pd(td)=1/2(lnreD+0,80907)

We(t Dj ) = We(t Dj

− 1) +

U ∆ p (t Dj ) − We(t Dj −1 ) p D' (t Dj )

Modelo Pseudo Permanente de Lang. (PSS)

− t Dj −1 )

∆We = c t W i ( p an − p an +1 )

q = −c t W i

α ≡

(t

Dj

p D (t Dj ) − t Dj −1 p D' (t Dj )

J c t W i

d p a (t )

=

dt A

k

c t W i µ δ ∞

Calculo de la presión medio esquema LIBP. p an +1

= p n +1 ( p an − p n )e −α ∆t +

− p n α ∆t

p n +1

(e −α ∆t − 1)

Calculo de la presión medio esquema SIBP. p an +1

= p an e −α ∆t +

p n

+ p n +1 2

(1 − e −α ∆t )

1.- Primeramente determinamos la clase de variación si es lineal o diferencial Si reD< 0.5 Utilizamos la variación Lineal método LIBP >0.5 Utilizamos la variación Gradual método SIBP En nuestro caso Utilizamos el radio de drenaje adimensional determinado en la tabla 8.2 para acuíferos radiales Leung para un radio de drene reD = 2.8 tenemos un valor de 0.54 de SIBP que es mayor al 0,5 2.- Calculamos

ά

α =

(η / ro 2 ) * 2 (δ / ro) × reD 2

3.- Calculamos Volumen Inicial de agua Fecha de inicio


tiempo años 0,00 1,83 4,92 6,17 8,25 9,17 9,92 11,26

−1

=

0.43816 0,54 * 2.8 2 W i

Tabla 8.9 Presión Prom. tD Ps ia 3952 0,00 3854 0,97 3839 2,61 3713 3,27 3592 4,38 3554 4,87 3408 5,26 3280 5,97

−1

= 0.1175

= π × (r e2 − r g2 ) × h × φ = 2.851e + 9

∆t

(tpss)D

0,00 1,78 12,83 20,19 36,15 44,63 52,21 67,23

1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979


e

- ά∆t

e

e - ά∆t 1 / ά∆ t

- ά∆t

-1

1,00E+00 0,00E+00 8,27E-35 1,00E+00 2,60E-92 1,00E+00 1,26E-115 1,00E+00 1,87E-154 1,00E+00 1,51E-171 1,00E+00 1,78E-185 1,00E+00 2,24E-210 1,00E+00

1 - e - ά∆t

(Pn+Pn+1)/2 Pmed a Pss #¡DIV/0! 3952 0,00E+00 3952 -1,27E-02

3903

1,00E+00

3903

-4,74E-03

3847

1,00E+00

3847

-3,78E-03

3776

1,00E+00

3776

-2,83E-03

3653

1,00E+00

3653

-2,54E-03

3573

1,00E+00

3573

-2,35E-03

3481

1,00E+00

3481

-2,07E-03

3344

1,00E+00

3344

ti*Wi 15203 15203 15203 15203 15203 15203 15203 15203

We n+1 0 745 1604 2676 4553 5762 7161 9244

∆We(Mbls)

0 745 859 1817 2737 3025 4135 5108

4.- Calculamos el tiempo adimensional t D Con la siguiente formula para cada etapa de presión t D

=

2.309kt θ * uwct r wacuf

2

= tD * tp tpss = 0.25*ReD2

∆t

Con este método tenemos un volumen de entrada de agua de 9.244 MMBbls Modelo Pseudo Permanente Modificado de Lang. (MPSS)

∆We = c t W i ( p an − p an +1 ) q = −c t W i

d p a (t )

α ≡

dt

J c t W i

=

A

c t W i µ δ ∞

p a.mpss (t ) = (1 − β 1 ) p1 (t ) + β 1 p a. pss (t )

β 1

4

= a

2 1

δ ∞ / r g

⎡ J 0(a l ) 2 ⎤ 2 1 − ⎢ ⎥ (r eD − 1) 2 2 1 ( ) J a r 1 eD ⎣ ⎦ =

k


1.- Primeramente calculamos MPSS modificado por LANG δ ∞ / r g

de la tabla 8.5 de los parámetros del modelo

= ln re D − 0.75 = LN (2.8) − 0.75 = 0.284

Si reD >20 se toma un valor constante de 0.9855 si es menor se utiliza la ec: β l

= ln re D * 0.0465 + 0.845 = ln(2.8) * 0.0465 + 0.845 = 0.893

El at podemos leer de la tabla 8.4 de los parámetros del modelo modificado o podemos calcular con la siguiente relación a t

= 5.4156 * re D −1.6506 = 5.4156 * 2.8 −1.6506 = 0.98

W i

= π × (r e2 − r g2 ) × h × φ = 2.851e + 9

α =

(η / ro 2 ) * 2 (δ / ro) × reD 2

Fecha de inicio


e

- ά∆t

0 2.59e-65 2.81e-174 1.83e-218 4.8e-292 0 0 0

−1

=

0.43816 0,284 * 2.8 2

tiempo Años 0,00 1,83 4,92 6,17 8,25 9,17 9,92 11,26

e

- ά∆t

-1

0 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00 1,00E+00

−1

= 0.2255

Tabla 8.10 Presión Prom. tD Ps ia 3952 0,00 3854 0,97 3839 2,61 3713 3,27 3592 4,38 3554 4,87 3408 5,26 3280 5,97

e - ά∆t 1 / ά∆ t

∆t

(tpss)D

0,00 1,78 12,83 20,19 36,15 44,63 52,21 67,23

1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979 1,979

1 - e - ά∆t

0

Pmpss a pn+1 3952

00E+00

ti*Wi 15203

-1.00

3898

1,00E+00

15203

-1.00

3846

1,00E+00

15203

-1.00

3769

1,00E+00

15203

-1.00

3646

1,00E+00

15203

-1.00

3571

1,00E+00

15203

-1.00

3473

1,00E+00

15203

-1.00

3337

1,00E+00

15203


We n+1 0 824 1616 2778 4651 5792 7279 9347

∆We(Mbls)

0 824 791 1986 2665 3127 4151 5196

Con este método se tiene una entrada de agua de 9.347 MMBbls 8.7.- COMPARACION ENTRE LOS MODELOS

En las secciones anteriores fueron presentados varios modelos para el cálculo de la entrada de agua acumulada proveniente de los acuíferos. Cada uno de los modelos fue utilizado para estimar el influjo acumulado del acuífero circular limitado. Para cada uno de los modelos, se calculo en base al tiempo, el influjo acumulado del acuífero sujeto a un historial de presión variable en el contacto. Los resultados están presentados en la tabla 8.11.

Tabla 8.11 – Comparación entre los varios modelos de influjo de agua Como se pude observar el método de Fetkovich es el mas optimista para nuestros cálculos y los métodos mas recomendable son : Van Everdinger, PSS y MPSS de Leung


Tabla 8.12

Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías


Tabla 8.13

Factor de Forma Dietz Para Diferentes Geometrías


Tabla 8.14 Influjo Adimensional para Acuífero Radial Infinito








Intrusion de Agua

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