República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del Poder Popular Para la Defensa. Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada. Núcleo Monagas - Aragua de Maturín. Ing. Mecánica - 7mo Semestre.
Sistemas mecánicos de dos grados de libertad.
Profesor.
Bachilleres.
Ing. Gabriel Maican.
José Rivas. César Cerezo. Kevin Escalona. José Laverde.
Aragua de Maturín, Abril de 2016.
Introducción Todo elemento ó sistema que posea características inerciales y elásticas es capaz de vibrar ya sea por el resultado de una excitación instantánea (vibración libre) ó permanente (vibración forzada). Esta consideración es de gran importancia en el estudio de las vibraciones en maquinaria ya que uno de los criterios a seguir en el análisis de vibraciones determinar si dicha vibración es producto de una excitación forzada o por un fenómeno natural conocido como resonancia, en tal caso es importante determinar las características naturales de la vibración y que es conocida precisamente como la frecuencia natural. Los sistemas que requieren dos coordenadas independientes para describir su movimiento son llamados sistemas de dos grados de libertad, hay dos ecuaciones de movimiento para un sistema de dos grados de libertad, una para cada masa y para cada grado de libertad, esto podría expresarse de la siguiente manera como regla general: G. L .=Nmasas∗NMovimientos Generalmente dichas ecuaciones tienen forma de ecuaciones diferenciales acopladas, es decir que cada ecuación implica todas las coordenadas, como agregado podemos aclarar que al impartir una vibración inicial al sistema el mismo vibra a una de esas frecuencias naturales, durante la vibración libre en una de las frecuencias naturales las amplitudes de ambos grados de libertad (coordenadas) se relacionan de una manera específica y su configuración se conocen como “modo normal”, “modo principal” o “modo natural” de vibración, debido a esto podemos decir que un sistema de dos grados de libertad posee dos modos normales de vibración correspondientes a las dos frecuencias naturales del sistema.
Vibraciones libres no amortiguadas. Aunque la pérdida de energía en sistemas vibratorios siempre está presente, existe ocasiones en las que la frecuencia de la vibración libre conocida como frecuencia natural se ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo simple de analizar y que además proporcionara una serie de conclusiones importantes. El cálculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite conocer la frecuencia a la cuál un sistema no debe ser excitado porque aparecería el efecto de la resonancia manifestándose como grandes amplitudes de vibración.
Para el análisis de vibración libre del sistema que se muestra en la figura
establecemos
amortiguamiento denotan por:
f 1 ( t )=f 2 ( t )=0 .
C1 =C2=C 3=0
Además,
si
se
omite
el
, las ecuaciones de movimiento de
Nos interesa saber si
m1
y
m2
pueden oscilar armónicamente con
la misma frecuencia y ángulo de fase pero con diferentes amplitudes. Suponiendo que sea posible tener movimiento armónico de misma frecuencia
ω
y al mismo ángulo de fase
m1
y
m2
a la
ϕ , consideramos las
ecuaciones
Acoplamiento de coordenadas. Este es un concepto de acción de acoplamiento, donde una vibración en una parte del sistema induce otra vibración en otra parte del mismo, debido a la fuerza transmitida a través del resorte o del amortiguador de acoplamiento, en otras palabras, el desplazamiento de una masa será percibido por otra masa del mismo sistema, puesto que están acopladas. Hay dos tipos de acoplamiento, el acoplamiento estático debido al desplazamiento estático y el acoplamiento dinámico debido a las fuerzas de inercia. Coordenadas principales. Son aquellas que permiten producir ecuaciones de movimiento desacopladas tanto estáticas como dinámicamente, su ventaja principal es que permiten que dichas ecuaciones desacopladas resultantes se pueden
resolver de manera independiente una de la otra, es decir, siempre es posible encontrar un par particular de coordenadas, tal que cada ecuación de movimiento contenga únicamente una cantidad desconocida. Entonces las ecuaciones de movimiento se pueden resolver independientemente una de la otra; es a este par particular al cual se le denominan coordenadas principales. Modos de vibración. Para un sistema de dos grados de libertad existen dos ecuaciones de movimiento, una para cada masa, como resultado para dicho sistema hay dos frecuencias naturales. Las frecuencias naturales se encuentran resolviéndola ecuación de frecuencia de un sistema sin amortiguamiento o la ecuación característica de un sistema amortiguado. Cuando las masas de un sistema oscilan de tal forma que llegan simultáneamente a los desplazamientos máximos y pasan por sus puntos de equilibrio también simultáneamente, es decir, que todas las partes móviles del sistema están oscilando en fase con una frecuencia, tal estado de movimiento se llama modo normal o modo principal de vibración.
Vibraciones forzadas no amortiguadas. Las vibraciones más importantes desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería son las vibraciones forzadas de un sistema. Éstas ocurren cuando un sistema se sujeta a una fuerza periódica o cuando se le conecta elásticamente a un soporte que tiene un movimiento alternante. Considere el caso de un cuerpo de masa
m
suspendido de un resorte y
sujeto a una fuerza periódica
P
es la frecuencia circular de
P
de magnitud
P=Pm sen ω ft
ωf
donde
y se conoce como “frecuencia circular
forzada” del movimiento. Esta fuerza puede ser una fuerza externa real aplicada al cuerpo o una fuerza centrífuga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerpo. Denotando mediante
x
el
desplazamiento del cuerpo medido desde su posición de equilibrio, se escribe la ecuación de movimiento.
Amortiguador dinámico. Un “amortiguador dinámico” es en sí un absorbedor de vibraciones dinámicas es cual es un sistema de un solo grado de libertad cuya forma es generalmente la de un sistema simple de masa resorte. Cuando el amortiguador dinámico se conecta de forma auxiliar a otro sistema de un solo grado de libertad también, transforma todo el sistema formado en un sistema de dos grados de libertad que a su vez posee dos frecuencias naturales de vibración.
Una de esas frecuencias naturales está por encima de la frecuencia de excitación, mientras que la otra está por debajo de modo que la masa principal del sistema completo tiene una amplitud de vibración muy pequeña en lugar de una amplitud muy grande, bajo la excitación dada. Conclusión Las vibraciones están presentes en cada parte de nuestro mundo y son de vital importancia para un ingeniero mecánico el manejo de su teoría ya requiere entender el comportamiento de las maquinarias, en especial aquellas que están en constante movimiento (equipos rotativos). Un apropiado y experto análisis de las vibraciones a las cuales está sometida o que son generadas por estas maquinarias, podría dar al mantenedor una vía segura de determinar los posibles problemas que pueden existir en un determinado momento, permitiendo de igual forma poder predecir una posible falla, esto abre una ventana de flexibilidades al momento de programar paradas de planta y realizar reparaciones o cambio de partes antes de tener fallas inesperadas. Por este motivo con todos los estudios que se realizaron se intentó comprender los sistemas vibratorios compuestos por dos grados de libertad que generalmente se perciben en los sistemas masa resorte que se mueven de manera vertical o horizontal dependiendo de su posición, estos sistemas se pueden observar en los amortiguadores de un automóvil, así como también en la base de un torno siempre y cuando estos ejerzan únicamente un movimiento vertical. Existen diferentes métodos y formas para determinar la frecuencia natural de elementos o sistemas vibratorios, algunos de ellos son analíticos otros experimentales y en algunos caos por la combinación de ambos. Los sistemas que requieren dos coordenadas independientes para describir su movimiento se llaman sistemas “de dos grados de libertad”.
Algunos ejemplos de sistemas de dos grados de libertad son el sistema de apoyo de un torno y un automóvil, estos sistemas de apoyo están compuestos por un sistema masa resorte que sufren un desplazamiento vertical.
