Report I: Measurement and uncertainty Informe I: Medición e incertidumbre FORERO, Jorge; GONZALEZ, Daniela; ROJAS, Nicolás Laboratorio de propiedades termodinámicas y de transporte. Grupo 1 Departamento de Ingeniería Química y Ambiental Universidad Nacional de Colombia
Objetivos
Determinar la incertidumbre en la medición experimental de una serie de datos. Comprender los conceptos involucrados en un análisis estadístico para una muestra de datos experimentales. Predecir de manera acertada el valor de una muestra desconocida a partir de los datos tomados en el laboratorio. Ilustración 1. Diagrama de un sistema de una medida
Fundamento teórico:
Para realizar un tratamiento estadístico adecuado, es necesario definir algunos conceptos presentados en Navidi (2006):
En el proceso de comprensión de cualquier instrumento de medida es necesario conocer cada uno de los elementos que lo conforman y determinar cuál es la función ejecutada por cada uno de ellos. Estos instrumentos son los encargados de poner en contacto al observador con el medio que se mide.
-
̅ ∑= (Ecuación 1)
Tal como menciona el Centro Español de Metrología (2008), una medición es una muestra del conjunto de todas las observaciones posibles y está sujeta a fluctuaciones estadísticas debidas al medio ambiente y otros agentes pues se obtiene mediante el uso de instrumentos que no pueden ser del todo exactos, sin contar además con que el observador es un ser humano que suele, en la mayoría de los casos introducir errores en la medición. Como menciona el Centro Español de Metrología (2008) aparte de la variable que se mide, existen otras variables que influyen en la medición como lo son las controladas, que son variables que intervienen en la medida global pero que se pueden tener más o menos contantes durante el proceso de medición; también están presentes las variables sin control, que son aquellas sobre las cuales no se tiene ningún poder de manipulación (como por ejemplo el ruido), pero que afortunadamente intervienen mínimamente. Un diagrama que ilustra estas relaciones se presenta en la ilustración I.
Valor medio: Representa el promedio aritmético de un conjunto de observaciones de acuerdo con la expresión:
Donde xi representa una medida individual. -
Desviación estándar: Para estimar el error cometido en una serie de medidas se puede realizar una medida de sus desviaciones con respecto al valor medio de las mismas. En estadística se llama desviación estándar a este promedio de desviaciones, de acuerdo con la expresión:
(− ̅) (Ecuación 2) ∑= −1 -
Varianza: Es el cuadrado de la desviación estándar denotada por s2 , la cual está dada por la siguiente ecuación:
.
(− ̅) 2 2 ∑= −1
(Ecuación 3)
Errores experimentales:
1
Medición e incertidumbre. Como menciona el Centro Nacional de Metrología (2008), todo aparato de medida tiene cierto error y se debe en parte a la construcción del aparato, así como al desgaste natural durante su funcionamiento. Los errores experimentales se dividen en dos clases: -
manera general para las prácticas realizadas en el laboratorio, serán las debidas a la repetibilidad de las mediciones y las obtenidas por las especificaciones de exactitud y de resolución del instrumento de medida usado. Después de identificar las fuentes de incertidumbre se debe evaluar la incertidumbre originada por cada fuente individual, para luego combinarlas. Existen dos métodos principalmente para esta evaluación: el método de evaluación tipo A y el método de evaluación tipo B, descritos a continuación.
Sistemáticos: Se les llama sistemáticos porque se refieren a una perturbación que influencia todas las medidas de una cantidad particular, de igual manera. Están asociados tanto al instrumento de medición como a la persona que lo realiza. La mayoría de los errores sistemáticos corresponden a cálculos errados, a errores en el ajuste instrumental, a fluctuaciones ambientales como cambios en la temperatura, en la humedad, entre otros, y a errores de observación. Usualmente se define un error sistemático como:
El método de evaluación tipo A es el método de una incertidumbre estándar mediante el análisis estadístico de una serie de observaciones. Se estima basándose en mediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medición, es decir que esta incertidumbre se obtiene a partir de las mediciones realizadas en el laboratorio y se calcula de la siguiente manera:
á (Ecuación 4)
√ (Ecuación 6)
Donde el primer término corresponde a la media de todas las mediciones, y A r es el valor convencionalmente verdadero. -
El método de evaluación tipo B es el método de evaluación de una incertidumbre estándar por otros medios diferentes del análisis estadístico de una serie de observaciones. Se obtiene a partir de informaciones preexistentes, y se tendrán en cuenta los siguientes dos casos:
Accidentales o aleatorios: Se deben a la suma de un gran número de perturbaciones individuales que se combinan para dar resultados que son muy altos en un momento y muy bajos en otro. Las causas de estas perturbaciones pueden ser conocidas, o al menos solo sospechadas. Se suele definir como:
o
(Ecuación 5) Donde el primer término hace referencia al valor medido, y el segundo término hace referencia a la media de todas las mediciones.
(Ecuación 7) 1 √ 3
Método general para el cálculo de incertidumbre en medidas directas:
o
En el texto desarrollado por el Centro Nacional de Metrología (2008), mencionan una ruta a seguir para determinar la incertidumbre de medición en medidas directas, resumido en la ilustración II y descrito con detalle a continuación:
Paso 2: Identificar las fuentes de incertidumbre: Las fuentes de incertidumbre que se tendrán en cuenta de
Por resolución: Asociada a la resolución de la indicación del instrumento de medición, es la información que contiene la porción menos significativa de la indicación del instrumento. Para equipos análogos:
Paso 1: Especificar el mensurando y establecer el modelo matemático: Consiste en escribir un enunciado claro de lo que es medido, incluyendo la relación entre el mensurando (variable que se mide) y las magnitudes de entrada (magnitudes medias, constantes, etc.). Luego el siguiente paso es representar esta relación como una función, de la siguiente forma:
(1,2,…, ) (Ecuación 6)
Por especificaciones: Son determinadas por el fabricante del equipo, pero en la mayoría de experimentos sólo tendremos acceso a la tolerancia dada por el instrumento, la cual está dada por la expresión:
2 ó √ 3 (Ecuación 8) Para equipos digitales:
2 ó 2√ 3 (Ecuación 9)
Paso 3: Calcular la incertidumbre estándar combinada: Se obtiene por medio de la siguiente ecuación que relaciona los errores tipo A y los errores tipo B:
2
Medición e incertidumbre.
2 + 12 + 22(Ecuación 10)
Paso 4: Calcular la incertidumbre expandida: Se obtiene de multiplicar la incertidumbre estándar combinada por un factor K llamado factor de cobertura.
∗ (Ecuación 11) El valor de k se puede suponer como k=2 para representar un intervalo de confianza de aproximadamente 95% o se puede considerar como k=3 para representar un intervalo de confianza del 99%.
50 1000
Nueva
3,3400
Antigua
4,5000
Nueva
2,0000
Nueva
9,9500
Tabla 1. Monedas Colombianas y sus pesos en gramos
Procedimiento experimental: En esta práctica se midió el peso de 8 tipos de monedas colombianas en 2 balanzas diferentes: una de ellas calibrada con 4 cifras decimales, y la otra calibrada para arrojar lecturas con hasta 3 cifras decimales; esto con el fin de determinar a partir de los pesos reportados la cantidad y el valor presente de monedas en una muestra desconocida.
Diagrama de los equipos: En las ilustraciones 3 y 4 se muestran las balanzas utilizadas en el laboratorio para la determinación de los datos experimentales:
Ilustración 2. Cálculo de incertidumbre de medición en medidas directas.
Luego de realizar este proceso se debe expresar el resultado de la medición realizada en el lab oratorio como:
± () (Ecuación 12) Donde y corresponde al valor medio de la medida y U(y) corresponde a la incertidumbre expandida. Ilustración 3. Balanza 1
Monedas Colombianas: Según datos del banco de la República (2015), existen 5 denominaciones de moneda en el mercado en la actualidad. La tabla 1 relaciona las 10 variaciones de monedas, junto a su peso en gramos y su categoría según nueva o antigua. Como menciona el Banco de la república (2015), la moneda de $50 está hecha de una aleación de Acero y Níquel, mientras que la antigua está hecha con 65% Cobre, 20% Zinc y 15% Níquel. La moneda de $100 pesos nueva es una aleación de acero y latón, mientras que la moneda de $100 antigua se fabricaba con 92% Cobre, 6% Aluminio y 2% níquel, al igual que la moneda de $500, tanto nu eva como antigua. Denominación ($)
Categoría
Peso reportado (g)
500
Antigua
7,4000
Nueva
7,1400
Antigua
7,0800
Nueva
4,6100
Antigua
5,3100
200 100
Ilustración 4. Balanza 2
Tabla de datos: Los datos tomados en el laboratorio se encuentran presentes en el anexo I para la primera balanza, y en el anexo 2 para la segunda balanza. Además, se reporta en la tabla 2 los valores tomados en el laboratorio y que no se reportaron en los anexos. Peso del sobre en balanza 1 Peso del sobre con monedas en balanza 1
1,0281g 35,0249g
3
Medición e incertidumbre. Peso de monedas sin sobre en balanza 1: Peso del sobre en balanza 2: Peso del sobre con monedas en balanza 1 Peso de monedas sin sobre en balanza 1
33,9968g 1,029g 35,025g
11,100 0,020
33,996g
Muestra de cálculos: A partir de una serie de mediciones experimentales, se desea encontrar la cantidad y el peso de una muestra problema de monedas. Primero se realiza el análisis estadístico del conjunto de datos tomados, mostrado en la tabla 3. Con este fin, se calcula el promedio y la desviación estándar siguiendo las ecuaciones 1 y 2, respectivamente. Luego entonces se calcula la varianza, siguiendo la ecuación 3, y se procede a determinar UA mediante la ecuación 6. Además, se conoce que: UB primera balanza: 0,0001g UB segunda balanza: 0,001g Luego, aplicando las ecuaciones 10 y 11 se determina la incertidumbre de la medición. Para el ensayo 1 (moneda de $500 nueva): Moneda de 500 Balanza 1 Balanza 2 nueva Promedio 7,0295 7,029 Desviación 0,0000 0,001 estándar UA 0,0000 0,000 UB 0,0001 0,001 UC 0,0001 0,001 UE 0,0003 0,003 Dato reportado 7,0295 0,0003 g 7,029 0,003 g Tabla 3. Análisis estadístico prueba 1
±
±
Luego se realiza la comparación de la medida realizada en el laboratorio con la reportada en la literatura, calculando su error sistemático por medio de la ecuación 4 y posteriormente su error aleatorio por medio de la ecuación 5 para determinar si durante las mediciones existieron perturbaciones importantes en la primera medición. El resultado de estos cálculos se presenta en la tabla 4: Moneda de 500 nueva Dato de literatura (g) Dato experimental (g) Promedio Datos experimentales (g)
Error sistemático 11,0500 (%) Error aleatorio 0,0100 (%) Tabla 4. Análisis de error prueba 1 y ensayo 1.
Balanza 1
En primer lugar, se hizo la suposición de que todas las monedas que contenía el sobre eran de valores diferentes (como las entregadas para el trabajo en el laboratorio), debido a que se contó con un dato en cada balanza con una medida para las 8 monedas juntas. Al ver que esta medición sobrepasaba el valor reportado, se decidió realizar el cálculo para el conjunto de las 8 monedas, pero esta vez quitando una de las denominaciones. Este proceso junto al cálculo realizado entre el valor que da esta suposición y el valor pesado experimentalmente en el primer ensayo se reporta en la tabla 5.
Balanza 1
Balanza 2
Diferencia para balanza 1 0,0060
Sin 33,908 33,991 moneda de $500 nueva Tabla 5. Muestra de cálculo p rimera suposición.
Diferencia para balanza 2 0,005
En segundo lugar, se hizo la suposición de que en el sobre se encontraban monedas de una única denominación, así que el proceso en este caso fue llevar el p eso de una serie de monedas hasta el valor más cercano por debajo a la medición del sobre, suponiendo que todas las monedas de una misma denominación pesaban el promedio encontrado experimentalmente. Estos datos se encuentran reportados en la tabla 6, para el primer módulo de cálculo.
Balanza 2
7,1400
7,140
7,0296
7,029
±
7,029 0,003
7,0295 0,0003
El problema principal del lab oratorio radicaba en determinar el valor y el peso de las monedas presentes en la muestra problema. Se podrían suponer infinitas soluciones para esta determinación, dada la cantidad apreciable de combinaciones que se pueden presentar para llegar a un peso determinado, así que se escogieron dos posibles estudios de caso: uno experimental y otro teórico.
±
Número de monedas
Peso calculado (g)
Peso muestra problema (g) 33,9968
$500 4 28,1180 nueva Tabla 6. Muestra de cálculo segunda suposición .
Diferencia (g)
5,8788
4
Medición e incertidumbre.
Tabla de resultados:
100 Nueva
Los promedios de las medidas tomadas y sus incertidumbres fueron:
100 Antigua
Medición Balanza 1 500 Nueva 7,0295 0,0003 500 Antigua 7,4286 0,0003 200 Nueva 4,6221 0,0003 200 Antigua 6,8910 0,0003 100 Nueva 3,3306 0,0003 100 Antigua 5,2181 0,0003 50 Nueva 2,0241 0,0003 50 Antigua 4,4760 0,0003 Todas 41,0203 0,0003 Sobre con monedas 35,0249 0,0001 Sobre sin monedas 1,0281 0,0001 Tabla 7. Resultados generales
± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
Balanza 2 7,029 0,003 7,429 0,003 4,622 0,003 6,891 0,003 3,331 0,003 5,218 0,003 2,024 0,003 4,476 0,003 41,020 0,003 35,025 0,001 1,029 0,001
± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
Los errores aleatorios se presentan para cada medida experimental en los anexos 3 y 4 para cada balanza respectivamente, y los errores sistemáticos se muestran a continuación: Para la balanza 1:
Denominaci ón
Promedio (g)
500 Nueva
7,4286 0,0003
500 Antigua 200 Nueva 200 Antigua 100 Nueva 100 Antigua 50 Nueva 50 Antigua Todas
± 7,0295±0,0003 6,8910±0,0003 4,6221±0,0003 5,2181±0,0003 3,3306±0,0003 4,4760±0,0003 2,0241±0,0003 41,0203±0,0003
Valor reportad o (g) 7,4000
Error sistemátic o (%) 2,8550
7,1400
11,0500
7,0800
18,9050
4,6100
1,2140
5,3100
9,1910
3,3400
0,9400
4,5000
2,4040
2,0000
2,4070
41,3800
35,9700
Tabla 8. Errores sistemáticos balanza 1. Para la balanza II: Denominació n 500 Nueva 500 Antigua 200 Nueva 200 Antigua
Promedio
± 7,029±0,003 6,891±0,003 4,622±0,003 7,429 0,003
± 3,331±0,003 4,476±0,003 2,024±0,003 41,020±0,003 5,218 0,003
50 Nueva 50 Antigua Todas
5,310
9,220
3,340
0,930
4,500
2,400
2,000
2,410
41,380
36,020
Tabla 8. Errores sistemáticos balanza 2. Los ensayos realizados en el laboratorio para la primera suposición: Balanza 1 ( 0,000 1) 33,9908
±
Balanz a 2 ( 0,00 1) 33,991
±
Diferen cia Balanza 1 0,0060
Sin moneda de $500 nueva Sin moneda 33,5918 33,591 0,4050 de $500 antigua Sin moneda 36,3982 36,398 -2,4014 de $200 nueva Sin moneda 34,1294 34,129 -0,1326 de $200 antigua Sin moneda 37,6897 37,689 -3,6929 de $100 nueva Sin moneda 35,8022 35,802 -1,8054 de $100 antigua Sin moneda 38,9962 38,996 -4,9994 de $50 nueva Sin moneda 36,5443 36,544 -2,5475 de $50 antigua Tabla 9. Suposición 1. Datos experimentales
Diferen cia Balanza 2 0,005
0,405
-2,402
-0,133
-3,693
-1,806
-5,000 -2,548
Los resultados finales de los cálculos para la segunda suposición: Peso calculado 28,1180
Diferencia
500 Nueva
Numero de monedas 4
500 Antigua
4
29,7142
4,2826
200 Nueva
7
32,3550
1,6418
200 Antigua
4
27,5638
6,4330
100 Nueva
10
33,3060
0,6908
100 Antigua
6
31,3085
2,6883
5,8788
Valor reportad o 7,400
Error sistemátic o (%) 2,850
7,140
11,080
50 Nueva
16
32,3851
1,6117
7,080
18,920
50 Antigua
7
31,3317
2,6651
4,610
1,170
Tabla 10. Suposición 2. Resultados cálculos
5
Medición e incertidumbre.
De tal manera que los valores más cercanos en cada suposición fueron: Suposición 1 Sin moneda de $500 nueva Suposición 2 10 monedas de $100 nuevas. Tabla 11. Principales resultados.
Análisis de Resultados Al analizar los dos tipos de errores calculados para los datos experimentales tomados, se puede ver que los errores aleatorios son muy pequeños (menos del 1%) lo que quiere decir que no se presentaron mayores perturbaciones durante las mediciones. Se ve por ejemplo que las medidas para la moneda de $50 antigua presentan un error tan pequeño respecto al promedio, que la mayoría de sus errores aleatorios dan resultados del orden de 10 -5 por lo que se puede afirmar que es la mejor de todas las series de datos. Se presenta también la serie de datos con mayores errores aleatorios, la cual es la medición de la moneda de $50 nueva; aunque estos valores son pequeños (el mayor es de 0,1900%) se podría decir que este error se debe en gran parte al poco peso de estas monedas, debido a que se acercan más al límite de tolerancia de ambas balanzas. Si se mira, por el contrario, los errores sistemáticos se pueden observar que la balanza que tiene una mejor calibración en 5 de los 9 errores sistemáticos calculados presenta valores más pequeños, lo que indica que respecto al valor teórico las mediciones tomadas con este equipo fueron más precisas. Sin embargo, es de resaltar los valores bastante distantes presentados en ambas balanzas con respecto a los valores que reporta el Banco de la República, donde se presentan valores de hasta casi el 20%. La primera explicación que se puede dar al respecto es que en los documentos del banco estas masas están reportados sin una rigurosidad técnica necesaria para este tipo de trabajo; se encontró que la mayoría de estas medidas están reportadas con tan sólo una cifra significativa, mientras que en el laboratorio se trabajó con tres y cuatro cifras dependiendo de la balanza. Aunque eso no explica, por ejemplo, el error presentado para la moneda de $200 nueva, sobre el cual se encontró un error sistemático del 18,9200% así que deben existir más explicaciones para esta diferencia considerable. Una posible explicación es el deterioro de las monedas, debido a factores ambientales como la humedad el aire o la oxidación propia de los materiales con los que las monedas están diseñados, lo que en algunos casos puede originar que la moneda pierda un poco de su masa con el transcurso del tiempo. Otra posible explicación es que estas monedas usualmente están fabricadas en lotes considerables, así que una diferencia en la masa es posible, ya que esto no es una medida importante, como si lo es su valor monetario.
Para la primera suposición realizada (en que todas las monedas dentro del sobre son diferentes) se observó que sólo dos datos se encuentran por debajo del peso reportado por las dos balanzas: ambas monedas de $500. Así que se podría decir que alguna de estas dos monedas es la que está ausente en la muestra; los valores que dan una diferencia negativa se descartan, pues esto representa que el peso encontrado quitando una de las monedas fue mayor, así que se supondría que están añadiendo masa luego de la medición. Una de las medidas está por debajo de la medida experimentalmente tomada en 0,0060 o 0,005 g, lo que representa 5mg aproximadamente. El equipo de trabajo observó que el sobre tenía una cinta extra que sellaba el sobre, así que esta diferencia se le puede atribuir a esa pequeña masa que se le agregó para cerrar el sobre finalmente. Para la segunda suposición realizada se partió de la misma premisa que para la primera: los valores tienen necesariamente que ser menores al dato que presentaba el sobre. Las diferencias con esta restricción son un poco mayores, pero se aprecia que para el cálculo de 10 monedas juntas de $100 nuevas, el valor es bastante cercano, aunque no lo suficiente como para equiparar esto al valor casi exacto arrojado por los métodos experimentales mencionados anteriormente. Además, dadas las dimensiones pequeñas del sobre, es poco factible que se pudieran ingresar 10 monedas en ese espacio. A lo largo de todo el informe se ha mostrado que la balanza 1 es mejor que la balanza 2. Ya sea a través de los valores arrojados (con un decimal más de cifra significativa) o a través de la incertidumbre que llega a ser 10 veces menor en la balanza 1 que en la 2. También se mostró que en la mayoría de casos se presentan errores sistemáticos menores. Con todo esto presente, se sustenta que la b alanza 1 (Mettler Toledo) es mejor que la balanza 2 (Sartorius Entris). En el presente informe se p resentaron dos posibles soluciones al problema de la muestra de monedas contenidas en un sobre, pero evidentemente estas no son las únicas. Se tomaron dos casos extremos, en el que todas las monedas dentro del sobre son iguales y en el que todas son diferentes, pero hay una infinidad de soluciones posibles dado que no se conocen variables que delimitarían el problema como por ejemplo el número de monedas, o si se presentan monedas repetidas, etc. Es por eso que los grados de libertad para el ejercicio son bastantes, y necesariamente hay que hacer una delimitación, como se realizó y desarrolló previamente.
Conclusiones
Se encontró por medio de mediciones experimentales que la muestra problema contaba con 7 monedas, una de cada denominación entre las 8 entregadas inicialmente, con un valor total de $1200, moneda colombiana. Se mostró que una balanza que presenta más cifras decimales en una medición, generará una menor
6
Medición e incertidumbre. incertidumbre al tomar la misma medida repetidamente. Se evidenció que las monedas no cuentan con Estándares altos de calidad, en lo que corresponde a su peso, ya que se generan errores sistemáticos muy altos contrastados con errores aleatorios muy bajos, lo que descarta un posible error de medición. Se observó que un análisis basado en mediciones experimentales es más preciso que un análisis basado en cálculos teóricos.
Sugerencias
Definir alguna variable adicional para la medición del sobre problema, debido a que los grados de libertad son bastantes si se da el sobre sin mayor detalle.
Referencias: Banrep.gov.co. (2015). Monedas | Banco de la República (banco central de Colombia). [online] Available at: http://www.banrep.gov.co/es/-monedas [Accessed 25 Aug. 2016]. ́
́
Gui a para la expresio n de la incertidumbre de medida. ́ ́ (2008). Madrid: Centro Espa n ol de Metrolog i a. Navidi, W. (2006). Statistics for engineers and scientists. Boston: McGraw-Hill Higher Education
7
Medición e incertidumbre.
[1] .
Anexos Anexo 1. Tabla de datos para la primera balanza.
Balanza 1 Moneda
Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g)
500 Nueva
7,0296
7,0294
7,0296
7,0294
7,0297
7,0294
7,0295
7,0295
7,0294
7,0295
500 Antigua
7,4285
7,4285
7,4286
7,4287
7,4285
7,4287
7,4286
7,4286
7,4285
7,4283
200 Nueva
4,6221
4,6221
4,6220
4,6222
4,6222
4,6222
4,6222
4,6222
4,6221
4,6221
200 Antigua
6,8911
6,8909
6,8909
6,8909
6,8909
6,8910
6,8909
6,8910
6,8909
6,8910
100 Nueva
3,3309
3,3306
3,3305
3,3305
3,3305
3,3306
3,3308
3,3306
3,3306
3,3304
100 Antigua
5,2182
5,2180
5,2181
5,2181
5,2181
5,2181
5,2181
5,2181
5,2181
5,2180
50 Nueva
2,0241
2,0239
2,0240
2,0240
2,0241
2,0241
2,0240
2,0241
2,0242
2,0242
50 Antigua
4,4759
4,4759
4,4760
4,4760
4,4760
4,4760
4,4760
4,4760
4,4759
4,4759
Todas
41,0206 41,0205 41,0204 41,0202 41,0203 41,0202 41,0202 41,0201 41,0203 41,0202
Anexo 2. Tabla de datos para la segunda balanza.
Balanza 2 Moneda
Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g) Peso (g)
500 Nueva
7,0290
7,0300
7,0300
7,0290
7,0290
7,0300
7,0280
7,0300
7,0290
7,0280
500 Antigua
7,4270
7,4290
7,4280
7,4290
7,4270
7,4290
7,4290
7,4290
7,4290
7,4290
200 Nueva
4,6220
4,6220
4,6200
4,6220
4,6220
4,6220
4,6210
4,6220
4,6220
4,6220
200 Antigua
6,8920
6,8900
6,8910
6,8910
6,8910
6,8900
6,8910
6,8910
6,8910
6,8900
100 Nueva
3,3310
3,3300
3,3310
3,3310
3,3300
3,3310
3,3310
3,3310
3,3310
3,3300
100 Antigua
5,2170
5,2180
5,2180
5,2180
5,2180
5,2170
5,2180
5,2180
5,2190
5,2170
50 Nueva
2,0230
2,0240
2,0240
2,0230
2,0240
2,0260
2,0250
2,0240
2,0240
2,0240
50 Antigua
4,4750
4,4760
4,4770
4,4760
4,4750
4,4760
4,4760
4,4760
4,4770
4,4760
Todas
41,0190 41,0200 41,0210 41,0190 41,0200 41,0200 41,0200 41,0190 41,0200 41,0200
Anexo 3. Errores aleatorios de cada medición. Balanza 1.
8
Medición e incertidumbre.
Balanza 1 Moneda 500 Nueva
Error aleatorio para cada medición (%) 0,0200 0,0800 0,0800 0,0200 0,0200 0,0800 0,1200 0,0800 0,0200 0,1200
500 Antigua 0,1500 0,0500 0,0500 0,0500 0,1500 0,0500 0,0500 0,0500 0,0500 0,0500 200 Nueva
0,0300 0,0300 0,1700 0,0300 0,0300 0,0300 0,0700 0,0300 0,0300 0,0300
200 Antigua 0,1200 0,0800 0,0200 0,0200 0,0200 0,0800 0,0200 0,0200 0,0200 0,0800 100 Nueva
0,0300 0,0700 0,0300 0,0300 0,0700 0,0300 0,0300 0,0300 0,0300 0,0700
100 Antigua 0,0800 0,0200 0,0200 0,0200 0,0200 0,0800 0,0200 0,0200 0,1200 0,0800 50 Nueva
0,1100 0,0100 0,0100 0,1100 0,0100 0,1900 0,0900 0,0100 0,0100 0,0100
50 Antigua
0,1000 0,0000 0,1000 0,0000 0,1000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1000 0,0000
Todas
0,0800 0,0200 0,1200 0,0800 0,0200 0,0200 0,0200 0,0800 0,0200 0,0200
Anexo 4. Errores aleatorios de cada medición. Balanza 2.
Balanza 2 Moneda 500 Nueva
Error aleatorio para cada medición (%) 0,020 0,080 0,080 0,020 0,020 0,080 0,120 0,080 0,020 0,120
500 Antigua 0,150 0,050 0,050 0,050 0,150 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 200 Nueva
0,030 0,030 0,170 0,030 0,030 0,030 0,070 0,030 0,030 0,030
200 Antigua 0,120 0,080 0,020 0,020 0,020 0,080 0,020 0,020 0,020 0,080 100 Nueva
0,030 0,070 0,030 0,030 0,070 0,030 0,030 0,030 0,030 0,070
100 Antigua 0,080 0,020 0,020 0,020 0,020 0,080 0,020 0,020 0,120 0,080 50 Nueva
0,110 0,010 0,010 0,110 0,010 0,190 0,090 0,010 0,010 0,010
50 Antigua
0,100 0,000 0,100 0,000 0,100 0,000 0,000 0,000 0,100 0,000
Todas
0,080 0,020 0,120 0,080 0,020 0,020 0,020 0,080 0,020 0,020
9
