DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CALCULO MULTIVARIADO Y ALGEBRA LINEAL Profesor: Hernando Montoya Chala
montoya.hernando@gmail.com
FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO
OBJETIVO Aplicar el cálculo en el estudio de trayectorias,velocidades y aceleraciones de cuerpos en movimiento.
PRESENTACION
Encuentre el punto sobre la curva dada ,que se encuentra a una distancia de 200 π unidades a lo largo de la curva desde el origen en la dirección de la longitud del arco creciente.
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CONTENIDOS FUNCIONES DE VALORES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO
Sesión 1. Si un movil se desplaza por el espacio , las ecuaciones x=f(t) , y=g(t) , z=h(t) que determinan la posición del movil en el tiempo t , se pueden escribir en forma resumida en notación vectorial como r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k. En donde para cada valor de t hay un vector de posición para el movil. r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k se denomina función de posición del movil en el tiempo t . Esta correspondencia que asigna un vector en el espacio a cada valor de t perteneciente a un intervalo de números reales se denomina función vectorial.
EJEMPLO 1 LIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES
Sesión 2. Page 2
Sección 1: Límites y continuidad El estudio de los límites y la continuidad en las funciones vectoriales tiene un tratamiento análogo al realizado con funciones reales.Es decir , el límite de una función vectorial r(t)=f(t)i + g(t)j + h(t)k existe en un punto to, si el límite de cada una de las funciones escalares en ese mismo punto existe. Para la continuidad de la función vectorial en un punto t = to también se exige que cada una de las funciones componentes sea continua en ese punto. A manera de comentario los puntos de la recta real en donde es continua la función vectorial r ( t ) = ln( 3 − t ) i + t − 1 j + t 2 k lo deducimos de la siguiente manera : Para la primera componente escalar se puede afirmar que es continua en todos los números reales menores de 3, mientras que la segunda componente es continua para todos los números reales mayores o iguales a 1, finalmente la tercera componente escalar es continua en todos los números reales. Luego el intervalo común "más grande" para la continuidad simultánea de las tres funciones escalares es el conjunto de los números reales pertenecientes al intervalo [1,3). Justifique el anterior comentario.
Sección 2: Derivación e integración de funciones vectoriales Derivación : La función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k es derivable en un punto t=to, si la funciones escalares f(t) , g(t), h(t) son derivables en t=to.Por lo tanto la derivada en cualquier punto t de la función vectorial es r'(t) = f '(t)i + g '(t)j + h '(t)k
EJEMPLO 1 Calculemos la derivada de la función vectorial r(t)= tsen(2t) i + 5t j + (t-5cost) k en t = Vía MAPLE los cálculos los realizamos empleando la siguiente sintaxis: > f:=t->t*sin(2*t);
f := t → t sin( 2 t ) > D(f)(Pi);
2π > g:=t->5*t;
g := t → 5 t > D(g)(Pi);
5 > h:=t->t-5*cos(t);
h := t → t − 5 cos( t ) > D(h)(Pi);
1 Por consiguiente
r'( ) = 2
curva en el instante
i
5 j
k . Este vector es el vector de velocidad del movil , tangente a la
t=
La magnitud del vector velocidad representa la rapidez con que se desplaza el movil ; mientras que la segunda derivada del Page 3
vector de posición representa la aceleración .
En resumen: Vector de posición r(t) = f(t)i+g(t)j+h(t)k Vector velocidad v(t) = r'(t) = f '(t)i+g'(t)j+h'(t)k Rapidez ||v(t)|| Dirección del movimiento v(t)/||v(t)|| Vector aceleración r''(t) = f ''(t)i+g''(t)j+h''(t)k Integración: La función vectorial r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k con componentes escalares continuas en un mismo intervalo [a,b] tiene como integral indefinida :
La integral definida en el intervalo [a,b] está dada por :
LONGITUD DE ARCO
Sesión 3. Sección 1: Longitud de arco
> with(plots): > a:=implicitplot3d(x^2+y^2=4,x=-2..2,y=-2..2,z=0..8): > b:=spacecurve([2*cos(t),2*sin(t),t],t=0..2*Pi,color=red,thickness=3): > display(a,b);
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Para el cálculo de la longitud de una curva r(t) en el espacio, cuando t varía desde a hasta b en la longitud del arco creciente, empleamos la relación :
Compruebe que la longitud de la curva sobre el cilíndro cuando t varía de 0 a 2 π es 6 π . ACTIVIDADES 2 1.Si r ( t ) = ( 2 + t ) i + ( t − 3 ) j + 3 t k es la posición de una partícula en el espacio en el tiempo t .
a) Calcule los vectores velocidad y aceleración de la partícula. b) Encuentre la rapidez y la dirección del movimiento en el tiempo t = 4. 2.Evalúe las integrales dadas. 4
⌠ a) ⎮ 2 t i + ( 1 + t ) j + 5 t k d t ⌡2
π
⌠ b) ⎮ cos( 2 t ) i + sen( 2 t ) j + 2 t k d t ⌡0
1
⌠ t ⎮ t e i + 2 e( 2 t ) j + 3 t 2 k d t ⌡0 3.Resuelva el problema de valor inicial para r como función vectorial de t . Page 5
c)
dr dt
= 3 t 2 i −
3 t + 2 j + 4 t 3 k 2
Condición inicial r( 0 ) = 3 i + 2 j + k
4.Encuentre la longitud del arco comprendido entre [2,5] para la curva r ( t ) = 3 cos( t ) i + 3 sen( t ) j + 7 t k
EVALUACION Problema 1. Encuentre el punto sobre la curva dada, que se encuentra a una distancia de
200 π unidades a lo largo
de la curva desde el origen en la dirección de la longitud del arco creciente.
Problema 2. . Para la curva r (t )
aceleración en t =
π
4
= ( 8sent )i + ( 8 cos t ) j + tk
son respectivamente : A. 3 y 4
Problema 3.. Para la curva
0 ≤ t ≤
las magnitudes de los vectores velocidad y
π
4
B. 1 y 2
C. 3 y 2 2
D.
r (t ) = ( 8sent )i + ( 8 cos t ) j + tk , la longitud del arco comprendido entre
es : A. 3
B.
3π
C.
4
BIBLIOGRAFIA
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D. π
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y 4
1. THOMAS,GEORGE.Càlculo varias variables.Pearson Educación.Undécima edición. 2. APOSTOL,Càlculo,editorial Reverté. 3. EARL/ SWOKOWSKI, Càlculo con Geometría Analítica, editorial Iberoamérica. 4. GROSSMAN S, Algebra lineal, McGraw-Hill. 5. LARSON/HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica, editorial McGraw-Hill
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