INDICE
1. OBJETIVOS.............................................. OBJETIVOS.......................................................................1 .........................1 2. FUNDAMENTO TEORICO.................................................... TEORICO....................................................1 1 3. EQUIPO UTILIZADO..........................................................7 4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL.......................................7 EXPERIMENTAL.......................................7 5. DATOS EXPERIMENTALES.................................................8 6. PROCESAMIENTO DE DATOS Y RESULTADOS....................10 3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................13 4. BIBLIOGRAFIA................................................................ BIBLIOGRAFIA................................................................14 14
TRABAJO Y ENERGIA
1. OBJETIVO Verificar que el trabajo realizado por la fuerza resultante sobre un cuerpo es igual al cambio de la energía cinética de dicho cuerpo. Resultado conocido como el “Teorema del trabajo y la energía cinética”.
2. FUNDAMENTO TEORICO Concepto de trabajo Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.
Donde F t es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales
Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la función que relaciona la componente tangencial de la fuerza F t, y el desplazamiento s.
1
Concepto de energía cinética Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.
En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial. En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil. Se define energía cinética como la expresión
El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.
Fuerza conservativa. Energía potencial Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que solo depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía potencial.
El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.
El peso es una fuerza conservativa 1
Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posición A cuya ordenada es y A hasta la posición B cuya ordenada es y B.
La energía potencial E p correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional
Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energía potencial.
La fuerza que ejerce un muelle es conservativa Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x , ejerce una fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo contraria a ésta.
Para x >0, F=-kx Para x <0, F =kx
El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la posición x A a la posición x B es
La función energía potencial E p correspondiente a la fuerza conservativa F vale
1
El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo: cuando la deformación es cero x =0, el valor de la energía potencial se toma cero, E p=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.
Principio de conservación de la energía Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final de la energía potencial
Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energía cinética.
Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de conservación de la energía EkA+E pA=EkB+E pB
La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.
Comprobación del principio de conservación de la energía
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura
y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s2
• Posición inicial x =3 m, v =0.
1
E p=2·10·3=60 J, Ek =0, E A=Ek +E p=60 J • Cuando x =1 m
E p=2·10·1=20 J, Ek =40, EB=Ek +E p=60 J • Cuando x =0 m
E p=2·10·0=0 J, Ek =60, EC=Ek +E p=60 J
La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.
Fuerzas no conservativas Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa, vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.
El peso es una fuerza conservativa. Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.
W AB=mg x W BA=-mg x
El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-B-A, W ABA es cero.
La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo porque la fuerza es de signo contrario al desplazamiento
1
W AB=-F r x W BA=-F r x
El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, W ABA es distinto de cero W ABA=-2F r x
Balance de energía En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final menos la inicial.
El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y la final
Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos que
El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica (cinética más potencial) de la partícula.
1
3.
EQUIPO UTILIZADO • Plancha de vidrio • Un disco con sistema eléctrico • Un chispero electrónico con su fuente de poder • Dos resortes de diferente coeficiente de elasticidad • Una hoja de papel eléctrico y dos hojas de papel bond • Pesas • Una regla milimetrada, compás y escuadras
4.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Montamos el sistema disco – resortes como se muestra en la figura 1. El disco está sobre un colchón de aire que reduce las fuerzas de fricción y está unido a dos resortes fijos de distinto coeficiente elástico, los cuales producen un movimiento curvilíneo.
Ilustración 1: Sistema Disco - Resortes
El disco está conectado a un chispero electrónico, cuya frecuencia se deberá encontrar. Este chispero hace que la trayectoria del centro del disco quede registrada por una sucesión de puntos sobre el papel bond. 1
Marcamos sobre el papel los puntos A y B, correspondientes a los extremos fijos de los resortes, y trazamos arcos de radio igual a la longitud natural de cada resorte. Llevamos el disco hasta una posición 0 y en el momento de soltarlo encendemos el chispero. Apagamos el chispero cuando el disco realice una trayectoria como el de la siguiente figura.
.B Y
.A X Ilustración 2: Trayectoria registrada por el chispero en el papel
Encontramos la curva de calibración de cada resorte trazando una gráfica elongación versus peso para diferentes masas y encontrando la mejor recta.
5. DATOS EXPERIMENTALES Las siguientes tablas muestran la relación entre diferentes masas y la elongación que producen en ambos resorte. Estos datos servirán para establecer la curva de calibración de cada resorte: Tabla 1 Calibración del resorte A
N° 1 2 3 4 5 6
∆W (N) 0.49 0.98 1.49 1.98 3.14 4.12
∆L (cm) 0.5 1.2 2.8 4.5 8.0 10.5
Tabla 2 Calibración del resorte B
N° 1 2 3 4 5 6
∆W (N) 0.49 0.98 1.49 1.98 3.14 4.12
∆L (cm) 0.5 0.7 1.0 2.0 4.5 7.0
1
Las curvas de calibración se muestran en la siguiente página. Con estas, encontramos la fuerza que ejerce cada resorte sobre el disco en cualquier punto de su trayectoria, correspondiente a la elongación sufrida por los mismos.
1
Gráfica 1:
Gráfica 2:
Curva de calibración del resorte “A”
Curva de calibración del resorte “B”
1
6.
PROCESAMIENTO DE LOS DATOS Y RESULTADOS Usamos la hoja donde quedó registrada la trayectoria del disco para realizar lo siguiente: 1. Escogemos una parte de la trayectoria de la cual evaluaremos el
trabajo hecho por las fuerzas de los resortes. Donde t=4 ticks sea el punto inicial y t=18 ticks el punto final. 2. Indicamos con letras mayúsculas (G,H,…,T) el punto medio entre
cada par de puntos consecutivos de la trayectoria. 3. Sobre cada punto asignado con letra, medimos la elongación de
cada resorte y, usando las curvas de calibración respectivas, encontramos las fuerzas FA y FB ejercida por cada resorte sobre el disco en dicho punto. 4. Dibujamos las fuerzas anteriores a escala sobre el papel y, con escuadras, trazamos las fuerzas tangenciales FA,t y FB,t. Sumamos
algebraicamente estas fuerzas para obtener tangencial Fneta k,t sobre cada punto medio. 5. Medimos los desplazamientos
∆Sk
la
fuerza
neta
entre cada par de puntos
asignados con números. La gráfica de los vectores fuerza, así como sus componentes tangenciales, se encuentran en la hoja bond que se adiciona al informe. Los resultados numéricos de elongaciones, fuerzas y desplazamientos, con sus respectivas unidades, se registran en el cuadro siguiente:
Punto s medio s
G H I J K L M N O
TIEM PO
XA
XB
FA
FB
(ticks)
elongaci ón del resorte A (cm)
elongaci ón del resorte B (cm)
fuerza del resorte A (Newton )
fuerza del resorte B (Newton )
16.6 15.2 13.7 12 10.2 8.4
9.8 11.7 13.2 14.5 15.3 15.7
6.2 5.7 5.2 4.6 4 3.4
5.9 6.7 7.4 8.4 8.8 9
3.7 4.1 4.5 4.5 4 3
6.9
15.8
2.8
9.1
5.7
15.5
2.4
5
15
2.2
4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9 - 10 10 11 11 -12 12 -13
FA,t
FB,t
Fneta k,t
∆Sk
fuerta tangencial neta k (N)
Desplazam iento (cm)
-5.8 -6 -5.5 -5.2 -3.2 -1.2
-2.1 -1.9 -1 -0.7 0.8 1.8
2.2 1.8 1.85 1.75 1.85 1.9
1.8
0.8
2.6
2.3
8.9
1
1.5
2.5
2.1
8.7
0.5
2.3
2.8
2.65
componen componen te te tangencial tangencial del del resorte resorte B A (N) (N)
1
P Q R S T
13 14 14 15 15 16 16 17 17 18
5.2
14.3
2.2
8.3
-0.5
2.7
2.2
2.75
6
13.4
2.5
7.8
-1.1
2.6
1.5
2.75
7.6
12.4
3.1
7.3
-2.1
2
-0.1
3
9.8
11.5
3.8
6.8
-3
2
-1
3
12.2
10.6
4.7
6.1
-4.3
2.1
-2.2
2.7
6. Utilizamos la ecuación: W=
∆ =∑F⋅ ∑W
∆Sk
k
k
k
k
para en contrar el trabajo realizado por la fuerza neta entre los intantes t=4 y t=18 ticks. Si asumimos que la fuerza que realiza trabajo es la fuerza tangencial neta (Fneta k,t) y suponiéndola constante en desplazamientos muy pequeños, entonces la ecuación anterior se convierte en: W4
18
→
=∑ ∆Wk =
∑F
t ⋅ ∆Sk
neta k
k
k
Y con los datos de las dos últimas columnas del cuadro anterior, tenemos:
W
Fneta k,t
∆Sk
fuerta tangencial neta k (N)
desplazamie nto (cm)
-2.1 -1.9 -1 -0.7 0.8 1.8 2.6 2.5 2.8 2.2 1.5 -0.1 -1 -2.2
2.2 1.8 1.85 1.75 1.85 1.9 2.3 2.1 2.65 2.75 2.75 3 3 2.7
W
4
→
18
k
→
= (Fneta t) (∆Sk)
k+1
Trabajo (N.cm)
Trabajo (N.m) (Joule)
-4.62 -0.0462 -3.42 -0.0342 -1.85 -0.0185 -1.225 -0.01225 1.48 0.0148 3.42 0.0342 5.98 0.0598 5.25 0.0525 7.42 0.0742 6.05 0.0605 4.125 0.04125 -0.3 -0.003 -3 -0.03 -5.94 -0.0594 =
13.37
0.1337 1
N.cm
Joules
El trabajo total (W) realizado por la fuerza de los resortes en el tramo elegido es de 0,1337 Joules.
7. Ahora calculamos el cambio de la energía cinética para el recorrido
escogido, empleando la ecuación: 1 1 ∆ (EC) = mVf2 − mVi2 2 2 En donde Vi es la velocidad instantánea en el punto 4, y Vf la velocidad instantánea en el punto 18 de la trayectoria. De modo que Vi = V(4), y Vf = V(18). Podemos asumir que la velocidad instantánea se puede aproximar a la velocidad media entre dos puntos muy cercanos, entonces: • Sabiendo que se utilizo una frecuencia de 40 Hz en el chispero, el intervalo de tiempo entre dos puntos consecutivos será igual a 1/40 s ó (0.025 s). • El punto inicial 4 se encuentra entre los puntos 3 y 5, y la distancia entre estos 2 puntos es de 4,15 cm. • El punto final 18 se encuentra entre los puntos 17 y 19, y la distancia entre estos 2 puntos es de 5,7 cm.
Por lo tanto: 4,15 = 83cm / s = 0,83m / s 2(0,025) 5,7 = = 114cm / s = 1,14m / s 2(0,025)
Vi = V(4) = Vf = V(18)
Reemplazando en la ecuación para el cambio de la energía cinética, para la masa del disco m=0,824 kg.
1
1 m2 1 2 2 ∆ (EC) = (0,824)(1,14) − (0,824)(0,83) kg 2 2 2 s m2 = 0,2516kg 2 s ∆ (EC) = 0,2516 J
La variación de la Energía Cinética ∆ (EC) entre los puntos 4 y 18 de la trayectoria es 0,2516 Joules 8. De los incisos 6. Y 7. tenemos lo siguientes resultados:
W = 0,1337 J
∆ (EC) = 0,2516 J Para la trayectoria especificada del punto 4 al punto 18. Comparando ambos resultados vemos que existe una diferencia de:
∆ (EC) − W = 0,2516 − 0,1337 = 0,1179 Joules De acuerdo al teorema delTrabajo y la Energía Cinética, ambos resultados deberían ser iguales; sin embargo, existe un error de casi el 47% respecto al mayor de los valores obtenidos, lo cual indica que se cometieron errores durante la experimentación y la toma de datos.
7.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Entre las causas de error en el experimento realizado podemos mencionar las siguientes: a.- Errores al momento de calibrar los resortes: resortes deformados y mediciones defectuosas al medir las elongaciones, repercuten a la hora de determinar la curva de calibración de los resortes. De igual modo afectan en la elección de la mejor recta . b. Errores al graficar los vectores fuerza y al determinar sus componentes tangenciales. Es recomnedable, para reducir el porcentaje de error, contar con instrumentos más precisos y tomar los datos con más cuidado. También es aconsejable que se tomen las fuerzas correspondientes a las elongaciones de los resortes directamente de la curva de calibración (la mejor recta), y no intentar hallar la constante de elasticidad K ni la pendiente de la recta.
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BIBLIOGRAFIA
• MARCELO ALONSO- EDWARD FINN , FISICA (Mecánica tomo 1), Editorial Fondo educativo Interamericano, año 1976 • JHON P. MC. KELVEY – HOWARD GROTCH, Física para Ciencias e Ingeniería 1. Editorial Harper & Row, Publishers, Inc. 1968.
• DAVID HALLIDAY – ROBERT RESNICK- KENNETH CRANE Física parte I. Editorial CECSA. 1994.
• JHON P. MC. KELVEY – HOWARD GROTCH, Física para Ciencias e Ingeniería 1. Editorial Harper & Row, Publishers, Inc. 1968.
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