UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA AMBIENTAL
FÍSICA I INFORME DE LABORATORIO Nº1: MEDICIÓN INTEGRANTES:
CASQUINO TIPULA, IVAN FEIJOO VILDOSO, PIERO FEIJOO VILDOSO, RENATO
PROFESOR:
ALEX CABALLERO
- 2012 -
LABORATORIO 1. MEDICIÓN OBJETIVOS
Conocer las definiciones relativas al error experimental.
Determinar el error en el proceso experimental.
EXPERIMENTO 1. MEDICIÓN Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE) I.
OBJETIVOS Determinar la curva de distribución normal en un proceso de medición, correspondiente al número de frijoles que caben en un puñado normal.
II.
Determinar la incertidumbre en este proceso experimental. FUNDAMENTO TEÓRICO
Incertidumbre Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida (temperatura, presión, humedad, etc.) sino también por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador. Cada medida tiene asociada una incertidumbre. Esto determina en la medición un rango o cota en la cual no se puede asegurar donde está el valor real. Un ejemplo simple es aquel en el que se mide con una cinta métrica. La medida buscada puede encontrarse justo en medio de dos de las líneas que me marcan los milímetros: ¿qué valor se acepta como válido? La Medida El concepto de medir está relacionado con la acción de comparar una determinada magnitud contra un "patrón" preestablecido que reúne determinadas características. Como es de esperarse, en todo proceso de comparación, existen diversos factores que escapan al control más riguroso (fluctuaciones estadísticas), lo cual provoca que en principio ninguna medición sea exactamente igual a la anterior.
Las mediciones consecutivas de una determinada magnitud, en principio pueden ser muy dispersas o muy parecidas, dependiendo del grado de reproducibilidad de la medición, lo cual a su vez depende de la calidad del instrumento usado para la medición y de la habilidad del experimentador. Precisión y Exactitud La precisión y exactitud son características propias de un instrumento de medición. Se entiende por exactitud de un instrumento de medición, al grado de aproximación de una medida dada por este instrumento comparada con el valor que se obtendría utilizando un instrumento patrón; es decir un instrumento muy exacto que da lecturas muy próximas a las "reales" (un instrumento patrón indica la medida "real"). Por su parte, la precisión de un instrumento, es la medida de la reproducibilidad de mediciones consecutivas. Es decir, un instrumento de baja precisión, indicará medidas muy dispersas de una misma magnitud, mientras que un instrumento muy preciso dará medidas muy similares.
III.
MATERIALES
IV.
K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
DATOS EXPERIMENTALES
NK Nk - 53.07 49 -4.07 46 -7.07 48 -5.07 56 2.93 48 -5.07 49 -4.07 57 3.93 50 -3.07 53 -0.07 46 -7.07 57 3.93 56 2.93 54 0.93 54 0.93 53 -0.07 53 -0.07 54 0.93 53 -0.07 55 1.93 59 5.93 52 -1.07 57 3.93 48 -5.07 51 -2.07 47 -6.07 52 -1.07 51 -2.07 56 2.93 57 3.93 61 7.93 49 -4.07 58 4.93 54 0.93 59 5.93 59 5.93
(NK -53.07)2 44 45 46 47 48 16.5649 49.9849 x 25.7049 x 8.5849 25.7049 x 16.5649 15.4449 9.4249 0.0049 49.9849 x 15.4449 8.5849 0.8649 0.8649 0.0049 0.0049 0.8649 0.0049 3.7249 35.1649 1.1449 15.4449 25.7049 x 4.2849 36.8449 x 1.1449 4.2849 8.5849 15.4449 62.8849 16.5649 24.3049 0.8649 35.1649 35.1649
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
51 54 54 53 55 62 50 55 56 52 53 52 52 49 58 54 58 51 48 58 56 52 52 55 48 55 57 52 44 51 55 51 55 57 52 55 53 53 49 51
-2.07 0.93 0.93 -0.07 1.93 8.93 -3.07 1.93 2.93 -1.07 -0.07 -1.07 -1.07 -4.07 4.93 0.93 4.93 -2.07 -5.07 4.93 2.93 -1.07 -1.07 1.93 -5.07 1.93 3.93 -1.07 -9.07 -2.07 1.93 -2.07 1.93 3.93 -1.07 1.93 -0.07 -0.07 -4.07 -2.07
4.2849 0.8649 0.8649 0.0049 3.7249 79.7449 9.4249 3.7249 8.5849 1.1449 0.0049 1.1449 1.1449 16.5649 24.3049 0.8649 24.3049 4.2849 25.7049 24.3049 8.5849 1.1449 1.1449 3.7249 25.7049 3.7249 15.4449 1.1449 82.2649 4.2849 3.7249 4.2849 3.7249 15.4449 1.1449 3.7249 0.0049 0.0049 16.5649 4.2849
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
53 47 50 51 55 56 54 50 50 53 57 60 53 52 54 49 51 54 52 52 56 54 52 51 52
-0.07 -6.07 -3.07 -2.07 1.93 2.93 0.93 -3.07 -3.07 -0.07 3.93 6.93 -0.07 -1.07 0.93 -4.07 -2.07 0.93 -1.07 -1.07 2.93 0.93 -1.07 -2.07 -1.07
0.0049 36.8449 9.4249 4.2849 3.7249 8.5849 0.8649 9.4249 9.4249 0.0049 15.4449 48.0249 0.0049 1.1449 0.8649 16.5649 4.2849 0.8649 1.1449 1.1449 8.5849 0.8649 1.1449 4.2849 1.1449
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1
m: 44 M: 62 ̅̅̅̅̅̅̅ : 53,07 ̅̅̅̅̅̅̅: 3,4561
0
2
2
5
6
x 5 10 14 11 11 9
7
7
4
3
1
1
1
V.
PREGUNTAS
1. En vez de medir puñados ¿podría medirse el número de frijoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.? Si se podría medir el número de frijoles en esos recipientes sin ningún problema. La variación de un conteo a otro será mínima porque estos recipientes tienen forma definida al contrario del cerrado de la mano. 2. Según Ud. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros? Se debe a la diferencia entre los tamaños de sus manos y también al cerrado del puño: algunos aprietan más, otros no tanto. Incluso a la sudoración, humedad, etc. 3. Después de realizar los experimentos ¿Qué ventaja le ve a la representación de
r, r+2> frente a la de
r, r+1>?
La ventaja de la representación de π[r, r+2) frente a la de π[r, r+1), sería la precisión en la medición de la probabilidad, ya que este posee un intervalo mayor. 4. Que sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes El conteo sería muy disparejo por ende la desviación estándar sería muy grande. Debido a ello se recomienda que los frijoles tengan un tamaño regular. 5. En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado ¿sería ventajoso colocar solo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles en un puñado contando los frijoles que quedan en el recipiente? Si solo se tienen 100 frijoles aparentemente sí, porque serian menos frijoles que contar, pero se tendría que hacer un ejercicio adicional al restar la cantidad en el recipiente, así que concluyo que no. 6. ¿Qué sucedería si en el caso anterior colocara solo, digamos 75 frijoles en el recipiente? En este caso si un puñado regular contiene 60 frijoles, lo que quedaría en el vaso serian en promedio 15 frijoles. Este ejercicio es más práctico por lo que
toma menos tiempo contar alrededor de 15 que 40 respecto a la pregunta anterior. 7. La parte de este experimento que exige más paciencia es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas. ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.? ¿Por qué? Definitivamente la alternativa b que nos dice que solo uno realice la extracción pero que los tres hagan el conteo del puñado, porque el puñado sería más uniforme de una persona respecto de tres. 8. Mencione tres posibles hechos que observarían si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados. La desviación estándar sería más pequeña, tomaría demasiado tiempo por lo que se tendría que hacer en varias sesiones, el cansancio se haría notorio en los conteos. 9. ¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones nk –
?
El promedio aritmético es 0.5 10. ¿Cuál cree usted es la razón para haber definido
̅̅̅̅̅̅̅ en vez de tomar
simplemente el promedio de las desviaciones? Para conocer si el puñado es regular o no. La desviación estándar es cuan disperso están las muestras de un promedio. 11. Después de realizar el experimento coja Ud. un puñado de frijoles ¿ qué puede Ud. afirmar sobre el número de frijoles contenido en tal puñado(antes de contar) Que será menor que 63 pero mayor que 48. 12. Si Ud. Considera necesario, compare los valores obtenidos por Ud. Para
̅̅̅̅̅̅̅
y para ̅̅̅, compare con los resultados obtenidos por sus compañeros ¿Qué conclusión importante puede Ud. Obtener de tal comparación? Que las variables son muy cercanas esto nos indica que se hizo un buen trabajo en laboratorio y los puños son regulares. 13. Mencione Ud. Alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez frijoles en el presente experimento.
La ventaja de los payares es que son más grandes que los frijoles por los tanto cabrán menos en un puñado y el conteo sería más rápido; sin embargo, la desviación estándar será muy grande debido que el conteo es muy pequeño. VI.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES El promedio que nos indica la cantidad de frijoles en un puño resultó aproximadamente 53.
El objetivo de laboratorio se cumplió con eficacia porque se aplicó correctamente el principio de incertidumbre.
La observación más evidente es la laboriosidad en el conteo.
Es necesario mantener el ritmo adecuado para no combatir el cansancio.
VII.
BIBLIOGRAFIA
Guía de laboratorio de física 2009 Medida e incertidumbre, Laboratorio de física Por Lucelly Reyes http://www.fisicanet.com.ar/fisica/mediciones/ap01_errores.php
EXPERIMENTO 2. PROPAGACIÓN DEL ERROR EXPERIMENTAL
I.
OBJETIVOS Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de milímetro.
Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagación de las incertidumbres.
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO
TRATAMIENTO DE ERRORES EXPERIMENTALES Medida y Error Todas las ciencias experimentales se basan en la obtención de información mediante la observación de fenómenos que ocurren en la naturaleza. Dicha información resultará incompleta a menos que se trate de una información cuantitativa. El asignar a una Magnitud, un número acompañado de una unidad que presta su significación al número, constituye lo que de ahora en adelante llamaremos una medida. El proceso de medida consistirá en comparar una magnitud con otra patrón tomada como unidad. El número x que resulta de un proceso de medida adolece siempre de una cierta imprecisión. Por este motivo, la especificación del valor de la medida deberá estar constituida por dicho número y otra cantidad
Δx que nos dé una idea de su
imperfección (imprecisión) y que llamaremos error de la medida. Los errores cometidos en las medidas son desconocidos, pero pueden estimarse mediante lo que conocemos como cálculo de errores. Especificación del error en las medidas directas Cuando medimos la longitud de una mesa con una cinta métrica, o la intensidad que pasa por la rama de un circuito con un amperímetro, o el valor de una resistencia con ayuda de un óhmmetro, etc., estamos realizando medidas directas de longitud, intensidad y resistencia respectivamente, puesto que el aparato de medida nos da de forma inmediata un valor de la magnitud física requerida en cada caso.
En general, el experimentador que realiza una medida directa x, asegura que el valor verdadero de la magnitud se encuentra en un entorno de probabilidad
Δx que
denomina error absoluto y escribe: valor verdadero = x ± Δx , lo que significa que el verdadero valor de la magnitud física medida debe encontrarse dentro del intervalo
(x - Δx ) < valor verdadero < (x + Δx ).
El error absoluto Δx tiene las siguientes propiedades:
Es siempre positivo (Δx > 0).
Posee las mismas dimensiones de la magnitud física x, y por tanto se mide en las mismas unidades.
Siempre debe cumplirse Δx << x, puesto que si la imprecisión supera a la propia medida, entonces lo único que podemos asegurar es que, en las condiciones experimentales dadas, somos incapaces de medir dicha magnitud (no tiene sentido dar un valor de corriente I= (5±100) mA, ¡esto supondría que incluso en ausencia total de intensidad real, con nuestro proceso de medida, estaríamos dando un valor de intensidad no nulo!).
Determinación del error absoluto en medidas directas El error absoluto asociado a las medidas directas tomadas en el laboratorio, es un error de tipo sistemático, procedente de la utilización de los aparatos de medida: escalas imperfectas, defectos internos, y en general mala calibración o utilización inadecuada del instrumento de medida. En un principio se pueden reducir los errores sistemáticos hasta los límites impuestos por las técnicas correspondientes, calibrando lo más exactamente posible los instrumentos y corrigiendo de manera adecuada las medidas afectadas de error. En este sentido, y supuesta una buena calibración de los equipos, distinguiremos los siguientes tipos de error sistemático que será preciso tener en cuenta en el laboratorio:
Error debido a la lectura en pantalla (aparatos digitales): Este error se debe a que la salida en pantalla de la medida se realiza con un número limitado de dígitos, lo cual supone que el aparato de medida debe realizar una aproximación en el último dígito. Por ejemplo: tenemos un amperímetro con una salida de tres dígitos. El valor real de la intensidad medida es 4,5632 A, pero el amperímetro señalará 4,56 A. Si el valor real fuese 4,5672 A, entonces marcaría 4,57 A. En estos casos, el valor del error cometido es de una unidad en el último dígito. En el ejemplo anterior: ±0,01 A.
Error debido a la lectura en escala: Si los aparatos de medida no son digitales, en general indicarán el valor de la magnitud física sobre una escala de lectura. Dicha escala poseerá una división "mínima" que se considerará como el error de lectura a tener en cuenta. Por ejemplo: tenemos un amperímetro que puede medir 4 A a fondo de escala (valor máximo de intensidad que se puede medir en dicha escala), y posee en total 8 subdivisiones iguales. El aparato será capaz de apreciar tan solo 5 décimas de amperio (4 A / 8 divisiones = 0,5 A/división). El valor real de la intensidad medida estará comprendido entre las señales correspondientes a 2,5 A y 3 A, por lo que la medida realizada la expresaremos como 2,75±0,25 A, lo cual supone que nos movemos en un intervalo de error de 0,5 A. Existe otro tipo de error sistemático que debe tenerse en cuenta en el laboratorio, es el error de precisión del aparato que viene especificado en sus características técnicas. Normalmente será un porcentaje del valor leído, pudiendo variar según la escala utilizada, la magnitud medida, etc... Por ejemplo: si un amperímetro tienen una precisión del 1 por ciento de la medida efectuada y en pantalla aparece el valor 4, 56 A, entonces el valor de la incertidumbre absoluta debido a la precisión será 0,0456 A, que correctamente escrito quedará ±0,05 A. En general, el error absoluto asociado a la medida directa realizada con un aparato será la suma del error de lectura más el error de precisión (¡los errores absolutos siempre se suman!). No obstante, en nuestro caso particular, el alumno no dispondrá en el laboratorio de las especificaciones técnicas de los aparatos de medida, razón por la cual no se tendrá en cuenta el error de precisión (que suele ser menor que el de lectura), y se considerará tan solo como error absoluto el error de lectura asociado a cada una de las medidas directas realizadas.
Error relativo El error absoluto en sí mismo no nos da todavía una idea clara de la bondad de la medición. Para ello se define el error relativo asociado a una medida x ± Δx como: error relativo = Δx/x, que en muchas ocasiones se expresa en tanto por ciento error relativo en % = (Δx/x)100 Este error relativo nos permite comparar medidas y ver cuál de ellas es más precisa. Por ejemplo: si medimos con una incertidumbre de ±0.01 cm una longitud de 1 cm, estamos cometiendo un error relativo del 1 %, mientras que si con la misma incertidumbre medimos una longitud de 1000 cm, estamos cometiendo un error relativo de tan solo el 0.001 %. Claramente la segunda medida es mejor que la primera, a pesar de que sus errores absolutos asociados son iguales. Al igual que el error absoluto, el error relativo posee sus características propias:
Es adimensional y siempre positivo.
Errores relativos superiores al 100% suponen que, en las condiciones experimentales en las que se esté llevando a cabo la experiencia, somos incapaces de medir dicha magnitud física.
III.
MATERIALES
Paralelepípedo de metal
Regla graduada en mm
Pie de rey
IV.
DATOS EXPERIMENTALES
largo a ancho b alto h A V a100 b100 h100 A100 V100
V. 1.
Con la regla
Con el pie de rey
33,5 ± 0,5 mm 31,3 ± 0,5 mm 11,1 ± 0,5 mm 3535,66 ± 151,8 11638,9 ± 883,9 33,5 ± 0,5 mm 31,3 ± 0,5 mm 1110 ± 50 mm 145953,1 ± 8764,8 1163890 ± 88400
34,0 ± 0,025 mm 31,9 ± 0,025 mm 11,9 ± 0,025 mm 3737,6 ± 3,89 12906,74 ± 46,72 34,0 ± 0,025 mm 31,9 ± 0,025 mm 1190 ± 2,5 mm 79505,6 ± 225,897 1290674 ± 4672
Porcentaje de incertidumbre REGLA VERNIER 1,49 % 1,59 % 4,5 % 4,29 % 7,595 % 1,49 % 1,59 % 4,5 % 6% 7,595%
0,0735 % 0,078% 0,21% 0,104 % 2,8 % 0,0735 % 0,078% 0,21% 0,28% 0,36%
PREGUNTAS ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿cuál es el procedimiento más apropiado? Una sola medición no es suficiente para determinar sus dimensiones. Lo más apropiado sería repetir las mediciones con un instrumento de mayor precisión y obtener la media aritmética para una mayor aproximación al valor real.
2. ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey? Un pie de rey ya que, por tener menor incertidumbre, es un instrumento más preciso. VI.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES Para realizar mediciones se debe tratar de trabajar con instrumentos de alta precisión.
El error con la regla es mucho mayor al error producido con el vernier, por ende, el error en el área y volumen es mayor en relación al que se genera con el vernier.
El porcentaje de incertidumbre obtenido con el vernier es mucho menor con respecto a la regla.
El vernier es un instrumento de mayor precisión que la regla.
VII.
BIBLIOGRAFIA http://www.google.com.pe/imagenes es.wikipedia.org/wiki/Nonio www.fisica.uson.mx/manuales/mecyfluidos/mecyflu-lab001.pdf
EXPERIMENTO 3. GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓN
I.
OBJETIVOS Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su período independiente de su amplitud angular θ. (θ ≤ 12°)
Determinar la relación entre el período y la longitud ℓ del péndulo.
Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO
PÉNDULO SIMPLE Un péndulo simple es un ente ideal constituido por una masa puntual suspendida de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento.
Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:
El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:
La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:
Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:
Periodo Se define como el tiempo que se demora en dar una oscilación completa. Para determinar el tiempo se utiliza la siguiente expresión T/N° de osc (tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).
El período de un péndulo es independiente de su amplitud (ángulo menor que 12°). Esto significa que si se tienen dos péndulos iguales (longitud y masa) pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es la misma.
El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.
AJUSTE DE LÍNEAS Y CURVAS POLINÓMICAS A PUNTOS Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado:
y = ax + b
Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos :
y = ax2 + bx + c
Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un 3
polinomio de tercer grado, obtenemos: y = ax
+ bx2 + cx + d
Que se ajustará a cuatro puntos. Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o /R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones. Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada. Quizás se prefiera el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra en lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta.
III.
MATERIALES
Papel milimetrado
IV.
DATOS EXPERIMENTALES
k
ℓk m
Tk1
Tk2
Tk3
Tk
Tk2
1
0,30
1,123
1,115
1,163
1,134
1,285
2
0,15
0,832
0,845
0,835
0,837
0,701
3
0,10
0,710
0,734
0,730
0,725
0,525
4
0,20
0,989
0,988
1,040
1,006
1,011
5
0,35
1,213
1,220
1,199
1,211
1,466
6
0,40
1,317
1,306
1,316
1,313
1,724
7
0,465
1,400
1,402
1,411
1,404
1,972
8
0,50
1,443
1,441
1,452
1,445
2,089
9
0,55
1,519
1,524
1,515
1,519
2,308
10
0,60
1,574
1,574
1,584
1,577
2,488
V.
CÁLCULOS Y RESULTADOS Cálculo de la incertidumbre Δf.
L = f(T) = aT2 + bT + c Con tres puntos de la función se puede calcular los coeficientes a, b, c. a = 0,242 b = 0,091 c = - 0,137 Luego: L = f(T) = 0,242T2 + 0,091T – 0,137
Calculando la incertidumbre resulta:
∑
{
ℓk 0,3 0,15 0,1 0,2 0,35 0,4 0,465 0,5 0,55 0,6
}
ℓk - f(Tk) 2 0,00051097 0,001705301 0,001920521 0,0000002929926 0,000479650209 0,0000001001735 0,0000078303261 0,000000041188 0,000092359057 0,0000696192
f(Tk) 0,277395 0,108705 0,056176 0,199459 0,328099 0,399683 0,467798 0,499797 0,559610 0,608344
√ 0,02187844635
Determinación de coeficientes
i
Xi
Yi
XiYi
Xi2
Xi2Yi
Xi3
Xi4
1
0,701
0,15
0,10515
0,4914
0,07337
0,3444
0,2415
2
0,525
0,1
0,0525
0,2756
0,0276
0,1447
0,0759
3
1,011
0,2
0,2022
1,0221
0,2044
1,0333
1,0447
∑
2,237
0,45
0,3599
1,7891
2,1453
1,5224
1,3621
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Las ecuaciones son: 0,45 = α (3) + β (2,237) + γ (1,7891) ………(1) 0,3599 = α (2,237) + β (1,7891) + γ (1,5224) ………(2) 0,3599 = α (1,7891) + β (1,5224) + γ (1,3621) ………(3) De (1), (2) y (3) se deduce que: α = 493,5885 β = - 1361,9377 γ = 875,5402 Con estos valores, la ecuación de la parábola mínimo cuadrática será:
g(T) = 493,5885 – 1361,9377 T + 875,5402 T2
VI.
PREGUNTAS
1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el período deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. lanza la “masa”? Al lanzar la “masa” se le estaría otorgando al péndulo una velocidad inicial lo cual haría que varíe el periodo de las oscilaciones. Además el movimiento ya no sería periódico, sería forzado y la altura máxima que alcanzaría la “masa” sería mayor a la altura inicial respecto al punto más bajo. 2. ¿Depende el período del tamaño que tenga la “masa”? Explique. Cuando se utiliza péndulos de la misma longitud y diferentes masas en un mismo lugar, se demuestra que el período de un péndulo simple es independiente de su masa; sólo depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad. 3. ¿Depende el período del material que constituye la “masa” (p.e.: una pesa de metal, una bola de papel, etc.)? Por definición de péndulo simple, se considera al cuerpo suspendido como una masa puntual por tanto el período no depende del material de que está hecha la “masa”. 4. Supongamos que se mide el período con θ = 5° y con θ = 10°. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el período? Cuando se analiza un péndulo simple, el ángulo que forma la cuerda con la vertical es menor que 12°. Bajo estas condiciones el movimiento que describe la masa es un movimiento oscilatorio en el cual el período es independiente de la amplitud angular, entonces se puede afirmar que con ángulos θ = 5° y θ = 10°, el período sería el mismo. 5. Para determinar el período (duración de una oscilación completa), se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. ¿Por qué no es conveniente medir la duración de una oscilación? ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones? No es conveniente medir la duración de una oscilación ya que no va a ser preciso el momento de salida y llegada del péndulo, pero si se midiera el tiempo de 50 oscilaciones se reduciría el margen de error. 6. ¿Dependen los coeficientes α, β, γ de la terna de puntos por donde pasa f?
Si ya que sólo se toma tres puntos para calcular la ecuación; con otra terna de puntos los valores serían diferentes y se obtendría otra ecuación aunque con una incertidumbre ligeramente diferente. 7. Para determinar α, β, γ se eligieron tres puntos. ¿Por qué no dos? ¿o cuatro? Debido a que para determinar tres incógnitas (variables) se necesitan por lo menos tres ecuaciones, se eligen tres puntos. Dos puntos serían insuficientes y cuatro puntos serían innecesarios. 8. En general, según como elija α, β, γ obtendrá un cierto valor para Δf. ¿Podría Ud. elegir α, β, γ de manera que Δf sea mínima (aunque f no pase por ninguno de los puntos de la función discreta? Sí se podría, probando todas las combinaciones de ternas posibles y obteniendo su media aritmética reduciendo así al mínimo el margen de error. ¿Puede elegir α, β, γ de manera que Δf = 0? En un trabajo experimental, siempre habrá factores que alteren de alguna manera los resultados, por tanto se obtendrá una curva inexacta por lo que Δf será diferente de cero. 9. ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente γ de la función g(T)? Se puede afirmar que los coeficientes varían según los puntos tomados. Para obtener una curva más exacta se debe tener más coeficientes. 10. ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros de Δf = 0? El incremento del número de coeficientes determina que el valor de la incertidumbre se aproxime a cero. 11. ¿Opina Ud. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa? Sí, siempre y cuando la tuerca sea lo suficientemente pesada para tensionar el hilo. 12. ¿Tiene Ud. idea de cuántas oscilaciones puede dar el péndulo empleado con ℓk = 100 cm, antes de detenerse? Supongamos que el movimiento del péndulo disminuye una centésima de segundo por oscilación debido a la fricción del aire sobre el cuerpo. Haciendo los
½
cálculos al reemplazar los datos en la fórmula T = 2π (l/g) , se obtiene que el período es igual a 2,005 s. El periodo en n oscilaciones disminuye n/100 s. Al final de la n oscilaciones, el período es T – n/100. Cuando T – n/100 = 0, n = 200 oscilaciones aproximadamente. 13. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”. ¿Modifica tal rotación el valor del período? Un cuerpo en rotación sí modifica el período porque constantemente estaría alterando la tensión ejercida por la cuerda por lo que no describiría un movimiento oscilatorio. ¿Qué propondría Ud. para eliminar la citada rotación? Para evitar la rotación se podría usar una cuerda de mayor rigidez. VII.
CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES
El periodo del movimiento es independiente de la masa, depende de la longitud del punto del eje al punto en que se sitúa la masa.
Para lograr un movimiento oscilatorio del péndulo la amplitud angular no debe ser mayor a 15°.
El periodo guarda una relación no lineal con respecto al tiempo de oscilación: aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la longitud de la varilla.
VIII. BIBLIOGRAFÍA http://www.google.com.pe/imagenes www.portalplanetasedna.com.ar/pendulo.htm http://www.sia.eui.upm.es/fisica/lib/exe/fetch.php?media=asignaturas:practicalab.pdf
