EJERCICIOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de que se tire un cubo numerado y el resultado sea 3 o 4? P(3)= 1/6 P(4)= 1/6 P(3 ó 4)= 1/6+1/6=2/6=1/3= 0.3333
La probabilidad es del 33.33% 2. ¿Cuál es la probabilidad de que se lance una piedra y caiga en el primer cuadro de un tablero de 8 cuadros? P=1/8= .125
La probabilidad es del 12.5% 3. ¿Cuál es la probabilidad de escoger aleatoriamente a una persona vestida de rojo de un grupo de 5 personas que visten de rojo y 4 personas que visten de azul? P(rojo)=5/9= 0.5555
La probabilidad de que sea rojo es del 55.55% 4. ¿Cuál es la probabilidad de escoger una pelota de tenis verde de una bolsa que contiene 4 pelotas verdes, 7 amarillas y 5 blancas? P(verde)= 4/16= 0.25
La probabilidad de que sea verde es del 25% 5. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un mes al azar y que comience con co n la letra A? P(empiece con A)= 2/12= 0.1666
La probabilidad es del 16.66% 6. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un número de un dígito positivo par al azar? P(positivo de un dígito)= 4/9= 0.4444
La probabilidad es del 44.44% 7. Estos números se han escrito separadamente en tarjetas y los han puesto juntos en un sombrero: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Una persona saca un número al azar sin mirar dentro del sombrero. Calcula la probabilidad para cada inciso. a. P(1) P(1)=1/14 =0.0714
La probabilidad de que salga 1 es del 7.14% b. P(3 o 10) P(3 ó 10)=2/14= 0.4285
La probabilidad de que salga 3 ó 10 es del 42.85 c.
P(no 5) P(no-5)= 100-21.42%
La probabilidad de que salga cualquier número excepto 5 es del 78.58% Se sabe porque se calcula la probabilidad de que salga 5: P(5)=3/14= 0.2142 O sea del 21.42%
Al 100 por ciento se le resta como se indicó y sale el resultado: P(no-5)= 100-21.42% d. P(6) P(6)=2/14=0.4585
La probabilidad es del 42.85% 8. En una baraja de 52 naipes, hay 13 naipes de cada grupo: corazones, diamantes, espadas y clubes. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer naipe que se baraje sea una espada? P(espada)=13/52= 0.25
La probabilidad es del 25% 9. Si de un naipe bien barajado, de 40 cartas, se extrae una carta; cuál es la probabilidad de obtener: a. Un caballo o un rey P(caballo o rey)= 8/40=0.2
La probabilidad es del 20% b. Una sota de copas o un rey. P(sota o rey)= 5/40=0.125
La probabilidad es del 12.5% c.
Una figura o copas. P(figura o copas)= 22/40 - 3/40= 0.475
Los eventos no son mutuamente excluyentes. La probabilidad es del 47.5% d. Oros o un seis. =14/40 – 1/40 = 0.325
Los eventos no son mutuamente excluyentes. La probabilidad es del 32.5% e. Seis de espadas o figura. P= 13/40=0.325
La probabilidad es del 32.5% f.
Un AS o figura. P=16/40 = 0.4
La probabilidad es del 40% 10. Se tiene una urna con 20 bolas de plástico distribuidas en los siguientes colores: 5 amarillas, 8 negras y 7 rojas. Extraiga una bola, teniendo el cuidado de revolverlas antes de extraerla. Cuál es la probabilidad de que la bola seleccionada… a. Sea negra. P(negra)=8/20= 0.4
La probabilidad es del 40% b. No sea amarilla. P(amarilla)= 5/20 = 0.25 La probabilidad de que sea amarilla es del 25% Le restamos al 100% el 25 de las amarillas para saber la probabilidad de que no sea amarilla:
P(no amarilla) =100% - 25% = 75%
c.
Sea roja P(roja)= 7/20 = 0.35
La probabilidad es del 35% d. Sea amarilla o negra. P(amarilla o negra)= 13/20= 0.65
La probabilidad es del 65% 11. Suponga que PA = 0,20 ; PB = 0,70 a. ¿A y B son mutuamente excluyentes?
No b. Hallar P(A O B) 0.2+0.7= .9
La probabilidad es del 90% c.
Hallar P(A y B) =0.9- 0.5= 0.4
La probabilidad es del 40% d. Encuentre P(A´) P(A´)= 100% - 20%
P(A´)= 80% 12. Supongamos una baraja de 52 cartas de la que debemos extraer una carta. Nos dan un premio si la carta extraída es un trébol o una K. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? P(trébol)= 13/52= 0.25 25% P(K)=4/52= 0.0769 P(trébol o K)= 13/52 + 4/52 - 1/52 La probabilidad de ganar es del 30.77% 13. Consideremos el lanzamiento de un dado. a. Usted gana si el resultado es impar o divisible por dos . ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se obtiene un resultado por o divisible por tres?
P(divisible por tres) = 3/6 = .5 La probabilidad es del 50% b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar si se obtiene un resultado par o divisible por tres? P= 4/6 0.6666
La probabilidad es del 66.66% 14. Se compraron 30 lápices de diferentes colores: 12 azules, 8 amarillo y 10 verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un lápiz de color: a. Azul P(azul)=12/30 = 0.4
La probabilidad es del 40% b. Azul o amarillo.
P(amarillo)= 8/30= 0.26.66 = 26.66
P(azul o amarillo)=40% + 26.66% La probabilidad es del 66.66% c.
Amarillo o verde. P(verde)= 10/30 = 0.3333 = 33.33%
P(verde o amarillo)= 26.66% + 33.33% La probabilidad es del 59.99% 15. A un cargo se presentan 16 candidatos de diferentes profesiones: 6 Economistas, 4 Administradores, 2 Contadores y 4 Ingenieros Industriales. ¿Cuál es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por un Economista o un Administrador? P(econ)= 6/16 = 0.375 P(econ) = 37.5% P(admin) = 4/16 = 0.25 P(admin) = 25%
P(econ o admin) = 37.5 + 25 La probabilidad es del 62.5%
EJERCICIOS 1. Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?. P(7) = 6/36= 0.1666 P(11) = 2/36 = 0.0555 P(Σ7 ó Σ11)= 16.66+5.55
La probabilidad es del 22.21% 2. Si las probabilidades de alguien que compra un auto para elegir un color entre Verde, Blanco, Rojo o Azul, son respectivamente 0.4, 0.15, 0.21, 0.23. Cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil que tenga uno de esos colores. Σ= .4+.15+.21+.23= .99
La sumatoria es del 99%
3. Las probabilidades de que un estudiante obtendrá una A, una B o una C en un curso son, respectivamente, 0.05, 0.14 y 0.47. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante reciba una calificación menor que C? P(A, B, C)= 0.05+0.14+0.47= 0.66
La probabilidad de que tenga una calificación menor a C es del 34% Porque a 100% le restas 66% = 34% 4. Si A representa las águilas y S los soles, los 16 posibles resultados de cuatro lanzamientos al aire de una moneda tienen las mismas probabilidad, ¿Cuáles son las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3 o 4 águilas en cuatro lanzamientos al aire de una moneda balanceada? P(0 Aguila)= 1/16 = 0.0625
P(0 aguila)= 6.25% P(1 aguila)= 4/16= 0.25
P(1 aguila)= 25%
P(2 aguilas)= 6/16 = 0.375
P(2 aguilas)= 37.5% P(3 aguilas)= 4/16 =0.25
P(3 aguilas)= 25% P(4 aguilas)= 1/16 = 0.0625
P(4 aguilas)= 6.25% 5. Dados P(K) = 0.45,P(L) = 0.27 y P(K L) = 0.13, trace un diagrama de Venn, determine las probabilidades asociadas con las diversas regiones y determine de este modo: a. P(K L’)
P(K L’)=0.45*0.73 P(K L’)=0.3285 P(K L’)=32.85% b. P(K’ L)
P(K’ L)=0.55*0.27 P(K’ L)=.1485 P(K’ L)=14.85%
c.
P(K L)
P(K L)=0.45-0.27
P(K
L)= 72%
d. P(K L’)
P(K L’)=0.45*0.73 P(K L’)=0.3285 P(K L’)=32.85% e. P(K’ L)
P(K’ L)= 55%+27% P(K’ L)=82%
f.
P(K’ L’)
P(K’ L’)= 0.55*0.73 P(K’ L’)=0.4015 P(K’ L’)= 40.15%
g.
P(K’ L’)
P(K’ L’)=55%+73% P(K’ L’)= 128% 6. Si cinco de los 15 camiones de reparto de una compañía no cumplen con estándares de emisión de gases tóxicos y cuatro de ellos se eligen al azar para hacer una inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que todos ellos cumplirán con las normas de emisión? P= (10/15)*(9/14)*(8/13)*(7/12) P= 5040/32 760 P= 0.1538
P= 15.38% 7. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas? P= (1/5)*(1/5)*(1/5)*(1/5) P= 0.0016
P= .16% 8. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones? P=(1/2)*(1/2)= ¼= 0.25
P=25%
9. Se lanzan un dado blanco y un dado negro. Encontrar la probabilidad de que la suma de sus caras sea 7 y que el número del dado negro sea mayor que el del dado blanco. P= 3/36 P=0.0833
P=8.33%
EJERCICIOS 1. P(6,3) P=720/6
P=120 2. 6! 720 3. P(5, 5) =120/1 =120 4. P(8, 4) =40 320/24 =1680 5. P(13, 5) =6227020800/40320 =154440 6. 8! =40 320 7. 0! =1 8. 5! =120 9. 2! =2 10. 9! =362880 11. P(15, 1) =1307674300000/87178291000 =15 12. P(10, 5) =3628800/120 =30240 13. ¿De cuántas maneras puedes seleccionar 5 perros de un grupo de 7 para entrar en 5 eventos diferentes en un concurso de perros?
N=7 R=5 =5040/2 =2520
14. Hay 12 niños preescolares esperando usar 4 piezas diferentes de equipo de patio de recreo. ¿De cuántas maneras puede distribuir la profesora el equipo para 4 alumnos? N=12 R=4 =479001600/40320 =11880 15. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer acomodando tres de las seis banderas de diferente color en un asta vertical? N=6 R=3 =720/6 =120 16. En cuantas formas puede un director de televisión programar cinco comerciales de patrocinadores durante los cinco cortes de tiempo asignados a comerciales durante la transmisión por televisión del primer cuarto de un juego de baloncesto? N=5 R=5 =120/1 =120 17. Si el grupo de teatro de una universidad tiene que elegir cuatro de nueve escenas cómicas de media hora para presentarse en una noche de 8:00 a 10:00, ¿En cuántas formas pueden acomodar su programa? N=9 R=4 =362880/120 =3024 18. En unas vacaciones, una persona desea visitar tres de los 22 parques históricos de la nación. Si es importante el orden de las visitas, ¿En c uántas formas puede esta persona planear el viaje?. N=22 R=3 =1124000700000000000000/121645100000000000 =9240 19. Si hay 12 automóviles en una carrera, ¿En cuántas formas pueden colocarse en primero, segundo y tercer sitios?. N=12 R=3 =479001600/362880 =1320
20. ¿De cuantas maneras puede una persona acomodar cuatro cuadros próximos entre sí en forma horizontal sobre una pared? N=4 R=4 =24/1 =24
Combinaciones
EJERCICIOS 1. C(5, 2) =120/(2*6) =10 2. C(12, 4) =479001600/(24*40320) =479001600/967680 =495 3. C(16, 3) =20922789888000/(6*6227020800) =20922789888000/37362124800 =560 4. C(8, 5) =40320/(120*6) =56 5. C(10, 6) =3628800/(720*24) =3628800/17280 =210 6. C(4, 2) =24/(2*2) =6 7. C(7, 4) =5040/(24*6) =5040/144 =35 8. C(11, 5) =39916800/(120*720)
=39916800/86400 =462 9. C(6, 3) =720/(6*6) =20 10. C(4, 4) 24/(24*1) =1 11. C(1, 1) =1/(1*1) =1 12. C(100, 1) =933262*10^152/(1*933262*10^150) =100
( )
13. Un mercado tiene 15 sabores de chicles. Nate compra tres sabores de chicle cada vez que visita el mercado. ¿Cuántas combinaciones diferentes de tres sabores de c hicle puede comprar Nate? N=15 R=3 =15!/[3!*(15-3)!] =1307674300000/(6*479001600) =1307674300000/2874009600 =455 14. El señor Begay tiene 8 insectos para que los estudien los alumnos. ¿Cuántos grupos diferentes de 3 insectos puede estudiar un alumno? N=8 R=3 =40320/(6*120) =40320/720 =56 15. Una tienda de alimentos de gourmet tiene 14 tipos de queso. ¿Calcule el número de formas en las que una persona puede comprar un kilogramo de cada uno de tres tipos de queso. N=14 R=3 87178291000/(6*39916800) =87178291000/239500800 =364 16. Calcule el número de formas en las que una cadena de hoteles puede seleccionar cuatro de 11 sitios para la construcción de nuevos hoteles. N=11 R=4 =39916800/(24*5040)
=39916800/120960 =330 17. Entre los 16 candidatos para ocupar cuatro puestos en el ayuntamiento de una ciudad, nueve son demócratas, cinco son republicanos y dos independientes. ¿En cuántas formas se puede elegir los cuatro candidatos del ayuntamiento de manera que a. Tres sean demócratas y uno republicano. DDDR DDRD DRDD RDDD
=4 formas b. Dos sean demócratas, uno sea republicano y uno independiente? DDRI DRDI DDIR DRID DIDR RDDI IDDR RDID
=8 formas 18. El poquer es un juego de cartas que se juega con una pila ordenada de 52 cartas en el que a cada jugador se le dan cinco cartas. ¿Cuántas manos de cinco cartas diferentes hay? N=52 R=5 =80658175*10^60/(120*30414093*10^57) =80658175*10^60/36496911*10^59 =22 19. A un estudiante se le pide informe sobre cinco de 12 libros que figuran en una lista de lecturas. Calcule el número de formas en las que puede seleccionar los cinco libros. N=12 R=5 =479001600/(120*5040) =479001600/604800 =792 20. Determine el número de formas en las que el ISR pude seleccionar cinco de 33 devoluciones de impuestos para hacer una revisión contable especial. N=33 R=5 =86833176*10^29/(120*30488834*10^22) =86833176*10^29/36586601*10^24 =237336 21. Determina si cada situación es una permutación o una combinación. a. Escoger 3 clips de papel de una caja de 100. COMBINAC N=100 R=3 C=933262*10^152/(6*961927*10^146) =933262*10^152/577156*10^147
=161700
b. Agarrar 5 pelotas de tenis de una cesta de 10. COMBINAC N=10 R=5 C=3628800/(120*120) =3628800/14400
=252 c.
Seis pájaros posados en un alambre telefónico. PERMUTAC N=6 R=6 P=720/1
P=720 d. Escoger 4 marcadores de colores de una caja de 8 diferentes colores. COMBINAC N=8 R=4 C=40320/(24*24) =40320/576
=70 e. Cinco bicicletas estacionadas en un puesto de 10 bicicletas. PERMUTAC N=10 R=5 P=3628800/120
=30240
5.7 Árbol de decisiones.
EJERCICIOS 1. Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan: Tres caras. P=(1/2)*(1/2)*(1/2)=0.125
P=12.5% 2. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida? P=(4/10)*(1/6)*(3/8) P=0.025
P=2.5%
