Informe #6 Teorema de Bernoulli

UNI VERSI DAD DELA COST A

LABOR ORATORI O DEMECÁNI CADE DEFL UI DOS

FACULTAD DE I NGE GENI ERÍ A

TEOREMA DE BERNOULLI Coronado José González Alvaro Gutiérrez Ri!ard "ol#u$n Ant!on% Ro&o Cesar Estudiantes de I' (e&estre de In#enier$a Civil Laboratorio de Mecánica Mecánica de Fluidos Grupo: Grupo: ND

TABLA TA BLA DE CONTENIDO CONTE NIDO

1. Introducción.................... Introducción................................. ......................... ......................... ................................................. ....................................22 2. Objetivos................... Objetivos............................... ......................... .......................... .......................... .......................................... .............................22 3. Fundamentos Teóricos.......... Teóricos....................... .......................... ......................... ......................... ...............................2 ..................2 3.1 Teorema de Bernoulli................... Bernoulli................................ .......................... ..............................................2 .................................2 3.2 Aplicaciones del Principio de Bernoulli................... Bernoulli................................ ...............................4 ..................4 4. Procedimiento................... Procedimiento................................ ......................... ......................... .......................... .......................... ......................4 .........4 . !"lculos # resultados................... resultados................................ .......................... ......................... ......................... ....................... .......... $. !onclusiones................... !onclusiones................................ ......................... ......................... ............................................... ..................................13 13 %. Ane&os....................... Ane&os.................................... ......................... ......................... .......................... .......................... ...........................13 ..............13 Biblio'ra()a................ Biblio'ra()a............................. .......................... .......................... ......................... ......................... .......................... ..................13 .....13

1


LABORATORI O DEMECÁNI CADEFL UI DOS

FACULTAD DE I NGENI ERÍ A

1. Introdui)n *a mec"nica de (luidos es la rama de la mec"nica de medios continuos+ rama de la ()sica a su ve,+ -ue estudia el movimiento de los (luidos 'ases # l)-uidos/ as) como las (uer,as -ue lo provocan. 0n *aboratorio de ec"nica de Fluidos se llevar"n a la pr"ctica los conocimientos -ue se va#an ad-uiriendo a lo lar'o del curso+ como tambin desarrollaremos diversas e&periencias. 0n el proceso de (ormación acadmica de un in'eniero civil+ es realmente importante el conocimiento de la ec"nica de Fluidos+ #a -ue sta proporciona las erramientas necesarias para comprender el comportamiento 'eneral de cada uno de los caudales # las (uer,as -ue provocan -ue ste ad-uiera su movimiento+ lo cual es necesario para las dem"s materias pertinentes a la rama de la idr"ulica. 0s importante conocer la aplicabilidad del principio de Bernoulli+ para saber cómo podemos utili,arlos en el dise5o de tuber)as+ de tal (orma -ue se pueda in(erir cuales son las dimensiones de tuber)a necesarias para sistemas idr"ulicos complejos. 2. O*+etivos  6eri(icar la aplicabilidad del teorema de Bernoulli+ a travs de las mediciones de velocidad a lo lar'o de un conducto con sección transversal variable.  !omparar los caudales teóricos # pr"cticos. 3. ,unda&entos Te)rios

-./ Teore&a de Bernoulli 0l principio de Bernoulli+ tambin denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli+ describe el comportamiento de un (luido en reposo movindose a lo lar'o de una corriente de a'ua. Fue e&puesto por 7aniel Bernoulli en su obra idrodin"mica 1$3%/ # e&presa -ue en un (luido ideal sin viscosidad ni ro,amiento/ en r'imen de circulación por un conducto cerrado+ la ener')a -ue posee el (luido permanece constante a lo lar'o de su recorrido. *a ener')a de un (luido en cual-uier momento consta de tres componentes8 /. !intica8 es la ener')a debida a la velocidad -ue posea el (luido. 0. Potencial 'ravitacional8 es la ener')a debido a la altitud -ue un (luido posea. -. 0ner')a de (lujo8 es la ener')a -ue un (luido contiene debido a la presión -ue posee. *a si'uiente ecuación conocida como 90cuación de Bernoulli: Trinomio de Bernoulli/ consta de estos mismos trminos.

7onde8  ; velocidad del (luido en la sección considerada.  ; densidad del (luido.  ; presión a lo lar'o de la l)nea de corriente.  ; aceleración 'ravitatoria  ; altura en la dirección de la 'ravedad desde una cota de re(erencia. Para aplicar la ecuación se deben reali,ar los si'uientes supuestos8 6iscosidad (ricción interna/ ; < 0s decir+ se considera -ue la l)nea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una ,ona =no viscosa> del (luido. •

2




!audal constante Flujo incompresible+ donde ? es constante. *a ecuación se aplica a lo lar'o de una l)nea de corriente o en un (lujo rotacional. Aun-ue el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli+ la (orma arriba e&puesta (ue presentada en primer lu'ar por *eonard 0uler. @n ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el (lujo de a'ua en tuber)a. !ada uno de los trminos de esta ecuación tiene unidades de lon'itud+ # a la ve, representan (ormas distintas de ener')a en idr"ulica es comn e&presar la ener')a en trminos de lon'itud+ # se abla de altura o cabe,al+ esta ltima traducción del in'ls ead. As) en la ecuación de Bernoulli los trminos suelen llamarse alturas o cabe,ales de velocidad+ de presión # cabe,al idr"ulico+ del in'ls #draulic ead el trmino se suele a'rupar con donde / para dar lu'ar a la llamada altura pie,o mtrica o tambin car'a pie,omtrica. • •

•

Tambin podemos reescribir este principio en (orma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por + de esta (orma el trmino relativo a la velocidad se llamar" presión din"mica+ los trminos de presión # altura se a'rupan en la presión est"tica.

,i#ura /. 0s-uema del e(ecto 6enturi.

O escrita de otra manera m"s sencilla8 7onde • • •

es una constante.

3




I'ualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la ener')a cintica+ la ener')a de (lujo # la ener')a potencial 'ravitatoria por unidad de masa8

-.0 A1liaiones del 2rini1io de Bernoulli C!i&eneas *as cimeneas son altas para aprovecar -ue la velocidad del viento es m"s constante # elevada a ma#ores alturas. !uanto m"s r"pidamente sopla el viento sobre la boca de una cimenea+ m"s baja es la presión # ma#o Tu*er$as *a ecuación de Bernoulli # la ecuación de continuidad tambin nos dicen -ue si reducimos el "rea transversal de una tuber)a para -ue aumente la velocidad del (luido -ue pasa por ella+ se reducir" la presión. 0s la di(erencia de presión entre la base # la boca de la cimenea+ en consecuencia+ los 'ases de combustión se e&traen mejor. Natai)n *a aplicación dentro de este deporte se ve re(lejado directamente cuando las manos del nadador cortan el a'ua 'enerando una menor presión # ma#or propulsión. Car*urador de auto&)vil 0n un carburador de automóvil+ la presión del aire -ue pasa a travs del cuerpo del carburador+ disminu#e cuando pasa por un estran'ulamiento. Al disminuir la presión+ la 'asolina (lu#e+ se vapori,a # se me,cla con la corriente de aire. Flujo de (luido desde un tan-ue 7ispositivos de 6enturi 0n o&i'eno terapia la ma#or parte de sistemas de suministro de dbito alto utili,an dispositivos de tipo 6enturi+ el cual est" basado en el principio de Bernoulli.  Aviai)n *os aviones tienen el e&tradós parte superior del ala o plano/ m"s curvado -ue el intradós parte in(erior del ala o plano/. 0sto causa -ue la masa superior de aire+ al aumentar su velocidad+ disminu#a su presión+ creando as) una succión -ue a#uda a sustentar la aeronave. 3/4 •

• • •

4. 2roedi&iento  0n primera instancia se ase'uró -ue el e-uipo estuviese en posición ori,ontal.  Ce conectó la entrada del e-uipo al suministro de a'ua se cerró la v"lvula del banco # la v"lvula de control de caudal de aparato # se encendió la bomba.  Ce abrió la v"lvula del banco para permitir el paso del a'ua # as) llenar el e-uipo de la prueba.  Ce re'istró las alturas de cada tubo pie,omtrico # lue'o se determinó el caudal mediante mtodo volumtrico. Ce midió el tiempo # volumen durante un tiempo determinado con el cronómetro.

4




 Ce cerró 'radualmente ambas v"lvulas para variar el caudal # se repitió el paso 4+ cuatro veces m"s.

5. Cálulos % resultados Letura / 0 6 5

!/ !0 !!6 %< D<  < % $< D<  E $$ $< D 12 11< 1< 1<< 1 14 14< 13< Ta*la /. *ecturas pie,omtricas.

!5 <  D 1<< 13<

Tie&1o 7s8

!/

!5

/

'olu&en 7&-8 24<

4+11

%<

<

0

3<<

+%1

%



-

3%<

$+2

E

D

6

44<

E+1

12

1<<

5

4%<

11+4%

1

13<

+ medida en mil)metros.

Letura

Ta*la 0. 7atos obtenidos en el laboratorio. 2osii)n

Man)&etro

A

1

Diá&etro 7&&8 2

B

2

13+E

C

3

11+%

D

4

1<+$

E



1<

Ta*la -. 7i"metro de cada manómetro. Para calcular el caudal e&perimental + se utili,a la si'uiente ecuación8 Qexp =

V t

7onde 6 ; volumen T ; tiempo






Ce reempla,an los valores de volumen # tiempo observados en la tabla 2. 7e sta manera8 G*as unidades del caudal est"n en cm3Hse'G. Q1=

240

Q2=

300

Q3=

380

4,11

5,81

Q 4=

Q1=

7,52 440 9,15

=58,39 cm 3 / seg =51,63 cm 3 / seg = 50,63 cm 3 / seg =44,80 cm 3 / seg

480 11,48

=41,81 cm 3 / seg

*a ecuación de Bernoulli establece -ue la suma de las ener')as de presión+ velocidad # posición debe permanecer constante a lo lar'o de cual-uier sección de un conducto con (luido en movimiento. Por lo anterior+ se dice -ue dica ecuación representa la conservación de ener')a considerando un (lujo continuo+ sin (ricción # bajo un (luido incompresible. 0n un conducto ori,ontal+ tal como el -ue tenemos durante la pr"ctica se tiene -ue las car'as de posición entre los dos puntos se5alados ser"n i'uales. Para calcular el !audal teórico se utili,a la si'uiente ecuación8 A 5 A 1

¿ ¿ ¿2 1 −¿ 2 g ( h 1 − h 5) ¿ Qteor = A 2 √ ¿ 7onde A1 "rea del manómetro 1. A2 "rea del manómetro .  ; 'ravedad 7i"metros8 71 ; 2 mm 72 ; 1< mm Para determinar el "rea de los manómetros 1 # + se utili,a la (órmula8

D




d

¿ ¿ π A = ¿ 4

Por lo tanto 25

¿ ¿ π A 1= ¿ 4

A1 ; 4E<+%$ mm2 ; <+<<<4E<%$ m2 10

¿ ¿ π A = ¿ 4

A1 ; $%+3 mm2 ; <+<<<<$%3 m2 *o nico -ue cambia en los caudales son las alturas pie,omtricas de 1 #  para cada caudal. Para el caudal 18 0,00007853 m 2 0,00049087 m 2

¿ ¿ ¿2 1−¿

2∗9,8

m ( 0,08 m−0,05 m ) s2

¿

Q 1= 0,00007853 m 2 √ ¿

1 ; <+<<<
0,00007853 m 2 0,00049087 m 2

¿ ¿ ¿2 1 −¿

2∗9,8

m ( 0,085 m− 0,055 m ) s2

¿

Q 2=0,00007853 m 2 √ ¿

$




2 ; <+<<<
¿ ¿ ¿2 1−¿

2∗9,8

m ( 0,095 m−0,065 m) s2

¿

Q 3= 0,00007853 m 2 √ ¿

3 ; <+<<<
1 −¿ 2∗9,8

m ( 0,125 m−0,1 m) s2 ¿

Q 4 =0,00007853 m 2 √ ¿

4 ; <+<<<< m3Hse' 4 ;  cm3Hse' Para el caudal 8 0,00007853 m 2 0,00049087 m 2

¿ ¿ ¿2 1−¿

2∗9,8

m ( 0,08 m−0,05 m ) s2

¿

Q 5= 0,00007853 m 2 √ ¿

%




 ; <+<<<< m3Hse'  ;  cm3Hse' Para calcular el coe(iciente de descar'a+ !d se utili,a la si'uiente ecuación8 Cd =

Qteor Qexp

9teor 7&-:s8

9e;1 7&-:s8

%+3E

1+D3

<+D3

55

44+%

55

41+%1

Ta*la 6. !audales teóricos # e&perimentales. 0l coe(iciente de descar'a 18 Cd =

61 58,39

Cd = />?66 !oe(iciente de descar'a 28 Cd =

61 51,63

Cd = />/@ !oe(iciente de descar'a 38 Cd =

61 50,63

Cd = />/ !oe(iciente de descar'a 48 Cd =

55 44,80

Cd = />00

E




!oe(iciente de descar'a 8 Cd =

55 41,81

Cd = />-/ <. Disusi)n % análisis 70 60 50 40

!d

30 20 10 0 54

55

56

57

58

59

60

61

62

teórico

Gráia /. !d vs. teórico. A menor caudal+ ma#or es el coe(iciente de descar'a. 70 60 50 40

e&perimental

30 20 10 0 54

55

56

57

58

59

60

61

62

teórico

Gráia 0. !audal e&perimental vs. !audal teórico. Para determinar el error porcentual+ comparando el caudal e&perimental con el teórico se utili,a la si'uiente ecuación8

1<




E =

Vteórico −Vexp ∗100 Vteórico

Para el caudal 1 (ue8 E =

61−58,39 61

∗100

0J ; 4+2$ J Para el caudal 28 E =

61−51,63 61

∗100

0J ; 1+3D J Para el caudal 38 =

61−50 , 63 61

∗100

0J ; 1$ J Para el caudal 48

=

55− 44,8 55

∗100 0J ; 1%+4J

Para el caudal 8

=

55− 41,8 55

∗100 0J ; 24 J

*as (uentes de error desarrolladas en el laboratorio (ueron principalmente en la reali,ación de la determinación del caudal+ debido a -ue siempre a# errores umanos en la toma de los tiempos # determinar el volumen. 0sto a(ecta considerablemente el valor del caudal e&perimental. 7e acuerdo con los datos obtenidos+ entre los caudales e&perimentales # teóricos+ a# poca una cierta di(erencia pero es tan elevada. 0l e(ecto -ue tendr)a el e&perimento # los resultados si se desarrolla con un e-uipo -ue no est instalado en posición ori,ontal es nin'uno+ debido a -ue la presión de Bernoulli es de punto a punto # no tiene en cuenta la inclinación. Adem"s+ no tiene -ue ver con columna de presión.

Otros &étodos %:o dis1ositivos 1ara la &edii)n de los audales son  MEDIDOR DE ORI,ICIO

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0l medidor de Ori(icio es un elemento m"s simple+ consiste en un a'ujero cortado en el centro de una placa intercalada en la tuber)a. 0l paso del (luido a travs del ori(icio+ cu#a "rea es constante # menor -ue la sección transversal del conducto cerrado+ se reali,a con un aumento apreciable de la velocidad ener')a cintica/ a e&pensa de una disminución de la presión est"tica ca)da de presión/. Por esta ra,ón se le clasi(ica como un medidor de "rea constante # ca)da de presión variable.  TUBO DE 2ITOT

0s uno de los medidores m"s e&actos para medir la velocidad de un (luido dentro de una tuber)a. 0l e-uipo consta de un tubo cu#a abertura est" diri'ida a'ua arriba+ de modo -ue el (luido penetre dentro de sta # suba asta -ue la presión aumente lo su(iciente dentro del mismo # e-uilibre el impacto producido por la velocidad. 0l Tubo de Pitot mide las presiones din"micas # con sta se puede encontrar la velocidad del (luido+ a# -ue anotar -ue con este e-uipo se puede veri(icar la variación de la velocidad del (luido con respecto al radio de la tuber)a per(il de velocidad del (luido dentro de la tuber)a/.

 ROTMETRO(

0s un medidor de caudal en tuber)as de "rea variable+ de ca)da de presión constante. 0l Kot"metro consiste de un (lotador indicador/ -ue se mueve libremente dentro de un tubo vertical li'eramente cónico+ con el e&tremo an'osto acia abajo. 0l (luido entra por la parte in(erior del tubo # ace -ue el (lotador suba asta -ue el "rea anular entre l # la pared del tubo sea tal+ -ue la ca)da de presión de este estrecamiento sea lo su(icientemente para e-uilibrar el peso del (lotador. 0l tubo es de vidrio # lleva 'rabado una escala lineal+ sobre la cual la posición del (lotador indica el 'asto o caudal. *os rotametros+ (loLmeters+ del tipo area variable+ son instrumentos dise5ados para la medición # control de caudales+ 'ases # l)-uidos. Fabricamos caudal)metros desde 1 mlH asta 1<<<<<< ltsHmin. *a unidad de lectura vendr" especi(icada en la unidad de pre(erencia del usuario ltsH+ 'Hmin+ mtrM3H+ sc(+ lbmHmin+ sc(m+ etc+ etc/+ es decir+ lectura directa de caudal.

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Kan'os operacionales disponibles8 desde <+ ltrsH de a'ua <+<1 mtrM3H de aire/+ para tuber)as de di"metro 1H4N PT+ asta 1<<<<< ltrsH de a'ua 3<<< mtrsM3H de aire/ para tuber)as de di"metro 4N. Para di"metros de tuber)a ma#ores de 3N+ caudales asta 1<<<<<<< ltrsHmin+ se usar" el medidor de (lujo de tipo "rea variable modelo Npus bottonN.

,i#ura /. odelo de las especi(icaciones tcnicas de un Kot"metro 0l tubo medidor del tipo p#re&+ est" prote'ido por una carcasa protectora de acero ino&idable calidad 31D. 0* (lotador medidor se despla,a verticalmente a lo lar'o de una varilla 'u)a+ ra,ón por la cual pueden ser utili,ados para medir (luidos de una alta viscosidad. Kot"metros de se'uridad con (abricación especial # a re-uerimientos espec)(icos est"n disponibles. *os materiales usados son8 Tubo medidor en vidrio borosilicato tipo p#re&. !onectores # partes internas en acero ino&idable 31D. Orines # empa-ues en te(lón *a lon'itud de la escala medidora se o(rece en variados tama5os8 23< mm+ 33< mm+ 1<< mm+ etc. *a precisión es del 2J en (ull escala.  MEDIDORE( DE DE(2LAAMIENTO 2O(ITI'O

Con el (undamento o la base de mucos elementos de control. 0l medidor de despla,amiento positivo es un instrumento sensible al (lujo. 0ste responde a variaciones en el valor del (lujo # responde a se5ales mec"nicas correspondiente a la rotación del eje. Ce aplican en las si'uientes circunstancias8 donde se encuentre un (lujo 'rande+ donde se re-uiere una respuesta directa al valor de la variación del (lujo # donde la acción mec"nica es necesaria.

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*a variación de !d se debe a -ue se obtuvieron distintos caudales+ di(erentes volmenes # distintos tiempos. $. Conlusiones *os resultados arrojados por los caudales e&perimentales se apro&imaron en cierta medida a los caudales teóricos+ no ubo muco porcentaje de error. 7ebido a esto se puede decir -ue se icieron las cosas bien. Pero+ el mar'en de error -ue tuvimos se lo atribuimos a errores umanos en la toma de tiempos para el caudal por el mtodo volumtrico # a las lecturas pie,omtricas -ue en al'unas ocasiones no eran claras. 0l teorema de Bernoulli describe el comportamiento de los (luidos en conductos cerrados como las tuber)as/ en (unción de le velocidad+ la presión # la altura+ adem"s de las propiedades del (luido+ como la densidad. 7e modo -ue es mu# importante para el c"lculo de las redes de a'ua potable+ por ejemplo. Qste teorema -ue la presión es inversamentemente proporcional a la velocidad+ o sea a medida -ue aumenta la velocidad disminu#e la presión.

@. Ane;os

,i#ura 0. ontaje e&perimental. Bi*lio#ra$a /. Teorema de Bernoulli # sus aplicaciones. Tomado de8

ttps8HHperaltablo'.Lordpress.comH(isicaHse'undocorteH(luidosHbiblio'ra(iadedaniel bernoulliHteoremadebernoulli#susaplicacionesH 0.

7ispositivos para medir caudal. Tomado de8 ttp8HHtarLi.lamolina.edu.peHRdsaHedidores.tm

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Informe #6 Teorema de Bernoulli

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