Carta de infuencia de Newmark El método se basa en la ecuación:
[ ( ( ))] 2 3
1
σ z= ω 1−
1+
r z
2
correspondiente
al esuerzo vertical bajo el centro de un área circular uniormemente σ z
cargada Esta ecuación puede! escribirse:
"i en esta ecuación se da a
σ z ω
ω
( ( )) 1
=1 −
1+
r z
2 3
2
el valor valor de #! se encuentra encuentra $ue $ue r%z
resulta resulta ser #&'( es decir) $ue si se tiene un c*rculo c*rculo cargado cargado de radio r+ #&'z) donde z es la proundidad de un punto , bajo el centro del c*rculo) el esuerzo en dic-o punto , será: σ z=0.1 ω
"i este c*rculo de r+#&'z se divide en un numero de segmentos iguales ./g :0000000001) cada uno de ellos contribuirá al esuerzo σ z total en la misma proporción proporción "i el numero numero es &# como es usual en las cartas de Newmark) cada segmento cooperara para el esuerzo σ z con #! ω % &# + ###2 ω El valor de ###2 es el valor de infuencia correspondiente a cada uno de los segmentos circulares considerados "i a-ora se toma
σ z ω
+#&) resulta r%z+#3#( es decir) para el mismo mismo
punto , a la proundidad z) se re$uiere a-ora un circulo cargado de r+#3#z) para $ue el esuerzo σ z sea igual a #& ω
/g :0000000000000000000000000 4énesis de la carta de Newmark Concéntrico con el anterior puede dibujarse otro circulo .5ig :0000000000001 con dic-o r+#3#z Como el primer c*rculo produc*a en , un σ 0.1 ω ) se sigue $ue la corona circular a-ora agregada produce otro σ z=0.1 ω .de modo $ue el nuevo circulo total genera σ 0.2 ω 1 z
=
z
=
,s*) si los radios $ue divid*an el primer c*rculo se prolongan -asta el segundo) se tendrá la corona subdividida en áreas cu6a infuencia es la misma $ue la de los segmentos originales .###2 ω 1 7e esta manera puede seguirse dando a
σ z ω
valores de #8) #3) #2)
#9) #') #) #; obteniendo as* los radios de c*rculos concéntricos en unción de la z del punto ,) $ue den los esuerzos #8 ω ) #3 ω ) etc En el punto , prolongando los radios vectores 6a usados se tendrá a las nuevas coronas circulares a
% ω +!# resulta $ue el radio del circulo correspondiente es 6a in/nito) para cual$uier z dierente de cero) por lo $ue las áreas $ue se generan por prolongación de los radios vectores uera del circulo en $ue
z% ω +#;) aun siendo in/nitas) tienen la misma infuencia sobre , $ue las restantes dibujadas Como ane?o se presenta una carta de Newmark construida para el valor de z $ue se indica =ara encontrar el valor de σ z en puntos con dierentes proundidades $ue en , puede procederse en orma similar) constru6endo otras cartas de Newmark) con base en otros valores de z debe notarse sin embargo) $ue el valor de σ z depende solo del valor de la relación r%z) por lo $ue una sola carta de Newmark puede usarse para determinar los σ z a distintas proundidades) a lo largo de la vertical por el centro de los c*rculos concéntricos) con tal de considerar $ue la z usada para la construcción de la carta representa las distintas proundidades a $ue se desea calcular los esuerzos) si bien a dierentes escalas =uesto de otra orma) en la práctica se puede -acer uncionar la carta de Newmark de dos maneras distintas a1 @sando varias cartas de Newmark =or ejemplo) si las z usadas para la construcción de las cartas son !cm) &cm) 2cm) !#cm 6 &#cm 6 se tiene un área cargada) cu6a infuencia se desea determinar) representada a escala !:!##) las cartas proporcionar*an los σ z producidos por tal área a proundidades de !m) &m)2m)!#m 6 &#m) $ue son las z utilizadas a escala !:!## b1 @sando una sola carta de Newmark) para lo cual será preciso disponer de varias plantillas del área cargada cu6a infuencia se estudia) dibujadas a escalas dierentes ,s* por ejemplo) si la carta de $ue se dispone ue construida con base en una z de !#cm) 6 se desea conocer el σ z $ue se produce a las proundidades de &m) 2m) !#m 6 &#m) deberán construirse las plantillas a escalas tales $ue esas proundidades $ueden representadas por la z+!#cm( es decir) a escalas: &#) 2#)!## 6 &## Aa plantilla del área cargada) dibujada en el papel transparente) se coloca en tal orma $ue el centro de la carta coincida con el punto bajo el cual $uieran calcularse los σ z , continuación se contaran los elementos de área de la carta cubiertos por dic-a área cargada) apro?imado convenientemente las racciones de elemento El nBmero as* obtenido) multiplicado por el valor de infuencia comBn de los elementos .en el desarrollo anterior ###21
da el valor de infuencia total) $ue multiplicado por la w $ue se tenga da el σ z deseado =osiblemente la má?ima utilidad del método de Newmark aparezca cuando se tiene una zona con diversas áreas cargadas uniormemente) pero con cargas de distintas intensidades) pues en este caso los métodos antes vistos re$uerirán de muc-os cálculos) mientras $ue la carta de Newmark unciona sin ma6or di/cultad tra orma de realizar la carta de infuencia de Newmark es teniendo en mente el valor de infuencia $ue se le dara a la carta( el método se describe a continuación "e cuenta entonces el nBmero de Dcampos cubiertos por el plano 6 el esuerzo se obtiene a partir de: σ z=( Num. de campos cubiertos ) x I N x q
7onde: I N + actor de escala de la grá/ca) esto es) el valor de infuencia de un
Dcampo de área para una carga uniorme unitaria Es posible construir cartas con dierentes valores de infuencia 6 para diversos componentes del esuerzo( resultan bastante convenientes en los casos en $ue el área de carga es irregular o tiene una orma compleja =ara construir la carta de infuencia de Newmark para esuerzos verticales directos) se resuelve la ecuación positiva: −2
a =(( 1− I q ) 3 z
1 /2
−1 )
7onde: I q +
σ z q
{
σ z= q 1 −(
3 /2
1 2
1−( a / z )
)
}
obteniendo la ra*z
a%z es la razón de tama
Figura :________ carta de infuencia de Newmark para esuerzo vertical.
Ejemplo:
ConstrB6ase una carta de infuencia de Newmark) para esuerzo vertical directo) $ue tenga valor de infuencia de ##& por campo @sando esta grá/ca) determ*nese el esuerzo vertical inducido a una proundidad de !# m por debajo del punto ,) en el cimiento $ue se muestra en la fgura :_________.
Figura :__________
=ara un valor de infuencia de ###&) el nBmero total de campos + 2## .!%###&1 Escójase el conjunto principal de anillos $ue contiene cada una 3# campos) 6 $ue el anillo más interno 6 el más e?terno contengan &# cada uno Fambién) escójase el valor de escala de z+ 3# mm Aos cálculos se muestran a continuación en orma tabulada 6 la grá/ca resultante corresponde a la fgura :________. Calculo de I q Para anillo 1 I q +
σ z q
σ z=( Num. de campos cubiertos ) x I N x q σ z=20 x 0.002 xq I q +
20 x 0.002 xq q
I q + &#?###& I q +
0.04
Para anillo 2 I q +
σ z q
σ z=( Num. de campos cubiertos ) x I N x q σ z= 40 x 0.002 xq I q +
40 x 0.002 xq
q
I q + 3#?###& I q +
0.08
Este mismo procedimiento se realiza en los siguientes anillos Calculo de la relación a/z −2
a =(( 1− I q ) 3 z
1 /2
−1 )
Para el anillo 1
Con I q de ##3
(
−2
a = ( 1− 0.04 ) 3 z
−1
1 2
)
a =0.166 z
Para el anillo 2
Con I q de ##
(
−2
a = ( 1− 0.08 ) 3 z
)
−1
1 2
a =0.239 z
"e realiza cálculo similar para los demás anillos Calculo del radio del anillo (a).
@tilizando el valor de z+ 3# mm G utilizando la relación de a%z despejando para Da tenemos: Para anillo 1 a =0.166 z
a+ #!99z a+ #!99.
a+ 99
Para anillo 2 a =0.239 z
a+ #&8;z a+ #&8;.3#1 a+ ;9 Healizando cálculo similar para los demás anillos se obtienen los valores $ue se te tienen en la tabla siguiente: Anil lo
! & 8 3 2 9 ' ; !# !! !& !8 !3
N° de C!rculo campo comple"o I q
&# 3# # !&# !9# &## &3# &# 8&# 89# 3## 33# 39# 3#
##3 ## #!9 #&3 #8& #3# #3 #29 #93 #'& ## # #;& #;9
−2
a =(( 1− I q ) 3 z
1 /2
−1 )
#!99 #&8; #82! #33 #23& #98' #'8; #23 #; !!29 !8' !'93 &#;3 &'3
#adio de anillo a (mm) (para z$%&m m)
99 ;9 !3# !'; &!' &22 &;9 83& 8;2 39& 222 '#9 8 !!##
"e /ja para la escala ,I una longitud de !# m) esto es) para una proundidad z) se traza el plano del cimiento .por lo general en papel calca1 sobre la grá/ca de infuencia con el punto de reerencia .,1 directamente por encima del centro de la carta 5ig 93' El nBmero de campos cubiertos es de: Jrea sombreada + !9 campos Jrea sin sombrear + ;3 campos
Entonces el esuerzo vertical a !# m por debajo del punto , es: σ z=( Num. de campos cubiertos ) x I N x q 168 x 0.002 x 180 σ z=¿ 2
σ z=79 kN / m
1 K .;3 ? ###& ? !##1
