Funciones
Nombre: Matías Rodríguez Corvalan Iván Canales Jara Erick Garrido Mellado Docente: Isella Docente: Isella Cisterna Parra Ramo: Matemática I Sección: 101 Sección: 101 Fecha de entrega: 08/07/15 entrega: 08/07/15
Introducción: A continuación continuación daremos a conocer distintos tipos de funciones existentes en el mund mundo o de las las mate matemá máti tica cas s como como las las cons conste tes, s, line lineal ales es,, valo valorr abso absolu luto to,, raci racion onal ales es y cuadráticas. Que son, sus propiedades y gráficos.
Objetivos: Principalmente aprender el contenido, desarrollar dudas y averiguar e informar útiles propiedades sobre los distintos tipos de funciones. Además, demostrar por nuestros propios medios y explicarles explicarles a nuestros compañeros compañeros y profesora cómo se deben ejecutar los distintos tipos de funciones que vamos a presentar en este informe.
Desarrollo: Función: una Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen. Dominio de una función: Se llama dominio de dominio de f al conjunto de valores que toma la variable independiente, x. Se indica como Dom f . El dominio está formado, por tanto, por los valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un f(x). Recorrido Recorrido de una función: función: El recorrido es el conju conjunto nto de valore valores s que puede puede tomar tomar la variable variable dependie dependiente, nte, y, esto esto es el conj conjun unto to de las imág imágen enes es,, por por eso eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a x. Se representa como Im f .
Funciones: 1.- Constante Constante:: Una funció función n de la forma forma f(x) = b, b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.
2.- Lineal: Lineal: Una Una funció función n de la forma forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y, si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo . La representación gráfica de una función lineal es una recta. recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: f(x) = 2x − 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). −1). Su gráfica es una recta ascendente.
3.- Valor Valor Absoluto: Absoluto: La funció función n de valor valor absoluto absoluto tiene por ecuaci ecuación ón f(x) f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante.
4.- Racional Racional:: Una Una funció función n racion racional al es aquell aquella a dond donde e la varia variable ble apare aparece ce en el denominador. la gráfica que se genera se denomina hipérbola. dentro de la función racional, encontramos la función de proporcionalidad inversa
donde k es un número real distinto de cero. su representación gráfica es una hipérbola equilátera. para K > 0 se forma una familia de hipérbolas decrecientes que ocupan el primero y tercer cuadrante. Ejemplo:
Para K < 0 se forma una familia de hipérbolas crecientes que ocupan el segundo y cuarto cuadrante. Ejemplo:
Ejemplos:
Ejercicio a realizar en clases:
El domi domini nio o es el conj conjun unto to de los los núme número ros s real reales es para para los los que que la func funció ión n está está definida. En el caso de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales que no son ceros del denominador. Por lo tanto, para determinar el dominio de una función racional tenemos que encontrar los ceros reales del denominador. La más simple de las funciones racionales es:
5.- Cuadrática o de segundo grado: Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma f(x) = ax2 + bx + c ,donde a, b y c son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. Esta distinta orientación está definida por el signo que tenga el término cuadrático (ax2):
-Si a > 0 la parábola es cóncava
-Si a < 0 la parábola es convexa
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje delas X) Para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos f(x) = 0, 0, los valores de x tales que y = 0. 0. Entonces hacemos ax² + bx +c = 0. Como la ecuación posee un término de segundo grado, otro de primer primer grado y un término constante constante,, no podemos podemos aplicar aplicar las propieda propiedades des de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:
Enton Entonces ces,, las raíces raíces o soluc solucio iones nes de la ecuaci ecuación ón cuadr cuadráti ática ca nos nos indica indican n los los puntos puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). (abscisas) . Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos: Que corte al eje X en dos puntos distintos Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) Que no corte al eje X
Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). c). Veamos: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría. simetría. El eje de simet simetría ría de una parábola parábola es una recta vertical vertical que divide divide simétrica simétricament mente e a la curva; curva; es decir, decir, intuitiva intuitivament mente e la separa separa en dos partes partes congruen congruentes. tes. Se puede puede imaginar imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola. Su ecuación está dada por:
Donde x1 parábola.
y x2
son las raíces raíces de la ecuaci ecuación ón de segund segundo o grado grado en x, asociada a la
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de simetría de la parábola:
Vértice Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de vértice de la parábola es el punto de cort corte e (o punt punto o de inte inters rsec ecci ción ón)) del del eje eje de sime simetr tría ía con con la pará parábo bola la y tien tiene e como como coordenadas.
6.- Logarítmica: Definición: El logaritmo logaritmo de un número y es el exponent exponente e al cual hay que que elevar elevar la base base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”. Nota: El dominio de una funció función n logar logaritm itmo o es el conjun conjunto to de todos todos los números números reales reales positivos y el recorrido recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log 10 3 está definido, pero el log 10 0 y log10 (-5) (-5) no lo están. están. Esto Esto es, 3 es un valo valorr del domin dominio io logarítmico, pero 0 y -5 no lo son.
Las funciones y = b x y y = logb x para para b>0 b>0 y b difer diferent ente e de de uno uno son son func funcion iones es invers inversas as.. Así que que la gráf gráfica ica de de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica x de y = b . La grá gráfi fica ca de de y = b x tiene tiene como asíntota asíntota horizont horizontal al al eje de x mientras mientras que la gráfica de y = log b x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo:
y = 2x
y = log2 x
Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log 2 x es una reflexión de reflexión de la gráfica de y = 2 x sobre sobre la recta y = x. El dominio dominio de y = 2 x es el conjunto de losnúmeros reales y el recorrido es todos los números reales mayor mayores es que cero. cero. El domini dominio o de y = log 2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.
Conclusión: Vimos Vimos distin distintos tos tipos tipos de funcio funcione nes, s, su aplica aplicació ción n y gráfic gráficos. os. Es import important ante e tener tener conocimiento y saber cómo desarrollar las distintas funciones para facilitar su uso en cursos superiores y distintas materias.
Bibliografía: http://www.profesorenlinea.cl/matema http://www.profesorenlin ea.cl/matematica/Funcion tica/Funciones_tipos.htm es_tipos.htmll http://www.profesorenlin http://www.pro fesorenlinea.cl/matema ea.cl/matematica/funcion_ tica/funcion_cuadratica cuadratica.html .html http://facultad.bayamon.inte http://facultad.b ayamon.inter.edu/ntoro/l r.edu/ntoro/logaw.htm ogaw.htm http://www.vitutor.com/fun/2/c_12.html
http://www.ditutor.com/funciones/funcion http://www.ditutor.com/funcio nes/funcion_racional _racional.html .html http://almacn.blogspot.com http://almacn.b logspot.com/p/funcion-ra /p/funcion-racional.html cional.html
