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Control de Procesos 2010-11

Javier Arántegui Correo-e: [email protected]

Índice 1 Introducción general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Breve historia del control de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contexto de la disciplina y su relación con la industria alimentaria . . . . . Descripción cualitativa de un ejemplo de proceso alimentario y sus sistemas Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Instrumentación industrial

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2.1 Algunas definiciones de instrumentación 2.2 Algo de instrumentación . . . . . . . . . 2.2.1 Dispositivos de medida (sensores) 2.2.1.1 Medidores de caudal . . . . . 2.2.1.2 Sensores de temperatura . . . 2.2.2 Líneas de transmisión . . . . . . . . 2.2.3 Elementos finales de control . . . .

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3 Cómo abordar la dinámica de un sistema

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3.1 3.2 3.3 3.4

Un ejemplo de dinámica de un sistema. ¿Qué se desea conocer? . La transformada de Laplace como herramienta útil . . . . . . . . . La función de transferencia. Álgebra de funciones de transferencia Transformadas de algunas funciones singulares . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Función pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Función impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Función rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Inversión de transformadas. De vuelta al tiempo real . . . . . . . . 3.6 Expansión en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.1 Definición de sistema de segundo orden . 5.2 Respuesta a una entrada en escalón . . . 5.2.1 Respuesta sobreamortiguada . . . . 5.2.2 Respuesta críticamente amortiguada 5.2.3 Respuesta subamortiguada . . . . . 5.3 Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Retrasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Sistemas lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Definición de sistema lineal de primer orden Respuesta a una entrada en escalón . . . . . Respuesta a una función impulso . . . . . . . Respuesta a una función sinusoidal . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice

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5.5 Problemas

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6 Acciones de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

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Descripción de un bucle de control . . . . . . . . . . . Control proporcional (P) . . . . . . . . . . . . . . . . . Control Proporcional + Integral (PI) . . . . . . . . . Control Proporcional + Derivativo (PD) . . . . . . . Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID) Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Control por retroalimentación de sistemas lineales

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7.1 Acción de control proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Procesos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Procesos de 2o orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Acción de control integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Acción de control derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Acciones de control combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Acción de control PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Acción de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Influencia de los retrasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Introducción al diseño de sistemas de control por retroalimentación 7.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Análisis de estabilidad de sistemas

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Definición de estabilidad. Ecuación característica . . . . . . Método de Routh-Hurvitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Método del lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Análisis armónico de sistemas lineales. Diagramas de Bode 8.4.1 Sistemas lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Sistema lineal de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Retraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4 Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.1 Controlador proporcional . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.4.2 Controlador proporcional+integral . . . . . . . . . 8.4.4.3 Controlador proporcional+derivativo . . . . . . . . 8.4.4.4 Controlador proporcional+integral+derivativo . . 8.4.5 Sistemas de varios componentes . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Criterio de estabilidad de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Márgenes de ganancia y de fase . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Métodos empíricos y semiempíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Método del ensayo y error . . . . . . . . . Métodos de criterio único . . . . . . . . . . Método del criterio integral con el tiempo Método de la curva de respuesta. Método Método de Ziegler y Nichols . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Sistemas de control avanzado

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. de Cohen y Coon .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

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10.1 Procesos con retrasos grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 Control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Capítulo 1 Introducción general 1.1 Breve historia del control de procesos Los primeros sistemas de control conocidos, ya en la antigüedad, son mecanismos destinados al control del caudal para regular un reloj de agua o el control de nivel de líquido en una lámpara de aceite o en un recipiente de vino, que se mantiene lleno a pesar de los muchos vasos que se sacan. De hecho, el control del caudal de fluido se reduce al control del nivel del fluido, ya que un pequeño orificio producirá caudal constante si la presión es constante. El mecanismo de control de nivel de líquido inventado en la antigüedad y todavía usado para controlar nivel es la válvula flotante, semejante a la del depósito de agua de un inodoro corriente. El flotador está hecho de tal manera que, cuando el nivel baja, el caudal del depósito aumenta y cuando el nivel sube, el caudal disminuye y, si es necesario, se corta (Figura 1.1). En este caso el sensor y el actuador están combinados en el mismo dispositivo, el flotador y la combinación de tubo de alimentación.

Figura 1.1. Un tonel que nunca se acaba. Ejemplo del control de nivel de líquido y caudal tal como se realizaba en la antigüedad.

Un caso más moderno de control por retroalimentación es el control de temperatura de un horno para calentar una incubadora, sistema que fue diseñado por Drebbel (hacia 1620). El horno constaba de una caja que contenía el fuego, con un tubo en la parte superior provisto de un regulador de tiro (Figura 1.2). Dentro de la cámara de combustión estaba la incubadora de paredes dobles y el hueco que quedaba entre las paredes se llenaba de agua. El sensor de temperatura era un recipiente de vidrio lleno de alcohol y mercurio colocado en la cámara de agua en torno a la incubadora. A medida que el fuego calentaba la caja y el agua, el alcohol se dilataba y el vástago con flotador se desplazaba hacia arriba, bajando el regulador de tiro sobre la boca del tubo. Si la caja está demasiado fría, el alcohol se contrae, el regulador de tiro se abre y el fuego arde más fuertemente. La temperatura deseada está determinada por la longitud del vástago del flotador, que determina la apertura del regulador de tiro para una dilatación determinada de alcohol. La búsqueda de un medio para controlar la velocidad de rotación de un eje fue un problema famoso en las crónicas del control automático. La principal motivación era la de controlar automáticamente la velocidad de la piedra de molienda de un molino de viento harinero. De los varios métodos que se intentaron, el más prometedor resultó ser el que usaba un péndulo cónico, o regulador de bola flotante. Este dispositivo se usó para medir la velocidad del molino; las aspas del molino de viento se hacían girar con cuerdas y poleas, casi como persianas, para mantener una velocidad fija. Pero no fue el molino de viento es que hizo famoso el regulador de bola flotante, fue su adaptación a la máquina de vapor en los laboratorios de James Watt, alrededor de 1788 (Figura 1.3). 5

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Introducción general

Figura 1.2. Croquis de la incubadora de Drebbel para empollar huevos de gallina.

Figura 1.3. Máquina de vapor con un regulador centrífugo o de bola flotante, que aparece en la parte derecha de la imagen

La acción del regulador centrífugo es fácil de describir. Supongamos que la máquina está operando en equilibrio y aplicamos de pronto una carga. En ese momento disminuirá la velocidad de la máquina y las bolas del regulador caerán a un cono más pequeño. De este modo, el ángulo de las bolas se usa como sensor de salida. Esta acción, a través de palancas, abrirá la válvula principal al núcleo de vapor (que es el actuador) y admitirá más vapor a la máquina, recuperando la totalidad de la velocidad perdida. Para mantener la válvula de vapor en una nueva posición es necesario que las bolas giren a un ángulo diferente, lo que implica que la velocidad con una carga no es exactamente la misma que la anterior. Para recobrar la misma velocidad en este sistema, sería necesario reponer la velocidad deseada cambiando la longitud de la barra de la palanca a la válvula. Otros inventores introdujeron mecanismos que integraron el error de velocidad y así proporcionaron una reposición automáticas. Estos sistemas tienen error estacionario cero a perturbaciones constantes. Watt fue un hombre práctico, como el constructor de molinos anterior a él, y no se ocupó de análisis teóricos del regulador. En este sentido son de gran importancia las contribuciones de G.B. Airy, que fue profesor de matemáticas y astronomía de la Universidad de Cambridge desde 1826 a 1835 y Astrónomo Real en el Observatorio de Greenwich desde 1835 a 1881. Airy se interesó por el control de la velocidad; si sus telescopios hubieran podido girar en sentido contrario a la Tierra, se habría podido observar una estrella fija durante largos períodos de tiempo. Él utilizó el regulador centrífugo de péndulo y descubrió que era capaz de movimiento inestable. Airy realizó la primera exposición histórica de la inestabilidad en un sistema de control, el análisis de un sistema a través de ecuaciones diferenciales y, por tanto, los comienzos del estudio de la dinámica de control con retroalimentación. El primer estudio sistemático de la estabilidad del control retroalimentado apareció en el trabajo On Governors de J.C. Maxwell (1868). En este trabajo, Maxwell desarrolla las ecuaciones diferenciales del regulador, linealizándolas en torno al equilibrio, y estableció que la estabilidad

1.1 Breve historia del control de procesos

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depende de que las raíces de una cierta ecuación (característica) tengan partes reales negativas. Lo consiguió solamente para los casos de segundo y tercer orden. El problema de la determinación de criterios de estabilidad sirvió para el premio Adams de 1877, que fue ganado por E.J. Routh. Su criterio, desarrollado en el ensayo que obtuvo el premio, tiene el interés suficiente como para que los ingenieros de control sigan aprendiendo a aplicar su sencilla técnica. El análisis de la ecuación característica siguió siendo el fundamento de la teoría de control hasta la invención del amplificador retroalimentado electrónico por H.S. Black en 1927 en los laboratorios de la Bell Telephone. Después de la publicación del trabajo de Routh, el matemático ruso A.M. Lyapunov comenzó a estudiar la cuestión de la estabilidad del movimiento; en 1892 utilizó las ecuaciones no lineales de movimiento e incluyó resultados equivalentes al criterio de Routh. Su trabajo fue fundamental, pero no se introdujo en la literatura de control hasta 1958. Con la introducción de los amplificadores electrónicos, las llamadas a larga distancia llegaron a ser posibles en las décadas posteriores a la Primera Guerra Mundial. Sin embargo, conforme la distancia aumenta, lo hace la pérdida de energía eléctrica, a pesar del uso del alambre de gran diámetro, y se requieren más y más amplificadores para reemplazar las pérdidas. Lamentablemente, con tantos amplificadores había mucha distorsión ya que las pequeñas no linealidades de los tubos de vacío se multiplicaban una y otra vez. Como solución a este problema, Black propuso el amplificador retroalimentado. Para reducir la distorsión hay que aumentar la retroalimentación, es decir, la ganancia del lazo del actuador debe aumentarse mucho. Todos los que han tratado de subir el volumen en un sistema de amplificación público mal ubicado han experimentado lo descubierto por Black; con altas ganancias el lazo de retroalimentación comienza a pitar y es inestable. Aquí, en una tecnología diferente estaba el problema de estabilidad de Maxwell y Routh, y la dinámica era tan compleja (las ecuaciones diferenciales de orden 50 son muy comunes) que el criterio de Routh no sirvió de mucho. Los ingenieros de comunicaciones estaban familiarizados con la idea de respuesta de frecuencia y con matemáticas de variable compleja desarrollada por Cauchy y otros, así que los trabajos en los laboratorios de la Bell se orientaron al análisis complejo. En 1932, H. Nyquist publicó un artículo describiendo como determinar la estabilidad desde un gráfico de la respuesta de frecuencia del lazo. A partir de esta teoría se desarrolló una extensa metodología de diseño de amplificadores retroalimetados, descrita en el libro de Bode (1945). Simultáneamente al desarrollo del amplificador retoralimentado, el control retroalimentado de procesos industriales empezó a ser la norma. En este campo, caracterizado por procesos que no solamente son muy complejos sino también no lineales y sujetos a retrasos de tiempo relativamente largos entre actuador y sensor, se desarrolló la práctica del control proporcional, más integral y más diferencial, el control PID descrito por Callender, Hartree y Porter (1936). Esta tecnología, basada en un amplio trabajo experimental y aproximaciones linealizadas simples al sistema dinámico, llevó a experimentos estándar apropiados para la aplicación en el campo y finalmente a una satisfactoria sintonía de los coeficientes del controlador PID. También se desarrollaron en esta época los dispositivos para guía y control de aviones; especialmente importante fue el desarrollo de sensores adecuados para medición de altura y velocidad de los aviones. Se dio un enorme impulso al control retroalimentado durante la Segunda Guerra Mundial. En Estados Unidos, ingenieros y matemáticos del Laboratorio de Radiación del MIT combinaron sus conocimientos para aportar juntos no solamente la teoría de los amplificadores retroalimentados de Bode y el control PID de los procesos, sino también de procesos estocásticos desarrollados por N. Wiener (1930). El resultado fue el desarrollo de un conjunto completo de técnicas para el diseño de mecanismos de control, o servomecanismos, como también han sido llamados. Otro enfoque al diseño de sistemas de control se introdujo en 1948 por W.R. Evans, que trabajaba en el campo de guía y control de aviones. Muchos de estos problemas tiene estados dinámicos inestables o neutralmente estables, y él sugirió un retorno al estudio de la ecuación característica que había sido la base del trabajo de Maxwell y Routh 70 años antes. Sin embargo Evans desarrolló técnicas y reglas que permiten seguir gráficamente los pasos de los lugares geométricos de las raíces de la ecuación característica cuando se cambiaba un parámetro. Su método, el lugar geométrico de las raíces, es adecuado para el diseño y análisis de estabilidad y continúa siendo hoy día una técnica importante.


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1.2 Contexto de la disciplina y su relación con la industria alimentaria Una industria alimentaria es una serie de operaciones básicas (bombas, intercambiadores de calor, evaporadores, etc.) integradas de una manera sistemática y racional. El proceso, entre otros requerimientos, debe cumplir con las exigencias de: 1. Seguridad. 2. Especificaciones de producción: La planta debe producir la cantidad y la calidad de productos finales requeridos. 3. Regulaciones medioambientales. 4. Restricciones de proceso: Las bombas no pueden trabajar si no tienen una succión neta positiva en cabeza, los tanques no pueden rebosar o vaciarse completamente, etc. 5. Economía: El proceso debe trabajar en los niveles óptimos de mínimo gasto económico y máximo beneficio. Para cumplir estos objetivos se debe constituir el sistema de control, que está formado por personas (diseñadores de planta, operadores de planta) y equipo (dispositivos de medida, válvulas, controladores, ordenadores). El sistema de control para cumplir estos objetivos debe: 1. Suprimir la influencia de perturbaciones externas. 2. Asegururar la estabilidad del proceso. 3. Optimizar el rendimiento del proceso.

1.3 Descripción cualitativa de un ejemplo de proceso alimentario y sus sistemas de control Una planta de pasteurización es un buen ejemplo de procesos alimentario. Cumple los requerimientos de todo proceso: 1. Seguridad : Se deben minimizar los riegos del proceso. Para el ejemplo, trabajar con fluidos calientes, riesgos de contaminación, etc. 2. Especificaciones de producción: Las comentadas en el apartado anterior. 3. Regulaciones medioambientales: Si no lo están en el proceso sí que lo están, por ejemplo, en las calderas que calientan el agua para la obtención de vapor. 4. Restricciones de proceso: Las comentadas en el apartado anterior. 5. Economía: Las comentadas en el apartado anterior. Como ejemplos de magnitudes a controlar en el proceso se encuentra el nivel de los depósitos, caudales, porcentaje de la materia grasa de la leche, temperaturas de salida de los intercambiadores de calor. El sistema de control debe cumplir los objetivos propuestos: 1. Suprimir la influencia de perturbaciones (cambios en las variables de proceso no deseados) externas: P.ej., variaciones en la temperatura de los servicios –vapor, agua caliente o fluido refrigerante– en los intercambiadores de calor de placas. 2. Asegurar la estabilidad del proceso. 3. Optimización del rendimiento. No es sencillo justificar las mejoras en el sistema de control de un proceso debido, entre otras, a las siguientes razones: 1. Pequeños márgenes de beneficio.

1.3 Descripción cualitativa de un ejemplo de proceso alimentario y sus sistemas de control

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Figura 1.4. 1. Depósito regulador. 2. Pasteurizador de la leche. 3. Depósito de retención. 4. Centrífuga desnatadora. 5. Válvula modulante. 6. Homogeneizador. 7. Densímetro. 8. Pasteurizador de la nata. 9. Panel de estandarización.

Controlador

Temperatura deseada

Agua caliente

Leche cruda

Temperatura medida de la leche pasteurizada

Leche pasteurizada

Agua fría Intercambiador de calor

Temperatura de la leche pasteurizada

Termómetro

Figura 1.5. Esquema del sistema de control de temperatura de un pasteurizador de leche.

2. Disponibilidad de los productos agrícolas por temporadas. Las razones más normales para mejorar el sistema de control son: 1. Aumentar la producción. 2. Reducir la mano de obra. que normalmente no son adecuadas para la industria agroalimentaria. Los procesos alimentarios son generalmente complejos de automatizar. Las materias primas de este tipo de indústrias presentan una mayor variabilidad frente a otro tipo de materias primas de otras indústrias. En muchos casos, además, esta variabilidad es difícil o imposible de medir. Es el caso de productos con mal aspecto, olor o sabor. Mientras que el color puede ser medido de manera sencilla, no exiten sistemas de medición in-line para las magnitudes anteriores.


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Este panorama lentamente va cambiando a medida que la indústria de los alimentos va adoptando soluciones tecnológicas desarrolladas para otro tipo de indústrias. También va desarrollando nuevas soluciones que se adapten a sus características, como puede ser sensores adecuados.

1.4 Conceptos generales 1. Dinámica: Comportamiento de un proceso dependiente del tiempo. En la teoría del control se estudia básicamente la dinámica de dos tipos de sistema: a) Sistema de lazo abierto: Respuesta del sistema sin controladores o con un control en adelanto (feedforward ). b) Sistema de lazo cerrado: Comportamiento del sistemaincluido un control por retroalimentación (feedback ). Ejemplo 1.1. En el problema 1.1. a) se muestra la diferencia existente en un sistema de control de un tostador de pan si el control es de lazo abierto (control en adelanto) o si es de lazo cerrado (control por retroalimentación). 2. Variables: A continuación se definen los diferentes tipos de variables implicados en la dinámica y control de sistemas: a) Variables manipulables: Elementos del proceso que se pueden modificar para controlar la planta. Normalmente se trata de caudales. b) Variables controladas: Parámetros de proceso –caudales, niveles, temperaturas, presiones, etc.– que se quieren controlar, ya sea para mantenerlos constantes o para seguier una cierta evolución con el tiempo. c) Variables no controladas: Variables del proceso que no son controladas aunque pueden ser medidas. d) Perturbaciones: Entradas al proceso que no pueden ser controladas pero que deben tener un valor fijo en el proceso. 3. Consigna (Set point): Es el valor deseado de la variable a controlar. Puede ser constante o variar con el tiempo. 4. Control en adelanto (Feedforward ): Se trata de un sistema de control de lazo abierto. Se detecta la perturbación cuando entra en el proceso y se realiza el cambio necesario en las variables manipulables para que la variable controlada se mantenga constante. Perturbaciones Variable manipulable

Proceso Elemento final de control

Variable controlada

Medidor Controlador en adelanto Figura 1.6. Control en adelanto.

Ejemplo 1.2. Se muestra un sistema de control en adelanto en el Problema 1.1 b). Se trata del sistema de control de una lavadora. Para este sistema es necesaria una calibración del sistema de control. Es importante resaltar que no se mide en ningún momento la variable controlada.

1.4 Conceptos generales

11

5. Control por retroalimentación (Feedback ): Se mide la variable controlada a la salida del proceso y se compara con la consigna (el valor deseado de la variable controlada). La diferencia (error) se alimenta al controlador por retroalimentación que modifica la variable manipulable. Perturbación

Variable manipulable

Elemento final de control

Variable controlada

Proceso

Controlador por retroalimentación

Medidor

Consigna Figura 1.7. Control por retroalimentación.

Ejemplo 1.3. En el apartado c) del Problema 1.1 se muestra que el sistema de control automático de un avión es un sistema de control por retroalimentación. Ventajas

Desventajas Feedforward 1. Actúa antes de que la perturbación sea 1. Requiere la identificación de las posibles introducida en el sistema. perturbaciones y su medida directa. 2. Bueno para sistemas lentos (multicapacidad) 2. No puede operar con perturbaciones no o con tiempos muertos significativos. medibles. 3. No introduce inestabilidad debida a la 3. Sensible a las variaciones de los respuesta de ciclo cerrado parámetros del proceso. 4. Requiere un buen conocimiento del modelo del proceso. Feedback 1. No requiere la identificación y medida de 1. Antes de tomar la acción de control todas las perturbaciones. espera a que la perturbación haya sido eliminada del sistema. 2. Es insensible a los errores de modelado. 2. Es insatisfactorio para procesos lentos con tiempos muertos significativos. 3. Es insensible a los cambios de parámetros. 3. La respuesta de bucle cerrado puede crear inestabilidad. Tabla 1.1. Comparativa de los controladores en adelanto y los controladores por retroalimentación.

Ejemplo 1.4. En el Problema 1.2. hay una discusión sobre las ventajas e inconvenientes del control por retroalimentación y en adelanto de un sistema de control de temperatura de un edificio. 6. Estabilidad: Un proceso es inestable si su salida se va haciendo mayor (positiva o negativamente) con el tiempo. La mayoría de los sistemas de lazo abierto son estables. Todos los sistemas de lazo cerrado son inestables si la ganancia del controlador se hace los suficientemente grande. Normalmente el rendimiento del controlador aumenta con la ganancia, pero disminuye su tolerancia a los cambios de parámetros del proceso. 7. Control analógico: En este caso los datos son medidos de manera continua en el tiempo.


12

8. Control digital: Se da cuando los datos son medidos de manera discreta ya sea debido a la utilización de computadores digitales o debido a métodos de medida muy lentos en comparación con la dinámica del proceso. P.ej., análisis mediante cromatografía. 9. Leyes del Control de Procesos: a) Primera ley: El sistema de control más simple es el que mejor funcionará. b) Segunda ley: Se debe entender el proceso antes de intentar controlarlo. 10. Elementos físicos de un sistema de control: a) Instrumentos de medida o sensores: Son los elementos de control encargados de medir las perturbaciones, las variables controladas, etc. Son las principales fuentes de información de cómo va el proceso. Un elemento crucial para la selección de un sensor es su capacidad de transmitir información fácilmente. P.ej., es preferible un termopar a un termómetro de mercurio. b) Transductores: Elementos del sistema de control que convierten magnitudes físicas que no pueden ser utilizadas para el control en otras que sí lo pueden ser (una corriente eléctrica o una señal neumática, p.ej.). P.ej., convertir una señal de presión en una señal eléctrica. c) Lineas de transmisión: Llevan la señal desde el sensor al controlador y del controlador al elemento final de control. La transmisión acostumbra a ser eléctrica o neumática. Frecuentemente se debe amplificar la señal del sensor antes de transmitirla. d) Controlador : Recibe las señales de los sensores y decide la acción que se debe tomar. e) Elemento final de control : Es el dispositivo físico que lleva a cabo la decisión del controlador. Típicamente es una válvula aunque también puede ser una bomba de velocidad variable, una compuerta, ... f) Registradores: Proveen de un soporte visual y registro histórico del funcionamiento del sistema.

1.5 Problemas Problema 1.1. Identificar si el sistema de control para los siguientes equipos es de lazo abierto (en adelanto, feedforward) o cerrado (retroalimentación, feedback): a) Un tostador de pan automático b) Una lavadora c) El piloto automático de un avión. Asimismo, identificar las entradas y salidas de los sistemas mencionados. Indicar posibles sistemas de control de lazo cerrado para aquellos equipos que los tengan de lazo abierto.

Solución a) Un tostador de pan automático Se trata de un sistema de control en adelanto (de lazo abierto o feed-forward , las tres denominaciones significan lo mismo). El objetivo de control es lograr un determinado grado de tostado, para lograrlo se fija el tiempo de tostado en el sistema de control del tostador, para ello se fija el tiempo durante el cual se suministrará energía en forma de calor a la tostada. Este lazo abierto de control se puede ver en el siguiente diagrama de bloques: Grado de tostado deseado

Control del tostador

Tiempo

Resistencia electrica

Calor

Proceso de tostado

Grado de tostado

También se podría diseñar un sistema de control de lazo cerrado, también denominado por retroalimentación o feedback :

1.5 Problemas

Grado de tostado deseado

13

+

Error −

Control del tostador

Resistencia electrica

Proceso de tostado

Grado de tostado

Medidor

El medidor del grado de tostado podría medir el color en la superficie de la tostada, de manera que se logrará siempre tener el grado de tostado óptimo. Así se evitaría el problema más habitual de los tostadores: la primera tostada sale bien, pero las siguientes acostumbran a salir demasiado tostadas, ya que el sistema de control en adelanto no tiene en cuenta el hecho de que el tostador está caliente. b) Una lavadora El sistema de control de una lavadora vuelve a ser un sistema de control en adelanto. En este caso, el objetivo del sistema de control es el grado de limpieza. Al seleccionar un programa de lavado se busca obtener un cierto grado de limpieza de la ropa, aunque este grado de limpieza no se mide en ningún momento. El sistema de control simplemente proporciona una serie de órdenes consistentes en aperturas y cierres de válvulas, tiempo durante tiene que estar girando el tambor, conectar y desconectar la resistencia que calienta el agua, etc. Se puede plantear el siguiente diagrama de bloques: Seleccion del programa

Control de la lavadora

Proceso de lavado

Grado de limpieza

Se puede diseñar fácilmente un sistema de control por retroalimentación (lazo cerrado). Este sistema continuaría utilizando un sistema de control en adelanto para la gestión de los diferentes programas, pero utilizaría un sistema de control por retroalimentación para determinar cuándo debe renovar el agua de lavado, lo que supone un ahorro en el consumo de agua ya que no se sustituiría hasta que no fuese estrictamente necesario. Para ello mediría la turbidez del agua mediante un sensor adecuado. En el momento que el agua no fuera lo suficientemente transparente (lo que indicaría que ya no tiene más capacidad de eliminar la suciedad de la ropa), la lavadora procedería a su sustitución. Este sistema de control ya está disponible en algunas lavadoras de gama alta. c) El piloto automático de un avión En este caso el sistema de control es por retroalimentación. Se marca al piloto automático una dirección de vuelo, el sistema de control mide la dirección del avión y según el error entre la dirección seguida y la deseada (consigna) se marcan la posición de los alerones y del timón, lo que hace modificar la dirección actual del avión para acercarla a la deseada. Un diagrama de bloques simplificado sería el siguiente:

Direccion deseada

+

Error −

Posicion de los alerones y timon Controlador

Proceso de vuelo

Direccion a la que se desplaza el avion

Medidor

Problema 1.2. Describir sistemas de control adecuados para regular la temperatura de un edificio en los que se mida: a) La temperatura interior b) La temperatura exterior


14

Discutir las ventajas e inconvenientes de las diferentes posibilidades.

Solución a) La temperatura interior En este caso, la solución más sencilla es diseñar un sistema de control por retroalimentación, como muestra el diagrama de bloques siguiente: Control del sistema de calefaccion

Tiempo Potencia

+

Energia = Tiempo * Potencia

Tinterior

Proceso

Medidor

−

Tinterior consigna

El medidor mide la temperatura interior de la local que deseamos mantener a una temperatura constante. El valor medido de la temperatura se envía a un comparador, con lo que se obtiene la diferencia de temperatura existente entre la medida y la deseada. Ese error se envía al controlador que actúa sobre el sistema de calefacción. Este sistema de calefacción suministra una cierta potencia. El sistema de control "decide" durante cuánto tiempo se debe suministrar potencia al local, es decir, cuánta energía se suministra para aumentar la temperatura, si la temperatura interior es inferior a la de consigna. b) La temperatura exterior En este caso se opta por seleccionar un sistema de control de lazo abierto, como el que muestra el diagrama de bloques siguiente: Tinterior consigna

Error +

−

Control del sistema de calefaccion

Energia = Tiempo * Potencia Proceso

Tinterior

Medidor

Texterior

En este caso se mide, utilizando un termómetro, la temperatura exterior y se compara con la temperatura interior deseada. El error obtenido se lleva al sistema de control de la calefacción, este controlador en función del error decide la cantidad de energía (es decir, durante cuánto tiempo se debe suministrar potencia al local) para alcanzar la temperatura interior deseada. Ventajas de cada uno de los sistemas El lazo abierto presenta la ventaja de evitar los posibles problemas que puede significar el tener que controlar un sistema con una gran inercia, como puede ser el sistema de calefacción de un edificio. Estos sistemas responden a los cambios muy lentamente, lo que significa que presentará bastantes problemas (como se verá en temas posteriores) a la hora de diseñar el sistema de control por retroalimentación. El principal problema del sistema de lazo abierto es que debe de tener una buena curva de calibrado (que relacione el error con la cantidad de energía que se debe suministrar para lograr la temperatura interior deseada) para funcionar correctamente.

1.5 Problemas

15

Problema 1.3. ¿Qué tipo de acción de control tienen los actuales sistemas de regulación del tránsito de vehículos en las ciudades? ¿Cómo se podrían mejorar estos sistemas de regulación?

Problema 1.4. Explicar como el concepto económico conocido como la ley de la oferta y la demanda se puede interpretar como un sistema de control por retroalimentación. Escoger el precio del mercado de un artículo en particular como la salida del sistema y suponer que el objetivo del sistema es mantener la estabilidad en el precio

Solución Se puede plantear el siguiente diagrama de bloques que describe el funcionamiento de la ley de la oferta y la demanda: ε Control de Precio + ∆sp − precios

∆ −

+

O

D

Ofertantes

Demandantes

P

P

donde: •

•

• •

P es el precio D es la cantidad de producto demandada/año O es a cantidad de producto ofertada/año ∆ = O − D, es la diferencia entre la cantidad de producto ofertada y demandada

•

∆sp = 0, ya que el objetivo del mercado es igualar la oferta con la demanda a través de la variación de los precios

•

ε = ∆sp − ∆ = D − O, es el error del que alimenta al control de precios

Se puede comprobar cualitativamente que el sistema funciona. Por ejemplo, si la cantidad de producto ofertada/año es mayor que la cantidad demandada, ∆ > 0. Como consecuencia ε < 0, lo que implica que el precio disminuye. Problema 1.5. Se utiliza un tanque agitado para calentar una corriente líquida. Para ello se dispone de un serpentín en el interior del tanque por el que se hace circular vapor. Proponer diferentes alternativas de sistemas de control para que se cumplan los siguientes objetivos: i. mantener la temperatura del efluente a una cierta temperatura de consigna, y, ii. mantener el volumen de líquido en el tanque constante a un cierto valor de consigna.

Capítulo 2 Instrumentación industrial 2.1 Algunas definiciones de instrumentación A continuación se definen unos cuantos conceptos de uso frecuente en el campo de la instrumentación: Elevevación de cero = 25 ºC Campo con elevación de cero = −25 a 300 ºC

Supresión de cero = 100 ºC

Campo con supresión de cero = 100 a 300 ºC Alcance = 200 ºC Campo = 100 − 300 ºC

−25 ºC

0 ºC

100 ºC

300 ºC

a)

Lectura

300

Lectura

300

Repetibilidad

100 100

Medida

Histéresis

300

100 100

b)

Medida

300

c)

Figura 2.1. Representación gráfica de algunas de las definiciones de los instrumentos. En b) y c) las flechas indican el sentido de la medida. En c), se ha exagerado la histéresis para que su efecto fuera más visible.

1. Campo de medida (range): Espectro o conjunto de valores de medida que están comprendidos dentro de los límites superior e inferior de la capacidad de medida o de transmisión 17

Instrumentación industrial

18

del instrumento. Viene expresado estableciendo los dos valores extremos. Para el ejemplo de la figura 2.1 es de 100-300 oC. 2. Alcance (span): Es la diferencia algebraica entre los valores superior e inferior del campo de medida del instrumento. Para el ejemplo el valor es de 200 oC. 3. Error: Es la diferencia entre el valor leído transmitido por el instrumento y el valor real de la variable medida. El error medio del instrumento es la media aritmética de los errores determinados para todos los valores crecientes y decrecientes de la variable medida. 4. Precisión (accuracy): Es la tolerancia de media o de transmisión del instrumento y define los límites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de servicio. Se puede expresar de las siguientes maneras: a) Porcentaje del alcance. Para el ejemplo de la figura anterior una lectura de 150 oC y una precisión de 0.5 %, la lectura se encontrará entre 149 y 151 oC, ya que 150 oC ± 0.005/200 = 150 oC ± 1 oC. b) Directamente. Por ejemplo, ± 1 oC. c) Porcentaje de la lectura efectuada. Por ejemplo, precisión de ± 1 % de 150 oC, es decir, ± 1.5 oC. d) Porcentaje del valor máximo del campo de medida. Precisión de 300 oC, ± 1.5 oC.

± 0.5 % de

La precisión varía en cada punto del campo de medida, el fabricante la especifica en todo el margen del instrumento indicando a veces su valor en algunas zonas de la escala. Cuando se desea obtener la máxima precisión en un punto determinado de la escala, se puede calibrar únicamente para este punto de trabajo, sin considerar los valores restantes del campo de medida. 5. Zona muerta (dead zone o dead band): Es el campo de valores que no hace variar la indicación o señal de salida del instrumento, es decir, que no produce su respuesta. Viene dada como porcentaje del alcance de la medida. Para el instrumento de la figura es de ± 1 %, es decir, ± 0.001 · 200 oC = ± 0.2 oC. 6. Sensibilidad (sensitivity): Es la razón entre el incremento de la lectura y el incremento de la variable que la ocasiona, después de alcanzarse el estado de reposo. Por ejemplo, si en un transmisor electrónico de 0-10 bar, la presión pasa de 5 a 5.5 bar y la señal de 11.9 a 12.3 mA (en una línea 4-20 mA), la sensibilidad es: 12.3 mA − 11.9mA 20mA − 4mA 5.5 bar − 5 bar 10 bar

= ± 0.5

También puede venir expresada en forma de porcentaje del alcance de la medida. Si la sensibilidad del instrumento de la figura es de ± 0.05 %, su sensibilidad será de ± 0.1 oC. 7. Repetibilidad (repeatability): Es la capacidad de reproducción de las medidas o señales de salida del instrumento al medir repetidamente valores idénticos de la variable en las mismas condiciones de servicio y en el mismo sentido de la variación, recorriendo todo el campo. Se considera en general su valor máximo (repetibilidad máxima) y se expresa como porcentaje del alcance, un valor representativo es el de ± 0.01 %. El término de

2.2 Algo de instrumentación

19

repetibilidad no incluye la histéresis. Para determinarla, el fabricante comprueba la diferencia entre el valor verdadero de la variable y la indicación o señal de salida del instrumento recorriendo todo el campo, y partiendo, para cada determinación, desde el valor mínimo del campo de medida. La repetibilidad viene dad por la fórmula siguiente: Repetibilidad =

rP

(xi − x) N

2

De manera que para los datos de la tabla siguiente la repetibilidad es: Repetibilidad =

r

0.00785 = ± 0.02% 19

Indicación Variable Desde 0.0 a 0.5 0.502 Desde 0.0 a 1.0 1.006 Desde 0.0 a 1.5 1.509 Desde 0.0 a 2.0 2.008 Desde 0.0 a 2.5 2.506 Desde 0.0 a 3.0 3.007 Desde 0.0 a 3.5 3.503 Desde 0.0 a 4.0 4.006 Desde 0.0 a 4.5 4.507 Desde 0.0 a 5.0 5.010

Variable Indicación Desde 0.0 a 5.5 5.505 Desde 0.0 a 6.0 6.006 Desde 0.0 a 6.5 6.501 Desde 0.0 a 7.0 7.003 Desde 0.0 a 7.5 7.504 Desde 0.0 a 8.0 8.009 Desde 0.0 a 8.5 8.508 Desde 0.0 a 9.0 9.008 Desde 0.0 a 10.0 10.005

Tabla 2.1. Ejemplo de medidas de un instrumento recorriendo todo el campo de medida.

8. Histéresis (hysteresis): Es la diferencia entre los valores indicados por el instrumento para un valor cualquiera del campo de medida cuando la variable recorre toda la escala en sentido ascendente y descendente. Se expresa como porcentaje del alcance. Por ejemplo, si un termómetro de 0-100 oC, para el valor de la variable 40 oC, la temperatura es de 39.9 oC al subir la temperatura desde 0 oC, e indica 40.1 oC al bajar la temperatura desde 100 oC, el valor de la histéresis es de: 40.1 oC − 39.9 oC 100 = ± 0.2% 100 oC − 0 oC

2.2 Algo de instrumentación 2.2.1 Dispositivos de medida (sensores) Para el correcto funcionamiento de un sistema de control es imprescindible una buena medida de la variable controlada y unas líneas de transmisión efectivas. Existe una gran cantidad de dispositivos de medida y su número aumenta día a día. Difieren entre sí tanto en el principio básico de medida como en su construcción. En la tabla siguiente se muestran algunos de los sensores más típicos en el control de procesos junto con sus posibles aplicaciones. Para una información más detallada generalmente hay que recurrir a los fabricantes de sensores.

Instrumentación industrial

20

Variable de proceso medida

Dispositivo de medida

Comentarios

Temperatura

Termopares Termómetros de resistencia Termómetros bimetálicos

Presión

Manómetros Tubos de Bourdon Diafragmas Elementos piezoeléctricos Elementos piezoresistivos

Sistemas más comunes para temperaturas relativamente bajas

Basados en la deformación de materiales elásticos Utilizados para convertir la presión en una señal eléctrica

 

Caudal

Placas de orificio Medidores de Venturi Tubos de Dahl Medidores de turbina Ultrasonidos

Nivel de líquidos

Medidas de conductividad Buenos con dos fases Medidas dieléctricas Dispositivos de desplazamiento Acoplados a convertidores de señal Flotadores

Composición

Cromatógrafos pHmetros Analizadores IR Analizadores UV

Basados en la medida de las pérdidas de  carga del fluido

Requiere tiempos de análisis largos

Conveniente para uno o dos compuestos químicos

Tabla 2.2. Principales sensores utilizados en la industria alimentaria.

A continuación se comenta con un poco de detalle cuatro de los dispositivos de medida más utilizados en la industria de procesos. 2.2.1.1 Medidores de caudal Los medidores de caudal más utilizados en la indústria son aquellos que miden una diferencia de presión en el fluido al pasar por un elemento en la línea que crea una pérdida de carga. Para calcular el caudal volumétrico que pasa por ese punto se recurre a la ecuación de Bernoulli. Los más típicos son la placa de orificio, más barata, y el tubo de Venturi , más caro pero de mayor precisión. Un método diferente de medir el caudal volumétrico es la utilización de turbinas. En este caso se calcula el flujo a partir del número de vueltas de la turbina para un tiempo dado. En general los medidores de caudal presentan dinámicas muy rápidas que normalemnte pueden sr modeladas con las siguiente ecuación algebráica: √ cuadal = α ∆P (2.1) donde α es una constante característica del medidor de caudal y ∆P es la diferencia de presión. 2.2.1.2 Sensores de temperatura Los más comunes son aquellos que miden la temperatura como una señal eléctrica. Entre ellos cabe destacar los termopares. Independientemente de sus diferencias constructivas, su dinámica básica puede ser descrita en función de sus perfiles de temperatura. El elemento sensor de la temepratura siempre se encuentra en el interior de una vaina de metal. Los termopares pueden ser modeladors siguiendo sistemas de primer orden o sistemas de segundo orden sobreamortiguados dependiendo de como estén construidos y de los materiales utilizados.

2.2 Algo de instrumentación

21

2.2.2 Líneas de transmisión En el caso de utilizar líneas de transmisión neumática muy largas puede ser que su efecto sobre la dinámica global del sistema no sea despreciable. Normalmente siguen una dinámica que puede ser descrita con la siguiente función de transferencia: Po e−τd s = Pi τ p + 1

(2.2)

donde Po es la presión de salida de la línea de transmisión neumática, Pi es la presión de entrada y τd/τ p ≈ 0.25.

2.2.3 Elementos finales de control El elemento final de control más común es la válvula. El sistema de control cambia la posición del émbolo ya sea utilizando aire comprimido, si es una válvula numática, o corriente eléctrica. Las válvulas neumáticas se distinguen principalmente en las air-to-close o fail open, en las que el émbolo desciende al aumentar la presión del aire. En caso contrario se trata de válvulas del tipo air-to-open o fail closed . Las válvulas puede ser modelizadas siguiendo una dinámica de segundo orden. Pero para las válvulas pequeñas o de tamaño medio la dinámica es tan rápida que se puede considerar que es un proceso de primer orden. Para la mayoría de productos el caudal que pasa por la válvula puede ser descrito por la ecuación siguiente: r ∆P F = K f (x) (2.3) ρ donde ∆P es la caída de presión del fluido al paso de la válvula, K es una constante que depende del tamaño de la válvula, ρ es la densidad del fluido y f(x) es una curva característica para la válvula. Otros elementos finales de control pueden ser motores de velocidad variable para ventiladores o bombas, la puesta en marcha o apagado de equipos, sistemas electrohidráulicos, etc.

Capítulo 3 Cómo abordar la dinámica de un sistema 3.1 Un ejemplo de dinámica de un sistema. ¿Qué se desea conocer? Como ejemplo se considera un sistema dinámico de nivel. En este caso se pretende encontrar el comportamiento con el tiempo de un depósito en función del caudal de entrada. Para ello habrá que buscar un modelo matemático que describa dicho comportamiento. Se recomienda seguir el siguiente procedimiento: 1. Se realiza el diagrama de flujo del sistema: En ese diagrama se marcan todas las variables implicadas. En este caso se trata de un depósito que se descarga por gravedad. Las variables implicadas son: •

Sección del depósito: A(t)

•

Caudales volumétricos de entrada y salida: q1(t) y q2(t)

•

Densidad del fluido: ρ(t)

•

Resistencia de la tubería al paso del fluido: R

•

Nivel del depósito: h(t)

q1(t)

A

h(t) R

q2(t)

Figura 3.1. El nivel del depósito depende de los caudales de entrada y salida del mismo.

2. Planteamiento del modelo matemático: Un modelo matemático es un conjunto de ecuaciones que relacionan entre sí las variables del sistema. Se basan en ecuaciones de estado, leyes de equilibrio, ecuaciones cinéticas y balances de materia, energía y cantidad de movimiento. Para el ejemplo, al aplicar el Balance Macroscópico de Materia: dA(t)h(t) ρ(t) = ρ(t) q1(t) − ρ(t) q2(t) dt

(3.1)

En el momento de plantear el modelo matemático hay que explicitar todas las hipótesis o simplificaciones realizadas. En este caso se han realizado las siguientes suposiciones: •

La densidad (ρ) y el area del depósito (A) son constantes e independientes del tiempo. 23

Cómo abordar la dinámica de un sistema

24

•

El caudal de salida del depósito depende del nivel y de la resistencia de la tubería h(t) al paso del fluido de este modo: q2(t) = R .

Teniendo en cuenta las hipótesis anteriores la ec. 3.1 queda como: A

h(t) dh = q1(t) − R dt

(3.2)

3. Definición de las variables de desviación: Debido a que lo realmente importante en control es conocer cuánto se ha desplazado el sistema respecto al estado estacionario se definen unas variables de desviación. Para el ejemplo, el balance macroscópico de materia en estado estacionario es: 0 = q1e −

he R

(3.3)

donde e indica estado estacionario. Restando ambos balances macroscópicos de materia (ecs. 3.2 y 3.3): A

d(h(t) − he) h(t) − he = q1(t) − q1e − R dt

(3.4)

Se definen las siguientes variables de desviación: H(t) ≡ h(t) − he Q1(t) ≡ q1(t) − q1e Las mayúsculas indican que se tratan de variables de desviación. Sustituyendo en la ec. 3.4 se obtiene: A

dH(t) H(t) = Q1(t) − dt R

(3.5)

Esta ecuación es el modelo matemático que representa la respuesta dinámica del tanque a cambios en el caudal de entrada. Resolviendo esta ecuación diferencial se puede saber cómo varía el nivel con el tiempo según cambia el caudal de entrada.

3.2 La transformada de Laplace como herramienta útil La trasnformada de Laplace f¯ (s) de una función f (t) se define como: Z ∞ ¯ L[f (t)] ≡ f (s) = f (t)e−st dt 0

donde t ∈ R y s ∈ C. El uso de transformadas de Laplace ofrece un método simple y elegante de resolver ecuaciones diferenciales como las que se obtienen en los modelos matemáticos de los procesos alimentarios. Entre las diferentes propiedades de las transformadas de Laplace cabe destacar: 1. Es un operador lineal: L[a1 f1(t) + a2 f2(t)] = a1 L[f1(t)] + a2 L[f2(t)] 2. La transformada de una derivada es: df (t) = s f¯ (s) − f (0) L dt Es importante resaltar que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden pasa a ser una ecuación lineal de primer grado. La transformada de la segunda derivada es: 2 d f (t) L = s2 f¯ (s) − sf (0) − f ′(0) dt2

3.3 La función de transferencia. Álgebra de funciones de transferencia

25

Generalizando: " # d(n) f (t) L = sn f¯ (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − − sf (n−2)(0) − f (n−1)(0) dtn Ejemplo 3.1. Esta propiedad permite resolver de manera sencilla ecuaciones diferenciales ya que las convierte en ecuaciones algebraicas. El Problema 2.3 muestra cómo se puede utilizar la transformada de Laplace para resolver una ecuación diferencial. 3. La transformada de Laplace de una integral es: Z t 1 f (t)dt = f¯ (s) L s 0 4. Translación de la transformada: L e−α t f (t) = f¯ (α + s) Translación de la función:

5. Teorema del valor final:

L[f (t − t0)] = e−t0 s f¯ (s)

(3.6)

h i L lim f (t) = lim s f¯ (s)

(3.7)

t→∞

s→0

Ejemplo 3.2. La aplicación de la transformada de Laplace a una función es sencilla disponiendo de las tablas de transformadas de Laplace y del conocimiento de las propiedades anteriores. En el Problema 2.1 se muestra cómo se aplica.

3.3 La función de transferencia. Álgebra de funciones de transferencia Para un proceso sencillo, como el del nivel del depósito, se puede plantear un esquema sencillo que describa en cierta medida al sistema: Para el ejemplo del nivel del depósito, f (t) = Q1(t) y y(t) = H(t). Es decir, en este caso el depósito es el proceso, la salida es la variación del nivel del depósito y la entrada al proceso es el caudal de entrada.

Entrada

Proceso

f (t)

Salida

y(t)

Figura 3.2. Representación simplificada de un proceso

En el caso de trabajar utilizando las transformadas de Laplace de las funciones de entrada y salida, se puede representar la dinámica del proceso mediante el uso de la función de transferencia. La función de transferencia G(s) liga la entada y la salida del sistema: G(s) =

L[y(t)] y¯ (s) = L[f (t)] f¯ (t)

donde y¯ (s) es la transformada de Laplace de la respuesta del proceso definida utilizando variables de desviación y f¯ (s) es la transformda de la función de desviación de la entrada.

Entrada

f¯(s)

G(s)

Salida

y¯(s)

Figura 3.3. La función de transferencia del proceso es G(s), f¯(s) y y¯(s) son la transformada de Laplace de las funciones de entrada y salida del proceso.


26

Para obtener la función de transferencia del ejemplo se realiza la transformada de Laplace de la ecuación diferencial 3.5: H(t) dH(t) = L Q1(t) − L A R dt Se realizan las transformadas considerando que el operador es lineal y conociendo la transformada de una derivada: H¯ (s) As H¯ (s) = Q1(s) − R Se supone que para t = 0 el sistema está todavía en estado estacionario, las variables de desviación son nulas. Operando la ecuación anterior para encontrar la función de transferencia: G(s) =

H¯ (s) R = Q1(s) RAs + 1

Este es la función de transferencia típica de un sistema de primer orden. Para los procesos más complicados, con diagramas de bloques más complejos, se recurre al álgebra de funciones de transferencia. En el caso de tener un conjunto de procesos en paralelo, es decir, para un diagrama de bloques en paralelo, se puede obtener una función de transferencia equivalente:

X(s)

G1

Y1(s)

G2

Y2(s) +

G3

Y3(s)

+

Y(s)

X(s)

G

Y(s)

+

Figura 3.4. Reducción de tres bloques en paralelo.

G(s) =

Y (s) Y1(s) + Y2(s) + Y3(s) = = G1(s) + G2(s) + G3(s) X(s) X(s)

Generalizando: G(s) =

G1

X1

G2

X2

Gi(s)

i

Para un diagrama de bloques en serie:

X0

X

...

Xn

1

Gn

Xn

X0

G

Xn

Figura 3.5. Reducción de un grupo de bloques en serie.

G(s) =

Xn X1 X 2 =

Xn = G1 G2 Gn X0 X0 X1 Xn−1

Generalizando: G(s) =

Y

Gi(s)

(3.8)

i

Ejemplo 3.3. El problema 3.6 muestra un ejemplo de sistema en serie. Se trata de dos depósitos de almacenamiento en serie. La curiosidad es que se plantea el sistema con interacción (el mostrado en la figura 3.5) y el sistema de tanques sin interacción, para el que no es aplicable de manera directa la ecuación 3.8.

3.4 Transformadas de algunas funciones singulares

27

3.4 Transformadas de algunas funciones singulares A continuación se muestran las transformadas de algunas funciones con las que se trabajará frecuentemente más adelante ya que pueden ser asimiladas como las perturbaciones más frecuentes. Si no se dice lo contrario todas estas funciones se definen para que su valor sea nulo a tiempo menor que cero.

3.4.1 Función escalón Es una función cuyo valor para tiempos menores que cero es nulo y que alcanza el valor M para tiempo mayores que 0: f (t)

M

t Figura 3.6. Función escalón de altura M

Esta función se define como: f (t) =

0 t<0 M t>0

La transformada de Laplace de esta función es: L[f (t)] =

M s

Si M es igual a 1 se tiene la función escalón unidad, U(t). En el caso de que la función tenga un retraso t0: f (t)

M

t0

t

Figura 3.7. Escalón de altura M retrasado un tiempo t0.

f (t) =

0 t < t0 M t > t0

O lo que es lo mismo: f (t − t0) =

0 t<0 M t>0


28

Por tanto, aplicando la propiedad número 4 (ecuación 3.6), la transformada de Laplace será: L[f (t − t0)] =

M −st0 e s

3.4.2 Función pulso Se trata de una función pulso con área A = Mt0: f (t)

M

t0

t

Figura 3.8. Función pulso de altura M y duración t0.

La función pulso se define como:  t<0  0 f (t) = M 0 < t < t0  0 t > t0

Utilizando la definición del escalón unidad también se puede escribir como: f (t) = M [U (t) − U (t − t0)] Por tanto, la transformada de Laplace será: M 1 e−st0 = 1 − e−st0 − L[f (t)] = f¯ (s) = M s s s

3.4.3 Función impulso Se trata de un pulso tal que M → ∞ y t0 → 0: f (t)

A = Mt0

t Figura 3.9. Función impulso de área A.

La transformada de Laplace de esta función es: L[f (t)] = f¯ (s) = A

3.4 Transformadas de algunas funciones singulares

29

En el caso particula de que el área sea 1 se habla de la función delta de Dirac δ(t). Se puede comprobar fácilmente que el impulso es la derivada de la función escalón. Ejemplo 3.4. En el Problema 3.4 se puede comprobar las diferencias y similitudes en la respuesta de un proceso a una entrada en escalón y en impulso.

3.4.4 Función rampa Se trata de una función lineal de pendiente M : f (t) Pendiente = M

t Figura 3.10. Función rampa de pendiente M.

Esta función se define como: f (t) =

0 t<0 = MtU (t) Mt t > 0

La transformada de Laplace es: L[MtU (t)] =

M s2

3.4.5 Funciones trigonométricas La función seno es: f (t)

t

Figura 3.11. Función seno de amplitud M y frecuencia angular ω.

Se define la función como: f (t) =

0 t<0 = MU (t) sen(ωt) M sen(ωt) t > 0

donde M es la amplitud y ω es la frecuencia angular, expresada normalmente como rad/s. La transformada de Laplace de la función seno es: L[M sen(ωt)] =

Mω s2 + ω 2


30

y la de la función coseno: L[M cos(ωt)] =

Ms s2 + ω 2

3.5 Inversión de transformadas. De vuelta al tiempo real Continuando con el ejemplo se estudiará la salida del sistema para una entrada de tipo escalón unidad: R R 1 H¯ (s) = Q1(s) = RAs + 1 RAs + 1 s Mediante el operador transformada inversa de Laplace (L−1) se obtiene la salida en tiempo real. Para ello hay que descomponer la función a invertir en partes asimilables a las que se encuentran en las tablas de transformadas de Laplace (apartado 3.7): 1 a b R H¯ (s) = = + RAs + 1 s s s + 1 AR Donde a y b son dos variables a determinar. Obviamente, a = R y b = − R. Por tanto, h h h t i t i t i − − − H¯ (s) = R − Re R A U (t) = RU (t) 1 − e R A = RU (t) 1 − e τ

donde τ = RA es la constante de tiempo y tiene dimensiones de tiempo. Cuanto mayor es τ más lenta es la respuesta, más tarda el sistema en alcanzar el estado estaH(t)

↑τ

t

Figura 3.12. Influencia en la respuesta de la consante de tiempo.

cionario. Se comprueba que cuanto menor es la sección del tanque más rápida es la respuesta. Si τ es grande se dice que el sistema presenta una gran inercia. Ejemplo 3.5. La técnica propuesta en este capítulo para obtener modelos matemáticos se puede utilizar para modelos de mayor complejidad, como el que se obtiene en la resolución del problema 3.7.

3.6 Expansión en fracciones parciales Un mátodo de inversión de transformadas de Laplace es la expansión en fracciones parciales. Para invertir la función f¯ (s) se reordena como una suma de funciones simples: f¯ (s) = f¯1(s) + f¯2(s) + + f¯s (s)

3.6 Expansión en fracciones parciales

31

Una vez realizada la descomposición se realiza la inversión de transformadas: f (t) = L −1 f¯1(s) + L−1 f¯2(s)] + + L−1 f¯s (s)

Normalmente las funciones a invertir en control de procesos aparecen como fracciones de polinomios en s del tipo: z¯ (s) f¯ (s) = p¯ (s) donde z(s) es un polinomio de orden m y p(s) es un polinomio de orden n. Para realizar la inversión de la transformada de Laplace se factoriza el denominador: f¯ (s) =

z(s) (s − p1)(s − p2) (s − pn)

donde pi son las raíces (ceros) del polinomio p(s). Si todos los pi son diferentes, se puede expresar f(s) como una suma de n términos: f¯ (s) =

A B C W + + + + s − p1 s − p2 s − p3 s − pn

Los numeradores de la ecuación anterior se evalúan de la siguiente manera: A = lím [(s − p1) f¯ (s)] s→ p1

B = lím [(s − p2) f¯ (s)] s→ p2

W = lím [(s − pn) f¯ (s)] s→ pn

Si existen raíces del denominador de f(s) repetidas, de nuevo se expresa f(s) como un producto de fracciones simples. Por ejemplo, en el caso de que una raíz se repita dos veces: f¯ (s) =

z(s) (s − p1)2 (s − p3)(s − p4) (s − pn)

la descomposición en fracciones simples es: f¯ (s) =

A B C W + + + + (s − p1)2 s − p1 s − p3 s − pn

(3.9)

Si la raíz se repite 3 veces (orden 3) la expansión sería así: z(s) (s − p1)3 (s − p4)(s − p5) (s − pn) A B C D W f¯ (s) = + + + + + (s − p1)3 (s − p1)2 s − p1 s − p4 s − pn f¯ (s) =

(3.10)

Los numeradores de la ecuación 3.9 se calculan de la siguiente manera: A = lím [(s − p1)2 f¯ (s)] s→ p1 d [(s − p1)2 f¯ (s)] B = lím s→ p1 ds C = lím [(s − p3) f¯ (s)] s→ p3

Para encontrar el numerador C de la ecuación 3.9 se debe tomar la segunda derivada. Generalizando al término A j de una raíz de orden N en p1: m−1 1 d N ¯ A j = lím (s − p ) f (s) 1 (m − 1)! s→ p1 dsm−1


32

Ejemplo 3.6. Aunque su utilización es un tanto tediosa existen casos, como el apartado d) del problema 3.2, que muy dificilmente se puede resolver sin utilizar la técnica de expansión en fracciones parciales. Esta técnica tiene la ventaja de ser muy sistemática.

3.7 Transformadas de Laplace f¯ (s) f (t), t > 0 Impulso unidad, δ(t0) 1 Pulso unidad, δA(t) Escalón unidad Rampa, f (t) = t t2 tn e−a t tn e−a t sin(ωt) cos(ωt) sinh(ωt) cosh(ωt) e−a t sin(ωt) e−a t cos(ωt)

1 1 − e−s A A s 1 s 1 s2 2! s3 n! sn+1 1 s+a n! (s + a)n+1 ω s2 + ω 2 s s2 + ω 2 ω s2 − ω 2 s s2 − ω 2 ω (s + a)2 + ω 2 s+a (s + a)2 + ω 2

Tabla 3.1. Transformadas de Laplace de varias funciones

f¯ (s)

f (t)

1 (s + a) (s + b) 1 (s + a) (s + b) (s + c) s+a (s + b) (s + c) a (s + b)2 a (s + b)3 a (s + b)n+1 1 s(a s + 1) 1 s(a s + 1)2 ω2 s(s2 + 2 ζ ω s + ω 2)

e −a t − e−b t b−a e −a t e−b t e−a t + (c − b)(a − b) + (a − c)(b − c) (b − a) (c − a) 1 (a − b) e−b t − (a − c)e−ct c−b −b t

s (1 + a s) (s2 + ω 2) s (s2 + ω 2)2 1 (s + a) [(s + b)2 + ω 2]

ate

a 2 −b t t e 2 a n −b t t b n!

1 − e−t/a

a + t −t/a e a p −ζ ω t e 2 1+ p sen ω 1 − ζ t − ϕ donde cosϕ = − ζ 1 − ζ2 1 1 − 1 + a2 ω 2 e−t/a + √ cos(ωt + ϕ) donde ϕ = atan(aω) 1 + a2 ω 2 1 sin(ωt) 2ω e −b t sen(ω t + ϕ) ω e−a t p + donde ϕ = atan 2 2 a−b (a − b) + ω ω (a − b)2 + ω 2

1−

Tabla 3.2. Transformada inversa de Laplace de funciones seleccionadas.

3.8 Problemas Problema 3.1.

3.8 Problemas

33

Hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) f (t) = e −2 tcos(t) b) f (t) = e −4 t + sen(t − 2) + t2 e−2 t c) f (t) = 2 e−t cos(10 t) − t4 + 6e−(t−10) para t > 0

Solución a) Aplicando la propiedad 4. Traslación de la transformada: L e−2t cos t =

s+2 s2 + 4 s + 5

b) El operador transformada de Laplace es lineal: L e−4 t + sen(t − 2) + t2 e−2 t = L(e−4t) + L(sen(t − 2)) + L(t2 e−2 t)

La trasnformada de Laplace del primer sumando es directa a partir de las tablas: 1 L e−4 t = s+4

Para calcular el segundo de los sumandos es necesario aplicar, de nuevo, la propiedad 4.: L[sen(t − 2)] = e−2 s L[sen(t)] = e−2 s

1 s2 + 1

Por último, el tercer sumando se obtiene de la consulta de las tablas: L[t2 e−2 t] =

Por tanto,

f¯ (s) =

2! 2 = (s + 2)2+1 (s + 2)3

1 1 2 + e−2 s 2 + s+4 s + 1 (s + 2)3

c) De nuevo, aplicando la linealidad del operador transformada: s+1 (s + 1)2 + 102 4! 24 L[t4] = 5 = 5 s s 1 −(t−10) −10 s L[6e ] = 6e s+1

L[2e−t cos(10t)] = 2

Por tanto, f¯ (s) = 2

24 1 s+1 + + 6e−10s s+1 (s + 1)2 + 102 s5

Problema 3.2. Hallar la transformada inversa de: a) f (s) =

s 3

1 +1 s

b) f (s) = (s + 1) (s2 + 1) 3s + 4

c) f (s) = s3 (s + 2) s2

d) f (s) = (s2 + 1)2

Solución a) Para realizar la transformada inversa de Laplace se puede consultar las tablas, donde se encuentra que: 1 L(e−at) = s+a Por tanto, para resolver el ejercicio se operará de la siguiente manera: f (s) =

s 3

3 1 = +1 s+3


34

Por tanto, realizando la transformada inversa de Laplace y considerando que el operador es asociativo: 3 −1 = 3e−3t f (t) = L s+3 También se puede resolver el problema utilizando Maxima mediante la siguiente instrucción: ilt(1/(s/3+1),s,t); b) Para poder realizar la transformada inversa de Laplace es necesario realizar la descomposición de la función en fracciones simples: f (s) =

s A B (s + 1) = + 2 (s + 1)(s2 + 1) s + 1 s +1

Realizando la suma y simplificando el denominador se obtiene: s = A(s2 + 1) + B(s2 + 2s + 1) Para encontrar A y B hay que resolver el siguiente sistema: 0=A+B 1 = 2B 1

1

Por tanto, A = − 2 y B = 2 . Como consecuencia, aplicando la propiedad asociativa: ! ! ! 1 1 1 1 −2 (s + 1) (s + 1) −2 s −1 −1 2 −1 −1 2 f (t) = L =L + 2 =L +L s+1 s+1 (s + 1)(s2 + 1) s +1 s2 + 1 La transformada inversa de Laplace del primer sumando es directa: ! 1 −2 1 −1 = − e−t L 2 s+1 La transformada inversa de Laplace del segundo sumando require descomponer la fracción para encontrar funciones como las que aparecen en las tablas: ! 1 (s + 1) 1 1 s 1 = L−1 2 L−1 2 2 + L−1 2 = (cos t + sen t) 2 2 s +1 s +1 s +1 El resultado del problema es: f (t) = −

1 −t 1 e + (cos t + sen t) 2 2

c) Para realizar la transformada inversa de Laplace es necesario descomponer f(s) en fracciones simples: 3s + 4 As2 + Bs + C D f (s) = 3 = + 3 s (s + 2) s s+2 Tras realizar la suma y simplificar el denominador de la ecuación se obtiene: 3s + 4 = As3 + s2 (2A + B) + s(2B + C) + 2C + Ds3 Para encontrar A, B, C y D hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:  0=A+D    0 = 2A + B 3 = 2B + C    4 = 2C 1

1

1

La solución es A = − 4 , B = 2 , C = 2 y D = 4 . Por tanto, 1

f (s) = −

1

2 1 + 22 + 3 + 4 4 s s s+2

3.8 Problemas

35

La realización de la transformada inversa de Laplace es trivial: f (t) = −

1 1 1 + t + t2 + e−2t 4 4 2

d) De nuevo, antes de realizar la transformada inversa de Laplace hay que realizar la descomposición en fracciones simples. Para realizarla se seguirá en este caso el método que aparece en el Tema 2. Se buscan las raíces del denominador de f(s), estas raíces son dobles y son i y -i. Por tanto la descomposición en raíces simples, teniendo en cuenta que las raíces son dobles, es: f (s) =

s2 s2 A B C D = = + + + (s2 + 1)2 (s − i)2 (s + i)2 (s − i)2 s − i (s + i)2 s + i

Según el método, para encontrar A:

Para B , C y D: ( B

=

lim

s→i

"

# s2 1 A = lim (s − i) = 2 2 4 s→i − i) + i) (s (s " d (s ds

−

i)

2

s2 (s − i)2 (s + i)2

2

2i ( − 4) − ( − 1) 2 (2i) − 8i + 4i i = =− 16 4 16 "

#)

=

lim

s→i

"

2s (s + i)2 − s2 2 (s + 1) (s + i)4

#

=

"

2s (s − i)2 − s2 2 (s − 1) (s − i)4

#

=

# 1 s2 C = lim (s + i) = 4 s→i (s − i)2 (s + i)2

D

=

(

lim

s→i

" d (s ds

2

s2 i) 2 (s − i) (s + i)2 2

+

#)

=

lim

s→i

2 ( − i) ( − 4) − ( − 1) 2 ( − 2i) i = 4 16 Por tanto, la descomposición en fracciones simples queda de la manera siguiente: 1

i

1

i

s2 4 4 = − 4 + + 4 2 (s − i) (s + i)2 (s − i)2 s − i (s + i)2 s + i La realización de la trasnformada inversa de Laplace es directa: F (t) =

1 it i i t 1 −i t i −i t te − e + te + e 4 4 4 4

Para obtener una respuesta en tiempo real util es necesario eliminar los números complejos de la función. Para ello, hay que considerar la escritura exponencial de un número complejo: α= β + iγ De manera que:

ei t = cos t + i sen t

e−i t = cos( − t) + i sen( − t) = cos t − i sen t

Sustituyendo en F(t): F (t) =

eα t = e βt(cosγt + i senγt)

i i 1 1 t (cos t + i sen t) − (cos t + i sen t) + t (cos t − i sen t) + (cos t − i sen t) 4 4 4 4

Operando: F (t) =

1 1 t cos t + sen t 2 2

También se puede resolver el problema utilizando Maxima mediante la siguiente instrucción: ilt(s^2/(s^2+1)^2,s,t) Problema 3.3.


36

Usando la técnica de la transformada de Laplace, encontrar las respuestas transitoria y estacionaria del sistema descrito por la ecuación diferencial siguiente: dy d2 y +3 + 2y =1 dt dt2 con las condiciones iniciales y(0) = y ′(0) = 1.

Solución La transformada de una derivada de una función y de la derivada segunda es: df (t) L = sf (s) − f (0) dt 2 d d f (t) + s2 f (s) − f (0) s = − f (t) L dt dt2 t=0

Realizando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial a resolver y considerando las condiciones iniciales se obtiene:

Despejando y¯ :

s2 y¯ − s − 1 + 3 (s y¯ − 1) + 2 y¯ = y¯ =

1 s

s2 + 4 s + 1 s(s + 1)(s + 2)

Para poder realizar la transformada inversa de Laplace y poder obtener y(t) hay que realizar primero la descomposición en fracciones simples de y¯ (s): A B C s2 + 4 s + 1 = + + s(s + 1)(s + 2) s s + 1 s + 2 Sumando las fracciones simples y simplificando el denominador se obtiene la siguiente ecuación: s2 + 4 s + 1 = A(s + 1)(s + 2) + B s (s + 2) + C s (s + 1) Operando se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente:   (1)s2 = (A + B + C)s2 (4)s = (3A + 3B + C)s  1 = 2A 3

1

La solución de este sistema es A = 2 , B = 2 y C = − 2 . Por tanto, y¯ =

1 2

s

3

+

2 − 2 s+1 s+2

Realizando la transformada inversa de Laplace, consultando las tablas, se obtiene: y(t) = donde U (t) es el escalón unidad. La parte estacionaria de y(t) es

1 2

1 3 U (t) + 2e−t − e−2t 2 2

U (t) ya que: lim y(t) =

t→∞

1 2

Resolución con Maxima En primer lugar hay que establecer las condiciones iniciales de la manera siguiente: maxima] atvalue(y(t),t=0,1) (D28) 1 (C29) atvalue(diff(y(t),t),t=0,1) (D29) 1

3.8 Problemas

37

A continuación, se realiza la transformada de Laplace de la ecuación diferencial: maxima] laplace(diff(y(t),t,2)+3*diff(y(t),t)+2*y(t)=1,t,s) (D31) 3 (s L(y(t), t, s) − 1) + s2 L(y(t), t, s) + 2 L(y(t), t, s) − s − 1 =

1 s

Donde L(y(t), t, s) es la transformada de Laplace de y(t). Se despeja L(y(t), t, s) para realizar más tarde la transformada inversa de Laplace y obtener y(t). Para obtener y¯ (s) hay que utilizar la siguiente instrucción: maxima] linsolve(%,laplace(y(t),t,s)) s2 + 4 s + 1 (D34) L(y(t), t, s) = 3 s + 3 s2 + 2 s

Para resolver la ecuación, sólo queda realizar la transformada inversa de Laplace: maxima] ilt(laplace(y(t),t,s)=((s^2+4*s+1)/(s^3+3*s^2+2*s)),s,t) (D35) y(t) = 2 e−t −

3 e−2t 1 + 2 2

Para encontrar la respuesta estacionaria hay que calcular el límite cuando el tiempo tiende a infinito, ya que entonces habrá desaparecido la influencia de la respuesta transitoria: maxima] limit(d35,t,inf) (D44) lim y(t) = t→∞

1 2

Por tanto, la respuesta transitoria será: maxima] d35-d44 3 e−2t (D46) y(t) − lim y(t) = 2 e−t − 2 t→∞ Las exponenciales negativas tienden rápidamente a cero a medida que aumenta el tiempo. Problema 3.4. La respuesta a un escalón unidad de un sistema viene dada por: y(t) = 1 −

7 −t 3 −2 t 1 −4 t e + e − e 2 6 3

a) ¿Cuál es la función de transferencia de dicho sistema? b) ¿Cuál sería la respuesta en tiempo real si la entrada fuera un impulso unidad?

Solución a) Debemos encontrar aquella función de transferencia G(s) que para una entrada de tipo 1 escalón unidad (x(s) = s ) produzca una respuesta como la del enunciado del problema. La transformada de Laplace de y(t) es y(s):


38

G(s) x(s)

y(s)

Por tanto la función de transferencia buscada será: G(s) =

y(s) x(s)

Para poder encontrar la función de transferencia hay que hacer la transformada de Laplace a la función y(t): 7 3 1 s+8 1 y(s) = L[y(t)] = − 3 + 2 − 6 = s s + 1 s + 2 s + 4 s(s + 1)(s + 2)(s + 4) Por tanto, s+8 G(s) = (s + 1)(s + 2)(s + 4) b) La función impulso es la derivada de la función escalón. Por tanto, la respuesta en tiempo real a una entrada en impulso no será más que derivar y(t) respecto al tiempo: [y(t)]impulso =

7 −t 2 d [y(t)]escalon − 3e−2 t + e−4 t ´ = e 3 3 dt

Problema 3.5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: a)

d2 y dt2

b)

dy dt

+ 4 y = 3 con y(0) = y ′(0) = 1

+ 2 y = 5 sen(3 t) con y(0) = 1

Solución a) Para resolver la ecuación diferencial, en primer lugar se realizará la transformada de Laplace: 2 d y L + 4 y = L[3] dt2 3 s2 y¯ − s − 1 + 4 y¯ = s A continuación se despeja y¯ : s 1 3 y¯ = 2 + + s + 4 s2 + 4 s(s2 + 4) Para obtener la respuesta en tiempo real hay que realizar la transformada inversa. La trasnformada inversa de los dos primeros sumandos es directa a partir de la tabla de transformadas de Laplace. La transformada inversa del tercer de los sumandos no es directa, por lo que es necesario descomponerlo en fracciones simples: 3 As B 3 1 s = + = − s(s2 + 4) s2 + 4 s 4 s s2 + 4 donde: 3 = A s2 + B(s2 + 4) 0=A+B 3 = 4B

La realización de las transformadas de Laplace es ahora directa. La solución a la ecuación diferencial es: 3 1 y(t) = cos(2t) + sen(2t) + (1 − cos(2t)) 4 2 También se puede resolver la ecuación utilizando Maxima. A continuación se muestra la serie de instrucciones necesarias para introducir las condiciones iniciales y la ecuación:

3.8 Problemas

39

maxima] atvalue(y(t),t=0,1) (D75) 1 (C76) atvalue(diff(y(t),t),t=0,1) (D76) 1 (C77) desolve(diff(y(t),t,2)+4*y(t)=3,y(t)) (D77) y(t) =

sin (2 t) cos (2 t) 3 + + 4 2 4

b) La resolución de la ecuación se puede realizar aplicando la transformada de Laplace o directamente utilizando Maxima: maxima] atvalue(y(t),t=0,1) (D78) 1 (C79) desolve(diff(y(t),t)+2*y(t)=5*sin(3*t),y(t)) (D79) y(t) =

10 sin (3 t) 15 cos (3 t) 28 e−2t − + 13 13 13

Problema 3.6. Determinar las funciones de transferencia

h2(s) Fi(s)

Fi

de los sistemas siguientes:

Fi A1

A1 A2

h1

h1 R1

h2

R1

F1

R2

F1

A2

F2

h2 R2

F2 h

El fluido tiene una densidad constante y las resistencias son lineales (F = R ).

Solución La primera figura muestra un sistema de tanques sin interacción ya que el nivel del segundo tanque no influye en el nivel del primer tanque o en el caudal F1. En cambio, el segundo sistema se trata de un sistema de tanques con interacción ya que el caudal de salida del primer tanquedependerá tanto del nivel del tanque 1 como del nivel del tanque 2. Tanques sin interacción En ambos casos el objetivo del problema es encontrar la siguiente función de transferencia (las primas indican que se tratan de variables de desviación): G(s) = representada en el siguiente diagrama:

h2′ (s) Fi′(s)

Fi′(s)

h′2(s) G(s)


40

Si el sistema no presenta interacciones el bloque anterior es equivalente a un sistema en el que hay dos procesos en serie como el que se muestra a continuación:

Fi′(s)

h′1(s)

G1(s)

G2(s)

h′2(s)

en el que cada uno de los bloques representa a un depósito. Las funciones de transferencia de estos bloques serán: h1′ (s) Fi′(s) h ′ (s) G2(s) = 2′ h1(s)

G1(s) =

Al tratarse de dos procesos en serie: G(s) = G1(s)G2(s) Para calcular G1 hay que obtener el modelo matemático que represente la variación con el tiempo del nivel de un depósito en función del caudal de entrada. Se trata del mismo modelo que el del ejemplo del capítulo 2, por tanto: G1 =

K1 h′ = 1′ τ1 s + 1 Fi

donde K1 = R1 y τ1 = A1 R1. De igual manera para el segundo de los depósitos: G2 = h′

K2 h′ = 2′ τ2 s + 1 F1

donde K2 = R2, τ2 = A2 R2 y F1′ = R1 . 1 Sustituyendo F1′ y operando se encuentra la función de transferencia buscada: G=

K2 (τ1 s + 1)(τ2 s + 1)

Se puede apreciar que se trata de un sistema de segundo orden. La respuesta de este sistema será sobreamortiguada (ζ > 1) ya que las raíces del denominador son números reales. En la figura siguiente se muestra la variación con el tiempo del nivel del depósito para un cambio en el caudal de entrada en forma de escalón unidad. Se observa que la dinámica es más lenta a medida que aumenta el número de tanques: h2 1 deposito K2 Entrada en escalon unidad Sistema de primer orden 1

2 tanques sin interaccion

4 tanques sin interaccion

t

Tanques con interacción Para obtener el modelo matemático se realizarán los Balances Macroscópicos de Materia a los tanques (se ha supuesto que la densidad es constante y que no depende del tiempo): dh1 = Fi − F1 dt dh Tanque 2: A2 2 = F1 − F2 dt Tanque 1: A1

3.8 Problemas

41

Los caudales de salida de los tanques dependen de las resistencias lineales: h1 − h2 R1 h F2 = 2 R2

F1 =

El cuadal de salida del primer tanque depende, lógicamente, de la diferencia de alturas entre los dos tanques ya que la presión ejercida por la columna de fluido depende de esa diferencia de nivel. En el caso de que h2 fuera mayor que h1 el fluido circularía en sentido contrario. Esta ecuación marca la interacción entre los tanques e impide que las ecuaciones de los balances de materia se puedan resolver de manera independiente. Las dos ecuaciones diferenciales se deben resolver de manera simultanea. Sustituyendo los caudales en los balances de materia se encuentra: dh1 + h1 − h2 = R1 Fi dt R R dh A2 R2 2 + 1 + 2 h2 − 2 h1 = 0 R1 R1 dt A1 R1

Tal como se ha comentado las dos ecuaciones diferenciales están ligadas (las incógnitas h1(t) y h2(t) aparecen en ambas ecuaciones), se deben resolver simultaneamente. Esta es la diferencia fundamental con los sistemas sin interacción. A continuación se realizan los balances de materia en estado estacionario:

h1,e − h2,e = R1 Fi R R 1 + 2 h2,e − 2 h1,e = 0 R1 R1

donde los subíndices e indican los valores en estado estacionario. Restando los balances de materia y los balances en estado estacionario: dh1′ + h1′ − h2′ = R1 Fi′ dt R R dh ′ A2 R2 2 + 1 + 2 h2′ − 2 h1′ = 0 R1 R1 dt A1 R1

tomando como variables de desviación:

h1′ = h1 − h1,e h2′ = h2 − h2,e Fi′ = Fi − Fi,e Haciendo la transformada de Laplace: ′ − h2′ (s) = R1 Fi′(s) (A1 R1 s+ 1)h1(s) R R A2 R2 s + 1 + 2 h2′ (s) − 2 h1′ (s) = 0 R1 R1

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

(τ2 R1)s + R1 + R2 F′ τ1 τ2 s2 + (τ1 + τ2 + A1 R2)s + 1 i R2 F′ h2′ = τ1 τ2 s2 + (τ1 + τ2 + A1 R2)s + 1 i h1′ =

donde τ1 = A1 R1 y τ2 = A2 R2. La respuesta es igual a la de los tanques sin interacción excepto por el término A1 R2 del denominador. Es el factor de interacción, ya que cuanto mayor sea mayor es la interacción entre los tanques. La respuesta, de nuevo, es sobreamortiguada pero más lenta que la del sistema sin interacción. Para el sistema de tanques sin interacción, la constante de tiempo es: √ τsin = τ1 + τ2


42

Para el sistema de tanques con interacción: τcon =

√

τ1 + τ2 + A1 R2

Al ser el factor de interacción positivo es evidente que τcon > τsin. Problema 3.7. En un reactor tanque agitado se lleva a acabo una reacción irreversible de primer orden, A → B, con un coeficiente cinético k = 1 h−1, El caudal de alimentación es de 10 l/min, con cA0 = 0.5 mol/l. El volumen del tanque es de 1 m3. Determinar el efecto causado por una subida instantánea de la concentración a 0.7 mol/l. Indicar cual hubiese sido el transitorio, si la perturbación se hubiera producido en forma de impulso unidad. ¿Cuáles serán la ganancia y la constante de tiempo del sistema?

Solución A partir del enunciado del problema se puede realizar el siguiente diagrama de flujo: cAi (t)

q

V cA(t) donde: (

q = 10 l/min = 0.6 m3/h V = 1 m3

El subíndice A indica que es la concentración del componente A y el subíndice i indica que se trata de la concentración de entrada. La reacción química que se produce en el reactor es la siguiente: A→ B

-1

cuya constante cinética es k = 1 h . La concentración de entrada en el reactor antes de que se produzca el cambio de la concentración en escalón es cA i0 = cA i(t = 0) = 0.5 mol/l. A continuación hay que plantear el balance macroscópico de materia en estado no estacionario (BMM): dc V A = q cA i − q cA − k cA V dt donde se ha supuesto que los caudales volumétricos (q), las densidades (ρ) y el volumen del reactor (V ) son constantes e independientes del tiempo. El balance macroscópico de materia en estado estacionario (BMMe) del sistema es: 0 = q cAi0 − q cA e − k cA e V donde el subíndice e indica que se trata de las concentraciones en estado estacionario. Este balance representa la situación antes de que se produzca ningún cambio. Operando la ecuación anterior: q cA i0 = cA e (q + kV ) El tiempo de residencia del reactor es: θ= Sustituendo y operando: cA e =

V q

cA i0 1+kθ

3.8 Problemas

43

Sustituyendo los calores de las variables se obtiene que la concentración de salida del reactor del componente A en estadio estacionario, es decir, para tiempos menores o iguales a cero es: cA e = 0.1875 mol/l El siguiente paso es definir las variables de desviación para la entrada: CA i = cA i − cAi0

y para la salida: Restando el BMMe al BMM se obtiene: V

CA = cA − cAe

dcA = q (cA i − cAi0) − q (cA − cA e) − k (cA − cAe)V dt

Sustituyendo las variables de desviación y operando: V

dCA = qCAi − CA (q + kV ) dt

Esta última ecuación es el modelo matemático del proceso planteado. Con objeto de resolver la ecuación diferencial se aplica la transformada de Laplace a la ecuación anterior: Vs CA = q CA i − CA (q + kV ) Para poder responder a las preguntas propuestas por el problema hay que plantear la siguiente función de transferencia: C G= A CA i Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene: q = G= Vs + q + kV

q q + kV V s+1 q + kV

=

1 1 + kθ 1 s+1 θ −1 + k

Lógicamente la función de transferencia es la propia de un sistema de primer orden. La ganancia del proceso será: 1 = 0.375 K= 1 + kθ Y la constante de tiempo es: 1 = 0.625h = 37.5 min τ = −1 θ +k El efecto de un cambio súbito de concentración de 0.5 a 0.7 mol/l, es decir, para una entrada en escalón de altura 0.2 mol/l es: t t − − CA = 0.375 · 0.2 mol/l 1 − e 37.5 min = 0.075 mol/l 1 − e 37.5 min

Deshaciendo las variables de desviación se obtiene la ecuación que describirá la variación de la concentración del componente A en función del tiempo: t − cA = 0.075 mol/l 1 − e 37.5 min + 0.1875 mol/l

Para una entrada que sea un impulso unidad la respuesta es: CA =

t KA − τt − e = 0.6 mol/l e 37.5 min τ

Problema 3.8. Considerar el tanque encamisado de la figura utilizado como precalentador. Suponiendo que la capacitancia de la pared del tanque es despreciable y que la temperatura en el interior del mismo es uniforme.


44

w1, T1

Vapor

w2, T2

Condensado Ts

Deducir: a) La función de transferencia para variaciones de T1 y/o Ts. b) El diagrama de bloques del sistema. c) La respuesta del sistema para una entrada en escalón unidad en T1 (Ts cte).

Solución a) En este problema se plantea un proceso con dos entradas (T1 y Ts) y una respuesta (T2). En primer lugar se plantea el Balance Macroscópico de Energía: mC p

dT2 = wC p (T1 − T2) + UA(Ts − T2) dt

(3.11)

donde m es la cantidad de líquido a calentar en el interior del tanque, C p es el calor específico, U es el coeficiente global de transferencia de calor y A es el area de intercambio. Como el enunciado del problema no indica que exista ningún sistema de control de nivel se asume que los caudales de las corrientes de entrada y de salida son iguales (w1 = w2 = w). Operando y agrupando constantes en la ec. 3.11 se obtiene: τ donde:

dT2 + T2 = k1 T1 + k2 Ts dt

(3.12)

mC p wC p + UA wC p k1 = wC p + UA UA k2 = wC p + UA τ=

A continuación se realiza el Balance Macroscópico de Energía en estado estacionario: (3.13)

0 = k1 T1,e + k2 Ts,e − T2,e

Restando las ecuaciones 3.12 y 3.13, definiendo variables de desviación y realizando la transformada de Laplace a la ecuación resultante se obtiene: τs T¯2′ + T¯2′ = k1 T¯1′ + k2 T¯s′ k1 ¯ ′ k2 ¯ ′ T¯2′ = T1 + Ts τs + 1 τs + 1 donde las prima indica que se trata de variables de desviación. b) El diagrama de bloques de este proceso es:

T1′

G1 + +

Ts′

G2

T2′

3.8 Problemas

45

donde: k1 τs + 1 k2 G2 = τs + 1 G1 =

c) La variación de la temperatura de la corriente de salida del tanque para un cambio en escalón unidad de T1 será: k1 1 T¯2′ = +0 τs + 1 s Realizando la transformada inversa de Laplace y deshaciendo las variables de desviación se obtiene: t − T2 = T2,e + k1 1 − e τ

Capítulo 4 Sistemas lineales de primer orden 4.1 Definición de sistema lineal de primer orden Un sistema de primer orden es aquel cuya salida y(t) puede ser modelada por una ecuación diferencial de primer orden como: dy(t) + a0 y(t) = bf (t) (4.1) a1 dt donde f(t) es la entrada al sistema. Si a0 0:

Si se define

a1 a0

= τp y

b a0

a1 dy(t) b + y(t) = f (t) a0 dt a0

= K p y se sustituye en la ecuación anterior se obtiene: τp

donde: •

•

dy(t) + y(t) = K p f (t) dt

τ p es la constante de tiempo del proceso K p es la ganancia del proceso

Si y(t) y f(t) están definidos mediante la utilización de variables de desviación alrededor del estado estacionario, las condiciones iniciales son y(0)=0 y f(0)=0 . Opernado se encuentra la función de transferenica de un proceso de primer orden: G(s) =

Kp τp s + 1

Los sistemas de primer orden son los más frecuentes en los procesos de la indústria alimentaria, por ello su estudio es de gran importancia. Estos sistemas se caracterizan por: 1. Su capacidad de almacenar materia, energía o cantidad de movimiento. Esta capacidad está directamente relacionada con la ganancia del proceso. 2. Una resistencia asociada con el caudal de materia, energía o cantidad de movimiento. Esta resistencia o inercia viene dada por la constante de tiempo. En el caso particular de que a0 = 0: G(s) =

Kp τp s

Se trata de aquellos sistemas de primer orden denominados integradores puros y se hablará de ellos más adelante.

4.2 Respuesta a una entrada en escalón Para un escalón de altura A y un sistema de primer orden la salida y(s) es: y(s) =

A Kp s τp s + 1 47

Sistemas lineales de primer orden

48

En tiempo real, invirtiendo las transformadas de Laplace, se obtiene: t y(t) = AK p 1 − e

−τ

(4.2)

p

Representando la función en coordenadas adimensionales, salidad de un sistema de primer orden:

y(t) A Kp

frente

t , τp

se obtiene la típica

1 0.8

y(t) AKp

0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

t τp Figura 4.1. Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón de altura A.

Cabe destacar las siguietnes características de cualquier sistema de primer orden: 1. Autorregulación: El proceso alcanza un nuevo estado estacionario sin necesidad de un sistema de control. 2. La pendiente de la respuesta es: h i y(t) d AK p

Para t=0 :

dt

=

h i y(t) d AK p

dt

1 − τtp e τp

=

1 τp

Cuanto mayor sea τ p, menor será la pendiente inicial de la respuesta del sistema y mayor será el tiempo necesario en alcanzar el nuevo estado estacionario. 3. Evaluando al ecuación 4.2 para diferentes tiempo se obtiene la siguiente tabla: Tiempo transcurrido 1τ p 2τ p 3τ p 4τ p y(t) como porcentaje de su valor estacionario 63.2 86.5 95 98 Tabla 4.1. Evolución de la salida de un sistema de primer orden con el tiempo.

Transcurrido cuatro veces la constante de tiempo del proceso se puede asegurar que ha llegado el sistema al nuevo estado estacionario. 4. La salida del proceso en el nuevo estado estacionario es: lím y(t) = AK p

t→∞

Cuanto mayor es la ganancia menor debe ser la entrada del sistema (perturbación) para producir el mismo efecto final.

4.4 Respuesta a una función sinusoidal

49

Puede ocurrir que la constante a0 de la ecuación 4.1 sea nula. Este tipo de procesos se conocen como integradores puros ya que la salida es la integral de la entrada con el tiempo. Estos procesos pueden ser difíciles de controlar debido a que no presentan autorregulación. Ejemplos comunes de este tipo de sistemas son los tanques con líquidos, depósitos de gases y sistemas de almacenamiento de mateiras primas y productos.

4.3 Respuesta a una función impulso Al introducir un impulso de área A se obtiene la siguiente respuesta: y(s) = que en tiempo real es:

Kp A τp s + 1 t

y(t) = K p Ae

−τ

p

De forma adimensional se puede escribir: t − y(t) = e τp Kp A

se obtiene la función simétrica a la respuesta a una entrada en escalón, lo que impkica que tiene las mismas características. 1 0.8

y(t) AKp

0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5

t τp Figura 4.2. Respuesta de un sistema de primer orden a una entrada impulso unidad.

4.4 Respuesta a una función sinusoidal Para una entrada sinusoidal de tipo: f (t) = MU (t) sen ωt se obtiene la siguiente respuesta: Mω Kp τ p s + 1 s2 + ω 2 t

y(s) = que en tiempo real es: Kp M y(t) = 1 + ω 2 τ p2

ωτ p e

−τ

p

cos ωt + sen ωt

Aplicando la propiedad trigonométrica: x sen α + y cos α = z sen(α + ϕ)


50

y

donde z 2 = x2 + y 2 y tan ϕ = x , se obtiene: y(t) =

K p Mωτ p − τtp K M e +q p sen(ωt + ϕ) 1 + ω 2 τ p2 1 + ω2 τ 2

(4.3)

p

donde ϕ = atan( − ωτ p). El primer término de la respuesta es un término transitorio, ya que tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Este término pierde importancia para tiempos grandes. La respuesta obtenida es de tipo sinusoidal con la misma frecuencia de oscilación ω que la entrada pero con un desfase ϕ. Además el desfase está directamente relacionado con la frecuencia angular. Al aumentar el desfase, aumenta el desfase. π En el caso de que la frecuencia angualar tienda a infinito, el desfase tiende a 2 , que es el desfase máximo. 1 0.8 0.6 0.4

y(t)

0.2 0

Retraso

Transitorio

−0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

Entrada Salida 0

1

2

3

4

5

6

7

8

t Figura 4.3. Respuesta oscilatoria de un sistema de primer orden.

4.5 Problemas Problema 4.1. Estudiar la respuesta de un proceso de función de transferencia: G(s) = K p con las siguientes entradas:

τs + 1 τp s + 1

a) función escalón unidad. b) entrada sinusoidal. Estudiar especialmente el comportamiento del sistema para tiempos largos (es decir, para t → ∞)

Solución a) La respuesta de este proceso para una entrada en escalón unidad será: y(s) = G(s)

τs + 1 1 1 = Kp τp s + 1 s s

Para obtener la respuesta en tiempo real hay que realizar la transformada inversa de Laplace: (C4) y(t)=ilt(K_p*(tau*s+1)/(tau[p]*s+1)*1/s,s,t); t

(Kp τ − Kp τ p) e (D4) y(t) = τp

−τ

p

+ Kp

4.5 Problemas

51

Reordenando la ecuación anterior se obtiene: t − τ e τp y(t) = K p 1 − 1 − τp Se obtiene una ecuación muy similar a la ec. (4.2). Evidentemente el sentido físico e influencia sobre la respuesta del sistema de la ganancia del proceso (K p) serán los mismos que para un sistema de primer orden. La influencia de la constante de tiempo del proceso (τ p) también será muy parecida. La única diferencia es el término τ /τ p. Para ver el significado físico de la constante de tiempo τ se puede representar la respuesta para diferentes valores (K p = τ p = 1): y(t)

1

tau = 0.25

0.8

tau = 0

0.6 tau = 0.5

0.4

0.2

-0

1

2

3

4

5 t

Se puede comprobar que τ actua como un adelanto, adelantando la respuesta del proceso de primer orden en un valor igual a τ . En el caso de una entrada sinusoidal (sen(ωt)), la transformada de Laplace de la respuesta es: K (τs + 1) ω y(s) = p τ ps + 1 s2 + ω 2 Recurriendo de nuevo a Maxima para realizar la transformada inversa de Laplace:

(C1) ilt(Kp*(tau*s+1)/(taup*s+1)*omega/(s^2+omega^2),s,t); Is ω zero or nonzero? nonzero; − t Kp ω taup2 − Kp ω τ taup e taup sin (ω t) Kp ω 3 τ taup + Kp ω (D1) + − taup (ω 2 taup2 + 1) ω (ω 2 taup2 + 1) cos (ω t) (Kp ω taup − Kp ω τ ) ω2 taup2 + 1 Por tanto: y(t)

=

− t Kp ω ¡tau¿2p − Kp ω τ ¡tau¿p e p ¡tau¿p ω 2τ p2 + 1

Kp ω τ p − Kp ω τ cos (ω t) ω 2 τ p2 + 1

+

Kp ω 3 τ τ p + Kp ω sen ω ω 2 τ p2 + 1

Considerando la propieda trigonométrica: x senα + y cosα = z sen(α + ϕ)

(ω

t)

−


52

y

donde z 2 = x2 + y 2 y tanϕ = x , se obtiene: s − t Kp ω ¡tau¿2p − Kp ω τ ¡tau¿p e p K p2 ω 2 τ 2 + K p2 y(t) = + sen(ω t + ϕ) 2 ω 2 τ p2 + 1 ¡tau¿p ω2τ p + 1 2 ω 2 (Kp ω τ p − Kp ω τ )2 ω (τ p − τ )2 = atan . donde ϕ = atan 2 3 (ω 2 τ τ + 1)2 (Kp ω τ ¡tau¿p + Kp ω)

p

Se obtiene una respuesta con una parte transitoria, que rápidamente se anula al aumentar el tiempo: − t Kp ω ¡tau¿2p − Kp ω τ ¡tau¿p e p =0 Transitorio = lim t→∞ ¡tau¿p ω 2τ p2 + 1

La parte estacionaria de la respuesta es:

y(t) = K p

s

ω2 τ 2 + 1 sen(ω t + ϕ) ω 2 τ p2 + 1

Si se compara la respuesta estacionaria respecto a la entrada se comprueba que tiene la misma frecuencia angular ω y que tiene un desfase ϕ, lo que significa que está retrasada. Este desfase depende de la frecuencia angular. La amplitud de la respuesta también depende de la frecuencia angular de la entrada. Nuevamente la respuesta obtenida es muy similar a la de un proceso de primer orden. Por tanto, la influencia de la ganancia y constante de tiempo del proceso serán similares. La constante de tiempo τ nuevamente actua como un adelanto, compensando en cierta medida el efecto de la constante de tiempo del proceso. Al aumentar su valor disminuye el desfase y la amplitud disminuye en menor medida que para un proceso de primer orden. Problema 4.2. Dibujar la respuesta de un sistema de primer orden de constante de tiempo 0.5 y ganancia 1 para las siguientes entradas: a) un impulso unidad b) un pulso unidad de duración 5 c) un cambio sinusoidal de amplitud unidad y frecuencia ω = 0.5. Problema 4.3. Sea un sistema de primer orden de ganancia unidad y constante de tiempo 0.5. Inicialmente el sistema está en estado estacionario. Se introduce una entrada en rampa unidad cuando el tiempo es igual a 0. a) Desarrollar una expresión que muestre los cambios en el proceso con el tiempo b) ¿Cuál es la mínima y la máxima diferencia entre la salida y la entrada? c) Dibujar la entrada y la salida en función del tiempo

Solución a) Hay varias estrategias para desarrollar una expresión que muestre los cambios en el proceso tras una rampa unidad (y(t)). Se puede resolver directamente la ecuación diferencial o se puede utilizar la función de transferencia y realizar la transformada inversa de Laplace. Resolución de la ecuación diferencial Un sistema de primer orden viene descrito por la siguiente ecuación diferencial (ec. 3.3 de la teoría): dy τp + y = K p f (t) dt donde f (t) es la entrada al sistema, en nuestro caso una rampa unidad (f (t) = t). Sustituyendo las constantes y la función de entrada, se obtiene la ecuación diferencial a resolver: 0.5

dy + y=t dt

Se puede resolver la ecuación diferencial utilizando Maxima:

4.5 Problemas

53

(C1) .5*’diff(y(t),t)+y(t)=t d (D1) 0.5 y(t) + y(t) = t dt (C2) atvalue(y(t),t=0,0); (D2) 0 (C3) desolve(d1,y(t)) RAT replaced 0.5 by 1//2 = 0.5 e−2t 1 (D3) y(t) = +t− 2 2

Se ha supuesto que se están utilizando variables de desviación, lo que supone que y(t = 0) = 0. Función de transferencia La función de transferencia de este proceso es: G=

y(s) 1 = f (s) 0.5s + 1

y la entrada es una rampa unidad, cuya transformada de Laplace es: f (s) = Por tanto la respuesta del proceso es: y(s) = Gf (s) =

1 s2 1 1 0.5s + 1 s2

Para obtener la respuesta dependiente del tiempo hay que realizar la transformada inversa de Laplace: 1 1 y(t) = L−1 0.5s + 1 s2 Para realizar la transformada inversa se puede utilizar la técnica de separar en fracciones simples o simplemente utilizar Maxima: maxima] y(t)=ilt(1/(.5*s+1)*1/s^2,s,t) RAT replaced 0.5 by 1//2 = 0.5 e−2t 1 (D4) y(t) = +t− 2 2

Lógicamente la respuesta obtenida es igual a la obtenida por el método anterior. b) La diferencia entre la entrada y la salida es: y(t) − f (t) =

e−2t 1 − 2 2

La función exponencial es continua y decreciente, si se trata de exponentes negativos, para valores de t mayores que cero, como es el caso. Cuanto t = 0, e−2t = 1. Si el tiempo tiende a infinito, e−2t → 0. Por tanto, la diferencia mínima se dará cuando el tiempo es igual a cero, en ese t→∞ caso la diferencia es de 0. La diferencia máxima se produce cuando el tiempo tiende a infinito, la 1 diferencia es y(t) − f (t) → − 2 . t→∞


54

c) El gráfico de la entrada y la salida en función del tiempo es: 2.4 2.2 2

f(t) 1.8 1.6

y(t) 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

1

2 t

Esta gráfica se ha dibujado a partir de la función respuesta obtenida en el apartado a). En caso de no querer obtener esa función se puede programar el problema con VisSim y obtener el resultado mediante métodos numéricos. A continuación se muestra el programa junto con el resultado obtenido:

Problema 4.4. En la figura siguiente se muestra un tanque agitado de mezcla, donde Fi son caudales volumétricos y ci son concentraciones: F1 , cA1 , cB1

F2 , cA2 , cB2

F4 cA , cB

F3 , cA , cB

Asumiendo que todos los caudales de entrada y salida son constantes pero que las concentraciones de las corrientes de entrada puede cambiar, contestar a las siguientes preguntas: a) Demostrar que la composición de la corriente de salida tiene un comportamiento de un sistema de primer orden para cambios en la composición de entrada. b) Encontrar las funciones de trasnferencia entre las composiciones de las corrientes de salida y las de entrada. Dibujar el diagrama de bloques correspondiente. c) Definir la ganancia y la constante de tiempo de este sistema.

4.5 Problemas

55

Problema 4.5. Repetir el problema anterior con el siguiente tanque de mezcla: F1 , cA1 , cB1

F2 , cA2 , cB2

F4 cA , cB

F3 , cA , cB

Capítulo 5 Sistemas lineales de segundo orden 5.1 Definición de sistema de segundo orden Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) puede ser descrita por una ecuación diferencial de segundo orden: d2 y dy a2 2 + a1 + a0 y = bf (t) dt dt Si a0 0: τ2 a

a

d2 y dy + 2 ζτ + y = K p f (t) dt2 dt

b

donde τ 2 = a2 , 2 ζτ = a1 y K p = a . Las nuevas constantes son: 0

• • •

0

0

τ es la constante de tiempo (o período natural del sistema) ζ es el coeficiente (o factor) de amortiguamiento K p es la ganancia del proceso, tiene el mismo significado que para los sistemas de primer orden

Tomando variables de desviación y condiciones iniciales iguales a cero, la función de transferencia queda como: Kp G(s) = 2 2 τ s + 2 ζτs + 1 Los sistemas de segundo orden se pueden clasificar en tres categorías: 1. Procesos consistentes en dos o más procesos de primer orden, en serie o en paralelo, por los que fluye materia o energía. 2. Sistemas inherentes de segundo orden. No son frecuentes en las industria, algunos ejemplos son los manómetros o las válvulas neumáticas. 3. Un proceso con su controlador presenta una dinámica de segundo orden o de orden superior.

5.2 Respuesta a una entrada en escalón La salida de un sistema de segundo orden a una entrada de tipo escalón es: y(s) =

Kp M τ 2 s + 2 ζτs + 1 s

Para poder descomponer la respuesta en fracciones simples y poder obtener la respuesta en tiempo real hay que hallar las raíces del denominador: p − ζ ± ζ2 − 1 s1, s2 = τ 57

Sistemas lineales de segundo orden

58

En función del valor del coeficiente de amortiguamiento se pueden plantear tres casos.

5.2.1 Respuesta sobreamortiguada Es la respuesta obtenida cuando ζ > 1, las dos soluciones son reales. La salida con el tiempo es: p ! p t ζ t t y(t) −ζ τ 2 2 cosh ζ −a +p =1−e senh ζ −1 τ τ Kp M ζ2 − 1

En este caso la respuesta no presenta oscilaciones. Cuanto mayor es el coeficiente de amortiguamiento más amortiguada es la respuesta, el sistema necesita más tiempo para alcanzar el nuevo estado estacionario. La ganancia K p tiene el mismo sentido físico que para los sistemas de primer orden.

5.2.2 Respuesta críticamente amortiguada Cuando solo hay una solución real (repetida), ζ = 1: t t y(t) − e τ =1− 1+ τ Kp M

5.2.3 Respuesta subamortiguada Se obtiene cuando las soluciones son complejas (conjugadas, obviamente), para que eso se produzca ζ < 1. La función respuesta obtenida es: ! p 2 p t 1 − ζ 1 t y(t) −ζ τ =1− p e sen 1 − ζ 2 + atan ζ τ Kp M 1 − ζ2 1.8

0.1

1.6

0.3 1.4

y(t) MKp

1.2

0.6

1

1

0.8

2

0.6

4

8

0.4 0.2 0

0

5

10

15

20

25

t τ

Figura 5.1. Respuesta de diferentes sistemas de segundo orden a un escalón unidad según su coeficiente de amortiguamiento.

5.3 Linealización

59

La respuesta es oscilatoria y se pueden definir los siguientes parámetros característicos: •

Overshoot (disparo): − πζ A Overshoot = = exp p B 1 − ζ2

!

El overshoot aumenta al disminuir el coeficiente de amortiguamiento. Para el caso límite de que el coeficiente de amortiguamiento tienda a 1, el overshoot también tiende a 1. •

•

Razón de disminución (decay ratio): − 2πζ C Razón de disminución = = exp p A 1 − ζ2

Período de oscilación:

T=

!

= overshoot 2

1 2π 2πτ = =p ν ω 1 − ζ2

Si ζ = 0, T = 2πτ es el período natural de oscilación. •

•

Tiempo de respuesta (response time): Un sistema subamortiguado alcanza su valor estacionario de manera oscilatoria cuando el tiempo se hace infinito. A efectos prácticos se toma como tiempo de respuesta el necesario para que la salida del sistema esté dento del ± 5% de la respuesta estacionaria y permanezca en ese intervalo.

Rise time: De esta manera se caracteriza la velocidad con la que responde el sistema subamortiguado. Se define como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar su valor estacionario por primera vez. Es importante resaltar que cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, menor es el rise time pero mayor es el overshoot.

5.3 Linealización Habitualmente solo se tratan de manera analítica sistemas lineales de hasta segundo orden. Los sistemas lineales de orden superior o no lineales se acostumbran a estudiar recurriendo a la utilización de sistemas numéricos —como es, por ejemplo, la resolución de ecuaciones diferenciales por el método de Euler o de Runge-Kutta– o su simplificación a sistemas lineales mediante su linealización.

±5%

A

y(t) M Kp

C

T B

Rise time

t τ

Tiempo de respuesta

Figura 5.2. Representación gráfica de los parámetros que caracterizan la respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado.


60

La linealización de un proceso es aproximar sistemas lineales a sistemas no lineales. Se utiliza ampliamente en el estudio de la dinámica de procesos y el diseño de sistemas de control por las siguientes razones: 1. Es posible encontrar soluciones analíticas a los sistemas lineales. Además se puede realizar estudios completos y generales del comportamiento de los sistemas lineales independientemente de los valores particulares de los parámetros y de las variables del sistema. 2. Todos los desarrollos significativos útiles, hasta hace unos pocos años, para el desarrollo efectivo de sistemas de control se ha limitado a procesos lineales. Para llevar a cabo la linealización se recurre a desarrollos en serie de Taylor para una o más variables.

5.4 Retrasos Uno de los elemento no lineales más habituales en los procesos alimentarios es la existencia de retrasos. En el capítulo 7 se estudiará su influencia en el control de procesos. Sea el siguiente proceso de primer orden con un retraso: f(t)

Proceso de primer orden

y(t)

Retraso

y(t − td )

Figura 5.3. Diagrama de bloques de un proceso de primer orden con un retraso igual a td.

Para el sistema de primer orden: Gp =

L[y(t)] Kp = L[f (t)] τ p s + 1

y para el retraso (ec. 3.6, propiedad 4, apartado 3.2): L[y(t − td)] = e−td s L[y(t)]

donde td es el retraso o tiempo muerto. Por tanto el proceso puede representarse como: f(s)

Gp

y(s)

e−td s

L[y(t − td )]

Figura 5.4. Diagrama de bloques de la figura anterior una vez realizadas las transformadas de Laplace.

La función de transferencia global para el proceso de primer orden y el retraso será: L[y(t − td)] Kp = e−td s τp s + 1 L[f (t)] El retraso se puede simplificar matemáticamente mediante la aproximación de Padé, que no es más que el desarrollo en serie de Taylor: e−td s ≈

5.5 Problemas Problema 5.1.

1−

1+

td 2 td 2

s s

5.5 Problemas

61

Determinar la respuesta dinámica de un sistema de segundo orden sobreamortiguado y de un sistema subamortiguado a las siguientes entradas: a) impulso unidad b) pulso unidad de 5 minutos de duración c) sen(2t) Determinar la respuesta estacionaria resultante.

Problema 5.2. Sea la siguiente función de transferencia de segundo orden: G(s) =

1 y(s) = m(s) s2 + s + 1

Se introduce un cambio en escalón de altura 5 en el sistema, calcular: a) el overshoot, expresado como tanto por ciento b) la razón de disminución c) el valor máximo de y(t) d) el rise time e) el periodo de oscilación

Problema 5.3. ¿Cuál de los siguientes sistemas de segundo orden es equivalente a dos sistemas de primer orden en serie y cuál no? 1

a) G(s) = s2 + s + 2 1

b) G(s) = s2 + 1.9 s + 0.7 1

c) G(s) = s2 + 5 1

d) G(s) = s2 + s + 2 Problema 5.4. Sea un sistema de segundo orden con una entrada sinusoidal, m(t) = 1 sen 2 t. Demostrar que la respuesta estacionaria es: 1. una función sinusoidal 2. tiene como amplitud

1 q

(1 − 4τ 2)2 + (4 ζτ )2

− 4 ζτ 3. tiene como desfase ϕ = atan 1 − 4 τ 2

Solución Este problema se puede resolver resolviendo directamente la ecuación diferencial o utilizando la función de transferencia de un sistema lineal de segundo orden. Ecuación diferencial La ecuación a resolver es: dy d2 y + 2 ζτ + y = 1 sen 2t τ2 dt dt Para resolver analíticamente la ecuación se puede recurrir a Maxima. Para resolver la ecuación diferencial se ha supuesto que: dy(t) y(t = 0) = =0 dt t=0

lo que es razonable asumiendo que se está trabajando con variables de desviación. En el enunciado del problema no se dice si se trata de un sistema subamortiguado (ζ < 1), críticamente amortiguado (ζ = 1) o sobreamortiguado (ζ > 1). 1. Sistema sobreamortiguado: La constante de tiempo τ y el coeficiente de amortiguamiento ζ son siempre positivas. Por tanto, si ζ > 1 el producto τ 2(ζ − 1)(ζ + 1) será positivo. Resolviendo la ecuación:


62

(C1) tau^2*’diff(y(t),t,2)+2*zeta*tau*’diff(y(t),t)+y(t)=sin(2*t) d d2 (D1) 2 y(t) τ ζ + 2 y(t) τ 2 + y(t) = sin (2 t) dt dt (C2) atvalue(y(t),t=0,0) (D2) 0 (C3) atvalue(diff(y(t),t),t=0,0) (D3) 0 (C4) desolve(d1,y(t)) Is τ 2 (ζ − 1) (ζ + 1) positive, negative, or zero? positive (D4)y(t) =

2 τ 2 8 τ 2 ζ2 + 8 τ 4 − 2 τ 2

e

−

tζ τ

 

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

−

8 τ 4 ζ2 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

!

t

sinh

q

ζ2 − 1 τ

!

p 2 τ ζ2 − 1

τ2 sin (2 t) 8 τ 2 − 2 4 cos (2 t) τ ζ − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1)

t

q

ζ2 − 1

!



4 τ 3 ζ cosh  τ + 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 

−

La respueta obtenida se puede dividir en dos partes diferenciadas, una transitoria y otra estacionaria. La parte transitoria de la respuesta es:   ! ! ! q 2 τ 2 8 τ 2 ζ2 + 8 τ 4 − 2 τ 2

e

tζ −τ

 

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

−

8 τ 4 ζ2

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

p 2 τ ζ2 − 1

sinh

t

ζ2 − 1 τ

τ2

4 τ 3 ζ cosh

t

q

ζ2 − 1

 τ + 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 

→ 0

t→∞

La parte más importante es la porción estacionaria, ya que será la que marque la dinámica tras los instantes iniciales. Despreciando la parte transitoria se obtiene la siguiente respuesta: sin (2 t) 8 τ 2 − 2 4 cos (2 t) τ ζ y(t) = − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1) Aplicando la propiedad trigonométrica:

x senα + y cosα = z sen(α + ϕ) donde z 2 = x2 + y 2 y ϕ = atan(y/x) y sabiendo que:  8 τ2 − 2  x=− 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1)  y=

se obtiene:

4 τζ 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

1 8τζ y(t) = p sen 2t + atan − 2 8τ −2 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

Se comprueba que se trata, tal como dice el problema, de: i. Una función sinusoidal ii. La amplitud es

1 q

(1 − 4 τ 2)2 + (4 ζτ )2

=p

4τζ iii. El desfase es ϕ = atan − 4 τ 2 − 1

1

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

5.5 Problemas

63

2. Críticamente amortiguado: En ese caso, el producto τ 2(ζ − 1)(ζ + 1) tomará el valor de cero. En este caso la respuesta obtenida al resolver la ecuación diferencial con la ayuda de Maxima es:   2 τ 2 8 τ 2 ζ2 + 8 τ 4 − 2 τ 2 8 τ 4 ζ2  tζ  t 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 4τζ  e− τ − + y(t) =  4 2 2 4 2 2τ 16 τ ζ + 16 τ − 8 τ + 1 sin (2 t) 8 τ 2 − 2 4 cos (2 t) τ ζ − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1) Se observa que la parte estacionaria de la respuesta es igual al caso anterio, sólamente cambia el término transitorio. 3. Sistema subamortiguado: El producto τ 2(ζ − 1)(ζ + 1) tomará un valor negativo. La solución de la ecuación diferencial es:   ! ! ! q 2 τ 2 8 τ 2 ζ2 + 8 τ 4 − 2 τ 2

e

tζ −τ

y(t) =

 

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

−

8 τ 4 ζ2

16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

2τ

p

t

sin

1 − ζ2 τ

4 τ 3 ζ cos

t

q

1 − ζ2

 τ + 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 

1 − ζ2

τ2

−

sin (2 t) 8 τ 2 − 2 4 cos (2 t) τ ζ − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1) De nuevo, el término estacionario es el mismo, solo hay cambios en la parte transitoria de la respuesta. Función de transferencia La función de transferencia del sistema propuesto por el problema es: G=

1 y(s) = m(s) τ 2 s + 2 ζτs + 1

La entrada a este sistema es m(t) = 1 sen 2t, realizando la transformada de Laplace: m(s) = La respuesta del sistema será:

2 s2 + 4

y(t) = L−1(Gm(s)) = L−1

2 1 τ 2 s + 2 ζτs + 1 s2 + 4

Realizando el cálculo para un sistema sobreamortiguado se obtiene: (C1) ilt(1/(tau^2*s^2+2*zeta*tau*s+1)*(2/(s^2+4)),s,t) Is τ 2 (ζ − 1) (ζ + 1) positive, negative, or zero? positive (D1) e

−

tζ τ

 

2 τ 2 8 τ 2 ζ2 + 8 τ 4 − 2 τ 2 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

−

8 τ 4 ζ2 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1

p 2 τ ζ2 − 1

!

sinh

t

q

τ2 sin (2 t) 8 τ 2 − 2 4 cos (2 t) τ ζ − 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 2 (16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1)

ζ2 − 1 τ

!

t

q

ζ2 − 1

!



4 τ 3 ζ cosh  τ + 16 τ 2 ζ 2 + 16 τ 4 − 8 τ 2 + 1 

−

Evidentemente se obtiene el mismo resultado que resolviendo la ecuación diferencial. Se puede realizar la transformada inversa de Laplace para un sistema críticamente amortiguado y para un sistema subamortiguado con resultados análogos.

Capítulo 6 Acciones de control 6.1 Descripción de un bucle de control Un bucle de control por retroalimentación se compone de un proceso, el sistema de medición de la variable controlada, el sistema de control y el elemento final de control. Cada uno de estos d(t) Sistema de control

ysp (t)

ǫ(t) +

−

c(t) Controlador

El. final de control

y(t)

f(t) Proceso

ym (t) Medidor

Figura 6.1. Diagrama de bloques de un lazo de control por retroalimentación.

elementos tiene su propia dinámica, que vendrá descrita por una función de transferencia. En este capítulo se explicará como se puede encontrar la función de transferencia de todo un lazo de control a partir de las funciones de transferencia de cada uno de los elementos del lazo. El medidor, el proceso y el elemento final de control serán habitualmente sistemas lineales de primer o de segundo orden, como los descritos en los dos capítulos anteriores. Las funciones de transferencia de los controladores se detallarán más adelante en este capítulo. El sistema de control se compone del controlador y del punto suma, que compara la lectura del medidor con la consigna para dar el error ε que alimenta el controlador. El objetivo del sistema de control es minimizar el error para que su valor sea lo más próximo a cero. Además debe lograr eliminar los errores lo más rápidamente posible. En el capítulo 1 se describe cualitativamente un bucle de control por retroalimentación, un intercambiador de calor en una planta de pasteurización de leche. En este capítulo se describirá el bucle de una manera más detallada. El proceso, en este caso el intercambiador de calor, viene descrito por la función de transferencia G p. El proceso puede tener dos posibles entradas: f (t) que es la variable manipulable y d(t) que representa a las perturbaciones. Las perturbaciones pueden ser una entrada en cualquier punto del lazo de control, pero normalmente son debidas al proceso. La respuesta del proceso es la variable controlada que normalmente se indicará como y(t). Esta variable es la respuesta global del sistema formado por todos los elementos del lazo de control. El valor de la variable controlada se mide con un sensor, un termómetro de resistencia de tipo Pt100 para el ejemplo, cuya dinámica viene descrita por la función de transferencia Gm. Como salida de este proceso se obtiene la variable controlada medida ym(t). El valor de ym se compara con la consigna ysp(t) para obtener el error ε(t). El valor de la consigna será normalmente cero, en el caso de estar definido utilizando variables de desviación. Este error es la entrada del controlador, cuya función de transferencia es Gc. Las respuesta del controlador c(t) es una intensidad de corriente o una diferencia de presión según sea el sistema de transmisión de información eléctrico o neumático. 65

Acciones de control

66

d(s) Sistema de control

ysp(s)

ǫ(s) +

−

c(s)

Gc (s)

ym (s)

f(s)

Gf (s)

Gp (s)

y(s)

Gm (s)

Figura 6.2. Funciones de transferencia que intervienen en un lazo de control por retroalimentación.

Esta acción de control c(t) modifica al elemento final de control (G f ), en ejemplo tratado es una válvula, para que cambie el valor de la variable manipulable f (t). El cambio de la variable manipulable modifica el estado del proceso. Si el sistema de control funciona correctamente este cambio de la variable controlada debe tender a eliminar el error. En el caso de que lo que se haya producido haya sido un cambio a la consgina, debe conducir al sistema al nuevo estado estacionario deseado. Aunque la mayoría de elementos del bucle de control son de acción directa –el signo de la salida es el mismo de la entrada–, también existen procesos de acción inversa. Los procesos de acción inversa tienen una ganancia negativa. Un elemento de acción inversa presente en todos los lazos de control es el comparador. En el comparador se produce una cambio de signo ya que para calcular el error se resta la variable medida a la consigna (Fig. 6.3. a)). Por este motivo se puede considerar al comparador como un elemento de acción inversa. Se puede demostrar de manera muy sencilla que para que un lazo de control pueda funcionar correctamente debe tener un número impar de elementos de acción inversas, es decir, un número impar de cambios de signo en el lazo de control. Si existe en el lazo de control un número par de elementos de acción inversa se debe incluir un bloque -1 entre el comparador y el controlador (Fig. 6.3. b)). ysp

a)

+

ym

ǫ

−

Gc

ysp

c

b)

+

ǫ

−

−1

Gc

c

ym

Figura 6.3. a) El número de elementos de acción inversa en el lazo de control es cero o par. b) Situación si existe un elemento de acción inversa o su número es impar.

En este curso los bloques y procesos utilizados solo tienen una entrada y una salida. En cambio el proceso en la figura 6.2 el proceso tiene dos entradas, la variable manipulable y las perturbaciones. Para evitar ese problema habitualmente el se considera que además del proceso existe una función de transferencia debida a las perturbaciones (Gd) que no forma parte del lazo de control. Realizando esa modificación el lazo de control queda como el mostrado en la figura 6.4. Con frecuencia los lazos de control se expresan de manera simplificada utilizando la forma canónica. Para ello es necesario tener en cuenta que Gc, G f y G p son tres funciones de transferencia en serie. La función de transferencia entre la consigna y la salida es: Gc G f G p y(s) = ysp(s) 1 + Gc G f G p Gm La función de transferencia entre la perturbación y la salida es: y(s) Gd = d(s) 1 + Gc G f G p Gm

6.2 Control proporcional (P)

67

d(s)

Gd (s) Sistema de control

ysp(s)

ǫ(s) +

−

c(s)

Gc (s)

ym (s)

Gf (s)

f(s)

Gp (s)

+

+

y(s)

Gm (s)

Figura 6.4. Lazo de control por retroalimentación mostrando la función de transferencia de las perturbaciones. d(s)

Gd (s)

ysp (s)

+

G(s)

−

+

+

y(s)

H(s) Figura 6.5. Forma canónica de un bucle de control por retroalimentación.

Por tanto la salida del lazo de control para un cambio simultaneo de la consigna y de la perturbación será: Gc G f G p Gd ysp(s) + d(s) y(s) = 1 + Gc G f G p Gm 1 + Gc G f G p Gm

6.2 Control proporcional (P) El acción de control c del controlador proporcional es: c(t) = Kc ε(t) + cs

(6.1)

donde Kc es la ganancia proporcional del controlador y cs es el bias del controlador. La ganancia del controlador también se puede expresar mediante la Banda proporcional , expresada como porcentaje: 100 BP = Kc Normalmente, 1 6 BP 6 500. La banda proporcional expresa el intervalo del error para que el control se sature. Cuanto mayor es Kc, menor es BP y mayor es la sensibilidad del controlador a los cambios o, lo que es lo mismo, al error ε. El bias del controlador es el valor de la acción de control cuando el error es nulo. La función de transferencia del controlador se obtiene realizando la trasnformada de Laplace a la ec. 6.1: Gc(s) = Kc

Acciones de control

68

teniendo en cuenta que se ha utilizado como variable de desviación: c ′(t) = c(t) − cs La acción de control proporcional es la más importante y se encuentra en todos los sistemas de control. Ejemplo 6.1. Problema 6.2

6.3 Control Proporcional + Integral (PI) En este tipo de controlador la acción de control es: c(t) = Kc ε(t) +

Kc τI

Z

t

ε(t)dt + cs

0

donde τI es el tiempo integral o tiempo de reset . Se suele expresar como minutos por repetición 1 y se suele encontrar entre 0.1 min 6 τI 6 50 min. También se puede expresar como τ (repetiI ciones por minuto) y se conoce como la velocidad de reset. Kc es la ganancia del controlador, tal K como ocurría con el controlador proporcional. Al conjunto τ c , a veces, se le conoce como la I ganancia integral KI . A τI se le conoce como el tiempo de reset porque es el tiempo necesario para que el controlador repita la acción de control inicial: Z K Kc τI εdt = c ετI = Kc ε τI τI 0 para un error constante con el tiempo, como por ejemplo, el debido a un escalón. La función de transferencia de este tipo de controladores es: 1 Gc(s) = Kc 1 + τI s El controlador PI actúa mientras exista error en la salida produciendo cada vez valores mayores para la acción integral. Por tanto, se deben tomar acciones especiales para evitar saturaciones en los actuadores finales para errores persistentes con el tiempo. Ejemplo 6.2. Problema 6.4

6.4 Control Proporcional + Derivativo (PD) Se define como: c(s) = Kc ε(t) + Kc τD

dε(t) + cs dt

donde τD es la constante de tiempo derivativa. La acción de control derivativa aplica una acción de control proporcional a la velocidad de cambio del error. En cierta manera se anticipa al error futuro, por ello se la conoce a veces como control anticipativo. En lugar de la constante de tiempo derivativa se utiliza a veces la ganancia derivativa KD que es Kc τD. Presenta el problema de que puede tomar acciones de control derivativas intensas para sistemas con ruido pero con un error próximo a cero, lo que implica que la acción de control no es necesario. Este problema se puede solucionar añadiendo algún sistema de filtrado que elimine o minimice el ruido. Su función de transferencia es: Gc(s) = Kc (1 + τD s) Ejemplo 6.3. Problema 6.6

6.6 Problemas

69

c(t) cs + 3Kc ǫ

cs + 2Kc ǫ

c s + Kc ǫ

cs

0

2τI

τI

t

Figura 6.6. Acción de control (respuesta) de un controlador PI a un cambio en escalón en el error.

6.5 Control Proporcional + Integral + Derivativo (PID) Simplemente es la combinación de las tres acciones de control anteriores: Z Kc t dε(t) ε(t)dt + Kc τD + cs c(t) = Kc ε(t) + τI 0 dt y su función de transferencia es:

Gc(s) = Kc Ejemplo 6.4. Problema 6.5

1 1+ + τD s τI s

6.6 Problemas Problema 6.1. Reducir el siguiente diagrama de bloques a la forma canónica:

G3

R

+

−

+

+

G1

G4

G2

+

+

C

H1

H2

Problema 6.2. Determinar la ganancia y la banda proporcional de un controlador neumático proporcional de acción directa con una escala de 0-120 C, si la variación en la salida pasa de 20 a 100 kPa cuando la temperatura aumenta desde 95 a 110 C. Si se cambia la banda proporcional a 50%, determinar la ganancia y la variación de temperatura requeriada para un cambio total en la salida.

Acciones de control

70

Solución Un posible diagrama del sistema de control propuesto es el siguiente: Tsp (t)

Medidor de temperatura

Tm (t) Controlador

c(t)

T (t) Q(t)

Agua caliente Válvula neumática

Agua fría

La temperatura del tanque T (t) la mide un sensor de temperatura. La respuesta de este medidor es Tm(t), esta variable se alimenta al controlador que la compara con el valor de consigna Tsp(t). La acción de control c(t) se envía a la válvula neumática que modifica el caudal de agua caliente Q(t). Al varial el caudal de agua caliente varía la temperatura del tanque. Si el sistema de control funciona correctamente la diferencia entre esta temperatura y la consigna debe ser cada vez menor, si no se producen cambios o perturbaciones. Se puede plantear un diagrama de bloques que representa la instalación anterior: c(t)

ǫ(t) Tsp(t)

+

−

Controlador

Tm(t)

Q(t) Válvula

Proceso

T (t)

Medidor

El controlador es proporcional, lo que significa que: Error: ε(t) = Tsp(t) − Tm(t) Accion de control: c(t) = Kc ε(t) donde Kc es la ganancia del controlador. La ganancia del controlador será, por tanto, la pendiente de la recta siguiente:

P (kPa)

100

20 95

T (ºC)

110

6.6 Problemas

71

Lo que supone: Kc =

Pmax − Pmin 100 kPa − 20 kPa = = 5.33 kPa/◦C 110 ◦C − 95 ◦C Tmax − Tmin

La banda proporcional (BP) es el porcentaje de uso del controlador. En este caso, aunque el controlador tiene capacidad de controlar temperaturas entre 0 y 120 C se utiliza para controlar temperaturas entre 95 y 110 C. Eso supone que: BP =

110 ◦C − 95 ◦C 100 = 12.5% 120 ◦C − 0 ◦C

Si la banda proporcional es de 50%, el incremento de temperaturas controlado será: ∆T =

BP 120 ◦C = 60 ◦C 100

Por tanto la ganancia del controlador será: Kc =

100 kPa − 20 kPa = 0.133 kPa/◦C 60 ◦C

Problema 6.3. Un controlador neumático de acción directa, que opera en el intervalo 3-15 psig para una escala de temperatura 0-100 ◦C, está saturado para temperaturas inferiores a 30 ◦C y superiores a 90 ◦C. Determinar: a) La ganancia y la BP b) La presión del aire a la salida del controlador cuando la presión sea de 70 ◦C c) La τI de un control integral incorporado al proporcional, si al introducir el elemento medidor en un medio a 70 ◦C (inicialmente a 30 ◦C) el controlador se satura en 10 minutos

Solución a) En este caso el sistema controlador-elemento final de control tiene la capacidad de controlar cambios de temperatura entre 0 y 100 ◦C, pero se utiliza para controlar cambios entre 30 y 90 ◦C. Eso supone que no se utiliza toda la capacidad de control del sistema de control pero que se utiliza una ganancia proporcional del controlador más elevada, con las ventajas que eso puede suponer. La banda proporcional de este sistema es: BP = La ganancia del controlador es: Kc =

90 ◦C − 30 ◦C 100 = 60% 100 ◦C − 0 ◦C

15 psig − 3 psig = 0.2 psig/◦C 90 ◦C − 30 ◦C

b) La salida de un controlador proporcional es:

c(t) = Kc ε(t) + cs donde cs es el bias del controlador, es decir, la salida del controlador cuando el error es nulo. En primer lugar hay que calcular el bias del controlador, para ello se va a suponer que en estado estacionario la temperatura es de 30 ◦C y que la salida del controlador es de 3 psig. Por tanto, 3 psig = Kc 0 + cs ⇒ cs = 3 psig Si la temperatura es de 70 ◦C, el error será: ε = 70 ◦C − 30 ◦C = 40 ◦C

Por tanto, la salida del controlador es:

c = (0.2 psig/◦C)(40 ◦C) + 3 psig = 11 psig c) Aquí se plantea un cambio en la temperatura en forma de escalón de altura 40 ◦C, lo que supone que ε = 40 ◦C.

Acciones de control

72

Un controlador proporcional-integral (PI) responde a la siguiente dinámica: Z t K εdt + cs c(t) = Kc ε + c τI 0 Se debe buscar qué constante de tiempo integral hace que el controlador se sature (que alcance uno de los valores límite de salida, en este caso, la máxima presión de salida) a los 10 minutos. Por tanto: Z 0.2 10 (40 ◦C)dt + 3 psig c(t = 10) = 15 psig = (0.2 psig/◦C)(40 ◦C) + τI 0 Resolviendo la ecuación anterior se encuentra que τI = 20 min . Problema 6.4. La temperatura de un proceso tiene un campo de variación de 200 ◦C. Para efectuar su control se dispone de dos opciones de controladores neumáticos que actúan sobre una válvula: 1. Un controlador proporcional (3-15 psig) de BP = 50% 2. Un controlador PI de BP = 50% y τI = 1 min El proceso en estado estacionario está a 60 ◦C, siendo la presión del controlador de 3 psig. Si la temperatura aumenta bruscamente hasta 70 ◦C, calcular: a) La presión que actúa sobre la válvula en el control P b) La presión que actua sobre la válvula en el control PI c) La influencia de la BP en el control PI d) La influencia de la τI en el control PI

Solución Para ambos controladores la temperatura estacionaria es de 60 ◦C. En esas condiciones la salida del controlador es de 3 psig. Como consecuencia se tomarán cs = 3 psig. El cambio brusco de temperatura es un escalón de altura 10 ◦C: ε = 70 ◦C − 60 ◦C = 10 ◦C

a) Una banda proporcional de 50% implica que aunque el campo de variación del controlador sea de 200 ◦C solo se controlarán variaciones de temperatura máximas de: BP = 50% =

∆T 100 ⇒ ∆T = 100 ◦C 200

Por tanto la ganancia proporcional es: Kc =

∆P 15 psig − 3 psig = = 0.12 psig/K 100 ◦C ∆T

La salida del controlador proporcional será: c(t) = Kc ε(t) + cs = (0.12 psig/K)(10 ◦C) + 3 psig = 4.2 psig b) La respuesta del controlador PI es (la ganancia proporcional es la misma que en el apartado anterior): Z Kc t K c(t) = Kc ε(t) + ε(t)dt + cs = Kc ε + c εt + cs = 4.2 psig + (1.2 psig/min)t τI 0 τI A los 9 minutos el controlador se satura (c = 15 psig). Pasados 9 minutos el sistema queda fuera de control. c) Al aumentar la banda proporcional, disminuye la ganancia proporcional. Esa disminución supone que la acción de control será menos intensa. La pendiente de la curva del aparatado b) Kc ε será menor, como consecuencia el sistema de control será más lento, tardará más tiempo en τI saturarse y en eliminar los errores del sistema. d) Si aumenta la constante de tiempo integral, la acción de control es menos intensa y más K lenta ya que disminuye la pendiente τ c ε. I

6.6 Problemas

73

Problema 6.5. Un controlador P+I+D está en estado estacionario con una presión de salida de 9 psig. El set point y el punto de registro están juntos inicialmente. En el tiempo t = 0, el set point se varía respecto al punto de registro una velocidad de 0.5 in/min hacia lecturas más bajas. Si Kc = 2 psig/in de registro, τI = 1.25 min y τD = 0.4 min , dibujar la presión de salida frente al tiempo.

Solución La salida de un controlador PID es: Z dε(t) 1 t ε(t) dt + τD + cs c(t) = Kc ε(t) + dt τI 0 En este problema: Kc = 2 psig/in τI = 1.25 min τD = 0.4 min c(t = 0 min ) = 9 psig ε(t) = − 0.5 in/min Sustituyendo: c(t) = 2

− 0.5t +

1 1.25

Z

t

− 0.5tdt + 0.4

0

d( − 0.5t) dt

+ cs = − t − 0.8

t2 − 0.4 + cs 2

El bias del controlador es cs = 9.4 psig, ya que c(t = 0 min ) = 9 psig. Por tanto, la curva a representar es: c(t) = 9 − t − 0.4t2 c(t) = 9 - t - 0.4 t^2 c(t)

-0

-10

-20

1

2

3

4

5

6

7 t

Problema 6.6. Calcular la respuesta de un controlador PD a un cambio en el error en rampa de pendiente α. Dibujar las contribuciones de la acción derivativa y proporcional separadas. Discutir la naturaleza anticipativa de la acción de control derivativa a partir de esa gráfica. Problema 6.7. Identificar los elementos físicos presentes en el sistema de control de temperatura de un fermentador. Comprarlos con los que se encontrarían en el sistema de control de temperatura de un horno. ¿Se observa alguna diferencia en la descripción matemática de estos sistemas?

Capítulo 7 Control por retroalimentación de sistemas lineales En este capítulo se va a estudiar la dinámica de procesos controlados por retroalimentación. Se consideran los dos problemas más comunes: a) un cambio deseado de la consigna ysp, problema del servomecanismo b) una perturbación o cambio en la carga d, problema de la regulación

7.1 Acción de control proporcional En este caso se considera que Gm = 1, G f = 1 y Gc = Kc, de manera que la respuesta del lazo de control será: Gd Kc G p ysp + d (7.1) y= 1 + Kc G p 1 + Kc G p

7.1.1 Procesos de primer orden Para un proceso de primer orden sin sistema de control (lazo abierto, open loop): τp

dy(t) + y(t) = K p f (t) + Kd d(t) dt

con y(0) = f (0) = d(0) = 0, ya que se trata de variables de desviación. Realizando la transformada de Laplace de la ecuación diferencial anterior y operando se encuentra: y(s) =

Kd Kp f (s) + d(s) τp s + 1 τp s + 1

Es decir: Kp τp s + 1 Kd Para un cambio en la carga: Gd = τp s + 1

Para un cambio en la consigna: G p =

Sustituyendo en la ec. 7.1, salida de un bucle de retroalimentación (lazo cerrado, closed loop) y ordenando términos: K′ K′ y = ′ p ysp + ′ d d τp s + 1 τp s + 1 τ

donde τ p′ = 1 + Kp

p Kc

K Kc p Kc

p , K p′ = 1 + K

K

y Kd′ = 1 + Kd K . p

c

Se observa que: a) El lazo de control es un sistema de primer orden, al igual que el proceso b) La respuesta del lazo de control es más rápida que la del proceso (τ p′ < τ p) c) El sistema formado por el proceso y el bucle de retroalimentación es menos sensible a los cambios que el sistema formado solamente por el proceso en sí ya que K p′ < K p y Kd′ < Kd 75

Control por retroalimentación de sistemas lineales

76

Si se considera un cambio en la consigna según un escalón unidad y no se produce perturbación alguna (d = 0), se puede apreciar mejor el efecto del controlador proporcional. En este caso se observa que la respuesta final obtenida por el lazo de control no es la exigida por la consigna. Esta discrepancia es el offset . Se define el offset como la diferencia entre el valor final de la cony(t)

y(t)

ysp(t)

1

1

Offset

d(t)

Sin control

y(t)

Con controlador Offset

t

a)

b)

t

Figura 7.1. Respuestas de un lazo cerrado de un proceso de primer orden con control P. a) Cambio escalón unidad en la consigna, b) cambio escalón unidad en la carga.

signa y el valor final de la respuesta: Offset = lím (ysp − y) t→∞

Aplicando el Teorema del valor final (ec. 3.7): Offset = lím (sysp − sy) s→0

En este caso: K′ 1 K p Kc 1 1 =1− = Offset = lím s − s ′ p 1 + K p Kc 1 + K p Kc s τp s + 1 s s→0 1

Para el problema de la regulación (d = s y ysp = 0): Offset = −

Kd 1 + K p Kc

Se observa en los dos caso que para eliminar el offset (offset → 0), la ganancia del controlador debe hacerse muy elevada (Kc → ∞). Por razones de estabilidad, que se verán más adelante, no es conveniente utilizar valoreselevados de Kc para eliminar el offset . Si el proceso es un integrador puro Gc =

Kp s

, como por ejemplo la dinámica del nivel de un

depósito, se comprueba que un sistema de control P es capaz de mantener el nivel de líquido en en el valor deseado dentro de un cierto margen. Si se calcula el offset de este tipo de sistemas 1 (proceso más lazo de control) para una entrada en escalón, se obtiene el valor − K . Este valor c puede ser aceptable para valores suficientemente elevados de Kc.

7.1.2 Procesos de 2o orden Se considera un lazo de control como el del caso anterior pero en el que se ha sustituido el proceso por un sistema de segundo orden. Si se realiza un cambio en la consigna, la respuesta queda como: K p′ ysp y= 2 τ ′ s2 + 2 ζ ′ τ ′ s + 1 donde τ ′ = p

τ

1 + K p Kc

, ζ′= p

ζ 1 + K p Kc

K Kc . p Kc

p y Kp = 1 + K

7.3 Acción de control derivativa

77

Se cumple que: a) El lazo de control continua siendo un sistema de segundo orden. b) K p′ < K p, τ ′ < τ ′ y ζ ′ < ζ. c) Para una entrada en escalón unidad, offset =

1 . 1 + K p Kc

De nuevo, el offset tiende a 0,

cuando la ganancia proporcional del controlador tiende a infinito. d) Dependiendo de ζ, ζ ′ puede ser menor, mayor o igual a 1. Si la respuesta es sobreamortiguada, la velocidad de la respuesta es más lenta. Por tanto es preferible aumentar Kc para lograr una respuesta subamortiguada. De esta manera se logra una respuesta más rápida y con un offset menor. El problema es que al aumentar Kc aumenta el overshoot—lo que implica un aumento en la razón de disminución—y decrece el periodo de oscilación.

7.2 Acción de control integral 1 El efecto de la acción integral Gc = Kc τ s sobre un lazo de control formado por un proceso de I

primer orden (el mismo caso que en el apartado anterior) para un cambio en la consigna será: 1

K

p Kc τ s τ s + Gc G p 1 I p = y(s) = 1 + Gc G p 1 + Kc 1 Kp

τ I s τ ps + 1

siendo τ =

q

τI τ p K p Kc

q 1

y ζ=2

ysp(s) =

1 ysp(s) τ 2 s2 + 2τζs + 1

τI . τ p K p Kc

Se observa que el lazo de control formado por el proceso de primer orden y la acción integral es un sistema de segundo orden. En este caso, para un cambio en escalón unidad: lím y(t) = lím sy(s) = lím s

t→∞

s→0

s→0

1 1 =1 τ 2 s2 + 2τζs + 1 s

Por tanto, el offset será igual a 0. La acción de control integral elimina el offset . Si se aumenta la ganancia del controlador Kc o se disminuye el tiempo integral τI , disminuye el coeficiente de amortiguamiento ζ. Con el objetivo de eliminar lo más rápidamente posible las perturbaciones o alcanzar el nuevo valor de la consigna, se prefiere trabajar normalmente con coeficientes de amortiguamiento menores que 1. Se logra aumentar la velocidad de la respuesta a expensas de tener desviaciones mayores a corto plazo, aparición de overshoot , y oscilaciones durante un tiempo mayor.

7.3 Acción de control derivativa Considerando el mismo lazo de control que en los apartados anteriores con una acción de control derivativa (Gc = Kc τD s), se obtiene: y(s) =

K p Kc τ p s ysp(s) (τ p + K p Kc τD)s + 1

La acción de control derivativa no cambia el orden de la dinámica del sistema. La respuesta del sistema se hace más lenta ya que τ p + K p Kc τD > τ p. Para un proceso de segundo orden: y(s) =

K p Kc τ D s ysp(s) τ 2 s2 + (2 ζτ + K p Kc τD)s + 1

Tampoco cambia el orden de la dinámica del sistema. Además el lazo tiene una respuesta más amortiguada ya que 2 ζτ + K p Kc τD > 2 ζτ .


78

Al disminuir la velocidad de la respuesta y aumentar el amortiguamiento se dice que la acción de control derivativa produce un comportamiento más robusto del sistema controlado.

7.4 Acciones de control combinadas 7.4.1 Acción de control PI 1. Aumenta el orden de la respuesta (efecto de la acción I) 2. Se elimina el offset (acción I) 3. Al aumentar la ganancia del controlador, la respuesta se hace más rápida (acción P y I), más oscilatoria, aumenta el overshoot y la razón de disminución (acción I). Valores elevados de Kc pueden hacer al lazo de control inestable 4. Al disminuir el tiempo integral, para una ganancia del controlador constante, la respuesta se hace más rápida y más oscilatoria, con mayor overshoot y razón de disminución (acción I)

7.4.2 Acción de control PID La acción derivativa mantiene los beneficios de la acción PI y logra eliminar parte de los defectos. En un controlador PI al aumentar Kc, para lograr una respuesta más rápida, la respuesta se vuelve oscilatoria y puede llegar a ser inestable. La introducción de la acción derivativa tiene un efecto estabilizador. Al aumentar Kc se logra una respuesta más rápida manteniendo el overshoot prácticamente constante.

7.5 Influencia de los retrasos Para todos los sistemas considerados en los apartados anteriores se ha supuesto que cualquier cambio en la entrada se reflejaba instantáneamente en la salida. Este hecho contradice la evidencia física, prácticamente todo proceso lleva un retraso entre la entrada y la salida. Normalmente este retraso es despreciable excepto en los casos siguientes que presentan retrasos elevados: •

Procesos en los que haya transporte de fluidos a largas distancias o que incluyan fenómenos con periodos largos de incubación

•

Dispositivos de medida que requieran tiempos de muestreo o de análisis elevados. Por ejemplo, cromatografía de gases

•

Elementos finales de control que necesiten un cierto tiempo para actuar

•

Un controlador humano que necesita tiempo para pensar y tomar una decisión

Los bucles de control por retroalimentación que presentan alguno de estos elementos tienen los siguientes problemas: •

Una perturbación que entre en el proceso no será detectada hasta que haya pasado una cantidad de tiempo significativa

•

La acción de control se realizará a partir de la última medida tomada que será inadecuada debido a que no representa correctamente lo que está ocurriendo en el proceso

•

No se puede apreciar la acción de control sobre el sistema hasta un cierto tiempo después

•

Como resultado de la combinación de los factores anteriores la presencia de tiempos muertos (retrasos) es una fuente de inestabilidad de los lazos de control

7.6 Introducción al diseño de sistemas de control por retroalimentación

79

Los procesos con retraso son difíciles de controlar ya que la salida no contiene la información de lo que está ocurriendo en el proceso en este momento.

7.6 Introducción al diseño de sistemas de control por retroalimentación Una vez decidido qué se va a controlar (variable controlada) y a través de qué (variable manipulable) es necesario llevara a cabo el diseño del controlador. Para ello hay que contestar fundamentalmente a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué criterio de rendimiento se debe tomar para llevar a cabo la selección y la sintonía del controlador? Existen multitud de criterios para la evaluación del controlador. Por ejemplo: • •

Mantener la máxima desviación lo menor posible Lograr tiempos de ajuste cortos

•

Minimizar la integral de los errores hasta que el proceso alcanza el set point deseado

•

Criterio de la razón de disminución 1/4

2. ¿Qué tipo de controlador se debe seleccionar para el proceso a controlar? De manera cualitativa se pueden considerar las siguientes conclusiones: I. Control proporcional a) Acelera la respuesta del proceso controlado b) Produce offset para todos los procesos excepto para aquellos con términos en su función de transferencia

1 s

II. Control integral a) Elimina el offset b) La eliminación del offset causa normalmente unas desviaciones máximas mayores c) Ralentiza el sistema o produce respuestas oscilantes d) Si se aumenta Kc para aumentar la velocidad de la respuesta, el sistema aumenta las oscilaciones y puede pasar a ser inestable III. Control derivativo a) Se anticipa a los errores futuros e introduce la acción de control adecuada b) Introduce un efecto estabilizador en la respuesta de ciclo cerrado de los procesos Como consecuencia se pueden aplicar los siguientes criterios: i. Si es posible, utilizar un controlador P. Por ejemplo, sistemas de control de presión de gases o nivel de líquidos ii. Si el controlador P es inaceptable, utilizar un PI. Se utiliza casi siempre para el control de caudales iii. Utilizar un PID para aumentar la velocidad de la respuesta de ciclo cerrado y mantener la estabilidad. P.ej., control de temperatura y concentraciones 3. ¿Cómo se pueden seleccionar los mejores valores a los parámetros del controlador (sintonía del controlador)?


80

Esta pregunta se contestará en los capítulos siguientes.

7.7 Problemas Problema 7.1. La localización de un cambio de carga en un lazo de control puede afectar a la respuesta del sistema. En el diagrama de bloques adjunto se produce un cambio en escalón unidad en la posición 1 ó 2. U1 U2 R +

−

Kc = 5

+

+

2 2s+1

+

+

C 1 2s+1

a) ¿Cuál será la frecuencia del estado transitorio si la variación se produce en la posición 1? ¿y si es en la 2? b) ¿Cuánto valdrá el offset en cada caso? Suponer un escalón unidad.

Solución a) Para poder encontrar la frecuencia del estado transitorio será necesario conocer el coeficiente de amortiguamiento de este lazo de control. Entrada en U1 Para poder encontrar ζ es necesario calcular, en primer lugar, la función de transferencia que describe la dinámica del lazo de control para una entrada de perturbaciones en U1. La función de transferencia será: 2

1

C 2s + 1 2s + 1 = 1 U1 1 + Kc 2

2s + 1 2s + 1

En el numerador aparecen las funciones de transferencia existentes entre la entrada (U1) y la salida (C ). El denominador es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de control. Operando se encuentra que: C = U1

2 11 4 4 2 s + 11 11

s+1

Es importante resaltar que el término independiente del denominador debe ser 1. Como era de esperar la función de transferencia es la de un sistema de segundo orden. Por tanto:   τ2 = 4 11

 2τζ =

4 11

Operando se encuentran las siguientes soluciones: #" ## "" √ √ 2 11 1 1 2 11 , τ= ,ζ =− √ ,ζ=√ τ =− 11 11 11 11 La constante de tiempo de un sistema y el coeficiente de amortiguamiento de un sistema deben 1 ser siempre positivos. Por tanto el coeficiente de amortiguamiento toma el valor de √ . 11 La frecuencia del estado transitorio es: p 1 − ζ2 ν= 2πτ Sustituyendo se obtiene: ν = 0.252

7.7 Problemas

81

Entrada en U2 En este caso la función de transferencia es: 1

C 2s + 1 = U2 1 + K c 2

1 2s + 1 2s + 1

=

2 1 s + 11 11 4 4 2 s + 11 s + 1 11

El denominador obtenido es el mismo que en el caso anterior, lo que significa que el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia serán iguales. Se comprueba que lo que marca la respuesta de un lazo de control es el denominador de la función de transtferencia. El numerador influye principalmente en términos transitorios cuya influencia sobre la dinámica del sistema disminuye rápidamente. b) En ambos casos el offset valdrá: Offset = lim [R(t) − C(t)] t→∞

Realizando la transformada de Laplace y aplicando el teorema del valor final se obtiene: Offset = lim [sR(s) − sC(s)] s→0

En este problema la consgina no cambia, lo que significa que R(s) = 0. Entrada en U1 Se realiza un cambio en escalón unidad, la respuesta del lazo de control será: 2 11 4 4 2 s + 11 11

2 11 4 4 2 s + 11 11

1 s+1 s+1 s " # 2 1 2 11 Offset = lim 0 − s 4 =− 2+ 4 s+1 s 11 s→0 s 11 11 C=

El offset será:

U1 =

Entrada en U2 La respuesta del lazo de control en este caso es: C= El offset es:

1 2 s + 11 11 4 2 4 s + 11 s + 1 11

"

Offset = lim 0 − s s→0

U2 =

2 1 s + 11 11 4 2 4 s + 11 s + 1 11

2 1 s + 11 11 4 4 2 s + 11 s + 1 11

1 s

# 1 1 =− 11 s

Problema 7.2. Para controlar un sistema de primer orden se utiliza un controlador PD con un elemento de medida cuya dinámica también es de primer orden. a) Determinar las expresiones de la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento para el sistema de lazo cerrado b) Si τ p = 1 min y τm = 10s, calcular Kc para que el coeficiente de amortiguamiento sea 0.7 en los siguientes supuestos: (1) τd = 0 y (2) τd = 3s c) Comparar, para las dos situaciones del apartado b) el offset y el periodo, y comentar la ventaja que representa la adición de la acción derivativa

Solución a) El lazo de control propuesto es:

ysp (s)

+

−

Gc(s)

Gp(s)

Gm(s)

y(s)


82

donde: Gc = Kc (1 + τDs) Kp Gp = τp s + 1 Km Gm = τm s + 1 La función de transferencia que relaciona la respuesta dinámica del bucle de control con un cambio en la consigna es: GcG p y = = ysp 1 + GcG p

(τ + τ )K Kp¡tau¿D K K Kc Kp ¡tau¿D τm 2 s + m K DK Kc + s + K K c Kp + 1 1 Kc Km Kp + 1 c m p c m p τ pτm τp + τm + Kc Km KpτD 2 s + s+1 Kc Km Kp + 1 Kc Km Kp + 1

Al tratarse de una función de transferencia de segundo orden: τ pτm τ2 = Kc Km Kp + 1 τ + τm + Kc Km Kp τD 2τζ = p Kc Km Kp + 1 Despejando se encuentra: τ= ζ=

1 2

r

r

τ pτm Kc Km Kp + 1

Kc Km Kp + 1 τ p + τm + Kc Km Kp τD τ pτm Kc Km Kp + 1

b) Si τ p = 1 min = 60s y τm = 10s, ¿qué valores debe tomar Kc para que ζ = 0.7? Caso τD = 0: Sustituyendo en la expresión del coeficiente de amortiguamiento: r 70 1 1 + Kc K p Km 0.7 = 600 1 + Kc K p Km 2 Por tanto: 3.167 Kc = K pKm Caso τD = 3s: En este caso al sustituir en la ecuación del coeficiente de amortiguamiento se obtiene: r 1 1 + Kc K p Km 70 + 3Kc K p Km 0.7 = 600 1 + Kc K p Km 2 Tomando K = Kc K p Km y operando se obtiene: √ 70 + 3K 34.29 = 1 + K 1+K Para resolver la ecuación hay que elevarla al cuadrado: 34.292 = (1 + K) Operando se ecuentra: Las soluciones de esta ecuación son:

(70 + 3K)2 (1 + K)2

9K 2 − 756K + 3724 = 0 K=

78.745 5.255

K=

 

78.745 K p Km 5.255 K p Km

Es decir:



7.7 Problemas

83

Se comprueba que la acción de control derivativa permite ganancias del controlador más elevadas para un mismo coeficiente de amortiguamiento. Eso supone que se pueden utilizar acciones de control proporcional más intensas sin aumentar las oscilaciones del conjunto controlador-proceso. c) Suponiendo un cambio en la consigna ysp(t) de tipo escalón unidad: y(s) y 1 Kc Kp Offset = lim sysp(s) − s ysp(s) = 1 − lim s =1− ysp(s) Kc Km Kp + 1 s→0 s→0 ysp s El offset es independiente de la acción derivativa tomada. El periodo, para un sistema de segundo orden, es:

Sustituyendo:

2πτ T=p 1 − ζ2 q 600 2π 1 + K T=r 1 1 + K 70 + KτD 2 1 − 4 600 1+K

Al aumentar la constante de tiempo derivativa, aumenta el periodo. Lo que significa que la respuesta es menos oscilatoria. Problema 7.3. Sea el sistema de lazo de control de la figura adjunta: q1

PI h

q2 a) Dibujar el diagrama de bloques indicando la función de transferencia de cada subsitema. Suponer que le detector de nivel actua sin retraso alguno sobre el controlador b) ¿Cuál es la función de transferencia para variaciones de carga (H/Q1)? c) Discutir la influencia de los parámetros de proceso y de los del controlador sobre la dinámica del sistema.

Solución a) En primer lugar se realizará el balance macroscópico de materia al sistema, suponiendo que la densidad es constante e independiente del tiempo: A

dh(t) = q1(t) − q2(t) dt

donde A es el área del depósito. Acontinuación se encuentra el balance en estado estacionario: 0 = q1,e − q2,e

donde el subíndice e indica que se trata de los valores en estado estacionario. Es decir los valores de las variables anteriores a cualquier cambio. Habitualmente se trata de los valores de diseño de las variables. Restando los dos balances se obtiene: A

dH(t) = Q1(t) − Q2(t) dt

donde se han tomado las siguientes variables de desviación: H(t) = h(t) − he Q1(t) = q1(t) − q1,e(t) Q2(t) = q2(t) − q2,e(t)


84

A continuación se realiza la transformada de Laplace: dH(t) = L(Q1(t) − Q2(t)) L A dt AsH¯ (s) = Q1(s) − Q2(s) Por tanto: H¯ = Q1

1 As

− Q2

1 As

A partir del modelo matemático obtenido se puede dibujar el diagrama de bloques del proceso:

1 As

Q1(s)

+ −

H(s)

1 As

Q2(s)

El diagrama de bloques del controlador es:

ǫ(s)

Gc(s)

Q2 (s)

donde la función de transferencia del controlador es: 1 Gc(s) = Kc 1 + τI s Suponiendo que la función de transferencia del medidor de nivel y de la válvula sean iguales a la unidad, es decir, que su dinámica sea instantánea se obtiene el siguiente diagrama de bloques del conjunto controlador-proceso: Q1 (s)

1 As

Hsp (s)

ǫ(s) +

−

−1

Q2(s)

Gc(s)

1 As

−

+

H(s)

Es importante destacar el bloque -1 existente entre el comparador y el controlador. En el caso de que este bloque no se incluyese el sistema sería inestable (si se utiliza una válvula de acción directa) ya que el número de cambios de signo en el interior del bucle sería par. b) La función de transferencia será: 1 H¯ A s = Q1 1 + Kc 1 +

1 τI s

1 As

=

τI Kc A τI Kc

s

s2 + τI s + 1

7.7 Problemas

85

c) Al tratarse, la función de transferencia global, de un sistema de segundo orden, los parámetros que van a definir el comportamiento dinámico del lazo de control son la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento: r A τI τ= K r c 1 Kc τ I ζ= 2 A Se pueden considerar tres casos: →

Aumena la constante de tiempo integral: En este caso aumenta el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo, lo que hace que la respuesta sea más lenta y amortiguada

→

Aumenta la ganancia proporcional del controlador: En ese caso disminuye la constante de tiempo y aumenta el coeficiente de amortiguamiento, la respuesta debería ser más rápida y amortiguada

→

Aumenta el área del depósito: Aumenta la constante de tiempo, pero disminuye el coeficiente de amortiguamiento

Problema 7.4. Sea el sencillo lazo de control de la figura:

R(s)

+

Y (s)

G(s)

−

k

donde G p(s) = s (s + p) . Determinar la ganancia k y el parámetro p para que la dinámica del sistema responda a las siguientes características: a) Para un cambio en escalón el overshoot debe ser inferior al 5%. b) El periodo de oscilación de 4 s.

Solución La función de transferencia del lazo de control es: Y¯ (s) G p(s) G(s) = ¯ = = R (s) 1 + G p(s)

1 k

1 p s2 + k s + 1

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es: G(s) = Por tanto:

Kp 2 2 τ p s + 2τ p ζs + 1

1 k p 2τ p ζ = k Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: r 1 τp = k p ζ= √ 2 k τ p2 =

El overshoot de este sistema de ser inferior al 5%, por tanto, el caso límite es que el overshoot tome el valor de 0.05: ! πζ 0.05 = exp − p 1 − ζ2


86

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es ζ = 0.6901. El periodo del lazo de control debe ser de 4 s, lo que implica que: 2πτ T =4s= p p 1 − ζ2

Sustituyendo el coeficiente de amortiguamiento se encuentra que la constante de tiempo es τ p = 0.4607. Una vez conocidos el coeficiente de amortiguamiento y la constante de tiempo encontrar los parámetros del proceso es trivial: k = 4.71 p = 3.00

Problema 7.5. Los marcapasos electrónicos actúan sobre el corazón de manera que este responda adecuadamente al ritmo cardiaco deseado. La situación dinámica se puede representar por el bucle de control retroalimentado de la figura adjunta:

Perturbaciones

Ritmo cardiaco deseado

+

−

Marcapasos

+

+

Se ha establecido que la función de transferencia del marcapasos es ritmo cardiaco normal es de 70 pulsaciones /min. Determinar:

Corazón

K , 0.1s + 1

Ritmo cardiaco real

y la del corazón es

1 . s

El

a) Si K = 10, ¿cuánto vale la constante de tiempo de todo el sistema? ¿Qué sentido físico tiene dicha constante? b) Si se produjera una perturbación sostenida de 10 pulsaciones en exceso, ¿qué ritmo cardiaco estacionario se alcanzaría? c) Suponer que el individuo puede tolerar durante períodos de tiempo no excesivos un ritmo cardiaco de 110 pulsaciones/min, siempre que en ningún caso se llegue a 130, aunque sea puntualmente. ¿Qué valor ha de tener K para que un paso súbito de 70 a 110 pulsaciones/min en la consigna sea tolerable para el individuo?

Solución a) El lazo de control propuesto se puede representar como: d(s)

ysp (s)

+

−

Gc(s)

+

+

Gp(s)

y(s)

donde: K 0.1s + 1 1 Gp = s Para poder tomar variables de desviación se tomará como valor estacionario de la consigna: Gc =

ysp,e = 70 pulsaciones/min

7.7 Problemas

87

La función de transferencia que relaciona los cambios de la consigna con la salida será: G=

GcG p K y = = = ysp 1 + GcG p 0.1s2 + s + K

1 1 0.1 2 s + Ks + 1 K

Si K = 10, la constante de tiempo será (al tratarse de un sistema de segundo orden): r 0.1 τ= = 0.1 min 10 La constante de tiempo mide la inercia del sistema marcapasos-corazón frente a cambios en la consigna o perturbaciones. b) En este caso, se realiza un cambio en las perturbaciones es forma de escalón de altura 10 pulsaciones/min: 10 pulsaciones/min

Al tratarse de un escalón, la transformada de Laplace, tomando variables de desviación, de las perturbaciones será: 10 d(s) = s Al buscarse el efecto estacionario de un cambio en las perturbaciones sobre la salida del lazo de control (ritmo cardiaco) es necesario conocer la función de transferencia que relaciona y(s) con d(s): Gp y(s) = = d(s) 1 + Gc G p

0.1 s + 1 K 1 0.1 2 s + s+1 K K

Calcular la respuesta estacionaria es equivalente a pedir calcular el offset , sabiendo que K = 10 y que no se produce ningún cambio en la consigna: y(s) d(s) = − lim s offset = lim ysp(t) − lim y(t) = 0 − lim s s→0 t→∞ t→∞ s→0 d(s)

0.1 s + 1 10 1 0.1 2 s + s+1 10 10

10 =−1 s

Es importante resaltar que el signo negativo del offset indica que el valor estacionario de la salida está por encima de la consigna. El ritmo cardiaco estacionario alcanzado será de 71 pulsaciones/min, al deshacer las variables de desviación. c) Se desea conocer K para que en caso de que el corazón pueda sufrir una aumento de ritmo cardiaco (por ejemplo, al verse sometido a un esfuerzo, es decir, a una perturbación) sin que se supere un cierto límite. El sistema marcapasos-corazón forma un sistema de segundo orden, lo que significa que cuando se realiza un cambio, ya sea en al consigna o en las perturbaciones, puede dar respuestas oscilatorias subamortiguadas. De manera cualitativa, el caso límite sería: Ritmo cardiaco

130 A 110

B

70 t


88

El valor inicial del ritmo cardiaco es de 70 pulsaciones/min, el valor estacionario es de 110 pulsaciones/min y el valor máximo es de 130 pulsaciones/min. A partir de estos datos se puede calcular el overshoot utilizando su definición: Overshoot =

A 130 − 110 = = 0.5 110 − 70 B

Al tratarse de una función de transferencia de segundo orden: ! πζ Overshoot = exp − p = 0.5 1 − ζ2

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es: ζ = 0.2155

Del apartado anterior se sabe que: r

0.1 K 1 2τζ = K

τ=

Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra: K = 53.8 Por tanto, K debe ser menor de 53.8 para que en ningún caso se alcance 130 pulsaciones/min. Problema 7.6. Uno de los problemas más importantes con el que se enfrentan los ingenieros es el empleo óptmio de las fuentes de energía. Muchos ingenieros trabajan hoy en día en sistemas de energía solar para calefacción doméstica. Uno de esos sistemas emplea colectores solares y almacenamiento térmico, tal como se indica en el diagrama superior de la figura adjunta. El diagrama de bloques del sistema de control se presenta en la parte inferior de la figura:

Sol

Temperatura deseada

R(s)

+

−

Aire caliente

Ventiladores y controladores

Colectores

Y (s)

G(s)

Temperatura de la casa

H(s) La dinámica de los colectores, el almacenamiento térmico y la propia casa viene dada por G(s) = dinámica de los instrumentos de medida viene determinada por H(s) = τ2 = 0 (aproximación).

k2 (τ1s + 1) . τ2 s + 1

k1 . s2

La

Suponer que τ1 = 1 s y

a) ¿Para qué valores de k = k1 k2 el sistema será subamortiguado y para cuáles sobreamortiguado? b) ¿Para qué valores de k la temperatura de la casa, al variar la consigna, no discrepará en ningún momento más de un 5% del nuevo valor estacionario a alcanzar? c) Suponer que la temperatura de la casa está estabilizada en 22 oC. Si la consigna se cambia de pronto a 24 oC, siendo k2 = 1.1 ¿qué temperatura se alcanzará en la casa?

Solución a) La función de transferencia entre la temperatura de la casa (salida del lazo de retroalimentación) y la temperatura deseada (entrada a la lazo) es: 1 k2

k1

donde k = k1 k2.

Y (s) G(s) s2 = = = R(s) 1 + G(s)H(s) 1 + k21 k2(s + 1) s

1 k

s2 + s + 1

7.7 Problemas

89

Al tratarse de un sistema de segundo orden: r

1 k 2τζ = 1

τ=

donde τ es la constante de tiempo del lazo de control y ζ es el coeficiente de amortiguamiento. Despejando se encuentra: k = (2 ζ)2 Por tanto, ζ > 1 → k > 4 Sobreamortiguado ζ = 1 → k = 4 Criticamente amortiguado ζ < 1 → k < 4 Subamortiguado b) Un cambio de un 5% del nuevo valor estacionario, tras un cambio en la consigna, es equivalente a un overshoot de 0.05. Por tanto, ! πζ Overshoot = 0.05 = exp − p 1 − ζ2 Al resolver la ecuación se encuentra que:

ζ = 0.6901 Como se dice que el cambio no debe superar el 5% del valor estacionario: k > 1.905 c) El cambio propuesto en la consigna es una función en escalón de altura 2 oC valor que alcanzará la casa es: lim Y (t) = lim sY (s) = lim s

t→∞

s→0

s→0

Y (s) G(s) = lim s R(s) s→0

R(s) =

2 s

. El

1 k2

1 k

2 = 1.818 s2 + s + 1 s

El valor anterior no es la temperatura estacionaria que alcanzará la casa que ya la variable Y (t) está definida con variables de desviación. Para obtener la temperatura deseada hay que tener en cuenta que la temperatura en estado estacionario es de 22 oC, lo que significa que: Tfinal = 22 + 1.818 = 23.8 oC Problema 7.7. Sea el sistema cuyo diagrama de bloques se presenta en la figura adjunta:

R(s)

+

−

Y (s)

G(s)

H(s) K

donde G(s) = s (s + 1) y H(s) = 1 + Km s. Determinar los valores de la ganancia K y de la constante Km para que la respuesta a un escalón unidad tenga un overshoot de 0.2 al cabo de 1 s.

Solución La función de transferencia que describe la dinámica de este sistema es: Y (s) G(s) = = R(s) 1 + G(s)H(s) 1 +

K s(s + 1) K (1 + Km s) s(s + 1)

=

1 1 K

s2 +

1 + K Km K

s+1


90

El overshoot de este sistema debe valer 0.2, por lo tanto: − πζ Overshoot = 0.2 = exp p 1 − ζ2

!

=

A B

Resolviendo la ecuación se encuentra que el coeficiente de amortiguamiento es: ζ = 0.4559 El valor máximo de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón 1 unidad R(s) = s es: Ymax = A + B

donde B es el valor estacionario de la respuesta. En este caso: B = lim Y (t) = lim s t→∞

s→0

Y (s) 1 =1 R(s) s

Por tanto, A = 0.2 y Ymax = 1.2. La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado para una entrada en escalón es: ! p 2 p ζt 1 − ζ y(t) 1 t −τ =1− p e sen 1 − ζ 2 − atan kM ζ τ 1 − ζ2

donde k es la ganancia global del proceso, es este caso 1. M es la altura del escalón (M = 1). La respuesta máxima se tiene que producir cuando t = 1s. Sustituyendo: 0.89 1 − 0.4559 τ e sen + 1.0974 Ymax(t = 1s) = 1.2 = 1 − τ 0.89 Resolviendo la ecuación se obtiene:

τ = 0.285 A partir de la función de transferencia del sistema (de segundo orden) se encuentra: r 1 τ= K 1 + KKm 2 ζτ = K Sustituyendo y operando se encuentra: K = 12.31 Km = 0.179

Problema 7.8. En muchas ciudades se han realizado esfuerzos significativos para reciclar los envases de vidrio. En la figura siguiente se representa un diagrama de bloques simplificado del proceso de reciclado de una ciudad.

U (s)

R(s)

+

−

K τ1 s+1

+

+

Número de envases en uso

C(s) Número de envases recogidos

K τ1 s+1

El énfasis en la campaña de recolección viene dado por la ganancia K. La perturbación U representa los envases que se rompen o se tiran a la basura o a otro lugar no controlado. Suponer que τ1 = 1 mes y τ2 = 0.5 mes. Determinar: a) La ganancia K para que el sistema esté críticamente amortiguado

7.7 Problemas

91

b) El offset para una entrada en escalón unidad en al consigna, suponiendo U (s) = 0. ¿Cuál sería ese offset para la ganancia del apartado a)? c) El offset para una pérdida de envases M en escalón, suponiendo que no varíe la consigna. ¿Este offset será positivo o negativo?

Solución a) La función de transferencia

C(s) R(s)

C(s) = R(s) 1 +

es la siguiente:

K s+1 K 1 s + 1 0.5 s + 1

K (0.5s + 1) 1+K 0.5 2 + 1.5 s + 1 s 1+K 1+K

=

La constante de tiempo de esta función de transferencia es: r 0.5 τ= 1+K Y el coeficiente de amortiguamiento: ζ=√

1.5 √ 2

1+K

Un sistema está críticamente amortiguado cuando su coeficiente de amoritguamiento es la unidad. Por tanto, de la expresión anterior se obtiene: K = 0.125 b) El offset será: C(s) 1 1 1 = Offset = lim [R(t) − C(t)] = lim s[R(t) − C(t)] = lim s − s R(s) s 1+K s t→∞ s→0 s→0

Para K = 0.125:

Offset = 0.889 c) La función de transferencia

El offset es en este caso:

C(s) U (s)

es:

C(s) = U (s) 1 +

1 1 K s + 1 0.5 s + 1

=

0.5 s2 + 1.5 s + 1 1+K 0.5 2 + 1.5 s + 1 s 1+K 1+K

M C(s) M =− Offset = lim [R(t) − C(t)] = lim s[R(t) − C(t)] = lim s0 − s 1+K U (s) s t→∞ s→0 s→0 Como M es un valo rnegativo (pérdida de envases), el offset es positivo, es decir, R(t) > C(t). Problema 7.9. El comportamiento dinámico de una compleja organización empresarial se puede considerar un sistema de control por retroalimentación. Un modelo sencillo de un sistema de control de gestión se presenta en la figura k adjunta. Gc(s) = s1 es la función de transferencia correspondiente a la actividad de gestión de la empresa. G p(s) =

k2 τ ps + 1

es la función de transferencia correspondiente a las actividades de ingeniería y producción.

H(s) = k4 + k5s es la función de transferencia de la actividad de evañuación de los resultados C(s) de la empresa. El resultado de la evaluación, B(s), se compara con los objetivos propuestos, R(s), y la diferencia constituye la entrada al bloque de gestión, Gc, que dará lugar a la pertinente acción correctora. D(s) representa las perturbaciones que actúan sobre la empresa.

D(s)

R(s)

+

−

Gc(s)

+

+

Gp(s)

C(s)

H(s) a) ¿Cuál es la función (en el espacio s) que relaciona la salida C(s) con la consigna R(s) y la carga D(s)?


92

b) Calcular el offset si se produce en la consigna una variación de una unidad en forma de escalón c) Calcular el overshoot de la respuesta en tiempo real a la variación anterior d) ¿Qué sencilla modificación realizaría para mejorar la dinámica de este sistema de control? Datos: k1k2 = 0.1 τ p = 10 meses k4 = 5 k5 = 7.6

Solución a) La respuesta del lazo de control es: C(s) =

Gp Gc G p D(s) + R(s) 1 + Gc G p H 1 + Gc G p H

b) En este apartado hay que considerar que se produce un cambio en escalón unidad para la 1 consigna (R(s) = U (s)= s ). En primer lugar hay que encontrar la función de transferencia que relaciona la salida del lazo de control con la consigna: k1

k2

C Gc G p 0.2 s τ ps + 1 = = = R 1 + Gc G p H 1 + k1 k2 (k4 + k5 s) 20s2 + 3.52s + 1

(7.2)

s(τ p s + 1)

El offset será:

C(s) 0.2 1 Offset = lim (R(t) − C(t)) = lim s R(s) − s R(s) = 1 − lim s = 0.8 R(s) t→∞ s→0 s→0 20s2 + 3.52s + 1 s c) Para poder calcular el overshoot es necesario conocer en primer lugar el coeficiente de amortiguamiento del bucle de control. A partir de la ec. (1) se encuentra que: 2 τ = 20 2τζ = 3.52 Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra que la constante de tiempo es τ = 4.4721 y la constante de amortiguamiento ζ = 0.3935. El overshoot es: ! πζ = 0.2606 Overshoot = exp − p 1 − ζ2 d) El valor máximo de respuesta del lazo de control para un cambio en la consigna en escalón unidad (tal como se dice en el apartado anterior) es: Cmax = A + B Tal como se muestra en la figura siguiente: C(t) Cmax A

B

t

7.7 Problemas

93

B es el valor estacionario de la respuesta del bucle de control: B = lim C(t) = lim s t→∞

s→0

C(s) 1 = 0.2 R(s) s

El valor de A se puede calcular a partir del overshoot : Overshoot = Por tanto:

A B

Cmax = B (overshoot + 1) = 0.2521 La respuesta de un sistema de segundo orden subamortiguado (ζ < 1) para una entrada en escalón unidad es: "p !#) ( p ζt 1 − ζ2 1 − ζ2 1 −τ e sen t + atan y(t) = K p 1 − p τ ζ 1 − ζ2

Para encontrar el tiempo (tmax) en el que se produce la respuesta máxima (Cmax) hay que sustituir K p = 0.2, τ = 4.4721 y ζ = 0.3935 y resolver la siguiente ecuación: 0.2521 = 0.2 1 − 1.0878e−0.088tmax sen(0.2056tmax + 1.1664)] Se obtiene:

tmax = 15.20 meses

e) La manera más sencilla de mejorar la dinámica de este lazo de control, lo que implica el tener una respuesta más rápida por parte del bucle, es disminuir la constante de tiempo τ p de la función de transferencia correspondiente a las actividades de ingeniería y producción. El resultado sería que el sistema se adaptaría más rápidamente a los cambios de consigna y eliminaría con mayor rapidez aquellas perturbaciones que se pudieran producir. Problema 7.10. Considerar un lazo cerrado con las funciones de transferencia siguientes: Gc = 5 Gf = 1 2 Gp = (s + 1)(3 s + 1) 1 Gd = (s + 1)(3s + 1) Gm = 1 Para un cambio en el set point de magnitud 2, contestar a las siguientes preguntas: a) Derivar una expresión en el dominio de Laplace para la respuesta de lazo cerrado. b) Obtener la respuesta del lazo cerrado en tiempo real. c) Calcular el valor máximo de y(t) y establecer cuándo ocurre. d) Calcular el offset. e) Calcular el periodo de oscilación de la respuesta de lazo cerrado. f) Dibujar cualitativamente la respuesta en tiempo real.

Solución a) En este problema se propone el siguiente lazo de control: d

Gd

ysp

+

−

Gc

Gf

Gm

Gp

+

+

y


94

La respuesta de este sistema en el dominio de Laplace para un cambio en la consigna es: y=

Gc G f G p ysp 1 + Gc G f G p

y=

10 11 4 3 2 s + 11 11

Sustituyendo se encuentra:

2 s+1 s

b) A partir del conocimiento de las ecuaciones de la respuesta de un proceso de segundo orden para una entrada en escalón se puede obtener la respuesta en tiempo real fácilmente. En función del coeficiente de amortiguamiento se elije una de las ecuaciones. Se puede calcular el coeficiente de amortiguamiento sabiendo:   τ2 = 3 11

 2τζ =

4 11

Resolviendo la ecuación anterior se encuentra: τ = 0.5222 ζ = 0.3482 El coeficiente de amortiguamiento es menor que la unidad, lo que significa que se trata de un sistema subamortiguado. La respuesta será: !# " p t 1 − ζ2 1 t 1 −ζ τ e sen p + atan y(t) = K p M 1 − p ζ 1 − ζ2 τ 1 − ζ2 donde: •

•

10

K p es la ganancia del proceso. En este caso K p = 11 . M es la altura del escalón (M = 2).

Por tanto la respuesta en tiempo real es: y(t) = 1.818 1 − 1.067e−0.6667 t sen(2.043t + 1.215)

c) Si se representa la función anterior se obtiene: 2.5

1.818*(1-1.067*exp(-0.666*t)*sin(2.043*t+1.215))

A 2

y(t)

1.5

1

B

0.5

0 0

2

4

6

8

10

t

En la gráfica se puede observar claramente que el valor máximo de la respuesta tiene el valor de A + B. El valor de B es el valor estacionario que alcanza el lazo de control, es decir: B = lim y(t) = lim sy(s) t→∞

s→0

Para poder calcular el valor de A sólo hay que recordar la definición de overshoot : Overshoot =

A B

7.7 Problemas

95

Por tanto el valor máximo de y(t) es: ymax = A + B = (Overshoot + 1) B El overshoot es:

El valor de B es:

− πζ Overshoot = exp p 1 − ζ2 B = lim s s→0

10 11 4 3 2 s + 11 11

!

= 0.3113

2 20 = s + 1 s 11

Por tanto el valor máximo de la respuesta es: ymax = (0.3113 + 1)

10 = 2.384 11

Para encontrar en que instante se produce este valor máximo de respuesta hay que resolver la siguiente ecuación: ymax = 2.384 = 1.818 1 − 1.067e−0.6667tmax sen(2.043tmax + 1.215)

El resultado es:

tmax = 1.82 d) El periodo de osiclación es: Sustituyendo se obtiene:

2πτ T=p 1 − ζ2 T = 3.50

e) La respuesta en tiempo real está dibujada más arriba. Problema 7.11. Repetir el problema anterior para un cambio en las perturbaciones de magnitud 1.5. Problema 7.12. Sea un lazo de control por retroalimentación de un proceso de primer orden de ganancia 5 y constante de tiempo 2. Se selecciona un controlador proporcional de ganancia unidad. La función de transferencia del medidor es de primer orden con ganancia Km y constante de tiempo τm. Asumiendo que la función de transferencia del elemento final de control es igual a la unidad: a) Examinar el efeco de Km sobre la respuesta de lazo cerrado (p.ej., para τm = 1 evaluar la constante de tiempo y coeficiente de amortiguamiento de la respuesta de lazo cerrado para varios valores de Km) b) Evaluar el efecto de τm sobre la respuesta de lazo cerrado c) Dibujar cualitativamente las respuestas de lazo cerrado en función de varios valores de Km y τm. Discutir el efecto del medidor en la respuesta de lazo cerrado en función de estas gráficas (p.ej., discutir el efecto sobre el overshoot, la razón de disminución y el periodo de oscilacion) Problema 7.13. Considerar un sencillo sistema de control de nivel de un tanque de almacenamiento. Se puede tomar como variable manipulable tanto el caudal de la entrada Fi como el caudal de salida Fo. Inicialmente el sistema se encuentra en estado estacionario con Fi = Fo = 3 m3/min y un nivel de líquido de 60 cm. El área de la sección del depósito es de 2 m2. Responder: a) Encontrar la respuesta de lazo cerrado a un incremento en escalón unidad en el punto de consigna cuando se utiliza Fi como variable manipulable b) Repetir a) pero utilizando Fo como variable manipulable c) Dibujar las dos respuestas y explicar las diferencias, si las hay, entre tomar Fi y Fo como variables manipulables Tomar un controlador proporcional de ganancia 10 y que las funciones de transferencia de la válvula y del medidor son iguales a la unidad. Problema 7.14. Repetir el problema anterior con las siguientes modificaciones: 1. La función de transferencia de la válvula de entrada es G f ,i(s) = 1 y la de la válvula de salida es 10 G f ,0(s) = 3s + 1


96

2. La ganancia proporcional es igual a 10

Capítulo 8 Análisis de estabilidad de sistemas 8.1 Definición de estabilidad. Ecuación característica Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada, independientemente de cual fuese su estado inicial. La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía del controlador. Tal como se ha visto en los temas anteriores la respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es: Gc G p G f Gd ysp + d y= 1 + Gc G p G f Gm 1 + Gc G p G f Gm Normalmente, la estabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo, independientemente de la entrada. Es un problema del sistema. Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello hay que descomponer y(s) en fracciones simples. Para realizar esta descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación característica (1 + Gc G p G f Gm = 0). La ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencia tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir, es 1 más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación (GOL). Las raícs de la ecuación característica son αi, i = 1, , n. Por tanto, una vez realizaa la descomposición en fracciones simples: y(s) =

y0 y1 y2 yn + + + + s s − α1 s − α2 s − αn

Tras realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real: y(t) = y0 + y1 eα1 t + y2 eα2 t + + yn eαn t donde: αi ∈ C, ∀i Es decir, todas las raíces de la ecuación característica son números complejos. Por tanto, para todo i: α = β + i γ ⇒ eα t = e βt (cos γt + i sen γt) El valor de γ no influye en la salida del sistema desde el punto de vista de la estabilidad, ya que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas. Sólo cambia la frecuencia de la respuesta. En cambio, si β es positivo, aparece un problema de estabilidad ya que la respuesta aumentaría constantemente con el tiempo. Por tanto, para que la salida del sistema sea estable todas las partes reales de las raíces de la ecuación característica deben ser negativas, deben estar situadas en el semiplano real negativo. En el caso de que alguna no lo fuese: lím y(t) = ∞

t→∞

97

Análisis de estabilidad de sistemas

98

Con esta información es posible diseñar técnicas que permitan seleccionar las constantes del controlador garantizando la estabilidad del sistema.

8.2 Método de Routh-Hurvitz El método de Routh-Hurvitz permite comprobar de una manera rápida y sencilla si alguna de las partes reales de las raíces de la ecuación característica es positiva sin necesidad de tener que encontrar las raíces. Operando la ecuación característica se obtiene: 1 + Gc G p G f Gm ≡ a0 sn + a1 sn−1 + + an−1 s + an = 0 donde a0 debe ser positivo. El criterio de estabilidad de Routh-Hurvitz es: 1. Condición necesaria pero no suficiente: Todos los coeficientes a0, a1, , an de la ecuación característica deben ser positivos para que el sistema sea estable. Si alguno de los coeficientes es negativo, al menos una de las raíces tendrá la parte real positiva. 2. Condición necesaria y suficiente: Se contruye la matriz de Routh: 1 2 3 4 5

a0 a1 A1 B1 C1

a2 a3 A2 B2 C2

n + 1 W1 W2

donde: A1 =

a4 a6 a5 a7 A3 B3 C3

a a − a0 a5 a a − a0 a7 a1 a2 − a0 a3 , A2 = 1 4 , A3 = 1 6 , a1 a1 a1 A a − a1 A 2 A a − a1 A 3 B1 = 1 3 , B2 = 1 5 , A1 A1 B A − A 1 B2 B A − A 1 B3 C1 = 1 2 , B2 = 1 3 , B1 B1

El sistema será estable si todos los términos de la primera columna de la matriz (a0, a1, A1, B1, C1, , W1) son positivos. Si alguno de estos elementos es negativo el sistema será inestable. Por cada cambio de signo habrá una raíz con la parte real positiva. El criterio de estabilidad de Routh presenta algunas limitaciones. No puede trata sistemas con retrasos (tiempos muertos) o no lineales. Sólo da información de si un sistema es estable o inestable, no da información de si un sistema estable está cerca o lejos de la inestabilidad. Otra limitación es la necesidad de tener que expresar la ecuación característica como un polinomio en s, esto puede ser bastante complicado en sistemas complejos. Para encontrar qué valores de las constantes del controlador están situadas en el límite de estabilidad se debe resolver la siguiente ecuación: W 1 s2 + W 2 = 0 De esta manera se puede determinar un par de raíces de la ecuación característica con la parte real nula, es decir, situadas sobre el eje imaginario. Lógicamente W1 y W2 dependen de los parámetros del controlador. Ejemplo 8.1. En el problema 8.2 se utiliza el criterio de Routh-Hurvitz para demostar la estabilidad de un lazo de control por retroalimentación.

8.3 Método del lugar de las raíces

99

8.3 Método del lugar de las raíces Representando las raíces de la ecuación característica en el plano complejo es posible deducir el Im c) b)

a) Re b) c)

Figura 8.1. Situación en el plano complejo de diferentes raíces de la ecuación característica: a) Respuesta sobreamortiguada o críticamente amortiguada, b) Límite de estabilidad y c) Sistema inestable.

comportamiento de un sistema según su posición: 1. Si todas las raícez están en el semiplano negativo de s, el sistema es estable 2. Si todas las raíces se encuentran en el eje real negativo (las raíces son números reales), el sistema está sobramortiguado o críticamente amortiguado 3. Cuanto más alejadas del origen de coordenadas estén las raíces situadas en el eje negativo, más rápida será la dinámica del sistema (menor será la constante de tiempo) 4. Las raíces más cercanas al eje imaginario dominarán la dinámica de la respuesta mientras que aquellas que estén más alejadas dejarán de influir en la respuesta rápidamente 5. Cuanto más alejadas se encuentren las raíces conjugadas del eje real, más subamortiguado estará el sistema Con esta información es posible plantear una técnica para estudiar la dinámica de un sistema a partir de su ecuación característica. Esta técnica es el lugar de las raíces, se basa en representar las raíces de la ecuación característica variando la ganancia del controlador entre cero e infinito. La abcisa es la parte real de las raíces y la ordenada es la parte compleja. Ejemplo 8.2. En la primera parte del problema 8.10 se estudia la estabilidad de un bucle de control mediante la localización de las raíces de la ecuación característica. Representar las raíces de la ecuación característica para un sistema de primer o segundo orden es sencillo ya que se pueden obtener ecuaciones analíticas que relacionan la posición de las raíces con la ganancia del controlador. Para sistemas de orden superior es más complejo, como consecuencia se han desarrollado métodos gráficos y métodos numéricos para facilitar esta tarea. Frecuentemente, la función de transferencia de lazo abierto generalizada (Gc G f G p Gm) se puede escribir como un producto de ganancias K por una fracción de polinomios z(s) y p(s). Buscando los ceros de cada uno de estos polinómios, se puede escribir: Gc G f G p Gm = K

z(s) (s − z1)(s − z2) (s − zm) =K p(s) (s − p1)(s − p2) (s − pn)

donde zi son los zeros y pi son los polos de la función de lazo abierto (Gc G f G p Gm). Para representar las raíces de la ecuación característica según la ganancia del controlador se pueden utilizar las siguientes reglas: 1. La representación de las raíces empieza (Kc = 0) en los polos de la función de transferencia de lazo abierto (Gc G f G p Gm)


100

2. La curva finaliza (Kc = ∞) en los ceros de Gc G f G p Gm. Si hay más polos que ceros, la curva tiende a infinito 3. El número de curvas es igual al orden del sistema y al de polos de Gc G f G p Gm 4. Las partes complejas de la curva siempre aparecen como complejos conjugados ± 180◦

5. El ángulo de las asíntotas de las curvas es igual a n − m donde n es el número de polos de la función de transferencia de lazo abierto y m es el número de ceros

8.4 Análisis armónico de sistemas lineales. Diagramas de Bode Esta técnica de análisis de estabilidad es completamente diferente a la de los dos apartados anteriores. También se la conoce como análisis de frecuencia. Se basa en que cuando se introduce una señal sinusoidal en un sistema lineal se obtiene, tras un periodo transitorio, una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia pero de amplitud diferente y desfasada. El análisis armónico estudia el desfase y la razón de amplitudes entre la entrada y la salida. Para un sistema de control por retroalimentación la razón de amplitudes (RA) nunca debe ser mayor de 1 ya que entonces se amplificaría la señal y el sistema se volvería inestable al retroalimentar la salida. El estudio del desfase es importnte ya que de cierta manera se puede considerar que da los mismos problemas que un retraso. Para un sistema de primer orden con una entrada sinusoidal la razón de amplitudes será: Kp RA = q 1 + ω 2 τ p2

como se puede deducir a partir de la ec. 4.3. Debido a la importancia de conocer RA se ha desarrollado una técnica matemática para determinarlo a partir de la función de transferencia sin necesidad de tener que obtener la respuesta del sistema en tiempo real. Hay que sustituir s por iω, ya que se trata de un número complejo, para poder expresar la función de transferencia como un número complejo del tipo x + i y: ! Kp Kp Kp τp ω G(iω) = = +i − τ p iω + 1 1 + τ p2 ω 2 1 + w 2 τ p2 Para eliminar separar la parte real de la compleja —eliminar el número complejo i del denominador— ha sido necesario multiplicar y dividir por el conjugado del denominador. Cualquier número complejo W puede ser expresado, además de la manera habitual x + i y, como un módulo r y un argumento ϕ: W = x + i y = r (cos ϕ + i sen ϕ) = r ei ϕ p W = r = x2 + y 2 y ϕ = atan x Por tanto, la función de transferencia se puede expresar en función de r y ϕ como:

donde

Kp q 1 + ω 2 τp2

G(iω) = q

Kp 1 + ω 2 τ p2

ei ϕ

es la razón de amplitudes y ϕ es el desfase. De esta manera se logra obtener el

desfase y la razón de amplitudes sin tener que obtener la respuesta en tiempo real para una entrada sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular ω.

8.4 Análisis armónico de sistemas lineales. Diagramas de Bode

101

Im

W = x + ıy

y

|W | φ x

Re

Figura 8.2. Representación del número complejo W en el plano complejo.

En general, sea un sistema de orden n con la siguiente función de transferencia: G(s) =

Q(s) P (s)

donde Q(s) y P (s) son polinomios de orden m y n respectivamente y m < n. Se puede demostrar que: 1. La respuesta final, cuando t → ∞, a una entrada sinusoidal de frecuencia angular ω es una sinusoidal de la misma frecuencia. 2. La razón de amplitudes (RA) es el módulo de G(iω): RA = |G(iω)| La respuesta sinusoidal tendrá el siguiente desfase: ϕ = arg(G(iω)) A continuación se tratan con detalle algunos de los principales sistemas estudiados y se introducen los diagramas de Bode.

8.4.1 Sistemas lineales de primer orden Para un sistema de primer orden de ganancia k y constante de tiempo τ : 1 RA =√ 2 k τ ω2 + 1 ϕ = atan( − τω) Una manera conveniente de represental la razón de amplitudes y el desfase son los diagramas de Bode. Estos diagramas consisten en representar la razón de amplitudes frente a la frecuencia angular utilizando escalas logarítmicas y el desfase en una escala lineal frente a la frecuencia angular en una escala logarítmica. Si se desea utilizar solo escalas lineales hay que representar log RA y ϕ frente al log ω. A veces se representa la razón de amplitudes como decibelios: dB = 20 log RA RA

A menudo se representa en los diagramas de Bode k y τω para obtener diagramas independientes del sistema. Para dibujar el diagrama de Bode de un sistema lineal de primer orden, se debe calcular el logaritmo de la razón de amplitudes: RA 1 log = − log(1 + τ 2 ω 2) k 2


102

10

ABF 1

RA k

AAF 0.1

0.01 0 −10 −20

φ

−30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 0.01

0.1

1

10

100

ω Figura 8.3. Diagrama de Bode para un sistema de primer orden. ABF es la asíntota de baja frecuencia y AAF es la asíntota de altas frecuencias.

A partir del análisis de la figura 8.3 se observa que: 1. La razón de amplitudes tiende a 1 cuando la frecuencia tiende a 0. Es decir: lím

ω→0

RA RA = 1 ⇒ lím log =0 k k ω→0

Existe para bajas frecuencias una asíntota horizontal que para por el punto (1,1) de la gráfica de razón de amplitudes frente a la frecuencia, es la asíntota de baja frecuencia (ABF). RA

2. También existe una asíntota de alta frecuencia (AAF), log k ≈ − log τω. Es una recta de pendiente -1 que pasa por el punto (1,1). Este es el punto en el que la diferencia entre el valor de la asíntota y el de la curva es máxima. 3. A partir del estudio de la gráfica de desfase frente a frecuencia se observa que el desfase tiende a 0 cuando la frecuencia tiende a 0. 4. Si la frecuencia tiende a ∞, el desfase tiende a -90o.

5. Si el desfase es de -45o, log τω = 0.

8.4.2 Sistema lineal de segundo orden Para un sistema lineal de 2o orden se puede demostrar que la razón de amplitudes y el desfase se expresan como: RA = q

k

(1 − τ 2 ω 2)2 + (2 ζτω)2 2 ζτω ϕ = atan − 1 − τ 2 ω2


103

10 0.2

0.1

0.3 0.5

1 0.8

RA k

1 0.1

2

0.01

0.001 0 0.1 0.2

−20 −40

0.8

φ

0.3

1

−60

0.5

−80

2

−100 −120 −140 −160 −180 0.01

0.1

1

ω

10

100

Figura 8.4. Diagramas de Bode para diferentes sistemas de 2o orden en función del coeficiente de amortiguamiento.

En este caso, de nuevo aparece una asíntota de bajas frecuencias: lím

ω→0

y una asíntota para altas frecuencias:

lím log

ω→∞

RA =1 k

RA = − 2 log τω k

A partir del análisis de las gráficas de la figura anterior se observa que el desfase máximo posible es de -180o. Existe un máximo en la razón de amplitudes, si el sistema es subamortiguado, cuando ωτ = 1: 1 RA p = k max 2 ζ 1 − ζ 2 p ϕmax = 1 − 2 ζ 2

8.4.3 Retraso En el caso del retraso la razón de amplitudes y el desfase son: RA = 1 ϕ = − td ω donde td es el valor del retraso.

8.4.4 Controladores A continuación se muestra para diferentes controladores las fórmulas utilizadas para la construcción de los diagramas de Bode.


104

RA

10

1

0.1 0 −100

φ

−200 −300 −400 −500 −600 0.1

1

10

td ω Figura 8.5. Diagrama de Bode para el retraso.

8.4.4.1 Controlador proporcional Para un controlador proporcional la razón de amplitudes es: RA = Kc ϕ=0 8.4.4.2 Controlador proporcional+integral Las ecuaciones necesarias para dibujar el diagrama de Bode de un controlador PI son: r 1 RA = Kc 1 + 2 2 ω τI 1 ϕ = atan − ωτI En este caso existe, de nuevo, una asíntota de baja frecuencia: 1 RA ω → 0 ⇒ 2 2 ≫ 0 ⇒ log → − log ωτI Kc ω τI

y una asíntota de alta frecuencia:

RA 1 →0 ω → ∞ ⇒ 2 2 → 0 ⇒ log Kc ω τI 8.4.4.3 Controlador proporcional+derivativo En el caso de utilizar un controlador PD: p 2 RA = Kc 1 + τD w2 ϕ = atanτD ω > 0


105

1000

RA Kc

100

10

1 0 −10 −20 −30

φ

−40 −50 −60 −70 −80 −90 0.01

0.1

1

10

100

ωτI Figura 8.6. Diagrama de Bode para un controlador integral.

1000

RA Kc

100

10

1 90 80 70

φ

60 50 40 30 20 10 0 0.01

0.1

1

10

ωτD Figura 8.7. Diagrama de Bode de un controlador PD.

100


106

En este caso el desfase aparece adelantado a la entrada. De nuevo se comprueba que la acción derivativa se adelanta al comportamiento futuro de las perturbaciones. 8.4.4.4 Controlador proporcional+integral+derivativo Para un controlador PID: s

2 1 τD ω − +1 τI ω 1 ϕ = atan τD ω − τI ω

RA = Kc

8.4.5 Sistemas de varios componentes Sea un sistema de n procesos en serie cuya dinámica venga descrita por las funciones de transferencia G1, G2, , Gn. Su dinámica global vendrá descrita por la siguiente función de transferencia: G(s) = G1(s)G2(s) Gn(s) Se puede demostrar que la razón de amplitudes y el desfase global son: Y RA = RA1 RA2 RAn = RAi i X ϕ = ϕ1 + ϕ2 + + ϕn = ϕi i

Por tanto, log RA = log RA1 + log RA2 + + log RAn =

X

log RAi

i

8.5 Criterio de estabilidad de Bode Sea el sencillo bucle de retroalimentación de la figura 8.9. La función de transferencia de lazo abierto de este bucle es: GOL = K El criterio de estabilidad de Bode se basa en abrir el bucle e introducir una función sinusoidal para poder estudiar el comportamiento del sistema. En primer lugar se abre el bucle y se introduce una señal sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular ω: ysp(t) = ε(t) = M sen ωt Por tanto, y(t) = KM sen ωt ya que, y(s) = GOL ysp(s) Una vez introducida la señal sinusoidal se cierra el bucle y se devuelve la consigna a su valor inicial ysp = 0. Entonces, ε(t) = − KM sen ωt = KM sen (ωt − 180◦)

8.5 Criterio de estabilidad de Bode

107

100

RA Kc

10

1

0.1 100 80 60 40

φ

20 0 −20 −40 −60 −80 −100 0.01

0.1

1

10

100

ω Figura 8.8. Diagrama de Bode para un controlador PID con τD = 0.1 y τI = 10.

ysp (t)

+

ǫ(t) −

K

y(t)

Figura 8.9. Bucle de retroalimentación con un controlador proporcional de ganancia unidad.

De esta manera se ha logrado atrapar la señal sinusoidal dentrol del bucle de retroalimentación. Esta señal tiene un desfase de -180o y una amplitud que depende de la ganancia K . Se puede comprobar fácilmente que la razón de amplitudes de la función de la transferencia de lazo abierto (GOL), entre la entrada ε(t) y la salida y(t), es K : RA =

Amplitud de la respuesta K 2 M = =K KM Amplitud de la entrada

Se puede comprobar de manera muy sencilla que si la razón de amplitudes de lazo abierto es superior a la unidad (K > 1) el sistema será inestable ya que para cada vuelta del bucle la señal se ve amplificada. Si K = 1, el sistema se encontrará al límite de la estabilidad. Si RA < 1, la respuesta del sistema global tenderá a cero cuando el tiempo tienda a infinito. Este razonamiento es la base del criterio de estabilidad de Bode: Un bucle de control por retroalimentación es inestable si la razón de amplitudes de su función de transferencia de lazo abierto es mayor que la unidad en la frecuencia de cruce ωco (crossover frequency, aquella que hace que el desfase sea -180o). Para aplicar el criterio de Bode es necesario disponer de los diagramas de Bode de la función de transferencia de lazo abierto del bucle. Estos diagramas se pueden construir: 1. Numéricamente: Conociendo las funciones de transferencia de todos los elementos del bucle.


108

RA

K

φ

−180º

ωco

ω

Figura 8.10. Aplicación del criterio de estabilidad de Bode. Según el valor de K la respuesta de lazo cerrado del sistema será o no estable.

2. Experimentalmente, en el caso de que todas o alguna de las funciones de transferencia sea desconocida: Para ello se abre el lazo de control y se introducen señales sinusoidales de distintas frecuencias mientras se registran las amplitudes y desfase de las señales sinusoidales de salida. Con esos datos se puede construir el diagrama de Bode. Tal como se ha visto el criterio de estabilidad de Bode se puede utilizar para sistemas intratables con las técnicas anteriores: a) Sistemas con función de transferencia compleja b) Sistemas de los que no se conoce la función de transferencias. Además proporciona más información para realizar una correcta sintonía del controlador. Aunque también existen sistemas para los que no es aplicable el criterio de estabilidad de Bode.

8.5.1 Márgenes de ganancia y de fase El criterio de estabilidad de Bode indica cómo establecer un método racional de sintonía de sistemas de control por retroalimentación para evitar situaciones de inestabilidad. Para aplicar el criterio de estabilidad hay que dibujar los diagramas de Bode de la función de transferencia de lazo abierto. En el diagrama se consideran dos puntos críticos según el criterio de Bode (RA = 1 y ϕ = − 180◦). Según la figura 8.11, M es la razón de amplitudes para la frecuencia de cruce. Según el criterio de Bode, M debe ser menor o igual a 1 para que el sistema sea estable. Se puede definir: Margen de ganancia =

1 M

Lógicamente debe tomar valores por encima de la unidad para que el sistema sea estable. El margen de ganancia es una medida importante del sistema ya que: 1. Constituye una medida de la proximidad del sistema de la zona de inestabilidad. 2. Cuanto mayor de la unidad sea el margen de ganancia, más seguro será el sistema controlado.

8.6 Criterio de estabilidad de Nyquist

109

RA

1.0

M Margen de ganancia

φ

φ(1) −180º Margen de fase

ω(1)

ωco

ω

Figura 8.11. Representación gráfica del margende ganancia y de fase

3. Normalmente se diseñan los controladores para que el margen de ganancia sea mayor de 1.7. Es decir, la razón de amplitudes puede crecer 1.7 veces antes de que el sistema se vuelva inestable. Aunque en el caso de trabajar con procesos muy conocidos puede ser suficiente seleccionar un margen de ganancia entre 1.4 y 1.7. Si los parámetros del sistema son poco conocidos, se recomienda un factor de seguridad entre 1.7 y 3.0. Además del margende ganancia se puede establecer otro factor de seguridad: Margen de fase = 180◦ − ϕ(1)

donde ϕ(1) es el desfase para RA = 1. El margen de fase representa en cuanto hay que aumentar el desfase para inestabilizar el sistema. Se recomienda normalmente valores mayores de 30o.

8.6 Criterio de estabilidad de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist es una alternativa a los diagramas de Bode para realizar el análisis de estabilidad de procesos. El diagrama de Nyquist contiene la misma información que los de Bode, por lo que su construcción es sencilla a partir de éstos, pero puede tratar sistemas para los que no es aplicable el criterio de estabilidad de Bode. Para dibujar el diagrama de Nyquist se representa Im[G(i ω)] en ordenadas y Re[G(i ω)] en abcisas. Para el punto 1 de la figura 8.13, definido por su frecuencia ω1, se puede observar que: 1. La distancia entre el punto 1 y el (0,0) es: p distancia = {Re[G(iω)]}2 + {Im[G(iω)]}2 = G(iω) = RA 2. El ángulo ϕ de la figura es el desfase para la frecuencia ω1: ϕ = atan

Im[G(iω)] = arg G(iω) = desfase Re[G(iω)]


110

φ

RA

1

−180º

ω

ω

Figura 8.12. Sistemas para los que el criterio de Bode no es aplicable

Im[G(ıω)]

ω=0

ω→∞

Re[G(ıω)]

φ RA1 1

Figura 8.13. Curva de Nyquist de un proceso. El punto 1 viene definido por una frecuencia ω.

Para trazar el diagrama de Nyquist se debe variar la frecuencia entre 0 y ∞ para encontrar la RA y ϕ y, a continuación, representarlos en el plano compejo. Una vez trazado el diagrama se aplica el criterio de estabilidad de Nyquist :

(−1,0)

a)

b)

Figura 8.14. Curva de Nyquist para dos lazos abiertos. a) Sistema estable, b) Sistema inestable.

8.7 Problemas

111

Si la curva de Nyquist de lazo abierto de un sistema de retroalimentación envuelve el punto (-1,0) para frecuencias ω desde − ∞ hasta ∞, la respuesta de lazo cerrado será inestable. El diagrama de Nyquist se puede construir a partir del diagrama de Bode. Ambos diagramas contienen la misma información. El margen de fase y el margen de ganancia también se pueden evaluar en el diagrama de Nyquist. El punto A de la figura 8.15 es aquel cuya frecuencia hace que RA sea 1, de manera que ϕMF Im[G(ıω)] Círculo unidad

M

ω=0 ω→∞

Re[G(ıω)]

φM F

A

Figura 8.15. Obtención del margen de ganancia y de fase a partir de la curva de Nyquist.

representa el margen de fases. El punto B tiene un desfase de -180o, de manera que su RA es 1 M . Por tanto, el margen de ganancias es M .

8.7 Problemas Problema 8.1. Estimar la estabilidad de un sistema de control automático cuya función de transferencia de lazo abierto es: 9 GH = (10s + 1)3

Solución Para determinar si el lazo de control es estable se puede utilizar el criterio de Routh. La ecuación característica de este sistema es: 1 + GH = 0 9 1+ =0 (10s + 1)3 1000s3 + 300s2 + 30s + 10 = 0 La matríz de Routh es: 1000 30 300 10 − 3.33 La primera columna tiene un signo negativo, lo que implica que es sistema es inestable. Problema 8.2.


112

Considérese un proceso de segundo orden cuya función de transferencia es: Gp =

1 s2 + 2 s + 1

a) ¿Es estable dicho proceso? b) Si el proceso se encuentra en un lazo de control, con un controlador PI (Kc = 100, τI = 0.1), siendo las funciones de transferencia de los elementos medidor y final de control H = Gv = 1, ¿es estable dicho conjunto? (Puede aplicarse el criterio de Routh-Hurwitz) c) Hacer el análisis de estabilidad de este sistema de lazo de control en función de Kc y τI

Solución a) El diagrama de bloques de este proceso es:

Gp La ecuación característica de este sistema será el numerador de la función de transferencia ya que el sistema será estable siempre que sus raíces tengan la parte real negativa: s2 + s + 1 = 0 Para comprobar la estabilidad del proceso se puede aplicar el método de Routh-Hurwitz. La matriz de Routh es: 1 1 2 (2)(1) 1= 2 Todos los elementos de la primera columna son positivos, por tanto el sistema es estable. b)Al existir un controlador por retroalimentación, el diagrama de bloques pasa a ser: +

−

Gc PI

Gp

En este caso la ecuación característica es: 1 + Gc G p = 0 Sustituyendo las funciones de transferencia se obtiene: 1 1 =0 1 + 100 1 + 0.1s s2 + s + 1 Operando se encuentra que: s3 + s2 + 101 s + 1000 =0 s3 + s2 + s Por tanto: s3+s2+101 s+1000=0 La matriz de Routh será: 1 101 1 1000 − 899 El sistema es inestable ya que uno de los elementos de la primera columna tiene signo negativo. c) La ecuación característica en este caso es: 1 1 1 + Kc 1 + =0 τ I s s2 + s + 1 Operando se encuentra que: τI s3 + τI s2 + (Kc + 1) τI s + Kc =0 τI s3 + τI s2 + τI s Por tanto, τI s3 + τI s2 + (Kc + 1) τI s + Kc = 0

8.7 Problemas

113

La matriz de Routh es: τI (Kc + 1)τI τI Kc τI2 (Kc + 1) − τI Kc τI Para que el sistema sea estable todos los elementos de la primera columan deben ser positivos, lo que implica que: τI > 0 τI (Kc + 1) − Kc > 0 La constante de tiempo integral y la ganancia del controlador son, por definición, positivas. Resolviendo la inecuación se encuentra que para que el sistema sea positivo se tiene que cumplir la condición: Kc τI > − Kc + 1 o la condición: τI Kc > τI − 1 Problema 8.3. Un sistema tiene una dinámica cuya ecuación característica es: s4 + 3s3 + 5s2 + 4 s + 2 = 0 Determinar su estabilidad mediatne el criterio de Routh. Problema 8.4. Sea el sistema de control de tercer orden de la figura:

U

R

+

−

Kc

+

+

Gm =

Gp =

1 (τ1 s+1)(τ2 s+1)

Y

1 τ3 s+1

Si τ1 = 1, τ2 = 1/2 y τ3 = 1/3, determinar los valores de Kc para los que el sistema de control es estable. Problema 8.5. Un sistema formado por dos tanques en serie independientes se regula por un control PID. Las constantes de tiempo de los tanques son 20 y 10 min, mientras que las del elemento de medida de nivel es de 30 segundos. El tiempo integral es de 3 min y el derivativo 40 s. Determinar el intervalo de valores de Kc para los que el lazo de control es estable. Problema 8.6. En la actualidad se emplean discos duros en los ordenadores para almacenar la información. Un cabezal de lectura se desplaza sobre el disco giratorio a las posiciones requeridas en las operaciones de lectura o grabación de información. Este desplazamiento ha de ser rápido y preciso. En la figura adjunta se presenta el diagrama de bloques del sistema de desplazamiento del cabezal de lectura.

R Posición deseada

+

−

K(s+a) s+1

1 s(s+2)(s+3)

Y Posición obtenida

Determinar los intervalos de estabilidad de K y a. ¿Qué valores podría tomar a para K = 40? Problema 8.7. En la figura se representa el diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad de un motor de gasolina:


114

Carburador R Velocidad deseada

+

Acelerador

Motor

1 τi s+1

K τe s+1

C Velocidad obtenida

−

1 τm s+1

τi es la constante de tiempo del carburador, igual a 1; τe es la del motor, igual a 4 segundos; y τm es la del medidor de velocidad, igual a 0.5 s. Determinar: a) El valor de la ganancia K del motor para que, ante una variación M en la consigna, la velocidad obtenida no difiera respecto a la consigna en más de un 7% de dicha variación M. b) La estabilidad del sistema. c) El margen de la ganancia K determinada en el apartado a).

Solución a) En este apartado se propone un cambio en la consigna consistente en un escalón de altura M: M R(s) = s La función de transferencia que describe la dinámica de este lazo de control para un cambio en la consigna es: G(s) =

C(s) = R(s) 1 +

K 1 s + 1 4s + 1 1 K 1 s + 1 4 s + 1 0.5 s + 1

=

Ks+2K 4 s3 + 13 s2 + 11 s + 2 K + 2

(8.1)

La velocidad estacionaria obtenida será: Ks+2K M KM lim [sG(s)R(s)] = lim s 3 = 2 4 s + 13 s + 11 s + 2 K + 2 s K +1 s→0 s→0 Se desea que la diferencia entre la velocidad obtenida y la deseada no difiera en más de un 7% de M . En este caso se considerará el caso límite de que la diferencia sea de un 7% de M . Por tanto: KM = (1 − 0.07)M K +1 Por tanto, K = 13.28 b) Para determinar la estabilidad del sistema se puede recurrir al método de Routh-Hurvitz ya que el sistema es lineal. La ecuación característica de este lazo de control se puede obtener a partir del denominador de la ec. 8.1 y es: 4 s3 + 13 s2 + 11 s + 2 K + 2 = 0 También se puede obtener la ecuación característica a partir de: 1 + GOL = 1 +

1 K 1 =0 s + 1 4s + 1 0.5s + 1

Una vez encontrada la ecuación característica hay que construir la matriz de Routh-Hurvitz:   4 11  13 2K + 2    8 K − 135 13 · 11 − 4(2 K + 2) = − 11 13

Por tanto, el lazo de control será estable si: −

8 K − 135 >0 11

Resolviendo la inecuación se encuentra que el lazo de control será estable si: K6

135 = 16.875 8

8.7 Problemas

115

c) La ganancia límite Ku para la que el lazo de control todavía es estable es: Ku = 16.875 Por tanto, el margen de la ganancia K será: MG =

Ku 16.875 = = 1.271 13.28 K

Lo que significa que la ganancia K puede aumentar hasta un 27.1% y el lazo de control continuará siendo estable. Problema 8.8. Sea el sistema de control representado en la figura:

U

R

+

+

Gc

−

+

G1

C

G2 donde Gc = Kc, G1 = (τ

1

1 s + 1) (τ2 s + 1)

y G2 = τ

3

1 . s+1

a) Calcular el offset de la respuesta del sistema si se produce una carga (U ) en escalón unidad. 1

1

b) Si τ1 = 1, τ2 = 2 y τ3 = 3 ¿para qué valores de ganancia Kc es estable el sistema? c) Si se sustituyera el control proporcional por un control PI, siendo Kc = 5 y τI = 0.25 ¿sería estable el sistema?

Solución a) La función de transferencia para un cambio en la carga es: C G1 τ3 s + 1 = = U 1 + Gc G1 G2 (τ1 s + 1)(τ2 s + 1)(τ3 s + 1) + Kc El offset para un cambio en la carga en escalón unidad será: C C1 1 =− offset = lim sR − s U = lim s0 − s U U s 1 + Kc s→0 s→0 b) La ecuación característica de este lazo de control es: 1 + Gc G1 G2 = 0 Obviamente la parte derecha de la ecuación característica coincide con el denominador de la función de transferencia encontrada en el apartado a). Por tanto, (τ1 s + 1)(τ2 s + 1)(τ3 s + 1) + Kc = 0 Sustituyendo se encuentra: 0.1667s3 + s2 + 1.833s + 1 + Kc = 0 Para buscar para qué valores de Kc el sistema es estable se puede recurrir al criterio de RouthHurvitz. La matriz de Routh es: 0.1667 1.833 1 1 + Kc 1.666 − 0.1667Kc Para que el sistema sea estable: 1.666 − 0.1667Kc > 0

Lo que supone que el sistema será estable para ganancias proporcionales que cumplan la siguiente condición: 0 < Kc < 9.994


116

c) Si el controlador propocional se sustituye por un controlador PI con ganancia Kc = 5 y τI = 0.25, la nueva ecuación característica será: 1 1 1 =0 1+5 1+ 0.25s (τ1 s + 1)(τ2 s + 1) τ3 s + 1 Sustituyendo y operando se obtiene: 4.1667 · 10−2 s4 + 0.20833s3 + 0.375s2 + 1.625s + 5 = 0

La matriz de Routh es:

4.1667 · 10−2 0.375 5 0.20833 1.625 4.9992 · 10−2 5 − 19.211 En la primera columna de la matriz hay un elemento negativo, lo que implica que el nuevo lazo de control es inestable. Problema 8.9. Dibujar el lugar de las raíces para un sistema cuya función de transferencia de lazo abierto es: Gc G f G p Gm =

K (s + 1) s(s + 2)

Problema 8.10. Trazar el lugar de las raíces para el control proporcional de un sistema de tres etapas con constantes de tiempo 1, 0.5 y 0.25 min, ganancia del proceso es K p = 1 y H = 1. Determinar la estabilidad para los valores de Kc siguientes: 0.01, 10 y 15. ¿Qué valores tendrán el margen de ganancia y de fase para cada uno de esos tres casos?

Solución Gráfico del lugar de las raíces El lazo de control propuesto es: +

−

1 0.5s+1

1 s+1

Kc

1 0.25s+1

H Por tanto, su ecuación característica es: 1 + Kc Operando se encuentra:

1 1 1 =0 s + 1 0.5s + 1 0.25s + 1

0.125s3 + 0.875s2 + 1.75s + 1 + Kc = 0 Para dibujar el lugar de las raíces hay que encontrar las raíces de la ecuación anterior para diferentes valores de Kc y representarlas en el plano complejo. También se puede realizar utilizando VisSim. Para ello hay que dibujar el lazo de control sin el controlador:

Para trazar el lugar de las raíces hay que seleccionar con el ratón los bloques que forman el lazo abierto, tal como se muestra a continuación:

8.7 Problemas

117

Para realizar el análisis que que seleccionar en el menú Analyze -> Root Locus. El resultado es el que se muestra a continuación:

A continuación se puede hacer doble click (o click con el botón derecho del ratón) sobre el gráfico y pulsando el botón Read coordinates del cuadro de diálogo se pueden ver las coordenadas de las diferentes raíces junto con el valor de Kc. Se comprueba que una ganancia proporcional del controlador de aproximadamente 11.3 marca el límite de estabilidad. Las raíces para ganancias superiores a ese valor tienen la parte real de las raíces positiva, lo que implica que el lazo de control es inestable.


118

Estudio de estabilidad para los valores de Kc siguientes: 0.01, 10 y 15 Resolviendo la ecuación característica se puede construir la siguiente tabla: s1 s2 s3 Kc 0.01 -4.013 -1.028 -1.959 Estable 10 -6.8354 − 0.08234 ± 3.5871i Estable 15 -7.4332 0.2166 ± 4.1441i Inestable A partir del gráfico del lugar de las raíces también se podría haber obtenido la tabla anterior. Margen de ganancia y de fase Al conocer la ganancia última del controlador proporcional (Ku = 11.3), el cálculo del margen de ganancia resulta trivial: K MG = u Kc Por tanto: Kc MG 0.01 1130 10 1.13 15 0.753 También se puede calcular el margen de ganancia mediante análisis de frecuencia. Para ello hay que conocer la razón de amplitudes y el desfase de la función de transferencia de lazo abierto: 1 1 1 √ √ RAOL = Kc √ ω 2 + 1 0.52 ω 2 + 1 0.252 ω 2 + 1 ϕOL = atan( − ω) + atan( − 0.5ω) + atan( − 0.25ω) En primer lugar hay que encontrar la frecuencia de cruce (ϕOL(ωco) = − π). Tras resolver la ecuación se obtiene que ωco = 3.74 rad/min . Sustituyendo en la razón de amplitudes y fijando el límite de estabilidad (RAOL(ωco) = 1), se obtiene: MG =

1 0.089Kc

Problema 8.11. El comportamiento dinámico de una compleja organización empresarial se puede considerar que es como un sistema de control por retroalimentación. Un modelo sencillo de un sistema de control de gestión se presenta en la figura adjunta.

D(s)

R(s)

+

−

Gc

+

+

Gp

C(s)

H Gc k2 τp s + 1

k1 s

= es la función de transferencia correspondiente a la actividad de gestión de la empresa. G p = es la función de transferencia correspondiente a la actividades de ingeniería y producción. H(s) = k4 +

k5s es la función de transferencia de la actividad de evaluación de los resultados C(s) de la empresa. El resultado de la evaulación, B(s), se compara con los objetivos propuestos, R(s), y la diferencia constituye la entrada al bloque de gestión, Gc, que dará lugar a la pertinente acción correctora. D(s) representa las perturbaciones que actúan sobre la empresa. a) Calcular la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento de este sistema de control

8.7 Problemas

119

b) Calcular el offset si se produce en la carga una perturbación unidad en forma de escalón c) La respuesta en tiempo real a la perturbación anterior ¿es oscilatoria? Si lo es ¿qué período tiene? d) Para disminuir el offset frente a las variaciones en la consigna ¿qué parámetro habría que modificar? e) Estudiar la estabilidad de este sistema de control. ¿Cómo afectaría a la estabilidad la modificación anterior? Datos: k1 k2 = 0.1 τ p = 10 meses k4 = 5 k5 = 7.6

Solución a) La función de transferencia que describe la dinámica de este lazo de control, para una cambio en las perturbaciones (cambio en la carga), es: Gp C(s) = = D(s) 1 + Gc G p H

k2 s k1 k2 k4 τp 1 + k k k 1 s2 + k k k2 5 k1 k2 k4 1 2 4

s+1

Por tanto, la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento son: r τp τ= = 4.4721 k1 k2 k4 1 + k1 k2 k5 2τζ = ⇒ ζ = 0.3935 k1 k2 k4 b) El offset para un cambio en la carga de tipo escalón unidad (D(s) = 1/s) es: Offset = lim [R(t) − C(t)] = 0 − lim C(s) = − lim s t→∞

t→∞

s→0

C(s) 1 =0 D(s) s

El offset vale 0, lo que significa que la perturbación se anula completamente. c) La respuesta será oscilatoria, ya que el coeficiente de amortiguamiento es menor que la unidad. El período de la respuesta sera: 2πτ = 30.565 T=p 1 − ζ2 d) La función de transferencia para cambios en la consigna es: Gc G p C(s) = = R(s) 1 + Gc G p H

k1 k2 k1 k2 k4 τp 1+k k k s2 + k k1 k2 5 k1 k2 k4 1 2 4

s+1

=

1 k4

τ 2 s2 + 2πζs + 1

Tal como era de esperar, la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento son los mismos que los calculados en el apartado a). El offset para un cambio en la consigna escalón unidad (R(s) = 1/s) es: 1 C(s) 1 1 Offset = lim [R(t) − C(t)] = lim s − s =1− s R(s) s k4 t→∞ s→0 El offset se reducierá cuando: lim Offset = 0

k4 →1

Por tanto, el parámetro a modificar es k4. Se debe lograr que su valor sea lo más próximo a la unidad posible.


120

e) Para determinar si el sistema es estable al variar k4 se puede utilizar el método de Routh. La matriz de Routh es: τp 1 k1 k2 k4 1 + k1 k2 k5 k1 k2 k4 1 Se comprueba que el sistema es estable para cualquier valor de k4 > 0. Problema 8.12. Un sistema de control utiliza un PI se representa en el diagrama de bloques de la figura:

U (s)

R(s)

+

−

Gc

Gv

+

+

Gp

Y (s)

Gm1

Gm2 Las funciones de transferencia son las siguientes: Gv = k v 1 Gp = 2 (s + s + 2)(5s + 2) Gm1 = e−0.8s Gm2 = k1 siendo Gcla correspondiente a un controlador PI.

Las constantes de las funciones de transferencia son: kc = 10, τI = 1 min , k1 = 0.8 y kv = 0.5. a) Determinar los márgenes de ganancia y de fase b) Mostrar si el sistema es o no estable c) ¿Qué influencia tendría la introducción en el controlador de una acción derivativa con τD = 1 min .

Solución a) Para resolver este problema se recurrirá a los diagramas de Bode. La función de transferencia de lazo abierto de este sistema es: GOL = Gc Gv G p Gm1 Gm2 = Kc

1 1+ τI s

kv

1 e−0.8s k1 (s2 + s + 2)(5s + 2)

Sustituyendo los valores de las constantes: 1 1 1 0.5 0.5 1 −0.8 s e = 4 1 + e−0.8s GOL = 4 1 + s 0.5s2 + 0.5s + 1 2.5s + 1 s s2 + s + 2 5s + 2 La función de transferencia del proceso G p se puede descomponer de manera trivial en el producto de la función de transferencia de un proceso de primer orden y otro de segundo orden. Observar que dichas funciones de transferencia se ha multiplicado y dividido por el término independiente del denominador para obtener las funciones de transferencia de la manera acostumbrada. Si no se hace este paso, fácilmente se pueden obtener constantes de tiempo o coeficientes de amortiguamiento erroneas.

8.7 Problemas

121

A partir de la función de transferencia de lazo abierto se obtiene la razón de amplitudes y el desfase necesario para obtener el diagrama de Bode: RAOL = 4

r

1+

1 0.5 0.5 q √ 1 2 2 2 ω (1 − 0.52 ω 2)2 + (0.5 ω)2 2.5 ω + 1

0.5 ω 1 + atan − + atan( − 2.5 ω) − 0.8 ω ϕ = atan − 1 − 0.52 ω 2 ω A continucación se muestra el diagrama de Bode. Para dibularlo se ha utilizado el programa ’control.e’ para Euler. Las instrucciones necesarias para dibujarlo han sido: load "control.e" bode("4*(1+1/s)*0.5/(.5*s^2+.5*s+1)*0.5/(2.5*s+1)", 0.8,0.1,10) Diagrama de Bode

1 10

0 10

RA

-1 10

-2 10

-3 10

-4 10 -100

-1 10

0 10

1 10

0 10

1 10

-200 -300

phi

-400 -500 -600 -700 -800

-1 10 w

Para calcular el margen de ganancia hay que encontrar la frecuencia de cruce, aquella que hace que el desfase sea de -π, y la razón de amplitudes crítica, es decir, la razón de amplitudes para la frecuencia de cruce. En primer lugar hay que resolver la primera ecuación, para encontrar la frecuencia de cruce wco: 1 0.5 ωco − π = atan − + atan − + atan( − 2.5 ωco) − 0.8 ωco 2 ωco 1 − 0.52 ωco Esta ecuación se puede resolver iterando con la calculadora o numéricamente, utilizando Euler. En este último caso se puede utilizar el método de la bisección escribiendo en Euler la siguiente instrucción: wco=bisect("atan(-1/x)+atan(-0.5*x/(1-0.5^2*x^2))+atan(-2.5*x)-0.8*x+pi=0",0,3)


122

En la instrucción anterior se asigna el valor de la frecuencia de cruce a la variable wco, ya que este valor se utilizará más adelante. Como respuesta se obtiene que la frecuencia de cruce es: wco = 0.840 Substituyendo en la razón de amplitudes se encuentra la razón crítica: RAcr = 4

r

1+

0.5 0.5 1 q p 2 2 2 2 ωco 2 1 − 0.52 ωco + (0.5 ωco)2 2.5 ωco + 1

Se puede realizar este cálculo, simplemente introduciendo la siguiente instrucción (en una sola línea de texto): RAcr=4*sqrt(1+1/wco^2)*0.5/sqrt((10.5^2*wco^2)^2+(0.5*wco)^2)*0.5/sqrt(2.5^2*wco^2+1) La razón crítica es: RAcr = 0.732 El margen de ganacia es: MG =

1 = 1.38 RAcr

Para encontrar el margen de fase hay que buscar aquella frecuencia que hace que la razón de amplitudes tome el valor de la unidad. Utilizando Euler hay escribir: w1=bisect("4*sqrt(1+1/x^2)*0.5/sqrt((10.5^2*x^2)^2+(0.5*x)^2)*0.5/sqrt(2.5^2*x+1)-1=0",0,1) Se obtiene: ω1 = 0.561 rad El margen de fase es: MF = 180◦ − ϕ(ω1) = 338◦ b) El sistema es estable ya que la razón de amplitudes crítica es superior a la unidad. c) Al añadir al controlador una acción derivativa (τD = 1 min ) cambia la función de transferencia de lazo abierto del bucle de control: 1 0.5 0.5 GOL = 4 1 + + 1s e−0.8 s s 0.5s2 + 0.5s + 1 2.5s + 1 Como consecuencia la razón de amplitudes y el desfase queda como: RAOL = 4

s

2 1 q 1+ ω − ω

0.5 (1 − 0.52 ω 2)2 + (0.5ω)2

√

0.5 1 2.52 ω 2 + 1

0.5 ω 1 + atan − + atan( − 2.5 ω) − 0.8 ω ϕ = atan ω − 1 − 0.52 ω 2 ω El diagrama de Bode de este lazo de control es:

8.7 Problemas

123

Diagrama de Bode

1 10

RA

0 10

-1 10

-2 10

-3 10 -100

-1 10

0 10

1 10

0 10

1 10

-200

phi

-300 -400 -500 -600 -700

-1 10 w

Al añadir la acción derivativa, la frecuencia de cruce y la razón crítica pasan a tomar los siquientes valores: ωco = 4.40 RAcr = 0.088 Lo que significa que el margen de ganacias es: MG = 11.4 Todo esto supone que el lazo de control con el controlador PID está más alejado de la zona de inestabilidad, lo que supone que se tratará de un sistema más robusto. Será mucho más dificil que el sistema entre en la zona inestable debido a un error en la estimación de alguna de las ganancias o del retraso, por ejemplo. Problema 8.13. Dibujar el diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto siguiente: GH =

1 s+1

Solución Para dibujar el diagrama de Nyquist hay que sustituir la variable s de la función de transferencia de lazo abierto por iω: 1 GH(iω) = iω+1 A continuación hay que separar la parte real y la parte imaginaria, para hacerlo se multiplicará y dividirá por el conjugado del denominador: GH(i ω) =

1 −iω+1 1 − iω 1 −iω = = + i ω + 1 1 − iω 1 + i ω − i ω + ω2 1 + ω2 1 + ω2

Para dibujar el diagrama de Bode hay que representar la siguiente curva paramétrica para valores de frecuencia entre − ∞ y ∞:   Re[GH(i ω)] = 1 1 + ω2 El diagrama obtenido es:

 Im[GH(i ω)] =

−iω 1 + ω2


124

Diagrama de Nyquist

0.4

0.3

0.2

Im(G)

0.1

-0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Re(G)

0.6

0.7

0.8

0.9

Para dibujar la gráfica anterior se ha utilizado Euler con el programa control.e, la instrucción utilizada ha sido: nyquist("1/(s+1)",.01,100) La línea azul discontinua es un círculo de radio 1. Aunque se ha utilizado un programa de cálculo también se podría haber utilizado otros programas, como puede ser una hoja de cálculo, para realizar la gráfica anterior. Se observa que el sistema es estable (lo que es lógico, ya que se trata de un sistema de primer orden) ya que la curva no envuelve el punto (-1,0). Problema 8.14. Determinar utilizando el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema de lazo cerrado que tiene la siguiente función de transferencia de lazo abierto: GH =

kc 8

(s + 1)3

Solución Para aplicar el criterio de Nyquist, en primer lugar, hay que sustituir s por iω en la función de transferencia de lazo abierto del lazo de control del enunciado. Una vez se ha sustituido hay que separar la parte real de la imaginaria multiplicando y dividiendo por el conjugado: G H(i ω) = kc 8

kc 8

(1 + iω)3

=

kc 8

1 + 3iω

[(1 − 3ω 2) − i(3ω − ω 3)] = (1 − 3ω 2)2 + (3ω − ω 3)2

Por tanto:

− 3ω 2 − iω 3

=

kc 8

(1 − 3ω + i(3ω

kc (1 − 3ω 2) 8 2 (1 − 3ω )2 + (3ω − ω 3)2

Re[GH(iω)] =

2)

−i

− ω 3)

(1 − 3ω 2) − i(3ω − ω3) = (1 − 3ω 2) − i(3ω − ω 3)

kc (3ω − ω 3) 8 2 (1 − 3ω )2 + (3ω − ω 3)2

kc (1 − 3ω 2) 8 (1 − 3ω2)2 + (3 ω − ω 3)2

Im[GH(iω)] = −

kc (3ω − ω 3) 8 2 (1 − 3ω )2 + (3ω − ω 3)2

El límite de estabilidad será aquella frecuencia que haga que Re[GH(iω)] = − 1 y Im[GH(iω)] = 0: kc (1 − 3ω 2) 8 (1 − 3ω 2)2 + (3ω − ω 3)2

=−1

kc (3ω − ω 3) 8 2 (1 − 3ω )2 + (3ω − ω3)2

=0

8.7 Problemas

125

√ Resolviendo el sistema de ecuaciones se encuentra que ω = 3 y que kc = 64. Por tanto, el límite de estabilidad del lazo de control es kc = 64, lo que significa que el sistema será inestable para kc > 64. A continuación se muestra un diagrama de Nyquist para el que el sistema es estable: kc = 50 line 1 line 2

4

Im(GH(iω))

2

0

−2

−4 −1

0

1

2

3

4

5

6

Re(GH(iω))

El límite de estabilidad se muestra en la figura siguiente: kc = 64 6

line 1 line 2

Im(GH(iω))

4 2 0 −2 −4 −6 −2

0

2

4

6

8

Re(GH(iω))

Un lazo de control con una kc tal que hace que sea inestable: kc = 80 8

line 1 line 2

6

Im(GH(iω))

4 2 0 −2 −4 −6 −8

−2

0

2

4

6

8

10

Re(GH(iω))

Problema 8.15. Dibuajr los diagramas de Bode y de Nyquist para la siguiente función de transferencia. Discutir la estabilidad. 1 G(s) = (s + 1)(2s + 1)

Solución La función de lazo abierto del sistema propuesto es: G(s) =

1 (s + 1)(2s + 1)

Se trata de un sistema compuesto por dos procesos de primer orden en serie, las ganancias de ambos procesos son 1. Diagramas de Bode


126

Al tratarse de dos sistemas de primer orden en serie la razón de amplitudes y el desfase serán: 1 1 √ RA = √ 2 ω + 1 4ω 2 + 1 ϕ = atan( − ω) + atan( − 2ω) El diagrama de Bode resultante será: Diagrama de Bode

0 10 -1 10

RA

-2 10 -3 10 -4 10 -5 10 0

-2 10

-1 10

-2 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

0 10

1 10

2 10

-20 -40 -60 phi

-80 -100 -120 -140 -160 -180

w

El sistema es estable ya que el desfase tiende asintóticamente a 180◦, lo que significa que será estable al no alcanzar el desfase de 180◦. El resultado era previsible ya que se trata de un sistema de segundo orden. Diagrama de Nyquist Para dibujar el digrama de Nyquist se pueden utilizar coordenadas polares y utilizar como ecuacones paramétricas la razón de amplitudes y el desfase. También se puede sustituir la variable s de la función de transferencia de lazo abierto por iω. Se obtiene: 1 − 2ω 2 3ω G(iω) = −i 2 2 2 (1 − 2ω ) + 9ω (1 − 2ω 2)2 + 9ω2 El diagrama de Nyquist obtenido es: Diagrama de Nyquist 0.6

0.4

Im(G)

0.2

-0

-0.2

-0.4

-0.6 -0

0.2

0.4 Re(G)

0.6

0.8

8.7 Problemas

127

La curva no envuelve el punto (-1,0), por tanto, el lazo de control es estable. Problema 8.16. Considerar la función de transferencia de lazo abierto siguiente: G=

Kc e −td s 0.5s + 1

Estudiar mediante los diagramas de Bode la influencia del retraso o del tiempo muerto td y de la ganancia Kc en la estabilidad del corresponidente lazo cerrado. Como ejemplo, considerar los casos en los que el retraso vale 0.01, 0.1 y 1 min.

Solución Para dibujar los diagramas de Bode se puede utilizar Euler. Para el caso en el que el retraso vale 0.01 min hay que escribir: load("control.e") bode("1/(.5*s+1)",.01,.1,250) El resultado se muestra a continuación: Diagrama de Bode

0 10

RA

-1 10

M

-2 10

-3 10 0

-1 10

0 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

1 10

2 10

3 10

-20 -40 -60 -80 phi

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240

Wco

3 10

w

Gráficamente se encuentra que la frecuencia de cruce ωco tiene un valor entre 100 rad/min y 200rad/min. En el diagrama anterior no está representando RA, en realidad se está represenRA tando K . Por tanto: c RA M= Kc Si se considera el límite de estabilidad (RA = 1), se puede calcular la ganancia última: Ku =

1 M

En este diagrama de Bode se observa que el valor de M está entre 0.01 y 0.02, lo que significa que la ganancia última toma un valor entre 50 y 100. Para obtener los valores exactos de la frecuencia angular o de la ganancia última sería necesario recurrir a las ecuaciones. Si el retraso toma el valor de 0.1, el diagrama de Bode es:


128

bode("1/(.5*s+1)",.1,.1,20) Diagrama de Bode

RA

0 10

M

-1 10

-2 10 0

-1 10

0 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

-20 -40 -60

phi

-80 -100 -120 -140 -160 -180 -200

1 10

Wco

2 10

w

En este caso la frecuencia de cruce está entre 10 y 11 rad/min. M prácticamente es 0.1, lo que significa que Ku = 10. Se comprueba que el aumentar el retraso supone que el sistema está más cercano a la zona de inestabilidad. Si el retraso es igual a 1 min: bode("1/(.5*s+1)",1,.1,3) Diagrama de Bode

0 10

RA

M

-1 10 0

-1 10

0 10

1 10

-20 -40 -60 -80 phi

-100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240

-1 10

0 10 w

Wco

1 10

8.7 Problemas

129

La frecuencia de cruce se encuentra entre 2 y 3 rad/min y la ganancia última un valor entre 1.4 y 1.7. Este valor de retraso hace que el lazo de control esté bastante próximo a la zona de inestabilidad. Problema 8.17. Sea un proceso con la siguiente función de transferencia: Gp =

10 −td s e s+1

Este proceso se controla mediante un controlador proporcional. Asumiendo que Gm = G f = 1, determinar la relación entre Kc y td que hace al lazo cerrado estable en los siguientes casos: a) Aproximar el retraso con una aproximación de Padé de primer orden:

e−td s ≈

1− 1+

td 2 td 2

s s

b) Utilizar una aproximación de Padé para el retraso de segundo orden: e−td s ≈

t2d s2 − 6td s + 12 t2d s2 + 6 td s − 12

Problema 8.18. En la tabla siguiente se muestran la razón de amplitud y desfase en función de la frecuencia de tres sistemas desconocidos. Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3 ω ω ω ◦ ◦ RA ϕ( ) RA ϕ( ) RA ϕ (◦) (ciclos/min) (ciclos/min) (ciclos/min) 0.01 10 -0.63 0.01 5.00 -0.23 0.01 17 -1.49 0.05 9.99 -3.15 0.05 5.05 -1.13 0.02 16.99 -2.98 0.10 5.20 -2.39 0.10 16.67 -14.75 0.10 9.99 -6.30 1.0 9.95 -63.01 0.20 5.93 -5.44 0.30 14.42 -41.21 3.0 9.58 -188.60 0.30 7.68 -11.62 0.50 11.66 -61.90 0.40 12.69 -23.96 0.70 9.33 -77.76 5.0 8.94 -313.04 7.0 8.19 -436.06 0.50 25.00 -90.00 1.00 6.80 -95.73 0.60 9.98 -151.39 1.50 4.30 -117.03 9.0 7.43 -557.65 10.0 7.04 -617.96 0.70 5.00 -163.74 2.00 2.92 -132.42 12.0 6.40 -737.74 0.80 3.25 -168.10 2.50 2.07 -144.53 0.90 2.20 -170.87 3.00 1.55 -154.04 15.0 5.55 -915.75 20.0 4.47 -1209.35 1.10 1.29 -173.46 4.00 0.94 -169.23 1.50 0.62 -175.71 8.00 0.26 -208.22 30.0 3.16 etc. 40.0 2.43 2.00 0.33 -176.95 10.00 0.17 -223.12 50.0 1.96 5.00 0.05 -178.84 20.00 0.04 -287.45 a) Determinar el orden del sistema y buscar la existencia de tiempos muertos. b) Calcular los valores de los parámetros del sistema, incluido el retraso si existe.

Solución Sistema 1 Observando la tabla de razón de amplitudes y desfase de la tabla para el Sistema 1 y su representación gráfica se obtienen las dos conclusiones siguientes: a) Se trata de un sistema de primer orden o de segundo orden sobreamortiguado, ya que la razón de amplitudes decrece a medida que aumenta la frecuancia angular. b) El desfase disminuye de manera no asintótica al aumentar la frecuencia angular. Los parámetros del sistema se pueden obtener de diversas manera: Resolución gráfica


2

4

RA1

6

8

10

130

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

5.00

50.00

5.00

50.00

phi1

−1200

−800

−600

−400

−200

0

w1

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

w1

Figura 8.16. Diagrama de Bode del Sistema 1.

Se puede suponer que se trata de un sistema de primer orden con retraso, lo que implica: K RA = √ 1 + τ 2 ω2 180 Desfase: ϕ = [atan( − τω) − td ω] π

Razón de Amplitudes:

(8.2) (8.3)

Se puede determinar la ganancia del proceso utilizando la asíntota de baja frecuencia, es decir, sabiendo que: K ABF = lím √ =K ω→0 1 + τ 2 ω 2 La ganancia del sistema coincidirá con el valor de la razón de amplitudes a baja frecuencia. Por tanto: K = 10 Utilizando la asíntota de alta frecuencia se puede encontrar la constante de tiempo del sistema: AAF = log RA ≈ log K − log τω = log K − log τ − log ω La asíntota de alta frecuencia es una recta de pendiente -1 y cuya ordenada en el origen es log K − log τ . Gráficamente se puede encontrar la AAF al representar log RA frente a log ω. Se obtiene la siguiente recta: log RA = − log ω − 1.991

8.7 Problemas

131

Por tanto, sabiendo que K = 10, se obtiene la siguiente constante de tiempo del sistema: τ = 0.10 Para encontrar el valor del retraso será necesario recurrir a los datos del desfase. Despejando de la ec. (2) se obtiene: π + atan( − ωτ ) = − td ω ϕ 180 Tomando los 8 últimos puntos para los que se dispone de información sobre el desfase se obtiene el siguiente retraso (pendiente de la recta que ajusta los puntos según la ecuación anterior): td = − 1.1 Resolución utilizando MS Excel Para está resolución se utilizará la hoja de cálculo MS Excel. Se realizará un ajuste no lineal utilizando la herramienta Solver del programa. Se ajustarán los datos de razón de amplitudes a las ecuaciones (1) y (2). Para ello hay que construir una hoja de cálculo como la siguiente: 1 2 3 ... 17 18 19 20

A ω 0.01 0.005 ...

B C D RA RAest 10 0.999995 9.99 0.99875234 ... ... P (RA − RAest)2=

E (RA − RAest)2 81.0008999 80.8425345 ... 765.816304

K= 1 τ = 1

Para realizar el ajuste no lineal hay que calcular la razón de amplitudes estimada según la ecuación a ajustar, en este caso la ec. (1). La fórmula utilizada para calcular la razón de amplitudes estimada es: =$C$19/RCUAD(1+A2^2*$C$20^2) Según la versión de MS Excel utilizada la fórmula a utilizar puede ser: =$C$19/RAIZ(1+A2^2*$C$20^2) A continuación se calcula el residuo utilizando la fórmula: =(B2-D2)^2 Una vez calculado el residuo, hay que realizar la suma de todos los residuos mediante la fórmula: =SUMA(E2:E16) La base de la regresión lineal es minimizar la suma de los residuos al cuadrado en función de los parámetros a ajustar del modelo. En este caso los parámetros a ajustar mediane el Solver son K y τ . Hay que minimizar la celda E17 variando las celdas C19 y C20 (figura 8.17). Antes de empezar la optimización hay que dar un par de valores, se trata del vector inicial. Cuanto más próximos sean esos valores a los del modelo, mejor funcionará la optimización. Para realizar la optimización puede ser necesario configurar el Solver:


132

Figura 8.17. Selección de los parámetros necesarios para realizar la minimización de la suma de residuos al cuadrado.

Tras realizar el ajuste se obtienen los siguientes valores: K = 10.00 τ = 0.100 con una suma de los residuos al cuadrado igual a 0.000940883. De manera análoga se puede encontrar el retraso: td = 1.000 con una suma de los residuos al cuadrado igual a 0.000508199. Si se representan los ajustes obtenidos con los datos experimentales se obtiene:

8.7 Problemas

2

4

RA1

6

8

10

133

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

5.00

50.00

5.00

50.00

phi1

−1200

−800

−600

−400

−200

0

w1

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

w1

Resolución con R También se puede resolver este tipo de problemas utilizando un programa de estadística que pueda realizar regresión no lineal. Existen muchas alternativas válidas como SPSS, SAS o Statgraphics. En este problema utilizo mi programa estadístico favorito, se trata de R (http://www.r-project.org). Es un programa de gratuito, de código abierto y multiplataforma. La instrucción a utilizar es: sist1.ra<-nls(RA1~k1/sqrt(1+tau1^2*w1^2),start=list(k1=1,tau1=1)) El resultado del ajuste es: Nonlinear regression model model: RA1 ~ k1/sqrt(1 + tau1^2 * w1^2) data: parent.frame k1 tau1 9.9955814 0.1000596 residual sum-of-squares: 0.0009408823 De igual manera se puede realizar el ajuste para obtener el tiempo muerto: Nonlinear regression model model: phi1 ~ 180/pi * (atan(-w1 * 0.1) - td * w1) data: parent.frame td 1.000001


134

residual sum-of-squares: 0.0002534891 Sistema 2 El sistema 2 claramente es un sistema de segundo orden subamortiguado, solo hay que seguir las siguientes pistas: a) El desfase tiende a -180◦ a medida que el valor de frecuencia angular aumenta. b) El gráfico de razón de amplitudes del diagrama de Bode tiene un máximo que indica que se trata de un sistema subamortiguado. c) El máximo de razón de amplitudes se produce para un retraso de -90◦, lo que es propio de los sistemas de segundo orden. Este problema nuevamente se puede resolver de cualquiera de las tres maneras para las que se ha resuelto el sistema 1. Si se se realiza un ajuste no lineal para ajustar la razón de amplitudes respecto a la frecuencia angular, se obtiene: model: RA2 ~ k2/sqrt((1 - tau2^2 * w2^2)^2 + (2 * tau2 * zeta2 * w2)^2) data: parent.frame k2 tau2 zeta2 5.0043325 1.9994457 0.1001189 residual sum-of-squares: 0.01161093

0.05

0.20

0.50

RA2

2.00

5.00

20.00

Se puede comprobar la bondad del ajuste en la siguiente representación gráfica:

0.01

0.02

0.05

0.10

0.20

0.50

1.00

2.00

5.00

0.50

1.00

2.00

5.00

phi2

−150

−100

−50

0

w2

0.01

0.02

0.05

0.10

0.20 w2

Sistema 3 En este caso se supondrá que se trata de un sistema de segundo orden sobreamortiguado con

8.7 Problemas

135

retraso. En primer lugar se obtendrá la ganancia, la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguamiento del sistema ajustando la razón de amplitudes: Nonlinear regression model model: RA3 ~ k3/sqrt((1 - tau3^2 * w3^2)^2 + (2 * zeta3 * tau3 * w3)^2) data: parent.frame k3 tau3 zeta3 17.008941 -1.001057 1.249495 residual sum-of-squares: 0.0004343416 Aunque el resultado del ajuste de un valor de constante de tiempo negativo, el valor de dicha constante es positivo. En la ecuación a ajustar la constante de tiempo se encuentra elevada al cuadrado, por ello el programa no distingue entre el valor negativo y positivo. Para encontrar el retraso habrá que ajustar el desfase: Nonlinear regression model model: phi3 ~ 180/pi * (atan(-2 * Zeta3 * Tau3 * w3/(1 - Tau3^2 * w3^2)) - td3 * w3) 180 * (w3>0.7) data: parent.frame td3 0.09997274 residual sum-of-squares: 0.0314070

RA3

0.05

0.20

0.50

2.00

5.00

20.00

Realizando la representación gráfica se puede comprobar la calidad del ajuste:

0.01

0.05

0.10

0.50

1.00

5.00

10.00

1.00

5.00

10.00

0.05

0.20

RA3

0.50

2.00

5.00

20.00

w3

0.01

0.05

0.10

0.50 w3


136

Problema 8.19. Sea un proceso cuya función de transferencias es: Gp =

10e −0.1 s 0.5s + 1

Los valores de los parámetros se han determinado con un error de ± 20%. Calcular la mayor ganancia de un controlador proporcional que hace al ciclo cerrado estable. Suponer Gm = G f = 1.

Capítulo 9 Métodos empíricos y semiempíricos 9.1 Método del ensayo y error Para realizar la sintonía experimentalmente se sigue un procedimiento similar al siguiente: 1. Se pone el controlador en manual y se eliminan las acciones integral y derivativa (τI → ∞ y τD = 0) 2. Fijar la banda proporcional a un valor elevado, por ejemplo, 200 (ganancia proporcional pequeña) 3. Poner el controlador en automático 4. Realizar un pequeño cambio en la consigna o en la carga y seguir la respuesta de la variable controlada hasta que se alcance una respuesta estacionaria. Al ser la ganancia tan baja, la respuesta debe ser lenta 5. Reducir la banda proporcional a la mitad (doblar la ganancia) y realizar un nuevo cambio en la consigna o en la carga 6. Repetir el paso 5. hasta que la respuesta sea muy subamortiguada y oscilatoria. Esta es la ganancia última 7. Fijar la banda proporcional al doble de su último valor (la mitad de la ganancia proporcional) 8. Iniciar una acción integral reduciendo el valor de τI a su mitad. Realizar pequeñas perturbaciones o cambios en la consigna y observar el efecto 9. Encontrar el valor de τI que hace que la dinámica del sistema sea muy subamortiguada y fijar τI al doble de ese valor 10. Aumentar el valor de τD y realizar cambios en la consigna o en la carga. Encontrar el valor de τD que proporciona la mayor acción de control sin amplificar el ruido en el proceso de medida de la señal 11. Reducir el valor de la banda proporcional en pasos de un 10% hasta que se cumplan las especificiaciones deseadas Es importante decir que este método funciona para casi todos los lazos de control pero no funciona con aquellos sistemas que son inestables para ganancias elevadas y para ganancias bajas, es decir, aquellos que solo sean estables para valores de ganancia proporcional intermedios.

9.2 Métodos de criterio único En este caso se trata de seleccionar uno de los múltiples parámetros que describen el comportamiento de un lazo de control retroalimentado y utilizarlo para el diseño del controlador. Se eleigirán los parámetros del controlador en función del rendimiento deseado para ese parámetro. Es posible tomar como parámetro el offset , de manera que el resultado será que se desean eliminar errores que permanezcan durante periodos largos de tiempo. Este es un criterio de estado estacionario. 137

Métodos empíricos y semiempíricos

138

También se puede seleccionar un criterio dinámico, como puede ser la frecuencia de oscilación de la parte transitoria de la respuesta. También se pueden tomar parámetros como puede ser el overshoot , el tiempo necesario para alcanzar el ± 5% de un cierto valor, el rise time, etc. Es frecuente que la selección de un cierto criterio haga imposible que se cumpla otro. Por ejemplo, si se trata de reducir el overshoot reducuiendo la ganancia proporcional, se aumenta el rise time. Uno de los criterios más frecuentes es seleccionar los parámetros del controlador para que la 1 razón de disminución tome el valor de 4 .

9.3 Método del criterio integral con el tiempo En este método se toma la respuesta dinámica del sistema de control. En lugar de caracterizarla con un solo parámetro, como en el apartado anterior, se utilizará toda la curva desde t = 0 hasta t → ∞. La sintonía del controlador se realizará minimizando una de las siguientes integrales con el tiempo: 1. Integral del error al cuadrado (Integral of the square error ): Z ∞ ISE = ε2(t)dt 0

Se minimiza esta integral cuando se desea eliminar errores grandes, ya que estos son los que más contribuyen al valor de la integral. 2. Integral del valor absoluto del error (Integral of the absolute valor of the error ): Z ∞ IAE = |ε(t)|dt 0

En este caso se trata de eliminar errores pequeños. Estos errores podrían ser muy dificiles de eliminar minimizando la ISE ya que al elevarlos al cuadrado se hace todavía más pequeños respecto a los errores grandes.

3. Integral del valor absoluto del error ponderado con el tiempo (Integral of the time-weighted absolute error ): Z ∞ ITAE = t |ε(t)|dt 0

Se utiliza cuando se desea eliminar errores muy persistentes en el tiempo, ya que la integral amplifica los errores que permanecen durante tiempos largos, incluso cuando se trata de errores pequeños

9.4 Método de la curva de respuesta. Método de Cohen y Coon Una vez seleccionado el controlador que se va a utilizar para el lazo de retroalimentación es necesario dar valores a los parámetros del mismo para completar el diseño, es lo que se conoce como realizar la sintonía del controlador. Para la selección se puede recurrir a métodos semiempíricos como es el método de Cohen y Coon o el método de Ziegler-Nichols, que se trata en el siguiente apartado. El método de Cohen y Coon se le conoce también como método de la curva de reacción del proceso. Para ponerlo en práctica hay que abrir el bucle de retroalimentación desconectando el elemento final de control (figura 9.1). Una vez abierto se produce un cambio en escalón de altura A en la variable c(t), que actua sobre el elemento final de control. Se registra el valor medido de la variable controlada ym(t) respecto al tiempo. De esta manera se obtiene la curva de respuesta del proceso (CRP). La función de transferencia que relaciona la varaición de la entrada, c(s), y la respuesta, ym(s), es: GCRP =

ym(s) ≈ G f G p Gm c(s)

9.4 Método de la curva de respuesta. Método de Cohen y Coon

139

d(s)

c(s) =

ysp(s)

+

A s

Gd

Gc

−

Gp

Gf

ym (s)

+

+

y(s)

Gm

Figura 9.1. Lazo de retroalimentación abierto para introducir un escalón al elemento final de control.

Esta función de transferencia no solo depende de la dinámica del proceso, también incluye a aquellos elementos que pueda haber entre la entrada y la salida. Típicamente incluirá al elemento final de control y al medidor, aunque puede haber otros elementos. Cohen y Coon observarón que la mayoría de procesos presentaban un CRP de aspecto parecido a una sigmoide, que se podía aproximar a un proceso de primer orden con un retraso: GCRP =

K ym(s) ≈ e−td s τs + 1 c(s)

donde K, τ y td se determinan a partir del análisis de la curva de respuesta del proceso (figura ym B

S

0

td

Punto de inflexión

Figura 9.2. Análisis gráfico de la curva de respuesta del proceso.

9.2): B Salida en estado estacionario = A Entrada en estado estacionario B Salida en estado estacionario τ= = S Pendiente de la CRP en el punto de inflexión td = Tiempo transcurrido hasta que el sistema responde K=

t


140

Para realizar la sintonía del controlador se recurre a las siguientes ecuaciones: 1. Controladores P: Kc = 2. Controladores PI:

1 τ K td

1 τ Kc = K td

1+

td 3τ

τI = td

t 0.9 + d 12τ t 30 + 3 τd

9 + 20

td τ

3. Controladores PID: 1 τ 4 td + Kc = K td 3 4τ t 32 + 6 τd τI = td t 13 + 8 τd 4 τ D = td t 11 + 2 τd

9.5 Método de Ziegler y Nichols Al contrario que el método anterior, ésta es una técnica de lazo cerrado. El procedimiento es el siguiente: 1. Llevar el sistema al nivel de operación deseado, que normalmente corresponderá con las condiciones de diseño 2. Utilizando solo el control proporcional y con el ciclo cerrado, introducir un cambio en la consigna y variar la ganancia proporcional hasta que el sistema varíe continuamente. La frecuencia de oscilación sostenida es la frecuencia de cruce ωco. La razón de amplitudes de la respuesta en la frecuencia de cruce es M 3. Se calculan las siguientes magnitudes: 1 M 2π Periodo último de oscilaciones sostenidas: Pu = ωco Ganancia última: Ku =

4. Ziegler y Nichols recomendaron los siguientes parámetros para controladores por retralimentación: Kc τI τD P PI PID

Ku 2 Ku 2.2 Ku 1.7

-

-

Pu 1.2 Pu 2

Pu 8

-

9.6 Problemas Problema 9.1. Sea el sistema de control representado en la figura:

R

+

−

Gc

G1

G2

C

9.6 Problemas

141

1

donde G1 = s + 1 y G2 = e−1.02 s. a) Si Gc = Kc determinar el offset de la respuesta para una entrada en escalón unidad b) Para eliminar el offset se recomienda que el controlador sea PID. ¿Qué valores de diseño recomendaría para los parámetros del controlador PID? Se sugiere usar el método de Ziegler-Nichols

Solución a) Para calcular la función de transferencia del lazo de control

C R

y el offset se puede uti-

lizar Maxima. A continuaciónse encuentra la sesión para calcularlos:

(C1) G_1(s):=(1/(s+1)) (D1) G1(s): =

1 s+1

(C2) G_2(s):=%e^(-1.02*s) (D3) G2(s): = e(−1.02)s (C4) G_c(s):=K_c (D4) Gc(s): = Kc (C5) C/R=(G_c(s)*G_1(s)*G_2(s)/(1+G_c(s)*G_1(s)*G_2(s))) (D14)

C Kc e−1.02s = R (s + 1) Kc e−1.02s + 1 s+1

(C15) offset=1-limit(s*((K[c]*e^(-1.02*s))/((s+1)*(((K[c]*e^(1.02*s))/(s+1))+1)))*1/s,s,0),offset (D15) offset = 1 −

Kc Kc + 1

b) Para el método de Ziegler-Nichols es necesario encontrar la ganacia última, qu marca el límite de estabilidad, Ku y el periódo último en esas condiciones, Pu. Como controlador solo se toma la acción proporcional. La ecuación característica de este lazo de control será: 1 + Kc Por tanto:

1 e−1.02 s = 0 s+1

1 RAOL = RAc RA1 RA2 = Kc √ 1 2 ω +1 ϕOL = ϕc + ϕ1 + ϕ2 = 0 + atan(ω) − 1.02 ω Para aplicar el método de Ziegler-Nichols, en primer lugar, hay que encontrar la frecuencia de curce. Es decir, aquella frecuencia que provoque un retraso de -π rad. Resolviendo la ecuación se encuentra que ωco = 1.9954. A partir de la frecuencia de cruce se calcular el periódo último de oscilación: 2π Pu = = 3.1488 ωco A continuación hay que encontrar el valor de la razón de amplitudes (M ) cuando la frecuencia es igual que la frecuencia de cruce. Sustituyendo se encuentra que M = 0.44803.


142

La ganancia última es: Ku =

1 = 2.2320 M

Sustituyendo Ku y Pu en la tabla proporcioanda por Ziegler y Nichols se encuentra la sintonía del controlador PID: Ku = 1.3129 1.7 P τI = u = 1.5744 2 Pu = 0.39360 τD = 8 Kc =

Problema 9.2. Determinar los parámetros efectivos de un sistema a partir de la curva de reacción que se indica, y calcular la frecuencia crítica y la ganancia máxima. Determinar los ajustes de los parámetros de un controlador PID según el método de Ziegler-Nichols y compararlos con los que se obtienen directamente de la curva de reacción. Tiempo (min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 Resp. (ua) 0 0 0 4 10 19 27 35 41 45 50

Solución A partir de los datos de la curva de reacción se pueden obtener los parámetros de la función de transferencia de lazo abierto de varias maneras. En vualquier caso se supone que la curva de reacción del proceso sigue un modelo de primer orden con retraso. Método gráfico Se representan los puntos disponibles y se encuentran en el gráfico los puntos B , S y td, tal como se muestra en la figura a continuación:

20

R (ua)

30

40

50

B

0

10

S

0

td

5

10

15

20

25

30

t (min)

A partir del gráfico se obtienen los siguientes valores: B = 50ua S = 8 ua/min td = 2.4 min Suponiendo que la entrada utilizada haya sido un escalón unidad (A = 1) se obtienen los siguientes parámetros: B = 50ua A B τ = = 6.25 min S td = 2.4 min K=

9.6 Problemas

143

Ajuste no lineal También se pueden obtener los parámetros del proceso mediante un ajuste no lineal. Para ello hay que ajustar los datos experimentales a la curva que describe la respuesta de un proceso de primer orden con retraso a una entrada en escalón. Suponiendo que se trata de un escalón unidad, el modelo a utilizar es: t − td R(t) = K 1 − exp − τ Realizando el ajuste se obtiene: model: R ~ K * (1 - exp(-(t - td)/tao)) data: parent.frame K tao td 55.697788 7.410520 1.128803 residual sum-of-squares: 438.2566 Lo que supone que los parámetros del modelo son: K = 55.7ua τ = 7.4 min td = 1.1 min

40

50

En la figura siguiente se encuentran los dos ajustes obtenidos:

Regresion no lineal

0

10

20

R (ua)

30

Metodo grafico

0

5

10

15

20

25

30

t (min)

Como se puede observar ninguno de los dos métodos proporciona, en este caso, un ajuste de gran calidad. Para el resto del problema se utilizarán los parámetros obtenidos por el primero de los métodos. Sintonía por el método de la curva de reacción Para realizar esta sintonía hay que recurrir a las ecuaciones propuestas por Cohen y Coon: 1 τ 4 td Kc = = 0.0744 + K td 3 4τ t 32 + 6 τd τ I = td t = 5.12 13 + 8 τd 4 τ D = td t = 0.816 11 + 2 τd Sintonía por el método de Ziegler-Nichols


144

La razón de amplitudes y el desfase de esta función de transferencia de lazo abierto utilizando un controlador proporcional será: K RA =√ Kc 1 + τ 2 ω2 ϕ = atan( − ωτ ) − td ω El método de Ziegler y Nichols para sintonizar un controlador se basa en estudiar el comportamiento del lazo de control utilizando un lazo de control cerrado con un controlador proporcional. A continuación se buscan la frecuencia de cruce y la ganancia última del controlador: Diagrama de Bode

RA

2 10

1 10 M

0 10 -40

-1 10

0 10

-60 -80 -100 phi

-120 -140 -160 -180 -200 -220

Wco

-1 10

w

0 10

La frecuencia de cruce será: − 180◦ =

180 [atan( − ωco τ ) − td ωco] π ωco = 0.7429

A continuación se calcula M : M=

1 K =p = 10.53 2 τ2 Ku 1 + ωco

Por tanto, la ganancia última del controlador será: Ku =

1 = 0.0950 M

Para poder realizar la sintonía del controlador se necesita conocer además de la ganancia última, el periódo último: 2π Pu = = 8.458 ωco La sintonía del controlador será: K Kc = u = 0.0559 1.7 P τI = u = 4.23 2 Pu = 1.06 τD = 8 Comparativa de las dos sintonías

9.6 Problemas

145

Se puede observar que la sintonía mediante el método de Cohen y Coon tiene una acción de control proporcional más intensa que la obtenida por el método de Ziegler-Nichols. Para compensar el método de Ziegler-Nichols tiene una constante de tiempo integral menor. Como consecuencia, para hacer al lazo de control más robusto, la acción de control derivativa es más intensa. Para comparar el rendimiento de ambas sintonías se puede plantear una simulación para un cambio en la consigna. En la simulación siguiente se utiliza un escalón de altura 2:

El resultado de la simulación se muestra en la figura siguiente: Cohen y Coon

0

1

R (ua)

2

3

Ziegler y Nichols

0

5

10

15

20

25

t (min)

Se puede comprobar que la sintonía de Cohen-Coon tiene una respuesta ligeramente más rápida (tiempo necesario en alcanzar el valor estacionario por primera vez). Pero tiene como inconvenientes un mayor overshoot y una respuesta más subamortiguada. Problema 9.3. Determinar la ganacia de un controlador proporcional para que la razón de disminución de lazo cerrado 1 sea de 4 . La función de transferencia que describe el proceso es: G p(s) =

1 s2 + 3 s + 1


146

Las funciones del medidor y del elemento final de control son iguales a la unidad.

Solución El lazo de control que propone el problema es:

ysp

+

Gc = K c

−

Gp

y

Por tanto, la función de transferencia que representará la dinámica del bucle de control es: G= Sustituyendo y operando se encuentra: G=

Gc G p 1 + Gc G p

Kc Kc + 1 3 1 s2 + K + 1 Kc + 1 c

s+1

Al tratarse de un sistema de segundo orden, el coeficiente de amortiguamiento es: r 1 ζ= Kc + 1 Para un sistema de segundo orden la razón de disminución es: ! 2πζ RD = exp − p 1 − ζ2 1

La razón de disminución debe ser de 4 , lo que supone que el coeficiente de amortiguamiento es, tras resolver la ecuación: √ 5727 ζ=√ 11920 π 2 + 5727 Conocido ζ calcular la ganancia del controlador resulta trivial: Kc =

11920 π 2 5727

Problema 9.4. Seleccionar la ganancia y tiempo integral para un controlador PI, empleando el criterio de hacer mínima la ISE. Considerar un cambio en escalón unidad para la consigna. El proceso a controlar es de primer orden con ganancia 10 y constante de tiempo 1.0. Asumir que las funciones de transferencia del medidor y del elemento final de control son iguales a la unidad. Los parámetros seleccionados deben cumplir las siguientes restricciones: 100 > Kc > 1 10 > τI > 0.1

Solución El lazo de control que propone el enunciado es: ε + ysp Gc −

Gp

ym donde:

G c = Kc 1 +

1

τI s 10 Gp = s+1 ε = ysp − ym = ysp − y

y

9.6 Problemas

147

Para sintonizar este lazo de control se deben seleccionar aquellos valores del controlador (ganancia proporcional y constante de tiempo integral) que minimicen el valor de la integral del error al cuadrado (ISE): min (ISE) = min

Z

∞ o

Z ε2(t)dt = min

0

∞

2 (ysp − y) dt

La resolución analítica de este tipo de problemas es extremadamente compleja. Es mucho más sencilla su resolución utilizando VisSim. Para resolver el problema hay que dibujar el siguiente programa en VisSim:

Dentro del bloque del controlador se han realizados unos pequeños cambios que se ven reflejados a continuación:


148

Para realizar las simulaciones se puede utilizar la configuración que aparece a continuación (no es la única posible): Range start. 0 Step size. 0.01 Range end. 1 Integration Algorithm. Runge Kutta 4th order Con objeto de que realizar la sintonía del controlador, hay que marcar la casilla de ’Perform optimization’ en el cuadro de diálogo que aparece tras seleccionar en el menú Simulate | Optimization setup... Tras correr la simulación se obtiene que la sintonía óptima es: Kc = 9.85 τI = 1.00 con ISE = 1.00 · 10−2. Problema 9.5. Seleccionar la ganancia de un controlador proporcional utilizando el criterio de la razón de disminución 1/4. El proceso controlador es: 10 G p(s) = (s + 2)(2 s + 1) Asumir que Gm(s) = G f (s) = 1. Realizar la sintonía utilizando el criterio del ISE mínimo con un cambio en la consigna en escalón unidad. En ambos casos se debe satisfacer la condición de que 100 > Kc > 0.1. Comparar las sintonías y explicar las diferencias entre ellas.

Solución Razón de disminución 1/4 El bucle de control propuesto por el enunciado del problema es: ε + ysp Kc Gp −

y

La función de transferencia que representa la dinámica de este lazo es: Kc G p G= = 1 + Kc G p

10 Kc 10 Kc + 2 2 5 s2 + 10 Kc + 2 10 Kc + 2

s+1

Se trata de un sistema de segundo orden, por tanto: 2 10 Kc + 2 5 2τζ = 10 Kc + 2 τ2 =

Como criterio de sintonía se toma que la razón de dismunución de este lazo de control debe ser de 1/4: ! 1 − 2πζ = RD = exp p 2 4 1−ζ Resolviendo la ecuación anterior se obtiene:

ζ = 0.2154 Conocido el coeficiente de amortiguamiento, ya solo queda resolver el sistema de ecuaciones anterior para obtener el valor de la ganancia proporcional: Kc = 6.53

9.6 Problemas

149

Minimizar ISE Para obtener la sintonía óptima, aquella que minimiza la integral del error al cuadrado, del controlador se ha utilizado el programa siguiente (que muestra el resultado de la optimización):

En la figura también se muestra el resultado de la optimización. Se obtiene una ganancia proporcional de 6.24 con una ISE=0.2659. Con esta sintonía se obtiene una razón de disminución de 0.242, ligeramente menor de 1/4. Esto significa que la respuesta será ligeramente más oscilatoria, estará menos amortiguada.

Problema 9.6. Repetir el problema anterior utilizando la técnica de Ziegler-Nichols en lugar de minimizar la ISE. Comparar los resultados obtenidos con los del problema anterior. Problema 9.7. Considerar un lazo de control con las siguietnes funciones de transferencia: Gf = 5 10 Gp = s+4 1 Gm = 10s + 1 a) Realizar la sintonía de un controlador PI utilizando la técnica de Cohen-Coon. b) Dibujar la curva real de reacción del proceso junto con su aproximación de primer orden con retraso. Problema 9.8. Repetir el problema anterior pero con un controlador PID y las siguientes funciones de transferencia: Gf = 1 e−s Gp = s + 10 5 e−0.1 s Gm = 0.01s + 1 Problema 9.9. Se obtiene experimentalmente la curva de reacción de un proceso y se obtienen los siguientes datos: Tiempo (min) -2 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Variable manipulable 100 100 150 150 150 150 150

Salida medida 200 200 200.1 201.1 204.0 227.0 251.0

Tiempo (min) 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4

Variable manipulable 150 150 150 150 150 150 150 150

Salida medida 280.0 302.5 318.0 329.5 336.0 339.0 340.5 341.0


150

Usando estos valores: a) Aproximar la respuiesta de lazo abierto a un sistema de primer orden con retraso. b) Seleccionar los parámetros de un controlador PI utilizando la técnica de Cohen-Coon. Problema 9.10. Utilizando los datos del problema anterior contestar a las siguientes preguntas: a) Sintonizar un controlador PI utilizando la técnica de Ziegler-Nichols. b) Comparar los resultados de la sintonía a los obtenidos por la técnica de Cohen-Coon y a los obtenidos al minimizar la ISE para un cambio en la consigna en escalón unidad. c) Comparar la tolerancia de las diferentes sintonías a errores en la ganancia, constante de tiempo o tiempo muerto. ¿Cuál de ellas poseee una tolerancia mayor? Problema 9.11. La curva de reacción de un proceso de un sistema de control de temperatura proporciona los siguientes valores K = 10, τ = 2 min y td = 0.1 min . Responder: a) Realizar la sintonía mediante la técnica de Ziegler-Nichols b) Comparar la sintonía anterior con la obtenida con la técnica de Cohen-Coon c) Asumir que los valores obtenidos con el método de la curva de reacción del proceso no son muy fiables. Calcular qué porcentajes de error en los valores de K, τ , y td puede tolerar la sintonía de ZieglerNichols sin vovlerse inestable.

Solución a) Para obtener la curva de reacción de un proceso, hay que abrir el lazo de control (desconectando el controlador). A continuación hay que introducir un cambio en escalón en el elemento final de control. Para ello se puede utilizar un generador de funciones que simule al controlador, de manera que la variable c tenga una forma de escalón. Si se trata de una válvula puede ser algo tan sencillo como abrir o cerrar la válvula con rapidez. Evidentemente el cambio generado debe ser conocido, por ejemplo, en el caso de la válvula se debe conocer el recorrido del émbolo. Como consecuencia en el registrador a la salida del proceso se obtiene la curva de respuesta del proceso, tal como muestra la figura siguiente:

ysp(s)

+

ε(s) −

c(s)

Gc

Gf

f (s)

Gp

y(s) Gm

ym (s)

A partir del análisis de la curva obtenida, siguiendo el método propuesto por Cohen y Coon, se obtiene la función de transferencia de la curva de respuesta del proceso, que engloba la dinámica del elemento final de control, proceso y medidor: ym (s)

Gcrp

c(s)

Los parámetros indicados en el enunciado del problema se han obtenido de esta manera. Por tanto, el lazo de control se puede representar según el siguiente bucle: ysp(s)

+

ε(s) −

Gc

c(s)

Gcrp

ym (s)

9.6 Problemas

151

Para realizar la sintonía del controlador utilizando la técnica de Zielger-Nichols hay que sustituir el controlador existente por un controlador proporcional. A continuación hay que buscar la frecuencia de cruce y la ganancia última del controlador. En este caso la función de transferencia de lazo abierto del bucle de control es: GOL(s) = Kc

10 e−0.1 s 2s + 1

El diagrama de Bode de este lazo de control es: Diagrama de Bode

1 10

RA/Kc

0 10

-1 10

-2 10 0

-2 10

-1 10

-2 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

0 10

1 10

2 10

-100 -200

phi

-300 -400 -500 -600 -700

w

Ampliando la zona de la frecuencia de cruce: Diagrama de Bode

RA/Kc

1 10

0 10

M

-1 10 -60

0 10

1 10

2 10

-80 -100

phi

-120 -140 -160 -180 -200 -220

0 10

1 10

Wco

2 10

w

Gráficamente se observa que la frecuencia de cruce tiene un valor aproximado de 16 rad/min y que M = 0.3, lo que implica que la ganancia última tiene un valor aproximado de 3.3. Aunque el problema se puede resolver gráficamente, se obtienen resultados más exactos resolviendo las ecuaciones. Para ello es necesario conocer la razón de amplitudes y el desfase de la función de transferencia de lazo abierto: 10 1 + 4ω 2 ϕOL = atan( − 2ω) − 0.1ω RAOL = Kc √


152

En primer lugar hay que encontrar la frecuencia de cruce resolviendo la siguiente ecuación: − π = atan( − 2ωco) − 0.1ωco

Se obtiene una frecuencia de cruce:

ωco = 16.02 rad/min Utilizando la frecuencia de cruece se calcula el periodo último (de oscilaciones sostenidas): Pu =

2π = 0.392 min ωco

La ganacia última, aquella que marca el límite de estabilidad (RA = 1), se obtendrá resolviendo la ecuación: 10 1 = Ku p 2 1 + 4ωco La ganacia última es: Ku = 3.206

Al no indicar el problema el tipo de controlador a sintonizar, se supondrá que se trata de un PID. Según los valores recomendados por Ziegler y Nichols la sintonía del controlador será: Ku = 1.89 1.7 P τI = u = 0.196 min 2 Pu = 0.049 min τD = 8 Kc =

b) El cálculo de la sintonía utilizando el método de Cohen y Coon es directo ya que la función de transferencia de la curva de reacción del proceso es conocida. La sintonía del controlador PID será: 1 τ 4 td = 2.69 + Kc = K td 3 4τ t 32 + 6 τd τI = td t = 0.241 min 13 + 8 τd 4 τD = td t = 0.036 min 11 + 2 τd Se puede observar que la sintonía propuesta por el método de Ziegler-Nichols tiene una ganancia proporcional menor. Como compensación la acción integral es más intensa, lo que supondrá una respuesta menos amortiguada (más osicilaciones). c) En el caso de que los parámetros de la curva de respuesta del proceso no sean muy fiables es necesario realizar un estudio de sensibilidad. La función de transferencia de lazo abierto en este caso es: 1 K GOL = 1.89 1 + + 0.049s e−td s 0.196s τs + 1 Por tanto, la razón de amplitudes y el desfase serán: s 2 1 K RAOL = 1.89 0.049ω − +1 √ 0.196ω 1 + τ 2 ω2 1 ϕOL = atan 0.049ω − + atan( − τω) − td ω 0.196ω El lazo de control será estable si RAOL 6 1 para la frecuencia de cruce (ϕOL(ωco) = − π). Como simplificación se va a considerar la influencia de cada uno de los parámetros del proceso por separado. Ganancia del proceso

9.6 Problemas

153

En este caso: s

2 K 1 +1 √ RAOL = 1.89 0.049ω − 0.196ω 1 + 4ω 2 1 + atan( − 2ω) − 0.1ω ϕOL = atan 0.049ω − 0.196ω El diagrama de Bode de este sistema: Diagrama de Bode

3 10

RA

2 10

1 10

0 10

-1 10 -100

-1 10

0 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

1 10

2 10

-120

phi

-140 -160 -180 -200 -220

w

La frecuencia de cruce es ωco = 23.41. La ganancia del proceso que será el límite de estabilidad (RAOL(K) = 1) se obtandrá resolviendo la siguiente ecuación: s 2 1 K 1 = 1.89 0.049ωco − +1 p 2 0.196ωco 1 + 4ωco El valor máximo de ganancia proporcional que hace que el sistema sea estable es 18.15, lo que supone que la ganancia del proceso puede aumentar un 81.5%. Constante de tiempo del proceso En este caso la razón de amplitudes y el desfase del lazo abierto serán: s 2 1 10 RAOL = 1.89 0.049ω − +1 √ 0.196ω 1 + τ 2 ω2 1 ϕOL = atan 0.049ω − + atan( − τω) − 0.1ω 0.196ω El límete de estabilidad vendrá determinado por las siguientes ecuaciones: s 2 1 10 1 = 1.89 0.049 ωco − +1 p 2 0.196 ωco 1 + τu2 ωco 1 − π = atan 0.049 ωco − + atan( − τuωco) − 0.1 ωco 0.196 ωco donde ωco es la frecuencia de cruce y τu es la constante de tiempo límite de estabilidad, ya que se calcula para una razón de amplitudes igual a la unidad para la frecuencia de cruce. La resolución de estas ecuaciones es bastante compleja, de manera que es más sencillo buscar la constante de tiempo última del proceso por tanteo, ya sea utilizando los diagramas de Bode o directamente las ecuaciones. Para una constate de tiempo de 1.1 min se obtiene el siguiente diagrama de Bode:


154

Diagrama de Bode

3 10

RA

2 10

1 10

0 10

-1 10 -80

-1 10

0 10

-1 10

0 10

1 10

2 10

1 10

2 10

-100 -120

phi

-140 -160 -180 -200 -220 -240

w

Se puede apreción que el lazo de control está al límite de estabilidad. Por tanto se puede disminuir la constante de tiempo del proceso hasta un 45% (aproximadamente) manteniendo el sistema estable. Retraso La situación es análoga a las anteriores: s 2 1 10 0.049ω − +1 √ RAOL = 1.89 0.196ω 1 + 4ω 2 1 + atan( − 2ω) − td ω ϕOL = atan 0.049ω − 0.196ω El valor límite del retraso tdu se puede calcular utilizando las siguientes ecuaciones: s 2 1 10 1 = 1.89 0.049ωco − +1 p 2 0.196ωco 1 + 4ωco 1 − π = atan 0.049ωco − + atan( − 2ωco) − tdu ωco 0.196ωco

Resolviendo la primera de las ecuaciones se encuentra la frecuencia de cruce:  p √    ωco = ± 500 20 √ 727254571 + 248647 500    ωco = ±

2199637153 p √ 20 727254571 − 248647 i √ 2199637153

La frecuencia de cruce es un número real y positivo, lo que elimina tres de las soluciones: p √ 500 20 727254571 + 248647 √ = 9.464 rad/min ωco = 2199637153 Sustituyendo en la segunda de las ecuaciones, se obtiene: tdu = 0.164 min El retraso puede aumentar hasta un 64% y el sistema continuará siendo estable.

Capítulo 10 Sistemas de control avanzado Los sistemas de control más habituales en las industrias agroalimentarias son los basados en controladores de tipo PID. Estos controladores proporcionan un rendimiento suficientemente bueno en la mayor parte de las ocasiones, pero hay situaciones en las generan un respuesta adecuada a las necesidades del proceso. En esos casos es necesario recurrir a los sistemas de control avanzado. En este capítulo vamos a ver una descripción cualitativa de algunos de estos sistemas de control avanzado.

10.1 Procesos con retrasos grandes Es un hecho que los retrasos son una de las principales fuentes de inestabilidad de los lazos de control por retroalimentación. Las causas de la inestabilidad son variadas pero se puede destacar las siguientes: 1. Las perturbaciones que entran en el proceso no pueden ser detectadas hasta que ha pasado un periodo significativo de tiempo 2. Las acciones de control se basarán en medidas inadecuadas ya que serán lecturas que ya no son actuales 3. La acción de control requerirá más tiempo hasta que se efecto se siente en el proceso

Con objeto de reducir el impacto negativo de los retrasos grandes se puede utilizar el compensador de Smith. Veamos el sencillo lazo de control de la Figura 10.1. La función de transferencia del proceso

Proceso

Controlador

ysp (s)

+

Gc(s)

−

G(s)

e−td s

y(s) Figura 10.1. Lazo de control con un proceso con un retraso.

es: G p(s) = G(s) e−tds

155

y(s)

Sistemas de control avanzado

156

La respuesta del proceso en función del error es: y(s) = Gc(s) G(s) e−td s ε(s)

(10.1)

La respuesta del proceso tiene un retraso de valor td. Los problemas de inestabilidad se podrían eliminar si se pudiera eliminar dicho retraso de la ecuación. Para eliminar el efecto del retraso se puede utilizar el compensador de Smith, tal como se

Mecanismo de control Proceso

Controlador

ysp (s)

+

−

e−td s

Gc(s)

G(s)

(1 − etd s)G(s)

Compensador de Smith

y(s)

∗

y (s)

+

+

y(s)

Figura 10.2. Lazo de control con un compensador de Smith.

muestra en la Figura 10.2. El compensador trata de predecir el efecto del retraso sobre el sistema para eliminar el efecto negativo. En este caso, la entrada al comparador es y ∗(s): y∗(s) = y(s) + (1 − etd s) G(s) c(s) = y(s) + (1 − etd s) G(s) Gc(s) ε(s) Sustituyendo el valor de y(s), ec. 10.1: y∗(s) = Gc(s) G(s) e−tds ε(s) + (1 − etd s) G(s) Gc(s) ε(s) Operando se obtiene: y ∗(s) = Gc(s) G(s) ε(s) El efecto es que se ha compensado el retraso del proceso, el controlador utiliza datos actuales en lugar de datos antiguos. En cierta manera se puede decir que el efecto del compensador de Smith es eliminar el

Proceso

Controlador

ysp (s)

+

−

Gc(s)

G(s)

e−td s

y(s)

y ∗(s) Figura 10.3. Resultado de la compensación del retraso.

retraso del lazo de control, tal como se muestra en la Figura 10.3. Es importante remarcar que la representación de dicha figura muestra el resultado matemático de la compensación del retraso, no es una representación de la realidad.

10.2 Control en cascada

157

El funcionamiento del compensador de Smith será tan bueno como buena sea la estimación realizada del retraso y de la función de transferencia del proceso.

10.2 Control en cascada El control en cascada se utiliza cuando se tiene una variable manipulable y más de una varaible medida. Consideremos el intercambiador de calor de la Figura 10.4. En este intercambiador se enfría

Alimentación

TT

Consigna

Refrigerante

11111 00000 00000 11111

TC

111111111111111111111111 000000000000000000000000 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 T 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 F 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 T 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 c

Producto

c

Figura 10.4. Intercambiador de calor regulado con un sistema de control por retroalimentación convencional.

una corriente mediante una camisa por la que circula un refrigerante. En el caso de que haya un aumento en la temperatura de la alimentación (T ), el lazo de control medirá ese cambio y actuará en consecuencia aumentando el caudal del refrigerante (Fc) para que disminuya la temperatura T . La regulación es, en este caso, rápida y efectiva. ¿Qué ocurre si el cambio se produce en la temperatura del refrigerante (Tc)? En este caso el sistema de control es mucho menos efectivo. El sistema de control no registra la variación de la temperatura del refrigerante hasta que esta no modifica la temperatura de la alimentación. Este proceso es lento e inconveniente ya que provoca un cambio no deseado en la temperatura del producto que se está enfriando. La solución consiste en utilizar un control en cascada, tal como se muestra en la Figura 10.5. En un sistema de control en cascada hay dos lazos de control que actuan sobre una misma variable manipulable. En este ejemplo, el lazo que mide la temperatura T es el lazo dominante, primario o maestro y utiliza una consigna suministrada por el operador. El segundo lazo de control es que el que mide la temperatura Tc y es el lazo secundario o esclavo. Este lazo utiliza como consigna la salida del lazo de control primario. La ventaja del control en cascada es que si se produce un cambio en la Tc el lazo de control secundario actua con gran rapidez, eliminando la perturbación antes de que afecte a T . Es muy

Sistemas de control avanzado

158

Alimentación

TT

Consigna

TC Consigna TC

111111111111111111111111 000000000000000000000000 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 T 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 TT 000000000000000000000000 111111111111111111111111 T 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 F 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 000000000000000000000000 111111111111111111111111 c

11111 00000 00000 11111

Refrigerante

c

Producto

Figura 10.5. Uso del control en cascada para regular la temperatura del intercambiador de calor del ejemplo.

habitual utilizar el control en cascada cuando se realiza control de caudal. El sistema convencional de control por retroalimentación de este ejemplo se puede mostrar de manera generalizada en la Figura 10.6. Para el ejemplo en cuestión el Proceso II es la camisa del intercambiador de calor y el Proceso I es el interior del intercambiador. Al utilizar un sistema de control en cascada el diagram de bloques que se obtiene es diferente (Figura 10.7). El lazo de control secundario se utiliza para controlar el proceso II y el lazo de control primario controla el proceso I. De esta manera las perturbaciones que afectan al proceso II pueden ser corregidas con rapidez, antes de que puedan alterar al proceso I. Los controladores de los sistemas de control en cascada son reguladores PID estándar. Con frecuencia el controlador secundario es un controlador P o un PI con una acción integral pequeña. El motivo es que no hay problema si se se produce un offset en el control secundario ya que no esel objetivo del sistema de control. Para que funcione correctamente un control en cascada, la dinámica del control secundario debe ser mucho más rápida que la del control primario para que no haya problemas de estabilidad. La sintonía de estos sistemas se realiza en dos pasos. En primer lugar se realiza la sintonía del lazo secundario utilizando cualquiera de los lazos habituales y, a continuación, se sintoniza el lazo primario utilizando los diagramas de Bode.

dII

Consigna

+

−

Controlador

Proceso II

+

+

dI

Proceso I

+

+

Salida controlada

Medidor

Figura 10.6. Representación esquemática del lazo de control por retroalimentación convencional.

10.2 Control en cascada

Figura 10.7. Diagrama de bloques de un sistema de control en cascada.

Lazo primario Lazo secundario

Consigna

+

−

Controlador primario

+

−

Controlador secundario

Proceso II

dII

+

+

dI

Proceso I

+

+

Salida controlada

Medidor

Medidor

159

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