FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANZAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD
INDICADORES FINANCIEROS A INTERÉS COMPUESTO TALES COMO EL MONTO Y VALOR ACTUAL DEL DINERO.
Nombres y Apellidos: Domínguez de la Cruz Patricia.
Profesor : Lezama Vásquez Julio
2017
Interés compuesto Introducción El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, al concluir cada periodo
que
sirve
como
base
para
su
determinación,
los
intereses
correspondientes. Así, provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses (es decir, los intereses se capitalizan para producir más intereses). Cuando el tiempo de la operación es superior al periodo al que se refiere la tasa, los intereses se capitalizan: nos encontramos ante un problema de interés compuesto y no de interés simple. En la práctica, en las operaciones a corto plazo, aun cuando los periodos a que se refiere la tasa sean menores al tiempo de la operación y se acuerde que los intereses sean pagaderos hasta el fin del plazo total, sin consecuencias de capitalizaciones, la inversión se hace a interés simple. Por eso, es importante determinar los plazos en que van a vencer los intereses, para que se puedan especificar las capitalizaciones, y, en consecuencia, establecer el procedimiento para calcular los intereses (simple o compuesto). NOTA: cuando no se indican los plazos en que se deben llevar a cabo las capitalizaciones, se da por hecho que se efectuarán de acuerdo con los periodos a los que se refiere la tasa. En caso de que la tasa no especifique su vencimiento, se entenderá que ésta es anual, y las capitalizaciones, anuales.
1. Concepto
Según Frank. A. (1982) considera que, si al terminar un periodo de tiempo en una inversión a plazo fijo no se retira el capital ni los intereses entonces, a partir del segundo periodo los intereses ganados se integran al capital inicial formándose un nuevo capital para el siguiente periodo el cual generará nuevos intereses y así sucesivamente. Se dice por lo tanto que los intereses se capitalizan por lo que el capital inicial no permanece constante a través del tiempo, ya que aumentará al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo con una tasa convenida. Cuando esto sucede decimos que las operaciones financieras son a interés compuesto.
El interés simple produce un crecimiento lineal del capital y por el contrario un capital a interés compuesto crece de manera exponencial. Un gran número de operaciones en el medio financiero se trabajan a interés compuesto cuando son a plazos medianos o largos.
2. Monto, capital, tasa de interés y tiempo.
Cissell, R. y Cissell, H.(1995) afirman que el monto futuro de una operación a interés compuesto es la cantidad que se acumula al final del proceso o lapso de tiempo considerado, a partir de un capital inicial sujeto a determinados periodos de capitalización de intereses. El valor presente o actual de una operación a interés compuesto es el capital inicial calculado a partir de un monto futuro y considerando cierto número de periodos de capitalización de intereses. Asimismo Díaz. y Aguilera. (1998) consideran que el periodo convenido para convertir el interés en capital se llama periodo de capitalización o periodo de conversión. Así, si una operación se capitaliza semestralmente, quiere decir que cada seis meses los intereses generados se agregan al capital para generar nuevos intereses en los siguientes periodos. De igual forma al decir que un periodo de capitalización es mensual se está indicando que al final de cada mes se capitaliza el interés generado en el transcurso del mes. El interés puede capitalizarse en periodos anuales, sementales, cuatrimestrales, trimestrales, bimestrales, mensuales, semanales, quincenales etc. y el número de veces que el interés se capitaliza en un año se llama frecuencia de conversión o frecuencia de capitalización.
2.1. Nomenclatura. C Representa el capital inicial, llamado también principal. Suele representarse también por las letras A o P (valor presente).
M Representa el capital final, llamado también monto o dinero incrementado. Es el valor futuro de C . J
Es la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un año. Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.
i
Es la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o rendimiento periodo de capitalización de un capital ya sea producto de un préstamo o de una cantidad que se invierte. Es el cociente de dividir la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m
m
Es la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el número de veces que se capitaliza un capital en un año.
na Es el número de años que permanece prestado o invertido un capital. n
Es el número de periodos de que consta una operación financiera a interés compuesto.
Para calcular el monto de un capital a interés compuesto, se determina el interés simple sobre un capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodo los intereses se van sumando al capital inicial.
3. CALCULO DEL MONTO COMPUESTO
Según Hewlett-Packard HP- 17B. (1987) la forma de calcular el monto compuesto es bastante laboriosa y tardada, sobre todo si se tienen muchos periodos de capitalización. Imagine el lector el tiempo que se tardaría en calcular el monto compuesto del ejemplo anterior si el tiempo fuera de 20 años (¡40 periodos de capitalización!). A fin de evitar pérdida de tiempo, a continuación se deduce una fórmula que permitirá obtener el monto compuesto de una manera directa. Sea P un capital invertido a la tasa de interés compuesto de j% por periodo de capitalización∗ . Se desea obtener el monto compuesto F obtenido al final de n periodos de capitalización o conversión.
De la tabla anterior se observa que el monto compuesto al final del primer periodo es P(1 + i); el monto compuesto al final del segundo periodo-es P (1+ i)2; el monto compuesto al final del tercer periodo es P (1+ i)3, y así sucesivamente, de tal forma que al final de n periodos el monto compuesto viene dado por:
Donde F es el monto compuesto o valor futuro, P es el capital original, i es la tasa de interés en forma decimal (esto es, dividida entre 100) por periodo de capitalización y n es el número de periodos de capitalización. La ecuación (7.2) es la fórmula general del interés compuesto. Su demostración general se lleva a cabo mediante inducción matemática. EJEMPLO 7.2 Obtener el monto compuesto y el interés compuesto al final de 6 años de $ 10,000 invertidos a una tasa del 34% con capitalización trimestral. SOLUCION En este caso el trimestre es la unidad básica de tiempo. Como la tasa es anual y en un año hay 4 trimestres, se tiene que:
Por tanto, i=0.085 por trimestre El tiempo es igual a 6 años. Por tanto, 6 años = (6 años) (4 trimestres/año) = 24 trimestres. Esto significa que hay 24 periodos de capitalización. Es decir: n = 24. Sustituyendo valores en la ecuación (7.2) se tiene: F = 10,000 (1 + 0.085)24 = 10,000 (1.085)24 Desde un punto de vista práctico, existen 2 formas para evaluar la expresión anterior: a) Resolver utilizando logaritmos∗ . b) Utilizar la calculadora de forma directa. Resolviendo mediante el uso de los logaritmos, se tiene: log F = log 10,000 + 24 log 1.085 log F = 4 + (24) (0.03542973818) = 4.850313716 F=antilog 4.850313716 F = 70,845.74 4. Cálculo del capital en función del interés
..............................................................
I
C
n
1 i
1
Comprobemos la fórmula anterior en los ejercicios siguientes. Ejercicio. ¿Qué capital producirá un interés compuesto de $139,940.56 a los 4 años y a la tasa del 2% bimestral?
Fórmulas:
I
C
n
1
i
Datos:
1
I 139, 940.56 i 0.02 m 6
na
4
Solución:
i 0.02
n 4 6 24
19, 940.56 230, 000.00 1 0.02 24 1
C
Ejercicio. ¿Cuál es el capital de un valor acumulado de $924,138.14, invertido durante 12 años al 22% anual?
Fórmulas:
C M1 i J
i
m
Solución:
n
Datos:
n na
m
m1 na 12
0.22 0.22 1
i
M 924.138.14 J 0.22
A 924,138.14 1 0.22
n 1 12 12
12
85, 000.00
Ejercicio. ¿Qué capital produce un monto de $380,000.00 a los 6 años, si la tasa es del 3.5% trimestral?
Fórmulas:
C M1 i i
J
m
n
Datos:
n na
Solución:
m
M 380, 000.00 i .035 m 4 na 6
n 4 6 24
A 380, 000.00 1 0.035
24
166, 423.71
5. Fórmulas para calcular la tasa de interés de una inversión a interés
compuesto Se conoce el capital inicial, el monto futuro de capital, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o número de periodos de capitalización:
Jn
M
1 m ...................................................
C siendo:
n na m
Bibliografía Frank. A. (1982). Matemáticas Financieras serie SCHAUM. Editorial McGraw-Hill. Budnick y Frank (1984). Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Primera edición, editorial McGraw-Hill.
Cissell, R. y Cissell, H.(1995). Matemáticas Financieras. Quinta edición, Compañía Editorial Continental, S.A de C.V., México. Díaz. y Aguilera. (1998). Matemáticas Financieras. Segunda edición, Editorial McGraw-Hill. Hewlett-Packard HP- 17B. (1987). Business Cakulator, Manual del propietario. Primera edición.
