UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
MÉTODO DE HARDY CROSS PARA PARA LA DETERMINACIÓN DEL REPARTO DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA
Hardy Cross, nació en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras estructur as y creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross o método de distri distribuc bución ión de momen momentos tos,, conceb concebid ido o para para el cálcul cálculo o de grande grandes s estruc estructur turas as de hormigón armado. ste método fue usado con frecuencia entre el a!o 1"#5 hasta el 1"$%, cuando fue sustituido por otros métodos. l método de Cross hi&o posible el dise!o eficiente y seguro de un gran n'mero de construcciones de hormigón armado durante una generación entera. (demás también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes comple)as de abastecimiento de agua. Hasta las 'ltimas décadas era el método más usual para resol*er una gran cantidad de problemas.
H(+- C+//
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PRIMEROS AÑO DE HARDY CROSS: [] btu*o el t0tulo de achillerato de Ciencia en ingenier0a ci*il del 2nstituto de 3ecnolog0a de 4assachusetts en 1"%8, y después ingresó en el departamento de puentes de los errocarriles del 6ac0fico de 4issouri en /t. 7ouis, donde permaneció durante un a!o. espués *ol*ió a la academia de orfol9 en 1"%". :n a!o después de su graduación estudió en Har*ard donde obtu*o el t0tulo de 4C en 1"11. Hardy Cross desarrolló el método de distribución de momentos mientras traba)aba en la uni*ersidad de Har*ard. 7uego traba)ó como profesor asistente de ingenier0a ci*il en la uni*ersidad de ro;n, dond donde e ense ense!ó !ó dura durant nte e < a!os a!os.. esp espué ués s de un bre* bre*e e regr regres eso o a la prác prácti tica ca de ingenier0a en general, aceptó un puesto como profesor de ingenier0a estructural en la :ni*ersidad de 2llinois en :rbana=Champaign en 1">1. n la :ni*ersidad de 2llinois Hardy Cross desarrollo su método de distribución de momentos e influyó en muchos )ó*enes ingenieros ingenieros ci*iles. /us estudiantes en 2llinois tu*ieron tu*ieron con él un duro momento argumentando por?ue él era dif0cil de escuchar.
MÉTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA: tro método de Hardy Cross es famoso por modelar flu)os de +ed de abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más com'n para resol*er tales problemas. l recibió numerosos honores. ntre ellos tu*o un grado Honorario de 4aestro de (rtes de la :ni*ersidad -ale -ale , la medalla 7amme de la /ociedad (mericana (mericana para ducac ducació ión n en 2ngen 2ngenier ier0a 0a @1"AAB @1"AAB,, la medall medalla a ason ason del 2nstit 2nstituto uto (m (meri erica cano no del Concreto @1"#5B, y la medalla de oro del 2nstituto de 2ngenieros structurales de Dran reta!a @1"5"B.
MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED: l 4éto 4étodo do de (proE proEim imac acio ione nes s /uce /ucesi si*a *as, s, de Hard Hardy y Cros Cross, s, está está basa basado do en el cumplimiento de dos principios o leyesF
7ey de continuidad de masa en los nudosG 7ey de conser*ación de la energ0a en los circuitos. l planteamiento de esta 'ltima ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de pérdi pérdida da de energ0a energ0a,, bien bien sea la ecuació ecuación n de Ha&en Ha&en illia illiams ms o, bien, bien, la ecuación de arcy eisbach. 7a ecuación ecuación de Ha&en Ha&en illi illiams ams,, de naturale naturale&a &a emp0r emp0rica ica,, limita limitada da a tuber0 tuber0as as de diámetro mayor de >, ha sido, por muchos a!os, empleada para calcular las pérdidas de carga carga en los los tramo tramos s de tuber0 tuber0as, as, en la aplica aplicació ción n del 4étodo 4étodo de Cross Cross.. llo llo obedece a ?ue supone un *alor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la
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superficie interna de la tuber0a, lo cual hace más simple el cálculo de las pérdidas de energ0a. 7a ecuación de arcy eisbach, de naturale&a racional y de uso uni*ersal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, por?ue in*olucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, 9, de la superficie interna del conducto, y el n'mero de +eynolds, +, de flu)o, el ?ue, a su *e& depende de la temperatura y *iscosidad del agua, y del caudal del flu)o en las tuber0as. Como ?uiera ?ue el 4étodo de Hardy Cross es un método iterati*o ?ue parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la 7ey de Continuidad de 4asa en los nudos, los cuales corrige sucesi*amente con un *alor particular, I, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. llo implica el cálculo de los *alores de + y f de todos y cada uno de los tramos de tuber0as de la red, lo cual ser0a inacabable y agotador si hubiese ?ue hacerlo a u!a con una calculadora sencilla. 4ás a'n, sabiendo ?ue el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterati*o, por aproEimaciones sucesi*a.
7o anterior se constitu0a, hasta hoy, en algo prohibiti*o u obstaculi&ador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuber0as. Hoy, esto será no sólo posible y fácil de e)ecutar con la ayuda del programa en lengua)e (/2C, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuber0as y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas *eces sea con*eniente.
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS: l método se fundamenta en las dos leyes siguientesF
1. Le !e "#$%&$'&!(! !e )(*( e$ +#* $'!#*: 7a suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero m
∑− ( Qij +qi )=0 j l
D#$!e: Ii)F Caudal ?ue parte del nudo i o ?ue fluye hacia dicho nudo. ?i F Caudal concentrado en el nudo i m F 'mero de tramos ?ue confluyen al nudo i.
,. Le !e C#$*e-("&/$ !e +( e$e-0( e$ +#* "&-"'&%#*: 7a suma algebraica de las pérdidas de energ0a en los tramos ?ue conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero.
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n
∑
hfij= 0
i = l , j =l
D#$!e: hf i) F 6érdida de carga por fricción en el tramo n F 'mero de tramos del circuito i
C2LCULO DE REDES DE TUBER3AS n esta acti*idad se *a a resol*er la red de tuber0as mostrada, utili&ando el método Hardy=Cross.
D(%#* !e+ 4-#5+e)(:
7ongitud de cada tramoF 1%%% m. iámetro interior de las tuber0asF A%% mm. luido transportadoF agua. Viscosidad cinemáticaF 1e=$ m>Js.
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De*"-&4"&/$ !e+ )6%#!#: 1KB L umerar los tramos de tuber0as y asignarles un sentido @esta elección es arbitrariaB. ste paso ya se ha hecho en el dibu)o. >KB L legir las mallas y un sentido de recorrido @ya hecho en el dibu)oB. #KB L (signar un *alor numérico a cada caudal de forma ?ue se cumpla la conser*ación de la masa en cada nodo. l signo del caudal es negati*o si se opone al sentido de recorrido de la malla. AKB L Calcular el coeficiente C i de cada l0neaF
C i
ρ K i
=
2 A
2
,
onde Mi es el coeficiente de pérdidas de carga lineales
K i
=
L f D .
/e recomienda calcular el coeficiente de f ricción con la fórmula aproEimada
f = 1.02 ( log Re )
−2.5
.
5KB L Calcular la corrección a los caudales de cada mallaF
∆Q = −0.5
∑ Ci Qi Qi ∑ Ci Qi .
$KB L (plicar la corrección de cada malla a los caudales ?ue la componen. n el caso de ?ue un caudal pertene&ca a dos mallas, la corrección de otras mallas tendrá signo negati*o si el recorrido de la malla tiene distinto sentido ?ue en la primera malla. sta situación ocurre con la l0nea 1.
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E7ERCICIOS E8e-"&"&# 1: esarrollar la eEpresión empleada en el estudio de de los caudales en redes de tuber0aF A
B Qo
D
C
Qo
S#+'"&/$: l método del cálculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de carga calculadas. n el laso o circuito 'nico, mostrado en la figura 1%, para ?ue los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habrá de *erificar
6ara aplicar esta eEpresión, la pérdida de carga en función del caudal habrá ?ue n ponerse en la forma, H L =k Q . n el caso de utili&ar la formula de Ha&en illiams, la eEpresión anterior toma la forma Como se suponen unos caudales
H L =k Q Q0
kQ
1.85
1.85
= k ( Q + ∆ ) 0
Q0
=k ( Q
1.85 0
.
, el caudal *erdadero
cual?uiera de la red puede eEpresarse ?ue habrá de aplicarse a
1.85
Q =Q 0 + ∆
, donde
Q en una tuber0a ∆ es la corrección
. ntonces mediante el desarrollo del binomio,
+1.85 Q
1.85 − 1 0
∆ + …)
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/e desprecian los términos a partir del segundo pro ser tan pe?ue!os Q0
comparado con
∆
.
6ara el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación @2B se obtineF
k ( Q0
1.85
(
+1.85 Q
1.85
0.85 0
1.85
k Q0 + 1.85 Q0
1.85
)+1.85 k (Q
+1.85 Q
0.85 0
0.85 0
∆ ) =0
0.85
+ 1.85 Q 0
) ∆ =0
∆ .
espe)ando
∆=
∆ ) −k ( Q0
−k ( Q + 1.85 Q 1.85
1.85
0
0
(Q
1.85 k
0.85 0
+ 1.85 Q
)
0.85 0
)
n general para un circuito más complicado se tieneF
∆=
−∑ k Q 1.85
∑
6ero
∆=
0 0.85
kQ0
1.85
k Q0
1.85
= H L y
−∑ ( H L) 1.85
∑
… … … ( 3 )
( ) H L
0.85
k Q0 =
H L Q0
por lo tanto,
… … …( 4)
Q0
E8e-"&"&# ,: n el sistema de tuber0as en paralelo, mostrado en la fig. >, determinar, para Q = 456 l / s , los caudales en los dos ramales del circuito utili&ado en el método de Hardy Cross. 1500m - 30cm D C1 =120 Q
W
Z
900m - 40cm D C1 =120
S#+'"&/$:
Q
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Q30 y Q 40.
/e supone ?ue los caudales 306 l / s 306 l
/on iguales, respecti*amente, a
/ s y
los cálculos se reali&an en la tabla ?ue sigue @obsér*ese ?ue se ha puesto
/ s B, procediendo asi se calculan los *alores de / mediante el iagrama , o
por cual?uier otro procedimiento, luego
H L = S∗ L
H L Q0
150 l
∑ H
. se notara ?ue cuanto mayor sea
L
Q . @los *alores de
estarán los caudales
y a continuación se determinan más ale)ados de los correctos
Q se han elegido deliberadamente
distintos de los correctos para ?ue den lugar a *alores grandes de
∑ H
L
y as0
ilustrar en el procedimiento.
D ")
L )
Q0
H L
*'4'e*%#
H L
∆
Q1
=><.8 =><.8
1>>.> =###.8 A5$
Q0
)
l/s
9 ;
∆=
15%% "%%
15% =#%$
−∑ ( H L) 1.85
ntonces,
∑
( ) H L
>5.5 %.1<% =1A.A %.%A$ ∑ ¿+ 11.16 %.>1$
∑ ¿ 456
=
−+11.16
(
1.85 .216
)
=−27.8 l / s
Q
los
*alores
(−306 −27.8 =−333.8 ) l / s
Q1
de
serán
( 150−27.8 )=122.2 l / s
y
. +epitiendo de nue*o el proceso de cálculoF
H L
H L
∆
Q2
N#.> N#.>
1>5.A ##%.$ A5$
Q1
1<.= >1?.1
∑ ¿+ 0.6
%.1#5 %.%51 %.18$
o es necesario hacer una nue*a aproEimación ya ?ue el diagrama no puede conseguirse una mayor precisión de #lJs aproEimadamente. 3eóricamente, H7 deber0an ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente. /e obser*a ?ue el caudal ?ue fluye por la tuber0a de #%cm era el >$,AO de A5$lJs, es decir, 1>%.AlJs lo ?ue constituye una comprobación satisfactoria.
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E8e)4+# 9.> 6ara la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar H C L 1%% en todas las tuber0as.
/olución. 6ara la solución de esta red *amos a aplicar el método de Hardy Cross. 7a ecuación de descarga en cada tuber0a es.
h f = KQ1.85 k =
1,72 x105 L 1.85 C H D 7,866
stas ecuaciones corresponden a la fórmula de Ha&en y illiams, ?ue es la ?ue utili&aremos, dado ?ue el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. /i éste no fuera el caso se utili&ar0a las ecuaciones correspondientes. mpe&aremos por di*idir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positi*o el correspondiente al sentido contrario de las agu)as del relo). sto es puramente con*encional y podr0a ser al contrario. Haremos también, tentati*amente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. n consecuencia cada caudal *endrá asociado a un signo. Habrá caudales positi*os y negati*os. 6or consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. /abemos, sin embargo, ?ue ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. /e trata solamente de algo con*encional para eEpresar la condición 1 ?ue debe satisfacer una red. /e obtiene as0F
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7a magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo ?ue se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo @en *alores absolutos naturalmenteB. (hora debemos hallar los *alores de M en cada ramal para facilitar as0 el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales ?ue nos irán aproEimando sucesi*amente a la solución final.
CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN NM MB
C4 4 C
%,%##$ < %,%>8% $ 4
%,%%"$ " %,%>8% $ %,%%8# %
Calculemos ahora los *alores de la pérdida de carga f % h en cada circuito aplicando la ecuación de descarga.
CIRCUITO I
CIRCUITO II
BN NM MB
C4 4 C
N8<.> # = <.1$ ∑ h f = = 5$.#5 N>#.< >
=5<."# N<.1$ N#A.> ∑ h f = # =1$.5A
0
0
(plicamos ahora la ecuaciónF
∑ h f
0
h f
∑Q
1.85
0
0
6ara obtener la corrección ?ue debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. /e obtiene para cada circuito.
Q=
−23.72 1.85 x2.04
∆
= − 6.3
Q=
1.85 x1.26
= 7.1
∆
Q = −6 ∆
16.54
Q = − 7 ∆
7os nue*os caudales y los correspondientes *alores de la pérdida de carga h son los siguientes.
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Q Calculamos nue*amente
Q=
5.44 1.85 x 2.15
∆
= 1.37
∆
Q=
−6.12 1.85 x1.42
= 2.28
∆
Q = +1 ∆
Q = −2 ∆
7os nue*os caudales y los correspondientes *alores de h f son
Calculamos ahora nue*amente la corrección ∆I 0.16 −0.47 Q= Q= = 0.12 = 0.06 1.85 x 2.12 1.85 x1.41 ∆
∆
Q = 0 ∆
n consecuencia los caudales sonF
Q=0 ∆
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stos caudales satisfacen las tres condiciones de una red. bsér*ese ?ue la condición 1, Ph f L% para cada circuito es la eEpresión de conceptos básicos del flu)o en tuber0as. (plicada, por e)emplo, al circuito 2, debe entenderse ?ue en realidad refle)a el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se *e a continuación.
6or lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental.
h f BM + h fMN = hf BN Como efecti*amente ocurre con los resultados obtenidos. ebe cumplirse, por las mismas ra&ones, las siguientes ecuaciones
h f MC + h f MN + h f NC = 0 h f BNC = h f BMC 7a condición # ?ueda también satisfecha. 3omemos un ramal cual?uiera @CB.
D = 8"
C H = 100 L = 0.6km k f = 37.83m
Q = 0.00426 x100 x82.63 x 63.050.54 Q = 94.7
1
s Valor que está dentro del error aceptado .
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TABLA CALCULOS DEL E7EMPLO 9 @ BN NM MB
Qa
h f
N<% =>% =1#%
8<,># =<,1$ =5$,#5
=11% N>% N"%
5<,"# N<,1$ N#A,>#
0
Q
N>#,<>
=$ =1# =$
N$A =## =1#$
N<#,"1 =18,%" =$1,>$
=1$,5A
N< N1# N<
=1%# N## N"<
=51,>" N18,%" N#",#>
∑ h f
Q
0
Q
=5,AA
N1 N# N1
N$5 =#% =1#5
N<$,%$ =15,1$ =$%,A#
N$,1>
=> =# =>
=1%5 N#% N"5
=5#,15 N15,1$ N#<,8#
∑h
f
Q
∑ h f
Q
C&-"'&%# 1 %,%##$< %,%>8%$ %,%%$">
N%,A<
% % %
=%,1$
% % %
C&-"'&%# , CM MN NC
%,%%"$" %,%>8%$ %,%%8#%
(l aplicar el método de Hardy=Cross se sugiere reali&ar una tabulación como la a?u0 presentada, ?ue corresponde al e)emplo 5.".
ING. ELADIO FABIAN
HIDRAULICA
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E7EMPLO ;.> +esol*er la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga 9 constante.
atosF k 12 1800 =
k 23 = 20000 k 34 1800 =
k 14 = 680 +esolución n primer lugar, debe hacerse una suposición de caudalesF
Q12 = 350 l / s Q14 = −650 l / s Q 24 = 110 l / s
4alla 2F
Q23 = 240 l / s Q34 = −760 l / s Q 24 = −110 l / s
4alla 22F n primera iteración seráF
M(++( I
M(++( II
3uber0a
Q&
4&
4& +Q&
∆ Q 1
1=> 1=A >=A >=# #=A >=A
%.#5 =%.$5 %.11 %.>A =%.<$ =%.1%8A
>>%.5 =>8<.# <>.$ 115.> =1%#".$ =<%.5
$#% AA> $$% A8%% 1#$8 $5%.A
=%.%%1$
=%.%#
(hora se corrigen los caudales con los *alores obtenidos ∆Ii. ótese ?ue el caudas I>A en la malla 22 ya se ha corregido con el *alor ∆I2L=%.%%1$ obtenido pre*iamente en la malla 2. ( continuación se repite el procesoF
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M(++( I
M(++( II
3uber0a
Q&
4&
4& +Q&
1=> 1=A >=A >=# #=A >=A
%.#A8 =%.$5> %.111 %.>#< =%.<$# =%.11
>1<." =>8" <#." 11>.# =1%A<." =<>.$
#>$.A AA#.# $$$ A
%$∆ Q 1 =%.%%%8
=%.%%%18
7a aproEimación es suficiente, por tanto los *alores correctos para el caudal son los siguientesF
Q12 = 0.3472 m 3 / s Q14 = −0.6528 m 3 / s Q23 = −0.2368 m 3 / s Q34 = −0.7632 m 3 / s
Q24 = 0.1104 m 3 / s
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E7EMPLO =.> /e trata de anali&ar la red de la figura, aplicando las dos *ersiones del método de Cross.
Esquema de la red de tuberías del ejemplo.
L#* -e*'+%(!#* !e+ ($+&*&* !e +( -e!
7uego de anali&ar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtu*ieron los resultados consignados en la figura # y la tabla 1.
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T(5+(1. D(%#* !e +( -e! -e*'+%(!#* #5%e$&!#*
(3/ 22C2(7/ 7( +
43 C+//=
43 C+//=
C L 1>5G 9 L %.15 mm
H(Q R 2772(4/
(+C- R 2/(CH
C&-"'&% # N#.
I
3ramo
7ongitu d
iámetro
Iinicial
m
pul g
m m
lJs
1=1
$%%
1$
A% %
18%
S1=>
#%%
1>
#% %
S1=#
#%%
8
S1=A
$%%
1=5
$%%
o. Circuito adyacente
I
Hf
V
I
hf
*
lJs
m
mJs
lJs
m
mJs
%
1"5.<11
#.5> $
1.55 <
1"$.%<$
#.%" A
1.5
%$
%$>
<$.>$8
1.>5 1
1.%< "
<$.#58
1.%< <
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>% %
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#
>5.%11
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%.<" $
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II
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III
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= #.$" 5
= %.8"A
T hf %.%%%
L
T hf =%.%%1
L
Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.
CONCLUSIONES
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/i bien la ecuación de Ha&en R illiams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuber0as, de)a también un poco de inconformidad en cuanto ?ue el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, a'n con las *ariaciones del caudal y del n'mero de +eynolds.
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Como consecuencia de lo anterior, las pérdidas de energ0a por fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de arcy eisbach.
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(s0 mismo, el dimensionamiento de una red determinada, anali&ada con el 4étodo de Cross y la ecuación de Ha&en R illiams, conducir0a a la especificación de diámetros mayores ?ue los ?ue se obtendr0an si se aplicara el mismo método con la ecuación de arcy R eisbach. llo se comprobar0a cuando, de cumplir re?uerimientos de cargas de presión m0nima y máEima, se trata.
RECOMENDACIONES
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/e recomienda la difusión y el uso más generali&ado del 4étodo de Cross con la ecuación de arcy eisbach, en con)unción con la ecuación de Colebroo9 hite.
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s más confiable un *alor de 9 ?ue el correspondiente a C.
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l *alor del coeficiente de *iscosidad cinemática, *, debe introducirse lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real posible.
BIBLIOGRAFIA: • • • •
4ecánica de fluidos 22 de :garte uscador google 4ecánica de los fluidos y hidráulica de +onald V. Diles Hidráulica de canales de (rturo +ocha
