UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA Semblantes Paredes Piedad Azucena Ingeniería Electrónica e Instrumentación, Quinto , Universidad de las fuerzas armadas-ESPE extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador. email:
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Fecha de presentación: 18 de mayo del 2015
LA INTEGRAL DE INVERSIÓN PARA CALCULAR LA TRANSFORMADA Z INVERSA RESUMEN La integral de inversión nos ayuda a obtener la transformada z inversa como una integral de trayectoria en el plano complejo de esta manera podemos ahorrarnos pasos y encontrar la respuesta de una manera más y sencilla, lo que nos lleva a que esta herramienta se basa principalmente en el teorema de la integral de Cauchy para el análisis de los sistemas lineales en tiempo discreto.
ABSTRACT Comprehensive investment helps us get the inverse transform z as a path integral in the complex plane in this way can save steps and find the answer to a more and easily, which leads to this tool is mainly based on theorem Cauchy's integral for the analysis of linear discrete-time systems.
PALABRAS CLAVE
Transformada z
Cauchy
Integral de inversión
DESARROLLO
1. Objetivo
− ( ) → Si − contiene un polo múltiple
Conocer el método de integral de inversión para poder aplicarlo en la transformada z inversa
de orden q, entonces el residuo de K está dado por:
2. Marco teorico
− −] [( ) ! − →
Ésta es una técnica útil para la obtención de la transformada z inversa. La integral de inversión de la transformada z está dada por:
Observe que los valores de k en las ecuaciones (2), (3), (4) son enteros positivos. Si tiene un cero de orden r en el origen, entonces en la ecuación (2) involucrará un cero de orden r+k-1 en el origen. Si r ≥ 1, entonces r+k-1 ≥ 0 para . k ≥ 0, y no hay polo en z=0 en
− ∮. − (1)
donde C es un círculo con centro en el origen del plano z tal que todos los polos de están dentro de él.
−
−
La ecuación que da la transformada z inversa en términos de los residuos se puede obtener si se utiliza la teoría de la variable compleja. Ésta se puede obtener como sigue:
+ + ⋯ ∑[ − = −] Donde , ,… denotan los residuos de − en los polos , ,… respectivamente. Al evaluar los residuos, observe que si el denominador de contiene un polo simple en , entonces el residuo K correspondiente está dado por:
−
−
Sin embargo r ≤ 0, entonces habrá un polo
en z=0, para uno o más valores positivos de k.
3. Análisis de Resultados
Encuentre la transformada z inversa de la siguiente expresión.
− −
− − − Para k=0, 1, 2, tiene dos Observe que al aplicar obtenemos lo siguiente:
3,…,
polos simples en
y
−.
Por lo tanto, a partir de la ecuación (2) se tiene:
+
− − → −
Por lo tanto,
donde
− → −
+ − ; ,,,….
CONCLUSIONES
La integral de inversión es una herramienta muy sencilla para hallar la transformada inversa z, siempre y cuando no tenga polos en el origen z=0. Para aplicar este método hay que tener un buen conocimiento del teorema de Cauchy para obtener de manera directa los resultados de un sistema de ecuaciones en forma de integrales Este método requiere un conocimiento de los polos y ceros existentes en la función
BIBLIOGRAFIA Y/O ENLACES
http://es.scribd.com/doc/87198117/Integral-Inversion-1#scribd http://www.academia.edu/4461933/Ogata_K_Sistemas_de_control http://www.ietec.org/palvarado/Modelos/cap05.pdf http://raliendre.uto.edu.bo/elt2642/TEMA%20A.pdf
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