Informe II

Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ciclo 2012-B __________________ ___________________________ __________________ _________________ __________________ ___________________ ______________________ _________________ ____

ÍNDICE GENERAL INTRODUCION.................. INTRODUCION..................................... ........................................ ...................................... ....................2 ...2 1. OBJETIVOS..... OBJETIVOS........................ .................................... .................................. ................................... ......................3 ....3 2. EXPERIMENTO 2.1 MODELO FISICO.............................. FISICO............................................... .................................. ............................... .............. 3 2.1.1 Elasticidad...................... Elasticidad........................................ ..................................... ........................3 .....3 2.1.2 Movimiento Armónico Simple............................. Simple..................................4 .....4 2.2 DISEÑO....................... DISEÑO........................................ ................................... ............................. ........... 7

3. EQUIPOS Y MATERIALES............................. MATERIALES........ ........................................ .................................... .............................7 ............7 4. VARIABLES INDEPENDIENTE..................... INDEPENDIENTE.... .................................. ...................................... ..................................7 .............7 5. VARIABLES DEPENDIENTES........................ DEPENDIENTES....... .................................. ...................................... ................................8 ...........8 6. RANGO DE TRABAJO.......................... TRABAJO..... ...................................... .................................... ..................................... .....................8 ...8 7. PROCEDIMIENTO... PROCEDIMIENTO...................... ...................................... .................................... .............................8 ............8 8. CUESTIONAR CUESTIONARIO.................... IO....................................... ..................................... ...............................10 .............10 9. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES................ RECOMENDAC IONES................................... ..................................... .........................15 .......15

10.BIBLIOGRAFIA 10. BIBLIOGRAFIA..................... ...................................... ....................................... ................................15 ..........15 Laboratorio de Física III

1


INTRODUCCION Existen movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, estos son llamados movimientos periódicos, que en el siguiente laboratorio se estudiara. En el estudio de la Física se ha tomado como ideal un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este. Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÖNICO SIMPLE (MAS)

El movimiento Armónico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armónico de una partícula tiene como aplicaciones a los péndulos, es así que podemos estudiar el movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, además de estudiar las expresiones de la Energía dentro del Movimiento Armónico Simple. El desarrollo de este tema nos permite apoyarnos en criterios que a lo largo de la experiencia se han demostrado, tanto en su importancia y a lo largo del desarrollo de estas actividades se ha podido observar y contrastar con la realidad.

Laboratorio de Física III

2


MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE 1. OBJETIVOS 





En esta práctica se pretende verificar las leyes que rigen el Movimiento Armonico Simple (MAS) Verificar el numero de oscilaciones que tiene el sistema cuando se aplica la torsión Determinar la constante elástica de un resorte, usando 2 métodos : elástico y dinamico.

2. EXPERIMENTO 2.1 MODELO FISICO Para alcanzar los objetivos de ésta experiencia es necesario tener en consideración los siguientes aspectos:

2.1.1 ELASTICIDAD La elasticidad es la propiedad que tiene todo cuerpo en recobrar su forma y tamaño original después que cesan las fuerzas deformadoras. Cuando un cuerpo elástico, tal como un resorte, se estira mediante una fuerza aplicada sobre él, se observa la deformación x del resorte es proporcional a dicha fuerza. Esto se verifica mientras no se exceda el límite elástico. Por lo tanto, la Ley de Hooke afirma que la fuerza que aparece internamente en el resorte y que hace que éste regrese a su posición de equilibrio es: F = −KX

Donde K es la constante elástica del resorte que representa la fuerza requerida para producir una deformación lineal y el signo menor nos indica que siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio.


3


2.1.2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Consideremos un cuerpo de masa m suspendido del extremo inferior de un resorte vertical de masa despreciable con constante k En el equilibrio, las fuerzas aplicadas son: el peso mg y la fuerza F ejercida por el resorte, cuya magnitud viene dada por: F K δ , siendo δ la deformación elástica del resorte en la posición de equilibrio. Por lo tanto: mg = k.δ =

Supongamos ahora, que se estira el resorte, llevando el bloque hacia debajo de

Equilibrio, un valor A, y luego se abandona a sí mismo sin velocidad inicial. Se originará un movimiento oscilatorio hacia arriba y debajo de la posición de equilibrio, desde la posición +A a la posición – A. Veamos el sgte gráfico:


4


Para el estudio del movimiento supongamos al bloque en la posición (p) en el tiempo (t). Sea X la posición del bloque, medida desde la posición de equilibrio O (tomando hacia abajo como sentido positivo). Ya hemos afirmado que las fuerzas aplicadas son el peso mg y la fuerza F ejercida por el Resorte en ésta posición; cuya ma gnitud será: F = k .(δ +X). De aquí las resultantes de ambas fuerzas vendrán dada por: Σ F = mg – k ( δ +X) = mg - kδ - k.X

Pero: mg = k.δ ;

⇒

Σ F = - k.X

Que nos dice que las resultantes de las fuerzas aplicadas al bloque, es proporcional a la Posición” X” medida a partir de la posición de equilibrio O. ¨ Y ¨ el signo que siempre está dirigida hacia la posición de equilibrio. Este tipo de movimiento bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica ( Σ F =

- k.X ) y en ausencia de todo rozamiento se denomina MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Si X es la posición del cuerpo, respecto a la posición de equilibrio en el instante del tiempo (t) entonces la ecuación del movimiento es: ma  KX 2

Como:

a

d X 

2

dt

, reemplazando y ordenando términos: 2

d X dt

2



K m



0

la solución matemática a esta ecuación diferencial, son las funciones armónicas seno o coseno, Coincidiendo en la práctica con lo observado, esto es, la masa ocupa la misma posición después lo tanto de intervalos iguales de tiempo, siendo por un movimiento periódico.


5


Así tenemos que la solución de la ecuación anterior es: X



A cos( wt   )

Donde A, ω y α son constantes características de cada movimiento armónico

simple. Luego, el movimiento armónico simple es un movimiento periódico cuyo periodo esta dado por: 2 T   La frecuencia f de un movimiento armónico simple es igual al # de oscilaciones completas por unidad de tiempo; entendiéndose por oscilación, el movimiento de ida y vuelta hasta volver al punto de partida. Así:

f



1 T

La cantidad ω se denomina frecuencia angular de la partícula oscilante y está

relacionada con la frecuencia por una relación similar a la del movimiento circular y cuya fórmula está dada por:

Si la masa “mr ” del resorte no es despreciable, pero si es pequeña comparada con la masa “ m” del cuerpo suspendido del resorte, se demuestra que el periodo del movimiento es: T  2


(m  mr / 3) K

6


2.2 DISEÑO

3. EQUIPOS Y MATERIALES      

Un soporte universal Un porta pesas Un juego de pesas Una regla cuadrada Un balanza Digital Un cronometro

4. VARIABLES INDEPENDIENTES Las variables independientes son: masa (M), la longitud(L) y el tiempo (t) que son medidos por la balanza, la regla y el cronometro respectivamente


7


5. VARIABLES DEPENDIENTES Las variables dependientes son: velocidad angular (  )y la constante de deformación K

6. RANGO DE TRABAJO   

Para la balanza: 0-1000g Para el cronometro 0:00:00:01s-no definido Regla graduada: 0-50cm

7. PROCEDIMIENTO Calculo de K por el método estático 1. Medir la masa del porta pesas y del resorte. Anotar en la tabla N 0 1 2. Suspender el resorte del soporte y su extremo inferior debe coincidir con una medida de la regla. 3. Colocar una masa adecuada en el porta pesas de tal forma que el resorte se estire sin deteriorarse. Anotar en la tabla N01 la masa total m(masa del porta pesas +masa del resorte) y usando la ecuación F  mg anotar la fuerza correspondiente a esta masa así como la deformación x producido por esta fuerza. 4. Repetir el paso 3 para masas cada vez mayores o menores y seguir anotando los valores en la Tabla N01.Hacer una toma de 10 muestras. 0

Calculo de K por el método dinámico 1. Colocar en el porta pesas una pequeña masa “m”, de tal manera que al estirarla una distancia “a” respecto de su posición de

equilibrio, esta pueda oscilar sin perturbación alguna. 2. Anotar en la Tabla N02 la masa total “m”(masa del porta pesas +masa colocada) y el valor de la a mplitud “a”, que se procurara que se mantenga constante para posteriores medidas. 3. Determinar el tiempo “t” “t” en el cual la masa da por lo menos de 10 a 15 oscilaciones completas. Tener el cuidado al comenzar la cuenta de 0. 4. En base a esto, calcular T  t / n y anotarlo también en la Tabla N 02 5. Repetir los mismos pasos para diferentes pesos.


8


Tabla N01

N

M(Kg)

F(N)

X0(m)

K=F/X0

1

0.043

0.42

0.001

420

2

0.077

0.75

0.006

125

3

0.104

1.02

0.015

68

4

0.133

1.3

0.024

54.17

5

0.159

1.56

0.034

45.88

6

0.193

1.89

0.046

41.09

7

0.226

2.21

0.057

38.77

8

0.263

2.58

0.069

37.39

9

0.297

2.91

0.082

35.49

10

0.329

3.22

0.094

34.26


9


Tabla N02

N0

Masa(Kg)

n0

t1(s)

t2(s)

t3(s)

Tpromedio(s)

1

0.329

60

42

42.18

42.25

0.7

26.51

2

0.363

100 68.91

68.6

68.67

0.69

30.1

3

0.213

55

33.07

33.76

33.05

0.61

22.6

4

0.256

40

24.39

24.85

24.49

0.61

27.16

5

0.298

60

41.29

41.8

41.6

0.69

24.71

6

0.193

18

10.18

11.16

11.26

0.6

21.16

7

0.195

30

21.96

22.74

22.3

0.74

14.06

8

0.255

45

29.25

29.37

29.85

0.66

23.11

9

0.273

35

22.41

22.63

22.3

0.64

26.31

10

0.515

45

39.74

39.3

39.37

0.88

26.25

K promedio

K(N/m)

24.22

8. CUESTIONARIO 8.1 Usando los valores de la Tabla N 01, graficar F=F(X).Realice el ajuste por el método de los mínimos cuadrados. ¿Pasa la curva trazada por el origen de coordenadas? Explicar


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Universidad Nacional del Callao Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Ciclo 2012-B __________________ ___________________________ __________________ _________________ __________________ ___________________ ______________________ _________________ ____ F = 29.085X + 0.5412 R² = 0.9956

F=F(X) 3.5 3 2.5 2

F

1.5

Linear (F)

1 0.5 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

m=m(T2)

0.1

m = 1.0093T 2 + 0.1803 R² = 0.645

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

T2

0.4

Linear (T2)

0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

8.2 A partir de la grafica F=F(X), determinar el valor experimental de la constante elástica K del resorte.

De la gráfica N° 1 se obtiene la ecuación lineal: F(X)= 29.085X + 0.5427, al ser comparada con la función teórica: F(X) = k* X Obtenemos como resultado: K = 29.085 N/m


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8.3 ¿Cuál es el significado del área bajo la curva obtenida en la grafica F=F(X)? Determinar su valor El área bajo la gráfica representa la variación de la energía potencial elástica que se obtiene por la deformación del resorte en la que actúa la fuerza recuperadora (fuerza elástica) 8.4 Usando los valores de la tabla N0 2 m=m(T2), ¿Es esta una curva totalmente lineal?¿Por qué? Es lineal debido a que m y 2 son directamente proporcionales 

k



2



m

teóricamente se tiene: m 2

T

k





T 2



4

T



2

k m

2



T

2



4 k

m

cte

8.5 A partir de la grafica m=m(T 2) , determinar el valor de la constante elástica del resorte? resorte? Compara este valor con el obtenido en la 0 pregunta N 2 ¿Qué valor es más digno de confianza? ¿Por qué? De la gráfica N° 2: m vs  (m= 1.0093T2 + 0.1803) obtenemos su pendiente de la curva y la igualamos a la constante teórica: m T 2



K 2

4



1.0093  K



39.85 N / m

Este ultimo valor es más digno de confianza, porque se ha obtenido a través de la oscilación del cuerpo, lo cual le da mas factibilidad.

8.6 Utilizando la gráfica m = m( 2) , calcular la masa del resorte ¿ Difiere este valor con respecto al medido por la balanza ? Explicar detalladamente. CÁLCULO DE LA MASA DEL RESORTE: Si la masa m del resorte reso rte no es despreciable, pero si es pequeña comparada con la masa m del cuerpo suspendido del resorte, se demuestra que el Periodo del movimiento es la siguiente expresión: T



m  mr / 3 K



K *T

2



( m  mr / 3)

Convertimos a una ecuación lineal la función original, con el cambio de variable: x  T 2 Resultando:


2

( K / 4 )* ) * x  mr / 3  m

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8.7 ¿Qué conclusión experimental experimental obtiene del del paso (10) del procedimiento de esta experiencia? ¿Varia el periodo al variar la amplitud para una misma masa? Explicar por qué. Después de variar la amplitud sin cambiar o modificar la masa observe experimentalmente que el valor del periodo aproximadamente es casi el mismo, los valores valores que se generaron no varían mucho, esto sucedió porque el PERIODO no depende de la amplitud. Verificándose Lo teórico:

T  2

m  mr / 3 K

donde T no depende de la posición, por

tanto no dependerá de la amplitud.

8.8 Corregida adicionando adicionando a la masa total m el valor ( indica en la ecuación (10).

/ ) , como se

Si en el sistema masa – resorte, consideramos la masa del resorte (/3) aunque es muy pequeña, no se desprecia entonces en la ecuación, salida del movimiento armónico: T  2

m K

……. (A), de la que vamos a partir para agregar la masa

adicional que debe considerarse por efecto del resorte, le superponemos a m de dicha ecuación el valor de ( /3), el cual no se genero de la nada o porque se nos ocurrió más bien salió de la demostración física y matemática del análisis de dicho movimiento dando como resultado la siguiente expresión: T  2

m  mr / 3 K

…. (B), de donde vino agregada la (masa del

resorte/3)

8.9 ¿Por qué no se hace esta misma misma corrección, corrección, de adicionar m/3, a la masa m de la expresión F=m*g usada en el paso (3) del procedimiento de esta experiencia? Porque si comparamos la expresión(A) con F=M*g … (C), la (A) es una

ecuación demostrada del MAS , generada por el análisis matemático de dicho movimiento en cambio la (C) es una ley física que tienen los cuerpos ya establecida que se manifiesta en el sistema m (masa del porta –pesas +masa colocada ) la cual se ubica en su C.G del sistema por lo tanto en la expresión(A) se adiciono ( /3) por que en su Laboratorio de Física III

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demostración de dicha ecuación apareció superpuesto ese valor ya que se consideró la masa del resorte en cambio en(C) solo podemos considerar la suma total de las masas tal como están sin ser fraccionadas dando como resultado lo siguiente: F = (m+ )*g ; al considerar el sistema masa –resorte (masa del porta-pesas +masa colocada+ masa del resorte(no despreciable).

8.10 Explicar el significado de los dos signos posibles que se indican para la velocidad en función de la posición en la ecuación (6).

Partimos según la ecuación de la posición para el movimiento M.A.S. x  A cos(t   )

Para obtener la velocidad derivamos respecto al tiempo la ecuación anterior obteniendo: v

dx

 Asen(t   )

 

dt

Relacionando ambas ecuaciones obtenemos como resultado la siguiente ecuación respecto de la posición: v  (  / )

K m

2

(A



2

x )



2

( / ) A



x

2

Después de analizar la ecuación podemos decir que el significado de los signos positivo y negativo indica que la masa podría estarse moviendo un sentido u otro.

8.11 Citar algunos ejemplos de movimiento que sean, apropiadamente, apropiadamente, armónicos simples. ¿Por qué son raros los movimientos que son exactamente exactamente armónicos simples? Algunos ejemplos podemos ver en la rueda de una bicicleta, también en las agujas del reloj que giran en un movimiento armónico simple. Son raros, porque el medio en el e l cual oscilarían, siempre opone una fuerza fue rza denominada resistencia del medio, lo cual hace que las oscilaciones se extingan o no puedan hacerlo perfectamente.


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9. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 





Mediante este trabajo se ha intentado explicar el gran aprovechamiento educativo que se puede hacer usando la dinámica de sistemas para el análisis de un movimiento armónico simple. El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal. Entre las aplicaciones del movimiento armónico simple, tenemos al péndu lo simple, que es un sistema físico que puede ser utilizado para el cálculo de la aceleración gravitacional en un medio determinado .

10. BIBLIOGRAFIA Frish-Timovera; Física General, Tomo 1, MIR.1987 Tipler; Física, Vol. 1, REVERTE S.A. 1998 Guía de Laboratorio FISICA II - Universidad Nacional Naciona l del Callao   


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