Teoria de Errores

Universidad Nacional de Ancash “Santiago Antúnez de Mayolo” FA$U" FA $U"AD AD DE IN%EN IN%ENIER#A IER#A A%RI$OA

INFORME DE A!ORA A!ORA"ORIO "ORIO DE F#SI$A I

Universidad Nacional Santiago Antúnez de Mayolo “UNASAM”

Carrera Profesional :

Ingeniería agrícola .

Año y Semestre

2013 -II

:

Asignatura

:

ocente !ema Alumno "ec#a

Física I Reyes Pareja Carlos Antonio

:

Mediciones y teoría de errores

:

domingue Morales !rayan

: :

0"-#$#-201%

$uaraz%Ancas#%Perú

Universidad Nacional de Ancash “Santiago Antúnez de Mayolo” FA$U" FA $U"AD AD DE IN%EN IN%ENIER#A IER#A A%RI$OA

INFORME DE A!ORA A!ORA"ORIO "ORIO DE F#SI$A I

M&'C'(N&S ) !&(*'A & &**(*&S '+ (,-&!'.(S:

1.1.& #n el 'resente la!oratorio a'rendimos a usar correctamente( esto incluye tam!i)n tomar las lecturas en los instrumentos tales como el *ernier +'ie de rey&( micr,metro y cronometro( entre otros. 1.2.& ue ue a'licramos la teoría de errores en las mediciones de las magnitudes /ísicas ue lle*amos a ca!o en el la!oratorio. ''+ MA!&*'A/ A U!'/'0A*:

2.1.& na regla graduada en milímetros. 2.2.& n *ernier de sensi!ilidad 0.0 Mm. 2.3.& n micr,metro de sensi!ilidad 0.01mm. 2.%.& n cronometro. 2..& n cilindro s,lido. 2..& n 'aralele'í'edo. 2.".& n eui'o de ')ndulo sim'le. 2.4.& na !alana. '''+ MA*C( !&(*'C( ) C(NC&P!UA/: C(NC&P!UA/: 5a teoría de errores nos da un m)todo matemtico 'ara determinar con una !uena a'ro6imaci,n una cierta cantidad medida en el la!oratorio( a la cual de/inimos como el *erdadero *alor( aunue este *alor jams sa!remos cual es el *erdadero *alor en la 'rctica. Para 7a!lar de una medida 'recisa( de!emos de eliminar la mayoría de los errores sistemticos( sistemticos( y los errores errores casuales de!en de ser muy 'eue8os( y esto nos 'ermite dar el resultado con un gran n9mero de ci/ras signi/icati*as. 123+ Medici4n: #s el 'roceso 'roceso de com'araci,n com'araci,n de las magnitudes magnitudes(( 'ara esto de!emos em'lear el mismo siste sistema ma de medi medida dass 're* 're*iam iamen ente te esta! esta!le leci cido do y ue ue en la 'rc 'rcti tica ca de!e de!en n de ser cum'lidas( a continuaci,n mencionaremos tres ti'os de medici,n: 125+ Clases de Medidas 12523+ Medida directa ;e asume como unidad de medida una unidad 'atr,n( la medida directa se e/ect9a 'or com'araci,n con el 'atr,n escogido como la unidad de medida. #ste m)todo es conocido como m)todo de medida relati*a( 'orue los n9meros ue nos dan la medida de la magnitud de'enden de la unidad de medida seleccionada y 'ueden ser /ijadas de modo ar!itrario. 12525+ Medida indirecta na cantidad como la densidad de un cuer'o( son medidas indirecta( ejem'lo. n cuer'o tiene una densidad ' igual M <( <( la densidad esta en /unci,n de la masa y el *olumen( 'or lo tanto es una medida indirecta.

Universidad Nacional de Ancash “Santiago Antúnez de Mayolo” FA$U"AD DE IN%ENIER#A A%RI$OA

INFORME DE A!ORA"ORIO DE F#SI$A I

121+ &rror en una medici4n 5lmese error a: 5a di/erencia ue se tiene a una medici,n y =el *alor *erdadero>. 5a incertidum!re estimada de un *alor medio o calculado( la ue 'uede ser e6'resada mediante la des*iaci,n estndar. Por lo general los errores se di*iden en dos clases: #rrores sistemticos y errores casuales o aleatorios. 126+ Clases de errores 12623+ &rrores Sistem7ticos Cuando determinados errores se re'iten constantemente en el transcurso de un e6'erimento o !ien durante una 'articular serie de medidas( se dice ue los errores estn 'resentes de manera sistemtica e/ectuando así los resultados /inales siem're en un mismo sentido. ;e 'ueden *er *arias clases de errores sistemticos como son: 12625+ &rrores Casuales o Accidentales ;on auellos ue se 'resentan a cada instante en la medici,n de cualuier magnitud /ísica( siendo im'osi!le determinar la causa de estos errores( 'ueden ser:

A continuaci,n mencionaremos algunos ejem'los de este ti'o de errores: a& ?e a'reciaci,n o juicio !& ?e condiciones de tra!ajo c& de /actor de de/inici,n 128+ Calculo de &rrores 9ara Medidas irectas 3..1& @ratamiento estadístico.- #n la medici,n de una magnitud /ísica =a>( su'ongamos lo siguiente:

a& ;e 7a tenido cuidado en eliminar los errores sistemticos( es decir las medidas son e6actas. !& ;,lo e6isten errores aleatorios o causales de modo ue las medidas son 'recisas. c& 5as mediciones se re'iten n  10 *eces( siguiendo en mismo 'roceso( con los mismos instrumentos( o!teni)ndose distintas lecturas. ai B a1  a2  D  a n d& Para determinar el *alor *erdadero de la magnitud =a> a 'artir de las lecturas( se toma el mejor *alor de la magnitud a su *alor 'romedio =E>( dado 'or: ai

=

a1

+ a2 + ... + an n

∑ =

n i =1

ai

+1&

n

e& #l error cuadrtico medio( de una serie de medidas de la magnitud =a> se o!tiene mediante la ecuaci,n:

F

µ = ±

∑ +ai − a& n −1

2

=±

∑e

2 k

n −1

+2&



?onde( =n> es el n9mero de mediadas y e G B +ai - E&( es el error a'arente de la cantidad de =a>. /& ;i luego de calculado H( se tiene ue algunas lecturas( est /uera del inter*alo: E -3H  ai  E J 3H( esta lectura no es con/ia!le y de!e ser eliminada. #n esta situaci,n se 'rocede a 7acer los clculos utiliando en n9mero de *alores con/ia!les. g& #l error estndar de una serie de medidas de una magnitud =a> se o!tiene mediante la ecuaci,n: F

σ

=±

µ

n

=±

∑ +a i − a &

2

+3&

n + n − 1&

7& el error estndar calculado en la ecuaci,n +3&( indica ue si las lecturas corres'onden a una distri!uci,n gaussiana( entonces en le inter*alo +E -3K  a  E J 3 K& se encuentra en casi a!soluta certea el *alor =*erdadero> de la magnitud =a>. 5a magnitud /ísica de!e ser escrita /inalmente en la /orma siguiente: aBEL3K

+%&

3..2 @ratamiento $o #stadístico.- 5lmese tratamiento no estadístico a auel en ue el n9mero de mediciones +n& es menor ue 1. #6isten dos 'osi!ilidades: a& ;i el n9mero de medidas de la magnitud /ísica es menor de 10( entonces el error est dado 'or: − +& ∆a = ama6 amin 2 ?onde: ama6 B ma6.+a1 ( a2 ( D ( a n& n10 amin B min.+a1 ( a2 ( D ( a n& n10 5a magnitud se escri!e /inalmente mediante: a B E L NE

+&

!& ;i s,lo se 7a e/ectuado una sola medida( el error Na o( se estima la sensi!ilidad del instrumento( luego el *alor considerado *erdadero se o!tiene mediante: a B a1 L Nao +"& 128212 &rror Asoluto2% 5lmese error a!soluto alas cantidades +3O( Na y Na o& de las ecuaciones +%&( +& y +"&. 128262 &rror *elativo2% est dado 'or el conciente del error a!soluto y el *alor 'romedio de la magnitud /ísica medida. +4& er

= error ...absoluto F a



128282 &rror Porcentual.- ?e/inido 'or el 'roducto del error relati*o 'or 100( e6'resado en 'orcentaje. e ' B er 6 100 +Q& 12;2 C7lculo de &rrores 9ara Medidas 'ndirectas ;i F es una magnitud /ísica ue de'ende de *arias magnitudes distintas 6( y( (D es decir: F B /+6( y( (D& +10&

 al medir e6'erimentalmente las magnitudes 6( y( (D( se considera a F como resultado de una magnitud indirecta. Para determinar la magnitud F con su res'ecti*o error( 7ay ue distinguir las siguientes situaciones: i& @odas las magnitudes 6( y( (D( se considera a F como resultado de una magnitud indirecta. ii& $inguna de las magnitudes 6( y( (D( son estadísticas. iii& Alguna de las magnitudes 6( y( (D( son estadísticas y las restantes no la son. 3..1 @ratamiento #stadístico.- #n la medida de cierta magnitud /ísica /( su'ongamos lo siguiente: a& ;e 7a tenido cuidado en eliminar los errores sistemticos y s,lo e6isten errores causales. !& 5as lecturas de las mediciones de cada una de las magnitudes se re'iten 'ara n  10( siguiendo el mismo 'roceso. 6i B 61  62  D  6n yi B y1  y2  D  yn i B 1  2  D   n c& ;e o!tienen los *alores 'romedios de cada una de las magnitudes F

x =

∑ x

F

i

y

n

=∑

yi

F

z =

n

∑ z

i

+11&

n

d& #l *alor 'romedio de la magnitud /ísica F( est dado 'or: F

F

F

F

F = + x( y ( z ( ..&

+12&

e& el error cuadrtico medio de la magnitud F( est dado 'or: 2

2 2 2 ∂ F   ∂ F  2 +   ∂ F  2 + ...   µ f = ±  +  µ µ   µ  ∂ x  x  ∂ y   y  ∂ z  z

/& #l error estndar est dado 'or: 2

2  ∂ F  2  ∂ F  2 2 F  ∂ 2   σ y +   σ z + ... + σ f = ±    ∂ x  σ x  ∂ y   ∂ z  

+13&



+1%&

g& 5a magnitud /ísica F( /inalmente de!e ser escrita de la siguiente /orma. F B F L 3K/

+1&

7& 5a cantidad 3K constituye el error a!soluto( y el error relati*o est e6'resado 'or: er

F = 3σ F

+1&

F i& #l error 'orcentual estar e6'resado 'or: eP =

3σ F F

+1"&

x100P

F

3..2. @ratamiento $o #stadístico.- #l 'ro!lema ue a continuaci,n se 'lantea es un caso general. ;ea F B /+6( y( (D&( se 'lantea las siguientes situaciones: a& @odas las magnitudes /ísicas 6( y( (D( se miden un n9mero de *eces no mayor ue Q +n10&( el error a!soluto de la magnitud F se determina de la ecuaci,n: ∆ F =

∂ F ∂ x

∆ x +

∂ F ∂ y

∆ y +

∂ F ∂ z

∆ z

+14&

!& @odas las magnitudes 6( y( (D( se miden una sola *e( entonces el error a!soluto de F est dado 'or: ∆ F =

∂ F ∂ x

∆ xo +

∂ F ∂ y

∆ yo +

∂ F ∂ z

∆z o

+1Q&

c& n gru'o de cantidades se mide una sola *e( otro gru'o un n9mero de *eces menor ue 10 y lo ue resta un n9mero mayor ue 10( entonces el error a!soluto de F( se determina 'or: ∆ F =

∂ F ∂ x

∆ xo +

∂ F ∂ y

∆ y +

∂ F ∂ z

+3σ o &

+20&

'.+ M&!((/(<'A: 6232 Para determinar la dimensi4n de la mesa a& ;eleccione una dimensi,n de la mesa +largo( anc7o o altura&. !& Con la regla mida la dimensi,n seleccionada( registrando su lectura en la ta!la I. c& Re'ita el 'aso +!& 'or 12 *eces.

@a!la I. ?atos 'ara determinar la dimensi,n de la mesa


n

1

ai

2 60,9

3 60,7

4 61

5 60,9


6

7

61

61

8 60,8

9 61

10 60,9

11 61

12 61

60,9

6252 Para determinar el volumen del cilindro a& ;eleccione una de los cilindros +'lomo( co!re o aluminio&. !& Con el *ernier( mida el dimetro 12 *eces( registre su lectura en la ta!la II. c& Con el *ernier( mida la altura 12 *eces y registre sus lecturas en la ta!la II.

@a!la II. ?atos 'ara determinar el *olumen del cilindro n D(Mm.) h(Mm.)

1 26 102

2 25.9 102

3 26 102

4 26.1 102

5 26 101.9

6 25.9 101.9

7 25.7 101.9

8 25.8 101.8

9 26 102,1

10 25.9 102

11 25.8 102

6212 Para determinar el 9eriodo del 9=ndulo a& instale el eui'o tal como se muestra en la Fig. 1( sus'endiendo la masa es/)rica del so'orte 'endular.

C Fig.1

S A

!& Ajuste el 7ilo ue sostiene la masa 'endular a 1m de longitud( *eri/icando dic7o *alor con la regla( registrando la lectura en la ta!la II. c& ?es'lace la masa 'endular 7asta la 'osici,n c( a'ro6imadamente 10 cm.( midiendo en la /orma 7oriontal y suelte dic7a masa a 'artir del re'oso. d& Con el cron,metro mida el tiem'o ue demora el ')ndulo en dar 10 oscilaciones( registre su lectura en la ta!la III. e& Re'ita el 'aso +d& 'or 10 *eces y anote sus lecturas en la ta!la III. /& Con los datos o!tenidos en los 'asos +d& y +e& determine el 'eriodo de la masa 'endular +@ B tTn& @a!la III. ?atos 'ara determinar el 'eríodo del ')ndulo 5 B 1m.

12 26,1 102


n 1 t(s) 19.65 T(s) 1.965

2 20.06 2.006

3 19.14 1.914

4 19.67 1.967


5 19.68 1.968

6 19.66 1.966

7 19.34 1.934

8 19.53 19.53

9 20.06 20.06

10 19.94 19.94

6262 Para determinar la densidad de la masa 9endular a& Con el micr,metro mida 'or  *eces el dimetro de la es/era del ')ndulo( registre su lectura en la ta!la I<. !& Con la !alana mida 'or una sola *e la masa de la es/era del ')ndulo( registre su lectura en la ta!la I<

@a!la I<. ?atos 'ara determinar la densidad de la masa 'endular. n 1 D(Mm.) 13.49 M (g) 29.3

2 13.48 29.3

3 19.48 29.3

4 13.49 29.3

5 13.49 29.3

6 13.50 29.3

6282 Para determinar el volumen de un 9aralele9>9edo a& Con el *ernier mida dos *eces cada una de las dimensiones +largo( anc7o y altura& del 'aralele'í'edo( registre su lectura en la ta!la <. !& Con el *ernier mida 'or 11 *eces las alturas y los dimetros de cada uno de los ori/icios cilíndricos del 'aralele'í'edo( registre su lectura en la ta!la <.

@a!la <. ?atos 'ara determinar el *olumen de un 'aralele'í'edo n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a(cm.) b(cm.) 7.50 8.30 7.45 8.40 7.49 8.31 7.45 8.31 7.46 8.30 7.44 8.30 7.47 8.30 7.43 8.30 7.45 8.30 7.47 8.30 7.47 8.30

c(cm.) 1.54 1.55 1.56 1.543 1.54 1.55 1.56 1.54 1.56 1.56 1.54

d1(cm.)

h1(cm.)

d2(cm.)

h2(cm.)

1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

0.51 0.51 0.52 0.49 0.50 0.51 0.52 0.49 0.49 0.50 0.49

2.00 1.95 1.95 1.95 1.95 1.95 1.90 1.90 1.95 1.95 1.95

0.48 0.49 0.48 0.47 0.47 0.48 0.48 0.48 0.49 0.49 0.47

.+ CU&S!'(NA*'(:

.1. Con los datos de la ta!la I( determine la dimensi,n de la mesa con su res'ecti*o *alor a!soluto y 'orcentual. 1& @a!ulaci,n de la longitud de la mesa: n

1

ai

2 60,9

3 60,7

4 61

5 60,9

6 61

7 61

2& Procesamiento de datos y clculo del error. Medici,n: ?irecta

8 60,8

9 61

10 60,9

11 61

12 61

60,9



Procesamiento: #stadístico a& Promedio 0.Q + 0." + 1 + 0.Q + 1 + 1 + 0.4 + 1 + 0.Q + 1 + 1 + 0.Q L = 12 F

F

L

=

"31.1 12

= 0.Q2Cm

!& #rror cuadrtico medio +H& F

µ

;e tiene ue 7allar:

n Li (Li-L) (Li-L)2

∑ + Li − L&

=±

n −1

2

F

2

∑ + L − L& i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

60,9

60,7

61

60,9

61

61

60,8

61

60,9

61

61

60,9

-0.008

-0.008

0.002

0.002

0.002

0.002

0.012

-0.008

0.000004 0.000004 0.000064 0.000064 0.000004 0.000004 0.000004 0.000004 0.000064 0.000004 0.000144

0.000064

F

∑ + L − L& i µ =

±

0.000%24

= 0.000%24cm

d& #rror estndar +K& F

σ

=±

µ

n

Reem'laando: σ =

±

2

∑ +ai −a&

=±

n+n − 1&

0.002% 132

σ = ±0.000%

e& #rror a!soluto +#a& #a B L 3+K& cm. #a B L 3+0.000%& cm. #a B L 0. 00162 cm. f) !!"! !#$ati%" (!)

Er =

Ea F

L

=

± 0.0012 42.24

0.002

2

µ = ±0.002% 0.000034Q0Q

= ±

12 − 1

0.002

2

-0.008

0.002



#r B L 0.000001Q2 cm. g& #rror 'orcentual +#& # B +#r6100&  # B 0.0001Q2  F F

7& 5ongitud de mesa

L

= L± E P

5 B 42.24 J 0.0001Q2 B 42.241Q2 U 42.242cm. 5 B 42.24 - 0.0001Q2 B 42.2"4034 U 42.2"4cm. .2. Con los datos de la ta!la II( determine el *olumen del cilindro con su res'ecti*o *alor a!soluto y 'orcentual. 1& @a!ulaci,n de datos: n D(Mm.) h(Mm.)

1 26 102

2 25.9 102

3 26 102

4 26.1 102

5 26 101.9

6 25.9 101.9

7 25.7 101.9

8 25.8 101.8

9 26 102,1

2& Procesamiento de datos Medici,n: Indirecta @ratamiento: #stadístico ?imetro: ? +n B 12& Altura B 7+n B 4& ;e desea calcular: < B VW ;i: < B XR 27 D. +Y& < B X?27T% a& Promedio F

30.Q = 2."Q Mm 12 F 30.Q D = = 2."Q Mm 12

D =

F

h= F

h

=

2 + 2.Q + 2 + 2.1 + 2 + 2.Q + 2." + 2.4 + 2 + 2.Q + 2.4 + 2.1 12 311.2 12

= 2.Q3 Mm

!&
F

V F

V

=

=

F

π + ?& 2 h %

π +2."QMn& 2 +101."Mn & %

10 25.9 102

11 25.8 102

12 26,1 102


F

V


= 220.33Mn 3

c& #rror cuadrtico 2

µ V

2

F F  ∂ V  2  ∂ V  2    = ±  F  µ +  F  µ  ∂ D  V  ∂ h   h    

F

F F

F

∂ V

=

F

∂ D

π 2

F

F F

D h



µ F D

=±

∑

+ Di − D & 2 n −1

F

F 2 ∂ V = π D F ∂h %

F



µ F h

=±

∑

− h& 2 n −1

+ hi

n Di (Di-D) (Di-D)2 1 25.58 0.00042 0.0000 2 25.59 -0.03300 0.0011 3 25.58 -0.04300 0.0018 4 25.57 -0.05300 0.0028 5 25.58 -0.04300 0.0018 6 25.575 -0.04800 0.0023 7 25.58 -0.04300 0.0018 8 25.58 -0.04300 0.0018 9 25.585 -0.03800 0.0014 10 25.575 -0.04800 0.0023 11 25.58 -0.04300 0.0018 12 25.58 -0.04300 0.0192 & 306.96 0.0384

hi 101.70 101.65 101.60 101.70 101.60 101.70 101.60 101.65 101.85 101.70 101.70 101.65 1220.100

F

∂ V = π +2."QMn&+101."Mn &  F ∂ D 2

µ

F

F

µ F

= %04.33Mm 2



∂ D

D

F

∂ V F

∂h

=

π %

+2."Q Mm&

2



0.034% 11

D

F

∂ V

=±

(hi-h) (hi-h)2 0.025 0.0006 -0.025 0.0006 -0.075 0.0056 0.025 0.0006 -0.075 0.0056 0.025 0.0006 -0.075 0.0056 -0.025 0.0006 0.175 0.0306 0.025 0.0006 0.025 0.0006 -0.025 0.0006 0.0525

µ

F

h

= ±0.0Q1

=±

0.02 11

F

∂ V F

= 13.4Q4Mm 2

∂h



µ F h

= ±0.0Q1

Reem'laando en la ecuaci,n: µ V

=±

µ V

= ±2%%.0%1mm

+%04.33& 2 +0.0Q1& 2

+ +13.4Q4& 2 +0.0Q1&



d& #rror estndar +K& 2

σ V

2

 ∂ F v  2  ∂ F v  2   = ±  F  + σ  ∂ D   D  ∂ F h   σ h     F

F

F

F

∂ V F

= %04.33Mm

2



δ D



δ h

=±

∂ D

0.034%

= ±0.01"1

132

F

Z∂ V F

F

= 13.4Q4Mm 2

∂h

=±

0.02 132

= ±0.01QQ

Reem'laando en la ecuaci,n: σ V

=±

σ V

= ±"0.0% Mm

+ +13 .4Q4& 2 +0.01QQ& 2

+ %04.33 & 2 + 0.01"1& 2

e& #rror a!soluto +#a& Ea = ±3δ V #a B L 3+"0.0%Mm& #a B L 211.412 Mm. /& #rror relati*o +#r& Er = ±

Ea F

V Er =

±

211.412 Mm 220.33 Mm

= ±0.00%0

g& #rror 'orcentual +#& # B +#r6100&  # B +0.00%06100&  # B 0.%0 g&
[& V = V + E P < B 220.33 J 0.%0

F

V = V ± E P F

[& V = V − E P < B 220.33 - 0.%0



< B 220.034Mm 3

< B 22.224Mm 3

.3. Con los datos de la ta!la III( determine el 'eriodo del ')ndulo sim'le con su res'ecti*o *alor a!soluto y 'orcentual. 1& @a!ulaci,n de datos: n 1 t(s) 19.65 T(s) 1.965

2 20.06 2.006

3 19.14 1.914

4 19.67 1.967

5 19.68 1.968

6 19.66 1.966

7 19.34 1.934

8 19.53 1.953

9 20.06 2.006

2& Procesamiento de datos: Medici,n: ?irecta @ratamiento: $o estadístico a& Promedio F

1.Q + 2.00 + 1.Q1% + 1.Q" + 1.Q4 + 1.Q + 1.Q3% + 1.Q3 + 2.00 + 1.QQ% 10

F

1Q."3 10

T = T =

= 1.Q"3 s

!& #rror a!soluto +#a&

∆T = T ma6 − T min 2

∆T = ∆T =

1.Q44 − 1.Q" 2 0.012 2

s

= 0.00 s

c& #rror relati*o +#r&: Er =

0.00 s 1.Q40% s

Er =

∆T F

T

= 0.0030

d& #rror 'orcentual +#& # B +#r6100&  # B +0.00306100&  # B 0.3  e& #l 'eriodo del tiem'o: F

T = T ± ∆T F

[&

T = T + ∆T

@ B 1.Q40% J 0.00

F

[&

T = T − ∆T

@ B 1.Q40% - 0.00

10 19.94 1.994



@ B 1.Q4% s

@ B 1Q."%% s

.%. Con los datos de la ta!la I<( determine la densidad de la es/era 'endular con su res'ecti*o *alor a!soluto y 'orcentual. 1& @a!ulaci,n de datos: n 1 D(Mm.) 13.49 M (g) 29.3

2 13.48 29.3

3 19.48 29.3

4 13.49 29.3

5 13.49 29.3

6 13.50 29.3

2& Procesamiento de datos: Medici,n: Indirecta @ratamiento: $o estadístico [& 5ecturas: Masa +g& ?imetro +?&



ρ =

m D +Y& v

=

π R 3 D +\& 

[&
% 3

π R

3

3

D  = π    3  2  %



v

Reem'laando: m

ρ

=

D π

a& Promedio F

D = F

D

13.%Q + 13.%4 + 1Q.%4 + 13.%Q + 13.%Q + 13.0 

= 4.Q3 = 1%.%443 Mm 

m B 11.3 g !& Promedio de la densidad ρ =

ρ =

3m π D

3

 x11.3 g

π +1%.%443 Mm& 3

ρ = 0.00420 g T Mn 3

c& #rror a!soluto +#a& Ea = ∆ ρ =

∂ ρ =  ∂m π D 3

∂ ρ ∂m

∆mo +

∂ρ ∂ D

∆ D

∂ ρ = − 14m ∂ D π D %

3


∂ ρ  = ∂m π +13.40" Mm& 3


14 x+11.3 g & ∂ ρ = ∂m π +13.40" Mm& % ∂ ρ = 0.0001"4Mm % ∂m

∂ ρ = 0.000"2 Mm 3 ∂m

∆ D = Dmar − D min F

2

N? B L 0.02 Mm. Ea

= ∆ρ = +0.000"2&+0.1& + +0.0001"4&+0.00&

Ea

= ±0.0000"3 T Mm 3

d& #rror relati*o +#r&:

Er =

Ea F

ρ

Er =

0.0000"3 Mm 3 0.00420 Mm 3

= 0.004Q

e& #rror 'orcentual +#& # B +#r6100&  # B +0.004Q6100&  # B 0.4Q 

/& ?ensidad de la masa 'endular: F ρ

= ρ ± E P F

F

[&

ρ = ρ + E P

[&

υ = υ − E P

B 0.00420 J 0.4Q B 0.4Q42 gTMm 3

B 0.00420 J 0.4Q B - 0.4414 gTMm 3

.. Con los datos de la ta!la <( determine el *olumen del 'aralele'í'edo a7uecado( con su res'ecti*o *alor a!soluto y 'orcentual. 1& @a!ulaci,n de datos: n a(cm.) 1 7.50 2 7.45 3 7.49 4 7.45 5 7.46 6 7.44

b(cm.)

c(cm.)

d1(cm.)

h1(cm.)

d2(cm.)

h2(cm.)

8.30 8.40 8.31 8.31 8.30 8.30

1.54 1.55 1.56 1.543 1.54 1.55

1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

0.51 0.51 0.52 0.49 0.50 0.51

2.00 1.95 1.95 1.95 1.95 1.95

0.48 0.49 0.48 0.47 0.47 0.48


7.47 7.43 7.45 7.47 7.47

7 8 9 10 11

8.30 8.30 8.30 8.30 8.30

1.56 1.54 1.56 1.56 1.54


1.1 1.1 1.1 1.15 1.15

0.52 0.49 0.49 0.50 0.49

1.90 1.90 1.95 1.95 1.95

0.48 0.48 0.49 0.49 0.47

2& Procesamiento de datos: [&
π

%

2

2

+d 1 h1 + d 2 h2 &

a& Promedio:

F

=

d 1 F

=

d 1

1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 + 1.1 11 12.2 11

= 1.10Qcm

0.1 + 0.1 + 0.2 + 1.%Q + 0.0 + 0.1 + 0.2 + 0.%Q + 0.%Q + 0.0 + 0.%Q 11 F .3 h1 = = 0.Q3cm 11

F

h1

=

= 1.QQ + 1.Q4 + 1.QQ + 2 + 1.QQ + 1.Q4 + 1.Q4 + 1.QQ + 1.Q4 + 1.QQ + 1.Q4

F

d 2

11

F

d 2 F

h2

=

21.4 11

= 0.%4 F

h2

=

= 1.Q4cm

+ 0.%Q + 0.%4 + 0.%" + 0.%" + 0.%4 + 0.%4 + 0.%4 + 0.%Q + 0.%Q + 0.%"

.24 11

11

= 0.%4cm

!& Promedio del 'aralele'í'edo F

V F

V F

V

2

=

= +4.3%2&+".%"2&+1.%0& − = Q2 .04cm 3

c& #rror a!soluto +#a&

2

π F F F F abc − + d 1 h 1 + d 2 h 2 & %

π [+1.133& 2 +0.43& + +1.Q%& 2 +0.Q"3&] %


F

F


F

F

F

F

∂ V ∆a + ∂ V ∆b + ∂ V ∆c + ∂ V 3δ d F + ∂ V 3δ h F + ∂ V Ea = ∆V = 1 1 F F F F F F ∂a ∂b ∂c ∂ d 1 ∂ h1 ∂ d 2

F

∂ V 3δ d 2 + F ∂ h2

3δ h2

(d2i-d2)2

h2i

(h2i-h2)2

2.975207-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03 1.210000-04 1.210000-04 1.521000-03 1.521000-03 1.521000-03

0.975

0.002 5.165-06

0.975

0.595 0.354025

0.975

0.595 0.354025

0.975

0.595 0.354025

0 .97

0.5 90

0 .97

0.5 90

0 .97

0.5 90

0 .97

0.5 90

0 .97

0.5 90

0.975

0.595

0.975

0.595

0.015385207

10.700

F

F

F

∂ V F

F F

= b . c = +4.3%2&+1.%0& = 11.0" cm 2

∂a F

∂ V F

F F

= a . c = +4.3%2&+1.%0& = 12.4%" cm 2

∂b F

∂ V = a F . b F = +4.3%2&+".%"2& = 2.331cm 2 F ∂c F

∂ V = − π +d F h F & = − π +1.133&+0.43& = −1.03"cm 2 1 1 F 2 2 ∂ d 1 F

∂ V F

=−

π %

∂ h1

F

π

=−

+ d 1 & 2

%

+1.133& 2

= −1.004cm 2

F

∂ V

π

=−

F

2

∂ d 2

F

F

+ d 2 h2 &

=−

π 2

+1.Q%&+0.Q"3&

= −2.Q"3cm 2

F

∂ V F

=−

∂ h2

∆a =

π %

F

+d 2 & 2

=−

a ma6 − a min 2

π %

2

2

=

0.00 2

= 0.002cm

".%Q − ".%Q0 = 0.00 = 0.002cm 2 2 1. − 1.0 0.01 = = 0cm 2 2

h1i

(h1i-h)

(h1i-h1)2

d2i

(d2i-d2)

1 1.14

(d1i ( d1i-d1)2 d1) 0.002 0.000003

0.585

0.002

0.000005

2

2 1.14

0.014

0.000199

0.58

0.115

0.013225

1.95

3 1.13

0.009

0.000083

0.58

0.115

0.013225

1.95

4 1.13

0.009

0.000083

0.58

-

0.000000

1.95

5

1.13

0.009

0.000083

0.585

0.120

0.014400

1.95

6

1.14

0.014

0.000199

0.585

0.120

0.014400

1.95

7 1 .13

0.009

0.000083

0.585

0.120

0.014400

1.9

8 1.14

0.014

0.000199

0.58

0.115

0.013225

1.9

9 1.14

0.014

0.000199

0.58

0.115

0.013225

1.95

10 1.14

0.014

0.000199

0.585

0.120

0.014400

1.95

11 1.14

0.014

0.000199

0.585

0.120

0.014400

1.95

0.039 0.039 0.039 0.039 0.039 -0.011 -0.011 0.039 0.039 0.039

0.001527

6.410

0.124905

21.400

n

&

d1i

c ma6 − c min 2

= −2.Q"1cm 2

− 4.3%0 = = 4.3%

∆b = b ma6 − b min = ∆c =

+1.Q12& 2

12.465

δ d 1

=±

∑

0.055

F

+ d i i − d 1 & 2 n + n − 1&

=

+0.0012"& 2 11+11 − 1&

= ±0.0001%cm

(h2i-h2)

0.3481 0.3481 0.348100 0.3481 0.3481 0.354025 0.354025 3.5106302


δ h1

δ d 2

δ h2

F

=±

∑

=±

∑

+ d 2 i − d 2 & 2

=±

∑

+ h2 i − h 2 & 2

+hi i − h1 &

2

+0.12%Q0& 2

=

n+n − 1&


11+11 − 1&

= ±0.011Q0Q cm

F

+ 0.013420" & 2 = 11+11 − 1&

n + n − 1&

= ±0.001%Qcm

F

n + n − 1&

+3.10302& 2 11+11 − 1&

=

= ±0.33%"2cm

Reem'laando en la ecuaci,n: Ea

= ∆V = 11.0" 0.002 + 12.4%" 0 .002 + 2.3310 + − 1.03" 3 × 0.0001% +

− 1.004 3 x0.011Q0Q + − 2.Q"3 3 x0.001%Q + − 2.Q"1 3 x0.33%"2

Ea

= ∆V = 3.0Q%cm 3

c& #rror relati*o +#r&:

Er =

Ea F

V

Er =

3.0Q%cm 3 Q2.04cm 3

= 0.033

d& #rror 'orcentual +#& # B +#r6100&  # B +0.0336100&  # B 3.3  e&
F

F

V = V + E P

[&

B Q2.04 J 3.3 B Q.%24cm3

[&

V = V − E P

B Q2.04 - 3.3 B 44."04cm3

.. ?escri!a ?. cada uno de los instrumentos utiliados en la e6'eriencia en el la!oratorio.



..1.& *egla graduada en mil>metros2% Instrumento ue se utilia 'ara medir o!jetos lineales a la 'recisi,n( tiene la *entaja de ser de metal( 'or tal menor dilataci,n y no *aría tanto su lectura. ..2.& .ernier de sensiilidad ?2?8 Mm2% Facilita la medici,n de o!jetos muy 'eue8os( 'or ejem'lo se tom, las medidas de los radios del 'aralele'í'edo. ..3.& Micr4metro de sensiilidad ?2?3mm2% Instrumento ue consta de un tam!or giratorio( ue tiene como eje una regla graduada sir*e 'ara medir los radios de las es/eras. ..%.& Cronometro2% Instrumento ue sir*e 'ara medir inter*alos de tiem'o( se utili, 'ara medir el 'eriodo del ')ndulo. ...& Cilindro s4lido2% ]ec7o de aluminio y moti*o de estudio en el la!oratorio( se determin, su *olumen. ...& Paralele9>9edo2% ]ec7o de metal( tenía dos circun/erencias y /ue moti*o de estudio en el la!oratorio. ..".& &@ui9o de 9=ndulo sim9le2% Consta de un ')ndulo de metal( sus'endido a 1m de su a'oyo. ..4.& ,alanza2% Instrumento 'ara medir la masa( se utili, una !alana de 'latillos y 'ilones. .". ?e/ina: 'recisi,n( e6actitud y sensi!ilidad de un instrumento. Precisi4n: ;e re/iere al grado de dis'ersi,n de las mediciones( es decir la 'recisi,n es la medida de la dis'ersi,n del error de los resultados de una serie de mediciones 7ec7as intentando determina el *alor real. ;e dice ue una cantidad es tanto mas 'recisa cuanto mas 'eue8os son los errores casuales. &actitud: ;e re/iere si la medida tomada es ms e6acta si el margen de error es mínimo o tiende a cero. Sensiilidad: ;e re/iere al grado de cali!raci,n del instrumento( cuanto ms agudo +cali!rado&( este nos dar la magnitud casi con certea.

.4. ?escri!a ?. 5as distintas clases de errores sistemticos y causales( se8alando ejem'los. Como su nom!re lo indica( estos errores son /ortuitos y no es 'osi!le determinar la causa de estos errores. ;iem're estn 'resentes en la medida de cualuier cantidad /ísica y es a 'riori im'redeci!le. A continuaci,n mencionaremos algunos ejem'los de este ti'o de errores:



% &rrores de a9reciaci4n: 5a mayoría de instrumentos reuieren de una estimaci,n en las /racciones 'ara la lectura( y al re'etir el 'roceso de o!ser*aci,n *arias *eces( el e6'erimentador lectura di/erentes medidas. % Condiciones de traaBo #n el transcurso de un e6'erimento( las condiciones am!ientales 'ueden *ariar( tal es el caso de la 'resi,n atmos/)rica( la tem'eratura del am!iente( la 7umedad y ue a/ectan en las mediciones. % "alta de definici4n : Aunue el 'roceso de medici,n 7alla sido 'er/ecto( al re'etir las medidas 'ueden dar cantidades di/erentes( 'uesto ue las cantidades a medirse no estn del todo de/inidas.

.''2

*&C(M&NAC'(N&S



#n esta 'rctica se recomienda utiliar correctamente los instrumentos de medida de acuerdo con las instrucciones del 'ro/esor. Cada alumno del gru'o e/ect9a una medida y 'asa el material a sus com'a8eros. Practicar el uso de los instrumentos de la!oratorio( 'ues esto /acilitar la toma de mediciones de una manera acertada y r'ida.



;iem're tener en cuenta en mediciones o clculos ue e6istir siem're los errores de medida.

.'+ C(NC/US'(N&S:

.1.& ;e llega a la conclusi,n ue los errores se 'resentan al momento de medir una magnitud /ísica. .2.& Para di/erentes magnitudes e6iste otro 'roceder 'ara el clculo del error. .3.& ;e de!e realiar las medidas con 'recauci,n y e*itando el error causal. .%.& #n esta 'rctica se 'udo com'ro!ar ue los alumnos sa!en utiliar los instrumentos como de!ería de ser. ..& Com'ro!ado ue los resultados nos son totalmente e6actos( ya ue 7ay *ariaciones entre una y otra medida realiada. ;e diría ue nunca daremos con una medida e6acta ni 'recisa solo una a'ro6imaci,n.



.''+ ,',/'(<*A"'A:

".1.& ^_5?#MS#R^

Física general y e6'erimental

".2.& ^IA$<#R$A$?I$_ <.

@eoría de errores.

".3.& ;IR#;( ^. 5

Física 'rctica.

Teoria de Errores

Recommend Documents