Informe Final Del Problema de Boussinesq y La Carta de Newmark

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC

“

AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO

”

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURÍMAC ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO Trabajo que se presenta como parte del curso de mecánica de suelos II

DOCENTE

: Ing. PERCY BRAVO OSCCO

ALUMNOS

: TTITO DIAZ, Lisbeth CONDORI PINARES, Clinton

152260 141341

SEMESTRE : 2017 - II FACULTAD : Ingeniería Civil

APURIMAC - PERU 2017

MECANICA DE SUELOS II: DI STRIBUCION DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO

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I. DEDICATORIA Este trabajo se lo dedicamos primeramente a Dios por iluminarnos durante este trabajo y por permitirlo finalizarlo con mucho éxito, a la vez a nuestros queridos padres por el deseo de superación y amor que nos brinda cada día, como también al docente de la asignatura; quien es nuestro guía en el aprendizaje, dándonos a conocer los últimos conocimientos útiles y necesarios para un buen desenvolvimiento desenvolvimiento en la sociedad.


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II. INTRODUCCIÓN En 1885 el francés Boussinesq, consiguió resolver matemáticamente el problema de calcular las tensiones generadas por una carga puntual actuando normalmente sobre un semiespacio. El espacio de Boussinesq es un ente que sustituye en primera aproximación al terreno. Para las aplicaciones prácticas dicho espacio está limitado únicamente por un plano horizontal, constituyendo entonces el semiespacio de Boussinesq. Éste es elástico, homogéneo e isótropo. Al decir elástico se entiende en sentido restringido, es decir, se supone que cumple la ley de Hooke y que el coeficiente de elasticidad es el mismo en tracción que en compresión. Se supone también que la materia que constituye el semiespacio tiene resistencia suficiente para seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que se produzcan en todos y en cada uno de los puntos del semiespacio. Las fórmulas obtenidas por Boussinesq en coordenadas cilíndricas son: En ninguna de las fórmulas aparece el coeficiente de elasticidad, las cuales dependen, en cambio del coefici ente de Poisson, excepto en las fórmulas de σz y τrz. La gráfica corresponde a una hipérbola equilátera ya que ρ y s son las dos coordenadas

cartesianas de la deformada de la superficie. Se puede observar que en el punto de aplicación de la carga se corresponde con un asiento infinito, lo cual no corresponde a la realidad, sino al empleo del concepto teórico de una carga aislada concentrada, que produce esfuerzos infinitos en el punto de aplicación. Por ello, esta fórmula no debe emplearse para el cálculo de asientos de puntos situados en el entorno de aquél. En el caso que se desee conocer el asiento producido en un punto interior del terreno se tiene: Esta expresión no es más que una generalización de la referida a los puntos de la superficie, que se obtiene haciendo ψ = π / 2. Además, esta expresión permite conocer e l asiento producido en terrenos estratificados.


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III. PRESENTACIÓN El presente trabajo ha sido investigado, elaborado y analizado profundamente por cada uno de nosotros, estudiantes de la Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac de la carrera de Ingeniería Civil; sobre el tema de Distribución de esfuerzos en la masa de suelo, que nos brindara mayor información y conocimiento en nuestra formación profesional, académica y social, ya que vivimos en un mundo de la era de la competencia; es decir que la transformación del futuro en Ingeniería Civil de los conocimientos y las perspectivas de los compañeros, docente y estudiantes de ingeniería que se requiere como fundamento del tema.


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IV. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO 1. Definición Como bien sabemos una cimentación tiene el trabajo de transferir las cargas de la estructura al suelo, cuando esto sucede la presión o el esfuerzo que la fundación entrega al terreno se distribuye en el medio considerado (el suelo) y a su vez se disipa. Por lo anterior en esta exposición se presenta una de las soluciones que se utiliza actualmente para determinar los esfuerzos dentro de la masa del suelo.

2. ¿Qué sucede cuando colocamos esfuerzos en una masa de suelo ? Cuando una estructura se apoya en la tierra, transmite los esfuerzos al suelo donde se funda. Estos esfuerzos producirán deformaciones, pero primero el suelo, considerado un medio continuo, disipara estos esfuerzos a medida que se profundiza en el o se considera un punto alejado desde donde existe el esfuerzo de contacto.

3. Distribución dentro de la masa de suelo depende •

•

•

•

Forma, tamaño y distribución del área cargada. Magnitud de la carga. Profundidad a la cual se evalúa el incremento de esfuerzo vertical. Distancia horizontal del centroide de la carga al punto de consideración.


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4. Tipos de consideraciones de carga Existen varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo como son: •

•

•

•

•

•

Carga puntual Carga uniformemente repartida sobre un área rectangular Carga uniformemente repartida sobre un área triangular Carga uniformemente repartida sobre un área circular Carga uniformemente repartida sobre un área rectangular de longitud infinita Carga distribuida de forma trapezoidal

5. ¿De qué manera se distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo? Se debe aplicar la solución del matemático francés Joseph Boussinesq (1885) quién desarrolló un método para el cálculo de incremento de esfuerzos (esfuerzos inducidos) en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo.


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Entre las fórmulas que aplican la teoría de la elasticidad para calcular las tensiones en el suelo debido a cargas exteriores la más utilizada es la de Boussinesq en donde al suelo se lo supone, como una masa homogénea, elástica e isótropa. En la Mecánica de Suelos existe diversas teorías por medio de la cuales se puedecalcular la distribución de presiones dentro de la masa del suelo. Estas teoríasdemuestra n que una carga aplicada al suelo aumenta los esfuerzos verticales en toda la masa. El aumento es mayor debajo de la carga, pero se extiende en todas dimensiones, A medida que aumenta la profundidad, disminuye la concentración de esfuerzos debajo de la carga.

6. TEORIA DE BOUSSINESQ Esta teoría supone una masa de suelo homogénea, elástica e isótropa que se extiende indefinidamente por debajo de una superficie de la masa. El incremento del esfuerzo vertical, ACZ, a la profundidad z y a una distancia horizontal r del punto de aplicación de la carga Q, s calcula por medio de la formula siguiente:

Donde: P

= Carga concentrada actuante


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x, y, z = Coordenadas del punto en que se calculan los esfuerzos r

= Distancia radial del origen al eje donde se calculan los esfuerzos

Las hipótesis para las cuales se desarrolló la fórmula de Boussinesq, están lejos de representar realmente una masa de suelo, no obstante, simplifica el análisis matemático que impone dicha masa. La teoría de Boussinesq es pues sólo aplicable en un espacio semi-infinito homogéneo elástico, como puede ser el análisis de una prueba de placa en una terracería o la carga de una llanta en un pavimento delgado. Por lo que no es aplicable a un pavimento con una sección que puede decirse típica. La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de aplicación de la carga. Se dice que un material es elástico cuando sigue la ley de Hooke, o sea en la cual las deformaciones son proporcionales a los esfuerzos. Si se considera un sólido elástico, homogéneo e isótropo que se extiende en todas las direcciones, con una carga aplicada sobre él, se puede determinar la distribución de presiones en su interior. El caso más sencillo de las distribuciones de presión correspondiente a una carga concentrada, vertical, en la superficie del semi-espacio como lo indica la figura que sigue:

 MECANICA DE SUELOS II: DI STRIBUCION DE ESFUERZOS EN LA MASA DEL SUELO

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6.1.

MATERIAL HOMOGÉNEO

Un material se considera homogéneo cuando presenta las mismas propiedades a lo largo de todos sus ejes o direcciones. Cuando se trabaja con suelos, esta hipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson deben ser constantes; lo que implica la no existencia de lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. Debido a que el suelo no es un material completamente homogéneo, el tomar en cuenta esta hipótesis introduce siempre algún porcentaje de error.

6.2. MATERIAL ISOTRÓPICO Significa que tanto el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones. La mayoría de los suelos cumplen con este criterio, pero existen materiales, tales como los lechos rocosos sedimentarios que no lo cumplen.

6.3. MATERIAL CON PROPIEDADES LINEALES ELÁSTICAS DE ESFUERZODEFORMACIÓN Significa que a cada incremento de esfuerzos está asociado un incremento correspondiente de deformación. Esta hipótesis implica que la curva esfuerzo-deformación es una línea recta que no ha alcanzado el punto de fluencia.


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La solución original de Boussinesq (1885) para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto A de la Figura, debido a una carga puntual P aplicada en la superficie; fue realizada Inicialmente para el sistema de coordenadas polares (r, , z).


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Posteriormente, estas ecuaciones fueron transformadas al sistema de coordenadas rectangulares, donde el valor de z es medido en forma descendente y es igual a la profundidad del plano horizontal que contiene al punto donde se calculan los esfuerzos, siendo x y y las dimensiones laterales.


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Del esquema de la figura podemos observar y obtener varias cosas, uno como es la distribución de esfuerzos en el terreno debido a una carga puntual, y dos introduciremos un concepto que es el bulbo de presiones.

7. BULBO DE PRESIONES Es la zona del suelo donde se producen incremento de carga vertical considerables por efecto de una carga aplicada del tipo que sea. Esta zona forma un bulbo el cual se le llama de presiones, y esta conformada por isobaras que son curvas que tienen en común que unen puntos de un mismo valor de presión.


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El bulbo esta limitado por la isobara que toma el valor de σz=10P

(caso de carga puntual)

8. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA CIRCULAR

En la figura se puede ver el modelo de carga circular (q) sobre un medio elástico semi – infinito, y sistema de ejes utilizado. Partiendo de la solución dada por Boussinesq para una carga puntual, y dividiendo un área cargada circular en diferenciales de área, como muestra la figura donde una carga puntual (dp) sobre este diferencial se puede aproximar a dp=q.r.d .dr, odbtenemos que:


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Integrando en toda la superficie del área circular, tendríamos que:

Al solucionar la anterior integral, encontraríamos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆ ) para un punto cualquiera (a) debajo del centro de una cimentación circular, de radio (R), cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z) cualquiera, sera:

Donde: R: es el radio de la cimentacion, y sera igual a R=B/2 Para conocer el incremento de esfuerzo vertical en lugares diferentes a puntos localizados debajo del centro de la cimentación circular, se deberá solucionar la integral de la ecuación, con los adecuaos limites de integración, variándolos de acuerdo a la distancia (r) desde el centro de la cimentación hasta punto investigado y a la profundidad (z). Para efectos practicos podemos utilizar ábacos como el que muestra la figura, obteniendo el valor de la función, de tal manera que el incremento de carga se puede expresar como:


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En este caso que estamos analizando el bulbo de presiones debido a una carga circular, este estará limitado por la isobara que toma el valor de ∆ =0.10q, y como se puede apreciar en el abaco de la figura anterior, la máxima profundidad (Db) que toma el bulbo de presiones es el centro aproximadamente a dos veces el ancho (B) o do veces el diámetro (D) de la fundación, luego podemos aproximar:

9. DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA RECTANGULAR Fadum realizó la integración de la solución de Boussinesq para el caso de la carga puntual, extendiéndola para el caso de una superficie rectangular, estableciendo que para un punto cualquiera (a) debajo de la esquina de una cimentación rectangular, de ancho B y largo L, cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q) uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z), el esfuerzo será:


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Resolviendo la integral:

El valor del factor influencia l(m,n), siempre deberá estar entre:

Los valores del factor influencia l(m,n), a partir de las ecuaciones anteriores se pueden obtener el grafico de la figura de los bulbos para diferentes valores de m y n o de la tabla siguiente.


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Esta figura nos muestra el factor de influencia para diferentes valores de m y n.

Tabla: valor del factor de influencia para diferentes valores de m y n. La profundidad del bulbo de presiones (Db) de un área rectangular es difícil de determinar de forma general, mas aun cuando es una distribución de carga compuesta. Se puede deducir que


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esta variaría entre dos veces su ancho (B) (en el caso de una zapata cuadrada) y tres veces su ancho (B), pero de manera aproximada Db es asumida, para el caso de una zapata rectangular como:

10. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARAGA TRIANGULAR DE LONGITUD INFINITA De una manera análoga como para una carga rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita, a partir de la solución para los esfuerzos causados en el suelo por una fuerza lineal de longitud infinita (p/m, no tratada en este capitulo), y al integrarla para darle una solución a la distribución de esfuerzos causados en el suelo por una carga triangular de longitud infinita, variando desde cero (0) hasta q. obtenemos que el incremento de el esfuerzo vertical (∆ ) en un punto cualquiera (a)dado, de coordenadas (  ,  ) sera:

Donde: q

: sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita.

x

: coordenada cartesiana x del punto analizado

b

: igual a la mitad del valor del ancho de la cimentación de longitud infinita con carga

uniformemente distribuida (b=B/2) ∝

: angulo definido en la figura, conformado entre los limites de la carga y el punto a.



: angulo definido en la figura medido con respecto ala vertical.


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En la figura se puede ver la carga triangular de longitud infinita. Esta solución es aplicada a casos como el de los muros de contención con carga excéntrica, combinado con principios de superposición de acuerdo a las teorías elásticas.

11. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA TRAPEZOIDAL (TRIANGULO RECTANGULO) DE LONGITUD INFINITA, TERRAPLEN

En la figura se puede ver la carga de terraplen de longitud infinita A partir de la solución para una carga triangular de longitud infinita y utilizando los principios de superposición, podemos obtener que el incremento de el esfuerzo vertical ( ∆ ) en un punto cualquiera (a) dado, de coordenadas (  ,  ), sera:

Donde: q : sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud infinita, actuando en el ancho B2, que en el caso de un terraplén uniforme de altura H y peso unitario , sera q= H. 1 : ancho donde se desarrolla la pendiente del terraplén, y donde varia la carga desde la carga

q hasta cero.


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2 : ancho donde se considera que actua la carga rectangular de longitud infinita

uniformemente distribuida (q). ∝1 : definido como:

∝2 : definido como:

Por facilidad se puede construir o graficar un diagrama en función de B1/z y B2/z, a partir de la ecuación anterior con el objeto de expresar el incremento de el esfuerzo vertical ( ∆ ) como:

Donde el valor de la función

aparece graficado en la figura siguiente:


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En la figura se puede observar el abaco para carga de terraplén de longitud infinita, valor de la función f(B1/z, B2/z). 12. DISTRIBUCION DE ESFUERZOS EN EL TERRENO DEBIDO A UNA CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA DE CUALQUIER FORMA, CARTA DE NEWMARK (1942) 12.1.

Manejo de la Carta de Newmark

Nathan M. Newmark (1942) en la universidad de illinois, se ideo un sistema de solución grafica para encontrar de manera aproximada el incremento de esfuerzo vertical debajo de cualquier punto de una fundación, con cualquier tipo y forma de carga, basado en la solución para un punto bajo el centro de una fundación con carga uniformemente repartida de forma circular. A esta solución grafica se le llama solución con Carta de Newmark , y es basada en graficos o esquemas como el que muestra la figura siguiente:


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La forma de encontrar el incremento de esfuerzo vertical bajo cualquier punto de la fundación o por fuera de ella, a una profundidad cualquiera (z) dad, es: a. Caracterizar la carta de Newmark con la que se va a trabajar, que consiste en identificar el valor de influencia (cada carta tendrá uno, en el caso de la figura Vi=0.003125), y en identificar la referencia de escala que es la línea que representa la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo. b. Adopta la profundidad (z) a la cual se va a encontrar el incremento de esfuerzo vertical, la línea de referencia de escala se volverá igual a la profundidad tomada, de acuerdo a esto quedara definida la escala del procedimiento. c. Se deberá de dibujar la fundación en planta de acuerdo a la escala definida en el paso anterior, para luego colocar este esquema a escala sobre la carta de Newmark, haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea encontrar el incremento de esfuerzo en el centro de la fundación o la figura o para el caso del incremento del esfuerzo en la esquina de la cimentación.

Newmark desarrolla en 1942 un método gráfico sencillo qué permite obtener rápidamente los esfuerzos verticales (o>) transmitidos a un medio semi infinito, homogéneo, isótropo y elástico por cualquier condición de carga uniformemente repartida sobre la superficie del medio. Esta carta es especialmente útil cuando se tienen varias áreas cargadas, aplicando cada una de ellas, diferentes presiones a la superficie del medio.


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El método se basa en la ecuación correspondiente al esfuerzo vertical bajo el centro de un área circular uniformemente cargada. Esta ecuación puede escribirse

3 / 2   σ  1 z  1    2  w  1 (r/z)   Si en esta ecuación se da a c g/w el valor 0.1 se encuentra que r/z resulta ser 0,27; es decir, que si se tiene un circulo cargado de radio r = 0.27z, donde z es la profundidad de un punto A bajo el centro del círculo, el esfuerzo en dicho punto A será

Ga = 0.1 W Si este círculo de r = 0.27 z se divide en un número de segmentos iguales, cada uno de ellos contribuirá al esfuerzo a m total en la misma proporción. Si el número es 20 como es usual en las cartas de Newmark, cada segmento cooperará para el esfuerzo o> con 0Aw/2O = 0.005 w. El valor de 0.005 es el valor de influencia correspondiente a cada uno de los segmentos circulares considerados. Si ahora se toma ajw = 0.2, resulta r/z = 0.40; es decir, para el mismo punto A a la profundidad z, se requiere ahora un circulo cargado de r = 0.40 z, para que el esfuerzo tr a sea igual a 0.2 w


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Génesis de las Cartas de Newmark Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro circulo con dicho r = 0.40 z. Como el primer circulo producía en A un otro



z



z

= 0.1 w, se sigue que la corona circular ahora agregada produce

=0.1 w (de modo que el nuevo circulo total genera o, s 0.2 w). Así, si los radios que

dividían el primer círculo se prolongan hasta el segundo, se tendrá la corona subdividida en áreas cuya influencia es la misma que la de los segmentos originales. (0.005 w). De esta manera puede seguirse dando a



z

/w valores de 0.3, 0.4, 0.5, 0.6. 0.7, 0.8. 0.9

obteniendo así los radios de círculos concéntricos en función de la z del punto A, que den los esfuerzos 0.3 w, 0.4 w, etc. en el punto A. Prolongando los radios vectores ya usados se tendrá a las nuevas coronas circulares añadidas subdivididas en áreas cuya influencia es igualmente de 0.005 w sobre el esfuerzo en A. Para z/w = 1.0 resulta que el radio del círculo correspondiente es ya infinito, para cualquier z diferente de cero, por lo que las áreas que se generan por prolongación de los radios vectores fuera del círculo en que z/w = 0.9, aun siendo infinitas, tienen la misma influencia sobre A que las restantes dibujadas.


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En el Anexo IM se presenta una carta de Newmark construida para el valor de z que se indica. Para encontrar el valor de


z

depende sólo del valor de la relación r/z,

por lo que una sola carta de Newmark puede usarse para determinar los



z

a distintas

profundidades, a lo largo de la vertical por el centro de los círculos concéntricos, con tal de considerar que la z usada para la construcción de la carta representa las distintas profundidades a que se desea calcular los esfuerzos, si bien a diferentes escalas. Puesto de otra forma, en la práctica se puede hacer funcionar la carta de Newmark de dos maneras distintas. a) Usando varias cartas de Newmark .

Por ejemplo, si las z usadas para la construcción de las cartas son 1 cm. 2 cm, 5 cm. 10 cm y 20 cm y se tiene un área cargada, cuya influencia se desea determinar, representada a escala 100, las cartas proporcionarían los cr_- producidos por tal área a profundidades de 1 m. 2 m. 5 m, 10 m y 20 m, que son las z utilizadas a escala 100. b) Usando una sola carta de Newmark.

Para lo cual será preciso disponer de varias plantillas del área cargada cuya influencia se estudia, dibujadas a escalas diferentes. Así, por ejemplo, si la carta de 3ue se dispone fue construida con base en una z de 10 cm, y se esea conocer el

a, que se produce a las

profundidades de 2 m, 5 m, 10 m y 20 m. deberán construirse las plantillas a escalas tales que esas profundidades queden representadas por la z — 10 cm; es decir, a escalas: 20. 50. 100 y 200. La plantilla del ¿rea cargada, dibujada en papel transparente, se coloca en tal forma que el centro de la carta coincida con el punto bajo el cual quieran calcularse los ov A continuación se contarán los elementos de área de la carta cubiertos por dicha área cargada, aproximando convenientemente las fracciones de elemento. El número asi obtenido, multiplicado por el valor de influencia común de los elementos (en el desarrollo anterior 0.005) da el valor de influencia total, que multiplicado por la

w que

se tenga da el o» deseado.

Posiblemente la máxima utilidad del método de Newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas uniformemente, pero con cargas de distintas intensidades,


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pues en este caso los métodos antes vistos requerirían muchos cálculos, mientras que la carta de Newmark funciona sin mayor dificultad.


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Otra manera de determinar los esfuerzos verticales, producidos a una profundidad determinada, debido a las cargas superficiales, consiste en hacer uso del grafico de influencia de N. M. Newmark.  =  ∙ 

En la que q es la carga unitaria sobre el círculo y el valor de I es:    =  − (/( + ( )^))^( )  

De la ecuación anterior que da el valor de esfuerzo vertical  a una profundidad determinada, 

se puede determinar el valor de ( r/z) que corresponda a  = . ya que;    / =  − (/( + ( )^))^( )  

Y resulta que ( r/z ) es igual a 1.387 El procedimiento para usar el diagrama de Newmark es: Se dibuja el plano de la cimentación donde el segmento OQ del ábaco represente la profundidad z del punto en el cual se quiere conocer el esfuerzo  . Se coloca sobre el dibujo de cimentación

el ábaco de modo que la proyección del punto que se estudia coincida con el centro O del ábaco, se encuentra el número de zonas cubiertas por el área de la cimentación y el producto de este número por el coeficiente de influencia de cada zona y por el valor de q proporciona el valor de  en el punto considerado

En todos los casos, el procedimiento a seguir tiene que definirlo el ingeniero que diseña ya que la clase de obra y el tipo de proyecto serán aspectos que tiene que tomar en cuenta para escoger el procedimiento que crea más adecuado.


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Informe Final Del Problema de Boussinesq y La Carta de Newmark

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