Integrales de Mohr
FACULTAD DE INGENIERÍA Temas Selectos de Estructuras
Integrales de Mohr
Temas Selectos de Estructuras
INDICE
1.
Principio del trabajo virtual ........................................................................................................ 1
2.
Integrales de Mohr ..................................................................................................................... 5
Tabla de Integrales de Mohr (Producto de Diagramas) .................................................................... 8 3.
Deflexiones y rotaciones en marcos por el método del trabajo virtual ................................. 10
4.
Resolución de marcos por el método de Mohr. ...................................................................... 19
Bibliografía ........................................................................................................................................ 22
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1. Principio del trabajo virtual Este método puede utilizarse para resolver deflexiones en vigas y marcos las cuales son causadas principalmente por las deformaciones debidas a la deflexión. El principio dice que el trabajo virtual externo y el trabajo virtual interno son iguales. Siendo el trabajo externo realizado por fuerzas o momentos externos y el interno el realizado por esfuerzos o tensiones:
1 ∗ ∆= ∗
(ec. 1. 1 )
Ahora bien, para obtener el desplazamiento ∆ en el punto P de de una viga o marco, se determina el momento virtual interno m y el momento interno M. La sumatoria de estos efectos a lo largo de la viga requiere una integración, por lo que la ec 1.1 se convierte en:
1 ∗ ∆=
(ec. 1. 2 )
donde carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o el marco en la dirección de ∆. momento virtual interno en la viga o el marco, expresado como una función m.- de x y que es causado por la carga unitaria virtual externa. .desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales que actúan sobre la viga o el marco. momento interno en la viga o el marco, expresado como una función de x y M .que es causado por las cargas reales. módulo de elasticidad del material. E .momento de inercia del área transversal, calculado con respecto al eje .- neutro. Así mismo, si debe determinarse la rotación de la tangente o el ángulo de la pendiente en un punto P de de la curva elástica del elemento , se aplica primero un momento de par unitario en el punto, y se determinan los momentos internos correspondientes . Como el trabajo del par unitario es , entonces: 1.-
∆
1∗ 1 ∗ =
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
(ec. 1. 3 )
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A continuación se presenta un ejemplo en donde se aplica lo descrito.
Ejemplo 1.1a
Determinar la pendiente en el punto B de la viga mostrada en la figura 1.1. 3 KN
A
C
B
5m
5m Figura 1. 1
Solución
Se pide calcular la pendiente en B de una viga en voladizo con una carga puntual en el punto C , para poder obtener las ecuaciones de momento flexionante en la viga se recurre al método de las secciones o también llamado método de cortes, el cual consiste en seccionar o dar un corte en la estructura para generar la ecuación deseada. Se realizan los l os seccionamientos y se dibujan los diagramas de cuerpo libre.
1
2
1’
2’ Figura 1. 2
Calculo de Momentos reales
3 KN
3 KN
Figura 1. 3
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
C
B
C
5m
Figura 1. 4
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Calculo de
en la Figura 1.3
Calculo de
∑ = 0 ; 3 = 0 = 3
en la Figura 1.4
∑ = 0; 35 + = 0 = 35 +
Se dibuja el diagrama de momentos flexionantes para ver con claridad c laridad los cambios en la función respecto a las ecuaciones obtenidas. 30
Para
Para
0 ≤ ≤ 5 = 3 0 ≤ ≤ 5 = 35 +
15
A
C
B
Figura 1. 5 : Diagrama de momentos flexionantes
. La pendiente en en el punto B se determina al colocar un momento de par unitario virtual de 1 kN*m en B, figura 1.6. Aquí deben seleccionarse dos coordenadas x con con el fin de determinar la energía de deformación virtual total en la viga. La coordenada toma en cuenta la energía de deformación dentro del segmento AD y la coordenada incluye la del segmento BC . Los momentos internos dentro de cada uno de estos segmentos se calculan usando el método de las secciones como se muestra en las figuras 1.7 y 1.8. Calculo del Momento virtual
1 kN *m A
C
B
Figura 1. 6 : Momento virtual en la viga para encontrar la pendiente en B
1 kN *m B
Figura 1. 7
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
5m
Figura 1. 8
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∑ = 0 ; = 0 0 ≤ ≤ 5 = 0 0 ≤ ≤ 5 = 1 Calculo de
en la Figura 1.7
Calculo de
∑ = 0; = 1
en la Figura 1.8
Para
1
Para
A
C
B
Figura 1. 9 : Diagrama de momento virtual interno.
Ecuación del trabajo virtual
Entonces, haciendo uso de la ec 1.3, la pendiente en B resulta como:
1 ∗ =
(ec. 1. 4 )
Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.
Tramo CB
Tramo BA
30 = = 0
35+ 1 = 1 1 3 = 15+3 = 15 + 2 5 1 1 3 35 = 15 + 2 0 == 15 155 + 2 = 75+37.5 = .. 1 . . = 112.5 =
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2. Integrales de Mohr En el ejemplo 1.1a se pudo observar que aun cuando la estructura está sometida a una carga relativamente simple, la solución para un desplazamiento por el método virtual requiere varias integraciones de las funciones de momento flexionantes y . Para simplificar el procedimiento de integración i ntegración podemos recurrir a un método general de cálculo para los desplazamientos. Este método fue propuesto por el destacado científico alemán Otto Mohr, la magnífica formula de Mohr ( integral de Mohr ) que permite determinar el desplazamiento en cualquier punto de un sistema linealmente deformable.
(ec. 1. 5 )
En esta fórmula, el producto que figura dentro de la integral es positivo si los dos momentos flectores tienen el mismo signo. Anotando por ∆ cualquier desplazamiento (lineal o angular) escribamos la formula ( integral ) de Mohr en la forma siguiente.
∆=
(ec. 1. 6 )
En el caso general, la expresión analítica de y puede ser distinta en los distintos tramos de la viga o, en general, del sistema elástico. Por ello, en lugar de la ecuación 1.6 se debe emplear otra
∆=
(ec. 1. 7 )
A diferencia de lo presentado anteriormente, Mohr descubrió que en lugar de calcular directamente las integrales, se podría recurrir a un método grafico-analítico, denominado “método de multiplicación de los gráficos”. Este método se reduce a la representación en unas tablas que permiten obtener aún más directamente, el resultado de la integración a partir de los diagramas de momentos que se presentan con más frecuencia en la práctica. Estas tablas se le conocen con el nombre de tabla de integrales de Mohr en en los cuales una vez determinados los diagramas de momentos y , y seleccionado el tramo en el que se va a plantear la ecuación del producto de las dos funciones, se entra a una columna de esta tabla que corresponda al diagrama de M y a una fila que corresponda al diagrama de m o viceversa.
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La intersección de la columna y el renglón seleccionados proporciona el resultado de la la integración del producto, o sea, de
∫
, donde
se efectúa la integración, como se ve en la tabla.
es la longitud del tramo en que
Como el valor de EI que aparece en las ecuaciones suele ser constante, el uso de la tabla de integrales de Mohr simplifica simplifica el uso del método del trabajo virtual .
Algunas recomendacion recomendaciones.es.-
Al aplicar la tabla debe tenerse cuidado en que los diagramas de momentos correspondan realmente a los de la tabla, por ejemplo: Los diagramas producidos por cargas distribuidas deben ser parábolas de segundo grado; si las cargas no están distribuidas uniformemente las parábolas correspondientes no son de segundo grado y ya no puede aplicarse la tabla mostrada. También debe observarse que las ordenadas de las parábolas corresponden al vértice de la parábola; si el diagrama de momentos no corresponde a una parábola completa o a una media parábola, la ordenada no será la del vértice y la tabla tampoco podrá aplicarse directamente.
L
L Figura 2. 1
Cuando se seleccionen triángulos en un renglón y en una columna, deberá observarse si los vértices están en el mismo extremo o en extremos opuestos del tramo. En el caso de trapecios, los subíndices 1 corresponden siempre al extremo izquierdo y los subíndices 2, al extremo derecho. En general, los diagramas de momentos pueden subdividirse para que caigan en alguno de los casos incluidos en la tabla, pero en ocasiones esto complica tanto el procedimiento que resulta preferible hacer la integración, que como se vio en el ejemplo anterior, suelen ser del tipo .
∫
A continuación y como método de recordatorio, re cordatorio, se presentan las fórmulas que se utilizan con mayor frecuencia para obtener las integrales y con los cuales se obtuvieron los resultados aplicados en el ejemplo 1.1a, posteriormente se resuelve el mismo ejemplo, en el cual se ilustra la aplicación de la tabla de integrales de Mohr .
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Ejemplo 1.1b Solución
Para evaluar el resultado de las integrales i ntegrales de forma gráfica, empleando la tabla de integrales de Mohr es es necesario primeramente establecer los diagramas de momento ya calculados en el ejemplo 1.1a para las vigas en las figuras 1.1 y 1.6. Estos se muestran en las figuras 2.2 y 2.3, respectivamente. Como no hay momento para 0 ≤ ≤ 5m, solo se utilizan las áreas achuradas trapezoidal y rectangular de los diagramas para evaluar la integral.
30
. 15
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Ejemplo 1.1b Solución
Para evaluar el resultado de las integrales i ntegrales de forma gráfica, empleando la tabla de integrales de Mohr es es necesario primeramente establecer los diagramas de momento ya calculados en el ejemplo 1.1a para las vigas en las figuras 1.1 y 1.6. Estos se muestran en las figuras 2.2 y 2.3, respectivamente. Como no hay momento para 0 ≤ ≤ 5m, solo se utilizan las áreas achuradas trapezoidal y rectangular de los diagramas para evaluar la integral.
30
. 15
1 0
A
C
B
5m
5m
Figura 2. 2 : Diagrama de momento real
A
C
B
5m
5m
Figura 2. 3 : Diagrama de momento virtual
Una vez hallado el valor en la fila y columna correspondiente c orrespondiente de la tabla es base a las formas de los diagramas, se tiene que
= = 12 1 + 2 = 12 130+155 = 2.545 = = 112.5 . = . Este valor es el mismo que mismo que se determinó en el ejemplo 1.1a. 1.1a .
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3. Deflexiones y rotaciones en marcos por el método del trabajo virtual El método del trabajo virtual presenta claras ventajas sobre los otros métodos cuando se trata de calcular las deformaciones en marcos. El procedimiento es igual al utilizado para el cálculo de deformaciones en vigas, pero la integración planteada en las ec 1.2 y 1.3 se lleva a cabo a través de todos los miembros que componen el marco. Desde luego que dentro de cada miembro resulta necesario hacer la integración en distintos tramos, si las funciones de M o de m no son continuas a lo largo del miembro. En el siguiente ejemplo se ilustra lo que se acaba de mencionar.
Ejemplo 2.1a Calcular la deflexión horizontal la figura 3.1
∆
en el punto E y y la rotación en el punto A del marco de 50 Ton
D
C
E
(2EI) 2m 10 Ton
B
(EI)
2m A
2m
4m Figura 3. 1
Solución
Se pide calcular el desplazamiento horizontal del apoyo E y y la rotación del apoyo A. El primero es un apoyo libre y el segundo, uno articulado. El marco es isostático ya que tiene tres incógnitas en los apoyos y existen tres ecuaciones de equilibrio. Notemos que el momento de inercia de la viga es el doble del de la columna.
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Primeramente se calculan las reacciones en los apoyos para poder resolver el marco y obtener las ecuaciones de momento flexionante en la columna y en la viga. 50 Ton
D
C
E
(2EI) 2m 10 Ton
B
(EI)
2m A
2m
4m Figura 3. 2
Calculo de reacciones:
= 0 6 + 2 ∗ 10 + 2 ∗ 50 = 0 6 + 20 + 100 = 0 6 + 121201200 = 0 = 6 = 20 ↑ = 0 + 10 = 0 = 10 ←
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= 0 = 5 50 + 20 = 0 30 = 0 = 30 ↑
11 | P á g i n a
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Una vez obtenidas las reacciones, se procede con las ecuaciones para encontrar el momento, para lo cual se hará uso del método de las secciones, por lo que seccionando el marco y dibujando los diagramas de cuerpo libre se tiene 50 Ton 2
2’ 10 Ton 1
1’
Figura 3. 3
Para
Para
0 ≤ ≤ 2 = 10 2 ≤ ≤ 4 = 10 10 2 = 10 10 + 20 = 20
Para
Para
0 ≤ ≤ 4 = 20 4 ≤ ≤ 6 = 20 50 4 = 20 50 + +2200 = 20200 30
Las ecuaciones de momento se han obtenido por tramos en los que la función no varía. Así, en la columna AC , se ha obtenido una ecuación entre los puntos A y B y otra entre los puntos B y C , ya que la carga concentrada de 10 ton hace que cambie la ecuación de momentos. Se ha usado un origen de coordenadas en el punto A para la columna, y un origen distinto en el punto E para para la viga.
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Se dibuja el diagrama de momentos flexionantes en la figura 3.4 para ver con claridad los cambios de la función. 80
20 20
D
C
E
2m B
2m A
2m
4m Figura 3. 4
A continuación, ya que se desea calcular el desplazamiento horizontal del punto E , se coloca una carga virtual unitaria en dicho punto en la misma dirección horizontal, y se calculan las ecuaciones de momentos m y producidos por esta fuerza. 1
E
C
2m
2m A
2m
4m Figura 3. 5
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En este caso, las funciones de m son continuas a lo largo de la viga y de la columna ya que no hay fuerzas intermedias. También se ha trazado el diagrama de momentos flexionantes correspondiente. Calculo de m para la deflexión en E
De
De
De
= 0
6 +4∗1 = 0 4 = 6 = 23 ↑ = 0 = 23 ↓ = 0 = 1 ← 0 ≤ ≤ 4 = 0 ≤ 2≤ 6 = 3
Para
4 4
8/3 D
C
E
2m 2
B
2m A
2m
4m Figura 3. 6
Para
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De la misma manera, para obtener la rotación en el apoyo A se ha colocado un momento virtual unitario en dicho apoyo. C
E
2m RE 2m A
1 RAH
RAV 2m
4m Figura 3. 7
Se obtienen las ecuaciones de los momentos producidos por este momento virtual. Se muestra el diagrama de momentos flexionantes correspondiente. Calculo de De
De
De
para la rotación en A
= 0
6 1 + 1 = 0 = 6 ↑ = 0 = 16 ↓ = 0 = 0 0 ≤ ≤ 4 =1 0 ≤ 1≤ 6 = 6
Para
1 1
2/3 D
C
E
2m 1
B
2m A
2m
4m
Para
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
Figura 3. 8
15 | P á g i n a
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Después se han sustituido las ecuaciones de y de (correspondiente a la fuerza virtual horizontal) en la ec 1.2 para obtener la deflexión en E . Nótese que la sustitución se ha hecho por tramos en los que no cambia ninguna de las dos funciones. Así, en la columna AC ha sido necesario considerar dos tramos, el AB y AC , ya que la función de no es continua en toda la columna, aunque lo sea la de .
1 ∗ ∆=
(ec. 1. 2 )
Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.
Calculo de la deflexión en E Tramo AB
Tramo BC
10 ∆= 1 ∆= 10
20 ∆= 1 ∆= 20 20 1 ∆= 2 ∆= 1 [202 4] = 160 ∆= 1 [20 2] = 40
2 1 10 ∆= [ 3 ] 0 ∆= 1 [103 2] = .
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
2 ∆−= 160 40 =
16 | P á g i n a
TEMAS SELECTOS DE ESTRUCTURAS - INTEGRALES DE MOHR FACULTAD DE INGENIERÍA, CAMPUS V Tramo ED
Tramo DC
2023 ∆= 2 40 1 ∆= 2 ( 3 ) 4 20 1 ∆ = [ ]
3 3 0 20 [1 4] = . ∆= 3 3
23 30 + 20 200 0 ∆= 2 1 ∆= 2 20 +133.33 20 133.33 1 ∆= 2 3 + 2 6 1 ∆= 6.67 +66.67
2 4 ∆= 21 6.676+66.676 = . ∆= 21 6.674+66.674 = . ∆−= 959.294 639.293 = . ∆= 1 26.67+120+142.22+159.78 = . →
En total, fue necesario hacer la integración en cuatro tramos. La deflexión total viene siendo la suma de las cuatro integraciones. Obsérvese que en la columna se usa un momento de inercia I, mientras que en la viga se usó 2 I. En forma semejante se calcula la rotación en A sustituyendo las funciones de M y de m (correspondiente al momento virtual unitario) en la ec 1.3.
1 ∗ =
(ec. 1. 3 )
Página 1 > Tema 1.- Principio del trabajo virtual.
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
17 | P á g i n a
TEMAS SELECTOS DE ESTRUCTURAS - INTEGRALES DE MOHR FACULTAD DE INGENIERÍA, CAMPUS V Calculo de la rotación en A Tramo AB
101 = 10 1 1 = 10 == 2
2 1 = 5 0 = 1 52 = Tramo ED
2016 = 2 20 1 = 2 ( 6 ) 1 = 1 (10 ) 2 2 3 1 = 2 3.33 3.33 1 = 2 3 4 1 3. 3 3 =
2 3 0 1 3. 3 34 = 2 3 = .
Tramo BC
20∗1 = 4 1 1 = 20 = 20 20 2 = 1 204 204 =
= 1 202 = − = 80 40 = Tramo DC
16 30 + 20 200 0 = 2 1 = 2 5 +33.33 6 1 5 33. 3 3 = 2 3 + 2
4 = 21 [ 53 6 + 33.233 6] = . = 21 [ 53 4 + 33.233 4] = . − = 239.294 160 = 2
= 1 20+40+35.55+40.03 = . MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
18 | P á g i n a
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4. Resolución de marcos por el método de Mohr. Para obtener los valores de las tablas de Mohr, la integral calcula el producto del área del grafico por el grafico . Es necesario tener en cuenta que la ordenada de se escoge siempre en el grafico rectilíneo. En el caso particular, cuando los dos gráficos son rectilíneos, se puede multiplicar el área de cualquiera de ellos por la correspondiente ordenada del otro. Cuando se trata de cargas corrientes compuestas por momentos concentrados exteriores, fuerzas concentradas y cargas uniformemente distribuidas, entonces cualquier grafico de momentos se puede descomponer en gráficos simples de tipo rectangular, triangular y parabólico de segundo orden. Para acelerar los cálculos emplearemos la tabla de los productos de los gráficos para resolver el ejemplo 2.1a.
Ejemplo 2.1b Los primeros pasos son los mismos, por lo que no se repiten en este ejemplo. Es decir, se obtienen las ecuaciones de los momentos M, de los momentos m correspondientes a la carga virtual en E y y de los momentos m correspondientes al momento virtual en A. También se obtienen los diagramas de momentos flexionantes correspondientes a estas ecuaciones trazados en las figuras 3.4, 3.6 y 3.8 respectivamente. 80
20 20
D
C
E
2m B
2m A
2m
4m
Figura 3.4 Página 13 > Tema 3.- Deflexiones y rotaciones en marcos por el método de trabajo virtual. Momento flexionante real en el marco
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
19 | P á g i n a
TEMAS SELECTOS DE ESTRUCTURAS - INTEGRALES DE MOHR FACULTAD DE INGENIERÍA, CAMPUS V 4
8/3 D
C
4
1 E
2/3
1 C
E
D
2m
2m 2
B
B
1
2m
2m A
A
2m
2m
4m
Figura 3.6 Página 14 > Tema 3.- Deflexiones y rotaciones en marcos por el método de trabajo virtual. Diagrama virtual de m de acuerdo a la deflexión en el punto E del marco
4m
Figura 3.8 Página 15 > Tema 3.- Deflexiones y rotaciones en marcos por el método de trabajo virtual. Diagrama virtual de m de acuerdo a la rotación en el punto A del marco
Se utilizan las tablas para obtener los resultados de la integración señalada en la ec 1.2 para el cálculo de la deflexión en E . En el tramo AB, el diagrama de M es un triángulo con vértice en A y el diagrama de m es otro triangulo con el vértice también en A. Por lo tanto, se entra en los datos de la tabla de integrales de Mohr , se tiene que corresponden a triángulos con el vértice en el mismo extremo, y se determina que el resultado de la integración es
donde es la altura del triangulo, 2 en el diagrama de , es la
altura de 20m en el triángulo del diagrama de M y es la longitud del tramo, 2m. Para el tramo BC , el diagrama de M es un rectángulo y el de m es un trapecio. Calculo de la deflexión en E Tramo AB
∆= 1 ∗ (13 ) ∆= 1 ∗ 13 2∗20∗2 ∆= 1 ∗ 13 80 = .
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
Tramo BC
∆= 1 ∗ (12 1+2) ∆= 1 ∗ [12 2+420∗2] ∆= 1 ∗ [12 6∗40] ∆= 1 [12 240] = 20 | P á g i n a
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De manera similar, para el tramo ED hay que combinar dos triángulos con el vértice en el mismo extremo, y para el tramo DC , dos trapecios. Tramo ED
∆= 21 ∗ 13 ∆= 21 ∗ 13 4∗80∗ 83 ∆= 21 [13 853.33] ∆= .
Tramo DC
∆= 21 ∗ 16 1 121+2 21+2 +21+22 +21+22 ∆= 21 ∗ 16 [2[220∗4 20∗4 +20∗ 23 +80∗4+280∗ 83]]22 ∆= 21 ∗ 16 28080 + 5353.3.333 + 323200 +42 + 426.6.66 662 ∆= 21 ∗ 16 960 =
Con el mismo procedimiento se ha calculado la rotación en A, combinando por tramos los diagramas de M y de m para momento virtual unitario en A. Calculo de la rotación en A Tramo AB
Tramo BC
Tramo ED
Tramo DC
= 1 ∗ 12 == = 21 ∗ 13 = 21 ∗ 13 44∗∗ 23 ∗80 = .
= 1 ∗ = 1 ∗ 1 ∗ 20 ∗ 2 = = 21 ∗ 16 1 121+2 21+2 +21+22 +21+22 = 21 ∗ 16 [1[12∗20+80 2∗20+80 + 23 20+2∗80 20+2∗802] = 21 ∗ 16 120 + 2/3 2/380 802 =
Tanto para la deflexión como para la rotación, los valores calculados son iguales a los del ejemplo 2.1a, excepto por los ajustes en los decimales.
∆= 1 26.67+120+142.22+159.78 = . → = 1 20+40+35.55+40.03 = . MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
21 | P á g i n a
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Bibliografía 1. Nelson James – McCormac McCormac Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. 3ra edición. ISBN 970-15-1118-2. México, 2006. – 582p. 2. Gonzalez Cuevas Oscar M. Análisis estructural Grupo Editorial Limusa. 2da Edición. ISBN 958-7240-13-0. México, 2002. – 580p. 3. Hibbeler R. Analisis Estructural. Editorial Pearson. 8va Edición. ISBN 978-607321062. Mexico, 2012. –720p. 4. Pytel Andrew – Singer Ferdinand. Resistencia de materiales. Editorial Oxford. 4ta edición. ISBN 970-15-1056-9. México, 2006. – 584p. 5. Villarreal Castro Genner. Análisis estructural. 1ra Edición. ISBN 978-9972-33-657-7. Lima, 2008. – 335p. 6. Villarreal Castro Genner. Resistencia de materiales. 1ra Edición. 978-9972-33-9100. Lima, 2006. – 331p. 7. Apuntes de Análisis Estructural I
8. Miguel Cervera Ruiz – Elena Blanco Díaz. Mecánica de estructuras. Método de análisis. Edición IPC. ISBN 84-8301-623-0. CPET, 2002. – 342p. 9. Ricardo Herrara M. CI4202: Análisis Estructural. 10. Escuela Politécnica de Mieres. Apuntes de Cálculo de Estructuras.
MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL
22 | P á g i n a
