RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS
EJERCICIO 1: 1: tres artículos son extraídos, con reposición de un lote mercancías. Cada artículo ha de ser identificado: como co mo de defe fect ctuos uoso o o no de defe fect ctuos uoso. o. Menc Mencio ione ne todos todos los los posibles posibles puntos de muestra muestra para este experimento experimento a través través de un diagrama de arbolito. R= 3 artículos con reposición -
(Defectuoso = D)
-
(No defectuoso = N)
1er articulo
2do articulo
3er articulo
Puntos muéstrales
D
DDD
N
DDN
D
DND
N
DNN
D
NDD
N
NDN
D
NND
N
NNN
D D N
S D N N
EJERCICIO 2: 2: se echa al aire 1 moneda y un dado perfectos, Y en el espa espaci cio o De mu mues estr traa resu resulta ltante nte se de defi fine nen n los los siguientes hechos: a)
La moneda muestra reverso y el dado muestra un número impar.
b)
La moneda muestra anverso y el dado muestra un número impar.
c)
Determine sus respectivas probabilidades. Determine así mismo si: C1) ¿Son estos dos hechos mutuamente exclusivos? C2) ¿Son colectivamente exhaustivos? C3) ¿Indique 0 porque 0 no en cada caso?
R= a) Reverso = R Dado = P S = {R2, R4, R6}
b) Anverso = A Dado = I S = {A1, A3, A5}
c) P1 = ( 3 / (N1 x N2) ) = ( 3 / (2 x 6) ) = 3/12 P2 = ( 3 / (N1 x N2) ) = ( 3 / (1 x 5) ) = 3/5
C1: si son mutuamente excluyentes C2: si son exhaustivo C3: (S1 ∩ S2) = 0 Por ser el conjunto vacio = 0
EJEMPLO 3: un inversor planea escoger dos de los cinco (5) oportunidades de inversión que se le han recomendado. Describa el espacio muestral que representan las posibles opciones. R= Oportunidades = {1, 2, 3, 4, 5} S = {12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45}
EJEMPLO 4: ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe usted en este semestre la cátedra de estadística? R= Ejemplo: N = número de personas reprobados = 10 n = número de personas aprobadas = 20 Total
=
30
Ppe= n / t = 20/30 Papb.esta = 2/3
EJEMPLO 5: ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las computadoras y celulares sea más alto en el año próximo? ¿Cómo sustenta usted su respuesta? R=
La probabilidad es alta ya que en años anteriores ha subido enormemente.
Celulares 2007 → 20 Bsf 2008 → 40 Bsf 2009 → 60 Bsf
Computadoras 2007 → 1000 Bsf 2008 → 2000 Bsf 2009 → 3000 Bsf
Ejemplo 6: se echa al aire un dado perfecto. Demuestre que la probabilidad de obtener un número par o un número divisible por 3 es 2/3. R= 1 dado perfecto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} → Pa = 3/6 = 1/2 B = {3, 6} → Pb = 2/6 = 1/3 P = (A υ B) = {2, 3, 4, 6} = 4/6 = 2/3
Ejercicio 7: una urna contiene 4 bolas rojas y 6 verdes si se extraen al azar 2 bolas sin reposición: a)
Establezca el espacio muestral para los posibles resultados del experimento. Determine la probabilidad de los siguientes eventos: 1. Que las bolas extraídas sean rojas y rojas. 2. Rojas y verde. 3. Verde y roja. 4. Verde y verde.
R= urna que contiene: (4 bolas rojas) y (6 bolas verdes) a) S = {NN, NV, VN, VV} 1. PR1 = 4/10
PR2 = 3/9 P (R1 υ R2) = 4/10 x 3/9 = 12 / 90 = 0,13 = 13% 2. PR = 4/10
PV = 6/9
P (R υ V) = 4/10 x 6/9 = 24 / 90 = 0,26 = 26% 3. PV = 6/10
PR = 4/9 P (V υ R) = (6 x 4) / (10 x 9) = 26% 4. PV1 = 6/10
PV2 = 5/9 P (V1 υ V2) = 30/90 = 3/9 = 1/3 = 0,33 = 33%
Ejercicio 8: al interrogar a un elector acerca de su preferencia en cuanto a un candidato en particular a un cargo, el espacio muestral es {F, D} donde F significa favorable y D desfavorable. Ahora bien si son interrogados 3 electores: ¿Cuáles son los posibles elementos del espacio muestral? Use un diagrama del arbolito para determinar los puntos de muestra. R= S = {F, D}
S
F
F
F
FFF
F
F
D
FFD
F
D
D
FDD
D
D
D
DDD
D
D
F
DDF
D
F
F
DFF
D
F
D
DFD
F
D
F
FDF
Ejercicio 9: compruebe que la probabilidad de obtener un 11 con el lanzamiento de dos dados perfectos es igual a 1/18. R= S = N1 x N2 = 6 x 6 = 36 casos posibles PA = {(6 y 5), (5, 6)} PA = 2/36 = 1/18
Ejercicio 10: tres contratistas licitan por un contrato para construir un edificio educativo en la región ahora bien: se cree que A tiene el doble de probabilidad de obtener el contrato que B quien a su vez tiene el doble de probabilidad de obtener el contrato que C. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de cada uno de obtener el contrato? R= A = 2B A = 2C Evaluando 2B = 2C B=C
B y C tienen las mismas probabilidades
A+B+C = 1 2B+B+B = 1 →
4B =1
A = 2/4 = 1/2 → A = 50% B = 1/4 = 0,25 → B = 25% = C
Ejercicio 11: si las apuestas son 6 o 4 de que se alcanzara un acuerdo entre el sindicato obrero y la gerencia en una empresa de la región ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de alcanzar y de no alcanzar el acuerdo? R= PA = 6/10 = 0,6 = 60% PNA = 4/10 = 0,4 = 40%
Ejercicio 12: se echan al aire 2 dados perfectos compruebe que la probabilidad de obtener un 7 o un 11 es igual a 2/9. R= Dos dados perfectos P (A υ B) = PA + PB = 1/8 + 1/18 = 2/9
Ejercicio 13: se echan al aire un dado azul y un dado blanco, ambos son perfectos, suponiendo que el dado azul muestre un 4, ¿Cuál es la probabilidad de que el dado blanco muestre un número mayor que 4? R= Dado (azul → 4) y (blanco › 4) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A (5,6} PA = 2/6 = 1/3 = 33%
Ejercicio 14: se lanzan al aire un dado blanco y un dado azul equilibrados ¿Cuál es la probabilidad un número mayor o igual a cinco (5) en el dado blanco o un número menor o igual a tres (3) en el dado azul? R= ST = 36 casos posibles B = {5, 6}
PB = 2/36 = 1/18 = 5,55% A = {1, 2, 3} PA = 3/36 = 8,33%
Ejercicio 15: se lanzan juntas dos (2) monedas y un dado perfecto ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas monedas resulte cara y en el dado se obtengan un número menor que tres (3)? R= 1 dado 2 monedas S=6x2x2 S = 24 A = {CC1, CC2) PA = 2/24 = 1/12
Ejercicio 16: se lanzan una moneda y un dado equilibrados ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda o un tres (3) en el dado? R= 1 moneda 1 dado PM = 1/2 = 0,5 = 50% PD = 1/6 = 0,1666 = 16,66% P (M υ D) = 0,5 + 0,1666 =66,66%
Ejercicio 17: dada la siguiente grafica.
¿Determine la probabilidad de obtener A o B? R= P (A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = PA + PB - P (A υ B) PA = P(A ∩ B) + P (A υ B) – PB
Ejercicio 18: NO SE VE BIEN LA GUÍA DE EJERCICIOS “FALTAN DATOS”. Ejercicio 19: una fabrica distribuye su producción equitativamente entre dos (2) maquinas (I y II). La maquina I produce 5% de artículos defectuosos y la maquina II produce un 3% de artículos defectuosos ¿Determinar la probabilidad de que al extraer un artículo de la producción de un día este articulo sea defectuoso? R= Maquina I = 5% produce artículos defectuosos. Maquina II = 3% produce artículos defectuosos. PDEFEC = (0,5 x 0,05) + (0,03 x 0,5) = 0,025 + 0,015 = 0,04 = 4%
Ejercicio 20: basándonos en el problema anterior (19). Si al extraer un artículo se tiene como premisa que este es defectuoso. (Dado por hecho que este es defectuoso), ¿Cuál es la probabilidad que este haya sido producido por la maquina II? R= PB = 0,015 / (0,025 + 0,015) = 0,015/0,04 = 37,5%
Ejercicio 21: dos candidatos a los consejos de administración A y B: compiten por el control de una corporación. Las probabilidades de estos dos (2) candidatos de ganar son respectivamente: 0,70 y 0,30. Si gana A la probabilidad de introducir un nuevo producto es 0,80 y si gana B la correspondiente probabilidad es 0,40. Demuestre que antes de las elecciones la probabilidad de que sea introducido el nuevo producto es 0,68. R= PGA = 0,7
PNA = 0,8
PGB = 0,3
PNB = 0,4
PNA = (PGA x PNA) + (PGB x PNB) PNA = (0,7 x 0,8) + (0,3 x 0,4) PNA = 0,68
Ejercicio 22: NO SE VE BIEN LA GUÍA DE EJERCICIOS.
Ejercicio 23: la producción diaria de una maquina que produce una pieza muy complicada genera las siguientes probabilidades para el numero de piezas producidas donde P(1)= 0,10 ; P(2)= 0,30 y P(3)= 0,60. Además las probabilidades de producir piezas defectuosas son igual a 0,03. Las piezas defectuosas aparecen independientes. Verifique que la probabilidad de no obtener piezas defectuosas en un día es aproximadamente 0,93. R= P (1) = 0,10
P (3) = 0,60
P (2) = 0,30
PD = 0.03
PD = (0,1 x 0,03) + (0,3 x 0,03) + (0,6 x 0,03) PD = 0,07 PND= 1 – 0,07 = 0,93
Ejercicio 24: la urna A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas y la B contiene 2 bolitas blancas y 5 rojas si se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna:
R=
a)
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita blanca?
b)
Dado que la bolita resulto ser blanca ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la urna A? A = 4 Bolitas Blancas Y 3 Rojas B = 2 Bolitas Blancas Y 5 Rojas PAB = 4/7 = 0,57
PBB = 2/7 = 0,29
PAR = 3/7 = 0,43
PBR = 5/7 = 0,71
PB = (0,57 x 0,43) + (0,29 x 0,71) = 0,24 + 0,21 = 0,45 = 45% PBA = 0,24 / 0,45 = 0,533 = 53,3 %
Ejercicio 25: en una institución universitaria del estado Zulia el 20% de los estudiantes son de postgrado, mientras que el 80% son de pregrado. La probabilidad de que un estudiante de postgrado sea casado es de 0,50 mientras que para uno de pregrado es 0,10 si se elige un estudiante al azar de la institución universitaria.
R=
a)
¿Cuál es la probabilidad de que sea casado?
b)
Dado que el estudiante elegido es casado ¿Cuál es la probabilidad de que sea de postgrado? 0,2 Postgrado →
0,5 casados
0,8 Pregrado
0,1 Casados
→
a) PC = (0,2 x 0,5) + (0,8 x 0,1) = 0,1 + 0,08 = 0,18 b) PCPOST = ((0,2 x 0,5) / (0,2 x 0,5) + (0,8 x 0,1)) = 0,1 / 0,18
PCPOST = 0,5555 = 55,55%
Ejercicio 26: los siguientes datos nos muestran el promedio de vida comercial de vendedores al por mayor en una ciudad metropolitana:
% de vendedores (mayoristas) 00 - 05 65 05 - 10 16 10 - 15 09 15 - 25 05 25 en adelante 05 Total 100 Durante el periodo estudiado se desea conocer: Promedio de vida
a) ¿Cuál es la probabilidad de que alguien que se inicie en esta actividad quiebre a los 10 años? b) ¿Cuál es la probabilidad de que continúe al menos 25 años? c) ¿Cuántos años tendría que sobrevivir un vendedor para ubicarse en el 10% de los sobrevivientes mayores o más viejos? R= a) P1 = 9/100 = 0,09 = 9% b) P2 = 25/100 = 0,25 = 25 % c) P1 + P2 = 0,09 + 0,25 = 0,34 = 34
Ejercicio 27: en cierta área de ciudad Ojeda el 20% de las casas tienen televisores y el 40% tienen lavadoras automáticas. Si se selecciona una casa al azar. Cree usted que sea lógico calcular la probabilidad de obtener una casa que tenga televisor y lavadora automática. A través de: a)
Multiplicación de 0,20 x 0,40.
b)
Suma de 0,20 y 0,40. Razone su respuesta.
R= 20% Televisor 40% lavadoras PTL = 0,20 x 0,40 = 0,08 = 8% → condiciones.
ya que hay incluimos las dos
Ejercicio 28: tres comerciantes compiten por las ventas entre ellos (A; B Y C) de manera frecuente en las épocas productivas del año. Habiéndose obtenido los respectivos porcentajes de ventas que a continuación se copian. 60%, 30% y 10%. Se desea conocer ¿en la próxima competencia cual es el espacio? R= PA = 0,6 PB = 0,3 PC = 0,1
PT = 0,6 x 0,3 x 0,1 = 0,018 PT = 1,8%
Ejemplo 29: una caja contiene 100 empaques, de los cuales 10 contienen defectos tipo A y 5 tienen defectos tipo B, 2 contienen defectos A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un empaque de la caja, este tenga defecto tipo B, suponiendo que tienen defectos tipo A? R= PA = 10/100 = 0,1 PB = 5/100 = 0,05 PB y A = 2/100 = 0,02
PB = 0,1 x 0,05 x 0,02 = 0,0001 PB = 0,01%
Ejemplo 30: el gerente general de una cadena de supermercados, estima la proporción de sus establecimientos que alcanzaran la meta de una venta anual equivalente a los 100 millones de bolívares anuales de la siguiente manera: Proporción de establecimientos
Probabilidad de cada establecimiento dada su proporción
I
0,60
0,20
II
0,70
0,50
?
0,30
III
100% Luego si se selecciona al azar 2 establecimientos: a) ¿Cuál es la probabilidad que ambos alcancen la meta estimada? b) Dado que ambos alcanzaron la meta estimada ¿Cuál es la probabilidad de que el 80% de los negocios hayan vendido 100 millones de bolívares? R= a) PI y II = (0,60 x 0,20) + (0,70 x 0,50) + (0,20 x 0,30)
PI y II = 0,12 + 0,35 + 0,06 = 0,53 b) P = 0,53 / 0,8 = 0,6625 = 66,25%
Ejemplo 31: NO SE VE BIEN LA GUÍA DE EJERCICIOS.
