Intrusion de Agua - Escobar

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CAPITULO 6 INTRUSIÓN DE AGUA Algunas indicaciones de la existencia del empuje o intrusión de agua son: 1) Existe una zona subyacente de agua 2) Existe suficiente permeabilidad para soportar el movimiento de agua, usualmente mayor a 50 md. 3) Aumento de la producción de agua a medida que transcurre el tiempo 4) Balance de materia es el mejor mejor indicador para detectar la intrusión de agua Existen tres métodos básicos para predecir y/o estimar la cantidad de agua que intruye al yacimiento. Ellos son: El método de Schilthuis, el método de Hurst y Van Everdingen y el método de Fetckovick.

6.1. MODELO DE ESTADO ESTABLE (SCHILTHUIS)1,4-6 Es el método más simple que se utiliza para fines de estimación de la intrusión de agua. Se prefiere usar al principio. Se asume acuífero gigante y altamente permeable (Mayor de 50 md) para que la presión nunca caiga y esquematizado en la Fig. 6.1. Este método integra la ley de Darcy, la cual es estado estable. Schilthuis arranca con la ley de Darcy: Qw = Cs ( Pi − p )

La intrusión de agua resulta como la sumatoria de6: t

∫0

We = Cs ( Pi − P )dt

⎡ j =1 ⎣ n

1 2

⎤ ⎦

(We )n = Cs ∑ ⎢ Pi − ( Pj −1 + Pj )⎥∆t j

Siendo; Qw = flujo de agua a través del WOC C s = Constante del acuífero. Contiene las constantes de Darcy: k , µ , A y sus unidades son bbl/tiempo/psia. P i = Presión del acuífero P = = Presión estática del yacimiento. P j = presión estática a t j P j-1 = Presión estática entre t j-1 y t j.

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a u g a e e t d n a a t r s u n t l o A c

Pi P

Fig. 6.1. Esquema de flujo estable

P i

P 1 P 2 P 3

P

t 1

t 2

t 3

t Fig. 6.2. Método de Schilthuis La ecuación de balance de materia es:

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N =

N p ⎡⎣ β o + β g ( Rp − Rs ) ⎤⎦ + Wp β w − W e β g ( Rsi − Rs ) − ( β oi − β o )

El término del denominador se le conoce como expansibidad, D. Para estimar si existe o no intrusión de agua se toma la ecuación con W e = 0 y se calcula una N a (petróleo in-situ aparente) para cada periodo de tiempo (puede ser 4 o 5 años). Este valor de N a es cada vez más creíble puesto que se dispone de más datos6. Luego se tiene N a1, N a2, etc. N =

N p ⎡⎣ β o + β g ( Rp − Rs ) ⎤⎦ + W p β w D

Si no hay intrusión de agua el N a permanece constante para todos los periodos. Pero si existe intrusión de agua el N a se incrementa en cada periodo. Ver Fig. 6.3. El método de Schilthuis se usa con la ecuación de balance de materia para: 1) Calcular el petróleo original, N 2) Hallar la constante del acuífero, C s, la cual relaciona la rata de intrusión de agua por psi de caída de presión en el contacto agua-petróleo. Si N a = N + W e/ D, entonces:

W e ≠ 0

N a

W e = 0

N p

Fig. 6.3. Determinación de intrusión de agua6

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253

N a

m = Cs N = OOIP

∑

∆ P∆t D

Fig. 6.4. Gráfico de N a vs. Σ(∆ P ∆t / D)6

⎛ ∆ p∆t ⎞ ∑ D ⎠⎟ ⎝

N a = N + C s ⎜

Si se asume que N y C s son constantes, la ecuación se comporta linealmente. Esto es, si se grafica N a contra Σ(∆ P ∆t / D) resultará el comportamiento mostrado en la Fig. 6.4. El mismo tratamiento es hecho para gas, pero D’ es diferente: D ' = β g − β gi

Si no da línea recta es porque el modelo no es el apropiado. Si es aproximadamente recta el modelo sirve. Ga =

G p β g + W p β w β g − β gi

Si el yacimiento es de gas o petróleo hay dos formas para obtener la “mejor” línea recta: 1) Al mejor criterio del ingeniero


254

2) Mínimos cuadrados

6.2. MODELO DE ESTADO INESTABLE (HURST AND VAN EVERDINGEN) El flujo en estado inestable se esquematiza en la Fig. 6.5. Para el análisis se asume1,2,4-7 1) Existe flujo radial de agua a través del acuífero 2) La caída de presión es constante a través del acuífero durante todo el tiempo 3) Las propiedades del acuífero son constantes y uniformes

a u g a e e d l b a r a u i r t l a A v

Pi P

Fig. 6.5. Esquema de estado inestable1 Basado en estas consideraciones la ecuación es: 2 We = 2 π α h φ ce ryto [ ∆P QtD ]

α = 0 - 1. Representa la extensión a la cual el acuífero rodea el yacimiento W e = Cantidad de agua intruida en cm3 h = Espesor del estrato en cm ce = Compresibilidad efectiva del acuífero, 1/atm. r yto = Radio del yacimiento de petróleo o gas, cm ∆ P = Caída de presión constante a través del acuífero, atm QtD = Función acumulativa de entrada de agua t D = Tiempo adimensional

La ecuación para tiempo adimensional es:


255

P1

P0

P2 P3 P4

P5

n ó i s e r P

t0

t1

t2

t3

t4

t5

Tiempo Fig. 6.6. Método de Hurst y van Everdingen1

t D =

0.00633kt ; t en dias 2

t D =

0.0002637kt ; t en horas 2

φ µ wce r yto

φ µ wce r yto

La ecuación de intrusión de agua en unidades de campo es: 2 We = 1.119 α h φ ce ryto [ ∆p QtD ]

Este método se basa en la solución de la ecuación de difusividad. Aplica el principio de superposición que indica que las soluciones son aditivas. El principio de superposición al contacto agua petróleo original es mostrado en la siguiente figura. Para usar superposición, la curva se aproxima a una serie de pequeños incrementos de presión de modo que los pasos de tiempo sean pequeños para aproximar la curva con una recta. Los cambios de presión de un intervalo al otro se calculan con el valor promedio del comienzo y el fin de los intervalos de presión. Ver. Fig. 6.6. ∆ P1 = Po − 0.5 ( Po + P1 ) = 0.5 ( Po − P 1 )


256

∆ P2 = 0.5 ( Po + P1 ) − 0.5 ( P1 + P2 ) = 0.5 ( Po − P 2 ) ∆ P3 = 0.5 ( P1 + P2 ) − 0.5 ( P2 + P3 ) = 0.5 ( P1 − P 3 ) ∆ P4 = 0.5 ( P2 + P3 ) − 0.5 ( P3 + P4 ) = 0.5 ( P2 − P 4 )

Generalizando; ∆ P j =

1 ( P − P ) 2 j−2 j

Para j = 1; 1 2

∆ P1 = ( P0 − P 1 )

Cuando la ecuación de Hurst and Van Everdingen se arregla para permitir variaciones de presión queda: We = Cv

n

∑1 ∆p

j

j =

A =

Q ⎡ A ( tn − t j −1 ) ⎤

⎣

⎦

0.00633k 2 φ µ w ce r yto

Si los intervalos de tiempo son igualmente espaciados6: We = Cv

n

∑1 ∆p

j

j =

Q ⎡⎣ A ( n − j + 1) ∆t ⎤⎦

Ahora, puesto que N a = N + W e / D n

Cv N a = N +

∑1 ∆p j =

j

Q ⎡⎣ A ( n − j + 1) ∆t ⎤⎦ D

Esta ecuación tiene tres incógnitas a saber: N , C v y A. Estas dos últimas son las constantes de Hurst and Van Everdingen. Los valores de la entrada de agua adimensional se encuentran tabulados. El parámetro QtD se obtiene de las tablas 6.1 y 6.2.


257

Radiales Infinitos5 t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

0.00 0.01 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

0.000 0.112 0.278 0.404 0.520 0.606 0.689 0.758 0.898 1.020 1.140 1.251 1.359 1.469

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

1.569 2.447 3.202 3.893 4.539 5.153 5.743 6.314 6.869 7.411 7.940 8.437 8.964 9.461 9.949 15.013 15.450 15.883 16.313 16.742 17.167 17.590 18.011 18.429 18.845 19.259 19.671 20.080 20.488 20.894

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

21.298 21.701 22.101 22.500 22.897 23.291 23.684 24.076 24.466 24.855 25.244 25.633 26.020 26.406 26.791 27.174 27.555 27.935 28.314 28.691 29.068 29.443 29.818 30.192 30.565 30.937 31.308 31.679 32.048 32.417 36.418 36.777 37.136 37.494 37.851 38.207 38.563 38.919 39.272 39.626 39.979 40.331 40.684 41.034 41.385

96 97 98 99 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350

41.735 42.084 42.433 42.781 43.129 44.858 46.574 48.277 49.968 51.648 53.317 54.976 56.625 58.265 59.895 61.517 63.131 64.737 66.336 67.928 69.512 71.090 72.661 74.226 75.785 77.338 78.886 80.428 81.965 83.497 100.057 101.540 103.019 104.495 105.968 107.437 108.904 110.367 111.827 113.284 114.738 116.189 117.638 119.083 120.526

355 360 365 370 375 380 385 390 395 400 405 410 415 420 425 430 435 440 445 450 455 460 465 470 475 480 485 490 495 500 590 600 610 620 625 630 640 650 660 670 675 680 690 700 710

121.966 123.403 124.838 126.270 127.699 129.126 130.550 131.972 133.391 134.808 136.223 137.635 139.045 140.453 141.859 143.262 144.664 146.064 147.461 148.856 150.249 151.640 153.029 154.416 155.801 157.184 158.565 159.945 161.322 162.698 187.166 189.852 192.533 195.208 196.544 197.878 200.542 203.201 205.854 208.502 209.825 211.145 213.784 216.417 219.046


258

Tabla 6.1. Continuación5 t D

1,900 1,925 1,950 1,975 2,000 2,025 2,050 2,075 2,100 2,125 2,150 2,175 2,200 2,225 2,250 2,275 2,300 2,325 2,350 2,375 2,400 2,425 2,450 2,475 2,500 2,550 2,600 2,650 2,700 2,750 2,800 2,850 2,900 2,950 3,000 3,050 3,100 3,150

Q tD

510.861 516.695 522.52 528.337 534.145 539.945 545.737 551.522 557.299 563.068 568.83 574.585 580.332 586.072 591.506 597.532 603.252 608.965 614.672 620.372 626.066 631.755 637.437 643.113 648.781 660.093 671.379 682.64 693.877 705.09 716.28 727.449 738.598 749.725 760.833 771.922 782.992 794.042

t D

4,050 4,100 4,150 4,200 4,250 4,300 4,350 4,400 4,450 4,500 4,550 4,600 4,650 4,700 4,750 4,800 4,850 4,900 4,950 5,000 5,100 5,200 5,300 5,400 5,500 5,600 5,700 5,800 5,900 6,000 6,100 6,200 6,300 6,400 6,500 6,600 6,700 6,800

Q tD

990.108 1000.858 1011.595 1022.318 1033.028 1043.724 1054.409 1065.082 1075.743 1086.390 1097.024 1107.646 1118.257 1128.854 1139.439 1150.012 1160.574 1171.125 1181.666 1192.198 1213.222 1234.203 1255.141 1276.037 1296.893 1317.709 1338.486 1359.225 1379.927 1400.593 1421.224 1441.820 1462.383 1482.912 1503.408 1523.872 1544.305 1564.706

t D

8,600 8,700 8,800 8,900 9,000 9,100 9,200 9,300 9,400 9,500 9,600 9,700 9,800 9,900 10,000 12,500 15,000 17,500 20,000 25,000 30,000 35,000 40,000 50,000 60,000 70,000 75,000 80,000 90,000 100,000 125,000 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05 4.00E+05 5.00E+05 6.00E+05

Q tD

1,927.17 1,947.07 1,966.94 1,986.80 2,006.63 2,026.44 2,046.23 2,066.00 2,085.74 2,105.47 2,125.18 2,144.88 2,164.56 2,184.22 2,203.86 2,688.97 3,164.78 3,633.37 4,095.80 5,005.73 5,899.51 6,780.25 7,650.10 9,363.10 11,047.30 12,708.36 13,531.46 14,350.12 15,975.39 17,586.28 21,560.73 2.538E+04 3.308E+04 4.066E+04 4.817E+04 6.267E+04 7.699E+04 9.113E+04

t D

Q tD

7

2.5x10 3.0x107 4.0x107 5.0x107 6.0x107 7.0x107 8.0x107 9.0x107 1.0x108 1.5x108 2.0x108 2.5x108 3.0x108 4.0x108 5.0x108 6.0x108 7.0x108 8.0x108 9.0x108 1.0x109 1.5 x 10E 9 2.0 x 10E 9 2.5 x 10E 9 3.0 x 10E 9 4.0 x 10E 9 5.0 x 10E 9 6.0 x 10E 9 7.0 x 10E 9 8.0 x 10E 9 9.0 x 10E 9 1.00E+10 1.50E+10 2.00E+10 2.50E+10 3.00E+10 4.00E+10 5.00E+10 6.00E+10


2.961x106 3.517x106 4.610x106 5.689x106 6.758x106 7.816x106 8.866x106 9.911x106 1.095x107 1.604x107 2.108x107 2.607x107 3.100x107 4.071x107 5.032x107 5.984x107 6.928x107 7.865x107 8.797x107 9.725x107 1.429E+08 1.880E+08 2.328E+08 2.771E+08 3.645E+08 4.510E+08 5.368E+08 6.220E+08 7.066E+08 7.909E+08 8.747E+08 1.288E+09 1.697E+09 2.103E+09 2.505E+09 3.299E+09 4.087E+09 4.868E+09

259

Tabla 6.1. Continuación5 t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

3,200 3,250 3,300 3,350 3,400 3,450 3,500 3,550 3,600 3,650 3,700 3,750 3,800 3,850 3,900 3,950 4,000

805.075 816.091 827.088 838.067 849.028 859.974 870.903 881.816 892.712 903.594 914.459 925.309 936.144 946.966 957.773 968.566 979.344

6,900 7,000 7,100 7,200 7,300 7,400 7,500 7,600 7,700 7,800 7,900 8,000 8,100 8,200 8,300 8,400 8,500

1585.077 1605.418 1625.729 1646.011 1666.265 1686.490 1706.688 1726.859 1747.002 1767.120 1787.212 1807.278 1827.319 1847.336 1867.329 1887.298 1907.243

7.00E+05 8.00E+05 9.00E+05 1.00E+06 1.50E+06 2.00E+06 2.50E+06 3.00E+06 4.00E+06 5.00E+06 6.00E+06 7.00E+06 8.00E+06 9.00E+06 1.00E+07 1.50E+07 2.00E+07




1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

Evalúe j A ∆t. Siendo j un entero sucesivo. Evalúe Q[( j)( A)(∆t )] para cada j A ∆t Evalúe ∆ P j para cada cambio de presión Evalúe ∆ P j Q[( j)( A)(∆t )] Divida el valor obtenido en el paso 7 por D Calcule N a o Ga Grafique N a vs. El resultado del paso 8. Ver esquema en Fig. 6.7. Si el valor de A asumido fue correcto entonces se obtendrá una línea recta. En caso contrario, estime un nuevo valor de A y repita los pasos 3 a 10. Cuando se obtenga una línea cercanamente recta entonces A es cercanamente correcta. N es el intercepto y C v es la pendiente. Como se muestra en la Fig. 6.7.

6.3. MÉTODO DE FETKOVICH PARA ACUÍFEROS FINITOS Los resultados de este modelo se aproximan bastante a los del método de Hurst y Van Everdingen para acuíferos finitos. Sin embargo, la teoría de Fetkovich es más simple y su aplicación más fácil. Se utiliza un procedimiento de ensayo y error para evaluar las constantes de intrusión de agua con datos de producción. El índice de productividad es adecuado para describir la intrusión de agua desde un acuífero finito a un yacimiento de hidrocarburos; la rata de intrusión de agua es directamente proporcional a la caída de presión entre la presión promedia del acuífero y la presión en el contacto agua-aceite1,3,6.


260

Tabla 6.2. Funciones QtD a presión constante de Hurst y van Everdingen para Yacimientos Radiales Finitos5 r r r r =1.5 =2 =2.5 =3 D D D D t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

5.0E -2 6.0E -2 7.0E -2 8.0E -2 9.0E -2 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.45 0.5 0.6 0.7 0.8

0.276 0.304 0.33 0.54 0.375 0.395 0.414 0.431 0.446 0.461 0.474 0.486 0.497 0.507 0.517 0.525 0.533 0.541 0.548 0.554 0.559 0.569 0.574 0.582 0.588 0.594 0.599 0.603 0.606 0.613 0.617 0.621 0.623 0.624 .

5E-2 7.5E-2 1E-1 1.25E-1 1.5E-1 1.75E-1 2E-1 2.25E-1 2.5E-1 2.75E-1 3E-1 3.25E-1 3.50E-01 3.75E-1 4E-1 0.425 0.45 0.475 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 2 2.5 3 4 5

0.278 0.345 0.404 0.458 0.507 0.553 0.597 0.638 0.678 0.715 0.751 0.785 0.817 0.848 0.877 0.905 0.932 0.958 0.983 1.028 1.07 1.108 1.143 1.174 1.203 1.253 1.295 1.33 1.358 1.382 1.402 1.432 1.444 1.453 1.468 1.487 1.495 1.499 1.5

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.4 3.8 4.2 4.6 5 6 7 8 9 10

0.408 0.509 0.599 0.681 0.758 0.829 0.897 0.962 1.024 1.083 1.14 1.195 1.248 1.299 1.348 1.395 1.44 1.484 1.526 1.605 1.679 1.747 1.811 1.87 1.924 1.975 2.022 2.106 2.178 2.241 2.294 2.34 2.38 2.444 2.491 2.525 2.551 2.57 2.599 2.613 2.619 2.622 2.624

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 24

0.755 0.895 1.023 1.143 1.256 1.363 1.465 1.563 1.791 1.997 2.184 2.353 2.507 2.646 2.772 2.886 2.99 3.084 3.17 3.247 3.317 3.381 3.439 3.491 3.581 3.656 3.717 3.767 3.809 3.843 3.894 3.928 3.951 3.967 3.985 3.993 3.997 3.999 3.999 4


261

Tabla 6.2. Continuación5 r =3.5 D

r =4 D

r =4.5 D

r =5 D

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 25 30 35 40

1.571 1.761 1.94 2.111 2.273 2.427 2.574 2.715 2.849 2.976 3.098 3.242 3.379 3.507 3.628 3.742 3.85 3.951 4.047 4.222 4.378 4.516 4.639 4.749 4.846 4.932 5.009 5.078 5.138 5.241 5.321 5.385 5.435 5.476 5.506 5.531 5.551 5.579 5.611 5.621 5.624 5.625

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 22 24 26 30 34 38 42 46 50

2.442 2.598 2.748 2.893 3.034 3.17 3.334 3.493 3.645 3.792 3.932 4.068 4.198 4.323 4.56 4.779 4.982 5.169 5.343 5.504 5.653 5.79 5.917 6.035 6.246 6.425 6.58 6.712 6.825 6.922 7.004 7.076 7.189 7.272 7.332 7.377 7.434 7.464 7.481 7.49 7.494 7.497

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11.00 12.00 13.00 14.00 15.00 16.00 18.00 20.00 22.00 24 26 28 30 34 38 42 46 50 60 70 80 90 100

2.835 3.196 3.537 3.859 4.165 4.454 4.727 4.986 5.231 5.464 5.684 5.892 6.089 6.276 6.453 6.621 6.93 7.208 7.457 7.68 7.88 8.06 8.335 8.611 8.809 8.968 9.097 9.2 9.283 9.404 9.481 9.532 9.565 9.586 9.612 9.621 9.623 9.624 9.625

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 11 12 13 14 15 16 18 20 22 24 26 28 30 34 38 42 46 50 60 70 80 90 100 120

3.195 3.542 3.875 4.193 4.499 4.792 5.074 5.345 5.605 5.854 6.094 6.325 6.547 6.76 6.965 7.35 7.706 8.035 8.339 8.62 8.879 9.338 9.731 10.07 10.35 10.59 10.8 10.98 11.26 11.46 11.61 11.71 11.79 11.91 11.96 11.98 11.99 12 12


262

Tabla 6.2. Continuación5 r =6 D

r =7 D

r =8 D

r =9 D

r =10 D

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

t D

Q tD

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 25 31 35 39 51 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 180 200 220

5.148 5.44 5.724 6.002 6.273 6.537 6.975 7.047 7.293 7.533 7.767 8.22 8.651 9.063 9.456 9.829 10.19 10.53 10.85 11.16 11.74 12.26 12.5 13.74 14.4 14.93 16.05 16.56 16.91 17.14 17.27 17.36 17.41 17.45 17.46 17.48 17.49 17.49 17.5 17.5 17.5

9 9.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 500

6.861 7.127 7.389 7.902 8.397 8.876 9.341 9.791 10.23 10.65 11.06 11.46 11.85 12.58 13.27 13.92 14.53 15.11 16.39 17.49 18.43 19.24 20.51 21.43 22.13 22.63 23 23.47 23.71 23.85 23.92 23.96 24

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 34 38 40 45 50 55 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 240 280 320 360 400 500

6.861 7.398 7.92 8.431 8.93 9.418 9.895 10.361 10.82 11.26 11.7 12.13 12.95 13.74 14.5 15.23 15.92 17.22 18.41 18.97 20.26 21.42 22.46 23.4 24.98 26.26 27.28 28.11 29.31 30.08 30.58 30.91 31.12 31.34 31.43 31.47 31.49 31.5 31.5

10 15 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 140 160 180 200 240 280 320 360 400 440

7.417 9.945 12.26 13.13 13.98 14.79 15.59 16.35 17.1 17.82 18.52 19.19 19.85 20.48 21 21.69 22.26 22.82 23.36 23.89 24.39 24.88 25.36 26.48 27.52 28.48 29.36 30.18 30.93 31.63 32.27 34.39 35.92 37.04 37.85 38.44 39.17 39.56 39.77 39.88 39.94 39.97

15 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 65 70 75 80 85 90 95 100 120 140 160 180 200 240 280 320 360 400 440 480

9.965 12.32 13.22 14.09 14.95 15.78 16.59 17.38 18.16 18.91 19.65 20.37 21.07 21.76 22.42 23.07 23.71 24.33 24.94 25.53 26.11 26.67 28.02 29.29 30.49 31.61 32.67 33.66 34.6 35.48 38.51 40.89 42.75 44.21 45.36 46.95 47.94 48.51 48.91 49.11 49.28 49.36


263

A

N a

muy pequeña

m = Cv A

n

∆ P j A ⎡⎣tn − t j −1 ⎤⎦

j =

D

∑1

muy grande

Fig. 6.7. Determinación de A6

qw = J ( Pa − Pf ) =

∂W e ∂t

(6.1)

donde: qw, BPD J , BPD/psi P a , psia P f , psia W e, bbl t , días

Rata de intrusión de agua Índice de productividad del acuífero Presión promedia del acuífero Presión en el contacto agua-aceite Volumen acumulado de intrusión de agua Tiempo

Usando consideraciones de compresibilidad, la intrusión acumulada de agua es proporcional a la caída de presión total en el acuífero6: We = Va ce ( Pi − Pa ) V a, BPD ce, 1/psi P i, psia

Volumen inicial de agua en el acuífero Compresibilidad efectiva del acuífero, cw+c f Presión inicial del acuífero

Derivando la Ec. 6.2 y combinando el resultado con la Ec. 6.1, resulta: Fundamentos de Ingeniería de Yacimientos - Freddy H. Escobar, Ph.D.

(6.2)

264

−Va ce

∂ P a = J ( Pa − Pf ) ∂t

Si se asume que P f permanece constante a lo largo del intervalo de interés, separando variables e integrando, se tiene: Pa = Pf + ( Pi − Pf )e

⎛ Jt ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

(6.3)

donde P a = P i a t = 0. Despejando P a de la Ec. 6.1 y sustituyendo el resultado en la Ec. 6.3: P f +

1 ∂W e J ∂t

= Pf + ( Pi − Pf )e

⎛ Jt ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

Separando variables e integrando: ⎛ Jt ⎞ ⎡ −⎜ ⎟⎤ V c ⎠ ⎝ ⎥ We = ( Pi − Pf )Va ce ⎢1 − e ⎢⎣ ⎥⎦ a e

Como se asumió P f constante sobre el periodo de interés, el principio de superposición debe usarse para manejar cambios de presión en el contacto agua-petróleo. Una forma incremental de la ecuación anterior puede usarse sin superposición. Esta modificación es: ⎛ J ∆t ⎞ ⎡ −⎜ ⎟⎤ ⎝V c ⎠⎥ ⎢ = ( Pa , n−1 − Pf ,n )Va ce 1 − e ⎢⎣ ⎥⎦ n

∆We,n

a e

(6.4)

donde: ∆W e,n, bbl P a ,n −1 , psia P f ,n , psia

∆t , días

Intrusión de agua incremental al paso de tiempo n (t n-t n-1) Presión promedia del acuífero al final del paso de tiempo n-1 el cual también es el arranque del paso de tiempo n Presión promedia del contacto agua-aceite durante el paso de tiempo n P f ,n = ( Pf , n −1 + P f , n ) / 2 Tamaño del paso de tiempo (n)

Si ∆t n =∆t para todos los pasos de tiempo, entonces la expresión:


265 ⎛ J ∆t ⎡ −⎜ V c Va ce ⎢1 − e ⎝ ⎢ ⎣

n

a e

⎞ ⎟ ⎠

⎛ J ∆t ⎞ ⎤ ⎡ −⎜ ⎟⎤ ⎥ = Va ce ⎢1 − e ⎝ V c ⎠ ⎥ = cte ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ a e

Entonces la Ec. 6.4 se transforma en: ∆We,n = A( Pa , n−1 − Pf ,n )

(6.5)

siendo A: ⎛ J ∆t ⎞ ⎡ −⎜ ⎟⎤ ⎝V c ⎠⎥ ⎢ A = Va ce 1 − e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ a e

La Ec. 6.2 puede rescribirse como: ⎡ n −1 ⎤ ⎢ ∑ ∆W e, j ⎥ j =1 ⎥ Pa ,n −1 = P i ⎢1 − Va ce P i ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(6.6)

La presión promedia en el contacto agua-petróleo durante el paso de tiempo n es: P f ,n = ( Pf , n −1 + P f , n ) / 2

La Ec. 6.5 proporciona la presión promedia del acuífero al final del paso de tiempo n-1. Escribiendo una ecuación similar para la presión promedia del acuífero al final del paso de tiempo n: n ⎡ ⎤ W ∆ ⎢ ∑ e, j ⎥ j =1 ⎥ Pa ,n = P i ⎢1 − Va ce P i ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(6.7)

Sustituyendo la Ec. 6.5 en 6.7, se tiene: Pa ,n = Pi −

Pa , n = Pi −

1 Va ce

1 Va ce

n

∑1 ∆W ,

e j

j =

n

∑1 A( P ,

a j −1

− P f , j )

j =

Tabla 6.3. Índices de productividad para acuíferos radiales y lineales1 Fundamentos de Ingeniería de Yacimientos - Freddy H. Escobar, Ph.D.

266

Tipo de acuífero Finito – no flujo

Flujo radial 0.00708kh ⎛⎜

θ ⎞

360 ⎟⎠ ⎝ J = µ ⎡⎣ ln(rac / r yto ) − 0.75⎤⎦

Finito – Presión constante

0.00708kh ⎛⎜ J =

θ ⎞

⎟ ⎝ 360 ⎠

Flujo lineal 0.003381kwh

J =

J =

µ L

0.001127kwh µ L

µ ln( rac / r yto )

k en md, L = longitud del acuífero lineal n ⎛ n ⎞ Pa ,n = Pi − B ⎜ ∑ Pa , j −1 − ∑ P f , j ⎟ j =1 ⎝ j =1 ⎠

donde: B =

A Va ce

B = 1 − e

⎛ J ∆t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

Rescribiendo la Ec. 6.2 al nivel de tiempo n, se tiene: We ,n = Va ce ( Pi − Pa ,n )

Luego, la intrusión de agua incremental se puede hallar de: ∆We,n = We ,n − W e,n −1

Los índices de productividad se pueden estimar con las ecuaciones de la tabla 6.3. Como puede apreciarse en la tabla 6.3, el índice de productividad requiere condiciones de estado pseudoestable. Luego, este método ignora los efectos del periodo transitorio en los cálculos de intrusión de agua lo que obviamente introduce errores en los cálculos. Sin embargo, como se hace por pasos, el método da resultados cercanos al de Hurst y van Everdingen.

EJEMPLO Verifique los resultados del método de Fetkovich con el de Van Everdingen and Hurst para un acuífero finito6. Dados los siguientes datos (ver además tabla 6.4): Tabla 6.4. Datos de presión en el contacto agua-petróleo6


267

t , años

P , psia

t , años

P , psia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3000 2923 2880 2848 2821 2800 2780 2762 2744 2730 2713

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2698 2680 2665 2650 2633 2620 2607 2593 2580 2568

k ac = 500 md h = 20 ft

φ ac = 20 % µ w = 0.8 cp

ce = 7x10-6 1/psi r yto = 5000 ft

r ac = 40000 ft

La constante de intrusión de agua de Hurst y Van Everdingen es: 2 Cv = 1.119 α h φ ce ryto (1)20)(0.2)(7× 10−6 )(50002 ) = 783.3 = 1.119

A =

0.00633k 2

φ µ w ce r yto

=

0.00633(500) = 0.113 dias −1 −6 2 (0.2)(0.8)(7 × 10 )(5000 )

Como la presión se da en términos anuales, el paso de nivel de tiempo es 365 días, luego: ( A)(∆t ) = (0.113)(365) = 41.2 Para este yacimiento V ace es: Va ce =

2 π ( rac2 − ryto )hφ ce

5.615

=

π (400002 − 50002 )(20)(0.2)(7× 10−6 )

5.615

= 24673.95 bbl

Usando estos valores, se determina la intrusión de agua por el método de Hurst y van Everdingen. Ver Tabla 6.5. Por medio del método de Fetkovich, el parámetro “ B” se calcula mediante ensayo y error usando el siguiente procedimiento: 1. Asuma un valor de B entre 0 y 1 2. Para cada nivel de tiempo calcule la sumatoria: Tabla 6.5. Volumen de agua intruida obtenida por el método de Hurst y van Everdingen


268 t , años

P , psia

W e, Mbbl

t , años

P , psia

W e, Mbbl

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3000 2923 2880 2848 2821 2800 2780 2762 2744 2730 2713

0.0 581.4 1705.2 2699.9 3532.3 4219.7 4798.0 5310.6 5782.1 6207.9 6608.2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2698 2680 2665 2650 2633 2620 2607 2593 2580 2568

7005.3 7408.6 7814.1 8197.9 8588.7 8966.8 9309.9 9647.3 9982.2 10301.0

1 n P f , j = ∑ ( Pf , j −1 + P f , j ) ∑ 2 j =1 j =1 n

donde P f ,0 = P i 3. Para cada tiempo calcule: n

∑1 P ,

a j −1

j =

De la Ec. 6.3: Pa , j −1 = Pf , j −1 + ( Pi − Pf , j −1 ) e

⎛ Jt ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

Para el primer valor. Los demás valores se obtienen consecutivamente. Ver ejemplo. Note que J y V ace pueden ser calculados. Esta sumatoria se evalúa si existen valores previos de tiempo. Para n = 1, Pa ,0 = P i 4. Para cada tiempo calcule P a ,n ⎛

Pa ,n = Pi − B ⎜

n

∑1

⎝ j =

Pa , j −1 −

n

∑1 P ,

f j

j=

⎞ ⎟ ⎠

5. Calcule V ace (Va ce )n =

(W e ) H &VE

Pi − P a , n


269

6. Determine el valor promedio de (V ace)n. Este valor variará debido a (1) incertidumbre en la teoría, y (2) inexactitudes en los datos de campo. Por lo tanto, las diferencias en este valor se deben primariamente a que la teoría no es confiable. Con valores correcto de B las desviaciones son mínimas. Los cálculos se realizan de la siguiente manera. Para el nivel de tiempo número 1 estima P a,n de la siguiente ecuación: Pa ,n = Pf ,n + ( Pi − Pf , n ) e

⎛ Jt ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

⎛ J ∆t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ Va ce ⎠

= Pf , n + ( Pi − Pf , n ) e

P a , n = 2961.5 + (3000 − 2961.5)(1− 0.6075) = 2976.6

Tabla 6.6. Desviaciones de B6 B Asumido

0.5900 0.5925 0.5950 0.5975 0.6000 0.6025 0.6050 0.6075 0.6100 0.6150

Desv (B ) 0.00600 0.00521 0.00443 0.00365 0.00289 0.00219 0.00156 0.00110 0.00124 0.00163

Acumule el valor de P a , j −1 , para el primer caso será 2976.5 + 3000 = 5976.6 y obtenga P a,n de la siguiente expresión: ⎛

Pa ,n = Pi − B ⎜

n

∑1

⎝ j =

Pa , j −1 −

n

∑1 P ,

f j

j=

⎞ ⎟ = 3000 − 0.6075(5976.6 − 5863) = 2930.988 ≈ 2931 psi ⎠

El valor de 5863 es el acumulado de la presión promedia P f , j . Para el nivel de tiempo 3, se tiene acumulado el valor anterior (2931) con el acumulado al nivel 2 (5976,6) para dar 8907.6 psi. Estime P a,n usando la siguiente ecuación:

Tabla 6.7. Resultados6 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)


(10)

(11)

270 n

P f ,n

P f ,n

n

∑1 P ,

2961.5 5863.0 8727.0 11561.5 14372.0 17162.0 19933.0 22686.0 25423.0 28144.5 30850.0 33539.0 36211.5 38869.0 41510.5 44137.0 46750.5 49350.5 51937.0 54511.0

3000 5976.6 8907.6 11797.9 14654.3 17482.8 20287.9 23072.3 25837.6 28585.7 31317.7 34033.6 36733.1 39416.2 42083.8 44735.5 47371.9 49994.4 52603.2 55198.5

j =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3000 2923 2880 2848 2821 2800 2780 2762 2744 2730 2713 2698 2680 2665 2650 2633 2620 2607 2593 2580 2568

2961.5 2901.5 2864.0 2834.5 2810.5 2790.0 2771.0 2753.0 2737.0 2721.5 2705.5 2689.0 2672.5 2657.5 2641.5 2626.5 2613.5 2600.0 2586.5 2574.0

n

∑1 P ,

f n

j =

(5)-(4)

B*(6)

P a , n

38.5 113.6 180.6 236.4 282.3 320.8 354.9 386.3 414.6 441.2 467.7 494.6 521.6 547.2 573.3 598.5 621.4 643.9 666.2 687.5

23.4 69.0 109.7 143.6 171.5 194.9 215.6 234.7 251.9 268.0 284.1 300.5 316.9 332.4 348.3 363.6 377.5 391.2 404.7 417.7

2976.6 2931.0 2890.3 2856.4 2828.5 2805.1 2784.4 2765.3 2748.1 2732.0 2715.9 2699.5 2683.1 2667.6 2651.7 2636.4 2622.5 2608.8 2595.3 2582.3

a j −1

W e(H&VE)

0.0 581.4 1705.2 2699.9 3532.3 4219.7 4798.0 5310.6 5782.1 6207.9 6608.2 7005.3 7408.6 7814.1 8197.9 8588.7 8966.8 9309.9 9647.3 9982.2 10301.0

(V ace)n

W e(fetk)

24.8581 24.7087 24.6084 24.596 24.6051 24.6195 24.6315 24.6385 24.6473 24.6548 24.6555 24.6567 24.6601 24.661 24.6603 24.6619 24.662 24.6627 24.6647 24.6638 24.6588

576.739 1701.75 2705.43 3541.32 4228.92 4805.65 5316.48 5786.86 6210.8 6609.27 7006.25 7409.22 7813.68 8197.18 8588.16 8965.66 9308.71 9645.76 9979.82 10298.9

n ⎛ n ⎞ Pa , n = Pi − B ⎜ ∑ Pa , j −1 − ∑ Pf , j ⎟ = 3000 − 0.6075(8907.6 − 8727) = 2890.25 psi j =1 ⎝ j =1 ⎠

Para el nivel 4, el nuevo acumulado es 8907.6+2890.25 = 11979.9 psi. El nuevo valor de P a,n es: ⎛

Pa ,n = Pi − B ⎜

n

∑1

⎝ j =

Pa , j −1 −

n

∑1 P ,

f j

j=

⎞ ⎟ = 3000 − 0.6075(11797.9 − 11561.5) = 2856.4 psi ⎠

Los demás resultados se presentan en la tabla 6.7. 7. Como una medida de variación entre los dos métodos, utilice la siguiente función de desviación (Esta función depende del valor asumido de B): Desv( B) =

⎧⎪ ⎡ (W e ) Fetk ⎤ ⎫⎪ − abs 1 ∑ ⎨⎪ ⎢ (W ) ⎥ ⎬⎪ n j =1 ⎩ e H &VE ⎦ ⎭ j ⎣

1

n

8. Repita el procedimiento para diferentes valores de B hasta minimizar la desviación. La tabla 6.6 presenta los resultados de las diferentes desviaciones. Allí se observa que el mejor B es 0.6075. La tabla 6.7 resume todos los cálculos. Algunas de las ecuaciones anteriores son presentadas por otros autores1 en forma diferente, éstas se presentan a continuación:


271

⎛ P i ⎞ ⎟ We + P i W ⎝ ei ⎠

P = − ⎜

Siendo P la presión promedia del acuífero después de haber extraído W e barriles de agua, P i es la presión inicial del acuífero y W ei es la cantidad de agua in-situ inicial o potencialmente intruible a la presión inicial. m qw Bw = J ( P − PR ) a

Siendo ma el coeficiente de flujo turbulento que se considera uno durantes estado pseudoestable y P R es la presión en el contacto agua-aceite. La combinación de las ecuaciones anteriores proporciona: JPt − ⎛ ⎞ We = ( Pi − PR ) ⎜1 − e W ⎟ ⎜ ⎟ P i ⎝ ⎠ i

W ei

ei

donde:

W ei =

⎛ θ ⎞ 2 π ( rac2 − ryto )hφ Pi ⎟ 360 ⎝ ⎠

ct ⎜

5.615

Las ecuaciones restantes del método son: ∆We,n

JP ∆t − ⎛ ( Pn−1 − PR ,n ) ⎜1 − e W = ⎜ P i ⎝ i

W ei

⎛

W e ⎞

⎝

W ei ⎠

Pn−1 = P i ⎜ 1 −

n

ei

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎟

P R ,n = ( PR ,n −1 + P R ,n ) / 2

EJEMPLO1 Calcule la intrusión de agua al tercer y cuarto año de producción para un yacimiento que fallado (θ = 180), φ = 20.9 %, k = 275 md (para acuífero y yacimiento), µ = 0.25 cp, ct = 6x10-6 /psi, h = 19.2 ft, A yto = 1216 ac, Aac = 250000 ac.

SOLUCIÓN


272

Puesto que el yacimiento es fallado se asume la mitad de la circunferencia para hallar el área: r yto =

1216(43560) = 5807 ft 0.5π

r yto =

250000(43560) = 83263 ft 0.5π

El índice de productividad se halla de: 180 ⎞ 0.00708(275)(19.2)⎛⎜ ⎟ 360 ⎠ 360 ⎟⎠ ⎝ ⎝ J = = = 39.08 µ ⎡⎣ln(rac / r yto ) − 0.75⎤⎦ 0.25 [ ln(83263/ 5807) − 0.75] 0.00708kh ⎛⎜

W ei =

θ ⎞

⎛ θ ⎞ 2 π ( rac2 − ryto )hφ Pi ⎟ ⎝ 360 ⎠

ct ⎜

5.615 180 ⎞ 6 ×10−6 ⎜⎛ π (832632 − 58072 )(19.2)(0.209)3793 ⎟ ⎝ 360 ⎠ = 176.3 MMbbl Wei = 5.615 ∆We,n

JP ∆t − ⎛ ( Pn−1 − PR ,n ) ⎜1 − e W = ⎜ P i ⎝ i

W ei

n

ei

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(39.08)(3793)(91.3) − ⎛ ⎞ 176.3 MM ( Pn −1 − PR,n ) ⎜1 − e 176.3 MM ⎟ = 3435( Pn −1 − PR ,n ) ∆We,n = 3793 ⎝ ⎠

⎛

Pn−1 = P i ⎜ 1 −

⎝

⎛ ∆W e ⎞ ∑ 3793 1 = − ⎜ ⎟ ⎜ 176.3MM ⎟⎟ Wei ⎠ ⎝ ⎠ W e ⎞

(A)

(B)

Resolviendo las Ecs. (A) y (B), se obtienen los resultados dados en la tabla 8. El procedimiento se resume de la siguiente forma para el nivel 1: 1) Se tiene que Pn−1 = 3000 psi , que corresponde al nivel cero. 2) Estime la diferencia entre Pn −1 − P R ,n =3793-3790.5 = 2.5 (columna 5). Estime ∆W e con la Ec. A. ∆We,n = 3435( Pn −1 − PR, n ) = 3435(3793 − 3790.5) = 8587.5 ≅ 8600 bbl


273

El acumulado de la intrusión de agua es el mismo valor calculado puesto que el anterior es cero. Determine P n usando la Ec. B. ⎛ ⎜ ⎝

Pn = 3793 ⎜ 1 −

∑ ∆W

⎞ 8600 ⎞ ⎛ ⎟⎟ = 3793⎜ 1 − ⎟ = 3792.82 psi 176.3 MM ⎠ ⎝ 176.3MM ⎠ e

Para el nivel de tiempo 2, estime la diferencia Pn −1 − P R ,n =3792.8-3781=11.8 (columna 5). ). Estime ∆W e con la Ec. A. ∆We,n = 3435( Pn −1 − PR, n ) = 3435(3792.8 − 3781) = 40533 ≅ 40500 bbl

El acumulado de agua sería el anterior más el calculado en este intervalo, o sea: Tabla 6.8. Resultados ejemplo

Nivel 0 1 2 3 4 5 6

t, días

P , R

0 91.3 182.6 273.9 365.2 456.5 547.8

psia 3793 3788 3774 3748 3709 3680 3643

P Rn ,

Pn−1 − P Rn ,

psia 3793 3790.5 3781 3761 3728.5 3694.5 3661.5

psia 0.00 2.50 11.79 30.89 61.14 90.60 116.91

W e,

bbl 0 8600 40500 106100 210000 311200 401600

W e,

Mbbl 0 8.6 49.1 155.2 365.23 676.5 1078.1

W e = 8600 + 40500 = 49100 bbl

Determine P n usando la Ec. B. ⎛ ⎜ ⎝

Pn = 3793 ⎜ 1 −

∑ ∆W

⎞ 49100 ⎞ ⎛ ⎟⎟ = 3793⎜ 1 − ⎟ = 3791.94 psi 176.3 MM ⎠ ⎝ 176.3MM ⎠ e

Los demás resultados se presentan en la tabla 6.8.

REFERENCIAS Fundamentos de Ingeniería de Yacimientos - Freddy H. Escobar, Ph.D.

P n , psia

3793 3792.8 3791.9 3789.7 3785.1 3778.4 3769.8

274

1. Craft, B.C. and M.F., Hawkins. “ Applied Reservoir Engineering ”. Prentice-Hall International. New Jersey, 1991. 2. Dake, L.P. “ Fundamental of Reservoir Engineering ”. Elsevier Scientific Publishing Co. 1978. 3. Fetkovich, M.J. “ A Simplified Approach to Water Influx Calculations – Finite Aquifer Systems”. JPT (July 1971). P. 814/828. 4. Pirson, S. “ Ingeniería de Yacimientos Petrolíferos”. Ediciones Omega. Barcelona. 1965. 5. Slider, H.C. “Worldwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods”. PennWell Books. Tulsa, Ok. 1983. 6. Smith, C.R., and Tracy, G.W. “ Applied Reservoir Engineering ”. Oil & Gas Consultants, Inc. Tulsa, Ok. 1987. 7. Towler, B.F. “ Fundamental Principles of Reservoir Engineering ”. SPE Textbook Series Vol. 8. Richardson, TX., 2001.


Intrusion de Agua - Escobar

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