UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERIA
Funciones Hiperbólicas Por: David Castillo y José León Las funciones hiperbólicas aparecen con mucha frecuencia en aplicaciones de ciencias e ingeniería, estas nacen de la combinación de la función exponencial natural y y sus propiedades son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o llamadas también funciones circulares.
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Dichas funciones hiperbólicas están relacionadas con la hipérbole unitaria, de manera semejante que las funciones circulares están relacionadas rela cionadas con el círculo unitario. Entonces se puede desarrollar un conjunto dual de fórmulas de trigonometría hiperbólica. Interpretación geométrica del argumento de las funciones hiperbólicas
Si en primera instancia analizamos el argumento de las funciones circulares, y realizamos varias analogías con el argumento de las funciones hiperbólicas, llegaremos a interpretar al argumento como una región de área de un sector en particular. Para el círculo unitario
= 1 , , : {==cos = = , , =cos, Argumento interpretado como un sector circular
→ → = 12 ; = 12 2 ; = 1 = ;
Sabiendo que el sector circular esta dado por:
Se obtiene:
De esta forma se obtiene el argumento como el área del sector circular ORP.
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Autores: David Castillo; José León
FUNCIONES HIPERBOLICAS Para la hipérbole unitaria
ℎ = 1 ℎ = 1 , , : {==cosh = = ℎ , , = cocoshsh,,ℎℎ Argumento interpretado como un sector hiperbólico
→ ℎ ℎ ′ : : =2 1 √ = 2 = 1 = ∫ √ 1 sec= → tan= tan= 1 = sectan ;
Para resolver
aplicaremos sustitución trigonométrica.
Por integración por partes
= tan → = sec = sect c tan n → = sec 3 sectan =tansec | sec sectan =tansec | sec sectan 2 sectan =tansec| sec tansec 1 sectan = 2 2 sec 2
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FUNCIONES HIPERBOLICAS
sec sectan tansec 1 = sectan = 2 2 sectan 1 sec sectan tansec = 2 2 sectan Realizando un cambio de variable =sectan→=sec sectan 1 1 1 tansec 1 √ = 2 2 = 2 2 lnsectan Sabiendo que sec= y también que tan=√ 1 se remplaza para obtener: 1 1 √ = 2 2 ln ln 1 1 Evaluando los límites superior e inferior se obtiene
= √2 1 12 ln ln 1 1 1 √ = 2 2 ln ln 1 1 √ 1 1 √ =2 =2 2 2 2 ln ln 1 =ln 1 (√ ++) ++) → = 1 = (√ = 1 2 = 1 1 − = 2 = 2 = ℎ ℎ − = 2 =senh = ℎ = + = ℎ = − =1 → cosh ℎ = 1 Con esto se tiene que
Entonces se obtiene el sector hiperbólico
De la misma manera se obtiene para y
Obtenido
y también
se halla la siguiente
identidad de trigonometría hiperbólica.
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Autores: David Castillo; José León
FUNCIONES HIPERBOLICAS
El seno hiperbólico
− =ℎ = 2
Definición
′ = − =ℎ 2 −
Derivada
Integral
Dominio
ℎ = 2 =ℎ
= / } =0 = 0
Cortes con el eje x
Tiene un corte en
en el punto P(0,0).
Cortes con el eje y
Tiene un corte en
, en el punto P(0,0).
Simetría respecto al eje de las ordenadas
No es simétrica al eje y.
Simetría respecto al origen Asíntotas
La función es impar, por lo tanto, es simétrica al origen. No tiene asíntotas
Signo
>0 ∀∈ ∞,0 ˄ < 0 ∀ ∈ 0,∞ ,∞
Continuidad
Es continua en todo su dominio.
Puntos críticos
No tiene puntos críticos.
Extremos relativos:
No posee extremos relativos ni absolutos.
Comportamiento Concavidad Puntos de inflexión Codominio o rango
∞,0 ó ó ℎ ℎ ∀ ∈ ó ó ℎ ℎ ∀ ∈ 0, 0 , ∞ ∞ = / ∈ } es creciente en todo su dominio.
posee un punto de inflexión en P(0, 0).
Grafica
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Autores: David Castillo; José León
FUNCIONES HIPERBOLICAS
El coseno hiperbólico
Definición Derivada Integral Dominio
− =ℎ = 2 − ′ = 2 =ℎ − ℎ = 2 =ℎ = // }
Cortes con el eje x
No tiene cortes con el eje x.
Cortes con el eje y
Tiene un corte en y=0, en el punto P (0, 1).
Simetría respecto al eje de las ordenadas Simetría respecto al origen
La función es par, por lo tanto, es simétrica al eje y.
Asíntotas
No tiene asíntotas.
Signo
>0,∀ ∈
Continuidad Puntos críticos Comportamiento Extremos relativos y absolutos Concavidad Codominio o rango Puntos de inflexión
La función no es simétrica al origen.
.
Es continua en todo su dominio. Posee un punto crítico cuando x=0 en el punto A(0, 1).
es decreciente ∀x ∈ ∞,0 y crec crecieientntee ∀x∈ ∀x ∈ 0,∞. Posee un punto mínimo en A(0, 1).
= / ≥ 1 }
es cóncava hacia arriba en todo su dominio. .
no posee puntos de inflexión. Grafica
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