Choque en dos Dimensiones Collision in Two Dimensions Jonathan Leonard Crespoa, Santiago Nicolás Monsalveb, Nathalia Oliverac, Camilo Andrés Zorro Mendozad. Universidad Nacional de Colombia Departamento de Física Recibido 20 Mayo de 2013
Resumen
Como parte del estudio de los conceptos de física mecánica, es importante no sólo manejar el conocimiento teórico, sino ver realmente cómo se desarrollan estos de forma experimental. Así que en esta experiencia se trabajó con el tema de las colisiones en dos dimensiones. La teoría dice que una colisión elástica presenta conservación de la energía cinética y la cantidad de movimiento lineal, por lo que la idea de esta experiencia era reproducir una situación con esas características. En primer lugar se determinó la velocidad inicial de la esfera incidente, y con ese valor se utilizaron las ecuaciones de conservación del momento y la energía cinética para comparar la visión teórica de la práctica. Se trabajó en dos situación diferentes; inicialmente un choque de masas iguales, en el cual se obtuvo un porcentaje de diferencia de 3,10%, en comparación con el valor teórico para la conservación de la energía cinética. Y posteriormente se realizó, para el caso con esferas de diferentes masas, obteniendo un 1,88% (diferencia porcentual). Lo anterior permitió determinar que se generaron unas colisiones elásticas aunque no se descarta la presencia de errores de tipo personal o sistemático en el desarrollo de la práctica. Palabras claves: Energía (mecánica, cinética y potencial), Trabajo, Momentum Abstract As part of the study of the concepts of mechanical physics it is important to not only have the knowledge but to also see how this actually works in an experimental way. In this experiment we treat the topic of collisions. The theory states that an elastic collision presents conservation of kinetic energy and linear momentum. The idea of this experiment was to reproduce a situation with those characteristics. First we determined the initial velocity of a sphere, and with that value we used the equations of conservation of momentum and Kinetic energy to compare. We worked on two different situations, first was the case of equal weights. With these we obtained a difference of 3.10%, comparing with the theoretical value for conservation of kinetic energy. Then we compared the spheres of different weights and found a 1.88% difference comparing it with the theoretical value for conservation of kinetic energy. According to these results we can conclude that we generate an elastic collision and the differences are justified in personal or systematic errors that could occur in the experience. Keywords: Energy (mechanical, kinetic and potential), Work, Momentum
1
hallar la velocidad de las partículas en base a las diferentes longitudes y ángulos que estas alcancen al caer, para determinar la relación entre la teoría y la práctica.
1. Introducción Uno de los fenómenos físicos básicos que se pueden estudiar y que hace parte de la experiencia normal de vida del hombre se refiere a las colisiones, es lógico en un primer momento pensar en un accidente donde dos autos colisionan, pero no es el único ejemplo, en variedad de circunstancias y escenarios, tal como sucede en algunos deportes (golf, billar, boliche, etc.), las colisiones también se dan. Para empezar, se debe aclarar que las colisiones se dividen en dos tipos, elásticas e inelásticas, para este caso particular la materia de experimentación son las colisiones elásticas. Es importante notar que para estudiar las colisiones se deben tener en cuenta dos conceptos muy importantes, por un lado el de conservación de la energía cinética y por el otro el de conservación del momentum lineal, debido a que en ambos tipos de colisiones se conserva este último, pero solo en las elásticas se evidencia el primero, por ello se ha de profundizar en ambos conceptos [1].
2. Resultados y Análisis de Resultados Inicialmente se toman datos de la distancia a la cual llega la esfera incidente (m = (8 ) g) al ser lanzada desde el punto más alto de la rampa. Se sabe, por las ecuaciones del movimiento parabólico, que para el experimento, se puede calcular como la razón entre el desplazamiento horizontal de la esfera y el tiempo que demora en caer desde el borde a rampa a la superficie:
La energía cinética es la “energía del movimiento” [1], y se define en forma compacta como: [3] [4]. “la energía total de un sistema aislado siempre se conserva” [4], como lo establece la ley de Conservación de Energía, por ello “si un choque es elástico, la energía cinética se conserva, así:
(1) Ya que la altura a la cual se lanza es la misma, en todos los casos, entonces el tiempo de caída de cualquier objeto va ser el mismo por lo tanto se toma el tiempo como unidad de tiempo (ut)
” [1]. El momentum lineal de una partícula se define como “el producto de la masa de un objeto por su ⃗ , como velocidad” [2] [3], en forma compacta ⃗⃗ se puede apreciar es una cantidad vectorial. Ahora bien, la ley de conservación del momentum dice: “En ausencia de fuerzas externas, el momentum de un sistema no se altera” [2] [3] (las fuerzas internas no cuentan), en forma compacta: [1]. Para P. Hewitt estas dos leyes de conservación son “las herramientas más poderosas de la mecánica” [2], pues aplicarlas no brinda valiosa información en todo tipo de sistemas y fenómenos físicos.
(
)
(2)
Tabla No1. Resultados de las velocidades incidentes de la esfera
V₀= (x₁-x₀) ± 0,05 cm/ut 21.00 21.90 22.10 22.00 22.80 | ̅ | 21.96
Esta práctica pretende el estudio experimental de la teoría relacionada con las colisiones elásticas en base a la relación entre leyes de conservación tanto de la Energía cinética como del Momemtum lineal. Para esto se realizará un modelo que concierta un sistema de choque entre dos partículas, con lo cual se busca
El promedio de la velocidad de salida fue de 21.96 cm/ut cuyo error asociado es calculado a partir de la desviación estadística representada con la siguiente fórmula.
2
|⃗ √
∑(
)
( )
⃗
|⃗
Teniendo esta velocidad se procedió a hacer la prueba del choque con dos esferas de masas iguales. Los valores obtenidos se registran en la Tabla No.2
|
Tabla2. Coordenadas de velocidad para la esfera incidente y blanco de igual masa
19.15 18.45 18.95 21.60 16.00 18.83 2.00
⃗⃗⃗
( √
|
|⃗
7.00 9.05 10.65 7.60 9.05 8.67
|
)
(
)
( )
| (
)
||⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
1.43
⃗⃗⃗⃗⃗
(6)
Ahora bien para saber que tanto fue el error entre los valores se calcula la diferencia porcentual cuyo resultado es el siguiente:
|̅|
La teoría plantea que el momentum lineal se conserva antes y después de un choque, independiente del tipo de choque, lo cual es representado en las ecuaciones siguientes. (Ver anexo 1). ⃗⃗⃗⃗
|
|
|⃗
Blanco x ± 0,05 cm y ± 0,05 cm
-1.35 -4.90 -7.05 -4.70 -4.40 -4.48 2.04
⃗
Donde y son calculados sumando las incertidumbres de cada uno de los componentes de los vectores velocidad, Dando como resultado:
Para M₁=M₂
3.65 4.00 4.60 4.25 4.40 4.18 0.37
(5)
El error asociado a este resultado es dado gracias a la propagación de errores a partir de la ecuación 6 es dado por (ver anexo 1):
Por lo tanto, la velocidad incidente de la esfera fue de (21.96 ± 0.64) cm/ ut.
Incidente x ± 0,05 cm y ± 0,05 cm
√
|⃗
|
|⃗
|
̅̅̅̅̅ |̅| |
( )
Se observa que la diferencia porcentual es algo grande y esto debido a errores de tipo sistemático lo | que cual es corroborado con el error asociado a | | por lo es del mismo orden de magnitud que | cual se puede inferir que el momentum lineal se conserva. La representación gráfica de lo hecho anteriormente se observa en el siguiente gráfico.
( )
Donde ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗⃗ representa los vectores velocidad de la esfera incidente y la esfera blanco, respectivamente. Ahora bien, de haberse conservado el momentum lineal en esta parte del experimento, la ecuación 3 debería dar como resultado un valor cercano o igual a la velocidad Para saber si este hecho se cumple hacemos observamos los siguientes resultados. ⃗ (
⃗
⃗ )
(
(4) ) Fig. 2 Suma vectorial
Comparando las magnitudes vectoriales se tiene que:
3
para M1=M2
Para conocer cuál fue la naturaleza del choque se debe analizar si se presentó conservación de la energía cinética. Para ello se debe calcular si se cumple la siguiente igualdad (la deducción de esta ecuación está en el anexo 1): ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ (9)
(
13,28
1.92
0.40
3.35
0.37
)
|
(
|
| (
)
Se puede observar que el error asociado es algo grande y esto debido a errores sistemáticos presentados en la práctica, ahora bien para saber que tanto fue el error entre los valores se calcula la diferencia porcentual, a partir de la ecuación 8, esto da como resultado:
En el caso de que la condición de conservación del momentum lineal se convierte ahora en: (ver anexo 1) ⃗
La magnitud del valor anterior permite concluir que el momentum lineal se conserva y que la diferencia porcentual pudo estar asociada a errores sistemáticos efectuados durante la práctica
)
Lo anterior se pude observar de manera gráfica, en la siguiente figura.
Tabla 5. Coordenadas de velocidad para la esfera incidente y blanca de diferente masa Para M₁>M₂ Incidente (
Blanco )
(
)
⁄ x
y
x
y
9,80
-6,55
13,40
14,50
14,25
-7,55
18,30
13,30
12,35
-7,50
15,20
13,95
10,30
-7,25
21,20
12,10
13,35
-7,15
13,60
12,55
)
|
|
)
La diferencia porcentual es relativamente pequeña, esto permite determinar que el choque entre las esferas fue prácticamente elástico y que la magnitud de este error está en errores personales o sistemáticos que se pudieran presentar en el desarrollo de la práctica.
⃗
(
)
El error asociado a este resultado es dado gracias a la ecuación 7 cuyo resultado es
|
⃗
(
Comparando las magnitudes vectoriales, obtenidas a partir de las ecuaciones 5 y 6, se tiene que:
Para conocer cuanta es la diferencia entre estos valores se acude nuevamente a la diferencia porcentual que está dada por la siguiente ecuación:
|̅|
16,34
(
. (Ver anexo 1)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |̅̅̅̅̅̅̅| |
-7,20
Haciendo uso de la anterior ecuación, se produce el siguiente resultado
̅ En donde ̅ son los cuadrados de las magnitudes de cada uno de los vectores, por lo tanto se tiene que | ̅ | y |̅̅̅̅̅̅̅|
|| ̅ |
12,01
Fig. 3 Suma vectorial
4
para M1 M2
Para conocer la naturaleza del choque se hace el mismo análisis que la parte anterior, pero teniendo en cuenta que las masas son diferentes, por lo tanto se deberá manejar la siguiente ecuación (Anexo 1). ̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅
(
4. Notas y Referencias [1]
CRISTANCHO
Fernando.
Fundamentos
)
ADDISON-WESLEY
y la ecuación anterior da
como resultado ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
[3] SERWAY, Raymond A. Física:Tomo I. Cuarta Edición. Mexico: McGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V., 1997. p. 237-248.
La diferencia porcentualmente sería determinada por la ecuación 8, resultando el siguiente valor:
[4] WILSON, Jerry D. Física. Segunda Edición. Mexico: PRENTICE HISPANOAMERICA, S.A., 1996. p. 172; 179-193
Este valor permite decir que la diferencia no es muy grande lo que indica un choque prácticamente elástico. Aunque no se descarta la presencia de errores personales o sistemáticos en el desarrollo de la práctica.
3. Conclusiones Se realizó una práctica que tenía como propósito producir, condiciones en las cuales se presentaran colisiones elásticas. Lo anterior implicaba según la teoría que el momentum lineal así como la energía cinética se conservaran. Inicialmente se produjo un choque con masas iguales; se obtuvo una diferencia porcentual de 3,10%, frente al valor esperado para el caso de
física
[2] HEWITT, Paul G. Física Conceptual. Segunda Edición. California: IBEROAMERICANA, 1995. p. 112; 96-109.
La ‖⃗⃗⃗ ‖
de
experimental y mecánica, Bogotá, 2008, p. 84-86.
conservación de la energía cinética.
Posteriormente se llevó a cabo un choque con masas diferentes para este caso la diferencia porcentual fue de 1,88% A partir de lo anterior se puede deducir que el montaje efectuado para determinar el momentun en los choques fue el más apropiado debido a que los resultados fueron muy cercanos al valor teórico planteado.
5
HALL
5. Anexos
multiplicando la ecuación (c) por tiene que: ̅ ̅ ̅
⁄
se
multiplicando la ecuación (c) por tiene que:
⁄
se
Anexo 1 Para
Deducción de la ecuación 4 y 11 ( ) Para
̅
multiplicando la ecuación (a) por que:
̅
̅̅̅
se tiene Calculo de las incertidumbres de |
|
Para Para
multiplicando la ecuación (c) por tiene que:
⁄
|
se
|
( √
( √
(
( √
)
)
(
) (
)) (
)
(
√
))
√
Magnitud del vector Para Para |
|
√ |
Para |
|
( √
√
Propagación de error para la ecuación 5 |
|
√(
√
|
) √( ( √
(
√ )
( √ )
√
)
(
(
)
√
)
Deducción de la ecuación 9 y 12 (b) (c) Para
6
( √
)
(
(
)
)) )
(
)
(
√
(
))
√
