Informe Final de Estadística Intervalos de Confianza

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

Curso:

Estadística

Ciclo:

III

Grupo:

A

Práctica:

2

Tema:

Intervalos de confianza

Docente:

MBA. Luis Calderón

Estudiantes: - Arévalo Oliva María - Avalos Ludeña Jenry - Javier Villanueva Magda - Ponte Ramírez Reynaldo - Torres Villanueva Mitshell - Valverde López Edinson

Chimbote – Perú Perú 2014

14 de julio de 2014

[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] SANTA ]

Índice Páginas

INTRODUCCIÓN………………………………………… INTRODUCCIÓN……………… ………………………………………………. ……………………. 3 CAPITULO 1: DEFINICIONES………….…………………………………… DEFINICIONES………….…………………………………… 5 CAPITULO 2: CASOS………………………………………….…………... CASOS………………………………………….…………..... 10 CASOS PARA LA MEDIA……………………………………………….. 11 

Primer caso…………………………………………………………… 11



Segundo caso………………………………………………………..

14



Tercer caso…………………………………………………………..

15

CASOS PARA LA PROPORCIÓN…………………………………….. 17 

Primer caso…………………………………………………………… 17



Segundo caso……………………………………………………….. 22

CAPITULO 3: ANEXOS ……………..………….…………………………. ……………..………….…………………………. 24 CAPITULO 4: BIBLIOGRAFÍA Y LINKOGRAFÍA ……………………. 26 CAPITULO 5: EJEMPLOS …..………….…………………………… …..………….……………………………..…

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Introducción

Actualmente se debe estar bien consciente de que las poblaciones son generalmente muy grandes como para ser estudiadas en su totalidad.

Su

tamaño

requiere

que

se

seleccione muestras las cuales se pueden utilizar

para

hacer

inferencias

sobre

poblaciones. Por ejemplo si un gerente de una tienda minorista desea saber sobre sus ventas diarias promedios por cliente durante el año anterior, podría encontrar difícil calcular el promedio de las ventas a cientos o quizás miles de clientes que pasaron por la tienda. Seria muchos más fácil estimar la media poblacional con la media de una muestra representativa. Hay dos tipos de estimadores que se utilizan más comúnmente para este i m a d o r p u n t u a l y un estimador po r intervalo intervalo propósito: un e s t im . Un estimador

puntual utiliza un estadístico para estimar el parámetro en un solo valor o punto. El estimador puntual por ser un solo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. El problema que presenta la estimación puntual de un parámetro reside en que no garantiza ni mide la precisión de la estimación. Solo la bondad de ajuste y el tamaño de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la estimación obtenida. Por esta razón es necesario dar, junto a la estimación una medida del grado de confianza que nos merece Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá que

̅   . El estimado

 . El gerente de la tienda puede seleccionar una muestra de n=500 clientes y halla el gasto promedio de ̅   puntual nada dice sobre lo cercano que esta de

, este valor sirve como estimación puntual para la media poblacional. Estadística

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Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se está estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un intervalo de confianza. El gerente puede decidir que la media poblacional este entre $116 y $124. Tal intervalo con frecuencia va acompañado de una afirmación sobre el nivel de confianza que se da con exactitud. Por lo tanto se llama intervalo de confianza. En realidad hay tres niveles relacionados comúnmente con los intervalos de confianza: 99%, 95% y 90%. El gerente mencionado puede tener un 95% de confianza en que la media poblacional esta entre $116 y $124.

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CAPITULO 1

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Definiciones 1. Intervalos de confianza: Con el objetivo de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado a partir de una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro con un probabilidad determinada. A la semiamplitud de dicho intervalo se le llamará error de estimación.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de con fianza y y se denota . La fianza probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significación y se simboliza por .





Un intervalo de confianza nos proporciona unos límites entre los cuales confiamos que se encuentre el valor desconocido del parámetro. Esta confianza de inclusión se mide mediante un porcentaje, de tal manera que si este es el , entonces, si obtenemos un gran número de intervalos como el anterior, tenemos la confianza de que el de ellos se contendrá el valor exacto del parámetro desconocido.







Un intervalo de confianza para el parámetro de una población es de la forma donde es el valor d el parám etro d esco no cid o , y son func iones de los valores muestrales , que únicamente serán números cuando hayamos obtenido una muestra y sustituido sus valores en las funciones .

    



 

 

En el proceso de construcción de un intervalo de confianza se pueden distinguir dos etapas, que, para una mejor comprensión, podrían determinarse teórica y práctica. En la primera (etapa teórica), establecemos formalmente el intervalo aleatorio , de tal manera que . En esta etapa

 

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      

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podemos hablar de la probabilidad de que el intervalo contenga el valor del parámetro .



En la segunda etapa, tomamos una muestra de la población a la que pertenece el parámetro, y sustituida en , obtenemos dos números.

 

Una vez realizada la sustitución, no es posible hablar de la probabilidad de que el valor desconocido del parámetro se encuentre comprendido entre ambos números, ya que, evidentemente, el parámetro lo estará o no. Sin embargo, como nosotros no sabemos si lo está, tenemos un coeficiente de de lo que esté. También se dice que el nivel de confianza del confianza es

 

Expuesto el fundamento de la estimación por intervalos, para determinar un intervalo de confianza suele utilizarse el método general de Neyman, o el método de la cantidad pivotal. Sin embargo, cuando la población es normal o sigue cualquier distribución aproximable por lo normal, existen métodos puntuales de cálculo de intervalos de confianza para los parámetros poblacionales.

Dato:

2. Estimación por intervalos: La idea es construir un intervalo numérico (conjunto de números comprendidos entre dos números) de acuerdo a una probabilidad dada para establecer que dentro de él, se halla el parámetro poblacional que nos interesa. En otras palabras, no decimos cuánto vale exactamente el parámetro, sino que él está dentro de un intervalo dado.



En el gráfico adjunto, tenemos la media poblacional , dentro del intervalo cuyos extremos son los números a y b.

a Estadística

b Página 7

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3. Nivel de confianza: Es la probabilidad de que el parámetro se encuentre dentro del intervalo dado. Los niveles de confianza usuales son s on del 90% , 95% y del 99%

1. Nivel de confianza confianza de 95 % Significa que de 100 casos, cabe esperar que en 95 de ellos, el parámetro se halle dentro del intervalo construido. También se espera que en 5 de ellos, el parámetro se halle fuera del intervalo, ya sea a la derecha,

a

b

O hacia la izquierda.

a

b

2. Nivel de confianza confianza de 99 % En forma análoga se interpreta el nivel de confianza de 99%. De 100 casos, se espera que en 99 de ellos, el parámetro se halle dentro del intervalo y en 1 de ellos se halle fuera del intervalo ya sea a la derecha o a la izquierda. Del mismo modo también hay un nivel de confianza del 90%

4. Conjuntos de intervalos intervalos de confianza: Una mejor comprensión de la incertidumbre asociada con una estimación nos la proporciona un conjunto de intervalos de confianza. ⱷ

La distribución de confianza:

Un resumen completo de todos los intervalos de confianza se puede proporcionar mediante la distribución de confianza . esta es una curva que posse la propiedad de que el área bajo ella entre dos puntos es igual al nivel de confianza para ese par de límites de confianza . Los intervalos de confianza son más útiles que los simples contrastes de significación Un conjunto de intervalos de confianza proporciona toda la información que se puede obtener con un contraste de significación y aún más

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5. Métodos de construcción de intervalos de confianza: confianza: Expuesto el fundamento de la estimación de intervalos, para obtener un intervalo de confianza básicamente daremos dos métodos. El primero, el método pivotal o método del pivote basado en la posibilidad de obtener una función del parámetro desconocido y cuya distribución muestral no dependa del parámetro. El segundo, el método general de Neyman, basado en la distribución de un estimador puntual del parámetro

Método pivotal: Sea una población representada por la variable aleatoria X con una función de densidad en donde es un parámetro desconocido, que toma valores en el espacio paramétrico.

  



Este método básicamente consiste en la obtención de una cantidad pivotal o simplemente pivote que verifique las condiciones siguientes:

    

a. El pivote ; es una función de las observaciones muestrales y del parámetro , de tal manera que para cada muestra solo dependerá del b. La distribución muestral del pivote ; no depende de

  



Dicho en otras palabras:

     Entonces, dado un pivote  , una afirmación pirobalística de la forma       da lugar a un intervalo de confianza para  de   

Una función cuya distribución es conocida (y, por tanto, no dependerá de ) se dice que es un pivote para

En resumen:

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CAPITULO 2

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CASOS PARA LA MEDIA 

Primer caso:

INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA PARA L A MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA

Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una población

con varianza conocida σ2 , un intervalo de confianza para μ del 100(1− α) por ciento está dado por

Donde zα/ 2 es el punto de la distribución normal estándar que corresponde al porcentaje α / 2.

ERROR EN LA ESTIMACION El intervalo de confianza de (1- α) 100% proporciona una precisión de la exactitud de la estimación puntual. Si ᶙ es es realmente el valor central del intervalo, entonces sin error. χ estima a ᶙ sin La mayor parte de las veces, sin embargo, X no será exactamente igual a ᶙ y y la estimación puntual no es exacta.

El tamaño de este error será: Iμ - XI y se puede tener una confianza del (1- α) 100% de que esta diferencia no excederá el valor

. Esto se puede ver con facilidad si se dibuja el diagrama de un intervalo de confianza hipotético como el de la figura siguiente:

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Teniendo en cuenta lo dicho podemos enunciar el siguiente teorema, Teorema Si X es un estimador de ᶙ , entonces se puede tener una confianza del (1- α) 100% de que el error no excederá una cantidad específica

DETERMINACION DEL TAMAÑO MUESTRAL Una cuestión interesante a la que nos referimos implícitamente al tratar la elección de α, es ¿cuál debe ser el tamaño muestral necesario para que, fijado un nivel de confianza, se alcance una precisión (o longitud) deseada en el intervalo? La longitud del intervalo es:

Despejando n de la ecuación anterior se obtiene:

También podemos despejar n de (1), de manera que nos quede expresada en función del error, así,

Debemos hacer aquí dos observaciones, a saber, a) Si para n se obtiene un valor fraccionario, se redondea al número entero siguiente. b) En sentido estricto podemos determinar n, solo si se conoce la varianza poblacional σ2, de la cual se está seleccionando la muestra. Si nos falta esta información se puede tomar una muestra preliminar de tamaño n ≥ 30

para obtener una estimación de σ. En este caso al usar S como aproximación de σ, se puede determinar aproximadamente cuantas observaciones se necesitan para el grado deseado de exactitud.

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OBSERVACIONES a) Para muestras tomadas de una población normal, o para muestras de

tamaño n ≥ 30, sin importar la forma que tenga la población, el intervalo de confianza dado por (1) proporciona buenos resultados. b) Sin embargo, para muestras pequeñas tomadas de poblaciones que no son normales, no es posible esperar que el nivel de confianza 1− α sea exacto .

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 Segundo caso:



INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA PARA L A MEDIA DE UNA DISTRIB UCIÓN UCIÓN NORMAL SIENDO SIENDO DESCONOCIDA





  ) la

Dado el desconocimiento de en la distribución poblacional N ( ( cantidad pivotal a la que se recurre es

 ̅   =  ̅   ,   ) = √       

( T (

Con distribución de una variable aleatoria t de Student con n – 1 grados de libertad, siendo el estadístico la varianza muestral.



Por la simetría de esta distribución respecto al origen de coordenadas, se llega, al igual que en el caso anterior de la N (0; (0; 1), a que intervalo de longitud mínima es el formato por los valores opuestos [-t , t ]. ]. Por tanto, siguiendo el método del pivote, para un intervalo de nivel de confianza 1- se determinará, en primer lugar, el valor t tal que P [-t ≤ t (n (n - 1) ≤ t ] = 1 - 

Y, posteriormente, P [-t ≤

 ̅     

≤

t ] = 1 - 

Donde, después de transponer términos, queda

̅     ̅ +    ]

P [ -t

≤

≤

t

= 1 - 

Siendo, por consiguiente, el intervalo de confianza de longitud mínima para la media el definido por los límites.



̅    ; ̅ +    ]

[ -t

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t

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 Tercer caso :

INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA PA RA L A MEDIA SI SE SELECCIONA SELECCIONA UNA MUESTRA AL EATORIA DE TAMA ÑO N<30 CON VARIANZA DESCONOCIDA



A. Poblaciones normales (o tamaños muestrales > 30):

Donde: 



es el valor crítico crítico de la normal tipificada que deja a su derecha un área de α / 2, siendo α el nivel de significación del intervalo y s es la cuasi-desviación típica muestral.

B. Como la muestra es pequeña, se utiliza la la expresión (1) para despejar el intervalo de confianza para , obteniéndose:



……. (3)



En donde Z pertenece a una distribución t con (n-1) grado de libertad. EXPRESION (1) La distribución t es adecuada para trabajar con muestras pequeñas, y se obtiene del cociente entre una distribución normal estándar y la raíz cuadrada de una chi-cuadrado dividida por sus grados de libertad, por lo tanto: Se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n˂30.

̅       √ 

 ̅  Estadística

 √  √ √  



√   √  √  

    ̅   √ ̅    

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a. Si se trabaja con la desviación estándar corregida, se utiliza la la expresión (2), obteniéndose: ………. (4) 

En donde Z pertenece a una distribución t con (n-1) grado de libertad.

EXPRESION (2) Si se utiliza la varianza corregida:

̅     ̅  √  

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CASOS PARA LA PROPORCIÓN  Primer caso:

INTERVAL O DE CONFIANZA PA RA UNA PROPORC IÓN.

Vamos a empezar este apartado planteando un ejemplo. Ejemplo 7: Si de 100 personas encuestadas, 30 se manifiestan a favor de un determinado partido político, ¿qué porcentaje de votos obtendría dicho partido de celebrarse en ese momento las elecciones? (confianza del 95%) Obsérvese que x="nº de individuos, entre los 100 encuestados, que votarán al candidato" es una Binomial de parámetro n = 100 y p desconocido. El objetivo es determinar p teniendo en cuenta que x sigue una B(n,p), con n = 100 y x = 30 el valor obtenido experimentalmente de esa Binomial. Conviene expresar que todo lo que sigue contiene las fórmulas para p expresadas en tantos por uno, no en %.

INTERVALO. La distribución Binomial, bajo ciertas circunstancias, se aproxima a una Normal. Los resultados siguientes se basan en esta aproximación. La expresión más tradicional del intervalo de confianza para una proporción p es la siguiente:

Esta expresión es válida si x > 20 y n-x >20.Tiene la ventaja de ser cómoda, pero a cambio es más imprecisa y tiene unas condiciones de validez más exigentes. La siguiente expresión es más exacta (pero más incómoda) y para su validez basta con que sean x > 5 y n - x > 5:

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Ejemplo: Aquí n = 100 y x = 30. Como x > 20 y n - x = 70 > 20, se puede utilizar:

, es decir que piensan votar al partido p artido entre un 20,52% y un 39,48% de la población. Si usamos la (4.9) que es más exacta:

= (0,2145; 0,4011) para obtener este intervalo, se han considerado en primer lugar todos los signos (-) y después todos los signos (+).

TAMAÑO DE LA MUESTRA Ejemplo: En relación con el ejemplo anterior, el partido político desea realizar una encuesta con el fin de determinar el porcentaje de votantes con una precisión del 3% ¿A cuántos individuos hay que encuestar (confianza del 95%). El objetivo es decidir a qué número n de individuos hay que preguntar para que el porcentaje de votos favorables entre ellos difiera del porcentaje nacional en menos de d = 3%. Esto garantiza que, tomada la muestra, si el porcentaje en ella es de 30% el porcentaje nacional será 27% < p < 33%, es decir que p está en 30% 3% con una confianza del 95% De un modo general, si d es la precisión (máxima diferencia a admitir entre la estimación y p), hay una fórmula paralela a la (4.4):

(4.10) La idea es tener garantías de que tomando una muestra de tamaño n, la proporción poblacional p de individuos que verifican la característica es, con una confianza de (1 - ), alguno de los valores entre p1 d, con p1 la proporción en la muestra y d un número dado de antemano.

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El problema, una vez más, es que la expresión anterior depende de p ( que es desconocido). Puede demostrarse que pq es tanto mayor cuanto más se aproxime p a 0,5 alcanzando el máximo cuando p = 0,5, o sea,

Como sucede en todas las fórmulas de tamaño de muestra, n es tanto más grande cuanto mayor sea la confianza del intervalo y cuanto menor sea d (cuanta mayor precisión se desee). La (4.11) aporta una novedad: el tamaño de la muestra es más grande cuanto más se aproxime p al valor 0,5, disminuyendo cuando nos enfrentemos a caracteres raros (p pequeño) o muy frecuentes (p grande). Igual sucede con la anchura de los intervalos de confianza para p: son más anchos cuanto más se acerque p a 0,5. Volviendo al problema del desconocimiento de p, la aplicación de (4.10) puede hacerse de dos modos: 1º) Si no se tiene idea alguna acerca de su posible valor, sustituir pq por 1/4, quedando:

2º) Si se tiene alguna información, sustituir p por el valor más cercano posible (y compatible con la información) a 0,5. Ejemplo Si el partido es nuevo y no se tiene idea acerca del porcentaje posible de votos favorables, sería

. Si el partido sabe que nunca en elecciones anteriores ha obtenido más del 30% de los votos y le sorprendería que esto no siguiera siendo así, sería:

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Ejemplos: 1. En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en el departamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en el departamento de contabilidad y 100 en el departamento de atención al cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionar una muestra de 180 trabajadores.

a) ¿Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selección de la muestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatro departamentos mencionados? b) ¿Qué número de trabajadores tendríamos que seleccionar en cada departamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad? Solución: a) Podría hacerse un muestreo aleatorio estratificado, eligiendo de cada grupo de trabajadores un número proporcional a su tamaño. b) Hay que repartir proporcionalmente 180 entre 150, 450, 200 y 100, que son el número de trabajadores de los departamentos de personal, ventas, contabilidad y atención al cliente, respectivamente. El total, el número de trabajadores de la empresa es 900; como el tamaño muestral es 180 habrá que elegir 1 trabajador de cada 5. Por tanto, se elegirán: 30 del departamento de personal 90 del departamento de ventas 40 del departamento de contabilidad y 20 del departamento de atención al cliente.

2. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al a l teatro regularmente: a) Halla, con un nivel de confianza del 94 %, un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente.

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b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir una cota de error del 0,01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?

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 Segundo caso :

INTERVALO INTERVALO DE CONFIANZA SOB RE LA PROPORCIÓ PROPORCIÓN POBL ACIONAL A partir del estadístico

Se construye el intervalo

Siendo de

el valor que en una distribución normal estándar deja a su derecha una probabilidad .

Cuando se va a realizar una encuesta para estimar una proporción, lo habitual es plantearse a priori obtener una cierta fiabilidad y precisión en la estimación, buscando el tamaño muestral necesario para conseguirlas. La longitud del intervalo de confianza para p resulta:

De aquí podremos calcular el valor de n en función de la longitud del intervalo, L, y de su fiabilidad, 1- :

Adviértase que llegamos a un resultado en principio incongruente: queremos saber cuántas observaciones tenemos que realizar para estimar p y para ello necesitaremos conocer su estimación, valor que conoceremos una vez hayamos realizado las observaciones. ¿Cómo solucionar este problema? Existen tres posibles vías: a) Si tuviésemos información (encuestas anteriores, opiniones de experto,...) sobre el posible valor de la proporción a estimar, sustituiríamos este valor en la anterior expresión. Estadística

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b) Podríamos realizar una pequeña encuesta (encuesta piloto) que nos proporcionase una primera evaluación de la proporción muestral. Además, esta encuesta puede servir para probar y reformar el cuestionario, organizar el trabajo de campo, etc. c) Si no contásemos con información alguna ni tuviésemos la posibilidad de realizar la encuesta piloto, nos pondríamos en la situación más desfavorable, esto es, la que da lugar al tamaño muestral más grande para la fiabilidad y precisión deseadas. Esa situación se produce cuando n alcanza su máximo, lo cual ocurre cuando p=q=0.5. En este caso, por otro lado el más habitual, resulta:

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CAPITULO 3

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ANEXOS:

Resumen de fórmulas para estimar los intervalos de confianza: Descripción Estimación de

 con sigma conocida,

Intervalo de confianza   X  Z  / 2 /

n

muestra grande n>30 Estimación de

 con

sigma desconocida, desconocida,

  X  Z  / 2 s /

n

  X  t  / 2 s /

n

muestra grande n>30, se toma la desv. Est. de la muestra S Estimación de

 con

muestras pequeñas, n <

30 y sigma desconocida Estimación de la

(n  1) s 2



  2

Estimación de la proporción



(n  1) s 2 

, n 1

 s p

 

2



1 , n 1 2

p (1



p )



 

n

p  Z  / 2 s p

Tamaño de muestra Para estimar n en base a un error máximo

n  Z  / 2

2



2

/( X   ) 2

( X   )

Para estimar n en base a un error máximo Si se especifica un intervalo total de error, el error ( p   ) máximo es la mitad del intervalo

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n  Z  / 2 Utilizar

2

 (1   ) /( p   )

  0.5 que

2

es peor

caso

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CAPITULO 4

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BIBLIOGRAFÍA

1. C. García Ore , Distribuciones y estadística estadística inferencial inferencial , 1990. 2. Luis Alberto Pérez L., Estadística básica para ciencias sociales y educación , 2007, Editorial San Marcos E.I.R.L. Lima – Perú. Perú. 3. César Pérez López, Estadística- Problemas resueltos y aplicaciones, 2003, Editorial Prentice Hall, España. 4. George C. Canavos, Probabilidad y Estadística- Aplicaciones y métodos , 1992, Editorial McGraw – Hill Hill S.A., México. 5. L. Ruíz – Maya Pérez, F. J. Martín Pliego, Fundamentos de Inferencia Estadística , Segunda Edición, 1999, Editorial AC. , Madrid – España. España.

LINKOGRAFÍA:

1. http://www2.uah.es/jmmartinezmediano http://www2.uah.es/jmmartinezmediano/Segundo%20CS /Segundo%20CS/MCCSS%20Tema% /MCCSS%20Tema%2010% 2010% 20Intervalos%20de%20confianza.pdf 2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/U http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/28-1-u-i.html#Tama nidadesDidacticas/28-1-u-i.html#Tamaño ño de la muestra

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EJEMPLOS Para la media: 

CASO N°01 -

Arévalo Oliva María

1. Se trata de comparar la efectividad de dos nuevos fármacos A y B una determinada enfermedad. Para ello se eligen al azar 100 pacientes y se les aplica el fármaco A, resultando que en 5 pacientes el fármaco no ha sido efectivo. Asimismo, se eligen al azar 150 pacientes y se les aplica al fármaco B, resultando que en 9 pacientes el fármaco no ha sido efectivo. ¿Son los dos fármacos igualmente efectivos con el 95% de confianza? ¿Qué fármaco es mejor? Para resolver este problema hallaremos un intervalo de confianza al 95% para la diferencia entre las verdaderas proporciones de no efectividad de los fármaco. Para este caso el intervalo de confianza es el siguiente: (

     ̂ - ̂ ) ± Z       1

2

a/2

El intervalo de confianza será entonces:

    

(0,05-0,06) ± 1,96

-

= [-0,01; 0.057]

Avalos Ludeña Jenry Jenry

2. Los datos que a continuación se dan son los pesos pesos en gramos de contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el propósito de verificar el peso promedio: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496. Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal con una desviación des viación estándar σ = 5g, obtener los l os intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 99%, para la media de llenado de este proceso. SOLUCIÓN Para un coeficiente de confianza del 90%, α=0.1. El valor z0.95 se obtiene de la tabla de la normal y es igual a 1.645. Por otro lado en base a los datos muéstrales, el valor de x es de 503.75g. Entonces un intervalo de confianza del 90% para la media del proceso de llenado es 16 503.75 ±1.645 5 o de 501.69 a 505.81. Los otros intervalos de confianza deseados se obtienen siguiendo el mismo procedimiento. Los resultados se encuentran resumidos en la siguiente tabla. Estadística

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Javier Villanueva Villanueva Magda

3. En una muestra aleatoria aleatoria de 30 viajes en bus entre la ciudad A y B, se obtuvo un tiempo promedio de viaje de 105 minutos. La desviación estándar de la población se ha estimado en 8 minutos Obtener un intervalo de confianza para el verdadero tiempo promedio de viaje. Utilice un nivel de confianza del 95%

Podemos asegurar, con un nivel de confianza del 95%, que un viaje promedio toma entre 102.14 y 107,86 minutos -

Ponte Ramírez Reynaldo

4. De una muestra muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un determinado diario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para un nivel de confianza del 99 % Solución: La proporción de la muestra es p=

 =0.30 

El intervalo de confianza para la proporción de la población es:

Estadística

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Siendo p la proporción de la muestra, q= 1 - p ; n, el tamaño muestral y Z α/2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 - α

En nuestro caso, para el 99 % de confianza (significación 0,01), Zα/2 = 2,575; p = 0,30, q= 0,70, y n = 2100. Luego, el intervalo de confianza será:

-

Torres Villanueva Mitshell

5. Los datos que a continuación se dan son los pesos en gramos de contenido de 16 cajas de cereal que se seleccionaron de un proceso de llenado con el propósito de verificar el peso promedio: 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496. Si el peso de cada caja es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de 5 g, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 99%, para la media de llenado de este proceso. Solución Para un coeficiente de confianza del 90%, =0.1. El valor z0.95 se obtiene de la tabla de la normal y es igual a 1.645. Por otro lado en base a los datos muestrales, el valor de x es de 503.75g. Entonces un intervalo de confianza del 90% para la media del proceso de llenado es 503.75 ±1.645 5 16 o de 501.69 a 505.81. Los otros intervalos de confianza deseados se obtienen siguiendo el mismo procedimiento. Los resultados se encuentran resumidos en la siguiente tabla.

Estadística

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[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] SANTA ] -

Valverde López Edinson

6. Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes de un hospital, con

el fin de estudiar una ampliación del mismo. Se tienen datos de la estancia expresada en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados (en días) X = 8.1

,s=9

→Hállese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media. Solución: n=800,

(   √       √  )    ) ( √    √      )

varianza desconocida;

  



-

CASO N°02 Arévalo Oliva María

1. Se sospecha que existe una diferencia diferencia significativa entre los porcentajes de piezas defectuosas elaboradas por por dos máquinas A y B en un proceso de producción industrial. Para salir de dudas, se toma en muestra aleatoria de 300 piezas de la máquina A, de las cuales 27 han resultado defectuosas. Del mismo modo, tomamos una muestra de 400 piezas de la máquina B, de las cuales 32 son defectuosas. ¿Qué nos indican estos resultados? Para realizar un contraste de igualdad de proporciones (diferencia de proporciones nula) de dos poblaciones binomiales, siendo las proporciones muestrales 1 = 27/300= 0.09 y 2 = 32/400= 0.08, podemos hallar un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones y comprobar si contiene el valor cero (n1 = 300, n2 =400). El intervalo es el siguiente:

̂

̂

(

 ̂ - ̂ ) ± Z           1

2

a/2

Se obtiene como intervalo de confianza [-0,03189; 0,05189], que efectivamente contiene el valor cero, luego se acepta la hipótesis de igualdad de proporciones al 95% (los porcentajes defectuosas producidas por las dos máquinas no pueden considerarse distintos).

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Avalos Ludeña Jenry

2. En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37,1 oC y se sabe que la desviación típica de toda la población es 1,04 oC. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90 %, para la media poblacional. b) .Con qué nivel de confianza co nfianza podemos afirmar que la media de la población está comprendida entre 36,8oC y 37,4 oC? SOLUCIÓN

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3. Un investigador desea estimar el contenido contenido promedio de alquitrán alquitrán de cierta marca de 4 cigarrillos para ello toma una muestra de 25 cigarrillos obteniendo una media de 17.2 mg. y una desviación estándar de 5 mg ; estudios anteriores indican que el contenido de alquitran se distribuye normalmente . estime un intervalo de confianza del 99% para el contenido promedio de alquitrán poblacional.

-


4. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un

20 % de ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas, se pide: a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas ciudad en su s u vivienda? b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95 %? Estadística

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Solución: El tamaño muestral fue de 1250 · 0,20 = 250 familias. La proporción de familias con gas natural en la muestra es 75/250 = 0,30, el 0.30%. a) Puede afirmarse que el porcentaje porcentaje de familias con gas natural natural es del 30 %.

-


5. Una muestra aleatoria de 16 cigarrillos de una una cierta marca tiene un contenido contenido medio de nicotina 1.6 mg. y una desviación típica de 0.7 mg. Suponiendo que la variable , sigue una distribución , obténgase un intervalo de confianza al 99% del contenido medio de nicotina por cigarrillo en esa marca



     

Solución



, con ambos parámetros , con ̅ y cuasi

En este caso se quiere estimar en una población desconocidos . Partimos de una muestra de tamaño desviación típica muestral

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6. Se desea hallar un intervalo de confianza para para la estatura promedio de todos los estudiantes de ingeniería industrial de la Universidad Nacional Sede Manizales. Para tal efecto, de los estudiantes de dicha carrera se seleccionó una muestra aleatoria de 15 personas a quienes se les preguntó su estatura en metros, obteniéndose los siguientes resultados: ESTATURA: 1,50 1,70

1,63 1,70

1,50 1,65 

1,69

1,69

1,79

1,73

1,69

1,56

1,70

1,65

1,74

Halle un intervalo de confianza del 95 por ciento. ciento.

Solución: Con la información disponible se calculó el promedio aritmético y la desviación estándar, los que respectivamente son 1,6613 y 0,0808.

n = 15 y 1

Estadística

= 0,95

Como la muestra muestra es pequeña se utiliza la expresión 2.3. El valor valor de Z se halla en una tabla de la distribución t con 14 grados de libertad, que para un nivel de confianza del 95 por ciento es 2,145. Reemplazando: Página 36

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) ( √           √    “Con un 95% de confiabilidad, se puede afirmar que la estatura promedio de los estudiantes de ingeniería industrial de la universidad Nacional Sede Manizales, está entre 1,62 y 1,71 metros ”.



CASO N°03 -


 ), se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 25   = 60 ∑

1. De una población N ( ( siendo

Determínese el intervalo de confianza 95% para la media de la población. Tenemos que:

̅̅  ∑  =  = 2,4 Y, por otra parte, en una distribución N (0; (0; 1) si P [-K ≤ N (0; 1) ≤ K ] = 0.95 Entonces K =1,96. =1,96. El intervalo de confianza del 95% para la media resulta





 ; 2,4 + 1,96  ] [2,4 – 1,96   √  √ 

Es decir, la media se encontrará incluida previsiblemente en el intervalo [1,224; 3,576] Con una confianza del 95%.

-


2. a) Determinar el intervalo de confianza con el 95% para la media de una variable normal que tiene una desviación típica σ=3, teniendo en cuenta que se ha obtenido una muestra de tamaño 100 para el que X=X 100=5. b) ¿Cuánto debería haber sido el tamaño de la muestra si se quiere obtener un intervalo de confianza para la media, también al 95%, con amplitud de 0,4. Estadística

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SOLUCIÓN La variable aleatoria X sigue una distribución normal con μ desconocida

-

3.


Se sabe que el rendimiento promedio de los fondos de inversión (con capital mínimo de 100 millones) fue de 13,42% durante el año 1989. Un inversionista inversionista desea comparar esta cifra con el rendimiento promedio de de similares fondos de inversión disponibles en la actualidad. Se selecciona una muestra de 25 fondos de inversión y se calcula la media y la desviación estándar de sus rendimientos. Los valores obtenidos fueron 9,43% y 2.79% respectivamente Debido al tamaño de la muestra, suponemos que la distribución de los rendimientos de los fondos de inversión considerados, es normal.

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-

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4. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64

llegaron a la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de medio kilo. a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 90%. b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%.

Estadística

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[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] SANTA ] -

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 ,para que  al 95%, no sea

5. Determinar el mínimo tamaño muestral muestral de una una población el error de la estimación por intervalos de confianza para superior a 0.5 Solución



Estimaremos mediante un intervalo de confianza de la forma

- Valverde López Edinson

6. Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia, obteniendo una media de 100 puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce d esconoce la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los estudiantes, con un nivel de confianza de 0,99? Solución: El intervalo de confianza de la media poblacional es:

(   √       √  )

Para Estadística

   , s = 10, n = 25 y, para el 99 % de confianza,    , se tiene: Página 40

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( √   √ ) 

La inteligencia media estará estará entre 94,84 y 105,16 puntos.

Para las proporciones: 

CASO N°01 -


 



1. En una población N ( ( ), donde se desconoce el valor del parámetro , se obtiene una muestra aleatoria simple de tamaño 10, en la que

  = 41 y ∑   ∑ Hallase el intervalo de confianza del 90% para la media de población. Como:

   ∑  ̅̅   =  = 4,1    - ̅̅ = ∑  - (4, 1) =  - (4, 1) 2

2

= 6, 09

Y dado que en una distribución t (n-1) (n-1) = t (9) (9) el intervalo del 90% se obtiene para un valor t t tal que: P [-t ≤ t (9) ≤ t ] = 0,90 =1,8331 t =1,8331 El intervalo de confianza de longitud mínima para un μ en este caso resulta

 ; 4,1 + 1,8331 ] = [2,592; 5,0608]

[4,1 – 1,8331

-


2. En una determinada empresa, se seleccionó al azar una muestra de 100 empleados cuya media de ingresos mensuales resultó igual a 705 euros, con una desviación típica de 120 euros. Halla un intervalo de confianza al 99% para la media de los ingresos mensuales de todos los empleados de la empresa. e mpresa.

Estadística

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SOLUCIÓN: año 100, con un nivel de confianza del 99%. El intervalo de confianza es de la forma:

Para el 99%, tenemos que

  

→Por tanto, el intervalo buscado es:

→ es decir:

(674,1; 735,9)

Así, tenemos una confianza confianza del 99% de que el sueldo medio de todos los empleados de la empresa está comprendido entre 674,1 y 735,9 euros. -


3. Se desea conocer la opinión opinión de los alumnos alumnos de la Uladech Uladech en relación con la aceptación o no de la pena de muerte para los terroristas en el Perú. para ello se ha tomado una muestra aleatoria simple de tamaño 500. Si las respuestas afirmativas han sido 100 , encontrar un intervalo de confianza aproximado del 95%

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Los límites de confianza para P son:

-


4. El Ministerio de Educación y Cultura desea conocer el interés de los padres por

la introducción de la primera Lengua Extranjera en el Primer Curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, el 80% está favor. ¿Cuál es el intervalo de confianza para el porcentaje de los padres que están a favor de esta medida, con un nivel de confianza del 0,99?

-


5. En una muestra aleatoria de 85 soportes soportes para el cigüeñal de un motor de automóvil, 10 tienen un terminado que es más rugoso de lo que las especificaciones permiten. Por consiguiente, una estimación puntual de la proporción se soportes en la población que exceden la especificación de rugosidad es . Calcular un intervalo de confianza

    ⁄    bilateral del 95% para  Solución

Estadística

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 

-


6. Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador de transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros: a) Con un nivel de confianza del 90 %, %, determina el intervalo de confianza para el el sueldo medio de un trabajador del transporte público. b) Si se quiere que el error máximo máximo de la estimación sea de 10 euros, hallar hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99 %. SOL UCIÓN: UCIÓN: a) El intervalo de confianza es:

̅̅

(̅  √  ̅ ̅    √  )



Para = = 1480, = 250, n = 625 y, para el 90 % de confianza intervalo es:

b ) El error viene dado por

   √ 

  , este

  y  = 250, se tendrá:

Si se desea que sea menor que 10, para el 99 % (



Estadística

El tamaño mínimo de n = 4145 Página 44

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

CASO N°02 -


1. Con la misma misma información información muestral del ejemplo anterior, anterior, determínese el intervalo de confianza del 80% para la varianza σ 2 de una población normal. 2 Los valores K 1 y K 2 2, extremos del intervalo correspondiente a una distribución X (n-1), X2 (9), se obtienen sabiendo que

P [X2(9) ≥ K 1] = 0,90 P [X2(9) ≥ K 2 2] = 0,10 Resultando, pues K 1 = 4,168 K 2 14,684 2 =

El intervalo deseado es

; ]= [4,147; 14,611]  

[

-


2. En una encuesta encuesta realizada entre 50 personas de una gran población, población, se han encontrado que el porcentaje de individuos con gafas es del 25%. Determinar un intervalo de confianza al 99% para la proporción poblacional, p, de los individuos con gafas.

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3. Se desea estimar el porcentaje de aprobados de un curso de estadística de 500 alumnos. para este fin, se usó una muestra de 35 alumnos que revelo un 80% de aprobado. Cuantos alumnos se debe tomar en la muestra si se desea una precisión del 2% con una confiabilidad del 99%.

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4. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años años y se encontró que que 120 iban al teatro regularmente: regularmente: a) Halla, con un nivel nivel de confianza del 94 %, %, un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente.

Estadística

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5. Determinar un intervalo de confianza al nivel

 para la propiedad de

que un recién nacido sea niño , si en una muestra de tamaño 123 se han contabilizado 67 niños

-


6. En una determinada empresa, empresa, se seleccionó al azar una muestra de 100 100 empleados cuya media de ingresos mensuales resultó igual a 705 euros, con una desviación típica de 120 euros. Halla un intervalo de confianza al 99% para la media de los ingresos mensuales de todos los empleados de la empresa. SOLUCIÓN: tamaño

100, con un nivel de confianza del 99%.

El intervalo de confianza es de la forma:

Para el 99%, tenemos que

Estadística

   Página 47


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→Por tanto, el intervalo buscado es:

→ es decir:

(674,1; 735,9)

sí, tenemos una confianza del 99% de que el sueldo medio de todos los empleados de la empresa está comprendido entre 674,1 y 735,9 euros.

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Informe Final de Estadística Intervalos de Confianza

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