TRABAJO Y ENERGÍA
INDICE
1) CONCEPTO DE TRABAJO................ TRABAJO......................... ................. ................. .................. ......................................3 .............................3 2) TRABAJO DE UNA FUERZA................. FUERZA......................... ................. .................. .................. .................. .................. .................3 ........3 3) TRABAJO TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABL VARIABLE.... E........ ........ ........ ........ ........ .......... ........... ........... ............ ........... ........... .......5 .5 TRABAJO O DE UNA UNA FUERZ FUERZA A CONST CONSTAN ANTE TE QUE QUE SE MUEV MUEVE E A LO LARGO LARGO DE UNA UNA LÍNEA LÍNEA RECTA RECTA.. 4) TRABAJ
5) TRABAJO TRABAJO DE UN PESO..... PESO......... ........ ......... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........... ........... ............ ........ ..6 6 6) ENERGÍA CINTICA DE UNA PARTÍCULA...... PARTÍCULA............... .................. .................. .............................13 ....................13 !) ECUACI"N ECUACI"N DEL TRABAJO # ENERGIA... ENERGIA....... ........ ........ ........ ....... ....... ........ ........ ........ ......... .......... ........... .........14 ...14 ALTERNATIV TIVA A DE LA ECUACION DEL TRABAJO # LA ENERGÍA............. ENERGÍA........ .....14 14 $) FORMA ALTERNA
%) SISTEMAS CONSERVA CONSERVATIVOS........... TIVOS.................... .................. ................. ...........................................15 ...................................15 %.1. FUERZAS CONSERVA CONSERVATIV TIVAS..... AS.............. ................. ...................................................15 ...........................................15 %.2. ENERGÍA POTENCIAL................ POTENCIAL......................... ...........................................................16 ..................................................16 %.2.1. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITA GRAVITATORIA TORIA&.......... &................... ................. ...................1! ...........1! %.2.2. ENERGÍA POTENCIAL EL'STICA.................. EL'STICA...............................................1! .............................1! %.2.3. FUNCI"N POTENCIAL....................... POTENCIAL................................................................1$ .........................................1$ 1()
CONSERVA CONSERVACI"N CI"N DE LA ENERGÍA&... ENERGÍA&....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ .......... ............ ........... ........... ............21 ......21
PROBLEMAS APLICATIVOS... APLICATIVOS............ .................. .................. .................. ................. ................. ..................................23 .........................23
DINAMICA 1
5
TRABAJO Y ENERGÍA
INTRODUCCIÓN
E *+,-/0/ 00 - 7-7,/- 8 /090:- ; <=0 >80+/0 0 ; 8 N?/- ; ,- - - *+,*70 *<@ - ,*7*,*-.
E/ +/-8- 0/0/*- 8 87*,7* 8 +-*+*/- ,7*0 @/* 708- 0 >0 07/@0 -9 0 ,0/=70 - 7-/0/. E 87* 708- 0 0707* - 7-/0/ ; 7-77*0 - ,8 0,*70 0 707*- 8 0 7*+/*70. C- >77*0 0 0/00 0 ,0/=70 / :/0 0 0 >0 0=0 7- 0 ,-*7* 8 0 +*+0. D*70 >0 *7; 0 0 <0*/07*-0 ; 0 0 >0 :7*80 -9 -9:/- *8- 0 -/.
D7*9*+- /7*70 ,00 /0/0 /- */+0 7- 0 0;80 8 80-- +0+/ *+,-/0/ 7--7*8- 7-+- /-+0 8 /090:- ; 0 <=0 /+0 7/0 8 / /090:- 8 */*<07*.
Energía
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
L0 <=0 / ,/ /0 *80 7-/*8*00 0*0 >-+0. L0 <=0 7/*70 ,00 0 *+*07* 0 <=0 0+07080 0 90/=0 ,00 78 +-/- 8 =7- 0 <=0 7/*70 ,00 >7*- 0,00/- 8 0* 07-8*7*-08- 070 70- 8 - 8*>*7*- /7.
E 0 >=*70 0 <=0 70*>*70 8*>/ /*,-. L0 <=0 +7*70 0 7/-+0</*70 0 =+*70 =+*70 0 /+*70 /+*70 0 70 70 /7. /7. A8+ A8+ 0 >-+0 >-+0 8 <=0 <=0 ,8 7-/* 7-/* -/0. -/0. P- :+,- 708- +-/- 7/*7- 7-7/0 0 0 90/=0 0 <=0 =+*70 /0>-+0 <=0 7/*70 0 70 0 ,8 7-/* <=0 +7*70. L0 /0>-+07* 8 <=0 8 0 >-+0 0 -/0 0 ,0/ 7*0 8 /8*- 8 0 >=*70 0 *<*=0 0 =+*70 0 9*--<=0 0 <--<=0 /7. C08- 0 <=0 70+9*0 8 0 >-+0 0 -/0 70/*808 /-/0 ,+07 *<0. C0* >-+0 8 <=0 0 70/*808 700.
Trabajo
E 0 *80 7-/*8*00 7-/*8*00 /090:- - 0-7*0 7- 07 >-. C0+*0 C0+*0 /0080 /0080 -9:/- 8 <0 0 -/- 8**<* />*7- 0 70 0 /0 0 ->*7*0 +-*8- ,0, - /708- 0 7-+,/08-0.
E >=*70 /090:- >7/08- ,- 0 >0 07/@0 -9 -9:/- *+, ; 708- 0<0 -9:/- +0 0<0 8*/07*0.
TRABAJO Y ENERGÍA 1) CONC CONCEP EPTO TO DE DE TRABA TRABAJO JO
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
P00 0 >0 0*7 /090:- -9 -9:/- / 89 8,00 0 - 0<- 8 0 =0 8 077* 8 0 >0 +*/0 0 >0 / 07/08-. H Física en Perspectiva, Eugene Hecht, Adisson Wesley. 1987 ). U0 >0 0*0 /090:- 708- 07/@0 -9 -9:/- + 0 /0 8 0 8*/07*0 ; */ 0 7-+,-/ 8 0 >0 0 - 0<- 8 0 =0 8 +-*+*/-. H Física para la ciencia y la tecnología, ol. !, "ipler. #evert$, %&&1 ). S* 90:- 0 077* 8 0 >0 8080 0- 8 0 -7*808 8 ,/- +0/*0 -9 70 0,*70 0 >0 0=0 0 - 0<- 8 8,00+*/- 8 /0 ,0/=70 /-7 0 >0 0*0 /090:-. H'ec(nica "e)rica, E.' *i+itin, Ed. 'ir. 198& ).
2) TRABAJO DE UNA FUERA U0 >0
>7/@0 /090:- -9 0 ,0/=70 - 708- /0 ,*+/0 8,00+*/-
0 8*77* 8 0 >0. P- :+,-& C-*8 0 >0
07/@0 -9 0 ,0/=70 0 >*<. 1.
S* 0 ,0/=70 + 0 - 0<- 8 0 /0;7/-*0 88 0 ,-*7* 8,00+*/- /-7
K
0/0 0 0 ,-*7*
! L0 +0<*/8 8
,/080 ,-
<+/- 8*>7*0 0 - 0<- 8 0 /0;7/-*0. S* <- / 0 7-0 8 >*<. 1 /-7 /090:-
0*08- ,-
0 70/*808 700 H/*
+0<*/8 ; *<- ,- - 8*77*) 8>**80 +8*0/&
P- 8>**7* 8 ,-87/- ,/- /0 707* /0+9* ,8 7*/0 7-+-&
DINAMICA 1
;
TRABAJO Y ENERGÍA
E/ /08- ,8 */,/08- 8 8- +00& 7-+- ,-87/- 8 F ; 0 7-+,-/ 8 8,00+*/- 0 8*77* 8 0 >0 87*
- 7-+- ,-87/- 8
7-+,-/ 8 0 >0 0 8*77* 8 8,00+*/- 87*
; 0
.
C0- P0/*70& 1) S* 0 >0
/* +*+- /*8- 7/- 8,00+*/-
87 0 T090:- P-*/*-&
/-7 /090:-
. S*
DINAMICA 1
⇒
HT090:- +-/*).
TRABAJO Y ENERGÍA
2) S* 0 >0
/* /*8- -,/- 0 7/- 8,00+*/-
-9/* 7-+-
.
T090:- N<0/*-& 3) S* 0 >0 T090:- N-&
/-7 /090:-
S*
⇒
,,8*70 0
Ѵ
S*
HT090:- *//).
/090:-
Ѵ
*<0 0 7-.
⇒
") TRABAJO DE UNA FUERA #ARIAB$E!
S* 0 ,0/=70 ,*+/0 8,00+*/- >**/- 0 - 0<- 8 /0;7/-*0 88 8
0
>*<.20 /090:- 8/+*08- ,- */<07*. S*
0/0
-
,0 7-+- 0 >7*
8 ,-*7* F F-s /+-&
∫
∫
⃗ .d ⃗r = F ds cos θ …… (1 ) U 1−2= F
S* 0 7-+,-/ 8 /090:- 8 0 >0
<0>*7080 7-/0 s >*<. 29 /0 707* 0
*/<0 ,8 */,/080 7-+- (rea /a0o la curva 88 0 ,-*7*
DINAMICA 1
0/0 0 ,-*7*
.
TRABAJO Y ENERGÍA
%) TRABAJO DE UNA FUERA CON&TANTE 'UE &E (UE#E A $O $ARGO DE UNA $ÍNEA RECTA!
S* 0
/* +0<*/8 7-/0/ ; 07/@0 90:- <- 7-/0/ 88 /0;7/-*0 =0
7/0 >*<. 30 /-7 0 7-+,-/ 8 /090:- 0*08- ,-
0 8*77* 8 8,00+*/-
708- 0 ,0/=70 8,0080 8
707* 1 7;- 70-&
∫
U 1−2= F c . cos θ ds
− A= /090:- ,/0 (rea /a0o el rect(ngulo 0 >*<. 39. DINAMICA 1
0
. E
8/+*08- 7- 0
TRABAJO Y ENERGÍA
) TRABAJO DE UN PE&O!
C-*8 0 ,0/=70 + 07*0 0*90 0 - 0<- 8 0 /0;7/-*0 88 0 ,-*7*
0/0 0 ,-*7* . C-+-
0,*708- 0 707* H1) -9/+-&
∫
∫
−
DINAMICA 1
+-/080 0 >*<. 4
. E ,/- */+8*- 8,00+*/-
⃗ .d ⃗r = (−W ⃗ j ) . ( dx i⃗ + dy j⃗ + dz ⃗k )= −W .dy =−W . ( y 2− y 1 ) U 1−2= F
∫
s
TRABAJO Y ENERGÍA
Con*+,-./n0 E /090:- 0*08- *<0 0 0 +0<*/8 8 ,- 8 0 ,0/=70 ,- 8,00+*//*70.
TRABAJO REA$IADO POR $A FUERA DE UN RE&ORTE!
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
C,ero e+-3.*o C08- 0 7,- 0,*70 0 >0 / /-0 0 /08- **7*0 0 /*0 /0 >0.
7-/0/ 8 -/ ,080 N.+.
∫
∫
U 1−2= F s ds = −ksds DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
U − =
s − s
…….. (Trabajo negativo)
E /090:- <0/*- ,- 0 >0 8 -/ /0 /*8- 7-/0*- 0 8,00+*/-.
a) DE A$ARGADO A (ENO& A$ARGADO!
∫
∫
U 1−2= F s ds = −ksds
U − =
s − s U − = s − s
DINAMICA 1
……… (Trabajo positivo)
TRABAJO Y ENERGÍA
D9*8- 0
+0;-
88 0 ,-*7* - 00<080 /-7 /090:- ,-*/*-.
b) DE ACORTADO A A$ARGADO!
U 1−2= − Fsds
U 1−2= −ksds =
−
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
U 0−2= Fsds = −ksds =
x 2
2
U − = U − =
2
1
−
2
U − = x − x *) DE ACORTADO A (A& ACORTADO
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
−
s s=−¿
22
2
0
−s2
U
U 1−2=
s2 −
U − =
s1 =
s 2 + s 1
s −s
4) DE A$ARGADO A ACORTADO!
DINAMICA 1
−
=
−s2
F ds=
U − =
s
U − =
s
¿
TRABAJO Y ENERGÍA
U 1−0= F ds= −ksds
U − = s
U − =
U − = s − s DINAMICA 1
s
TRABAJO Y ENERGÍA
U − = s −s
5.1) RESORTES EN SERIE Y PARALELO Re-or3e- en -er.e0 S 7007/*0 ,- 0 8>-+07* /-/0 *<0 0 0 +0 8 0 8>-+07*- 8 7080 -/ ; 08+ 0 >0 7080 -/ 0 +*+0.
x ¿ x2 + x 3
como : F = x→ x =
= + +
= + +
Re-or3e en ara+e+o DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
L0 8>-+07* 8 7080 -/ 0 +*+0 ; 0 >0 0 +0 8 0 >0 7080 -/.
5) ENERGÍA CIN6TICA DE UNA PARTÍCU$A C-*8 0 ,0/=70 8 +00 m -+/ 0 0 >0
; + 0 - 0<- 8
0 /0;7/-*0 7/*=0 - 70 HF*<. 6). A ,0 0 S<80 L; 8 N?/- /+*- 8 0 7-+,-/ /0<7*0 8 0 >0 ; 8 0 0707*.
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
ó
D-8 v es la -7*808 8 0 ,0/=70 ; 7-808-
F =m
F =m v=
, -9/*&
=mv
A */<0 88
7 8-8
;
DINAMICA 1
0/0
7 8-8
;
7*9&
TRABAJO Y ENERGÍA
∫ F ds=m∫ vdv= t
2
2
m v 2− m v 1 ……. (5)
8) ECUACIÓN DE$ TRABAJO Y ENERGIA E +*+9- 8 0 **80 8 0 707* H5) ,/0 /090:-9 0 ,0/=70 80/ 8,00+*/- 8 700. L0 ,*
mv
0
8 0 >0
/090:-
:7*80
0 70/*808
/0+9* 0 70/*808 700 8>* 7-+- 0 <=0 7*/*70 8
0 ,0/=70 ; 8-/0 ,- ". S 7*9
T = mv ……
6
Al sustituir en la ecuación (5), se tiene
L0 70 ,0 708- 0 ,0/=70 + 8 /090:- 8 0 >0
0
90:- 0 077* 8 0 >0
*<0 0 70+9*- 8 0 <=0 7*/*70 8 0 ,0/=70 .L- 0/*-
7--7 7-+- ,*7*,*- 8 /090:- ; 0 <=0.
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
9) FOR(A A$TERNATI#A DE $A ECUACION DE$ TRABAJO Y $A ENERGÍA! Cuando un capo de !uer"as est# !orado por !uer"as tanto conservativas coo no conservativas, escribios
, en donde los sub$ndices c % n designan conservativa % no conservativa,
respectivaente. &l trabajo reali"ado por este sistea de !uer"as puede e'presare coo
W k = F .dr = F .dr + F c . dr= !T
Aplicando la denición de energ$a potencial, teneos
F .dr − !" = !T ó
F .dr = ! ( T + " ) &sta es la segunda !ora de la ecuación del trabajo % la energ$a. &stablece *ue el trabajo reali"ado por las !uer"as no conservativas es igual al cabio de la energ$a ec#nica, *ue es la sua de la energ$a cin+tica % potencial.
9)SISTEMAS CONSERVATIVOS .-!
FUERA& CON&ER#ATI#A&!
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
C08- /090:0/0 -/- ,/-
0*08- ,- 0 >0
independiente de la trayectoria <*80 ,- 0 ,0/=70 A 708- +
8
0
S*
*< ,00 7-*7*8* 7-
H>*<. !9)
0 +- 0 ,0/=70 A 8 ,/-
/-7 0 >0 8-+*0 2uer3a conservativa F*<.!0.
/- * 0 ,0/=70 87*9 0 /0;7/-*0 7080
; /090:- 7-. E/-7 ,-*9 7*9* ,00 0 >0 7-0/*0
.
D-8 7=7- -9 *<- */<0 *8*70 0 /0;7/-*0 7080. E ,- 8 0 ,0/=70 ; 0 >0 8 -/ - 8- :+,- 8 >0 7-0/*0. E /090:- 0*08- ,- ,- 8 0 ,0/=70 *8,8*/ 8 0 /0;7/-*0 ;0 8,8 - 8 8,00+*/- /*70 8 0 ,0/=70. E /090:- 0*08- ,- -/ 07/@0 -9 0 ,0/=70 *8,8*/ 8 0 /0;7/-*0 8 0 ,0/=70 ;0 8,8 -- 8 0 /* - 7-+,* s 8 -/.
:!2! ENERGÍA POTENCIA$! DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
L0 <=0 ,8 8>**80 7-+- 0 70,07*808 8 >7/0 /090:-. C08- 0 <=0 ,-* 8 +-*+*/- 8 0 ,0/=70 0+0 <=0 7*/*70. C08- ,-* 8 0 ,-*7* 8 0 ,0/=70 +8*80 88 ,0- 8 >7*0 0 >0 8-+*0 <=0 ,-/7*0. A= 0 <=0 ,-/7*0 0 +8*80 8 0 70/*808 8 /090:- 0 >0 7-0/*0 0*0 708- +0 88 0 ,-*7* 8080 0/0 ,0- 8 >7*0. E +7*70 0 <=0 ,-/7*0 89*80 0 0 <0808 H,-) - 0 -/ /*7- 8 <0 *+,-/07*0.
:!2!1! ENERGÍA POTENCIA$ GRA#ITATORIA0 S* 0 ,0/=70 / -70*080 0 0 8*/07*0 ; ,- 0*90 8 ,0- 8 >7*0 <*809*/0*0+/ 7-+- +/0 0 >*<. $ ,- 8 0 ,0/=70 /* 0 <=0 ,-/7*0 <0*/0/-*0 ,-*/*0
;0 /* 0 70,07*808 8 >7/0 /090:- ,-*/*-
708- 0 ,0/=70 +-*80 07*0 890:- 8 <- 0 ,0- 8 >7*0. I<0+/ * 0 ,0/=70 / -70*080 0 0 8*/07*0 ; ,- 090:- 8 ,0- 8 >7*0
<0/*-
;0 ,- >7/@0 /090:- <0/*- 708- 0 ,0/=70 +-*80 07*0 0*90 8 <- 0 ,0- 8 >7*0. E ,0- 8 >7*0
.
E <0 * 4 ,-*/*0 07*0 0*90 0 <=0 ,-/7*0 <0*/0/-*0 8 0 ,0/=70 8 ,
A= ,- ,- 7-/0/. E/0 ,-*7* 087080 ,00 ,0 8*>7*0 07*
.
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
:!2!2! ENERGÍA POTENCIA$ E$;&TICA! C08- -/ /*7- 00<08- - 7-+,*+*8- 0 8*/07*0 s 88 ,-*7* 00<080 0 <=0 ,-/7*0 /*70
89*80 0 0 7->*<07* 8 -/ ,8
,080 7-+-&
" = A=
s ……
12
*+, ,-*/*0 ;0 0 ,-*7* 8>-+080 0 >0 8 -/ *+,
/* 0 70,07*808 8 >7/0 /090:- ,-*/*- -9 0 ,0/=70 708- -/ /-0 0 ,-*7* - 00<080 >*<. %.
:!2!"! FUNCIÓN POTENCIA$! E 70- <0 * 0 ,0/=70 / -+/*80 0 >0 <0*/0/-*0 ; 0 >0 /*70 <=0 ,-/7*0 ,8 ,080 7-+- 0 >7* ,-/7*0 0 +0 0<90*70& DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
L0 +8*80 8 V 8,8 8 0 9*707* 8 0 ,0/=70 7- ,7/- 0 ,0- 8 >7*0 77*-08- 8 078- 7- 0 707*- H11) ; H12). S* 0 ,0/=70 / 9*7080 ,/- 09*/0*- H;) ,07*- /0 >7* ,-/7*0 /-7
. E /090:- 0*08- ,- 0 >0 7-0/*0 0 +- 0 ,0/=70 88
(
)
,/-
0/0 ,/-
+8*8- ,- 0 8*>7*0 8 /0 >7* /- &
− P- :+,- 0 >7* ,-/7*0 ,00 0 ,0/=70 8 ,- ,8*80 8 -/ ,8 ,080 /+*- 8 ,-*7* +8*80 88 ,0- 8 >7*0 9*708- 0 -<*/8 00<080 8 -/ >*<. 1(. T+-&
" =−Ws +
s
SI 0 ,0/=70 + 88
0/0 0 ,-*7* *>*-
,8 /090:- 8 ; F &
U 1−2=" 1−" 2 = −W s1 + k s1 − −W s2 + k s 2
¿ W s − s − k s − k s 2
1
2
1
DINAMICA 1
/-7 0,*708- 0 707*
TRABAJO Y ENERGÍA
C08- 8,00+*/- 0 - 0<- 8 0 /0;7/-*0 *>**/*+0 87* ,/- H ; ) 0 0 707*
/-+0 0 >-+0&
S* 0 >0 ; 8,00+*/- - 8>**8- 08- 0 7--8080 7/0<0 /-7 /090:- /0+9* ,8 ,08- 7-+-&
S/*/;8- / /08- 0 707*
−
/+*- 8 8*080 ,07*0 -9/+-&
DINAMICA 1
; ,08- 0 8*>7*0
TRABAJO Y ENERGÍA
F x dx + F dy+ F z dz=−
dx +
dy +
dz
C-+- /-8- - 70+9*- 5, y, ; 3 - *8,8*/ - 8 -/- /0 707* 0/*>07 *&
F =
F =
F =
……
16
&ntonces,
F =
i−
−
F =−
i+
j+
k "
O 9*
D-8
,/0 -,08- 7/-*0
∇=
i+
j+
k
- 0 <08*/ 8 0 >7*
700 V. L0 707*
07*-0 0 >0
7*/*- +0/+/*7- ,00 ,-90
7- >7* ,-/7*0 V ; 7- - ,-,-7*-0 7-0/*0. P- :+,- 0 >7* ,-/7*0
<0*/0/-*0 ,00 ,- -70*08- 0 0 8*/07*0 ; ,- 0*90 8 ,0- 8 >7*0 . P00 ,-90
7-0/*0 70*- ,-90 0/*>07 0 707*
7;- 70-
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
F =
,
F =
E *<- <0/*- *8*70
W =−W
07/@0 07*0 090:- -,/0 0 0 ,-*/*0 07*0 0*90.
1<) CON&ER#ACIÓN DE $A ENERGÍA0 C08- */+0 8 >0 7-0/*0 ; - 7-0/*0 07/@0 -9 0 ,0/=70 0 ,-7* 8 /090:- 0*08- ,- 0 >0 7-0/*0 ,8 7*/0 /+*- 8 0 8*>7*0 <=0 ,-/7*0 08- 0 707*
(¿¿ 1−2 ) cos =" −" 1
. C-+- /08- ,*7*,*- 8
2
/090:- ; <=0 ,8 7*/- 7-+-&
A=
,/0 /090:- 8 0 >0 - 7-0/*0 07/@0 -9 0
,0/=70. S* - >0 7-0/*0 - 0,*7080 0 7,- / /+*- 7- ; /-7 /+-&
A /0 707* 7--7 7-+- 707* 8 0 7-07* 8 0 <=0. E/0 707* /097 80/ +-*+*/- 0 +0 8 0 <=0 7*/*70 ; ,-/7*0 8 0 ,0/=70 ,+07 7-/0/. P00 /- -70 0 <=0 7*/*70 89 /0>-+080 <=0 ,-/7*0 ; *70. S* 0 9-0 8 ,-
8:080 70 88 0 0/0 -9 -
>*<.11 0 <=0 ,-/7*0 8 0 9-0 +*+0 0/ 8 8:00 70 ; <=0 7*/*70 7-. L0 <=0 +7*70 /-/0 ,-*7* **7*0 /-7&
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
C08- 0 9-0 0 70=8- 0 8*/07*0 2 0,*8 ,8 8/+*080 08-
/-7&
80
−
&=T + " =
v= 2 #
=√ #'
. L0 <=0 8 0 9-0 0 ,-*7* **7*0
' + ( =W'
J/- 0/ 8 0 9-0 /- - <=0 ,-/7*0 7- ; 0,*8 8 - 0 <=0 /-/0 8 0 9-0 &
&=T + " =
2
+ 0 =W
DINAMICA 1
. A=
/
TRABAJO Y ENERGÍA
%
PROB$E(A& AP$ICATI#O& 1. U0 >0 8 +00 + 8*0 ,- 00+9 8 A 07*0 B 7-+- *8*70 0 >*<0. S*
7->*7*/ 8 -0+*/- / 9- ; 00+9 -7*808
. C -7*808 B
&o+,*./n0
A,*708- /-+0 8 /090:- ; 0 <=0&
DINAMICA 1
; 7,- ,0/ 8 ,/- A 7- 0
TRABAJO Y ENERGÍA
0
gsen
F ..d r = m v B
2
− v A 2 g
…………………… (-). gcos !
F ..d r = ( mgsenθ − f ).dx = ( mgsenθ − µ κ . N ).dx = ( mgsenθ − µ κ .mg cos θ ) .dx
F ..d r = mg ( Lsenθ − µ κ .L cosθ ) ……………… (1) 2eepla"ando (1) en (-)
mg Lsenθ − µ κ L . cosθ = m v B
=
− vo
−
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
2. U -+9 :00 9- 8 ,- ? 0 8*/07*0 L -9 ,*- -*-/0 7- 0 -7*808 7-/0/ 0,*708- 0 >0 8**<*80 >-+08- <- θ 7- 0 -*-/0. S* 7->*7*/ 8 -0+*/- 7*/*7-
Q 70/*808 8 /090:- 07 -+9 -9 9-
&o+,*./n0 4sen
4
0
4cos
!
3 /
C+- +-*+*/- 7- -7*808 7-/0/ /-7&
= .. R+,008- 0 07* 8 0 >*77*.
H1)
= .. R+,008- 0 07* 8 0 >*77*. .. H2)
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
R+,008- H2) H1)&
− D,:08- 0 >0 F /+-&
F =
.
κ
C070+- /090:- 8 -+9&
W = F ..d r = F ..d r =
κ
.
dr =
κ
.
(
dr ) =
κ
.
3.U0 +00 = 7/0 -,-/08- -9 ,0- *7*08- * >*77* 7;- ,0- >-+0 <WXY 7- 0 -*-/0 ; /0 :/0 ,- -/ *0 7;0 7-/0/ W 6 7-+- +/0 0 >*<0. E7-/0 0 <=0 ,-/7*0 8 */+0 7-+- >7* 8 8,00+*/- 5 +8*80 88 0 ,-*7* 8 **9*- //*7-. S ,- 0 <=0 ,-/7*0 7- 0 ,-*7* 8 **9*//*7-.
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
N- ,*8 00 V
U = ( m# sin ) ) x− ( m# sin ) + kx ) dx
U = m
sin )
x − m
sin )
x−
U =
" =
DINAMICA 1
TRABAJO Y ENERGÍA
4. L0 +00 8 0 >*<0 0/*- + 0 8*/07*0 WAY 0 - 0<- 8 ,0- 88 0 ,-*7* 8 E**9*- E//*7- ; 8, /0 ,00 8 ,--. E7*9* 0 707* 8 0 7-07* 8 0 <=0 ,00 */+0 ; 0,*70 /0 707* 0 +-*+*/- 8 0 +00.
U =
−
" = DINAMICA 1
