Un iv ers id ad J os éMar ía Varg as Facu ltad de Ing eni ería Cátedr a: Res isten cia de Materiales Periodo: Ag osto -Diciemb -Diciemb re 2013 2013
VIGA S CONTÍNUA S
MÉTODO MÉTODO DE L A DISTRIBUC IÓN DE MO MENTO S HARDY CROSSS
Profesor:
Charbel Rachwan
Integrantes:
Biasetti, Giovanni E. Martínez, Gabriela L.
Caracas, Octubre de 2013
INTR OD UCC IÓN
En 1930 el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of Continuous Frames en la revista American Society Civil Engineering, el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista. Éste permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan. El presente conjuga explícitamente los conceptos de vigas continuas y el método de Cross; proponiendo el desarrollo práctico de su aplicación y, un enfoque ideal para la comprensión clara del tema, basado en el estudio de términos básicos y en el planteamiento detallado de los procedimientos de cálculo.
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VIGA S CONTÍNUA S
Las vigas son elementos fundamentales en la construcción, sean éstas de la índole que fuera. Será el tipo, calidad y fin de la construcción lo que determinará medidas, materiales, y sobre todo, su capacidad de sostener y contener pesos, presiones, tensiones y flexiones. En principio, es importante definir que en la teoría de vigas se contempla aquello que es denominado “resistencia de los materiales”, siendo posible calcular la resistencia del material con que está hecha la viga, y además analizar sus tensiones, desplazamientos y el esfuerzo que puede soportar. Se denominan continuas las vigas soportadas por más de dos apoyos que no poseen articulaciones intermedias, poseen vínculos superabundantes a los que corresponden incógnitas estáticamente indeterminadas. Entre las características más resaltantes, están que resultan más económicas que una serie de tramos independientes porque, en igualdad de luces y cargas, se encuentran sujetas a momentos flectores menores. También presentan mayor rigidez a la acción de cargas dinámicas. Por el contrario, como todas las vigas hiperestáticas, estas son sensibles a la cedencia de los apoyos, que puede alterar de forma peligrosa las condiciones estáticas. El estudio de una viga continua, y de cualquier estructura compleja en general, se facilita y se puede realizar con métodos sencillos, y a veces de forma inmediata, cuando los nodos, pudiendo rotar, no sufren desplazamientos. Si se considera una viga de nodos rígidos y sin desplazamientos, excluidas las deformaciones elásticas, es posible calcularla aplicando el Método de Cross.
MÉTODO DE DISTRIB UCIÓN DE MO MENTO S (CROSS )
El Método de Cross, desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real es necesario realizar dos pasos: 1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo. 2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra.
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En el método de distribución de momentos, cada articulación de la estructura a ser analizada, es fijada a fin de desarrollar los momentos en los extremos fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración. En disposición de aplicar el método distribución de momentos para analizar una estructura, lo siguiente debe ser considerado.
Momentos de empotramiento en extremos fijos: son los momentos producidos al
extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.
Rigidez a la Flexión: La rigidez flexional (EI/L) de un miembro es representada como el
producto del módulo de elasticidad (E) y el Segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la Razón aritmética de rigidez de flexión de todos los miembros.
Coeficientes de reparto: Los factores de distribución pueden ser definidos como las
proporciones de los momentos no equilibrados llevados por cada uno de los miembros.
Coeficientes de transmisión: Los momentos no equilibrados son llevados sobre el otro
extremo del miembro cuando se permite el giro en el apoyo. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo entre el momento en el extremo fijo del extremo inicial es el coeficiente de transmisión. Valores típicos: 0,5 para nodos sin empotramiento y 0 para nodos empotrados.
Convención de signos: Un momento actuando en sentido horario es considerado
positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios.
Estructuras de marcos: Estructuras de marcos con o sin ladeo pueden ser analizadas
utilizando el método de distribución de momentos.
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EJ ERCICIO PRÁCT ICO MÉTODO DE CRO SS
La viga continua de la siguiente figura, es de sección constante y homogénea; encontrándose perfectamente empotrada en sus extremos. Calcular los momentos en los apoyos.
Figura 8-21 Fuente: Pytel & Singer. Resistencia de Materiales
Comenzando con el cálculo de la rigidez relativa utilizando la fórmula siguiente: Dónde:
I= Representa la Inercia, el cual es un valor desconocido y se toma el mínimo común múltiplo de las longitudes de las luces L= Representa la longitud del tramo.
En este caso las rigideces relativas serán números enteros y sencillos.
Mínimo Común Multiplo
4 = 2 x 2 2² 6=2x3 2² y el 3 2² x 3 = 12
Rígidez Relativa
Se calculan los valores del Factor de Distribución “FD”, utilizando la siguiente fórmula: Factor de Distribución
Asumiendo que todos los nodos son fijos, mediante la tabla 7-2 se obtienen los valores de los Momentos de Empotramiento Perfecto “MEP”.
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Momentos de Empotramiento Perfecto
Tramo AB=
()
Tramo BC= FD
()()
() () ()
()
0
MEP
0,4
+2000
0,6
-4000 +8000 +4000
Desequilibrio Equilibrio
-8000
-4000 -4000*0 4 -1600
TRANSMISIÓN
-4000*0 6 -2400
-800 MOMENTOS FINALES
0
-1200
+1200
-5600
+5600
-9200
Se ha supuesto una convención de signos positiva a los momentos de la izquierda de la luz y signos negativos a la derecha de la luz de la respectiva viga. Al dejar libre el nodo “B”, el momento desequilibrado es 8000-4000=4000 N.m, por lo que el momento a distribuir entre las barras es -4000 N.m para que la suma total de momentos en “B” sea nula, como se ha mencionado. Utilizando los valores de los FD, a la izquierda de “B” le corresponde 0,4 (-4000)=-1600 N.m y; a la derecha 0,6 (-4000)=-2400 N.m. Ahora se transmiten la mitad de dichos valores, con su mismo signo, a los extremos opuestos. Así - 1600 aplicado a la izquierda de “B” transmite -800 a “A”, y -2400 aplicado a la derecha de “B” transmite -1200 a “C”. Como “A” y “C” están perfectamente empotrados,
y así han de quedar, absorben estos momentos transmitidos y la distribución ha concluido. Los valores finales del momento en cada apoyo se obtienen sumando algebraicamente para cada uno de los valores de la columna vertical que se indica en el cuadro. Si se quiere estos momentos finales se pueden convertir en momentos flexionantes convencionales, cambiando el signo a la izquierda de cada tramo. [7]
REFERENCIAS BIBL IOGRÁFICAS
Pitel, A. y Singer, Ferdinand. (1987). Resistencia de Materiales (4 a ed.). Mexico: Alfaomega. Recursos Electrónicos
Ing. Williams López. Marzo 2007. Teoría de Estructuras-Método de Crosshttp://www.slideshare.net/wlopezalmarza/teoria-de-estructuras-metodo-de-cross.
Ingeniería Rural. Noviembre 2001. Bases del Método de Cross. http://www.uclm.es/area/ing_rural/trans_const/temas6y7.pdf Medios Audiovisuales
Profesor Jaramillo. (2011). Solucion de una Viga hiperestatica por el Método de Cross. [audiovisual]. Colombia.
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