...........................................................................................................................................................2 ................................................................................. ..........................................................................2 .......................................................................................................................................................... ......................................................................... ........................................................................................2 .......2 .........................................................................................................................3 ......................................................................... ................................................3 ...............................................................................................................................................3 ..................................................................... ..........................................................................3 .................................................................................................4 ............................................................................. ....................4 .....................................................................................................................................5 ......................................................................................................5 ...................................................................... ................................5 ....................................................................................................................................6 ....................................................................... .............................................................6 ................................................................................................................................6 ................................................................... .............................................................6 ............................................................................................................................7 ............................................................................ ................................................7 .............................................................................9 ...................................................................... .......9 ................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................. 10 ................................................................................................................................... ......................................................................... .......................................................... 11 11 ................................................................................................................................. ....................................................................... .......................................................... 11 11 ............. 12 .................................................................................................... 13 .................................................................................................................. .................................................................................................................................. ................. 14 .............................................................................................................. ....................................... ....................................................................... 1 6
...........................................................................................................................................................2 ................................................................................. ..........................................................................2 .......................................................................................................................................................... ......................................................................... ........................................................................................2 .......2 .........................................................................................................................3 ......................................................................... ................................................3 ...............................................................................................................................................3 ..................................................................... ..........................................................................3 .................................................................................................4 ............................................................................. ....................4 .....................................................................................................................................5 ......................................................................................................5 ...................................................................... ................................5 ....................................................................................................................................6 ....................................................................... .............................................................6 ................................................................................................................................6 ................................................................... .............................................................6 ............................................................................................................................7 ............................................................................ ................................................7 .............................................................................9 ...................................................................... .......9 ................................................................................................... ............................................................................................................................... ............................. 10 ................................................................................................................................... ......................................................................... .......................................................... 11 11 ................................................................................................................................. ....................................................................... .......................................................... 11 11 ............. 12 .................................................................................................... 13 .................................................................................................................. .................................................................................................................................. ................. 14 .............................................................................................................. ....................................... ....................................................................... 1 6
Para poder comprender el tema torsión, es necesario que tener en consideración establecer el significado del término torsión, conocer su origen etimológico. En este sentido, hay que determinar que deriva del latín “torsio”, que puede traducirse como “torcer” y que es fruto de dos partes dos partes claramente delimitadas:
El verbo “torquere”, “torquere”, que es sinónimo de “torcer” y “hacer girar”. girar”. El sufijo “-ion” “ -ion”,, que es equivalente a “acción y efecto” e fecto”
Torsión es un término que alude al acto y el resultado de torcer. torcer. El concepto suele referirse específicamente a aquello que se tuerce en sentido helicoidal como hélice. En el ámbito de la ingeniería, la torsión mecánica consiste en la aplicación de un momento de fuerza sobre el eje longitudinal de una pieza prismática. Los elementos sometidos a torsión se encuentran en muchas situaciones de ingeniería. La aplicación más común la representan los ejes de transmisión, que se emplean para transmitir potencia de un punto a otro. Por ejemplo, el eje mostrado en la figura (a) se utiliza para transmitir potencia del motor a las ruedas traseras de un automóvil. Estos ejes pueden ser sólidos, como el que se muestra en la figura (a), o huecos.
Los resortes de torsión, por otra parte, trabajan mediante giros. De este modo, almacenan energía mecánica al ser girados, que luego devuelven cuando se liberan. Las trampas que se
utilizan para cazar ratones, iguales que aquellas que suelen verse en las series de dibujos animados o caricaturas, funcionan con resortes de torsión. En el terreno de las matemáticas, la idea de torsión puede vincularse a una curva o a un tensor geométrico. La noción también aparece en la física campo de torsión. Además de campo de torsión también se puede llamar campo de rotación o campo de axión.
En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas. La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él.
Una sección de un elemento estructural está solicitada a Torsión cuando el Momento resultante de las fuerzas interiores tiene la componente M x = T
T>0
→
su sentido es el de la normal saliente de la sección
T<0
→
su sentido es contrario al de la normal saliente en la sección
En este tema se estudiarán elementos estructurales en los que todas sus secciones estén solicitadas a Torsión
Al igual que ocurre con los diagramas correspondientes de la Tracción-Compresión y de la Flexión, los diagramas de Momentos Torsores indicarán el Momento Torsor correspondiente a cada sección del elemento estructural. Se desarrollará uno de estos diagramas a través de un ejemplo:
Se dice que una barra trabaja a TORSIÓN UNIFORME cuando se cumplan las dos condiciones siguientes: el único esfuerzo presente es un Momento Torsor, que es constante a lo largo de ella y además los extremos de la barra pueden alabear libremente.
En la torsión uniforme, dado que el alabeo que se pueda producir es el mismo en todas las secciones, se podrá afirmar que las tensiones normales serán cero ( x = 0) , y sólo dará lugar a tensiones cortantes:
σ
Se dirá que la torsión no es uniforme cuando no se cumplan algunas de las dos condiciones anteriores, como sería el caso de los dos ejemplos siguientes: Ejemplo 1
Ejemplo 2
M
M2
M1
M3
En la torsión no uniforme, el alabeo posible de las diferentes secciones no será el mismo, por lo que se producirán tensiones normales: x y tensiones cortantes: τ.
σ
En la siguiente figura se muestra el efecto del alabeo de una barra IPE laminada sometida a torsión no uniforme (caso del ejemplo 2). Se observa cómo debido al alabeo, las alas de la viga se flexionan y por tanto aparecerán en ellas tensiones normales x
σ
Observaciones: 1. Para medir la susceptibilidad al alabeo por torsión de una determinada sección se utiliza el denominado de Ia y para medir la susceptibilidad la torsión se utiliza el de It . Ambos valores se pueden calcular u obtener de Tablas
“módulo alabeo”: “módulo torsión”:
2. Las piezas sometidas a Torsión no uniforme en las que el módulo de alabeo (I a) sea nulo o de pequeño valor con respecto al módulo de torsión (It ), se admit e
aplicar el cálculo como si fuera Torsión uniforme. Éstos casos se darán en los siguientes tipos de secciones: secciones macizas de gran espesor
secciones cerradas de pequeño espesor
secciones abiertas de pequeño espesor formadas por rectángulos que se cortan en un punto
En las piezas sometidas a torsión cabe distinguir dos tipos: el de las piezas cuya principal función es la transmisión de un par torsor, sólo o combinado con esfuerzos de flexión o axiles, (es el caso de piezas usadas principalmente en las máquinas: ejes, etc.) y el de piezas en las cuales la torsión es un efecto secundario indeseable (es el caso, no muy frecuente, de algunas piezas de estructuras de edificación, como las vigas carril o las correas en fachadas laterales). Las piezas correspondientes al primer tipo indicado, se proyectan con secciones macizas de gran espesor o cerradas de pequeño espesor:
SECCIONES DE GRAN ESPESOR (MACIZAS)
Circulares
Circulares huecas
Rectangulares
SECCIONES CERRADAS DE PEQUEÑO ESPESOR
Circulares
Rectangulares
Las SECCIONES ABIERTAS DE PEQUEÑO ESPESOR no son apropiadas para este tipo de solicitación y deben tratar de evitarse su utilización o bien emplear disposiciones constructivas adecuadas para evitar que la torsión se presente en ellas. Por ello su cálculo no es frecuente y es estudiado con más profundidad en asignaturas de Estructuras Metálicas
Cuando un par de torsión externo se aplica sobre un eje, en este se genera un par de torsión interno correspondiente. En esta sección se desarrollara una ecuación que relaciona este par de torsión interno con la distribución del esfuerzo cortante en la sección transversal de un eje o tubo circular. Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke Ley de Hooke: y en consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante conducirá a una correspondiente variación lineal en el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial ubicada en la sección transversal. Para toda sección trasversal se tiene:
Como
es constante:
La ecuación anterior puede reordenarse y escribirse como:
El esfuerzo cortante a la distancia intermedia ρ puede determinarse a partir de
Cualquiera de la formulas anteriores puede llamarse la Recuerde que solo se usa si el eje es circular ,el material es homogeneo y se comporta de manera elastico lineal,puesto que su derivación se basa en la ley de Hooke.
Si el eje tiene una sección transversal circular solida,el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemeto de area en forma de un aro o anillo diferencial que tiene grosor dp y una
circunferencia 2πρ.Para este anillo ,
y asi
Si un eje tiene una sección transversal tubular, con radio interior y radio exterior , entonces su momento polar de inercia J puede determinarse con base en la ecuación al restar J para un eje de radio de la J determinada para un eje de radio .De lo anterior se obtiene:
. En ocasiones, el diseño de un eje depende de la restricción de la cantidad de rotación o giro que puede ocurrir cuando el eje se somete a un par de torsión. Además, cuando se analizan las reacciones de los ejes estáticos indeterminados, es importante poder calcular el ángulo de torsión del eje.
Donde: •
•
•
•
•
Φ: el ángulo de giro en radianes T: par de torsión interno L: longitud de la barra J: momento polar de inercia G: módulo de elasticidad cortante para el material
Esto sucede cuando si la ecuación de equilibrio de momentos, aplicada sobre la línea central del eje, no sirve para determinar los pares de torsión desconocidos que actúan sobre esté. En la se presenta un ejemplo de esta situación. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, , los pares de torsión reactivos en los apoyos A y B no se conocen. Se requiere que: La condición necesaria de compatibilidad, o condición de cinemática requiere que el ángulo de giro de un extremo con respecto al otro sea cero.
Los ejes que tienen una sección transversal no circular, no poseen simetría axil simetría alrededor de un eje por lo que su sección puede alabearse cuando gira. Una prueba de ello puede verse en las líneas de cuadricula deformadas en un eje con sección transversal cuadrada cuando el eje se ha girado, observe la figura:
Figura no circular sometida a torsión:
Tabla con los valores asignados a los ejes solidos no circulares:
Si las cargas de torsión aplicadas sobre el eje son excesivas, entonces el material puede presentar cedencia y, en consecuencia, debe usarse un análisis plástico para determinar la distribución del esfuerzo cortante y el ángulo de giro. Para realizar este análisis es necesario que el eje cumpla las condiciones de deformación y equilibrio. Donde:
Si el área dA sobre la que actúa τ no se puede definir como un anillo diferencial con un área de dA2πρdρ figura c, entonces la ecuación anterior puede escribirse como: Estas condiciones de geometría y carga se usaran ahora para determinar la distribución del esfuerzo cortante en un eje, cuando este se encuentre sometido a dos tipos de par de torsión.
. La distribución del esfuerzo en una flecha solida ha sido graficada a lo largo de tres líneas radiales como se muestra en la figura. Determine el momento de torsión interno resultante en la ecuación. C =2pulg
8klb/
8klb/
8klb/
Solución: El momento polar de inercia de la sección transversal es:
2 25.13 Aplicando la fórmula de la torsión con
8klb/2
8klb 2 2 25.134
101.
. La flecha solida de radio c está sometida al momento de torsión T. Determine la fracción de T que resiste el material contenido dentro de la región exterior de la flecha, que tiene un radio interior de c/2 y radio exterior c:
T
Fig. 1
Fig.2
Solución:
El momento de torsión interno ˈsobre el área anular localizada en la región de sombreado ligero en la figura 2 es:
ˈ 2
Para toda el área de sombreado ligero, el momento de torsión es:
2 ˈ ∫/ ˈ
(1)
2 2
Sustituyendo este valor en la ecuación 1 obtenemos:
ˈ 15 16
3. La barra tiene un diámetro de 1 pulg y un peso de 15 lb/pie. Determine el esfuerzo de torsión máximo en una sección de la barra situada en B, debido al peso de la Barra.
Aquí, sólo nos interesa el par interno. Por lo tanto, otros componentes de la carga interna no están indicados en el FBD del segmento cortado de la varilla, la fig. (A).
El momento polar de inercia de la sección transversal en B es:
0.3125 así.
/20.5
4. El eje de acero A-36 con un diámetro de 20mm está sometido a los pares de torsión mostrados en la figura. Determine el ángulo de giro del extremo B.
Par de torsión interno: Como se muestra en FBD.
Ángulo de giro:
5.
80. 60. 90.
El eje está sometido a un par de torsión
distribuido en toda su longitud
10 N.m/m, donde x se da en metros. Si el esfuerzo máximo en el eje debe mantenerse constante en 80MPa, determine la variación
requerida del radio “c” del eje para 0 ≤ ≤ 3 .
6.
El eje de acero A-36 tiene un diámetro de
50mm y se encuentra fijos en sus extremos A y B. si se somete al par de torsión mostrado, determine el esfuerzo cortante máximo en las regiones AC y CB del eje.
Equilibrio
Compatibilidad Máximo
Resolviendo Eq (1) y Eq (2), obtenemos:
Máximo esfuerzo cortante:
7.
El motor A desarrolla un par de torsión de 450 lb*pie en el engrane B, el cual
se aplica a lo largo de la línea central del eje de acero CD que tiene un diámetro de 2 pulg. Este par de torsión se transmite a los engranes de piñón en E y F. si los engranes se fijan de manera temporal, determine el esfuerzo cortante máximo de los segmentos CB y BD del eje. Además cual es el ángulo de giro de cada uno de estos segmentos? Los cojinetes en C y D solo ejercen reacciones de fuerza sobre el eje y no se resisten al par de torsión.
1210.
Equilibrio
Condición de compatibilidad:
Resolviendo Eq (1) y Eq (2), obtenemos:
8. El eje de acero tiene 12 pulg de largo y se atornilla a la pared mediante una llave. Determine las mayores fuerzas F de par que pueden aplicarse sobre el eje sin causar la cedencia del acero,
8. (*1)
Resolviendo (*1):
9. Determine el grosor constante del tubo rectangular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder 12 Ksi, cuando se le aplica un par de torsión de T=20 kip. Pulg. No tome en cuenta las concentraciones de esfuerzo en las esquinas. En la figura se muestran las dimensiones medias del tubo.
10.
Determine el par de torsión que pueda
aplicarse al tubo rectangular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder 12 Ksi. No tome en cuenta las concentraciones de esfuerzo en las esquinas. En la figura se muestran las dimensiones medias del tubo, el cual tiene un grosor de 0.125 pulg.
11.
Un eje está hecho de una aleación de acero que tiene un esfuerzo cortante
12 ksi. Si el diámetro del eje es de 1.5 pulg, determine el par de torsión máximo que se puede transmitir. ¿Cuál sería el par máximo , si se permisible de
perforara un orificio de 1 pulg de diámetro a través del eje?
Aplicando la fórmula de la torsión
2 75 7.95 . 12 0. 2 0.75
Aplicando la formula
,
75 6.38 . 12 0.0. 2 75 0.5 , 5 8.00 =. 0.70. 2 5 0.5 12.
El eje solido esta fijo al soportar en C y se somete a las cargas de torsión
mostradas en la figura. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B.
Primero calculamos el eje del solido o momento de inercia polar:
Remplazando datos:
0.075 49.510− Ahora calcularemos el esfuerzo en cada punto:
. . 6.03610 6.04 . . 6.03610 6.04
13.
El tubo mostrado tiene un diámetro interior de 100 mm y un diámetro
exterior de 120 mm. Si su extremo se aprieta contra el soporte en A mediante una llave de torsión en B, determine el esfuerzo cortante desarrollado en el material sobre las paredes interior y exterior, a lo largo de la porción central del tubo, al momento de aplicar las fuerzas de 70 N sobre la llave.
∑ 0 700.15+ 700.1 0 17.5 ( ) 2 0.06 0.05 1.05410− . 0.06 17.5 1.05410− 0.0996
14.
El eje solido esta fijo al soporte en C y se somete las cargas de torsión
mostradas en la figura. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B.
0.095 1.27910− 0.095 m 0.095 610 1.27910−
0.095 610 1.27910− 445.6661 0.07 m 0.07 610 1.27910− 328.382
15.
El tubo de cobre tiene un diámetro exterior de 70 mm y un diámetro interior
de 50 mm. Si se asegura fuertemente a la pared en A y se le aplican tres pares de torsión como se muestra en la figura, determine el esfuerzo cortante máximo absoluto desarrollado en el tubo.
035 0.1000. 2 035 0.025 2.007
16. La varilla de aluminio AB (
27 ) está unida a la varilla de latón BD
39 ), si se sabe que la porción CD de la varilla de latón es hueca y tiene un diámetro interiorde 40 . Determine el ángulo de giro en A. (
∑ ∅ Convirtiendo las longitudes a metros:
0.400 0.375 0.250 1810− 1.6410− 3010− 1.2710−
Ahora hallamos los valores de
2 0.03 0.02
