PRACTICA DE LABORATORIO N° 1 CURSO
:
LABORATORIO DE FISICA II
DOCENTE
:
SANTA CRUZ DELGADO, José
TEMA
:
PENDULO COMPUESTO
FACULTAD
:
INGENIERIA ELECTRONICA Y MECATRONICA
CICLO
:
III
TURNO
:
MAÑANA
HORARIO
:
MIERCOLES 08:00 – 9:40 horas
FECHA DE REALIZACION :
Miércoles, 03 de julio de 2013
FECHA DE ENTREGA
Miércoles, 10 de julio de 2013
:
OBJETIVOS
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico.
Calcular los momentos de inercia a partir de estos periodos de oscilación.
Conocer la diferencia entre un péndulo simple y un péndulo físico.
Conocer un nuevo método para calcular el momento de inercia de un eje que pasa por el centro de gravedad, el método de Steiner.
MARCO TEÓRICO El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo. Cuando se separa un ángulo ϴ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa el momento del peso, que tiene signo contrario al desplazamiento.
La ecuación de la dinámica de rotación se se escribe IO·ϴ =-mgxsenϴ Donde x es la distancia entre el centro de masa y el centro de oscilación O. IO es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O.
Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial
Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces
Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular ω y periodo P
Por el teorema de Steiner IO=IC+mx2=mR 2+mx2 R se denomina radio de giro, para una varilla R 2=l2/12, siendo l la longitud de la varilla. El periodo se escribe
Cuando se representa P en función de x. Aparecen dos curvas simétricas con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcan za un valor infinito para x=0, es decir, cuando coincide el centro de masa con el centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de x que se puede calcular derivando P respecto de x e igualando a cero.
Dado un valor de P podemos hallar los dos valores de x que hacen que el péndulo compuesto oscile con dicho periodo. Para obtener estos valores, elevamos al cuadrado la fórmula del periodo P, obteniendo la ecuación de segundo grado
La ecuación de segundo grado en x, tiene dos soluciones, que se muestran en la figura, las abscisas x1 y x2 de las intersecciones de la recta horizontal (P=cte) y la curva (P en función de x).
De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado
Midiendo en la gráfica x1 y x2 para un valor dado de P, obtenemos el valor de la aceleración de la gravedad g. También podemos obtener el momento de inercia del péndulo Ic=mR 2 compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masa, pesando en una balanza el péndulo y calculando R 2 mediante el producto de x1 por x2.
RECONOCIMIENTO DE MATERIALES
PROCEDIMIENTO 1.- Para 4 longitudes L a diferentes del péndulo compuesto distanciadas entre sí, se cronometra el tiempo t i para 10 oscilaciones .repetir esta operación 3 veces para cada longitud, luego calcule el periodo T i, a partir de los cuales se calcula el periodo promedio(T m) para cada longitud. Tabla N° 1: Datos experimentales del péndulo compuesto, para 10 oscilaciones Tiempo (s) Periodo (T (s)) N° La (m) Tm (s) t1 t2 t3 T1 T2 T3 0.99 19.82 19.72 19.97 1.982 1.972 1.997 1.983 1 0.75 17.28 17.44 17.44 1.728 1.744 1.744 1.738 2 0.50 14.50 14.68 14.58 1.450 1.468 1.458 1.458 3 0.25 11.97 11.85 12.09 1.197 1.185 1.209 1.197 4 Cálculos de los periodos T i: Experimento 1(La1): T1:
T2: T3: Experimento 2 (L a2): T1: T2: T3: Experimento 3 (L a3): T1: T2: T3: Experimento 4 (L a4): T1:
T2: T3: Calculo del periodo promedio (T m): Tm1: Tm2: Tm3: : Tm4
2.- Longitud de la barra con su error:
X X 0 X
X
lm 2
Lb (±∆Lb) = 1.00 m (100cm) ± 0.5m
Lb (±∆Lb) =1.00m± 0.5m 3.- Para cada valor de L a y su correspondiente T m se calcula I(±∆ I), R (±∆ R) y la aceleración de la gravedad con su error g (±∆ g), tomando m =m a + mb, completando la tabla N° 2. Tabla N° 2: Datos experimentales del péndulo compuesto para 10 oscilaciones. N°
(m)
Tm ± ∆Tm
I ±∆I
2 (kgm )
(s)
R ±∆R (m)
gm ±∆g
ERel(%)
1
0.99±0.495
1.983±0.9915
0.930
9.73± 0.07
0.7%
2
0.75±0.375
1.738±0.869
0.638
0.719
9.71±0.09
0.92%
3
0.50±0.25
1.458±0.729
0.310
0.50
9.64±0.16
1.6%
0.25±0.125 1.197±0.5985
0.114
0.280
9.4±0.4
4%
4
La ± ∆La
gm= al eje de suspensión: Calculo del momento de inercia respecto
Unidad de medida del momento de inercia: kg m 2
m = 1,049 g. = 1.049 kg. m = 145 g. = 0.145kg. a
b
Calculo de R= distancia entre el eje de suspensión y el centro de masas del conjunto (barra y disco)
Calculo de la aceleración de la gravedad: 9.73 m/s – 100 ∆g= │g . – g │ E % = 9.71m/s 9.64m/s 9.4m/s 2
exp
teor.
rel.
2
2
2
valores de g (±∆g), (±∆g), calcular el valor medio de g (g m) con su 4.- A partir de los 4 valores error: gm (±∆g)= 9.73+9.71+9.64+9.4 4 gm (±∆g)=9.62
|| |
m
(±∆g)=9.62±0.18
CUESTIONARIO 1.- ¿Se solapan las bandas de error del valor de “g” obtenido en el péndulo simple y gm en el péndulo compuesto?, explique. Si se solapan las bandas de error por ser estas relativamente bajas. Los valores obtenidos de acuerdo a las experiencias demuestran que los errores relativos y absolutos son bajos y que casi la medición de la gravedad experimental iguala a la gravedad ya conocida. 2.- Investigue sobre los péndulos físicos acoplados. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, ¿cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique. Un sistema oscilatorio formado por dos péndulos simples idénticos, fijos a un mismo soporte con un resorte de constante elástica k colocado entre ellos, se le conoce con el nombre de péndulos acoplados.
La inclusión del resorte entre los péndulos hace que sus movimientos no sean independientes. El movimiento de uno de ellos influye en el movimiento del otro y viceversa dando como resultado un movimiento que se conoce como oscilaciones acopladas. Dado que para describir el movimiento de cada uno de los péndulos son necesarias dos funciones de posición angular con respecto al tiempo: θ1(t) y θ2(t), se dice que el sistema posee dos grados de libertad. La dinámica asociada al movimiento de cada uno de los péndulos puede resumirse de la siguiente manera: cuando la masa se separa de la posición de equilibrio una cierta cantidad angular, aparece sobre ella un torque restaurador τ que tiende a llevarla de nuevo a dicha posición, causándole una aceleración angular α, la cual se relaciona con dicho torque a
través de la expresión: τ = Iα
I: es el momento de inercia de la masa M respecto al eje de rotación. De la definición de I y de α, la anterior ecuación se escribe como:
2
τ = ML θ’’
Utilizando esta ecuación y la definición de τ, se encuentra que para el péndulo cuyo desplazamiento es θ1 se tiene la siguiente ecuación de movimiento: ML2θ’’1 = −MgLsenθ1 + kℓ2sen(θ2 − θ1) y para el otro
(2.1)
ML2θ’’2 = −MgLsenθ2 − kℓ2sen(θ2 − θ1)
(2.2)
Si los desplazamientos θ1 y θ2 son pequeños la aproximación Senθ ≈ θ será válida con lo cual las expresiones (2.1) y (2.2) se rescriben como: ML2θ’’1 = −MgLθ1 + kℓ2 (θ2 − θ1)
(2.3)
ML2θ’’2 = −MgLθ2 − kℓ2 (θ2 − θ1)
(2.4)
Dado que las anteriores ecuaciones se encuentran acopladas, se sigue el Siguiente procedimiento de desacople: Al sumar las ecuaciones (2.3) y (2.4) se obtiene: ML2θ’’1 = −MgL θ1
(2.5)
Y al restarlas: ML2θ’’2 = −(MgL + 2k 2ℓ2) θ2
(2.6)
Donde: θ1 = θ1 + θ2 y θ2 = θ1 − θ2
Escribiendo (2.5) y (2.6) en la forma 2
Θ’’1 + ω1 θ1 = 0 2
Θ’’2 + ω2 θ2 = 0
Se obtienen las ecuaciones desacopladas cuyas frecuencias son: 2
ω1 =g/L
(2.7)
y
2
2
ω2 =g/L+ 2ε k/M
(2.8)
3.- Investigue sobre el péndulo muelle. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estos péndulos?, ¿cómo implementaría usted un experimento para este péndulo? Explique. Este sistema es la combinación de dos modos de oscilación, el péndulo simple y el muelle elástico, estos están acoplados de forma no lineal y tienen su frecuencia característica. Si el péndulo se desplaza un ángulo q de la vertical o se cambia su longitud de equilibrio o se hace cualquiera de estas dos combinaciones, la dinámica del objeto está dada por la fuerza del resorte, la fuerza gravitatoria y su propia masa. En primera instancia, el sistema
comienza a oscilar de arriba abajo, pero el acoplamiento provoca que la masa m se desvíe de un lado a otro. otro.
En el caso que el péndulo se aparta de la vertical un ángulo theta, la fuerza neta sobre la masa m está dada por: F = -k(r -r0) + mg en donde las letras en negrita indican vectores y r es el vector de posición de la masa m y r0 es el vector de posición del péndulo con la misma desviación de la vertical que antes, pero con la longitud original del resorte L.
Las componentes escalares de la fuerza están dada por: Fx=-k(x-Lsenq) Fy = -k(y-y0 +L cosq ) - mg Donde
De esta forma, las componentes de la aceleración quedan determinadas, por:
4.- Investigue sobre las figuras de Lissajous. ¿Qué ecuaciones gobiernan a estas figuras?, ¿cómo generaría usted esta figuras a partir del uso de los péndulos estudiados? Explique.
Descritas por el matemático francés Jules Antoine Lissajous, a partir de los trabajos de Nathaniel Bowditch. Básicamente, éstas se producen al representar de forma simultánea en un osciloscopio dos ondas senoidales cuyas frecuencias se encuentren en fase, dando lugar a imágenes bastante atractivas. Las ecuaciones que describen a ambas señales serían: X (t) = a sen (ωt + δ)
Y (t) = b sen (t) Y según la proporción que guarden entre sí las variables a y b, y la frecuencia angular ω en
que ambas se encuentren, iremos obteniendo ob teniendo distintas figuras o curvas. Por ejemplo:
A partir de ahí, y variando los parámetros de las dos ecuaciones paramétricas descrito, pueden obtenerse infinidad de curvas.
5.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la amplitud?, ¿Qué relación existe entre ellos? Explique. El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei, Galilei, observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud amplitud,, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, éste depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:
Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:: especie
Donde φ0 es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose Taylor obteniéndose una expresión más útil:
Solución de la ecuación de mo vimiento Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud φ0 = 0,999π (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud φ0 = 0,25π (gris).
Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como
combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:
Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además: , es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud .
, es la energía potencial. potencial.
Realizando en variable , la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:
Donde: , es la función elíptica de Jacobi tipo seno.
El lagrangiano del sistema es , donde θ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y l es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento:
.
6.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la longitud? ¿Qué relación existe entre ellos? Explicar. Si depende por lo siguiente: Es siempre posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir
(6)
y, por lo tanto, tenemos que
(7) Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) suspensión) oscilarán con la misma frecuencia frecuencia;; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente,, de longitud λ. equivalente Según la fórmula ambas oscilaciones dependen del la longitud o longitud equivalente. 7.- ¿El periodo de ambos péndulos depende de la masa? Explicar. Esto es análogo a la cuestión de por qué una pluma y un yunque que son lanzados a una misma altura, caen al mismo tiempo (en el vacío por supuesto). Y la razón de esto, es que el tiempo de la caída depende de la aceleración. En el péndulo se encuentra que la aceleración es directamente proporcional al opuesto del desplazamiento, y cuya constante de proporcionalidad es g/L; es decir que la cinemática del péndulo no depende de la masa. 8.- Determine la aceleración de la gravedad con ayuda del grafico T2 vs. I para ambos péndulos Según la siguiente formula, se puede hallar h allar la gravedad a partir de I, R, T2 y m:
9.- ¿Es el péndulo de Foucault es un péndulo simple?, simple?, Explique sus características y usos.
Un péndulo de Foucault es un péndulo simple, simple, es decir, una bola colgada de un hilo largo y puesta a oscilar. El científico francés J. B. Leon Foucault, Foucault, en el año 1850, 1850, comprobó que el plano de oscilación del péndulo -el plano en donde se encuentra la trayectoria del péndulo- giraba lentamente en el sentido de las agujas del reloj. Esto le llamó la atención porque, en todo caso, debería girar en el sentido que lo hace la tierra que es el antihorario - mirando la tierra desde el hemisferio norte, que es en el que se encontraba nuestro científico. La explicación del fenómeno ya se podía dar, entonces, con ayuda de la mecánica newtoniana: el Principio de la Inercia lo explica. Ocurre que, aunque parece que la trayectoria del péndulo cambia, es el suelo, que tiene debajo, el que se mueve - y nosotros con él. Porque si sobre el péndulo sólo actúan la fuerza del peso y la tensión de la cuerda atada y ambas se encuentran en el mismo plano de la trayectoria, el péndulo tiene que seguir siempre en ese plano -al no haber fuerza alguna que lo saque de él. Aunque la velocidad angular es la misma en todos los puntos de la superficie de la Tierra, no ocurre lo mismo con su velocidad lineal. Esta velocidad vale w·r , donde w es la velocidad angular y r la distancia al eje de giro. Es máxima máxima en los puntos puntos del ecuador ecuador -que en este caso r es el radio de la Tierra- y vale cero en los polos. A un observador en la superficie de la Tierra le parecerá que actúa una fuerza sobre el péndulo, péndulo, cambiando cambiando su trayectoria. trayectoria. Los físicos físicos llaman a esta fuerza fuerza imaginaria: fuerza de Coriolis -o aceleración de Coriolis, si nos fijamos en la aceleración que produce. En el hemisferio norte parece desviar los cuerpos hacia la derecha de su trayectoria y en el hemisferio sur hacia la izquierda. En las siguientes figuras puedes ver las trayectorias que sigue el péndulo visto desde la Tierra (Fig.1) y desde el espacio exterior, por ejemplo, desde el platillo de un extraterrestre que se encuentre inmóvil respecto de las estrellas (Fig. 2).
Fig. 1
Fig. 2
El extratrerestre verá que la trayectoria es una línea recta. Desde la Tierra, la trayectoria va girando. La velocidad de giro de ésta, en los polos, es la máxima dando una vuelta cada 24 horas. En el ecuador el péndulo no gira. Según la latitud en la que se encuentre la velocidad de giro vale wf = w·senß. Las trayectorias de las figuras anteriores corresponden a las de un péndulo que inicia su movimiento desde el centro de oscilación, en reposo, con un breve impulso. Si la oscilación del péndulo se inicia desde desde un extremo, en reposo respecto de la Tierra, las trayectorias vistas desde la Tierra y desde el espacio exterior serían respectivamente las de las figuras 3 y 4: Fig. 3
Fig. 4
Es
esta
aceleración la responsable del giro del aire formando las borrascas y los anticiclones. anticiclones . En el hemisferio norte el aire de las borrascas se desvía hacia la derecha formando un remolino en sentido antihorario y en los anticiclones en en sentido horario. En En el hemisferio Sur Sur ocurre al contrario. Si Foucaul hubiera hecho su experiencia en una ciudad del hemisferio Sur -en vez de en París, en donde lo llevó a cabo- habría observado como su péndulo giraba en sentido antihorario. 10.- ¿Cuál de las siguientes relaciones entre la aceleración a y el desplazamiento x de la partícula relaciona un movimiento armónico simple ¿(a) a=0.5x, (b)=400x 2, (c) a=-20x, (d) a=-3x 2?
(c) porque es de la forma a= - x 11.- ¿Cuál cree que han sido las posibles fuentes de error en su experimento? - al momento de contar las oscilaciones (no fueron exactas) - la resistencia del aire dificulta el movimiento del péndulo compuesto - el péndulo opone la resistencia al cambio de estado - al medir el tiempo en las oscilaciones 12.- ¿Cómo aplicaría este tema en su carrera profesional? Una aplicación del péndulo en la ingeniería, es en la construcción de edificaciones, veamos un ejemplo de la vida real: El Taipéi 101 es uno de los edificios más altos de mundo, que cuenta con novedosos adelantos tecnológicos y uno de los más seguros debido a que cuenta con un sencillo pero eficaz amortiguador estabilizador, un amortiguador de masa destinado a contrarrestar los efectos de huracanes y temblores de tierra sobre el edificio .Se trata de un mecanismo simple que consiste básicamente en un enorme bloque - bola de acero y hormigón colgando como un péndulo que contrarresta los vaivenes y movimientos laterales habituales en este tipo de edificios, desplazándose en el sentido contrario a estos. La esfera estabilizadora del Taipéi 101 se llama Damper Baby, pesa 660 toneladas, su actividad prioritaria es columpiarse haciendo tolerables los tifones y los terremotos que asaltan habitualmente a este rascacielos por estar construido en Taiwán, una de las zonas con más temblores del mundo.
OBSERVACIONES El tiempo medido para cada caso de oscilación sufre variaciones debido a la precisión del cronometro.
CONCLUSIONES
Luego de realizada esta experiencia, podemos mostrar que los sistemas pendulares sistemas pendulares son mecanismos que permiten la Interacción de muchos factores como la gravedad, la masa, la longitud y demás unidades de medidas. La masa es un factor que no determina ninguna influencia al momento de calcular el periodo pendular, por tanto, la masa y la naturaleza del objeto son independientes del funcionamiento del sistema. Al obtener errores tan bajos podemos concluir que el método de elaboración de la práctica es confiable y sus resultados son producto son producto de la buena elaboración en el laboratorio La masa efectúa un movimiento armónico simple puesto que el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, varia en el tiempo, es decir se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. Existen fuerzas que no se consideran en los resultados como son la temperatura, la fuerza de fricción del aire, la fuerza de vibración del eje de suspensión.
RECOMENDACIONES Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.
El alumno que toma la medida del ángulo con el transportador y el que alinea la barra deben ser diferentes para evitar errores humanos en la lectura.
REFERENCIAS http://www.monografias.com/cgi bin/search.cgi?query=experimento%20para%20un%20pendulo%20de%20muelle;of fset=50&bool=AND http://html.rincondelvago.com/pendulo-simple_6.html http://www.monografias.com/trabajos28/ajuste-pendulo/ajuste pendulo.shtml?monosearch
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/acoplados1/acoplados1.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia
www.monografias.com/trabajos7/teste/teste.shtml
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo
http://www1.uprh.edu/labfisi/lab1/exps/theory/oscilador.pdf
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Fisica/02/leyes.html#ley2
Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas (en español). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. 84-291-4094-8. Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.. 84-604-4445-7 Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª (en español). CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3
