Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
1
2
3
4
5
6
7
2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
Hallar:
1
2
3
4
3 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1 La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda. E = {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN}
1 La primera bola no se devuelve E = { BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV}
4 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1 Sea roja.
2 Sea verde.
3 Sea amarilla. 3 Sea amarilla.
4 No sea roja.
5 No sea amarilla.
5 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
1 Con reemplazamiento.
2 Sin reemplazamiento.
6 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?
7 En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
1 Sea hombre.
2 Sea mujer morena.
3 Sea hombre o mujer.
8 Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:
1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
9 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1 La probabilidad de que salga el 7.
2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
10 Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
1 Salga 6 en todos.
2 Los puntos obtenidos sumen 7.
11 Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
12 Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1 Un número par.
2 Un múltiplo de tres.
3 Mayor que cuatro.
Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:
1 Dos caras.
2 Dos cruces.
3 Una cara y una cruz.
14 En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche:
1 Si se saca una papeleta.
2 Si se extraen dos papeletas.
3 Si se extraen tres papeletas.
15 Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de
suspender un
examen.
La probabilidad
de
que
suspendan
el
examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.
16 Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
17 Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres, la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
18 La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:
1 De que ambos vivan 20 años.
2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.
3 De que ambos mueran antes de los 20 años.
http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/indice.htm http://profe-alexz.blogspot.com/2012/01/ejercicios-de-probabilidadesresueltos.html
PROBLEMAS RESUELTOS de PROBABILIDAD
1. Lanzamos un dado "cargado" 1 000 veces. Obtenemos f (1) = 117, f (2) = 302, f(3) = 38, f (4) = 234, f (5) = 196, f (6) = 113. Estima las probabilidades de las distintas caras. ¿Cuáles son las probabilidades de los sucesos PAR, MENOR QUE 6, {1, 2}?
P(1)=117/1000= 0,117
P(2)=0,302
P(3)=0,038
P(4)=0,234
P(5)=0,196
P(6)=0,113
P(par)=0,302+0,234+0,113= 0,649
P(menor que 6)= 1 - P(6) = 1 - 0,113 = 0,887 P({1,2})=0,117+0,302
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 12 al multiplicar los resultados de dos dados correctos?
1 2
3
4
5
6
1
1 2
3
4
5
6
2
2 4
6
8 10 12
3
3 6
9 12 15 18
4
4 8 12 16 20 24
5
5 10 15 20 25 30
6
6 12 18 24 30 36
P({12})= 4/36 = 1/9
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados correctos la diferencia de sus resultados sea 1?
1 2
3
4
5
6
1
0 1
2
3
4
5
2
1 0
1
2
3
4
3
2 1
0
1
2
3
4
3 2
1
0
1
2
5
4 3
2
1
0
1
6
5 4
3
2
1
0
P({1})= 10/36 = 5/18
4. Calcula la probabilidad de obtener tres CUATROS al lanzar tres dados.
5. Calcula la probabilidad de no obtener NINGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (¿Cuál es la probabilidad de NO SEIS? Repite cuatro veces).
6. Calcula la probabilidad de obtener ALGÚN SEIS al lanzar cuatro dados. (ALGÚN SEIS es el suceso contrario de NINGÚN SEIS.)
1 - P [NINGÚN 6] = 1 - 0,48 = 0,52
7. Vas a lanzar 5 monedas. Halla la probabilidad de:
a) Obtener b) Obtener alguna cara.
5
cruces.
a) P[5 cruces] = 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 = 1/32 = 0,03125 b) P[alguna cara] = 1 - P[ninguna cara] = 1 - P[5 cruces] = 1 - 1/32 = 31/32 = 0,96875
8. Tenemos un dado y dos urnas. La urna I contiene 1 bola verde, 3 bolas rojas y 6 bolas amarillas; y la urna II contiene 2 bolas verdes, 6 bolas rojas y 2 bolas amarillas. Lanzamos el dado: si sale 1 ó 2, acudimos a la urna I; si sale 3, 4, 5 ó 6, acudimos a la urna II. Extraemos una bola de la urna correspondiente. a) Completa las probabilidades en el diagrama en árbol. b) Halla: P[{3,4,5,6} y Roja], P[Verde/1], P[Roja/5] y P[{2} y Verde]
b) P[{3,4,5,6} y Roja]= (4/6) · (6/10) = 24/60 = 2/5 = 0,4 P[Verde/1] = 1/10 = 0,1 P[Roja/5] = 6/10 = 0,6 P[{2} y Verde] = (1/6) · (1/10) = 1/60
9. Tenemos dos urnas con las composiciones abajo indicadas. La experiencia consiste en extraer una bola de I, introducirla en II, remover y extraer, finalmente, una bola de II.
Calcular la probabilidad de que la segunda bola extraída sea: a) Roja. b) Verde. c) Azul.
a) P(Roja) = 3/30 + 4/30 + 1/30 = 8/30 = 0,2667 b) P(Verde) = 6/30 + 2/30 + 1/30 = 9/30 = 0,3 c) P(Azul) = 6/30 + 4/30 + 3/30 = 13/30 =0,4333
10. Tenemos dos urnas con estas composiciones:
Extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? ¿Y la probabilidad de que sean de distinto color?
P[mismo color] = (6/12) · (5/18) + (4/12) · (6/18) + (2/12) · (7/18) = 68/216 = 17/54 P[distinto color] = 1 - P[mismo color] = 1 - (17/54) = 37/54 http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/testtodo.htm
11.5 Problemas resueltos probabilidad Página web con conceptos e ideas de probabilidad. Problemas resueltos probabilidad.
Probabilidad Test 1) Si A y B son eventos independientes con probabilidades P(A) = 0.5 y P(B) = 0.2, entonces
0.6 0.3 0.4 0.7
es:
2) Sofía tiene 5 blusas de color X, 4 de color Y; 3 pantalones de color X, 4 de color Y y 6 de color Z. Si utiliza dos prendas para vestir (blusa y pantalón), ¿cuántas formas tiene para vestir de diferentes colores?
54 86 74 62
3) Del problema anterior, ¿qué probabilidad tiene Sofía de que las prendas elegidas sean del mismo color?
0.3333 0.2650 0.6882 0.5470
4) Sea el experimento: elegir 3 esferas de una urna que contiene 4 esferas rojas, 5 blancas y 3 azules, y sean los eventos: A: que todas sean del mismo color y B: que todas sean de diferente color. Entonces los eventos A y B son:
complementarios y mutuamente excluyentes complementarios y no mutuamente excluyentes no complementarios y mutuamente excluyentes no complementarios y no mutuamente excluyentes
5) La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4, y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3; pero, si su esposo
vive, esta probabilidad es 1/2. Entonces la probabilidad de que al menos uno esté vivo dentro de diez años corresponde a:
1/2 7/12 5/12 11/24
6) En cierta facultad el 25% de los varones y el 10% de las damas son estudiantes de matemáticas. Las mujeres constituyen el 60% del número de hombres. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de los que estudian matemáticas, determine la probabilidad de que sea mujer.
0.625 0.1563 0.375 0.1935
7) Una caja tiene 6 canicas rojas y 4 azules, se extraen 4 canicas, una por una sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro canicas extraídas sean: roja, azul, roja, azul?
3/7 36/625 1/360 1/14
8) En un salón de fiestas hay 400 personas, si se les encuesta acerca de si fuman o no, ¿cuál es el espacio muestra que describe a los fumadores?
{si, no} {fuma, no fuma} {0, 1, 2, ...,400} {0, 1}
9)La probabilidad de que un día dado del mes esté lluvioso o esté nublado es 0.6. Si la probabilidad de que un día de ese mes llueva es de 0.3 y la probabilidad de que esté nublado es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que un día del mes llueva y esté nublado?
0.1 0.01 0.7 0.2
10) Si X es una variable aleatoria continua cuya función de probabilidad es f(X) = X^2 /3. Determine el máximo valor que puede tomar X si su valor mínimo es de -1.
infinito 0 1 2
11) Si en un lote de tubos de cobre de los cuales 10 está bien, 4 tienen fallas menores y 2 tienen defectos graves, se toma una muestra de 2 tubos, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más uno sea bueno?
3/8 1/10
5/8 7/8
12) Supóngase que usted compra un pequeño hotel de playa. En determinada operación de fin de semana, la probabilidad de que obtenga una ganancia si el clima es "favorable" es de 3/4. Si el clima es "desfavorable", esa probabilidad es 1/8. Supóngase también, de acuerdo a los pronósticos, que la probabilidad de que el clima sea "favorable" es de 2/5. Si el lunes Ud. le comunica a un amigo que obtuvo ganancia, ¿Cuál es la probabilidad de que el clima haya sido "favorable" ese fin de semana?
2/5 7/8 3/10 4/5
13) Se carga cierta moneda de manera que caiga águila sea cuatro veces mayor que la de caer sol. Si se lanza al aire esta moneda en tres ocasiones, ¿cuál es la probabilidad de que caigan todas águila?
64/125 27/64 1/8 1/125
14) Un ingeniero tiene un proyecto de diseño industrial. La probabilidad de que la compañía A acepte el proyecto es de 1/3 y de que la compañía B lo haga es de 1/2. Si el proyecto se acepta por la compañía A, existe un 80% de posibilidades de recibir todo el presupuesto solicitado; si lo acepta la compañía B, hay un 90 % de posibilidad para recibir el total del monto solicitado; de otro modo, el ingeniero tiene un 50% de probabilidad de recibir el total solicitado para su proyecto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir todo el presupuesto solicitado?
0.2833 0.7167 0.8000 0.2000
15) En referencia al problema anterior, si se autorizó el total de presupuesto solicitado ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya aceptado la compañía B?
0.5625 0.5000 0.4500 0.7777
16) En un estanque acuícola se examinan los caracteres sexuales externos de una especie de pez para determinar si es macho ó hembra. Si se sabe que estas categorías sexuales se presentan en la misma proporción y se escogen aleatoriamente uno a la vez, ¿Cuál es la probabilidad de que no se tengan que examinar más de 5 peces para encontrar un macho?
0.9875 0.5555 0.0313 0.1112
17) Respecto al problema anterior, si se colectan 10 organismos del estanque, ¿Qué probabilidad hay de que menos de 4 sean hembras?
0.1719 0.1009
0.8765 0.3343
18) Se quiere instalar un laboratorio de cómputo para lo cual se ha planeado la adquisición de 12 computadoras. Estas deben de adquirirse antes del mes de diciembre ya que el precio actual unitario es de 13,000.00 pesos y si se compran después es seguro que su precio aumente a 20,000.00 cada una. La probabilidad de compra antes de diciembre es de 0.6. ¿Cuál es el precio esperado de las 12 computadoras?
379,200 189,600 199,000 15,800
19) En una cierta facultad universitaria a una muestra de 50 estudiantes se le pregunta su opinión acerca de la aplicación de los exámenes parciales uniformes (E.P.U.'s) y se reporta que 30 están a favor y 20 en contra. Si se selecciona al azar un comité de 10 estudiantes de la muestra, ¿cuál sería la probabilidad de obtener más de 6 respuestas favorables por los miembros del comité?
0.0192 0.0365 0.6043 0.3650
20) En una cierta población se ha visto que en promedio ocurre un accidente automovilístico fatal por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en una semana ocurran más de 10 accidentes fatales?
0.2475 0.7532 0.9015 0.0929
21) El 30% de los pacientes que asisten con el Dr. Mata Lozano padece otitis media. ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo paciente que se presenta con el citado médico sea el segundo que presente otitis media?
0.2263 0.0741 0.2964 0.0100
22) La probabilidad de encontrar una persona que padezca cirrosis hepática en el bajío mexicano es del 40%. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 380 y 452 enfermos cirróticos, inclusive, para una muestra aleatoria de 1000 personas del bajío?
0.9634 0.8414 0.9013 0.9063
23) En una industria productora de látex existen 3 procesos para la manufactura de guantes. Con el primero se produce el 35%, mientras que con el segundo el 25% y con el último proceso el restante. Si se seleccionan 10 piezas para su inspección, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 2 piezas hechas por el proceso # 1, 4 por el proceso # 2 y el resto por el # 3?
0.0386 0.2035 0.6050 0.4213 24) La probabilidad de encontrar una persona que padezca cirrosis hepática en el bajío mexicano es del 40%. ¿Cuál es la probabilidad de que el décimo segundo paciente que visita al médico sea el primero que padece cirrosis?
0.0015 0.0932 1.24x10-6 4.54x10-5
25) En una pista de carreras se sabe que la probabilidad de que gane un corredor A con respecto a B es de 3 a 1 en favor de A, B está en desventaja 2 a 7 de que gane C. Defina el espacio muestra de la carrera.
S = {A , B , C} S = {A , A , A , B , B , B , B , B , B , B , C , C} S = {AAA , BB , CCCCCCC} S = {AAAA , BBBBBBB , CCC}
26) En relación con el problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que gane A?
7/17 2/5
2/15 12/15
3 10 12 6
28) ¿De cuántas formas se pueden repartir al azar ocho tipos de fertilizantes en tres tipos de cultivos, A, B y C, si dos fertilizantes son para dos parcelas del cultivo A, cinco del B y 1 del C?
10 168 34720 48
29) Se van a repartir 7 estudiantes, de los cuales 4 son mujeres y 3 son hombres, en equipos de 2. ¿De cuántas formas se pueden formar los equipos si no hay diferencia entre los dos?
12 21 42 15
30) Se van a repartir 7 estudiantes en equipos de 2. ¿De cuántas formas se pueden formar los equipos si uno es el jefe del otro?
12 15 21 42
31) Una empresa tiene dos contratos de construcción que se han de asignar a una o más de tres firmas que concursan. Una firma puede recibir ambos contratos. Si todos los resultados son igualmente posibles, calcule la probabilidad de que una firma específica, obtenga por lo menos un contrato.
4/9 1/3 5/9 1/2
32) Para los voluntarios que acuden al Banco de Sangre, 3 de cada 5 tiene sangre tipo O+, 2 de cada 125 tiene sangre tipo O-, 1 de cada 5 tiene tipo A+, y 1 de cada 200 tiene tipo A-. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que llegue mañana a donar sangre sea de otro tipo?
18.7% 15% 61.3% 20%
33) Para los voluntarios que acuden al Banco de Sangre, 3 de cada 5 tiene sangre tipo O+, 2 de cada 125 tiene sangre tipo O-, 1 de cada 5 tiene tipo A+, y 1 de cada 200 tiene tipo A-. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona que llegue mañana a donar sangre sea tipos A+ u O+?
63% 80% 20.5% 75%
34) Se sabe que e 40% de los clientes de productos químicos compran en el laboratorio A, el 50% en el laboratorio B, 10% compran en ambos. Calcule las probabilidades de que compren sólo en A.
40% 80% 50% 30%
35) Se sabe que e 40% de los clientes de productos químicos compran en el laboratorio A, el 50% en el laboratorio B, 10% compran en ambos. Calcule las probabilidades de que compren en al menos uno de los dos laboratorios.
80% 70% 90% 50%
36) De cien estudiantes que presentaron el examen de diagnóstico, cuarenta eran hombres y sesenta pasaron el examen porque alcanzaron el nivel predeterminado. La clasificación de hombres y mujeres fue la siguiente: Hombres (H) Mujeres (M) Pasaron (P)
24
36
No Pasaron (N)
16
24
Si se selecciona al azar uno de los estudiantes que presentó el examen, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer dado que no pasó el examen?
24 40% 45% 60%
37) De cien estudiantes que presentaron el examen de diagnóstico, cuarenta eran hombres y sesenta pasaron el examen porque alcanzaron el nivel predeterminado. La clasificación de hombres y mujeres fue la siguiente: Hombres (H) Mujeres (M) Pasaron (P)
24
36
No Pasaron (N)
16
24
¿Son independientes los eventos P y H?
No, porque la probabilidad de la unión de P y H es diferente de las probabilidades de P y de H Sí, porque la probabilidad de la intersección de P y H es igual a la suma de las probabilidades de P y de H No, porque la probabilidad de la intersección de P y H es igual al producto de las probabilidades de P y de H No, porque la probabilidad de la intersección de P y H es diferente del producto de las probabilidades de P y de H
38) Se lanza una moneda cuatro veces y se registra el resultado de cada una de ellas. Sea B el evento en el que salen dos caras y dos cruces. ¿Cuál es la probabilidad de B?
0.25
0.75 0.375 0.825
39) Supóngase que la probabilidad de estar inoculado contra el catarro durante una epidemia es 0.4. La experiencia ha demostrado que un suero tiene 80% de éxito en la prevención del catarro en un apersona inoculada con él, si la persona se expone al virus. Alguien que no esté inoculada se enfrenta a una probabilidad de 0.90 de contagiarse de la enfermedad, si se expone. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estado inoculada si se contagió?
0.62 0.129 0.435 0.249
40) Se lanza un dado tres veces. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale impar (non). Entonces la variable aleatoria X toma los valores:
{1, 3, 5} {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} {0, 1, 2, 3} {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 17}
41) Se lanza un dado tres veces. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale impar (non). Entonces la función de probabilidad de X es:
f(X)=X/216
f(X)=1/8 para X = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 f(0)=0.125, f(1)=0.375, f(2)=0.375, f(3)=0.125 f(1)=0.25, f(2)=0.75, f(3)=0.125
42) Se lanza un dado tres veces. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale impar (non). Entonces laprobabilidad de X = 3 es:
0.25 0.875 0.375 0.125
43) La variable aleatoria X sólo puede tomar los valores 0, +-1, +-2, y se sabe que P(-1=2)=P(X=1)+P(X=-1). Entonces la función de probabilidad de X es:
f(X)={0.1, 0.5, 0.4}para X={0, 1, 2} f(X)={0.1, 0.2, 0.1, 0.2, 0.4} para X={-2, -1, 0, 1, 2} f(X)={0.1, 0.2, 0.5, 0.2, 0.4} para X={-2, -1, 0, 1, 2} f(X)={0.1, 0.5, 0.3} para X={-2, -1, 0}
44)La variable aleatoria X sólo puede tomar los valores 0, +-1, +-2, y se sabe que P(-1=2)=P(X=1)+P(X=-1). Entonces la esperanza de X, E[X] es:
0.8 2.04
0.6 0.5
45) La variable aleatoria X sólo puede tomar los valores 0, +-1, +-2, y se sabe que P(-1=2)=P(X=1)+P(X=-1). Entonces la varianza de X, V[X] es:
0.6 1.4283 2.04 2.4
46) La variable aleatoria X sólo puede tomar los valores 0, +-1, +-2, y se sabe que P(-1=2)=P(X=1)+P(X=-1). Entonces la desviación estándar de X es:
1.4283 2.04 2.4 0.6
