16 de Febrero del 2016
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGIA Y MECANICA CARRERA DE INGENIERIA MECATRÓNICA VIBRACIONES
NRC DE LA ASIGNATURA: 1625 CONSULTA VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA PARA SISTEMAS VIBRATORIOS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD DOCENTE: ING. JAIME ECHEVERRIA YANEZ
AUTOR: o
XAVIER FREIRE
VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA PARA SISTEMAS VIBRATORIOS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD Un sistema que tenga dos cuerpos o partículas, que presenten un movimiento de dos grados de libertad, y que además existan elementos de amortiguación, los cuales provoquen que cada cuerpo o partícula describa un movimiento de amortiguamiento, ya sea sobre amortiguado, críticamente amortiguado o sub amortiguado; se le conocerá como sistemas vibratorios de 2 grados de libertad con amortiguamiento. Uno de los sistemas más comunes de este tipo y con el que se explicara su dinámica de funcionamiento o comportamiento, es el sistema Masa-Resorte con amortiguamiento. m1 m2 Dicho sistema estará formado por dos masas y , conectados entre sí y al suelo k1
por medio de resortes de coeficientes y
c2
. Siendo
x1
,
´x 1
y
x2
,
´x 2
y
k2
; y amortiguadores de coeficientes
c1
los desplazamiento y velocidades de cada uno
de las masas.
Ilustración 1: Sistema masa-resorte de dos grados de libertad amortiguado
Para la demostración de este tipo de sistemas se asumirá sin perder de generalidad que x 2> x 1 ´x 2> x´ 1 y , escribiéndose las ecuaciones de movimiento de las siguientes formas. Para la masa
m1
∑ F externas=∑ F inerciales k 2 ( x 2−x 1) + c 2 ( ´x 2−´x 1 )−k 1 x 1−c 1 ´x1 =m1 ´x 1( 1)
Para la masa
m2
∑ F externas =∑ F inerciales −k 2 ( x 2−x 1 ) −c 2 ( ´x 2−´x 1 )=m2 ´x2 (2) Acomodando las ecuaciones 1 y 2 obtenemos m1 ´x 1+ ( c 1+ c 2 ) ´x 1−c 2 ´x2 + ( k 1+ k 2 ) x 1−k 2 x2 =0 m2 x´ 2−c 2 ´x 1+ c 2 ´x 2+ k 2 x 2−k 2 x 1=0 Las dos ecuaciones antes obtenidas se las expresa mediante una ecuación matricial, descrita de la siguiente forma.
[
][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
m1 0 ´x 1 c1 +c 2 −c 2 ´x 1 k 1+ k 2 −k 2 x 1 + + = 0 (3) 0 0 m2 ´x 2 −c 2 c 2 ´x 2 −k 2 k2 x2
La ecuación 3, puede expresar en un carácter matricial más general como ´ C X´ + KX=0 M X+ Donde
M=
[
m1 0 0 m2
]
[]
x´ X´ = 1 ´x 2
[
C=
c 1 +c 2 −c 2 −c 2 c2
[]
x´ X´ = 1 ´x 2
]
K=
[
k 1 +k 2 −k 2 −k 2 k2
]
[]
X=
x1 x2
M=Matriz de masa y/o Inercia C=Matriz de amortiguamiento K=Matriz de rigidez Cabe recalcar que las matrices M, C y K pueden estar tanto acopladas como desacopladas.
Para encontrar la solución de la ecuación 3, el procedimiento a seguir es muy similar al empleado para sistemas de un solo grado de libertad, donde se asume la solución para el sistema dinámico, para este caso se asumen soluciones para las dos ecuaciones diferenciales 1 y 2 o para la ecuación matricial 3, con lo cual obtenemos las igualdades de posición, velocidad y aceleración de cada una de las masas, dichas igualdades se muestran en la tabla 1. Solución
x 1 ( t )=X 1 e s t x 2 ( t )=X 2 e s t
Solución en forma matricial
[ ][ ] [ ] st
del sistema X e1: Igualdades x ( t ) Tabla X X ( t )= 1 = 1 s t =e s t 1 =e s t X Xamortiguado x 2 ( t ) Masa-resorte X2 e 2 Igualdades para el sistema de dos grados de libertad Posición Velocidad Aceleración st st m1 ´x 1 ( t )=X 1 s e ´x 1 ( t )=X 1 s 2 e st x 1 ( t )=X 1 e Masa
m2
Masa
x 2 ( t )=X 2 e
st
´x 2 ( t )=X 2 s e s t
´x 2 ( t )=X 2 s 2 e s t
La demostración que se va a seguir se desarrollaba bajo el uso de matrices desacopladas, debido a la naturaleza del sistema, sin embargo esto no quiere decir que todos los sistemas presentaran matrices desacopladas, siendo necesario recalcar que independientemente del tipo de matrices que posea el sistema, el proceso de resolución es siempre el mismo. Para cumplir con el desarrollo del sistema se debe de remplazar las igualdades de posición, velocidad y aceleración en la ecuación matricial 3.
[
][
][
][ ] [
][ ] [ ]
2 st st st m1 0 X 1 s e c 1+ c2 −c2 X 1 s e k 1 +k 2 −k 2 X 1 e + + =0 2 st st st 0 0 m2 X 2 s e −c2 c2 X 2 s e −k 2 k2 X2 e
s 2 e st
2
st
[
][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
m1 0 X 1 c +c −c 2 X 1 k + k −k 2 X 1 + s es t 1 2 +e s t 1 2 =0 0 0 m2 X 2 −c 2 c2 X 2 −k 2 k 2 X2 st
st
s e M X + s e C X + e KX=0
{[ s2
] [
]} [ ] [ ]
][
m1 0 c +c −c 2 k 1+ k 2 −k 2 s t X 1 0 +s 1 2 + e = 0 0 m2 −c 2 c2 −k 2 k2 X2
{ s2 M + s C+ K } e s t X=0 es t X
Dado que x 1 ( t )=X 1 e
st
y
representa la solución en forma matricial y sabiendo que x 2 ( t )=X 2 e
st
no pueden ser cero, ya que de serlo el sistema no estaría
en vibración, queda como única posibilidad de cumplir la igualdad. s2
[
] [
][
][]
m1 0 c + c −c2 k 1 +k 2 −k 2 +s 1 2 + =0 0 0 m2 −c2 c2 −k 2 k2
2
s M + s C+ K =0
[
s 2 m1+ s ( c 1+ c2 ) + k 1+ k 2 −s c 2−k 2
−s c2 −k 2
][]
=0 0 s m2+ s c2 + k 2 2
Sacamos el determinante de la matriz de la expresión anterior, obteniendo
( s2 m1+ s ( c1 + c2 ) + k 1+ k 2 ) ( s 2 m2+ s c2 + k 2 )−( −s c 2−k 2 )(−s c 2−k 2) =0 m1 m2 s 4 + [ m1 c2 +m2 ( c 1+ c 2) ] s3 + [ m1 k 2 +c 2 ( c 1+ c 2 )+ m2 ( k 1+ k 2 )−c22 ] s2 + [ k 2 ( c1 +c 2 ) +c 2 ( k 1 +k 2 ) ] s+ [ ( k 1 +k 2 ) k 2−k 22 ] La expresión antes mostrada es conocida como la ecuación característica del sistema, en dicha ecuación la variable s tendrá 4 raíces, las cuales pueden adoptar tres posibles respuestas, dependiendo de los valores de masas, coeficientes de rigidez y coeficientes de amortiguamiento que presente el sistema. Dichas posibilidades son: 1. Todas las raíces son reales negativas 2. Todas las raíces son complejos conjugados, en este caso las raíces serán dos pares de complejos conjugados que tienen partes reales negativas.
3. Dos raíces pueden ser reales negativas, y las otras dos raíces son complejas conjugado. Raíces Reales negativa.- Cada una de las 4 raíces tendrá asociada una solución independiente y la solución total será la suma de las soluciones independientes de cada raíz. x 1 ( t )=X 11 e s t + X 12 e s t + X 13 e s t + X 14 es 1
2
3
4
t
x 2 ( t )=X 21 e s t + X 22 e s t + X 23 e s t + X 24 e s t 1
2
3
4
Dado que la ecuación característica del sistema tiene 4 raíces, existirán 4 factores de forma o modos fundamentales de vibración. X1 X2
( )
β i=
=
s=si
X1i X2i
La expresión resultante de la solución tomando en cuenta la consideración del factor de forma es: x 1 ( t )=β 1 X 21 e s t + β 2 X 22 e s t + β 3 X 23 es t + β 4 X 24 e s t 1
2
3
4
x 2 ( t )=X 21 e s t + X 22 e s t + X 23 e s t + X 24 e s t 1
Constantes:
X 21
2
,
X 22
3
,
X 23
4
X 24
y
Este caso se asemeja a un sistema de un grado de libertad sobre amortiguado, ya que la solución obtenida es una función exponencial y no presentara oscilaciones. Raíces son complejos conjugados.- Como en el caso anterior la solución total, será la suma de las soluciones parciales o independientes. x 1 ( t )=X 11 e s t + X 12 e s t + X 13 e s t + X 14 es
t
1
2
3
4
s1 t
s 2t
s3 t
s4 t
x 2 ( t )=X 21 e + X 22 e + X 23 e + X 24 e
Para encontrar la expresión final de la respuesta, para este tipo de raíces, se tomaran en cuenta las siguientes consideraciones. Raíces s 1=− p1+ iq 1
Formula de Euler e =cos q1 t+i sin q1 t
s 2=− p1−i q1
e−i q t =cos q1 t −isin q 1 t
s 3=− p2 +iq 2
e
s 4 =−p2 −iq 2
e−i q t =cos q2 t−isin q 2 t
Factor de forma
i q 1t
1
i q 2t
X1 X2
( )
β i=
=cos q2 t+i sin q2 t
s=si
=
X1i X2i
2
Basándose en las consideración de la tabla anterior se obtienen las expresiones d la Solución
x 1 ( t )=e− p t [ ( β 1 X 21+ β 2 X 22) cos q1 t+i ( β1 X 21−β 2 X 22 ) sin q1 t ] +e− p t [ ( β 3 X 23+ β 4 X 24 ) cos q2 t+i ( β 3 X 23−β 4 X 24 ) s 1
2
x 2 ( t )=e− p t [ ( X 21 + X 22 ) cos q 1 t +i ( X 21−X 22 ) sin q1 t ] +e− p t [ ( X 23+ X 24 ) cos q2 t+i ( X 23− X 24 ) sin q2 t ] 1
Constantes:
2
X 21
X 22
,
,
X 23
,
C12
y
X 24
q q ( ¿ ¿ 2t +∅12 ) −p t (¿ ¿ 1 t +∅11 )+C 12 e sin ¿ 2
−p1 t
x1 ( t )=C11 e
sin ¿
q q (¿ ¿ 2 t +∅ 22 ) −p t (¿ ¿ 2 t +∅21 )+C 22 e sin ¿ 2
− p1 t
x 2 ( t )=C 21 e
Constantes:
C11
,
sin ¿
C21
,
C22
,
∅11
,
∅12 ,
∅21
y
∅22
Dos raíces reales negativas y dos raíces complejas conjugadas.- Este caso involucra los dos antes vistos La solución es la suma de las soluciones parciales o independientes. x 1 ( t )=X 11 e s t + X 12 e s t + X 13 e s t + X 14 es
t
1
2
3
4
s1 t
s 2t
s3 t
s4 t
x 2 ( t )=X 21 e + X 22 e + X 23 e + X 24 e
Para encontrar la expresión final de la respuesta, para este tipo de raíces, se tomaran en cuenta las siguientes consideraciones. Raíces s 1=Real negativo
Formula de Euler
s 2=Real negativo
e i q t=cos q t+ isin q t
s 3=− p+i q
−i q t
e
=cos q t−isin q t
Factor de forma
X1 X2
( )
β i=
=
s=si
X1i X2i
s 4 =−p−iq Basándose en las consideración de la tabla anterior se obtienen las expresiones d la Solución x 1 ( t )=β 1 X 21 e s t + β 2 X 22 e s t +e− pt [ ( β 3 X 23 + β 4 X 24 ) cos qt+ i ( β 3 X 23−β 4 X 24 ) sin qt ] 1
2
x 2 ( t )=X 21 e s t + X 22 e s t +e− pt [ ( X 23 + X 24 ) cos qt +i ( X 23−X 24 ) sin qt ] 1
Constantes:
2
X 21
,
X 22
,
X 23
y
X 24
q (¿ ¿ 2 t+∅11 ) s t x 1 ( t )=β 1 X 21 e + β 2 X 22 e s t +C 11 e−p t sin ¿ 1
2
2
q ¿ 2t +∅22) (¿ s t x 2 ( t )=X 21 e + X 22 e s t +C22 e−p t sin ¿ 1
Constantes:
X 21
2
,
2
X 22
,
C11
,
C22
,
∅11
,y
∅22
Ejercicios 1. Hallar la ecuación diferencial matricial de movimiento del sistema amortiguado de dos grados de libertad que se muestra en la figura e identificar cada una de las matrices
Resolución Se va a asumir que
θ2 >θ1
´ ´ y θ2 > θ1 ,
m1
Masa
∑ M externas=∑ M inerciales ka ( θ2 −θ1 ) +ca ( θ´ 2−θ´ 1 ) −m1 glθ 1=m 1 l 2 θ´ 1
m1
Masa
∑ M externas =∑ M inerciales −ka ( θ2−θ1 ) −ca ( θ´ 2−θ´ 1 ) −m 2 gl θ 2=m 2 l 2 θ´ 2
{
ka ( θ2−θ 1 )+ ca ( θ´ 2 −θ´ 1 )−m1 glθ1=m1 l 2 θ´ 1 −ka ( θ 2−θ1 ) −ca ( θ´ 2 −θ´ 1 )−m2 glθ2=m2 l 2 θ´ 2
{
m1 l 2 θ´ 1 +c a2 θ´ 1−c a2 θ´ 2 + ( k a2+ m1 gl ) θ1−k a 2 θ2=0 m2 l 2 θ´ 2 +c a2 θ´ 2−c a2 θ´ 1 + ( k a2+ m2 gl ) θ2−k a 2 θ1 =0
[ M=
[
m1 l 2
0
0
m2 l2
m1 l 0
2
0 m2 l
2
]
][ ] [
θ´ 1 c a 2 −c a2 + 2 c a2 θ´ 2 −c a
[
C=
2
][ ] [
][ ] [ ]
θ´ 1 k a2 +m1 gl −k a2 θ1 + =0 2 2 ´θ2 0 θ −k a k a +m2 gl 2
ca −c a 2 −c a c a2
2
]
[
k a2 +m1 gl −k a2 K= −k a 2 k a2+ m 2 gl
]
[]
[]
´ ´ θ1 Θ= θ´ 2
´ ´ θ1 Θ= θ´ 2
2. Para el ejercicio anterior si k=1000N/m,
Θ=
c=10 Ns/m
[] θ1 θ2
a=0,3m, b=0.2m,
m1=0.5kg y m2=0.3kg, determine en que caso se encuentra el sistema.
[
][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
2 m1 l 2 0 θ´ 1 −k a2 θ1 c a 2 −c a2 θ´ 1 k a +m1 gl + + =0 2 2 2 ´ 2 2 ´ 0 c a θ2 0 m2 l θ2 −c a −k a k a +m2 gl θ2
Solución θ1 ( t )=Θ1 e s t θ2 ( t )=Θ2 e s t
[
m1 l 2
0
0
m2 l2
2
s e
st
2
st
[
Θ ( t )=
[ ][ ] [ ]
Θ es t θ1 ( t ) Θ = 1 s t = es t 1 =e s t Θ Θ2 θ2 ( t ) Θ2 e
][ ] [
][ ] [
θ1 s 2 e s t
][ ] [ ]
st k a 2+ m1 gl −k a 2 θ 1 est c a2 −c a2 θ1 s e + + =0 2 2 2 st st 2 2 st 0 −c a c a θ2 s e θ2 s e −k a k a +m 2 gl θ 2 e
m1 l 2
0
0
m2 l2
][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
2 2 −k a2 Θ1 Θ1 0 −c a2 Θ 1 st c a st k a +m 1 gl + se +e = 2 2 2 2 Θ2 −c a c a Θ2 −k a k a + m2 gl Θ 2 0
st
st
s e M Θ+s e C Θ+ e K Θ=0
{[ s2
][
][
]} [ ] [ ]
][
][]
2 m1 l2 0 −k a 2 c a2 −c a 2 k a + m1 gl Θ +s + es t 1 = 0 2 2 2 2 2 0 −c a ca Θ2 0 m2 l −k a k a +m2 gl
{ s2 M + s C+ K } e s t Θ=0
s
2
[
m1 l 2 0
][
2 −k a2 c a2 −c a2 k a +m1 gl +s =0 2 2 + 2 2 2 0 −c a ca m2 l −k a k a + m2 gl
0
2
s M + s C+ K =0
[
s 2 m1 l 2 +c a2 s +k a2 +m1 gl
−c a2 s−k a 2
−c a2 s−k a 2
s 2 m 2 l 2 +c a2 s +k a2 +m2 gl
][]
[
0.125 s 2+0.9 s+154.5523 −0.9 s−90 =0 2 0 −0.9 s−90 0.075 s + 0.9 s+153.5715
=0 0
][]
Resolviendo la ecuación caracteristica se tiene que las raices del sistema son: −7.7920+55.8060 i
−7.7920−55.8060 i −1.8080+7.0216 i
−1.8080−7.0216 i
3. Hallar la ecuación diferencial matricial de movimiento del sistema amortiguado de dos grados de libertad que se muestra en la figura e identificar cada una de las matrices
Resolución
−c1 ( ´y −a θ´ )−k 1 ( y −aθ )−c 2 ( ´y +b θ´ ) −k 2 ( y +bθ ) =m ´y c 1 ( ´y −a θ´ ) + k 1 ( y −aθ )−c 2 ( ´y +b θ´ ) −k 2 ( y +bθ ) =I θ´
Reacomodando las expresiones anteriores ´ m ´y + ( c1 + c2 ) ´y −( c 1 a−c 2 b ) θ+(k 1+ k 2 ) y−(k 1 a−k 2 b)θ=0 ´ ( c 1 a 2+ c2 b2 ) θ− ´ ( c 1 a−c2 b ) ´y + ( k 1 a2+ k 2 b2 ) θ−(k 1 a−k 2 b) y=¿ I θ+
[ ][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
−( c 1 a−c 2 b ) y´ (k 1 +k 2) −(k 1 a−k 2 b) y m 0 ´y + ( c 1 +c 2 ) + =0 2 2 2 2 ´ ´ 0 I θ −( c 1 a−c 2 b ) ( c 1 a + c 2 b ) θ −(k 1 a−k 2 b) ( k 1 a + k 2 b ) θ 0
[ ]
M= m 0 0 I
[
C=
( c1 +c 2 )
−( c 1 a−c 2 b )
−( c 1 a−c 2 b )
[]
2
2
(c 1 a +c 2 b )
]
K=
[
(k 1+ k 2)
−(k 1 a−k 2 b)
−(k 1 a−k 2 b)
( k 1 a2 +k 2 b2 )
[]
´y v´ = ´ θ
[]
´y v´ = ´ θ
v=
4. Para el ejercicio anterior, si m=1000kg, l=4m, a=b=2m, k 1=50000 N /m
,
k 2=70000 N /m
y
c 1=c 2=10 Ns/m
y θ
I =1300 kg m2 , . Determine la
]
respuesta del sistema como función del tiempo, con las condiciones iniciales siguientes. ´y ( 0 )=0 , θ ( 0 )=0 , θ´ ( 0 )=0
y ( 0 )=0.03 m ,
[ ][ ] [
][ ] [
][ ] [ ]
−( c 1 a−c 2 b ) y´ (k 1 +k 2) −(k 1 a−k 2 b) y m 0 ´y + ( c 1 +c 2 ) + =0 0 I θ´ −( c 1 a−c 2 b ) ( c 1 a 2+ c 2 b2 ) θ´ −( k 1 a−k 2 b) ( k 1 a 2+ k 2 b2 ) θ 0
[
[ ]
M= m 0 0 I
C=
[
0 M = 1000 0 1300
( c1 +c 2 )
−( c 1 a−c 2 b )
−( c 1 a−c 2 b )
(c 1 a2 +c 2 b 2 )
]
[
C= 20 0 0 80
]
K=
]
[
(k 1+ k 2)
−(k 1 a−k 2 b)
−(k 1 a−k 2 b)
( k 1 a2 +k 2 b2 )
[
K= 120000 40000 40000 480000
]
]
2
s M + s C+ K =0
[
s 2 m+ s ( c 1 +c 2 ) +( k 1 +k 2 )
−( c 1 a−c 2 b ) s−(k 1 a−k 2 b)
][]
=0 −s ( c 1 a−c2 b ) −( k 1 a−k 2 b) s I + s ( c 1 a + c 2 b ) + ( k 1 a + k 2 b ) 0 2
[
2
2
2
2
] [
] [
mI s 4 I ( c 1+ c 2 )+ m ( c 1 a2 + c2 b2 ) s3 + m ( k 1 a2 +k 2 b2 ) + I ( k 1 +k 2) + ( c 1+ c 2) ( c 1 a 2+ c2 b2 ) s 2+ ( c 1+ c 2 ) ( k 1 a2 +k 2 b2 ) 5 4
5 3
7 2
5
8
13∗10 s + 1.06∗10 s +63.6∗10 s + 192∗10 s +560∗10 =0 Raíces s 1=−0.0104+10.7 i s 2=−0.0104−10.7 i s 3=−0.0304+19.3 i s 4 =−0.0304−19.3 i
Aplicando el factor de forma 2 −m12 si +c 12 si + k 12 β i= 2 m11 s i + c 11 si + k 11 β 1=−8.279−0.01417 i β 2=−8.279+0.01417 i −4
β 3=0.106−4.645∗10 i β 4=0.106+4.645∗10−4 i Solucion en el tiempo −0.0104 1 t
y (t )=e
[ ( β 1 X 21+ β 2 X 22 ) cos 10.7 t+i ( β1 X 21−β 2 X 22 ) sin10.7 t ] +e−0.0104t [ ( β 3 X 23+ β 4 X 24 ) cos 19.3 t +i ( β 3 X
θ ( t ) =e−0.0104 t [ ( X 21+ X 22) cos 10.7 t +i ( X 21 −X 22 ) sin 10.7 t ] + e−0.0104 t [ ( X 23 + X 24 ) cos 19.3t +i ( X 23 −X 24 ) sin 19.3 t ] 1
Cambio de coeficientes para facilitar la resolución. B 1=X 21 + X 22 B 2=i ( X 21−X 22 ) B 3=X 23 + X 24 B 4=i ( X 23− X 24 ) Manejo del factor de forma para encontrar los coeficientes β i=α i ± γ i β 1 X 21 + β 2 X 22=α 1 B 1+ γ 1 B 2 i ( β 1 X 21−β 2 X 22) =α 1 B1−γ 1 B2 β 3 X 23 + β 4 X 24 =α 3 B3 +γ 3 B4 β 3 X 23 −β 4 X 24 =α 3 B3 −γ 3 B4
Donde α 1=α 2 =−8.279 ,
γ 1=γ 2=−0.01417 i ,
α 3=α 4=0.106
y
γ 3=γ 4 =−4.645∗10−4 i
y (t )=e−0.0104 t [ ( α 1 B1 +γ 1 B2 ) cos 10.7 t+ i ( α 1 B1−γ 1 B 2) sin 10.7 t ] +e−0.0104t [ ( α 3 B 3+ γ 3 B4 ) cos 19.3 t+ i ( α 3 B3 −γ 3 B 1
−0.01041 t
θ ( t ) =e
[ B1 cos 10.7 t + B2 sin 10.7 t ] +e−0.0104t [ B3 cos 19.3 t+ B4 sin 19.3 t ]
Con las dos funciones establecidas con los nuevos coeficientes, únicamente tenemos 4 incógnitas, por lo que si evaluamos las condiciones iniciales lograremos encontrar los valores de los 4 coeficientes. B 1=−0.358∗10−2 B 2=−0.105∗10−4 B 3=0.358∗10−2 B 4=0.915∗10−5
Bibliografía Shabana, A. (1995). Theory of Vibration . Springer.
