EXPOSICIÓN N°1: Múltiples grados de libertad CONTENIDO 1. Propiedad de ortogonalidad de los modos normales. norma les. 2. Movimiento forzado 3.1 Método de superposición modal
3. Ejemplo movimiento forzado (TALLER) 4. Ejemplo 3 Andrea Carolina Chaparro Carolina Franco Ariza Carloss Andres Carlo Andres Guald Gualdron ron Sulayy Tatian Sula atianaa Mesa Dinámica Estructur Estructural al Escuela de Ingeniería Civil Universidad Industrial de Santander
Movimiento Forzado
Ejemplo 2: Encontrar la respuesta dinámica en la dirección X al sistema a porticado ilustrado en la Figura 3-11, si se supone como acción sísmica el espectro de respuesta propuesto para el territorio colombiano (NSR-98). La edificación se encuentra en la ciudad de Bucaramanga (zona de riesgo sísmico alto). Es una edificación normal, con un coeficiente de amortiguamiento con respecto al crítico igual 5%. La estructura cuenta con una masa de: • Cubierta=550 Kg/m2 •Piso intermedio = 750 kg/m2
Solución 1. Idealización Estructural. 2. Determinación de las masas. 3. Determinación de la matriz de Rigidez. . . .
TALLER
Libro Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico de Luis Enrique Gracia pagina 439:.pdf En un teatro se piensa colocar un generador eléctrico que tiene una masa de 2000 [kg]. Debe encontrarse la influencia que producen las vibraciones inducidas por el generador en la máquina de proyección de cine. Cuando ambos estén operando. La máquina de protección también tiene una masa de 2000[kg]. La porción de la estructura donde están colocados ambos equipos tiene la forma descrita en la figura. Todos los elementos del pórtico de soporte tienen ancho b= 0.4 [m] y alto h=0.8[m] de un material con un módulo de elasticidad E=25[GPa] y su disposición es la mostrada en la figura.
El generador esta montado sobre una base que sólo transmite vibraciones verticales y estas inducen una fuerza sobre la estructura cuya amplitud es 3[KN] con una frecuencia de Ω= 25[Hz]. Nos interesa la influencia en la imagen proyectada en la pantalla del teatro, la cual se encuentra a 40 [m] de distancia del equipo de proyección. Puede despreciarse la contribución de la masa de la estructura.
Utilizando los datos que crea necesarios (NO UTILICE AMORTIGUAMIENTO) Normalice los modos de vibración y obtenga las ecuaciones desacopladas del sistema. Es necesario determinar las frecuencias, los modos de vibración del sistema para construir la matriz de modos de vibración .
Solución 1. Idealización de la estructura.
Los nodos y elementos de la estructura se numeran como muestra en la figura. El diafragma es infinitamente rígido en su propio plano, por lo tanto los grados de libertad horizontales de los nodos 2, 3 y 4 se igualan al grado de libertad horizontal del nodo 1. Los grados de libertad verticales de los nodos 1 y 4, así como las rotaciones de los nodos se condensan.
2. Determinar la matriz de masas El enunciado indica que se desprecia la masa de la estructura. La matriz de masas del sistema, tiene en cuenta las masas que contribuyen en cada grado de libertad. m1= 4 [Mg] m2= 2 [Mg] m3= 2 [Mg] Entonces: M=
4
0
0U1x
0
2
0U2y
0
0
4U3y
3. Determinar la matriz de rigidez del sistema Con ayuda de las herramientas brindadas por EXCEL, se introdujeron los siguientes datos de entrada y se cálculo la matriz de rigidez para cada elemento teniendo en cuenta que los elementos tipo viga comparten las mismas características y se puede presentar la matriz de rigidez que las caracteriza en coordenadas globales. Se procede de igual forma con los elementos columnas. Cabe recordar que la matriz de rigidez se construye de la siguiente manera:
[K] =
Matrices elemento viga y elemento columna en coordenadas globales
Elemento viga: Datos de entrada Área = 0.32 [m2 ]
Inercia 0.017067 [m4 ] E = 25000000 [Pa] L = 3 [m] θ = 90º =1.570796327
La matriz de rigidez de toda la estructura suprimiendo los términos de los apoyos y eliminando las deformaciones axiales de las vigas y organizada para condensar es :
Uax Uay Uaz Ubx U by Ubz
Matriz de Rigidez de la estructura en coordenadas globales (Ensamblada ) 2707627 0
0
102400 -2666667
0
0
-40960
0
102400
1789630 284444
0
-189630 284444
0
-1600000
0
102400
284444
910222
0
-284444 284444
-102400
0
170667
-2666667
0
0
5333333
0
0
-2666667
0
0
0
-189630 -284444
0
379259
0
0
-189630 284444
0
284444
0
0
1137778
0
-284444 284444
-2666667
0
0
5333333
0
0
-2666667
284444
0
0
0
-189630 -284444
0
379259
0
0
-189630 284444
0
284444
0
0
1137778
0
-284444 284444
-2666667
0
0
2707627
284444
0
-189630 -284444
0
284444
284444
0
0
102400
1789630 -284444
102400 -284444 910222
-40960
0
-102400
40960
0
-102400
0
-1600000
0
0
1600000
0
102400
0
170667
-102400
0
341333
-40960
0
-102400
0
-1600000
0
102400
0
170667
-40960
0
102400
40960
0
-102400
0
-1600000
0
0
1600000
0
-102400
0
170667
-102400
0
341333
Matriz resultante despues de eliminar los grados de libertad correspondientes a los apoyos
2707627 0
KGT=
0
102400 -2666667
0
0 284444
1789630 284444
0
-189630
102400
284444
910222
0
-284444 284444
-2666667
0
0
5333333
0
0
-2666667
0
0
0
-189630 -284444
0
379259
0
0
-189630 284444
0
284444
0
0
1137778
0
-284444 284444
-2666667
0
0
5333333
0
0
-2666667
284444
0
0
0
-189630 -284444
0
379259
0
0
-189630 284444
0
284444
0
0
1137778
0
-284444 284444
-2666667
0
0
2707627
284444
0
-189630 -284444
0
284444
284444
Matriz de Rigidez a condensar
0
0
102400
1789630 -284444
102400 -284444 910222
4. Determinar la matriz de rigidez condensada Utilizando los siguientes criterios:
Buscamos organizar la matriz anterior para hallar [K] c. A continuación se muestran los pasos: 1. Se intersectan filas primarias (independientes) con columnas primarias, filas primarias con columnas secundarias, filas secundarias con columnas primarias y filas secundarias con columnas secundarias. 81920.0
4. Se obtiene la siguiente matriz condensada en [KN/m]
[K]c =
56452.1
38420.6
-38420.6
U1x
38420.6
205081.4
-155924.6
U2y
-38420.6
-155924.6
205081.4
U3y
5. Construir vector de fuerzas externas sobre el sistema. La fuerza aplicada sobre el sistema se le asigna al grado de libertad vertical el cual hace referencia a la posición del generador. Entonces, según lo anterior el vector de fuerzas se expresa mediante:
0 3 sen(Ωt) 0
6. Planteamiento de la ecuación de movimiento en forma matricial, partiendo de :
Entonces:
4 0 0
0 2 0
0 0 4
Ü1x
56452
38421
-38421
U1x
Ü2y +
38421
205080
-155920
U2y
Ü3y
-38421
-155920
205080
U3y
0 =
3 sen(Ωt) 0
7. Determinación de los modos y frecuencias de vibración. Teniendo en cuenta que estos se determinan utilizando los criterios de un sistema de vibración libre, hacer . Modo
w2
w
f
T
1
11924.64
109.2
18.38
0.0575
2
24579.9684
156.78
24.95
0.0401
2
182696.4049
427.43
68.03
0.0147
Y luego calculando el vector modos de vibración { a } que se expresa en :
MODO 1
MODO 2
MODO 3
a3
1.00
0.00
1.00
a2
-0.11
0.60
8.76
a1
0.11
0.60
-8.76
8. Normalización de los modos de vibración. Para este sistema, los modos de vibración normalizados con respecto a la masa usando:
Son: [Φ]=
0.49678
0.00000
0.05661
U1x
-0.05661
0.50000
0.49678
U2y
0.05661
0.50000
-0.49678
U3y
9. Determinación de las ecuaciones desacopladas. •Se deben obtener ecuaciones de
la forma:
Teniendo en cuenta:
Y la Ecuación del movimiento:
Procedemos a operar de la siguiente forma:
Con: [ø]T =
0.4968
-0.0563
0.0568
0.0000
0.5000
0.5000
0.0567
0.4968
-0.4968
Teniendo en cuenta que se supuso que el sistema NO tiene amortiguamiento ( =0), las ecuaciones desacopladas que se obtienen son:
En esta medida la solución para Z esta dada por:
A partir de lo anterior se construyó la siguiente tabla: δi
[rad/s]
157.0796
Ecuación
Pi
αí
tan φ
φ
1
-0.169039
1.438458
-1.33E-05
0
0
2
1.5
1.001911
0.01595
0
0
3
1.490317
0.367498
9.43E-06
0
0
δ
i/w
Así que los valores para Zi (solución ecuaciones desacopladas) son:
10. Determinación de desplazamientos máximos . Usando:
Los desplazamientos se pueden expresar como: -6.052E-06 sen (δt)
U1x U2y U3y
=
7.981E-03 sen (δt) 7.970E-03 sen (δt)
Si se realiza un pequeño análisis de las anteriores expresiones para U, se puede notar que los desplazamientos máximos ocurren cuando sen (δt)=1, es decir cuando δ =π/2, 3π/2, 5 π/2…..
11. ANALISIS. Finalmente se analiza si con los desplazamientos máximos se ve afectada la imagen del proyector. U1x MAX U2y MAX U3y MAX
-6.052E-06 7.981E-03 7.970E-03
[m]
En direccion U1x 6.052E-06 m *1000= 0.00652 mm *La imagen no se ve afectada, es un desplazamiento muy pequeño Movimientos verticales del proyector U3y 7.97E-0.3m*100=7.97 mm *La imagen puede verse un poco afectada ya que es un movimiento de casi 1 cm. Deben buscarse medidas correctivas. Es necesario también verificar el grado de libertad de rotación debido a los movimientos del proyector.
