Series Bueno

ALFONZO HERNANDEZ CABRERRA

Planteo de ecuaciones 1.

Calcu lcular limite: 2

=

S

15

a) 1 ") 2 2.

16 225

+

98 3375

suma

+ ....

e) ..

b) &# e) !'

014# + # 4& + & 4( + ... + 0n t3r min os 12

b) !# e) -#!

+i:

5.

-

2

S

8.

2

b)

2

0 , 1)

")

2

2

0 , 1)

;

1

11.

1

+

3× 5

5× 7

+ ..... +

c) 1521

;

1

1 19 × 2

;............hallar

b) 1* e) 28

a12

c) 2!

Calcular el %alor "e:

a) 2# ") 1 10.

-2

1

6n la siguiente P.7.

1,

c) *

c) 8

b) 25 e) 1'21

a) 12 ") 2*

+- /

-2

+

128 64 32

9.

c) 2 02 , 1)

1× 3

1

1 , 2 , # , ! , ... ,  

a) 2 0 , 1)2

1

=

a) 2521 ") 2125

c) 1!

$allar: 1 , 2 , # , ! , ... ,  2

b) ! e) 1*

t3r min os)

$allar el %alor "e:

7.

$alla $allarr el %alo %alorr "e la sigui siguien ente te serie: 2 16 98 544 S = + + + + .... 6 36 216 1296 b) (2 e) #2

+ 22 + #2 + ...0n

a) 2 ") 1

c) !'

$allar la suma "e la serie 1 1 1 S = 1 − + − + 1− 1 3 9 27 81 243

a) !# ") !

Calcular el %alor "e

6.

c) 12

$alla $allarr el %alo %alorr "e la sigui siguien ente te serie: 1 1 1 1 S = + + + + .... 2 6 18 54

a)  ") 1# 4.

+

sigu iguiente

b) 1! e) #

a) #! ") 2( 3.

la

1 3

+

1 9

, ........ ∞

b) #2 b) # e) #

c) ∞

Calcular: 3× 2 6× 3 + P= 6 6 a) 1&55 b) 1 b) 1& &!5 ") 2155 e) *555

+

9× 4

1× 4

4× 7

+

60 ×

6 c) 1'55

$allar el %alor "e: 1 1 1

+

+ ....... +

7 × 10

+ .... +

1 58 × 61

6

a) *5*1 ") &8*1

b) *1*5 e) *1&8

c) 25*1 c) 25*1

n

1 a) 2 1 ") 4

a) 21# ") !&*

b) 1

x +

e) ..

E

= 2+

4 2× 3

a) 1'25 ") 1 ") 1' '&

+

2 2× 3

b) 1'! e) 1'25

+

4 4×5

+ ..

a) 1*2 ") &25

b) (#* e) 85 e) 85

. S n

a) 1&!5 ") 1*!5

=

n( n

20.

c) 1*#5

27

b) 2# e) !&

2

+

c) #2

5 2

( 2.3) b) 12 e) 2

+

7 (3.4)

2

+

9 ( 4.5)

2

+.

c) 1

b) # 1! e) # 1#

c) # 12

b) 12 e) #2

c) #

= + +1+ 2

a) 5 ") 12&*

c) !#

+ ..... + ∞ = 81

Calcular: 1 1

M

 1 1   1 1 1 +  −  +  −  +  −  2 3   4 6   8 1 b) 2# e) #

9

a) 2 ") 1

$allar  1 1 

a) 2 ") 8#

x

$allar la suma "e la serie: 2 4 + + 8 + 16 + ..... 3 9 27 81

21.

22. 16.

x

+ +

a) 1 1! ") # #!

2

c) 1#2

$allar la suma "e la serie: 3 3 3 3 S = 3 + + + + + ..... 5 25 125 625

+ 1)

b) 1*25 e) 1*&5

3

(1.2) a) 5 ") 

c) 125

Calcular: +1,+2,+#,?..,+1',+25 +i

x

Operar: 3

19.

c) 251'

Calcular el %alor "e <=> en: 4 + 12 + 20 + ..... + 156 M= 20

14.

b) *( e) &#!

a) 1 ") &!

Calcular:

13.

2

Resol%er:

18.

2 c) 3

∑ = i 1

1 1 1 , , ......es : 2 12 48

15.

Resol%er:

17.

a suma "e la progresi;n infinita

12.

La PRE T PRE Tu u academia… i (i + 1) i −1 x

4

8

1 16

b) 1*! e) .

+ ......∞ c) 1

Calcular

23.

S

1

1

1

1

1

1

2

2

4

3

4

8

= 3 +1+ +1+ + + + +



∞

a) *5*1 ") &8*1

b) *1*5 e) *1&8

c) 25*1 c) 25*1

n

1 a) 2 1 ") 4

a) 21# ") !&*

b) 1

x +

e) ..

E

= 2+

4 2× 3

a) 1'25 ") 1 ") 1' '&

+

2 2× 3

b) 1'! e) 1'25

+

4 4×5

+ ..

a) 1*2 ") &25

b) (#* e) 85 e) 85

. S n

a) 1&!5 ") 1*!5

=

n( n

20.

c) 1*#5

27

b) 2# e) !&

2

+

c) #2

5 2

( 2.3) b) 12 e) 2

+

7 (3.4)

2

+

9 ( 4.5)

2

+.

c) 1

b) # 1! e) # 1#

c) # 12

b) 12 e) #2

c) #

= + +1+ 2

a) 5 ") 12&*

c) !#

+ ..... + ∞ = 81

Calcular: 1 1

M

 1 1   1 1 1 +  −  +  −  +  −  2 3   4 6   8 1 b) 2# e) #

9

a) 2 ") 1

$allar  1 1 

a) 2 ") 8#

x

$allar la suma "e la serie: 2 4 + + 8 + 16 + ..... 3 9 27 81

21.

22. 16.

x

+ +

a) 1 1! ") # #!

2

c) 1#2

$allar la suma "e la serie: 3 3 3 3 S = 3 + + + + + ..... 5 25 125 625

+ 1)

b) 1*25 e) 1*&5

3

(1.2) a) 5 ") 

c) 125

Calcular: +1,+2,+#,?..,+1',+25 +i

x

Operar: 3

19.

c) 251'

Calcular el %alor "e <=> en: 4 + 12 + 20 + ..... + 156 M= 20

14.

b) *( e) &#!

a) 1 ") &!

Calcular:

13.

2

Resol%er:

18.

2 c) 3

∑ = i 1

1 1 1 , , ......es : 2 12 48

15.

Resol%er:

17.

a suma "e la progresi;n infinita

12.

La PRE T PRE Tu u academia… i (i + 1) i −1 x

4

8

1 16

b) 1*! e) .

+ ......∞ c) 1

Calcular

23.

S

1

1

1

1

1

1

2

2

4

3

4

8

= 3 +1+ +1+ + + + +



∞

a) 1&! ") 1#( 24.

b) 1&( e) 1&2

La PRE T PRE Tu u academia…

c) 1#! 31.

+i +m el la suma "e m t3rminos S 2m − S m en una P.. Calcular:

a) (2' ") (#'

S 3m

32.

a) 1 ") 1#

b) 2 e) 12

c) # 33.

∞

25.

∑

Calcular

2n

+ (−1) n

a) 1! ") (! 26.

b) #! e) '!

34.

6n la siguiente P.7. 1

;

1

1

;

128 64 32

a) 12 ") 2* 27.

c) !(

b) 1* e) 28

c) 2! 35.

Calcular:

2 + 3 2 2 + 32 23 + 33 + + + ....... 2 3 6 6 6 a) 12 ") 1 28.

29.

+i:

b) #2 e) 2 an

=

n

−1

Operar

∞

∑

a) 12 ") (2 Calcular a) -#( ") 1(

37.

( 2 n +1

b) #2 e) '2 ∞

1 − 1)    3   c) 2

n

c) #(

39.

c) &8&

b) * e) ..

c) (

b) 25 e) *1

c) #5

Calcular la suma: +  2 , ! , * , 8 ,........., 15! b) 11!* e) 885

c) 15 85

$allar la suma "e los 25 primeros n@meros impares. a) 212 ") '5

2n

 − 1   3      ∑ 3   2   n=0

b) -1( e) -2(

38.

b) 8'& e) 85&

$allar <4>: 1 , # , & , ( , ...... , 4  '55

a) 12&8 ") 2(&*

n

c) 1'

+A: Sn = 3n 2 + 2n . Calcule la raon.

a) &' a) & ' ") !'

$allar la suma

b ) 18 e ) 21

$allar la suma "e los 18 primeros m@ltiplos positi%os "e &.

a) & ") 8 36.

2 "e los 25 primeros t3rminos. a) '5 b) '& c) 155 ") 15& e) 115

n =0

30.

c) &2

c) 8#'

$alle el n@mero "e t3rminos en: !/ 12/ 2*/ !*/ ......./ 1182

a) 8&& ") &&&

;............hallar

b) 82' e) (28

$allar la suma: ( , 1! , 21 , 28 , ... , 112

a) 1( ") 25

3n

n=0

Calcular: 1 , # , & , ( , ' , ... , &#

b) !!! e) !55

c) !15

$allar la suma "e la serie lineal 1 , ( , 1# , 1' , 2& ,....., ##(

a) '*#! ") '*#1 40.

41.

42.

$allar la suma "e la serie: 1 , 2 , ! , ( , 11 , .... , #51 a) 2&*5 b) 2*2& c) 2*25 ") 2*&5 e) 2*85 Calcular 4 en: a) 1*( ") &*#

44.

45.

b) #581 e) #8

b) #& #&5 e) :

b) 8*5 e) 8((

b) 28(5 e) ..

51.

c) #* #*5 53.

a) n2,2n

b) n2,!n

b) 1'/ * e) 2/ 2&

c) 2&/ *

$allar el %alor "e + +  14! , 24& , #4* , ... , 2542# b) #581 e) #815

c) #185

a "iferencia entre el primero H el @ltimo "e #& impares consecuti%os es: a) (* b) #& c) (2 ") *8 e) (5 +umar 6  1# , ## , &# , (# , ... , 15 # a) 1! 1 ! !55 c) 1& 1& *55 e) * !55 b) 25 51' ") !! 555

c) 85( 54.

$allar la suma "e: 1& , 1* , 1( , 18 , .... , 11& 11& a) *!&5 ") *&&5

c) 255

c) n2-2n

c) 2&/#

Calcular 6. 6  5/1,5/#,5/&,5/(, ....... , 2/'

a) #&55 ") #181 52.

c) 9#(21

Calcular 6  5/551 , 5/552 , .......... , 5/522

a) 22/ & ") 1*/ '

c) #185

+ea la sucesi;n: D#/ 8/ 1&/ 2!/ #&/ !8?E. $allar el en3simo t3rmino.

b) ,#(25 e) 9#21(

a) 2&#1555 b) b) 2&# ") 2/&# e) ..

c) (#!

 qu3 qu3 es igual + en: +  1 , ! , ' , 1* , ........ , !55 a) 2555 ") !55

47.

49.

Calcular: 2 , ! , * , 8 , ... , &8 a) 8&5 ") 8(5

46.

b) (8 e) 2!2&

F qu3 es igual +G. +  -# 9 & 9 ( 9' - 11 11 - ....... 9 121 a) 9 #(25 ") 9!2&1

+ x 3 + x 4 ..... + ∞ = 25

$allar la suma "e los 155 primeros enteros positi%os m@ltiplos "e (. a) #! #!5 ") #( #(5

48.

50.

$alla $allarr el %alo %alorr "e la sigui siguien ente te serie: 1 , 2 , * , 12 , 25 , ........., !25 a) #585 ") #181

") n2-!n

c) '*#2

Calcular el %alor "e la siguiente suma: 1& , 1* , 1( , 18 , ... , '* a) #585 b) #581 c) #185 ") #181 e) !&&1

1 + x + x 2

43.

b) '*## e) '*#5

La PRE T PRE Tu u academia… e) n2,&n

55.

b) *&*& e) *&!5

c) *&55

$allar si: 1 + 2 + 3 + ..... + n = aaa

a) #& ") #8

b) #* e) #'

c) #(

56.

Calcular: 1.2.# , 2.#.! , ?? , 15.11.12 a) !2'5 ") #!&*

57.

b) !#'5 e) ..

b) 11 e) 2(

b)1555 e) '(51

c)155(

c) n0n,1)2 ") n0n , 1)

66.

Calcular si: i

67.

68.

− 3) = 1410

62.

b) 21 e) 2# ∞

∑ (10t )

i

= 1993

i =0

a) ''*''*&

b) ''*''(&

b) #25# e) #55#

c) #21#

FJu3 termino contin@a en la sucesi;nG 2/ (/ &(/ ........

69.

b) ##5( e) ##5&

c) ##58

Calcule el n@mero "e t3rminos "e la siguiente sucesi;n. 2/ '/ 22/ !1/ **/ ........./ 182* a) 25 ") 2&

c) 22

Calcular el %alor "e t en:

c) -2&

Calcular el %alor "e: +  14155 , 24'' , #4'8 , ... sabien"o que son &5 t3rminos

a) ##5& ") ##5'

i =1

a) 25 ") 2#

b) -2# e) -2!

a) 85 555 c) 85 855 e) 8& 8&5 b) 85 &55 ") 85 8&5

n

∑ (7

c) 28/(&

Calcular: ' , 12 , 18 , 2! , 2( , #* , #* , , !8 , ... , 1&# , 25!. a) #215 ") #51#

6n una progresi;n geom3trica/ si q I 5 / entonces. a) la progresi;n en ascen"ente. b) la progresi;n es "escen"ente. c) la progresi;n es oscilante. ") pue"e ser "escente o ascen"ente. e) o menciona"o.

61.

65.

b) 2&/* e) #2/&

+i: DamE es una sucesi;n tal que: a1! a2  -& H am,22am,1 9#am obtener a!. a) -2' ") -1'

Calcular la suma "e los primeros n@meros m@ltiplos positi%os "e <>. a) n0,1)2 b) n0,1)2 e) ..

60.

c) #&

64.

Calcular: 6 97 x98 x99 x100 + 1 a) '555 ") '(55

Calcular +15 en la P.. creciente 24/ !42/ 1/?. a) 2#/& ") !&/#

+ # + & + ... + !')5/1+ 5/2 + 5/# +..

a) 15 ") !2

59.

c) !!'5

63.

+implificar: !2 01

58.

c) ''*'8*& e) '8*''*&

La PRE Tu ") academia… ''(''*&

b) #& e) 1&

c) 12

Calcular <=>: =  1K& , 2K* , #K( , !K8 , .... , 25K2! a) 28(5

b) #(15

c) #

") #8#5 70.

b) 1''55 e) 1'855

b) *#! e) 815

b) 1!5 e) 111

c) !5155

a) !5& ") !&5 78.

79.

80.

6n una P.7. se tiene: N1#  */(&  N8  8' $allar N1&: b) #!11* e) ..

a suma "e la serie: 1422 , 242# , #42! , !42& ,....., &542&1 es:

82.

b) 8 e) 2#

c) 1&

FCuntos t3rminos tiene la sucesi;n: 1 ! ( 1* .... 222( b) 1& e) 1(

c) 1#

FCuntos t3rminos tiene sucesi;n: 1# 25 2( #! ..... #'1G a) && ") &8

c) 1*2!#

c) #n  2 ") 0n , 1)  2

+i ÷ a1 . a2 . a# ... es un P.. talque: a#  8 H a8  # Calcular 0a15)2 , a15 , #

a) 1! ") 1* 81.

c) #55

6n la siguiente ecuaci;n: 04,1),04,2),04,#), .... ,04,n)n2/ n entero positi%o/ el %alor "e 4 es:

a) # ") &

c) 158

50 cifras

b) #&5 e) !55

a) 0n 9 1)  2 b) n  2 e) 02n , 1)  2

+umar: 1424# , 24#4! , #4!4& , !4&4* , ? , 1'425421

a) 2!#1* ") 1*#!# 76.

50 cifras

c) (21

a) !# 855 c) !& '85 e)!& '55 b) !& 8'5 ") !# 8'5 75.

$allar la suma "e las cifras "el pro"ucto siguiente:

P = 77  ...  777  x999   ...999 

Calcular el %alor "e = H "ar como respuesta la suma "e las cifras : =  0************)M a) 152 ") 115

74.

c) 2'5

Leterminar el %alor "e la serie: +  & , 8 , 11 , 1! , ..... 025 suman"os) a) &25 ") *(5

73.

b) 1#& e) #1&

77.

$allar la suma "e los 155 primeros t3rminos "e la siguiente serie: +  1 , & , ' , 1# , ..... a) !5555 ") #'855

72.

a) !' 4 2&*,! c) !' 4 2&2,! e) !' 4 222,*

Calcular el %alor "e:   1 , 2 , - # , ! , & - * , ..... 0#5 t3rminos) a) 1#5 ") 2!&

71.

e) #&55

La PRE Tu academia… b) !' 4 2&&,! ") !' 4 2&*,#

b) &* e) &'

la

c) &(

FCul es la suma "e los #5 primeros t3rminos "e la serieG 12 , 1* , 25 , 2! , ..... a) 2125

b) 21#5

c) 2155

83.

") 21&5 e) 21!5 $allar la f;rmula "e recurrencia "e la sucesi;n: * 1& 28 !& ..... a) tn#n2,#n,1 c) tn2n2,#n,1 e) tn2n2,n,#

84.

a) 11*** ") 11*!5 90.

b) tn2n2,#n,! ") tn2n2,n,1

91.

a) 8!# ") #8! 85.

b) 8!& e) !8#

c) 8#!

92.

86.

c) #5!5

b) *&&2 e) *&2

93.

b) & e) 8

+ea la sucesi;n "efini"a por: a1  #51 an  an 9 1 , 20n - 1). $allar : a b) 252 e) #5&

301

c) #51

Para ca"a entero positi%o calcular el %alor "e: (1 + 2 + 3 + ..... + n ) 2 − (13 + 23 + 33 a) n 2 ( n + 1) 2

b)

c)

") 5

n3( n

c) *2&&

+ 1) 2 n ( n + 1)

e) 91

+i: 1 , 2 , # , ! , .........., 4  '1 1 , # , & , ( , .........., H  28' $allar #4 - H a) ! ") (

89.

b) !#!5 e) #!!5

c) 1

$allar la suma "e los &5 primeros t3rminos "e: -&/ -1#/ -21 ........................

a) 251 ") #52

$allar el t3rmino que ocupa el lugar #5 en la sucesi;n: -2 5 5 5 2 8 .... a) *&2& ") *2&5

88.

c) *2!

Calcular <+> en: +  1 , 1 , ! , 15 , 1' , .... 025 suman"os) a) #!#5 ") ##!5

87.

b) *22 e) *#5

b) #2 e) &2

a) -12 555 b) -11 8&5 c)-15 5&5 ") -'5 '55 e) -8 555

Calcular la suma "e la serie: 01 , 2) , 02 , #) , 0# , !) ,....., 02! , 2&) a) *25 ") *28

Calcular el %alor "e la siguiente serie: 1 2 3 4 E = + + + + .... 2 8 28 77 a) 2 ") (!

Calcular el t3rmino #5 "e la sucesi;n: 2 # * 11 .....

La PRE Tu academia… b) 1*1** c) 11**& e) 11*&5

94.

c) *

FCul es el t3rmino que ocupa el lugar 25 en la sucesi;nG -1 1 # 1( .....

+i +n  1 , 2, # , .......... ,n Calcular: +1 , +2 , +# , .............,+ 25 a) 1&!5 ") !55

95.

b) 1*15 e) ..

c) 2555

+ea: 4n(n2 , !n , ' allar la suma "e los t3rminos "e la sucesi;n: y n = x n+1 – x n

+ .....

") !28 a) n ,(n ,2'n c) (n#,n2,2'n e) (n#,(n2,'n #

96.

2

b) (n ,18n ") 'n#,(n2,2'n

97.

2

$allar el pro"ucto "e los n primeros t3rminos "e la siguiente sucesi;n:  22 ## !! ?  n n/ para Q5 a) n0n,1)2 c) nn0n,1)2 e) nn2

102.

103.

b) n ") nn

Cuntos t3rminos sern necesarios en la P.: 2!/ 22/ 25/ ?? para que sumen 1&5.

104.

$allar la suma "e los n primeros t3rminos "e la sucesi;n: #/ 8/ 1#/ ???

$allar la suma "e la serie: 01 , 2 , #),02 , # , !),0# , ! , &),.....,0#5 , #1, #2) a) 1!*& ") 1!85

100.

b) 1!(5 e) 1!8&

b)(25 e) &!5

c) *55

$allar el t3rmino "e lugar *5 "e la sucesi;n: 1& 22 2' #* .... a) !#5

b) !#*

106.

c) !!&

108.

109.

c) (55*

b) 1#&5 e) 1#25

c) 12&5

b) &'#5 e) !2#5

c) !##5

$allar la suma "e la serie: ! , ( , 15 , 1# , 1* , ... 0*5 suman"os) a) &!!5 ") !!!5

107.

b) (55& e) (558

$allar la suma "e los 25 primeros t3rminos "e la serie: 2 , # , ' , 25 , #* , ..... a) !!#& ") !!#5

c) 1!(&

Calcular la suma "e los 25 primeros t3rminos "e: 1# , 1& , 1( , 1' , ..... a) *85 ") *!5

101.

b) 01,&n)2 ") 01,&n)n#

c) 15*5

$allar la suma "e los 25 primeros t3rminos "e las serie: 1 , 8 , 1& , 22 , 2' , .... a) 1 ") 12!5

105.

b) 15!5 e) 1155

$allar la suma "e los !8 primeros t3rminos "e la serie: & , 11 , 1( , 2# , 2' , ...... a) (55! ") (55(

a) 01,&n)n2 c)02,&n)n2 e) 01,2n)n2 99.

$allar la suma "e los primeros !5 t3rminos "e: 18 , & , 25 , ( , 22 , ' , ...... a) 1225 ") 1585

a) ( ; 21 b) 8 ; 18 c) ' ; 1* ") 15 ; 1& e) 11 ; 1* 98.

La PRE Tu e) !&5 academia…

b) &&!5 e) ***5

c) &&&5

6l tercer t3rmino "e una progresi;n aritm3tica es 18 H el s3ptimo/ #5 . Calcular la ra;n. a suma "e # n@meros en progresi;n aritm3tica es 2( H su pro"ucto/ &5!. $allar uno "e ellos. +i la suma "e # n@meros en progresi;n aritm3tica es 1&5/ calcular el t3rmino central.

110.

a suma "e los seis primeros t3rminos "e una progresi;n aritm3tica es &(. +i el primer t3rmino es 2/ el cuarto es: a) & ") 1#

b) ' e) 1&

116.

a) ' !&5 b) ' '55

c) 11 117.

111.

+i se interpola cinco me"ias geom3tricas entre 8 H &8#2/ el quinto t3rmino "e la progresi;n total es: a) !*8 ") 8*!

112.

b) 9# e) -1

114.

118.

120.

)

2

")

3

2

5

c) (

121.

c) &

2

c) e)

4

2 2

+i se aumenta una misma canti"a" a los n@meros 25 &5 H 155 se forma una P.7. Le ra;n: a) 12 ") 1#

La"a la siguiente progresi;n geom3trica: 2 x , 2 2 x −1 ,4 3 x − 2 . Calcular la ra;n. b)

b) * e) -25

c) (1

b) # e) (

6

c) 1(' 855 ") 1(' *55

+i la suma "e ! t3rminos en una P. es 1*/ calcular el pro"ucto "el maHor H menor. a) & ") 8

+i la suma "e los n t3rminos "e 3 una P.. es Sn = n 2 + n / 2 calcular la ra;n:

a)

c) (5

$allar la suma los 255 maHores n@meros que se representan con tres cifras. a) 1(' '55 b) 185 555 e) 185 '55

119.

(

115.

b) 25 e) *5

c) 2

b) (5 e) (#

a) 1 ") *

e) ! &55

c) *!5

+e interpolan siete me"ios geom3tricos entre # H !8. allar el pro"ucto "el 2º H !º t3rmino. a) *' ") #*

c) ' 555 ") ! '&5

a suma "e los primeros n@meros impares es '55/ por lo tanto/ Fcul es el %alor "e G a) #5 ") '5

6l / !to. N3rmino "e una progresi;n aritm3tica es ' H el no%eno t3rmino es 9*/ la ra;n r %ale. a) # ") 92

113.

b) *!8 e) 82!

La PRE Tu academia… $allar la suma "e los n@meros naturales que se representan con una o "os cifras.

b) !# e) 2#

os ! me"ios geom3tricas interpola"os entre 1*5 H & "e una progresi;n geom3trica son: a) &/ 15/ 25/ !5 c) 85/ !5/ 25/ 15 e) '&/ &&/ #&/ 1&

122.

c) &#

b) 15/#5/ *5/ '5 ") 125/'5/*5/#5

Snterpolar un me"io geom3trico entre 2 H 2'. Lar como respuesta "ico t3rmino.

123.

124.

Calcular la suma "e los cua"ra"os "e los 15 primeros n@mero pares positi%os

7

2 7

2

+

1 7

3

e)

5 130.

c) #(&

131.

7

4

+

1 7

5

+

2 7

6

a) 2 ") #

132.

+i M 7 / N 2 H P 2 estn en P7/ calcular: ( M 7 , N 2 , P 2 )( M 7 - N 2 , P 2 ) b) M 14+ N 42 + P 6 ") M 14+ N 4+ P 61

Calcular la suma "e los 15 primeros t3rminos "e la sucesi;n

a) *# 1&1* c) *# 7 / 4 e) *# 7 / 8

c) 11

Calcular el %alor "e la siguiente e4presi;n:

c) 2#

 32   n −1  2 

: 1 : #4 9 #

b) 1 e) 8

b) 1! e) 12&

a) M 14+ N 4+ P 62 c) M 14+ N 41+ P 6 e) M 14+ N 4+ P 4

...

c) 1#2

a suma "e la progresi;n infinita siguiente: 1 1 1 , , ;............es 3 12 48 a)12 ") !'

c) 15

2

5 6n+1 − 5n − 6

Calcular 4 en la progresi;n geom3trica: 2x

")

6n+1 − 5n − 5

b) ##2 e) #1*

1

129.

+

5 6n+1 + 5n − 6

5

b) & e) 8

a) 18 ") 11* 128.

c)

Calcular la suma "e los infinitos t3rminos "a"os:

+

b)

6n +1 − 5n − 1

uego "e interpolar # me"ios geom3tricos entre & H #12& se obtiene una ra;n igual a:

1

6n+1 − 5n 5

b) !# d)

b) *!5 e) #(5

a) 2 ") ' 127.

a)

+i se interpolan cinco me"ios geom3tricos en 8 H &8#2/el quinto t3rmino "e la progresi;n total es: a) *!8 ") #(2

126.

n cifras

+i el proceso "e crecimiento continua in"efini"amente/ el limite "e la longitu" "el segmento es:

a) 12 c) 8# 1 (4 + 2 ) 2 1 e) ( 4 + 2 ) 3 125.

La PRE Tu 6  & , && 0*) , &&&0*)academia… , .... , &...&& 0*)

133.

b) *# 9 / 8 ") *# 5 / 4

DanE en una sucesi;n que %erifica a1  2

an

9 1



2a n

+1

2

La PRE Tu # , ## , ###academia… , ...... ,

, ∀n . Calcular:

333 .... 333   "n" cifras

a2555

2002 b) 3

a) 2551

2004 5 2005 ") 2 134.

n ( 10 a)

c)

n 0n + 1) 2

(10n +1 + 9n − 10) 27

e)

2003 4

n +1 ( 10 − 9n − 10) c) 27 (10n +1.9n + 10) n ( 10 e)

n 0n − 1)

c)

b)

2

")

a me"i"a "e los la"os "e un tringulo estn en P.7. "e ra;n r luego lo %er"a"ero es: a) 1I r

n 2 0n + 1)

2

e) n 0n92)

b)

2 n 0#n − ()

2 0#n − 2)

c)

Calcule el %alor en la siguiente serie:

2 138.

< r < 1 ")

5 +1 2

5 −1

e)

2

")

b)

5 −1 <1 2

0 < r <

0#n + 2)

2 e) .. 136.

c)

a suma "e to"os los n@meros "e la forma # , 2 para   1 2 # ... n es: n 0#n + ()

−1

5

!

a)

− 9n + 10) 27

2

135.

")

27

137.

n 2 0n + 1)

b)

27

6l 1er t3rmino "e una P.. es / el n@mero "e t3rminos H la ra;n . Calcular la suma. a)

− 9n − 10)

< r <

5 +1 2

6n la progresi;n geom3trica 1 1 , x, ... $allar la suma "e 2 16 los * primeros t3rminos. a) 2' 9 1 2 29 29 2 2

(

b)

−1 − 1)

9

−1 ") 2 2 −1 9 2 −1 e) 9 2 ( 2 2 − 1) 2 2

c)

139.

= +

6 a) 2# ") &#

,

3

36

1

,

+

216 b) 1 e) (*

+

144.

a)

la la

+ ....

1296 c) #2

145.

b) 2# e) .

146.

147.

La"o: 2

3

 1   1   1  S = 1 + 2   + 3   + 4   2   2   2 

6l %alor "e <+> es a) 1 1! ") ! 143.

b) 2 e) #

148.

$allar la canti"a" "e ceros finales que tiene el "esarrollo "e la siguiente e4presi;n:

1 2

1 e) 3 2

c) 3

1 2

1 2

b) ' e) 1&

c) 15

b) #8 e) (!

que

c) (2

a suma "e 1 , 2 , # , ? , n es un cua"ra"o perfecto 0P2)/ sien"o P maHor que 1 H menor que &5. 6ntonces
es: a) 8 ") &

c) 8#

5

6n la sucesi;n ( 1# 1' 2& #1 .... FCul es el tercer t3rmino termina en cifra #G a) #( ") (#

c) *

b)

a suma "el tercer H octa%o t3rmino "e una P.. es !1 H la relaci;n "el quinto al s3ptimo es 1'2&. $allar el segun"o t3rmino. a) ( ") 1#

.................... ....

Calcular la suma "e la serie in"efini"a: 3 7 15 31 + + + + ..... 4 16 64 256

1 2

") 15

2

a) &2 ") # 142.

−1

Calcular el se4to t3rmino en la progresi;n aritm3tica: 1

141.

9

$allar el %alor "e con%ergencia 0suma) "e siguiente serie: 5 13 35 97 S

140.

2 2

La PRE Tu academia… a suma "e los t3rminos "e una P.7. "ecreciente e ilimita"a es igual al "oble "e la suma "e los & primeros t3rminos. $allar la ra;n.

b) ( e) !

c) *

Calcular el %alor "e <6> H "ar como respuesta la suma "e sus cifras. 6  0###....###!)M en total 151 cifras.

m

012#!&*(8'5 55...555)          

a) *( b) *55 ") no se pue"e

n cifras

a) 0n 9 ') b) m0n 9 ') e) mn , '

c) mn ") m0n , ')

149.

c) *5(

a suma "e los &5 n@meros naturales consecuti%os es 

150.

entonces la suma "e los &5 siguientes es:

La PRE Tu academia… entonces la suma "e los 15 primeros t3rminos es:

a)  , &5 ") &555

a) !a2 9 # ") 8a2 , !

b) ,2&55 c),2&555 e) 2&55

+i el quinto H octa%o t3rmino "e un P.7. son &a H 8a . respecti%amente. FCul es la ra;nG a) 2/&

3

10, 4

c) 5/! 3 5 e) 5/2 151.

3

155.

")

23

8 5

156.

5

157.

a) 1# - ! - : 1*  - *! b) 15 - ! - : 1*  - *! c) 1# , ! - : 1* - *! ") 15 , ! - : 1*  - *! e) .. 152.

a) #2 ") &2 153.

c) 12

a "iferencia "el tercer t3rmino menos el se4to t3rmino "e una P.7. es 2* H el cociente 2(. calcular el primer t3rmino. a) 2!& ") 1'

154.

b) 22 e) !2

b) 2#! e) &'

158.

c) 2!#

+A se sabe que a/ a 2 H #V son los tres primeros t3rminos "e una P..

b) # e) '

c) &

+ea la P.7. ' 18 #* ..........$allar la suma "e t3rminos consecuti%os "e esta progresi;n cuHo pro"ucto es !1!(2 b) 1!! e) ##2

c)

a sucesi;n: 5 ( 2* *# 12! ... t#5 Niene #5 t3rminos. FCul es el @ltimo t3rminoG a) 2*''' ") 2*(85

160.

b) 255 : !5 : 8 ") 125 : !5 : 8

Calcular la ra;n 0 r ) "e una P.7. cuHo 1W t3rmino es (/ el @ltimo es &*( H la suma "e to"os los t3rminos es 8!(

a) 288 ") !#2 159.

c) 12

6n una progresi;n geom3trica "e tres t3rminos/ la suma "e ellos es 2!8 su pro"ucto *!/555 escribe la progresi;n.

a)1 ") (

Un n@mero m@ltiplo "e ' tiene * cifras que estn en P.. creciente. $alle el pro"ucto "e las "os @ltimas cifras.

b) 11 e) 1!

a) 215 : #5 : 8 c) 225 : 25 : ! e) ..

6n una progresi;n geom3trica "e cuatro t3rminos/ es pro"ucto "e ellos es !/5'* H el tercer t3rmino es 1*/ escribe la progresi;n.

c) 115

+i la suma "e los primeros n@meros enteros positi%os es (25 "e la suma "e los siguientes alle . a) 15 ") 1#

b) 0,4 3 25

b) 8! e) ..

+i:

b) 2*888 e) 2*(''

c) 2*(8'

= (−1) + 1 S = A1 + A2 + ... + A Hallar : S 21 − S 20 An

n

n

a) 2( ") 5 161.

162.

b) 25 e) 15

b) '* e) 151

b) ! e) 8

167.

c) 1 168.

169.

c) 155

a suma "e 81 n@meros pares consecuti%os es igual a 1(1 %eces el primer n@mero. $allar la suma "e las cifras "el t3rmino central. a) & ") (

163.

n

La"a la siguiente sucesi;n: */ 1&/ 2!/ ##/ !2/ ........ FCuntos "e sus t3rminos ten"rn # cifrasG a) '' ") '8

La PRE Tu academia… #/ */ '/ ......................

c) '

170.

171.

Proporcionar la suma "e to"os los n@meros menores que la uni"a" en: b) 11/**! e) n.a.

c) 12/**!

Calcular el n@mero "e t3rminos "e una P.7. "e ra;n 2/ sien"o 18' la suma "e ellos H 1228& la suma "e sus cua"ra"os. a) 12 ") *

b) 15 e) ..

166.

c) 8

Calcular la ra;n "e una progresi;n aritm3tica/ sabien"o que el t3rmino !2 es & H el primer t3rmino es 1. 6n la siguiente progresi;n aritm3tica/ calcular el t3rmino que ocupa el lugar #2.

Calcular la suma "e los ! primeros t3rminos "e la progresi;n geom3trica siguiente: 2# : 1 : ...................... Snterpolar tres me"ios proporcionales entre ab H ab. Lar el tercer t3rmino "e la P.7 obteni"a. c) a b e) ab2

+e tiene la siguiente sucesi;n: 4,1/ 4,!/ 4,2(/ 4,2&*/ .... $allar el se4to t3rmino cuan"o 4  90#*)#. b) # e) 2

c) 5

$allar  , B - C   1 , 2 , # , ..........., 25 B  2 , ! , * , ..........., 18 C  1 , # , & , ..........., 1& a) #*! ") !!*

174.

b) b

a b b

a) & ") 1 173.

165.

$allar tres n@meros en progresi;n geom3trica/ cuHa suma sea 1' H cuHo pro"ucto sea 21*. Lar uno "e ellos.

") 172.

164.

+e sabe que el quinto t3rmino "e una progresi;n geom3trica es 2 H el un"3cimo es 128. Calcular el %alor "e la ra;n.

a) a

÷ (0,003).(0,045).(0,087)...

a) 15/55 ") 1#/**!

Calcular el n@mero "e me"ios aritm3ticos "e la siguiente progresi;n aritm3tica: -& / -2 /............... / 1'

b) !88 e) 2#*

$allar  . B . C

c) #'(

  ! , 2 , 1 , 12 ,........ B  ' , * , ! , 8# , ....... C  1# , 1# 2 ,1## , 1#! , ..... a) 21* ") 12 175.

b) 158 e) &!

176.

177.

a) 1555 ") 8(&

b) 1* e) 1!

a) #5 ") ##

b) 2 e) 9#

c) (&5

b) #1 e) #!

c) #2

a suma "e los * primeros t3rminos "e una P.7 es igual a ' %eces la suma "e los # primeros t3rminos entonces la ra;n es:

182.

c) 15

a) 2 ") (

a suma "e los & t3rminos "e una P.. creciente es 9& H la suma "e sus cua"ra"os es !& calcular el segun"o t3rmino. a) 91 ") #

b) (55 e) 12&5

a suma "e los 11 t3rminos "e una progresi;n aritm3tica creciente es: 1(* la "iferencia "e los e4tremos es #5. FCul es el @ltimo t3rminoG

181.

c) &5m , 155 ) &5m , 15&

uego "e interpolar # me"ios aritm3ticos entre * H #5/ se forma una progresi;n "e & t3rminos cuHo t3rmino central es. a) 18 ") 1'

180.

c) #*

+i es un n@mero impar/ Fcul ser la suma "e los 15 primeros impares consecuti%os que siguen a: &m , 1G a) 2m , (5 b) &5m , '5 e) &5m , 115

La PRE Tu academia… 6n una progresi;n aritm3tica "e 2& t3rminos/ el "3cimo tercero es igual a #5. a suma "e to"os los t3rminos "e la progresi;n es entonces:

b) # e) '

c) !

c) 92

SERIES 178.

+i  H B representan las sumas respecti%as "e los pares positi%os e impares positi%os no maHores que 1 555/ calcular  9 B. a) &51 ") '''

179.

b) &55 e) 1 555

c) !''

Nres n@meros "e una progresi;n aritm3tica creciente "an por pro"ucto: 1**!5 el menor es 25. FCul es la sumaG a) (8 ") &*

b) *8 e) ..

Sucesiones aritméticas de orden superior La"a la sucesi;n a1/ a2/ a#/ a!/ a&/ ?? 1er or"en 1 1 1 1 X1 X2 X# X! 2er or"en 2 2 2 X1 X2 X# #er or"en # # X1 X2

c) 88

an

n − 1 2  n − 1 3  n −    = a1 + ∆1  + ∆1  + ∆1     1   2   3 1

S n

183.

=

n  2  n  3   n   1   + ∆1   + ∆1   + ∆1      1   2   3  

a1 

188.

Nres t3rminos consecuti%os "e una progresi;n aritm3tica creciente tienen como suma !2 H como pro"ucto 2*88. Leterminar el tercer t3rmino.

a) # & H ( c) # * H ' e) # ! H ' 189.

a) 12 ") 1* 184.

b) 1# e) 2#

190.

c) 15

191.

c) 

b) 2&5& e) !2 '2&

c) &55

6n una P.7. creciente/ la suma "e sus cuatro t3rminos es igual a !& H la suma "e sus cua"ra"os es igual a (*&/ el octa%o t3rmino "e esta progresi;n es: a) '* ") (*8

b) 1'2 e) 1&#*

c) #8!

+i las siguientes sucesiones son iguales:  { 11-a/ !5-b/ 1&-c/ e-' } B  { a-1&/ b-#5/ (,(c/ 1*-f } $allar < e-f >.

193.

b) #1 e) !#

c) #2

os elementos 4/ 15H/ & conforman una P.. cuHa suma es 1&.  su %e 4/ 15H,1/ &0,1) forman una P.7. "e suma 21. +i 5 I 4 I 15/ allar . a) 2&& ") 28&

192.

b) 1 & H ' ") # ( H 11

$allar el segun"o t3rmino "e una progresi;n geom3trica "e ra;n q/ 0q Q 5) en la que la "iferencia entre el tercer H el primer t3rmino sea igual a ' H la "iferencia entre el quinto H el tercero sea igual a #*.

a) #5 ") ##

Calcular el %alor "e la suma "e los &5 primeros t3rminos "e la siguiente sucesi;n. 1 01,#) 01,#,&) 01,#,&,()? a) &5 ") 2&55

187.

b) 115 e) 8!

$allar la ra;n "e una P.. cuHo primer t3rmino sea la uni"a" H tal que los t3rminos "e lugares 2/ 15 H #! formen una progresi;n geom3trica. a) 2& ") &(

186.

c) 25

6l t3rmino central "e una progresi;n aritm3tica es !. +i la progresi;n es "e 21 t3rminos/ calcular la suma "e "icos t3rminos. a) 125 ") '5

185.

b) 18 e) 22

La PRE Tu academia… Nres n@meros positi%os se allan en P.. al ser aumenta"os en # # H ( respecti%amente forman una P.7 "e suma 28. $allar los # n@meros

b) 2*& e) 2'&

c) 2(&

Un ta4ista gana "os soles el primer "Aa que sale a trabaYar/ cuatro soles el segun"o/ seis el tercero H asA sucesi%amente asta que a gana"o un total "e 8(5 soles. FCuntos "Aas sali; a trabaYarG 6l maHor "e tres n@meros que forman una P./ es el "oble "el menor. FCul es el maHor "e estos

tres n@meros sA su pro"ucto es: 1(!'*G. a) #* ") 18 194.

197.

199.

b) ! e) #

b) 112 e) 8#(

a) 2 ") * 200.

c) 122'

x

−

135 x

2

=0

201.

c) 2/&

b) 1'& e) 212

c) 25!

Juerien"o constituir un fon"o "e aorro/ un ombre al cabo "e un a]o/ aorra cierta suma "espu3s "el primer a]o/ en ca"a a]o sucesi%o aorra &55 soles ms que el a]o prece"ente H a los 25 a]os se encontr; "ue]o "e la suma "e 2&5 555 soles. FCunto aorr; en soles/ el primer a]oG a) ( (&5 ") ( 555

202.

b) ! e) #

Leterminar cuatro n@meros enteros sabien"o que forman una P.7/ la suma "e ellos es 2&& H el e4ceso "el tercero sobre el primero es !&. Lar como respuesta la suma "el segun"o H el cuarto termino. a) 18! ") 25(

c) 152!

6l primer t3rmino "e una sucesi;n aritm3tica es &/ el tercer t3rmino es '/ la suma "e los # primeros t3rminos es 21. $allar la suma "e los 15 primeros t3rminos

6

\ el se4to t3rmino es igual a 21. $allar la ra;n.

+ean [1 H [2 las raAces "e la ecuaci;n: 42 9 &4 , m  5 H [# H [! las raAces "e la ecuaci;n: 42 9 854 , n  '. +e sabe que los n@meros [ 1/ [2/ [#/ [! 0en la sucesi;n "a"a) forma una P.7 creciente. 6l %alor "e m , n es: b) 2*5 e) 1525

a suma "e "os primeros t3rminos "e la progresi;n aritm3tica es igual al %alor absoluto "e la suma "e las raAces "e la ecuaci;n:

1−

c) &

6n una fbrica/ pro"ucir los 1#5 primeras uni"a"es "e cierto pro"ucto cuesta +. 1#55. Ca"a uni"a" a"icional cuesta +. 5/52 menos que la anterior FCunto cuesta pro"ucir 2&5 uni"a"esG

a) 2&* ") 1528 198.

c) 28

6n la progresi;n aritm3tica 2/.......... / 1&/ luego "e interpolar 8 me"ios aritm3ticos/ se pi"e calcular el no%eno t3rmino "e la progresi;n. a) 122# ") '1&

196.

a) 155

a suma "e los ZnZ primeros t3rminos "e una progresi;n aritm3tica es: n0#n,1). Cualquiera que sea ZnZ. 6ntonces la ra;n "e la progresi;n es: a) 2 ") *

195.

b) !2 e) 2!

La PRE Tu academia… b) 125 c) 1!5

b) ( 2#! e) * &55

c) ' !&5

a suma "e los 1# primeros t3rminos "e una sucesi;n aritm3tica es 2*5. +i el quinto t3rmino %ale 1!/ "etermina qu3 lugar ocupa el t3rmino cuHo %alor es 1''!.

Un obrero a aorra"o este mes 1(8 soles H tiene con esto/ + 1!15 en la caYa "e aorros/ abien"o economia"o ca"a mes +. 12 ms que el anterior. FCunto aorro el primer mesG

La PRE Tu "e los !5 rboles academia… que forman un la"o "e un parque/ los rboles estn "istancia"os & metros uno "e otro H el "ep;sito "e agua est a 8 metros "el primer rbol. FJu3 espacio abr recorri"o el Yar"inero "espu3s "e acabar su trabaYo H %uelto el bal"e al "ep;sito "e aguaG

a) +.8 ") +.1&

a) 8&&5m ") 8**5m

a) *55 ") !(& 203.

204.

b) #'' e) **&

b) +.12 e) +.18

e) n2 , n 9

# n

c) 2'' m ") !2' m

209.

e) #1' m

b) +.2&555 ") +.2&#&5

Un Yar"inero "ebe lle%ar un bal"e "e agua al pie "e ca"a uno

b) 8&!5m e) 8*&5m

b) 2##8! pasos ") 2# 28! pasos

Un cuerpo en caA"a libre recorre apro4ima"amente !/' metros en el primer segun"o/ H en ca"a segun"o subsecuente recorre '/8 metros ms que en el segun"o anterior. +e "eYa caer una pie"ra "e lo alto "e una torre H se obser%a que tar"a * segun"os en llegar al suelo allar la altura "e la torre H la "istancia recorri"a en el @ltimo segun"o. a) 1(*/! m/ b) 1(&/# m/ c) 1(5/& m/ ") 1*(/! m/ e) 1*(/! m/

210.

c) 8!!5m

Un in"i%i"uo "a & pasos acia "elante H "os acia atrs/ "espu3s "a 15 acia "elante H cuatro acia atrs H asA sucesi%amente en progresi;n aritm3tica. FCuntos pasos abr "a"o en el momento en que por primera %e se encuentra a 15 mil pasos "el punto "e parti"aG a) 2! 2!8 pasos c) 2! 2!! pasos e) 2! 28! pasos

6n el trabaYo "e perforaci;n "e un poo "e 1&5 m "e profun"i"a"/ el costo es "e +.25 para el primer metro H + 2 ms para ca"a metro a"icional/ con respecto al costo "el metro anterior. Calcular el costo total. a) +.2&5&5 c) +.22&55 e) +.2#&&5

207.

208.

c) n0n , 1) , # ") n0n , 1) 9 #

Un ciclista "escien"e por una pen"iente H recorre ! m en el primer segun"o. 6n ca"a segun"o siguiente recorre & m ms que en el segun"o anterior. +i el ciclista llega al t3rmino "e la baYa"a en 11 segun"os calcule la "istancia total recorri"a. a) #'' m b) *2& m

206.

c) +.15

$allar la suma "e to"os los n@meros "e la forma 29#/ "on"e <> toma %alores "e 1 asta inclusi%o. a) n0n - 2) b) n0n 9 1)

205.

c) &2&

&#/' m &#/' m &#/& m &#/8 m &#/' m

+e "eYe caer una pelota "es"e una altura "e 25m/ ca"a %e que toca el suelo rebota asta  "e su altura m4ima anterior. 6ncuentre

la "istancia total que %iaYa la pelota antes "e llegar al reposo. a) 215 ") 1'5 211.

b) 1#5 e) 18&

c) 1!5

Una progresi;n aritm3tica H otra geom3trica tiene por primer t3rmino # sus terceros t3rminos son iguales H la "iferencia entre sus segun"os t3rminos es *. FCules son las progresionesG a) # . 1& . 2(  ÷ # : ' b) ÷# . 1& . 2(  ÷÷ # : 2(: ( c) ÷# . 1& . 2(  ÷÷ # : ': 2( ") ÷# . 1& . 2( e) ..

212.

214.

Una familia est constitui"a por ! miembros/ el pa"re H sus tres iYos. +i el menor "e estos tiene #2 a]os. Calcular la e"a" "el pa"re sabien"o que "icas e"a"es estn en progresi;n geom3trica H que la suma "e las e"a"es "e los otros "os iYos es '5.

a) (2 H 1# b) 2! H #1 ") 28 H #1 e) 2* H #5 215.

216.

Los poblaciones  H B tienen en la actuali"a" '1*(#*5 H 1!#2!5 abitantes/ respecti%amente/ suponien"o una "isminuci;n anual "e  "e 18 "e sus abitantes H un aumento anual "e B "e #! "e sus abitantes. Lentro "e cunto tiempo las "os poblaciones ten"rn el mismo n@mero "e abitantes. a) & a]os b) * a]os c) ( a]os ") ! a]os e) no es posible que ambas poblaciones tengan el mismo n@mero "e abitantes

b) 1 e) 9#

c) 92

+i a1. a2. a# a! son n@meros en P.. H son n@meros naturales si a"ems a1 , a2 , a# , a!  2* H a1. a2 .a#. a!  885 Calcular: M

a) 18! ") 218 217.

c) 2( H #1

Le una P.. "e !5 t3rminos se conocen la suma "e los e4tremos H el pro"ucto "e los cuatro t3rminos centrales. $allar esos t3rminos/ sabien"o que la suma es ! H el pro"ucto es 91&. Lar el menor "e "icos t3rminos. a) 91 ") 2

a) *! a]os b) *2 a]os c)&* a]os ") &8 a]os e) *2.& a]os 213.

La PRE Tu academia… Los progresiones aritm3ticas empiean en #. la ra;n "e la primera es # H "e la segun"a es ! esta tiene un n@mero "e t3rminos menos que la otra. a suma "e los t3rminos "e la segun"a progresi;n e4ce"e en una uni"a" a la suma "e los t3rminos "e la primera. Calcular los @ltimos t3rminos "e las progresiones.

2

2

2

= a1 + a 2 + a 3 + a 4 b) 21! e) 1'&

2

c) 21*

+A un: P  1 , a ,a 2 , a#,?a15 ,? J  1 , b 2 , b! , b* , b8 , ? Los series geom3tricas infinitas tales que a2 9 b2  1. Letermine J en funci;n "e P.

p

a) p

2 p

p

2

c)

p 2

+ 2 p − 1 2

+ 12 p − 6 2

221.

+ 2 p + 1 p

e) p 218.

220.

p

2

")

a) 15 ") 8

2

+ 2 p − 2

p p

b)

La PRE Tu academia… +i se sabe: 4-!/ 4/ 4,2 H,1/ #H/ 'H-*/ son progresiones geom3tricas H que 4/ H/ / es una progresi;n aritm3tica/ entonces  es igual a:

4

2

+ 2 p − 1

+i: es entero positi%o H [n#n,n2 sea \n[n,1-[n → afirmamos que: os n@meros Hn estn en P.. "e ra;n 2. SS) os 2 n@meros Hn estn en P.7. "e ra;n !. SSS) \n,#  \n,1 , 2 Para ca"a entero positi%o Fcuales afirmaciones son %er"a"erasG

b) 12 e) ..

+i un n@mero compren"i"o entre 91 H 1/ es la ra;n "e una progresi;n geom3trica "on"e a es el primer t3rmino/ el lAmite al que tien"e la suma "e un n@mero infinito "e t3rminos es: a01 9 q) "on"e q es la ra;n "e la progresi;n. FCul es el lAmite al que ten"er la suma "e sus cua"ra"osG

S)

a) solo i ") S H SSS 219.

b) S H iS e) SS H SSS

a) ")

222.

c) to"as

+i el en3simo t3rmino "e una progresi;n aritm3tica es: 42 H el subsiguiente t3rmino es 04 , 1) 2/ la ra;n es: a)

2 x

+1

2 2 x + #

")

2 2 x + 1

#

b)

2 x − 1 2

e)

2 x − 1 #

c)

a 1− q2 a 1− q

b) e)

a2 1+ q2

c)

a 1+ q

a2 1− q2

Resol%er el sistema: 24 , H ,   !5 #H 9   15 +abien"o que 4/ H/  son tres t3rminos consecuti%os "e una progresi;n geom3trica creciente. $allar: 04 , H , ) a) -2& ") -1&

223.

c) 1!

b) #5 e) 2&

c) #&

6n el mismo n@mero "e "Aas se sacan "e "os toneles  H B ciertas canti"a"es "e %ino. Le  se saca el primer "Aa & litros el segun"o "Aa 15 litros/ el tercer "Aa 25 litros/ etc. Le B se sac; el primer "Aa 2 litros el segun"o "Aa ! litros/ el tercer "Aa 8 litros/ etc. en el @ltimo "Aa se sacaron "el tonel  1'2 litros ms

La PRE Tu "ico pro"ucto. aacademia… suma "e los n@meros "el conYunto asA obteni"o es:

que en el "e B. Calcular el total "e litros saca"os "e ca"a tonel. a) *#& H 2&! c) 8&5 H #55 e) !55 H #&5 224.

+i se sabe que a/ a 2 H #a son los # primeros t3rminos "e una progresi;n aritm3tica/ allar la suma "e los 15 primeros t3rminos. a) 2* ") 115

225.

b) 1& e) 18

229.

b) 2!! e) 2!2

2 2 2 , , ,..... 3 4 27

23

2 13

")

−

c) 2& 230.

231.

c)

13

e)

2

3 2

$allar ! n@meros en progresi;n aritm3tica tales que si se les aumenta &/ */ ' H 1& respecti%amente/ los resulta"os estn en progresi;n geom3trica. b) #/ */ '/ 15 ") !/ &/ */ 12

+i a/ b/ c/ "/ son t3rminos "e una P.. Calcular el %alor "e: 6  b2 , c2 , 0a - b)2 - 0b - c)2 - 0c ")2. si el pro"ucto "e los t3rminos centrales es #(. a) !8 ") (!

4 8 , 3 9

Un conYunto "e n@meros tiene por suma P. Ca"a n@mero "el conYunto se aumenta en 25/ se multiplica por & al resulta"o H finalmente se "isminuHe en 25 a

−

a) #/ */ '/ 12 c) #/ !/ '/ 12 e) ..

c) 2!8

3,2,

b)

23 2

2

232. 228.

a suma "e los &5 primeros t3rminos "e una P.. es 255 H la suma "e los siguientes &5 t3rminos es 2(55. allar el "3cimo t3rmino "e la progresi;n. a)

+i la suma "e los t3rminos "e una P.7. "ecreciente ilimita"a tien"e a ' H el segun"o t3rmino es 2/ formar la progresi;n. Rpta. 6,2,

c) P , 85n ") &P

c) 15*

+e tiene la siguiente progresi;n aritm3tica: 4/ #4 9 2/ !4/ … allar el t3rmino que ocupa el lugar !1. a) 2!5 ") 2#*

227.

b) #! e) **

a) P , 225n b) &P , 85n e) &P , !n

Leterminar el t3rmino central "e una progresi;n aritm3tica "e ( t3rminos/ sabien"o que la suma "e los t3rminos "e lugar impar es (( H la "e los "e lugar par &*. a) 21 ") 15

226.

b) *!5 H 255 ") (2& H *&5

b) &* e) 81

c) *#

a suma "e los t3rminos que ocupa el lugar impar en una P.7. "e * t3rminos es *8( H la suma "e los t3rminos que ocupa un lugar par es 2(!8. $allar el primer t3rmino.

a)

992 91

b)

292 91

229 91 91 ") 229 233.

a) s.*5 ") s.(& 238.

b) n0n , 1) c) 2n0n,1) e) n#

b) *5 e) (1

c) *1

239.

b) 11 e) 1!

c) 12

Un rollo "e papel cuHo "imetro es "e #5 cm consiste "e &55 %ueltas "e papel fuertemente enrolla"o en un cilin"ro "e 15 cm "e "imetro. FJu3 longitu" tiene el papelG a) #1!/2m b) #1!m c) #12/!m ") #1!/!m e) #1!/#m

b) s.*& e) s.85

b) (1 e) (!

c) *'

6n el instante "e comenar un a]o no bisiesto un reloY se]ala las 11 oras !5 minutos H 2& segun"os. +e supone que %a a"elanta"o. 6ste reloY se retrasa el primer "Aa "el a]o 1 segun"o/ el segun"o "Aa # segun"os/ el tercer "Aa & segun"os H asA sucesi%amente. l comenar un "Aa "el a]o/ el reloY marca la ora en punto. FCul es ese "Aa.G a) 2# "e Yulio c) 2& "e Yulio e) 2( "e Yulio

240.

c) s.(5

+e forma un numeral escribien"o consecuti%amente los n@meros naturales a partir "e 1/ como sigue: 1 2 # ! & * ( 8 ' 15 11 12 ............. FCuntas cifras %a tener este numeral/ cuan"o se aHa escrito ! %eces al ceroG a) 85 ") *8

os conseYeros "e un banco se re@nen cierto "Aa/ salu"n"ose mutuamente. +i se sabe que los coques "e manos an si"o (8 en total. FCuntos conseYeros tiene el bancoG a) 15 ") 1#

236.

91 292

$allar el n@mero "e t3rminos "e una progresi;n aritm3tica sabien"o que la suma "e sus t3rminos no %arAa al aumentar en 1 la ra;n H al mismo tiempo "isminuir en #5 su primer t3rmino. a) &8 ") *!

235.

e)

a suma "e los ( primeros t3rminos "e una P.. es !' H la suma "e los 25 primeros t3rminos "e ella es !55. Calcular la suma "e los primeros t3rminos "e "ica progresi;n. a) n2 ") n0n-1)

234.

c)

237.

La PRE Tu Un obrero aorraacademia… ca"a "Aa +. & ms "e lo que aorr; el "Aa anterior el @ltimo "Aa se "a cuenta que el n@mero "e "Aas que estu%o aorra"o asta el "Aa anterior/ era la s3ptima parte "e lo que aorro ese "Aa. +abien"o que/ lo que aorro el quinto "Aa H lo que aorro el pen@ltimo "Aa/ totalian +.2'5/ FCunto aorro el primer "AaG

b) 2! "e Yulio ") 2* "e Yulio

os primeros t3rminos "e 2 progresiones aritm3ticas/ que tienen igual n@mero "e t3rminos son 1( H 98 respecti%amente H sus respecti%as raones/ ( H &. FCuntos t3rminos tiene ca"a

La PRE Tu t3rmino es #5. aacademia… suma "e sus t3rminos es:

uno/ si el @ltimo t3rmino "el primero es el "oble "el t3rmino final "el segun"oG a) 8 ") 12 241.

b) 15 e) 21#

242.

246.

b) !' e) 25

c) !# 248.

b) 1!5 e) 1&&

6n una P.7. "e * t3rminos en la cual el primer t3rmino es igual a la ra;n H la suma "el primer H tercer

b) #*# e) 1'52

b) 2& e) 1#

249.

c) 12'5

c) 2*

Un segmento "e un centAmetro "e longitu" crece seg@n la siguiente leH/ "on"e el primer t3rmino representa la longitu" inicial "el segmento: 1 1 1 1 1 1+ 2+ + 2+ 2 + 4 4 16 16 64 1 + + .......... .... 64 +i el primer t3rmino "e una progresi;n aritm3tica "e enteros consecuti%os es: 2,1 la suma "e los: 2,1 primeros t3rminos "e "ica progresi;n pue"e ser e4presa"a como: a) #,0,1)# c) 0,1)# e) 02,1)0,1)2

c) 1!&

c) 12'5

+i la suma "e 1 , # , & , ( , ... , 0 2n 9 1) es menor en 2! que la suma "e 2 , ! , * , 8 , .., 2n. FCuntos t3rminos tiene ca"a serieG a) 2! ") 12

247.

b) #*# e) 1'52

Una P.7. "e * t3rminos en la cual es primer t3rmino es igual a la ra;n H la suma "el primer H tercer t3rmino es #5. a suma "e sus t3rminos es: a) 125 ") 15'2

6n una progresi;n aritm3tica el primero H el @ltimo t3rmino son !( H 25(. $allar el termino "3cimo segun"o si la suma "e sus t3rminos es 2**(G a) 1#& ") 1&5

244.

245.

b) 2& minutos ") #5 minutos

6n un trabaYo "e reforestaci;n laboran & personas. Ca"a "Aa plantan # rboles ms "e lo que plantan en el "Aa anterior. 6l ultimo "Aa plantaron tantos rboles como el quAntuplo "el n@mero "e "Aas que an trabaYa"o. FCuntos rboles plantaron en el segun"o "Aa/ sabien"o que los planta"os el primer "Aa H el @ltimo "Aa totalian 1!#G a) !* ") !5

243.

c) 11

Un m;%il <> sale con *55 metros "e %entaYa H 1& segun"o antes que otro m;%il . <> an"a 1 metro en el primer segun"o/ 2 en el segun"o/ # en el tercero H asA sucesi%amente an"a 1 metro en el primer segun"o/ ! en el segun"o/ ( en el tercero H asA sucesi%amente. FCunto tar"ar en alcanar a <>G a) 25 minutos c) 2( minutos e) #* minutos

a) 125 ") 15'2

b) 0-1)# ,# ") 0,1)2

Cuanto %ale m n - p np - m pm - n si m/ n/ p son # n@meros que pertenecen al mismo tiempo a una

La PRE Tu academia… primiti%o/ resulta !12 8'*. la suma "e los "Agitos "el n@mero es:

progresi;n aritm3tica H a una progresi;n geom3trica H ocupan en ellos el mismo lugar. a) & ") 2 250.

b) ! e) 1

a) ## ") #5

c) # 253.

+i an  3 + 7 + 11 + ........ + 4n − 1

7 + 11 + 15 + .... + 4n + 3 Sn"icar %er"a"ero 0^) o falso0_) ca"a una "e las siguientes proposiciones: S. an I an,1/ SS.

∀n ∈ Ν

im

a

n

251.

Para

− 1 c) ") 2 + 1 2 + 1

252.

2

≤ ∀n ∈ Ν

2 + 2

e)

3

b) ^_^ e) ___ la

c) ^^_

254.

sucesi;n

=

a) a# ") a*

b)

2 2

n +1 F partir "e que 2n + 3 t3rmino "e la sucesi;n/ la "iferencia "e "os t3rminos consecuti%os es menor que 1 G 100 an

+e tiene un tringulo rectngulo is;sceles BC "e catetos 1m 0ngulo recto en B). Por B se traa una perpen"icular a C/ por L a BC/ por 6 una perpen"icular a C por _ la perpen"icular a BC H asA sucesi%amente . Calcular el lAmite "e la suma BL , L6 , 6_ , _7 , ............. . a)

 1

SSS.

a) ^^^ ") ^__

c) #!

∞

n →∞

an

b) 2! e) !1

b) a! e) a(

a) ")

c) a&

6ncuentre un n@mero "e * cifras tal que separan"o consecuti%amente sus cifras "e "os en "os se formen # n@meros "e 2 cifras ca"a uno que se encuentran en P.7. "e ra;n 2. +i a 1555 %eces la suma "e estos # n@meros se le agrega el n@mero

sen θ / cos 6 θ / tg θ . Noma"os en la sucesi;n "a"a/ presentan un progresi;n geom3trica entonces po"emos "ecir que el %alor "e < θ > en el primer cua"rante es: +ean los n@meros

255.

π

3

b)

c)

π

π

e)

2

π

6

π

5

$allar el primer t3rmino H la ra;n "e una P.. sabien"o que la suma "e los n primeros t3rminos "e esta progresi;n es para to"os los %alores "e n/ n0#n,1). Lar como respuesta la "iferencia entre la ra;n H el primer t3rmino. a) -# ") #

b) 5 e) !

c) 2

256.

La PRE Tu academia… en progresi;n aritm3tica creciente. +i "el primer mont;n se quita un grano/ "el segun"o 2 H asA sucesi%amente que"a en el @ltimo mont;n "oble n@mero "e granos que el primero. +e sabe a"ems que el total "e granos que abAa en to"os los montones eran !*5 H finalmente que si "el primer mont;n se quitan 2 gramos "el segun"o ! "el tercero * H asA sucesi%amente/ que"an 18 granos ms en el @ltimo que en el primer mont;n. $allar .

Una persona "ebe %aciar un bal"e "e agua a ca"a uno "e los 25 rboles que estn sembra"os en fila H con una separaci;n entre rbol H rbol "e 8 metros. +i la persona en ca"a %iaYe s;lo pue"e lle%ar un bal"e con agua H el poo "e ";n"e sacar el agua est a 15 metros "el primer rbol/ FJu3 "istancia abr recorri"o "espu3s "e aber termina"o con su tarea H aber "e%uelto el bal"e al pooG a) #!25m b) #&55m c) #!!5m ") #!55m e) #*55m

257.

Calcular la suma "e los #5 primeros n@meros "e la sucesi;n:

 3 , 21 , 147 ,8 5 ,............  2 8 32 128  2(7 30 − 430 ) a) b) 2(7 30

c)

4 20 2(7 20 − 430 )

3(7

e)

30

261.

)

− 4 20 )

430

FCul es el t3rmino central "e una progresi;n geom3trica "e tres t3rminos positi%os si el pro"ucto "e los "os primeros es 2! H el pro"ucto "e los 2 @ltimos es &!.G b) 12 e) *

c) #

+e tiene montones "e granos con un n@mero "e granos

b) ' e) 12

c) 15

Nres n@meros estn en progresi;n geom3trica. +i al @ltimo t3rmino se le resta #2/ se forma una progresi;n aritm3tica/ pero si al segun"o t3rmino se le resta !/ se forma "e nue%o una progresi;n geom3trica. FCul es la suma "e los tres n@meros enterosG ) 15 L) '

")

30

−4

430 3(7 30

a) 8 ") ' 259.

30

260.

430 − 430 )

4

258.

a) 8 ") 11

B) 2* 6) *2

C) 2(

FCuntas campana"as "a un reloY en 2! oras/ si no suena ms que a las oras/ "an"o en ca"a ora tantas campana"as como el n@mero que representa la oraG. 6l reloY est gra"ua"o con%encionalmente "e una a 12 oras. a) 1&* campana"as b) 1&& c) *&1 ") &*1 e) 1*&

262.

Cul es el maHor n@mero "e t3rminos que "ebe tener una progresi;n cuHos t3rminos suman &5 H cuHa ra;n H @ltimo t3rmino son los %alores lAmites "e las siguientes progresiones.

a) 8'8 ") (8'

  1,5/& , 5/2& , 5/12& , ?, ∞ B  (,#/&, 1/(& , 5/8(& , ? , ∞

263.

a) & b) 15 c) -& ") -15 e) . . 6n una balana al soltar al fiel el punto/ comiena a oscilar alre"e"or "el punto "e reposo "isminuHen"o sus oscilaciones por la resistencia friccional "el aire. a traHectoria "e ca"a oscilaci;n 0"espu3s "e la primera oscilaci;n completa)/ es ''` "e la oscilaci;n pre%ia. +i la traHectoria "e la primera oscilaci;n completa es "e &cm. FJu3 "istancia total a recorri"o la punta "el puntero cuan"o 3ste se "etu%oG a) &55 cm b) 225 cm ") !*5 cm e) *55 cm

264.

b) 25 e) &5

267.

c) !&5 cm

c) #5

Le una P.7 con el primer t3rmino "istinto "e cero H r ≠ 5 H una sucesi;n aritm3tica con el primer t3rmino igual a cero/ se suman los t3rminos correspon"ientes "e las "os sucesiones se obtiene una tercera sucesi;n 1/ 1/ 2 .... entonces la suma "e los "ie primeros t3rminos "e la nue%a sucesi;n es:

6n un cua"ra"o cuHo la"o es a se unen los puntos me"ios "e los ! la"os H se forma otro cua"ra"o cuHos puntos me"ios se unen tambi3n para formar un nue%o cua"ra"o H asA sucesi%amente. 6ncontrar el lAmite "e la suma "e las reas "e to"os los cua"ra"os asA forma"os. a) 2a ") #a

+e "ebe almacenar *15 postes cilAn"ricos en espacio abierto "isponible sin pare"es/ que solo permite poner oriontalmente !5 postes forman"o asA un leco oriontal "e !5 postes. _orman"o el primer leco en el suelo/ ca"a leco sucesi%o "ebe contener un poste menos que el prece"ente para no "errumbarse. +e pregunta: FCuntos lecos pue"en armarseG a) 15 ") !5

265.

266.

b) #a2 e) #

c) 2a2

ugusto H Celia leen una no%ela "e #555 pginas. ugusto lee 155 pginas "iarias H Celia lee 15 pginas el primer "Aa/ 25 el segun"o "Aa/ #5 el tercero H asA sucesi%amente. +i ambos comienan a lee el 22 "e febrero "e un a]o bisiesto. 6n que feca coinci"irn en leer la misma pgina por primera %e/ H cuntas pginas abrn leA"o asta ese "AaG a) 15 b) 12 c) 11 ") 15 e) 11

268.

La PRE Tu b) 8'' academia… c) 8(' e) '(8

"e maro 1855 "e maro 1*55 "e maro 1*55 "e maro 1'55 "e maro 1'55

Una persona "ebe %aciar una bal"e "e agua a ca"a uno "e los 25 rboles que estn sembra"os en fila H con una separaci;n entre rbol H rbol "e 8 metros. +i la persona en ca"a %iaYe s;lo pue"e lle%ar un bal"e con agua H el poo "e "on"e sacar el agua est a 15 metros "el primer rbol/ FJu3 "istancia abr recorri"o "espu3s "e aber termina"o con su tarea H aber "e%uelto el bal"e al pooG a) #!25m

b) #&55m

c) #!!5m

") #!55m 269.

b) &2 e) 82

b) 8 e) 25

a) 155& ") 155! 274.

c) *2

+e tiene una progresi;n geom3trica "e ra;n 2 con # t3rminos. +i el tercer t3rmino "isminuHe en !/ se con%ierte en una progresi;n aritm3tica. $alle el tercer t3rmino "e la progresi;n geom3trica. a) ! ") 1*

271.

e) #*55m

Nres n@meros enteros en P.7 cumplen que si al @ltimo t3rmino se le resta #2/ se forma una P.. pero si al 2W t3rmino se le resta !/ se forma "e nue%o una P.7. $allar la suma "e los # n@meros enteros. a) !2 ") (2

270.

La PRE Tu academia… canti"a" "e tipos que emplea en las *# primeras pginas.

c) 12

6n una P.7. creciente se sabe que el cuarto t3rmino es ' %eces el segun"o t3rmino a"ems el primer t3rmino aumenta"o en 2 es igual a la mita" "el segun"o. $allar la ra;n "e la P.7. H "ar como respuesta la suma t 1 , t&: a) 128 ") !25

272.

b) ! e) &

c) 2

Calcular la canti"a" "e pginas que tiene un libro sabien"o que para enumerar sus @ltimas #* pginas se emplearon la misma

5 -1 2

c) 2√&

b) 2( e)

1-

5 2

+A es un n@mero entero H los t3rminos !n/ &n2/ !n# forman una progresi;n aritm3tica/ entonces la suma "e los ' primeros t3rminos es: a) &55 ") &52

277.

c) 2!

6n una progresi;n geom3trica "e t3rminos positi%os se obser%a que ca"a t3rmino es igual a la suma "e los "os t3rminos siguientes. FCul es la ra;n "e "ica progresi;nG

")

c) *5&

+e escribe en forma continua to"os los n@meros termina"os en ' asA '1'2'#'......./ se obser%a que la cifra Z#Z ocupa el se4to lugar. FCul es la cifra que ocupa el lugar 2&'G a) ' ") #

273.

b) 25* e) #28

b) 22 e) 21

a) 12

276.

c)155*

Pepito se "e"ica a la %enta "e re%istas el primer "Aa %en"e * el segun"o "Aa %en"e '/ el tercer "Aa %en"e 1!/ el cuarto "Aas %en"e 21 H asA sucesi%amente asta que el @ltimo "Aa %en"i; *#5 re%istas. FCuntos "Aas estu%o %en"ien"oG a) 2& ") 2#

275.

b) 155( e) 1558

b) &5' e) &2(

c) &5!

Leterminar el t3rmino central "e una progresi;n aritm3tica "e ( t3rminos/ sabien"o que la suma "e los t3rminos "e lugar impar es (( H la "e los "e lugar par es &*. a) 1( ") #1

b) 1' c) 21 e) _altan "atos

278.

a suma "e los # primeros t3rminos "e una P.7. es igual a * H la suma "el segun"o H el tercero H cuarto t3rmino es igual a -#. Calcular el 15mo t3rmino. a) -& ") *!

279.

b) *2m e) *&m

b) 2& e) &&

b) !l e) 21!l

− 1)

284.

b) 2 02n - #) ") 202n-1- n)

+abien"o que:  01)  1 4155 , &5  02)  2 4 '' , !'  0#)  # 4'8 , !8 ??????????. Calcular: 025) a) 1*&1 ") 1555

c) #&

c) *l

n 2 (n 2

6 c) 202n,1- n) 2( 2 n − n ) e) 2 283.

+e "ibuYa un tringulo equiltero "e la"o <> si se le unen los puntos me"ios "e los la"os se forma otro tringulo equiltero. l efectuar la misma operaci;n in"efini"amente/ el lAmite "e la suma "e los perAmetros "e to"os los tringulo "ibuYa"os es: a) 2l ") '2l

a)

c) *#m

Una progresi;n arm;nica es una sucesi;n "e n@meros tales que sus in%ersas estn en progresi;n aritm3tica. +ea +n la suma "e los ZnZ primeros t3rminos "e la progresi;n arm;nica 0por eYemplo/ +# representa la suma "e sus tres primeros t3rminos). +i los tres primeros t3rminos "e una progresi;n arm;nica son #/ !/ *: Letermine: +!. a) 1& ") !&

281.

c) -1&

a masa "e un p3n"ulo recorre 1* cm "urante la primera oscilaci;n. 6n ca"a una "e las oscilaciones siguientes la masa recorre #! "e la "istancia recorri"a en la oscilaci;n anterior. Calcular el espacio total recorri"o por la masa asta el momento "e "etenerse. a) *5m ") *!m

280.

b) -1*! e) ..

282.

La PRE Tu +obre el terrenoacademia… aH coloca"os pie"ras la "istancia entre la primera H la segun"a es 1 metro entre la segun"a H la tercera # metros entre la tercera H la cuarta/ ! metros entre la cuarta H la quinta/ 8 metros/ etc. FCunto ten"r que an"ar una persona que tenga que lle%arlas una a una a un carro coloca"o al la"o "e la primer pie"raG

b) 1*55 e) 155

a suma "e los ( primeros t3rminos "e una progresi;n aritm3tica es !'/ H la suma "e los 25 primeros t3rminos "e ella es !55. Calcular la suma "e los ZnZ primeros t3rminos "e "ica progresi;n. a) n0n,1) b) n2 ") 2n0n,1) e) n2-n,1

285.

c) 1*&5

c) n0n-1)

a H el "e un reino salieron a pasear por los bosques "e sus "ominios/ mientras la "a 25 pasos en forma constante por ca"a minuto el a%ana un paso en el primer minuto/ 2 pasos en 2"o minuto/ # pasos en #er minuto/ H asA

sucesi%amente. +i al final ambos an "a"o la misma canti"a" "e pasos. FCuntos pasos an "a"o en totalG a) #' ") (85 286.

b) 25 e) 21

b) +;lo S e) +;lo SSS

b) 15155 e) /P

291.

c) +;lo SS

c) 11555

 un alumno se le propone pagarle +.# por el primer problema resuelto/ +.* por el segun"o/ +.' por el tercero H asA sucesi%amente. +i luego "e aber resuelto cierto n@mero "e problemas a recau"a"o +.*#5. FCuntos problemas a resueltoG

6ncuentre un n@mero "e * cifras tal que separan"o consecuti%amente sus cifras "e "os en "os se formen # n@meros "e 2 cifras ca"a uno que se encuentran en progresi;n geom3trica "e ra;n 2. +i a 1/555 %eces la suma "e estos # n@meros se le agrega el n@mero primiti%o/ resulta !12/ 8'*. a suma "e los "Agitos "el n@mero es: a) 22 ") 28

c) 22

 una oYa cua"ra"a H cua"ricula"a con 155 cua"ra"itos por la"o/ se le traa una "iagonal principal. FCuntos tringulos como m4imo po"rn contarse en totalG a) 15555 ") 155

289.

c) 855

+e tiene los n@meros enteros H . FCules "e las e4presiones siguientes representa un n@mero parG S) m2 , m , # SS) m2 , m , 2m SSS) 02n , 1)0 m2 - m , 1) a) S H SS ") SS H SSS

288.

290.

Papeluco se "e"ica a la %enta "e re%istas. 6l primer "Aa %en"e * el 2"o "Aa %en"e ' el #er "Aa %en"e 1! el !to 21 H asA sucesi%amente asta que el ultimo "Aa %en"i; *#5 re%istas. FCuntos "Aas estu%o %en"ien"oG a) 2& ") #5

287.

b) 25 e) *85

a) 25 ") 15

b) 21 e) 2*

c) ##

 lo largo "e un camino abAa un n@mero impar "e pie"ras/ a 15 metros una "e la otra. +e quiso Yuntar estas pie"ras en el lugar "on"e se encontraba la pie"ra central. 6l ombre encarga"o/ po"Aa lle%ar una sola pie"ra. 6mpe; por uno "e los e4tremos H las trasla"aba sucesi%amente. l recoger to"as las pie"ras el ombre camin; #m. FCuntas pie"ras abAa en el caminoG a) 2' ") 1#

292.

La PRE Tu b) #1 academia… c) 8 e) 1#

b) 1( e) 2&

c) !1

6n una balana al soltar al fiel el puntero/ comiena a oscilar alre"e"or "el punto "e reposo "isminuHen"o sus oscilaciones por la resistencia friccional "el aire. a traHectoria "e ca"a oscilaci;n 0"espu3s "e la primera oscilaci;n completa)/ es ''` "e la oscilaci;n pre%ia. +i la traHectoria "e la primera oscilaci;n completa es "e &cm. FJu3 "istancia total a recorri"o la punta "el puntero cuan"o 3ste se "etu%oG a) *55 cm b) &55cm

c) &5 cm

") &55 m e) . 293.

6ncontrar l maHor n@mero "e una progresi;n geom3trica "e cuatro t3rminos en la cual la suma "e e4tremos es #& H la suma "e los me"ios es #5. a) 18 ") 812

294.

c) 2(

b) 18 e) #&

a) &(5( ") ((&5 298.

c) 1&

6n una P.. a n "eterminar la %er"a" o false"a" "e los siguientes enuncia"os: a Y - 1 , a Y , 2 a.  a Y , a Y , 1 a Y - 2 , a Y , 1 b.  a Y - 1 , a Y , 1 a Y , # , a Y - # c.  a Y - 1 , a Y , 1 a) ^^^ ") ___

296.

b) 2! e) 81

6ncontrar las e"a"es "e tres ermanos/ sabien"o que forman una P. creciente/ cuHa suma es *# H la suma "e sus cua"ra"os 1#'&. Sn"ique la e"a" "el maHor. a) 21 ") 2(

295.

297.

b) ^_^ e) __^

a) 18 ") 1(

b) 25 e) 2!

c) 2(

299.

c) &((5

b) 1&5m e) 1*5m

c) 1!5m

6n una canasta aH *5 "uranos una persona los %a colocan"o por filas "e la siguiente manera: en la primera fila pone un "urano/ luego toma "os "uranos "e la canasta H los pone en la segun"a fila H asA sucesi%amente asta "on"e le sea posible. FCuntos "uranos sobrarn en la canastaG a) & ") 1

300.

b) ((5& e) &5((

Nres automo%ilistas parten "el mismo punto para recorrer una "istancia "e '15 m. 6l primero recorre (5 m "iarios. 6l segun"o recorre 15 m el primer "Aa H a partir "el segun"o "Aa aumenta "iariamente su recorri"o en un n@mero igual "e ilometros. 6l tercero a partir "el segun"o "Aa "isminuHe su marca en & m "iarios. +abien"o que an llega"o to"os el mismo "Aa/ se pi"e: Leterminar la suma "e m recorri"os por el segun"o H tercer automo%ilista en el @ltimo "Aa. a) 185m ") 1(5m

c) _^_

+e "ebe almacenar *15 postes cilAn"ricos en espacio abierto "isponible sin pare"es/ que solo permite poner oriontalmente !5 postes forman"o asA un leco oriontal "e !5 postes. _orman"o el primer leco en el suelo/ ca"a leco sucesi%o "ebe contener un poste menos que el prece"ente para no "errumbarse. +e pregunta: FCuntos lecos pue"e armarseG

La PRE Tu academia… Juerien"o constituir un fon"o "e aorro/ un ombre al cabo "e un a]o/ aorra cierta suma: "espu3s "el primer a]o/ en ca"a a]o sucesi%o aorra &55 soles ms que el a]o prece"ente H a los 25 a]os se encontr; "ue]o "e la suma "e 2&5 555 soles. FCunto aorro/ en soles/ el primer a]oG

b) ( e) #

c) '

Una se]orita llega a la aca"emia con cierto retraso "iariamente. 6l primer "Aa lleg; 1

minuto tar"e/ el segun"o "Aa 2 minutos tar"e/ el tercer "Aa # minutos tar"e H asA sucesi%amente/ al cabo "e 25 "Aas "e asistencia. FCunto tiempo a per"i"o por las tar"anasG

304.

a) 2/& oras b) 8 c) & ") 1 e) #/& 301.

a) 855 ") &55

Un emplea"o a aorra"o este mes 1(8 ";lares H tiene con estos 1!15 ";lares en el banco/ abien"o economia"o ca"a mes 12 ";lares ms que el anterior. FCuntos meses lle%a aorran"o H cunto aorr; el primer mesG a) 1! meses b) 1& meses c) 1! meses ") 1& meses e) 1& meses

305.

H ' ";lares H ' ";lares H 15 ";lares H 11 ";lares H 15 ";lares 306.

302.

Nres n@meros estn en progresi;n geom3trica. +i al @ltimo t3rmino se le resta #2 se forma una progresi;n aritm3tica/ pero si al segun"o t3rmino se le resta !/ se forma "e nue%o una progresi;n geom3trica. FCul es la suma "e los tres t3rminosG a) *2 ") #!

303.

b) !& e) #2

c) 8(

307.

308.

b) #&( e) !'5

c) !!5

b) 255 e) !55

c) #55

Consi"ere una progresi;n aritm3tica cuHo se4to t3rmino es el *5` "el tercer t3rmino/ que es positi%o. +i el pro"ucto "e los mismos es 1&/ "etermine el n@mero "e t3rminos que se "eben tomar "e esta progresi;n para que 1 sumen #5 3 a) * ; 12 b) ( ; 1# c) * ; 1# ") ( ; 12 e) * ; ( Un rollo "e papel cuHo "imetro es "e #5cm consiste "e &55 %ueltas "e papel fuertemente enrolla"o en un cilin"ro "e 15cm "e "imetro. FJu3 longitu" tiene el papelG a) 1#2/&m b) 1&!/(m c)#1!/2m ") #55/!m e) 12&/!m

as 15 primeras filas "e asientos en una secci;n "e un esta"io tienen #5 #2 #! lugares H asA sucesi%amente "e la "ecimoprimera a la %ig3sima tiene &5 asientos. Calcule el n@mero total "e asientos "e la secci;n. a) !*5 ") 8'5

La PRE Tu academia… +e "eYa caer una bola "es"e una altura "e 1*5 mts. en ca"a rebote la bola se ele%a los 2# "e la altura/ "eYa cul caH; la @ltima %e. FJu3 "istancia recorre la bola asta que que"e te;ricamente en reposoG

uca H Pili leen una no%ela "e Ciro legrAa uca lee 15 paginas "iarias H Pili lee 1 pagina el 1er "Aa/ 2 el 2"o "Aa H asA sucesi%amente. FLespu3s "e cuntos "Aas coinci"irn si empiean al mismo tiempoG a) 15 b) 25 c) 1' ") 21 e ) !2 as e"a"es "e ! ermanos conforman una P.7. Cuan"o naci; el menor el maHor tenia 28 a]os H la "iferencia entre las e"a"es "e los otros es 8 FCunto suman las tres e"a"esG

a) *5 ") *& 309.

c) *!

uan %a to"os los "Aas al merca"o en compra "e mananas/ el primer "Aa compra 1 manana/ el segun"o "Aa !/ el tercer "Aa '/ el cuarto "Aa 1* H asA sucesi%amente asta completar &5* mananas. FCuntos "Aas se fue "e comprasG a) 15 ") !2

310.

b) *2 e) *8

b) 11 e) 2(

314.

6n el siguiente arreglo/ calcule

a) #'55 ") ('55

b) (8'5 e) '855

315.

c) 8155

a) 1 ") !

b) 2 e) &

c) #

c) (25

b) 8!m e) 85m

c) 125m

$allar la siguiente suma: 152,'2,82, (2 , ........, # 2 , 22 , 12 152 , '2 , 82 , (2 , ........, # 2 , 22 152 , '2 , 82 , (2 , ........, # 2 152 , '2 , 82 152 , '2 152 a) 1555 ") 15 555

316.

c) 2'*

6n cierta progresi;n aritm3tica/ si se "isminuHe una uni"a" al primero H se incrementa la uni"a" a la ra;n/ la suma "e los t3rminos no se altera. FCuntos t3rminos tiene la P..G

b) !25 e) 185

Una pelota se suelta "es"e una altura "e 1( metros. +i en ca"a rabote alcana una altura igual a los 2# "e la altura anterior. Calcular la "istancia total recorri"a asta que se "etenga. a) 8&m ") 1*5m

6n el consultorio "e un pe"iatra/ tres ma"res "e tres ni]os "e:1  #( H 28' "Aas "e naci"os esperan para ser aten"i"as el m3"ico para entretenerlas les pi"e a%eriguar "entro "e cuntos "Aas las e"a"es "e sus ni]os estarn en P.7. 6n ese tiempo la e"a" "el tercero ser: a) #5! "Aas b) 2'! ") #5( e) #5'

312.

a) 81& ") &#&

c) 12

_'8 _1 → # _2 → # , & _# → # , & , ( _! → # , & , ( , '

311.

313.

La PRE Tu $a reparti"o unacademia… total "e 1'55 caramelos entre los 2& sobrinos que tengo/ "n"ole a ca"a uno # caramelos ms que al anterior. FCuntos caramelos les "i a los 15 primerosG

c) 2(&5

a suma "e los # n@meros "e una P.7 es (5/ si los e4tremos se multiplican por ! H el interme"io por &/ los pro"uctos estn en P.. el maHor "e ellos es: a) 15 ") !5

317.

b) #52& e) 2( &55

b) 25 e) &5

c) #5

+e tiene un triangulo cualquiera cuHa rea es 1m 2. se toman los puntos me"ios "e sus la"os H al unirlos se forma un tringulo/ en ese tringulo a su %e se toman los puntos me"ios "e sus la"os H se %uel%en a unir/ H asA repetimos la operaci;n infinitas %eces. Calcular

la suma "e to"as las reas asA forma"as. a) 1! ") &# 318.

b) #! e) !#

c) 2&

os tres n@meros positi%os en progresi;n aritm3tica que aumenta"os en #/ #/ ( respecti%amente forman una progresi;n geom3trica "e suma 28. +on: a) #/ & H ( b) 2/ * H 15 c) #/ * H ' ") 1/ & H ' e) #/ ( H 11

319.

321.

a) 2* ") #* 323.

as series: 1 , * , 11 , 1* , 21 , ...... 25 , 2! , 28 , #2 , ..... tienen igual canti"a" "e t3rminos H sus @ltimos t3rminos son iguales. $allar la suma "e los t3rminos "e ca"a una H "ar como respuesta la "iferencia "e las sumas alla"as. a) 185 ") 18&

320.

322.

b) 1(5 e) 1'5

La PRE Tu academia… Benoto "eci"e aorrar "urante to"o el mes "e Yulio/ "e la siguiente manera ca"a "Aa ! soles ms que el "Aa anterior. F6n qu3 "Aa se cumplir que lo aorra"o en ese "Aa/ sea los 15' "e lo aorra"o & "Aas antes H a"ems sea 2 %eces lo aorra"o el primer "AaG b) 2! e) 2(

c) 22

Nres ermanos acor"aron comprar un presente para su ma"re/ aportan"o "e menor a maHor canti"a"es que estn en progresi;n aritm3tica/ resultan"o el aporte total el cu"ruplo "e lo aporta"o por el menor. FCunto cost; el presente sabien"o que si abrAa un cuarto ermano maHor/ ca"a uno "arAa +.#5 menosG a) 2*5 ") 285

b) 2(5 e) #!5

c) 2!5

c) 1(8

Por la primera ora que trabaYo me pagan un sol/ por la segun"a ora "os soles/ por la tercera tres soles H asA sucesi%amente. FCuntas oras "ebo trabaYar si necesito !*&* solesG

+e pens; acer una obra en un cierto n@mero "e "Aas/ pero si se aumentaba en & el n@mero "e ombres se po"rAa terminar en otra canti"a" "e "Aas. +i la relaci;n entre las canti"a"es "e "Aas es "e * a &/ allar la canti"a" inicial "e ombres.

a) '8 ") (5

a) 15 ") 2&

b) '* e) 81

324.

c) *'

 H B acen un trabaYo normalmente en 18 H 2! "Aas respecti%amente. 6l primero aumenta su ren"imiento en 25` H el segun"o en &5`. +i trabaYan Yuntos. F6n cuntos "Aas arAan el trabaYo apro4ima"amenteG a) & ") 8

b) * e) ..

c) (

325.

b) 1& e) ..

c) 25

+e contrat; una obra para ser termina"a en !5 "Aas emplean"o 1& obreros H trabaYan"o 15 oras "iarias. Lespu3s "e 8 "Aas "e trabaYo se acor"; que la obra que"ase termina"a en 12 "Aas antes "el plao estipula"o H asA se io. FCuntos obreros ms "eben emplearse/ tenien"o en cuenta que se aument; en una ora el trabaYo "iarioG

a) 18 ") 1& 326.

a) 25 ") 1& 330.

c) 8

331.

b) !1 e) ..

c) !2

Un alba]il H su aHu"ante pue"en acer una obra en 12 "Aas "espu3s "e aber trabaYa"o

c) #5

b) 125m e) ..

c) 2&5m

Una guarnici;n "e !55 sol"a"os sitia"os en un frente tiene %A%eres para 185 "Aas/ si consume '55 gramos por ombre H por "Aa. +i se recibe un refuero "e 155 sol"a"os pero no se recibe %A%eres antes "e los 2!5 "Aas. FCul "ebe ser la raci;n "e un ombre por "Aa para que los %A%eres pue"an alcanarlesG a) &!5gr. ") !&5gr.

332.

b) !& e) ..

Un regimiento "eberAa tar"ar & "Aas con marca regular para llegar a su "estino/ pero al momento "e salir recibi; la or"en para que iciera el recorri"o en 2 "Aas menos lo que oblig; a aumentar su marca "iaria en 25Tm. FLe cuntos Til;metros fue el recorri"oG a) 1&5m ") 185m

b) 9 #8 H - * ") - 8# H - *

Un %apor lle%a %A%eres para una tra%esAa "e 155 "Aas H una tripulaci;n "e 1!5 ombres/ "espu3s "el "Aa !'/ el capitn recibe #5 nufragos "e otro buque. Calcular para cuntos "Aas ms alcanarn las pro%isiones suponien"o que ca"a tripulante recibe una raci;n entera. a) 28 "Aas ") !5

329.

b) & e) ..

Un t3rmino "e la primera progresi;n/ "i%i"i"o por el correspon"iente en la segun"a/ "a por cociente un t3rmino "e la segun"a H por resto el correspon"iente en la primera "isminui"a en 8. el n@mero "e t3rminos compren"i"o entre los que e4presan el "i%isor H el cociente es (. allar el "i%i"en"o H el "i%isor. a) 8# H * c) 9 * H 9 81 e) .

328.

c) 2&

Para enloar un piso "e & metros "e largo H ! "e anco/ se an emplea"o # operarios "urante 2 "Aas trabaYan"o 15 oras "iarias. FCuntos operarios arn falta para enloar en tres "Aas trabaYan"o 8 oras "iarias otro piso "e 8 metros "e margo H & "e ancoG a) # ") (

327.

b) 12 e) ..

La PRE Tu academia… Yuntos "urante * "Aas/ se retira el aHu"ante H el alba]il termina lo que falta "e la obra en 15 "Aas. F6n cuantos "Aas pue"e acer la obra el aHu"ante trabaYan"o soloG

b) (25gr. e) ..

c) !25gr.

Un contratista "ice que se pue"e terminar un tramo "e autopista en # "Aas si le proporcionan cierto tipo "e mquinas pero que con # mquinas a"icionales "e "ico tipo pue"en acer el trabaYo en 2 "Aas. +i el ren"imiento "e las mquinas es el mismo. FCuntos "Aas emplear una mquina para acer el trabaYoG a) *

b) 12

c) 1&

") 18 333.

337.

c) 25 338.

b) 2 e) &

339.

b) &5 e) ..

+i un estanque se llena en ' "Aas abrien"o 2 lla%es que arroYan ca"a una 155 litros por ora H estn abiertas 12 oras "iarias. FCunto tiempo tar"ar en llenarse al mismo "ep;sito cuan"o se abren ! lla%es que arroYan (& litros por ora H estn abiertas 1& oras "iariasG

340.

c) #

b) #8 e) !5

c) #*

 los # primeros t3rminos "e una P.. "e ra;n 2 se le aumentan 1 # H ' respecti%amente/ forman"o los resulta"os obteni"os en una P.7. calcular el t25 en la P.. a) !2 ") !!

c) #5

b) ' e) 12

Le un libro "e #5* pginas se an arranca"o cierto n@mero "e oYas "el principio obser%n"ose que en las pginas que que"an se utiliaron *(' cifras para enumerarlas. FCuntas oYas se arrancaronG a) #( ") #&

c) #

") #/2 "Aas

+e tiene una P.. creciente "e # t3rminos cuHa suma "e t3rminos es #*. +i se a]a"en # uni"a"es al primero H al @ltimo t3rmino se forma una P.7. Calcular la ra;n "e la P.. a) ! ") *

6n !8 "Aas 1& obreros an eco 1& "e una obra que les fue encomen"a"a. FCuntos "Aas emplear otra cua"rilla "e 2! obreros triplemente biles en terminar la obraG a) 25 ") *5

336.

b) 2* e) &2

c) !/2 "Aas e) ..

Una cua"rilla "e 125 trabaYa"ores pue"e culminar un puente en #* "Aas. l cabo "el %ig3simo quinto "Aa la "ocea%a parte "e la cua"rilla se retira. FCuntos "Aas "e retraso concluirn la obraG a) 1 ") !

335.

a) !/8 "Aas

Un grupo "e obreros "eben H pue"en terminar una obra en 1# "Aas/ trabaYan"o * oras "iarias . "espu3s "e # "Aas "e trabaYo se "etermin; que la obra que"ara termina"a ! "Aas antes "el plao inicial H para eso se contrataron & obreros ms H to"os trabaYaron 8 oras "iarias/ terminan"o la obra en el nue%o plao fiYa"o. $alle el numero inicial "e obreros. a) #5 ") !8

334.

e) ..

La PRE Tu academia… b) #/* "Aas

b) !* e) !1

c) !#

Cinco ermanos "eci"en acer un regalo a su ma"re/ aportan"o "e menor a maHor canti"a"es que aumentan en progresi;n aritm3tica/ obser%n"ose que el ermano interme"io "io el "oble "el primero pero #5 soles menos que el ermano maHor. FCunto aport; el menor "e to"osG a) #5 ") 85

b) '* e) '(

c) '5

341.

Una mquina selectora recibe pro"uctos en grupos "e 1/ !/ (/ 15/ 1#/ ....../ H/ las selecciona"as %an salien"o en grupos "e 5/ 2/ !/ */ 8/ ....... respecti%amente. FCuntos pro"uctos abrn si"o "eseca"os "espu3s que aHan ingresa"o 2& gruposG a) *55 ") #(&

342.

344.

b) *2 e) *(

6n una P.7./ el quinto t3rmino es !8 H el primer t3rmino es #/ entonces la suma "e los tres primero t3rminos "e lugares m@ltiplos "e # es: a) &55 ") 8(*

347.

b) 111 e) '1*

c) (2*

6n la siguiente sucesi;n calcule la suma "el menor H maHor "e los t3rminos "e # cifras: &/ (/ 11/ 1'/ #&/ *(/ ....... a) &1& ") *!*

b) 8!* e) #!5

c) (!*

c) *#

Calcular el n@mero "e t3rminos "e la siguiente sucesi;n: 1/ 12/ !&/ 112/ ........./ 1&*55

FCunto le falta a B para ser igual a  , C/ si:   1 , 2 , # , ... , *5 B  2 , ! , * , ... , 85 C  1 , # , & , ... , ((G

a) 25 ") 1'

a) 1 !11 b) 1 &11

b) 21 e) 22

348.

c) 18

Una persona compra el primero "e 6nero 1* tele%isores H regala !/ el "Aa 2 compra 18 H regala 8/ al "Aa siguiente compra 22 H regala 1!/ el "Aa ! compra 28 H regala 22/ H asA sucesi%amente/ asta que un "Aa compr; cierta canti"a" "e tele%isores H los regal; to"os. FJu3 "Aa fue eseG a) ( "e enero c) 12 "e enero ") 1& "e enero

345.

346.

c) #8&

+i el quinto t3rmino "e una progresi;n geom3trica es !8 H el primer t3rmino #/ entonces la suma "e los tres primeros t3rminos "e lugares impares es: a) *& ") *!

343.

b) #!& e) #2&

") 2#

La PRE Tu e) 111 academia…

b) 15 "e enero ") 1# "e enero

6n una P.. se sabe que el octa%o t3rmino es !2 H el "uo"3cimo t3rmino es &!. $allar la suma "el quinto H %ig3simo t3rmino "e "ica P.. a) 2*

b) 2&

c) 2!

349.

e) 1 811

a "iferencia "e los "os @ltimos t3rminos "e la sucesi;n. 2 ! ( 11 ... t n es 2!. FCuntos t3rminos tiene la sucesi;nG a) 2! ") 2*

350.

c) 1 (11 ") 1 (55

b) 18 e) 28

c) 1*

+i en 125g. "e aceite comestible aH & Tg. "e aceite puro "e pesca"o H el resto "e aceite "e soHa aH que agregar a estos 125Tg para que en ca"a &g. "e la mecla aHa tan s;lo 18 "e g. "e aceite "e pesca"oG a) 85g ") 2!g

b) !5g e) ..

c) 18g

351.

+e pens pens; ; acer acer una una obra obra en cierto n@mero "e "Aas/ "Aas/ pero pero si se aume aument ntab aba a en & el n@me n@mero ro "e ombr ombres es se po" po"rA rAa a termin terminar ar en obra canti"a" "e "Aas. +i la relaci relaci;n ;n entre entre las las canti canti"a" "a"es es "e "Aas es "e * a &/ allar la canti"a" inicial "e ombres. a) 15 ") 2&

352.

c) 25

Una pelota "e ule cae "e un altura "e 18 metros H ca"a %e rebota asta una tercera parte "e la altur altura a alcan alcana"a a"a en el rebo rebote te anterior. Calcular el espacio total recorri"a por la pelota asta que te;ricamente que"e en reposo. a) #5m ") #'m

353.

b) 1& e) ..

b) #*m e) #5m

b) 2 e) 1&

356.

Calcula: +  1 , 8 , 2( ,......., 21'( a) 8#*1 ") !5'(

357.

Calcula: +  1 , # , & , ( ,....., *( a) 11&* ") 11&'

358.

359.

355.

a) !'5 ") *15 360.

c) 1

Calcula : +  1 , 2 , # , ......, 8*

362.

b) 2*'5 c) 28(5

c)

b) 1&'5 e) 1(25

c) 1(15

Calcula: +  1( , 1' , 21 , 2# ,..., (# b) 125& e) 1#1&

c) 1!2&

$alla: +  152 , 11 112 , 122 , ..., 1* 2 a) 1#1& ") 1218

363.

b) &15 e) &'8

$alla: + 25 , 21 , 22 ,..., *5 a) 1&25 ") 1*!5

b) #*81 c) 8*#1 e) #&(2

Calcula: +  1 , ! , ' ,......., !55 a) 2**5

b) 2!1& c) 21## e) 281&

Calcula: +012-15),022-15),0#2-15),...,012215)

a) 1#5& ") 12(&

a) #(!1 ") #'*2

b) 11#! c) 11!8 e) 115(

$alla: +01#,12),02#,12),0##,12),... ,0'#,12) a) 2#12 ") 2!1*

361.

354.

b) *581 c) 8555 e) 8281

c) 2&m

Le una P. "e !5 t3rminos se conocen la suma "e los e4tremos H el pro"ucto "e los cuatro t3rminos cent centra rale les. s. $alla $allarr esos esos t3rmi t3rmino nos/ s/ sabien"o que la suma es ! H el pro"ucto es 91&. "ar el menor "e "icos t3rminos. a) - 1 ") - 1&

") 2'(5

La PRE T PRE Tu u e) 2#'5academia…

b) 1#!& e) 1#2&

c) 1211

Calcula: +  1## , 1!# , 1&# ,...,22#

a) &*2*& ") &!1&1 364.

b) 1( e) 1'

b) 15 e) 12

b) 1& e) 1(

c) 21 373.

c) #5

$alla: +  1.0#),2.0!),#.0&),....,25.022) a) #2'5 ") #1'8

b) #1*5 e) '!#1

c) #1'!

$alla: +  1025) , 201') , #018) , ...2501) a) 1&*5 ") 1&(5

c) 8

b) 1&!5 e) 1*2!

c) 1*15

$alla la suma total "e:

374.

6  1/51 , 2/52 , #/5# , !/5! , ... #5 t3rminos

c) 1*

a) !&&/'& ") #2*/!& 375.

b) 2'&/!& e) !*(/*&

c) !*'/*&

$alla el n@mero "e canicas que se obser%arn en la figura 2&.

b) &('5 c) &8&5 e) *1(2

b) #&'15 e) #&'1&

1 ...

c) #!215

a) 1! ") 18

b) 1* e) 1'

2

a) #55 ") #*1

$alla <4> 4 , 0 4 ,1),0 4 , 2 ),0 4 ,#),...,24  #*5 376.

371.

b) 25 e) 2!

Calcula: +  1.2.#,2.#.!,#.!.&,...,18.1 1.2.#,2.#.!,#.!.&,...,18.1'.25 '.25 a) #&!15 ") #*21'

370.

372.

Calcula: +  1.2 , 2.# , #.! ,...., 2&.2* a) &**5 ") &(85

369.

c) 1&

$alla <4> 1# , 2# , ## ,..., 4#  8281 a) 12 ") 1#

368.

b) 1! e) 18

. . . .. 01 + 3 + 5 + ... + 39)0 1+ 0 2 + 0 3 + + 2

a) 15 ") !5

$alla <4> 12 , 22 , #2, ..., 42  28& a) ' ") 11

367.

42

$alla 1 , # , & ,..., n  155 a) 25 ") 2#

366.

c) &821&

$alla 1 , 2 , # , ...., n  15& a) 1# ") 1*

365.

b) &('2& e) 21!#1


c) 1&

377.

b) #2& e) 2(*

! c) #&1

$alla la suma: +1(,18,1',...,#5 a) #*5 ") #'1

Calcula:

#

b) #2' e) 282

Calcula el %alor "e:

c) 2''

=  1.& , 2.* , #.( , ... , 25.2! a) #1*5 ") #1(5 378.

379.

b) #'15 e) #(15

380.

381.

a) ! π m2 1 b) ! π #m2 m 2 c) 2 π #m ") # π 2m2 e) 1* π &m2 +uma : +  1.1& , 2.1! , #.1# , ... , 1&.1 1&.1 b) 218 e) *85

384.

385.

c) 21* 386.

Calcula el %alor "e la siguiente serie: +1.2.#.,2.#.!,#.!.&,...,25.21.22 c) #5

Calcula el %alor "e = : =  2 , 2 2 , 2# , 2! , 2& , . . . , 215 a) 215& ")1

b) 215-1 e) ..

1

+ a)

1 &

1* &1

2

387.

,

2 &

b)

!

#

,

# &

1* &

,

&

!

&

, c)

& &

& 1*

,...

e)

2#

b) 18 e) #2

c) 2!

orge %a to"os los "Aas al merca"o en compra "e mananas/ el primer "Aa compra 1manana/ el segun"o "Aa !/ el tercer "Aa '/ el cuarto "Aa 1* H asA sucesi%amente ast asta a comp comple leta tarr &5* &5* man manan anas as.. FCuntos "Aas se fue "e comprasG. b) 12 e) !2

c) 11

PattH H =arAa leen una no%ela. Pat PattH lee lee &2 pgin gina as "iar "iaria iass H =arAa lee 8 pginas el primer "Aa/ 1* el segun"o "Aa/ 2! el tercero H asA suces cesi%a i%amen mente. +i ambas empearon a leer el 1# "e abril H terminaron "e leer cuan"o llegan a la mis misma pgin gina a. F6n qu3 "Aa "Aa suce"eG. a) 2# abril b) 2& abril ") 2! abril e) ..

c) 20215-1)

$alla la suma:

383.

8

Un coronel tiene 215 sol"a"os a su carg cargo o H quie quiere re colo coloca carlo rloss en forma triangular "e mo"o que en la primera fila aHa 1/ en la segun"a 2/ en la tercera # H asA sucesi%amente. FCuntas filas se formaronG

a) 15 ") 2(

444

b) &21#5 e) .

1(

a) 25 ") 21

c) (2!

$alla: R . 4 si: 1,2,#,...,R  a) #& b) #( ") #8 e) 158

a) &11#5 &11#5 ") &!#21 382.

c) #815

$alla la suma "e las reas "e los infinitos cArculos que se forman/ toman"o como ra"io la mita" "el ra"io anterior 0se consi"era tambi3n el cArculo maHor).

a) !1& ") &2'

")

(


c) 2* abril

uis recoge una nue un "Aa/ al otro tro "Aa 2/ al sigu siguie ient nte e # H asA suce sucesi si%a %ame men nte te ast asta a lle llegar gar a almac almacen enar ar 251* 251*.. FCu FCunt ntos os "Aas "Aas estu%o realian"o esta operaci;nG. a) *1 ") *!

b) *2 e) *&

c ) *#

388.

=arH repart reparte e !5!! !5!! carame caramelos los// tal que ca"a "Aa que transcurre se reparte 2 ms que el anterior. +i el primer "Aa se reparten 2 caramelos/ Fcuntos "Aas "ur; el reparto si sobran 12. a) *1 ") &#

b) *# e) *(

a) 2 ") #2 390.

b) 2# e) 2&

a) ! π ") 15 π

b) 25 e) 18

c) 2#

1

+

!.8

,

1

,

8.12

!

...cm/

b) * π e) 12 π

c) 8 π

+U=NORS+

Notación +ea 4 una %ariable que toma %alores :

1 ,..., 12 .1*

1

41/ 42/ 4#/ ....4n/ la suma "e estos %alores:

*5.*!

a)

1

6s la forma abre%ia"a "e e4presar una serie 0sAntesis).

$alla

391.



c) 12!1#'

$alla el %alor "e <4> en: 4 , 04 , 1) , 04 , 2) , 04 , #) , . . . , 0#4)  1*!5 a) 2& ") 2!

1 2

2 1

la suma "e las circunferencias "e to"os los cArculos es:

c) *2

Calcula +1+2 : +12,*,15,1!,?,#8 +2#,',1&,21,?,&(

389.

393.

La PRE T PRE Tu u academia… +i los ra"ios "e una sucesi;n "e cArculos son:

1# !5&

b)

1&

c)

2&*

41 , 42 , 4# , . . . . , 4 n / se representan uni%ersalmente por la letra sigma0Σ)/ es "ecir :

11 n

2&*

")

41 , 42 , 4# , .... , 4 n 

2( !5&

e) ..

na n

an

a) 1' ") #'

4i

i=1

$alla

392.

∑

. n a 2 . n a # ...

a25

"on"e : n  lAmite superior i  lAmite inferior Σ  opera"or sigma 4i  termino general +e lee : sumatoria "e los t3rminos 0n@meros) "e la forma 4i "es"e.

b) 2& e) 2'

c) 2(

Propiedades

@mero "e sumatoria

t3rminos

"e

La PRE Tu academia… "e un t3rmino

una +umatorias compuesto:

b

∑

4

n

∑=

4 =a

0a4 ± b)

4 1

uego :  t3rminos : 0b 9 a , 1) 6Yem :

n



*

∑

4 

N

∑

n

a4

±

4 =1

∑

b

4 =1

4 =1

*91,1

n

= 6

a

∑= 4 ± 0n 9 1 , 1) b 4

+umatoria con t3rmino general num3rico o constante.

Propiedades

J

∑

c

n

-  1 , 2 , # , . .. , n ∑ =

0J 9 P , 1) c

4 =p

- 1

!

∑

#

n

 # , # , # , #  0! 9 1

→

4 =1

∑ =

- 

- 1

, 1) 4 #  12

n0n + 1) 2

n

+umatoria "e t3rminos generales con coeficiente n

∑

∑=

ca 4

=

c

∑

2  12 , 22 , #2 , . .. , n2

- 1

uego :

n

4 =1

a4

n

∑=

4 =1

2 

- 1

6Yem :

n0n + 1)0 2n + 1) *

n

&

∑

1

24

 201) , 202) , 20#)

4 =1

, 20!) , 20&)

∑=

#  1# , 2# , ## , !# . . . , n #

- 1

uego :

21,2,#,!,& &     4  2  4 =1  

∑

n

∑=

- 1

2 n0n + 1)        2  #

#5

394.

Calcula :

4

4 =1

a) !*5 ") (1&

a) 2! ") 18

2(

∑ +∑

La PRE Tu academia… b) 21 c) 25 e) 1'

4

4 =1

b) &2& e) !*2

c) 8!#

n

401.

∑

$alla :

42

= 12!5

4 =1

1(

395.

Calcula :

2!

∑ +∑ i2

i=1

a) 1!2& ") 18'&

a) 1* ") 18

42

4 =1

b) 1#'2 e) **8&

b) 1( e) 1'

c) 1&

a

c) 1!'& 402.

$alla :

∑

= 1!!55

i#

i=1

11

396.

$alla :

'

∑ −∑ 4#

4 =1

a) &1##* ") &1'2&

a) 1* ") 21

-#

- =1

b) 2##1 c) &2'21 e) 2#**1

b) 1& e) 25

c) 18

15

403.

$alla :

∑

0 4#

− 42 )

4 =2

18

397.

Calcula :

∑

a) 28'5 ") 2*15

#4

4 =1

a) &18 ") (12

b) &1# e) (1*

c) !18

b) 2*15 e) 2

c) 2*!5

25

404.

Calcula :

∑

-0-

+ #)

- =2

11

398.

$alla el %alor "e :

∑

a) #*55

8a2

a =1

a) !5!8

b) c) !85! e) &152

") !'5#

") #&'2

b) c) # e) #!'*

!2*2

#82&

25

405.

$alla el %alor "e

∑

40 4

+ &)

4 =#

1*

399.

$alla :

∑

a) #'15 ") #(15

&4#

4 =1

a) '2!85 ") '2125

b) '28!5 e) '*5!#

c) '1155

b) #'55 e) !155

c) #8!5

#5

406.

$alla :

∑

0# 4

+ 2)

4 =1

n

400.

$alla :

∑ 4 =1

24

= #!2

a) 1!2& ") 1*2&

b) 1!&& e) 1&'1

c) 1#2&

La PRE Tu academia…   #/51 , #/52 , #/5# , ...... , (

85

∑

$alla :

407.

-2

a) 2552

- =1&

") 1255

a) 1(58*5 b) 185'1& c) 1(28*& ") 1(#'21 e) 1(&!*1 414.

28

Calcula :

408.

∑

08-

− &)

- =1

a) #25& ") 1'&5 409.

b) #158 e) &51#

a) 8#5 ") 825 410.

b) (25 e) '55

411.

b) (! e) ((

1 3

+ +

2 6

+ +

3 9

+ +

. .. . ..

b) 2*&5 e) 2*85

c) 2**5

Lisponga los n@meros naturales en forma a"Yunta H "e ensegui"a el @ltimo t3rmino "e la fila n@mero #5.

e) '''

2 4 7

11

3 5

8 12

6 9

13

10 14

15

c) 12 417.

+ +

n 3m

= =

990 630

$allar : m + n a) 15 ") 8

c) '8/2&

Calcular el %alor "e los 155 primeros t3rminos "e : 1 / 2 / # / -! / & / * / ( / - 8 / ' / 15 / 11 / - 12

a) !*& b) 8&5 c) 8'5 ") '15

c) (#

b) 2! e) !5

+i :

412.

413.

416.

a suma "e to"os los n@meros naturales "es"e ZnZ asta Z&nZ es 12#5. Calcular el %alor "e ZnZ H "ar como respuesta el pro"ucto "e sus cifras. a) 5 ") #2

b) '2/8& e) '#/2#

a) 2*!5 ") 2*(5

c) *#5

l sumar *1 n@meros naturales consecuti%os el resulta"o "a 2(!&. $allar el maHor "e los suman"os. a) (& ") (*

415.

255!

Leterminar el %alor "e la siguiente suma : +  2/51 , !/5! , */5' , ...... , 18/81 a) '5/28 ") '2/28

c) 255&

a suma "e 25 n@meros enteros consecuti%os es !#5. FCul es la suma "e los 25 siguientesG

b) c) 255* e) 852

b) 12 e) *

Calcular el %alor "e :

c) (

Un abuelo tiene 25 nietos H reparti; cierta canti"a" "e caramelos "e la siguiente forma: 6l primero le "io 15/ al segun"o 12/ tercero 1! H asA sucesi%amente. FCuntas bolsas "e caramelo a teni"o que comprar el abuelo/ si ca"a bolsa trae 25 caramelosG a) #5 ") 28

b) 2' e) #2

c) #1

418.

$allar la suma total si aH 25 filas :

422.

3 4

2 3

4

5

5

3 4

a) 12 ") 1

4

5

5

5 423.

a) 28(5 ") 28(2 419.

b) 2(85 e) 2885

420.

b) !21 e) !25

1 7

2 72 1 a) 16 3 ") 16 421.

+

+

1 73

2 74 9 b) 16 5 e) 16

+

+

1 75

=

a) c) e)

1 x

x x 2

−4

x x

2

+1

+

1 x2

424.

b) ")

1 x3

x 2

2 + ... 76 9 c) 16

x x

2

−x

c) 2!

b) (8 e) 2!2&

Operar

∞

∑ (2

Calcular a) -#( ") 1(

n

n +1

1  − 1)    3 

2

+

2n

n

∞

 − 1   3      ∑ 3   2  n =0  b) -1( e) -2(

Operar: 3

(1.2) a) 5 ") #!

c) (#!

b) #2 c) 2 e) '2

") (2

427.

5 2

c) #(

+

7 2

(2.3) (3.4) b) 12 c) 1 e) 1&1*

+

9 ( 4.5)

x x 2

−3

a12

+ x 3 + x 4 ..... + ∞ = 25

a) 12

+ .....

+7

;............hallar

n=0

+

x

1

;

Calcular 4 en:

a) 1*( ") &*#

425.

c) &2

b) 1* e) 28

1 + x + x 2

426.

+

1

a) 12 ") 2*

+i 4 Q # calcular el %alor "e la siguiente serie :

R

;

128 64 32

c) &*5

Calcular la suma "e los infinitos t3rminos "a"os :

b) #2 e) 2

6n la siguiente P.7. 1

c) 28(&

6l primer "Aa "e trabaYo gan3 +. # el segun"o "Aa gan3 +. ( el tercer "Aa gan3 +. 1# el cuarto "Aa gan3 +. 21 H asA sucesi%amente. +i trabaY3 25 "Aas/ Fcunto gan3 el @ltimo "AaG a) !!1 ") #85

Calcular:

2 + 3 2 2 + 32 23 + 33 + + + ....... 2 3 6 6 6

1 2

La PRE Tu academia…

Sucesiones aritméticas de orden superior

2

+.

La"a la sucesi;n a1/ a2/ a#/ a!/ a&/ ?? 1er or"en 1 1 1 1 X1 X2 X# X! 2er or"en 2 X1 2X2 2X# #er or"en # # X X2

an

n − 1 3  n − 1  2    = a1 +1∆1  + ∆  1   +

S n

n  2  n  3   n  1   = a1   + ∆  1    + ∆1    + ∆1 

1

1

2

2

3

$allar  1 1 

428.

1 1   1 1  −  +  − + −     + ...........  2 3   4 6   8 12 

1+ 

a) 2 ") 8#

b) 2# e) #

c) !#

La"o:

429.

2

3

 1   1   1  S = 1 + 2   + 3   + 4   2   2   2  6l %alor "e <+> es a) 1 1! ") !

430.

b) 2 e) #

c) 8#

$allar la suma "e la serie: 1 1 1 1 1 + + + + + S = 1 + 3 9 27 81 243 a)

2

3 ") '

3 4 e) #n b)

c)

3 2


an  6n3simo termino n  @mero "e t3rminos r  Ra;n s  +uma "e t3rminos


%lasi&icaci'n: 1. 2.

P. creciente/ cuan"o r Q 5 P. "ecreciente/ cuan"o r I 5

P(oiedades: an  a1 , 0n - 1)r ac 

a1

+ an 2

a 

a k −1 + a k +1 2

+

 a1 + a   2

n

   n 

 2a + ( n − 1) r    n +  1  2       2a n − ( n − 1) r  

 

2

+  ac .n an a , 0n-)r

 n 

nte(olaci'n de *edios a(it*+ticos Consiste en colocar o poner t3rminos entre "os t3rminos cualesquiera "e una P.. "e mo"o talque al acer este proceso se forma una nue%a progresi;n aritm3tica sean H "os n@meros. m + 2 término

→ ÷ a ........................... . b

PROGRESO! "R#$E#%" otaci;n: 1) ÷ a1.a2.a# ........an 2) ÷ a1. 0a1 , r).0a2 , r) ........ "on"e : a1  Primer t3rmino

r

 − a m +1

m medio aritmético

= ra;n "e interpolaci;n

PROGRESO!ES GEO$E#R%"S

6s aquella sucesi;n "e n@meros en la que un t3rmino cualquiera "iferente "el primero se caracteria por ser igual al anterior multiplica"o por una constante "enomina"a ra;n. !O#"%,!1) -N1 : N2 : N# : ... Nn 2) -N1 : N1q : N2q2 : ... : O!EN1  Primer N3rmino Nn  n 9 3simo t3rmino n  numero "e t3rminos q  Ra;n. +n  +uma "e los t3rminos. +  +uma lAmite Pn  Pro"ucto "e los primeros t3rminos.

La PRE Tu academia… +ean a H b "os n@meros talque entre ellos se colocan o ponen en t3rminos me"ios geom3tricos "e mo"o que al acer este proceso automticamente se forma una nue%a P.7. +ean a H b/ los n@meros → !m + 2" término

- a .................. b m medio

 q  m +1 a

q  Ra;n "e interpolaci;n

%/"S%"%,!2) P.7 creciente sA q Q 1 #) P.7 "ecreciente sA 5IqI1 !) P.7 oscilante sA q I 5 PROPE"ES : 1) Nn  N1 qn-1 2) Nn  Nn 9 1 . q #) Nn  N. qn- !) N  !k +1.!k −1 &) +olo si e4iste un n@mero impar "e t3rminos. Nc  !1 .!n *)

+n 

(

)

! qn −1 +n  1 ; q −1

− !1 q −1

!n q

()

+

8)

P



! 1 0n → )  0suma limite) 1− q

(!1 !n )n

!#ERPO/"%,! E $EOS GEO$#R%OS

INTRODUCCIÓN  %eces/ al empear a estu"iar un tema nos salta la "u"a: si quiero ser aboga"oG. o es fcil %er la estreca relaci;n "e estos temas con la %i"a "iaria/ por eYemplo/ nuestra %i"a es una serie "e sucesos/ "on"e ca"a uno "e ellos est relaciona"o con el anterior H con el siguiente: primero nacemos/ luego %amos al ni"o/ "espu3s primaria/ sigue secun"aria/ luego somos preuni%ersitarios/ uni%ersitarios/ profesionales/ nos casamos/ tenemos iYos/ nietos H finalmente J.6.P.L.

I. SUCESIÓN ARITMTICA 6s aquella en la cual/ la "iferencia entre "os "e sus t3rminos consecuti%os es constante.  "ica "iferencia se le "enomina 0r)

*/ '/ 12/ 1&/ 18/ ... 8/ !/ 5/ -!/ -8/ ...

• •

d r# d r  -!

n

∑

La PRE Tu academia… a " = a 1 + a 2 + a 3 + ..... + a n

" =1 n

Suma de u!e"#n a$"%m&%"!a' S n

= a1 + a2 + a3 + ... + an =

( a1 + an )n 2

n  nº "e t3rminos: n

=

− a1

an

r

II.

      

" =1

n − #e$es

+ $ = $ns&an&e+ n

∑ $a

+1 

n

"

" =1

∑ (a " =1

= $a 1 + $a 2 + ..... + $a n = $∑ a " " =1

n

a1  primer t3rmino an  en3simo t3rmino r  ra;n a5  t3rmino anterior al primero en3simo termino: an

∑ $ = $ + $ + $ + ..... + $ = n$,

"

*r'res"n es ar"&m&"$as

= & 1 + (n − 1)r ;

&n

n

III. SERIE "E N#MER$S IMPARES +uma 

 







Z nZ t3r min os



 

n −1

= & 1 .r

&n

− &1

2

n;

+1

n

;

Sn

& 1 .(r

=

− 1)

r − 1

;

Ser"es espe$"a%es

I%. SERIE "E CUA"RA"$S +uma  1 + 2 + # + ... + n  2

%.

&n

=

=

Sn

+ &n

&1

r *r'res"n es 'em&r"$as

1 + # + & + ( + ... + 0 2n − 1) 

" =1

" = p

+uma  1 , 2 , # , ! , ... , n 



" =1

+  " ) =∑ a " + ∑  "

∑ $ = (p − q + 1)$

SERIE NATURA!



n

q

= a1 + 0n − 1)r



n

2

2

2

SERIE "E CU&$S

n

2

= ∑" = 2

+uma  1 + 2 + # + ... + n  #

#

#

SERE  S$"#OR"S

" =1

2

= 12 + 2 2 + ..... + n 2 = n

#

n(n + 1)

= 1 + 2 + ..... + n = ∑ " =

Sn S

n

n(n + 1)(2n + 1) 6

" =1

S n3

= 13 + 2 3 + 3 3 + ..... + n 3 = n

 n(n + 1) 

= ∑ "3 =   " =1

2



2

La PRE Tu academia… a) 8!

437.

c) 92!# e) 2!#

$allar los t3rminos que faltan en la siguiente sucesi;n: ) B) C) L) 6)

438.

b) 1*# ") 98!

#*/ N #&/ N #&/ + #*/ + #&/ +

2 1 4) 8 5 ( 3 ' 0 & %

FJu3 n@mero no correspon"e a la sucesi;nG 1'/ 1#/ 8/ */ !/ 1/ 91/ 92 a) ! b) * c) 1# ") 1 e) 91

E'ERCICI$S 439.

431.

432.

433.

434.

435.

2/ &/ */ '/ 15/ 1#/ 1!/ G ) 18 B) 1( C) 1* L) 1' 6) 25 a/ 9a2/ a#/ 9a!/ G ) 9a& C) a* B) a& L) 9a*

6) a!

#/ &/ '/ 1&/ 2#/ G ) 2( B) 2' C) #5 L) ## 6) #& 5/ 1/ 1/ 2/ 2/ 2/ #/ #/ #/ G ) 5 B) 1 C) 2 L) # 6) ! 15/ (/ &/ !/ G ) & B) ! L) 2 6) 1 # 9 2 7

436.

# 3

440.

441.

$allar m2 9 n2 9!/ 1/ 9*/ #/ 9(/ &/ 9(/ (/ m/ n a) 9#* b) 9!& c) !& ") #* e) 92( +i bsoluto  12#&*(!& busi%o  2#8!(** +@bito  ................ las cifras que siguen son: ) &'!8(& C) &'8!(* 6) &8!(&8 B) &'!8&( L) &8!8&( $allar un n@mero en el cArculo central "e tal manera que los n@meros "e ca"a recta sumen 1& los n@meros no se "eben repetir. ) B) C) L) 6)

C) #

! 8 ( * &

!

2 #

8 1

$

442.

FJu3 t3rmino continuaG

94 9! 9 2H-#  4 92 9 1 & , 2H #  1#42 , (H* a) 2' 4# n.a. b) 1( H# 443.

c) 2' 4# , 1( H2 e)

FJu3 n@mero faltaG 2 4

$

) 1#!

445.

B) 1!& L) 1*8

1*(

451.

452.

# 1

8 B) 1 2

448.

4 8 8 0

$allar <4>

) 2

447.

C) 6) 1&#

1 2 0

450.

FCules son los 2 t3rminos que contin@an en la serieG *!/ C/ #2/ _/ 1*/ S/ 8/ / G / G a) !/ p c) !/ n e) .. b) !/ o ") !/ ]

1 3

446.

449.

") 2' 4! , 1! H'

8

444.

) *5 L) *!

! L) *

2

C) 6) ..

453.

5

Calcular Z4Z en la sucesi;n "a"a: 2 ! ( 12 1' #5/ 4 ) !2 B) !& C) !# L) !8 6) !5 Calcular Z4Z en la sucesi;n siguiente: ! 1* #* 4

Calcular Z4Z en: 2(8#1 (8#12 8#12( 4 ) #21(8 B) #12(8 C) #218( L) 8#12( 6) (82#1 Calcular Z4Z en la sucesi;n "a"a: 2 # & ! ' 2& 8 2( 4 ) 125 B) 12& C) *2& L) 155 6) (& Calcular Z4Z en el siguiente arreglo: 2' 18 11 ( ! # 4 ) 1 B) 2 C) 5 L) # 6) -1 Calcular Z4Z en el siguiente arreglo: 4-# !4-1 1542 224* .... ) !!411 B) !&415 C) !*411 L) !8411 * 15 6) !24

#Calcular 4 contin@a:

el

t3rmino

que

12 &* &! 1(15 .... ) 61#* B) 1'8 C) 2115 L) 181# 6) 1&(

8

Calcular Z4Z en la siguiente sucesi;n: 2 # & ( 11 1# 4 7 B) 1! ) 1& C) 1 1* 1 L) 1( 6) 182

La PRE Tu B) &* academia… C) (5 6) *8

# S^62SS 454.

Calcular el n@mero "e t3rminos en la sucesi;n: * 11 1* 21 ...  *51 ) 121 B) 118 C) 11' L) 125 6) 85

La PRE Tu academia… 6ntonces: 0 1 5 23  . . . 1,-1

2,-1

3,-1

4,-1 Por lo tanto el n@mero que contin@a es & - 1  11'

455.

$allar la suma "e los "os t3rminos que contin@an en la siguiente sucesi;n: #/ &/ N/ '/ 15/ R/ 1!/ 1&/ P/ 18/ 25/ / G/ G ) !* B) !( C) !8 L) !' 6) .. 456.

Ee*loJu3 n@mero contin@aG 5/ 1/ &/ 2#/ . . . Soluci'nRecor"amos la sucesi;n "e los factoriales.

FJu3 termino contin@aG 2/ &/ 28/ ...... ) 2&( B) 2&* C) 2&& L) 2&! 6) 2&#

S^6 SSS FJu3 termino contin@aG 457. +/ U/ 6/ / R/ O/ .... ) N B) U C) ^ L)  6) [ 458.

FJu3 termino contin@aG

!/ '/ 2&/ !'/ .... ) 81 C) 121 6) 1&* 459.

460.

FJu3 numero sigue en la secuencia: !/ 11/ 1(/ 22/ 2*/ 2'/ --B) 2( 6) #2

B) #2 6) 28

467.

468.

FJu3 numero sigue en: 11 1( 2! #! !' (1 ---

464.

B) 1' 6) 2!

C) 22

470.

C) *&#88

FJu3 n@meros siguen en: 2 # ! * 12 25 28 !8 --- -- ) 85/ #* L) *5/ '8

471.

B) *&288 6) '#*&5

B) '5/ #8 6) ..

C) 155/ &!

Calcular <4,H> en: 1 & 1& #! 4 111 H

C) 152 ) 185 L) 2(5

FJu3 numero falta en: 5 # 15 --- #* && ) 21 L) 22

465.

B) 151 6) 155

B) 25 6) '

a suma "el (mo termino "e: h 1& 115 11( ??.. Con el 8%o t3rmino "e h 2& #15 !1( ??.es: ) (&2#( L) &(#2&

6n: 2 15 #5 *8 ..? ?.. 6l t3rmino general es:

) 1#1 L) '8

C) 2!

C) #5

) n,n2 B) n0n-1) C) n,n# L) n0n#-1) 6) n0n,!) 463.

B) 28 6) 1&

FJu3 numero sigue en: 2,# #,& &,( (,11 --- ) 1# L) 2!

469.

B) 1# 12 C) 11 #! 6) 1#

$allar . 12 !8 ' #* * 2! a b ) 12 L) 18

C) #5

FJu3 numero sigue en: *( *! &' &2 !# -- ) #! L) 2'

462.

) 12  L) 12

FJu3 termino contin@aG #/ #/ !/ */ &/ ...... ) 1 B) 2 C) # L) ! 6) &

) #1 L) 28 461.

B) 155 L) 1!!

466.

La PRE Tu academia… FJu3 numero sigue en: 2! 21  18 h 1&  ---

472.

B) 215 6) #55

C) 2!5

FJu3 numero sigue en: 1 2 ' *! ---

C) 25

FJu3 n@meros siguen en: # ! ( ' 1* 1' --- -- ) #5/ #& B) 2&/ 2' C) #&/ #' L) #5/ #! 6) 21/ 2&

) 128 L) *2& 473.

B) 2&* 6) 125

C) 12&

FJu3 numero sigue en: 1* 1& #5 15 8 2! * # -- ) 12 L) &

B) 1& 6) !

C) '

474.

FJu3 numero sigue en: # ( 22 8' --- ) !8! L) !!*

475.

B) -2&2* 6) 1

) S L) SS

485.

486.

B) S H SS C) S H SSS 6) S/ SS H SSS

B) 12'&* 6) 12( &*

B) ' 6) 12

B) 1( 6) 25

C) 18

Ju3 n@mero sigue en la sucesi;n: 12  1'  #8  (&  ....................... a) (5 b) 1#* c) 155 ") *55 e) .. Calcular el t3rmino #5 "e la sucesi;n: 2 # * 11 ..... a) 8!# b) 8!& c) 8#! ") #8! e) !8# $allar la suma "e la serie siguiente: +  1 , 2 , ( , ( , 1# , 12 , .. , !2 a) !2& b) !2# c) #!2 ") 2#! e) 2!&

C) 15

$allar el siguiente termino en: & ' 1( ## *& 12' 2&( --- ) #8* L) '28

487.

C) 128(2

$allar el t3rmino que sigue en 2 ( ! ' * 12 -- ) 8 L) 11

C) #!

SS) 2n2-!n,2

6l 8%o t3rmino "e la sucesi;n: h (* 1(12 #125 ---- es: ) 12((2 L) 12'(2

480.

C) !8!'

484.

a leH "e formaci;n "e: 5 15 2! !2 *! '5 ---- es: S) 2n2,!n-* SSS) 20n,#)0n-1) +on ciertas:

479.

483.

B) 28 6) &1

$allar el numero que falta 1 * # 15 & 1! ( -- ) 1* L) 1'

C) 1*'55

calcular el pro"ucto "e los t3rminos que ocupan las posiciones !' H &5 en: 1 -12 2 -1# # -1! ! --- -- ) -1 L) -2!2&

478.

B) *2' 6) 2&55

482.

C) 1'

FJu3 numero sigue en: 1 2 ' 121 --- ) 2*5 L) 1#55

477.

B) 2( 6) #1

) 1' L) !&

C) 88

FJu3 numero sigue en: 1 1 2 2 ! * ( 1& 11 --- ) ## L) 1*

476.

B) # 6) (

481.

La PRE Tu $allar el t3rmino academia… que sigue en: 1 # & 1& 1( ---

$allar el siguiente t3rmino: 2 8 #2 128 &12 ?. ) *2! L) 1&8*

488.

B) !*! C) &1# 6) 15'*&

B) (5* 6) 25!8

C) 152!

$allar el siguiente n@mero en: 2 2 #2 1 &8 --- ) #8 L) !&

B) 18 6) #!

C) 1!

489.

+i: a12 H a2# H la relaci;n general: an,1  #an - 2an-1 $allar el %alor "e < a !,a* >. ) ## L) !2

490.

C) #*

B) # 6) 5

497.

B) 2& 6) #&

) ' H 1 L) ' H 11 498.

499.

493.

) !22 L) *'! 494.

B) 1*!& 6) 1!&!

B) 15 H 11 C) 8 H 11 6) 11 H 1!

#/ */ (/ 1!/ 1&/ #5/ #1/ *2/.../?

#/ '/ '/ 1&/ 1&/ 21/ 21/ 2(/.../?

8/ 1!/ 2*/ &5/... ) (* L) 1!*

501.

C) *#2 502.

B) '8 6) 128

C) 158

( 12/ * #!/ */ & 1!/ ! 12/?? ) # #! L) 2 #!

B) # 1! 6) #

C) 2 1!

#1/ #5/ 28/ 2&/ 21/... ) 25 L) 1*

B) 1' 6) 1!

C) 18

C) '8! 503.

+e]ale el siguiente par en: #-* '-12 21-2! ----- ) !&-!8 L) !2-!8

496.

B) &1! 6) (8*

Sn"ique el numero que contin@a: 12 2* 81 #28 --- ) 1#12 L) 1*!5

495.

B) nn,1 L) 0n,1)n0n-1)

$allar el t3rmino que sigue en: # ! * 15 18 #! ** 1#5 2&8

C) **'

) 21 H 21 B) 2( H 28 C) 2( H ## L) ## H ## 6) 2& H ## 500.

) n0n,1)n-1 C) n0n-1)n,1 6) 0n-1)n0n,1)

B) !22 6) ''8

) *1 H 122 B) *# H 12* C) *! H 128 L) *# H *! 6) ** H 15*

C) #5

La"as las sucesiones: h !# '! 1*& ---h 2#  !& ---a "iferencia "e los t3rminos een3simos es:

B) 12&''5 C) 12!&!5 6) 12*1&5

$alle el siguiente t3rmino en: 1 1555 112 88' 22# ((8 ?. ) ' L) ##!

C) 2

$allar el numero que falta en: ( 15 ---- '! !*# ) 25 L) #2

492.

B) !5 6) !'

) #5(8'5 L) 12#(85

$allar el n@mero siguiente en: #'(5 *& 15 & --- ) ! L) 1

491.

La PRE Tu academia… 15(2&* 111&(( 11&8'8 12521'

B) 21-!8 C) 28-2! 6) 1!-!&

+e]ale el n@mero que continua

8/ 1&/ 22/ 2(/ #2/ #&/... ) ## L) #'

504.

B) #! 6) !5

C) #8

FJu3 n@mero sigueG 2/ #/ !/ '/ 1*/ 2'/ &!/?? ) 8'

B) (2

C) 81

L) '* 505.

506.

6) ''

) 11'* L) 11*

6l %alor "e \ 9 #[ es: 1/ 1/ !/ 8/ '/ 2(/ [/ \/

513.

) 12 B) 1! C) 1* L) 18 6) 25 6l %alor "e 4 , H es: n1&/ n1!/ n12/ n1(/ n'/ n25/ n4/ nH B) 2( 6) #5

Calcular: ' , 12 , 18 , 2! , 2( , #* , #* , !8 , ... , 1&# , 25!. ) #215 B) #25# L) #51# 6) #55# So)ución

a suma "e los "oce primeros t3rminos que terminan en & es: So)ución

515.

516.

517.

Rpta(

509.

11/ 1!/ 15/ 1#/ '/ 12/.../?

510.

11/ 1#/ 1!/ 1!/ 1&/ 1&/ 1*/... ) 1( L) 2!

511.

512.

B) 1* 6) .

518.

C) 18

1&/ !/ 1(/ */ 1'/ 8/ 21/ 15/ 2#/.../ ?.. ) 22 H -2 1 L) 22 H 5

B) 2# H -1 6) 12 H 2&

11/ 1!/ 12(/...

1/ 1/ 2/ !/ */ #*/.../? ) !2 H 1(*! B) !' H 8 C) #8 H !5 L) !5 H !2 6) !2 H !!

C) #21#

Rpta(

508.

C) 12& H

C) 28

Rpta( 507.

5/ 2/ #/ &/ !/ '/ 2&/ 8/ 2(/.../... ) #5 H 1& B) 125 H 1* 1* L) 155 H 1! 6) 12& H 81

514.

) 2* L) 2'

La PRE Tu academia… B) 11&* C) 12&* 6) 1#1*2&

C) 2# H

519.

#&/ 8/ !#/ (/ &5/ &/ &&/../? ) 15 H *5 B) 15 H *2 C) 8 H *# L) ' H *! 6) 15 H *& 6n la siguiente sucesi;n 1/ 2/ (/ 2!/ ((/ 4 6l %alor "e 4 es: ) 2!# B) 2#' C) 2#( L) 2!1 6) 2#8 FJu3 t3rmino contin@aG 8/ 2*/ 1/ 25/ #/ 2#/ #/ 2!/ 1&/?? ) #( B) #2 C) 1* L) 2& 6) 2* Calcule el %alor "e T ,  si: - 02T , 1)/ #T/ 08T , 11) es una sucesi;n "e primer or"en/ H - 02 , 1)/ 0! , 2)/ 0( , &) es una progresi;n geom3trica/ "on"e  C . a) -2

b) 1

") -#

e) -1

c) #

FJu3 letra continua en ca"a sucesi;nG a)  C _ ?. b) B L $ ?. c)  B 6 _ S ?.

") L C + O L?. e) 6 ^ L S  O?. 520.

521.

) ^

$alle que numero continua en la sucesi;n. a) 2 ! 15 22 !2?. b) # * ! 2 !?. c) 2 # 2 ! ! * 12 '?. $allar el t3rmino que sigue en la sucesi;n 1 25 # 2* # !5 1& a) #1 ") (&

b) (5 e) (*

530.

531.

532.

La PRE Tu B) [ academia… C) L) \ 6) 

/ +/ O/ / )  B) T 6) S

C)  L) $

6/ $/ L/ S/ C/ ) $ B) S [ 6) 

C) 

L)

+/ N/ U/ / \/ ^/ +/ /... ) [ B) \ C)   6) B

L)

c) *5 533.

C/ 7/ T/ J/... ) R B) + 6) 

C) N L) \

/ / B/ \/ C/... )  B) [ 6) .

C) ^ L) 

SUCESI$NES !ITERA!ES 522.

/ L/ _/ 7/ /... )  B) =  6) O

534.

C) T

L) 535.

523.

524.

525.

526.

/ B/ / 6/ / $/ /... ) S B)  C) T L)  6) = 536.

/ N/ P/ / /... ) S B) + P 6) R

C) 7

/ L/ $/ =/ R/... )  B) [ 6) .

C) \ L) 

/ L/ 7/ T/ / +/... )  B) = \ 6) .

C) [

L)

537.

L) 538.

527.

528.

529.

/ L/ S/ /... ) U B) ^ [ 6) .

C) N

L)

R/ O/ =/ /... ) 7 B) $  6) T

C) S

L)

L/ $/ / R/...

539.

 C[ 6^ 7N??.. ) SR B) + C) ") S+ e) RS

R

6ncontrar la letra faltante en la sucesi;n: R + U [ B C 6 ?? ) S B) 7 C) _ L) $ 6)  $allar el n@mero que sigue en: 2/ !/ 8/ 15/ 25/ G a) !5 b) !2 c) #5") 25 e) 22 Completar el n@mero que falta en: 2/ #/ 15/ 1&/ 2*/ G a) #2 b) !2 c) #& ") !# e) #( Cul n@mero sigue en: 15/ 12/ 1(/ 2*/ !5 G a) *5 b) *# c) &'") (5 e) 81

540.

541.

$allar los "os n@meros que siguen en la sucesi;n: 12/ 15/ 1#/ 12/ 1&/ 1!/ 18/ ... a) 1* H 22 b) 1* H 21 c) 18 H 22 ") 18 H 25 e) 1* H 25

La PRE Tu academia… !/ &/ 15/ [/ 2&5/ 1'#5 a) #5 b) 1 c) 12") !& e) !5 550.

$allar el n@mero que sigue en: #/ &/ 15/ 12/ 2!/ 4 a) !8 b) '* c) 22") 2* e) #*

$allar el n@mero que sigue en: 18 21 12 2! 2( (2 #5 ##?? a) 2* b) #8 c) !1 ") &* e) ## 542.

544.

545.

546.

547.

548.

549.

Cul es la letra que contin@a en: / / 7/ 6/ G a) L b) C c) _ ")  e) B $allar la letra que completa la secuencia: B/ \/ L/ / _/ . . . a) U b) R c) N ") ^ e) [ Ju3 letra completa la secuencia: / =/ / _/ G a) L b)  c) C ") 6 e) B Cul es la pareYa que sigue en: 2L/ 8_/ 2!$/ !8/ G a) !8T b) '*T c) !8 ") '* e) '*= Ju3 letra contin@a en: 6/ _/ =/ /... a) O b)  c) = ")  e) + 6n la serie el %alor "e a es: 1/ 1/ 1/ 1/ 2 2!/?. a) 2 b) # c) ! ") 112! e) *'12 6l %alor "e <[> en la siguiente serie es:

C , G 21, 15 M , T 20 ,.......

3

551.

543.

6n la sucesi;n $allar el termino que sigue.

552.

553.

554. 555.

556.

557.

558.

a) 4 R

b) =

5

e)

D

E

c) L ") 5

$allar el %alor "e <4> 2/ 2 2 / !/ ! 2 / 4 a) 1 b) 2 c) * ") e) 15 Jue termino continuaG * 12 25 #5?.. a) !2 b) #* c) 2!") e) !&

8

&5

$allar el t3rmino "el lugar 15 en. 12 1* 112 125?.. a) 1#5 b) 1!2 c) 1115 ") 1155 e) #5 $allar el t3rmino "el lugar '. 2! 8& # #2(?. a) 2' b)'2 c) 12 !& e) &5'

")

$allar el t3rmino general "e: 1 !' *28 8*& &*# ?. $allar el t3rmino que contin@a en: 8 ! * ( # & 12 25 1* ( 2#? a) 12 b) !* c) ##") 2& e) 1& 6n la siguiente sucesi;n/ in"icar lo que sigue: T

2 , Ñ 7 , J 24 , F 77 ,.......

a) C 238 ")

D

b)

C

236

238 e)

D

222

c) B 236

$allar <4 , H> 2 # * ! 1 ! * 8 !8 [ & \

559.

a) !8 ") &

b) 28 e) 8

c) !5

La PRE Tu academia… Sucesiones ,eométricas( +on obteni"as multiplican"o o "i%i"ien"o una canti"a" constante al t3rmino anterior !

12 4#

#*

4#

158 #2! ?. 4#

4#

4#

6l ene-simo termino se alla por:

t n = t 1 2 r n41

SUCESI$NES o cabe "u"a que e4ista relaci;n entre la inteligencia H la capaci"a" "e "esen%ol%erse con los n@meros "e captar relaciones entre ellos H realiar operaciones entre ellos. +obre ello trata este capAtulo. Una sucesión es todo con*unto numérico+ )itera) o ,r-ico+ cu/os términos o0edecen a una re,)a de ormación.

t1  primer t3rmino tn  en3simo t3rmino r  ra;n n  nro. "e t3rminos

Sucesiones com0inadas +on una mecla "e sucesiones aritm3ticas H "e sucesiones geom3tricas ! ( !2 !& 28 ?. ,#

SUCESI$NES NUMERICAS Cuand %d u %&$m"n n nme$* y ueden e$, Sucesiones aritméticas( +on obteni"as suman"o o restan"o una canti"a" constante 0ra;n) al t3rmino anterior !

15 ,*

1*

22

,* ,*

28

?.

,* ,*

6l ene-simo termino se alla por:

t n = t 1 2 3n415r t1  primer t3rmino tn  en3simo t3rmino r  ra;n n  nro. "e t3rminos n

an

− a5 r

4* ,#

4* ,#

Sucesiones numéricas nota0)es $rdina) o natura) 1/ 2/ #/ !/ ?.. / n Sucesión a1/ a2/ a#/ a!/ a&. ? / an Pares 2/ !/ */ 8/ 15/ ? / 2n Impares 1/ #/ &/ (/ '/ ? / 2n-1 Cuadrados 1/ !/ '/ 1*/ 2&/ ? / n2 Rectan,u)ares 2/ */ 12/ 25/ #5/ ?/ n0n,1) Trian,u)ares 1/ 2/ */ 15/ 1&/ ?/ n0n,1)2 Cu0os 1/ 8/ 2(/ *!/ *2&/ ?/ n# i0onacci 1/ 1/ 2/ #/ &/ 8/ ?/ an  an-1 9 an-2 Primos 2/ #/ &/ (/ 11/ ?/

actoria) 1/ 2/ */ 2!/ 125/ ?/ n SUCESI$NES A!A&TICAS 6n las sucesiones alfab3ticas no se tomar en cuenta la ni la <>/ la  si se tomar en cuenta sal%o que el problema in"ique lo contrario. 6sta sucesi;n se pue"e transformar en num3rica me"iante la correspon"encia 01) B02) C0#) L0!) 60&) _0*) 70() $08) S0') 015) T011) 012) =01#) 01!) 01&) O01*) P01() J018) R01') +025) N021) U022) ^02#) 02! [02&) ) \02*) 02() Ee*loFJu3 letra contin@aG / L/ S/ O/ ....

La PRE Tu academia… Ee*los+/ / / =/ / R/ C/ O/ . . . a Z+Z completarAa + =RCO+ O/ / =/ U/ / . . . completarAa U=O en or"en in%erso.

SUCESI$NES A!ANUMRICAS 6stn mecla"as con n@meros H letras. SUC-SIÓN .R/0IC Una sucesi;n "e figuras se forma "e acuer"o a un Zcriterio "e mo%imientoZ "e sus elementos. +e "ebe percibir el "esplaamiento ; giro. Ee*loFJu3 figura contin@aG





Soluci'nLe acuer"o al alfabeto a ca"a letra le correspon"e un n@mero: / L/ S/ O/ . . . . 1 ! ' 1* 12 22 #2 !2 +on los cua"ra"o perfectos Contin@a &2  2& H en el alfabeto es la letra Z[Z.

la ZZ

 ....

Soluci'nj +e obser%a que ca"a figura es una %ista "el siguiente s;li"o.

iro

Por lo tanto la siguiente %ista ser:

2. +on iniciales "e nombres con un or"en "a"o.

Ee*los-

L(... / T&... u d t c n o r u o  e a  t r o

3.

0 u n e 

m a r t e 

m i e r c o 0 e 

1 u e 2 e 

Completan una palabra o frase

SUCESI$NES I Consi"eramos a un grupo "e personas. FC;mo po"rAamos acer un lista"o con sus nombresG +e supone que se "esea ubicar rpi"amente los nombres por lo tanto serAa con%eniente acerlo en Z orden a)a0éticoZ tal %e po"rAamos tomar una e%aluaci;n H

or"enar los nombres por ZméritoZ o quis or"enarlos por ZestaturaZ o Z pesoZ ca"a una "e las palabras subraHa"as in"ican: CRITERI$S "E $RMACIÓN / es "ecir c;mo construir una secuencia or"ena"a "e elementos H a la cual llamaremos SUCESIÓN

N$CI$N "E SUCESIÓN +e entien"e por sucesi;n a un conYunto or"ena"o "e elementos "e acuer"o a una leH "e formaci;n o tambi3n una caracterAstica com@n. Una sucesi;n pue"e ser:

!itera) 1W criterio 0alfabeto) 2W criterio 0iniciales) #W criterio 0forman palabras) Numérica • 6speciales _ibonacci ros. primos ros. Srracionales ?????. • 7eom3tricas • Polinomiales Le 1er or"en o aritmeticas Le 2"o or"en Le #er or"e ???????. 7raicas Ee*los+ucesi;n grfica: 

La PRE Tu academia… Una sucesi;n "e letras se pue"e construir a partir "e # criterios generales 1. +eg@n el alfabeto: %



&

/

E

'







(



L



:

;

P

<

R

=

) T



>

?

@

A

B

Ee*loFJu3 letra contin@aG / L/ S/ O/ .... Soluci'nLe acuer"o al alfabeto a ca"a letra le correspon"e un n@mero: / L/ S/ O/ . . . . 1 ! ' 1* 12 2 2 # 2 ! 2 +on los cua"ra"o perfectos Contin@a &2  2& H en el alfabeto es la letra Z[Z.

+on iniciales "e nombres con 2. un or"en "a"o. Ee*losL(... /T&... u d t n o r o  e 

c u a t r o

 u n e 

m a r t e 

m i e r c o  e 

 u e  e 

3. 

+ucesi;n iteral: / C/ 6/ .... +ucesi;n um3rica: 1/ &/ 1#/ 2'/ ....



 ....

Completan una palabra o frase Ee*los+/ / / =/ / R/ C/ O/ . . . a Z+Z completarAa + =RCO+ O/ / =/ U/ / . . . completarAa U=O

la ZZ en

+UC6+Sk SN6R

or"en in%erso.

SSS.+UC6+Sk U=RSC Consi"eremos al conYunto num3rico: 1/ 2/ #/ !/ &/ . . . / n Como los n@meros Zor"inalesZ es "ecir aquellos que in"ican el lugar "el termino "e una sucesi;n. a1/ a2/ a#/ a!/ a&/ . . . / a n Ca"a uno "e los t3rminos "e la sucesi;n posee un n@mero or"inal que in"ica su posici;n H el n@mero "e t3rminos asta "ico t3rmino. Ee*loFJu3 n@mero contin@aG 1/ !/ 2(/ 2&*/ . . . Soluci'n+e pue"e reemplaar ca"a n@mero por una e4presi;n que esta en funci;n "e su or"inal. 11  1 22  ! ##  2( !!  2&* &&  #12& Por lo tanto continua & &  #12&

Ee*loJu3 n@mero contin@aG 5/ 1/ &/ 2#/ . . . Soluci'nRecor"amos la sucesi;n "e los factoriales.

La PRE Tu academia… +e le llama tambi3n sucesi;n "e 1º or"en o Progresi;n ritm3tica/ se forma cuan"o a partir "el primer t3rmino siempre agregamos una misma canti"a" llama"a Ra;n ritm3tica. Ee*los-

5 9 13  17 . . .  !4n + 1" +4 +4 +4 . .. .

6  1 1  1 6  2 1  . . .  !5 n + 1 " +5 +5 +5

-2

-2

a 1 a 2 a 3  a 4 a 5 . . .  a n -r

0

1,-1

1 5

2,-1

3,-1

Nambi3n: a0

a 1  a 2  a 3  a 4 . . .  a

n

+r +r +r

Ee*loCalcula el %igesimo termino "e la sucesi;n. 2/ 11/ 25/ 2'/ . . . Soluci'n-

23  . . .

4,-1

+ucesi;n ineal

-r -r . . . .

an = a1 + !n − 1"r

-7

Por lo tanto el n@mero que contin@a es & - 1  11' 2.

-r

Por in"ucci;n: a1  a1 a2  a1 , r a#  a1 , 2r a!  a2 , #r . . . 6ntonces:

1*2 1*2*3 1*2*3*4 1*2*3*4*5

6ntonces:

-2 . . . .

FComo po"rAamos allar a nG

1 2 6 24  12 0 . . .

1

.. . .

100  98 96 94 . . .  !-2n+ 102 "

2 11  20  29  . . . -9

-9

-9

an C 9 n - 7

os pi"en: a 25  '025) - (  1(# #.

Propie"a"es

+ea la Progresi;n ritm3tica: a1/ a2/ a#/ a!/ a&/ . . . / a n 1. Nomamos # terminos consecuti%os cualquiera. a1 + a3 2 a +a a3 = 2 4 2 a2 =

. . .

Reso)ución(

2. +i ZnZ es impar: acentra =

a1 + an 2

3. a suma "e terminos e4tremos siempre es la misma. a1 , an  a2 , an-1  a# , an-2  ... (oble*as (esueltos P(oble*a 1 os primeros t3rminos "e "os progresiones aritm3ticas que tienen igual n@mero "e t3rminos son 2* H -15 respecti%amente H sus raones respecti%as son ( H &. FCuntos t3rminos tiene ca"a una/ si el @ltimo t3rmino "e la primera progresi;n es el triple "el @ltimo termino "e la segun"a progresi;nG. Reso)ución( +ean las progresiones: 26  33  40 . . . +7 +5

D d a  aForro

1G 2G 3G * + 5 * + 10 * + 15

nG * + 5n

Lel "ato: 1 n = !* + 5n" ⇒ * = 2n 7

Reemplaan"o: 4  2n 02n , 2&) , 02n , &n - &)  2'5 'n , 25  2'5 n  #5

Respuesta( 63 P(oble*a 3 La"a la P..: &/ .../ !(/ .../ 1&'/ "on"e el n@mero "e t3rminos que aH entre !( H 1&' es el triple "el n@mero "e t3rminos que aH entre & H !(. FCul es el n@mero "e t3rminos "e la P..G

5 . . . . 47 . . . . 159 

7n + 19

H nH ter min o



H 3nH ter min o

6ntonces:

5n - 15

47 − 5 +1 r 159 − 47 3n + 2 = +1 r

n+ 2 =

+5

Lel "ato: (n , 1'  # 0&n - 1&) (n , 1'  1&n - !& *!  8n

Resol%ien"o: n& Por lo tanto:  terminos  2#

n  8

Respuesta( 2

Respuesta(  P(oble*a 2

... ...

Reso)ución( Lel Lato:

+7

-10  -5 0 . . .

La PRE Tu academia… Un obrero aorra ca"a "Aa +.& ms "e lo que aorra el "Aa anterior/ el @ltimo "Aa se "a cuenta que el n@mero "e "Aas que estu%o aorran"o asta ese "Aa era la s3ptima parte "e lo que aorro ese "Aa sabien"o que lo que aorr; el quinto "Aa H lo que aorr; el pen@ltimo "Aa/ totalian +.2'5 FCunto aorr; el primer "AaG

P(oble*a 4


a suma "e # n@meros positi%os/ que forman una P.. es igual a 21. +i a estos n@meros se les suma respecti%amente 2/ # H '/ los n@meros forman una P.7. $allar la suma "e los terceros t3rminos "e las progresiones.

Reso)ución( +ean los # n@meros: P..: a/ a , r/ a , 2r/ ... Lato: a , a , r , a , 2r  21 a , r  ( . . . 0S) P.7.: 0a,2)/ 0a,r,#)/ 0a,2r,')/ ... Reemplaan"o "e 0S) 0a , 2)/ 015)/ 0r,1*)/ ... -5-RCICIOS 6ntonces: 0a , 2) 01* , r)  15 2 r  ! a  # P..: #/ (/ 11/ . . . P.7.: &/ 15/ 25/ . . .

560.

a) 18 ") 1'

Respuesta( 1

D I  e n e  eJorita

1G 6

6ntonces: 4 , 04 , &)  *& 4  #5 Respuesta: 30

3G 8

. . . . . .

*G * + 5

c) 1*

2/ &/ */ '/ 15/ 1#/ 1!/ [ ,# ,1 ,# ,1 ,# ,1 ,# [  1!,#  1( R%a' b 561.

2G 7

b) 1( e) 25

Su!"#n

P(oble*a 5 6n una fiesta asistieron *& personas. Un Yo%en baila con * se]oritas/ un segun"o Yo%en baila con ( se]oritas/ un tercer Yo%en baila con 8 se]oritas H asA sucesi%amente/ asta que el @ltimo Yo%en baila con to"as las se]oritas. FCuntos Yo%enes asistieron/ si ca"a Yo%en baila solo una %eG Reso)ución( Le los "atos:

Calcular el siguiente termino "e la sucesi;n 2/ &/ */ '/ 15/ 1#/ 1!/ G

Calcular el siguiente termino "e la sucesi;n #/ &/ '/ 1&/ 2#/ G a) 2( ") ##

b) 2' e) #&

c) #5

Su!"#n #/

&/

'/

,2K1 ,2K&

1&/

2#/

,2K2 ,2K#

[ ,2K!

[  2#,2K&  ## R%a' " 562.

564.

Calcular el siguiente termino "e la sucesi;n 5/ 1/ 1/ 2/ 2/ 2/ #/ #/ #/ G a) 5 ") #

b) 1 e) !

La PRE Tu academia… $allar un n@mero en el cArculo central "e tal manera que los n@meros "e ca"a recta sumen 1& los n@meros no se "eben repetir. a) b) c) ") e)

c) 2

! 8 ( * &

Su!"#n

4

2 3

5/ 1/ 1/ 2/ 2/ 2/ #/ #/ #/ [ 1

2

Su!"#n Completan"o a"ecua"amente

#

! Lebe aber ! n@meros # [#

6

7 8

R%a' " 563.

$allar: m2 9 n2 9!/ 1/ 9*/ #/ 9(/ &/ 9(/ (/ m/ n a) 9#* ") #*

b) 9!& e) 92(

-1

2

5

,1

4

3

c) !&

Su!"#n +eparemos las posiciones pares e impares Posiciones impares 9!/ 9*/ 9(/ 9(/ m -2

5

R%a' e

565.

FJu3 numero sigue en: 11 1( 2! #! !' (1 --a) 1#1 ") '8

b) 151 e) 155

c) 152

Su!"#n

m  -(,1  -*

11 1( 2! #! !' (1 [

Posiciones pares 1/ #/ &/ (/ n

,* ,( ,15 ,1& ,22 ,\ ,1

,# ,& ,( ,

,2 ,2 ,2 ,2 ,2

,2 ,2 ,2

n  (,2  ' Por lo tanto m2,n2  0-*)2 - 0')2

  (,2  ' \  22,  22,'  #1 [  (1,\  (1,#1  152

 !& R%a: c

R%a' c

566.

6n: 2 15 #5 *8 ..? ?.. 6l t3rmino general es: a) n,n b) n0n-1) c) n,n # ") n0n -1) e) n0n,!) 2

,&K1

La PRE Tu academia… ,&K2 ,&K#

C  ',&  1!   1*,C  1*,1!  #5 B  1',0&K#)  #!

#

R%a' " Su!"#n 2  1 , 1# 15 2,2# #5  #,## *8 !,!# \ asi sucesi%amente el termino n es n,n# R%a' c

569.

a) !/ P ") !/ 

b) !/ O e) .

c) !/ 

+oluci;n

FJu3 numero falta en: 5 # 15 --- #* &&

567.

FCules son los 2 t3rminos que contin@an en la serieG *!/ C/ #2/ _/ 1*/ S/ 8/  / G / G

:2

:2

:2

:2

*! C #2 _ 1* S 8  [ \ a) 21 ") 22

b) 1' e) 2!

c) 25 Lon"e:

[  8:2  !

Su!"#n 5

#

15



#*

Cambian"o las letras por sus correspon"iente n@meros

&&

,# ,( ,B ,C ,1' ,!

,!

,!

C

,!

_

#

B  (,!  11   15,B  15,11 21

* ,#

,#

S



'

12 ,#

\ \ ,#

\  12,#  1&  

R%a' a

R%a' " FJu3 n@meros siguen en: # ! ( ' 1* 1' --- ---

568.

570.

FJu3 numero sigue en: 2,# #,& &,( (,11 ----

a) #5/ #& b) 2&/ 2' c) #&/ #' ") #5/ #! e) 21/ 2&

a) 1# ") 2!

Su!"#n

+oluci;n _AYese que la sucesi;n es la suma "e 2 n@meros primos segui"os

,&

,! # !

,& ,'

,C

( ' 1* 1'  B

b) 25 e) '

c) 22

2,# #,& &,( (,11 ---a siguiente suma es 11 , 1#  2!

R%a' " 573.

571.

FJu3 letra continua en la sucesi;n: / L/ _/ 7/ / ... G a)  ") 

b) = e) O

La PRE Tu academia… FJu3 letra continua en la sucesi;n: / N/ P/ / / .... a) S ") P

b) + e) R

c) 7

c) T Su!"#n /

Su!"#n 

L

_

7

 /...

1

!

*

(

15 ?.

,#

,2

,1

,#

2!

N/

P/

/

/

21

1(

1!

15

-# ,2

-!

-#

-!

....

-#

6l n@mero a continuar es: 15 - #  ( Pasan"o a letra 7

,1 +e repite

R%a' c 6l numero que continua es 15 , 2  12 Pasan"o a letra 

574.

R%a' a

572.

a)  ") 

FJu3 letra continua en la sucesi;n: / B/ / 6/ / $/ /... a) S ") 

b)  e) =

FJu3 letra continua en la sucesi;n: / L/ $/ =/ R/ ... b) [ e) .

c) \

Su!"#n

c) T

/ L/ $/ =/ R/ ... 1

!

8

1# 1' ?.

Su!"#n ,# ,! ,& ,* ,(  B  6  $  ... 1 2

1 ,#

&

6l n@mero a continuar es: 1' , (  2* Pasan"o a letra \

1 8 1 ?. ,#

,#

R%a' c 6l n@mero a continuar es: 8 , #  11 Pasan"o a letra T

575.

R%a' c

/ L/ 7/ T/ / +/... )  L) \

B) = 6) .

C) [

La PRE Tu B) 1*# academia… C) 92!# L) 98! 6) 2!#

) 8! 576.

/ L/ S/ /... ) U L) [

577.

B) $ 6) T

$allar los t3rminos que faltan en la siguiente sucesi;n: ) B) C) L) 6)

C) S

B) [ 6) 

#*/ N #&/ N #&/ + #*/ + #&/ +

C)  585.

/ +/ O/ / )  L) $

580.

584.

L/ $/ / R/... ) ^ L) \

579.

C) N

R/ O/ =/ /... ) 7 L) 

578.

B) ^ 6) .

B) T 6) S

C) 

586.

1 8 5 ( 3 ' 0 & %

FJu3 n@mero no correspon"e a la sucesi;nG 1'/ 1#/ 8/ */ !/ 1/ 91/ 92 a) ! ") 1

Calcular: 1 , # , & , ( , ' , ... , &# ) (2' B) 82' C) 8#' L) (#' 6) (28

2 4 )

b) * e) 91

c) 1#

FJu3 n@mero faltaG

8

2 4

4 8 8 0

$ 581.

+i: bsoluto  12#&*(!& busi%o  2#8!(** +@bito  ................ as cifras que siguen son:

) 1#!

587.

15/ (/ &/ !/ G ) & B) ! L) 2

1 3 1 2

C) 6) 1

a) 2 ") *

# 588.

2 9 7

583.

# 3

8 1

$

C) 6) 1&#

1*(

$allar <4>

a) &'!8(& b) &'8!(* c) &8!(&8 ") &'!8&( e) &8!8&( 582.

B) 1!& L) 1*8

1 2 0

8 7 b) ! e) ..

1 8

2 1 1 c) 5

* 6

a suma "el (mo termino "e: h 1& 115 11( ??.. Con el 8%o t3rmino "e h 2& #15 !1( ??.es: a) (&2#( ") &(#2&

b) *&288 e) '#*&5

c) *&#88

4 2

589.

FJu3 numero sigue en la secuencia: !/ 11/ 1(/ 22/ 2*/ 2'/ --a) #1 ") 28

590.

593.

594.

b) 215 e) #55

b) 2&* e) 125

b) 1& e) !

c) 1'

b) *2' e) 2&55

c) 1*'55

calcular el pro"ucto "e los t3rminos que ocupan las posiciones !' H &5 en: 1 -12 2 -1# # -1! ! --- --a) -1 ") -2!2&

601.

b) -2&2* e) 1

c) !8!'

a leH "e formaci;n "e: 5 15 2! !2 *! '5 ---- es:

c) 155/ &! S) 2n2,!n-* SS) 2n2-!n,2 SSS) 20n,#)0n-1) +on ciertas: ) S L) SS

c) 2!5 602.

603.

604.

b) 12'&* e) 12( &*

c) 128(2

$allar el t3rmino que sigue en 2 ( ! ' * 12 --a) 8 ") 11

c) '

B) S H SS C) S H SSS 6) S/ SS H SSS

6l 8%o t3rmino "e la sucesi;n: h (* 1(12 #125 ---- es: a) 12((2 ") 12'(2

c) 12&

FJu3 numero sigue en: 1* 1& #5 15 8 2! * # --a) 12 ") &

b) 2( e) #1

c) 2!

FJu3 numero sigue en: 1 2 ' *! --a) 128 ") *2&

596.

b) '5/ #8 e) ..

600.

c) 88

FJu3 numero sigue en: 1 2 ' 121 ---a) 2*5 ") 1#55

Calcular <4,H> en: 1 & 1& #! 4 111 H a) 185 ") 2(5

595.

b) 28 e) 1&

FJu3 n@meros siguen en: 2 # ! * 12 25 28 !8 --- --a) 85/ #* ") *5/ '8

599.

b) # e) (

FJu3 numero sigue en: 1 1 2 2 ! * ( 1& 11 ---a) ## ") 1*

b) 1# 12 c) 11 #! e) 1#

$allar . 12 !8 ' #* * 2! a b a) 12 ") 18

598.

c) #5

FJu3 numero sigue en: 2! 21  18 h 1&  --a) 12  ") 12

592.

b) #2 e) 28

a) !8! ") !!*

c) #5

FJu3 numero sigue en: *( *! &' &2 !# --a) #! ") 2'

591.

b) 2( e) #2

597.

La PRE Tu academia… FJu3 numero sigue en: # ( 22 8' ----

b) ' e) 12

c) 15

$allar el t3rmino que sigue en:

1 # & 1& 1( --a) 1' ") !& 605.

609.

610.

b) 18 e) #!

b) !5 e) !'

614.

615.

b) # e) 5

616.

b) 2& e) #&

b) 1*!& e) 1!&!

c) '8!

+e]ale el siguiente par en: #-* '-12 21-2! ------

+e]ale el n@mero que continua 15(2&* 111&(( 11&8'8 12521' a) #5(8'5 b) 12&''5 c) 12!&!5 ") 12#(85 e) 12*1&5

617.

$alle el siguiente t3rmino en: 1 1555 112 88' 22# ((8 ?. a) ' ") ##!

c) 2

b) !22 e) ''8

618.

c) **'

#/ */ (/ 1!/ 1&/ #5/ #1/

*2/.../?

$allar el numero que falta en: ( 15 ---- '! !*# a) 25 ") #2

c) *#2

a) !&-!8 b) 21-!8 c) 28-2! ") !2-!8 e) 1!-!&

c) 1!

c) #*

b) &1! e) (8*

Sn"ique el numero que contin@a: 12 2* 81 #28 ---a) 1#12 ") 1*!5

c) 152!

b) nn,1 ") 0n,1)n0n-1)

$allar el t3rmino que sigue en: # ! * 15 18 #! ** 1#5 2&8 a) !22 ") *'!

$allar el n@mero siguiente en: #'(5 *& 15 & ---a) ! ") 1

611.

b) (5* e) 25!8

+i: a12 H a2# H la relaci;n general: an,1  #an - 2an-1 $allar el %alor "e < a !,a* >. a) ## ") !2

613.

b) !*! c) &1# e) 15'*&

$allar el siguiente n@mero en: 2 2 #2 1 &8 ---a) #8 ") !&

a) n0n,1)n-1 c) n0n-1)n,1 e) 0n-1)n0n,1)

c) 18

$allar el siguiente t3rmino: 2 8 #2 128 &12 ?. a) *2! ") 1&8*

608.

b) 1( e) 25

$allar el siguiente termino en: & ' 1( ## *& 12' 2&( ---a) #8* ") '28

607.

c) #!

$allar el numero que falta 1 * # 15 & 1! ( --a) 1* ") 1'

606.

b) 28 e) &1

612.

La PRE Tu academia… La"as las sucesiones: h !# '! 1*& ---h 2#  !& ---a "iferencia "e los t3rminos een3simos es:

a) *1 H 122 c) *! H 128 e) ** H 15*

b) *# H 12* ") *# H *!

c) #5 619.

#/ '/ '/ 1&/ 1&/ 21/ 21/ 2(/.../?

a) 21 H 21 b) 2( H 28 c) 2( H ## ") ## H ## e) 2& H ## 620.

8/ 1!/ 2*/ &5/... a) (* ") 1!*

621.

b) # 1! e) #

c) 2 1!

629.

11/ 1!/ 15/ 1#/ '/ 12/.../?

630.

11/ 1#/ 1!/ 1!/ 1&/ 1&/ 1*/... ) 1( L) 2!

b) 1' e) 1!

c) 18

631.

8/ 1&/ 22/ 2(/ #2/ #&/... a) ## ") #'

624.

c) 158

#1/ #5/ 28/ 2&/ 21/... a) 25 ") 1*

623.

b) '8 e) 128

( 12/ * #!/ */ & 1!/ ! 12/?? a) # #! ") 2 #!

622.

628.

b) #! e) !5

625.

632.

) 12 B) 1! C) 1* L) 18 6) 25 6l %alor "e 4 , H es: n1&/ n1!/ n12/ n1(/ n'/ n25/ n4/ nH

627.

B) 2( 6) #5

C) 28

6n la siguiente progresi;n aritm3tica: 15/ 4/ / ... se sabe que la suma "e los primeros * t3rminos es 2(5. Leterminar el %alor "e 04 , ) ) &2 L) &8

B) && 6) *2

11/ 1!/ 12(/... ) 11'* B) 11&* C) 12&* L) 11* 6) 1#1*2& 5/ 2/ #/ &/ !/ '/ 2&/ 8/ 2(/.../... ) #5 H 1& B) 125 H 1* 1* L) 155 H 1! 6) 12& H 81

6l %alor "e \ 9 #[ es: 1/ 1/ !/ 8/ '/ 2(/ [/ \/

) 2* L) 2'

B) 2# H -1 C) 2# H 1 6) 12 H 2&

c) 81

634.

626.

C) 18

c) #8

633.

b) (2 e) ''

B) 1* 6) .

1&/ !/ 1(/ */ 1'/ 8/ 21/ 15/ 2#/.../ ?.. ) 22 H -2 L) 22 H 5

FJu3 n@mero sigueG 2/ #/ !/ '/ 1*/ 2'/ &!/?? a) 8' ") '*

La PRE Tu 6n una ela"erAaacademia… cobran +. 1/2 por el primer ela"o/ +. 1/! por el segun"o/ +. 1/* por el tercero H asA sucesi%amente. +i =apH a paga"o +. 15/* por el @ltimo ela"o/ Fcuntos a compra"oG

C) 12& H

1/ 1/ 2/ !/ */ #*/.../? ) !2 H 1(*! B) !' H 8 C) #8 H !5 L) !5 H !2 6) !2 H !!

635.

636.

C) *# 637.

#&/ 8/ !#/ (/ &5/ &/ &&/../? ) 15 H *5 B) 15 H *2 C) 8 H *# L) ' H *! 6) 15 H *& 6n la siguiente sucesi;n 1/ 2/ (/ 2!/ ((/ 4 6l %alor "e 4 es: ) 2!# B) 2#' C) 2#( L) 2!1 6) 2#8 FJu3 t3rmino contin@aG

8/ 2*/ 1/ 25/ #/ 2#/ #/ 2!/ 1&/?? ) #( B) #2 C) 1* L) 2& 6) 2*

638.

639.

640.

641.

Calcule el %alor "e T ,  si: - 02T , 1)/ #T/ 08T , 11) es una sucesi;n "e primer or"en/ H - 02 , 1)/ 0! , 2)/ 0( , &) es una progresi;n geom3trica/ "on"e  C . a) -2 b) 1 c) # ") -# e) -1 FJu3 letra continua en ca"a sucesi;nG a)  C _ ?. b) B L $ ?. c)  B 6 _ S ?. ") L C + O L?. e) 6 ^ L S  O?. $alle que numero continua en la sucesi;n. a) 2 ! 15 22 !2?. b) # * ! 2 !?. c) 2 # 2 ! ! * 12 '?. $allar el t3rmino que sigue en la sucesi;n 1 25 # 2* # !5 1& a) #1 b) (5 c) *5 ") (& e) (*

645.

646.

647.

648.

649.

650.

651.

652.

653.

SUCESI$NES !ITERA!ES 642.

643.

644.

/ L/ _/ 7/ /... )  B) = L)  6) O

654.

C) T

/ B/ / 6/ / $/ /... ) S B)  C) T L)  6) = / N/ P/ / /... ) S B) + L) P 6) R

655.

656.

C) 7

La PRE Tu / L/ $/ =/ R/... academia… )  B) [ C) \ L)  6) . / L/ 7/ T/ / +/... )  B) = L) \ 6) .

C) [

/ L/ S/ /... ) U B) ^ L) [ 6) .

C) N

R/ O/ =/ /... ) 7 B) $ L)  6) T

C) S

L/ $/ / R/... ) ^ B) [ L) \ 6) 

C) 

/ +/ O/ / )  B) T L) $ 6) S

C) 

6/ $/ L/ S/ C/ ) $ B) S L) [ 6) 

C) 

+/ N/ U/ / \/ ^/ +/ /... ) [ B) \ C)  L)  6) B C/ 7/ T/ J/... ) R B) + L) \ 6) 

C) N

/ / B/ \/ C/... )  B) [ C) ^ L)  6) .  C[ 6^ 7N??.. ) SR B) + C) R ") S+ e) RS 6ncontrar la letra faltante en la sucesi;n: R + U [ B C 6?? ) S B) 7 C) _ L) $ 6) 

657.

658.

659.

660.

661.

662.

663.

664.

665.

$allar el n@mero que sigue en: 2/ !/ 8/ 15/ 25/ G a) !5 b) !2 c) #5 ") 25 e) 22 Completar el n@mero que falta en: 2/ #/ 15/ 1&/ 2*/ G a) #2 b) !2 c) #& ") !# e) #(

666.

667.

668.

Cul n@mero sigue en: 15/ 12/ 1(/ 2*/ !5 G a) *5 b) *# c) &' ") (5 e) 81

669.

$allar los "os n@meros que siguen en la sucesi;n: 12/ 15/ 1#/ 12/ 1&/ 1!/ 18/ ... a) 1* H 22 b) 1* H 21 c) 18 H 22 ") 18 H 25 e) 1* H 25

670.

$allar el n@mero que sigue en: #/ &/ 15/ 12/ 2!/ 4 a) !8 b) '* c) 22 ") 2* e) #*

671.

$allar el n@mero que sigue en: 18 21 12 2! 2( (2 #5 ##?? a) 2* b) #8 c) !1 ") &* e) ##

672.

Cul es la letra que contin@a en: / / 7/ 6/ G a) L b) C c) _ ")  e) B

673.

$allar la letra que completa la secuencia: B/ \/ L/ / _/ . . . a) U b) R c) N ") ^ e) [ Ju3 letra completa la secuencia: / =/ / _/ G a) L b)  c) C ") 6 e) B

674.

675.

La PRE Tu Cul es la pareYaacademia… que sigue en: 2L/ 8_/ 2!$/ !8/ G a) !8T b) '*T c) !8 ") '* e) '*= Ju3 letra contin@a en: 6/ _/ =/ /... a) O b)  c) = ")  e) + 6n la serie el %alor "e a es: 1/ 1/ 1/ 1/ 2 2!/?. a) 2 b) # c) ! ") 112! e) *'12 6l %alor "e <[> en la siguiente serie es: !/ &/ 15/ [/ 2&5/ 1'#5 a) #5 b) 1 c) 12 ") !& e) !5 Jue termino continuaG * 12 25 #5?.. a) !2 b) #* c) 2! ") &5 e) !& $allar el t3rmino "el lugar 15 en. 12 1* 112 125?.. a) 1#5 b) 1!2 c) 1115 ") 1155 e) #5 $allar el t3rmino "el lugar '. 2! 8& # #2(?. a) 2' b)'2 c) 12 ") !& e) &5' $allar el t3rmino general "e: 1 !' *28 8*& &*# ?. $allar el t3rmino que contin@a en: 8 ! * ( # & 12 25 1* ( 2#? a) 12 b) !* c) ## ") 2& e) 1& $allar <4 , H> 2 # * ! 1 ! * 8 !8 [ & \ a) !8 b) 28 c) !5

") &

La PRE Tu academia… +uma  1 , 2 , # , ! , ... , n 

e) 8

III. SERIE "E N#MER$S IMPARES INTRODUCCIÓN  %eces/ al empear a estu"iar un tema nos salta la "u"a: si quiero ser aboga"oG. o es fcil %er la estreca relaci;n "e estos temas con la %i"a "iaria/ por eYemplo/ nuestra %i"a es una serie "e sucesos/ "on"e ca"a uno "e ellos est relaciona"o con el anterior H con el siguiente: primero nacemos/ luego %amos al ni"o/ "espu3s primaria/ sigue secun"aria/ luego somos preuni%ersitarios/ uni%ersitarios/ profesionales/ nos casamos/ tenemos iYos/ nietos H finalmente J.6.P.L.

I.

S n

1 + # + & + ( + ... + 02n − 1)  





 







 

Z nZ t3r min os



I%. SERIE "E CUA"RA"$S +uma  12 + 22 + #2 + ... + n2 

%.

SERIE "E CU&$S +uma  1# + 2# + ## + ... + n# 

SERE !$R%"

SUCESIÓN ARITMTICA 6s aquella en la cual/ la "iferencia entre "os "e sus t3rminos consecuti%os es constante.  "ica "iferencia se le "enomina 0r) d r# • */ '/ 12/ 1&/ 18/ ... d r  -! • 8/ !/ 5/ -!/ -8/ ...

Una serie num3rica es la a"ici;n in"ica"a "e los t3rminos "e una sucesi;n num3rica. \ a la suma "e "icos t3rminos se le llama el %alor "e la serie. 6s "ecir:

Suma de u!e"#n a$"%m&%"!a'

6ntonces/ la serie num3rica respecti%a es:

= a1 + a2 + a3 + ... + an = n  nº "e t3rminos:

n

=

( a1 + an )n an

2 − a0

an

= a1 + 0n − 1)r

SERIE NATURA!

+i la sucesi;n es: t1/ t2/ t#/ t!/ .../ tn

t1 , t2 , t# , t! , ... , t n

Ee*lo:

r

 a1  primer t3rmino an  en3simo t3rmino r  ra;n a5  t3rmino anterior al primero en3simo termino:

II.

+uma 

+ucesi;n : 1/ !/ '/ 1*/ 2& +erie : 1 , ! , ' , 1* , 2&  &&

Su*a 0^alor "e la serie) 1. +6RS6 RSN=NSC a serie aritm3tica se origina a partir "e la a"ici;n "e los t3rminos "e una progresi;n aritm3tica.

La PRE Tu academia… Ee*lo: La"a la siguiente sucesi;n "e 25 t3rminos/ "etermine la suma "e to"os sus t3rminos:

t1: primer t3rmino tn: @ltimo t3rmino n: n@mero "e t3rminos

(/ 15/ 1#/ 1*/ ... / *1/ *! Soluci'n: os pi"en: = C 7 + 1 0 + 1 3 + ... + 5 8 + 6 1 + 6 4 71 71 71

Ee*lo: $allar el %alor "e la siguiente serie "e 2& t3rminos: 1' , 2# , 2( , #1 , ... Soluci'n: Nenemos t1  &' n  2& H nos falta el @ltimo t3rmino/ t 2&.

=uma contante

tn  !n , 1& t2&  !02&) , 1&  11& uego/ reemplaamos:

+e obser%a que la suma "e ca"a pareYa "e t3rminos que equi"istan "e los e4tremos nos "a una su*a constante. uego/ como aH 25 suman"os/ entonces ten"remos 15 pareYas H ca"a una suma (1.

∴= =

S^6 S 676.

+  0(1)015)  (15

ID E A S F U E R Z A

S" %enem una P,, de n %&$m"n' % 1* % 2 * % * ,,, * % n -n%n!e a uma de  n %&$m"n e uede 8%ene$ !m en e e9em an%e$"$* mu%""!and a uma de !ua:u"e$ a$e9a de %&$m"n :ue e:u"d"%en de  ex%$em ($:ue %da a a$e9a uman  m"m)* $ a !an%"dad de a$e9a,

677.

678.

679.

6n general en to"a serie aritm3tica: t 1 + t 2 + t 3 + .. . + t n C ! t 1 + t n" . n 2 +r +r

!19 + 115".25 = 1675 2

Calcular Z4Z en la siguiente sucesi;n: 2 # & ( 11 1# 4 ) 1& B) 1! C) 1* L) 1( 6) 182 Calcular Z4Z en la sucesi;n "a"a: 2 ! ( 12 1' #5/ 4 ) !2 B) !& C) !# L) !8 6) !5 Calcular Z4Z en la sucesi;n siguiente: ! 1* #* 4 ) *5 B) &* C) (5 L) *! 6) *8 Calcular Z4Z en: 2(8#1 (8#12 8#12( 4 ) #21(8 B) #12(8 C) #218( L) 8#12( 6) (82#1

680.

681.

682.

683.

684.

685.

686.

687.

688.

Calcular Z4Z en la sucesi;n "a"a: 2 # & ! ' 2& 8 2( 4 ) 125 B) 12& C) *2& L) 155 6) (&

) 1 L) !

B) 2 6) &

Calcular Z4Z en el siguiente arreglo: 2' 18 11 ( ! # 4 ) 1 B) 2 C) 5 L) # 6) -1 Calcular Z4Z en el siguiente arreglo: 4-# !4-1 1542 224* .... ) !!411 B) !&415 C) !*411 L) !8411 6) !2415 Calcular el t3rmino que contin@a: 12 &* &! 1(15 .... ) 1#* B) 1'8 C) 2115 L) 181# 6) 1&( Calcular el n@mero "e t3rminos en la sucesi;n: * 11 1* 21 ...  *51 ) 121 B) 118 C) 11' L) 125 6) 85 Ju3 termino contin@aG 2/ &/ 28/ ...... ) 2&( B) 2&* C) 2&& L) 2&! 6)2&# FJu3 termino contin@aG +/ U/ 6/ / R/ O/ .... ) N B) U C) ^ L)  6) [ FJu3 termino contin@aG !/ '/ 2&/ !'/ .... ) 81 B) C) 121 L) 6) 1&* FJu3 termino contin@aG #/ #/ !/ */ &/ ......

Sucesiones  155 1!!

La PRE Tu academia… C) #

La PRE Tu 3 0  7  2 6  6 3  1 2 4  . . . academia… !n - 1"

. . . .

. . . .

7

19 12

18 6

& a K a e r o 

+oluci;n: Le los "atos po"emos formar una secuencia. 1G 3

2G 8

3G 15

↓

↓

↓

4G 4*6C24

1 * 3 2 * 4 3 * 4

. .. . ..

*

6

6n general:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6  . . .  a n +K1 +K2 +K3 +K4 +K5 + c1 + c2 + c3 + c4 +d1 +d2 +d3 + e1 + e2   

Lon"e: n−1

n−1

n−1

an = a1 + c1 × K1 + c2 × c1 + c3 × d1 + ... n

* + * !* + 2" C 130 * !* + 3" C 10 * 13

4  15 Respuesta: 125 caballeros Conclusi;n: =e"iante el Raonamiento Sn"ucti%o po"emos allar a n o inclusi%e alg@n meto"o practico para casos especiales. +UC6+Sk POSO=S 6s aquella sucesi;n en "on"e Za nZ tiene forma "e polin;mio: P 0n). 6l gra"o "el polinomio "etermina el or"en "e la sucesi;n. Ee*los1º Or"en: 5  7  9  1 1  . . . ! 2 n + 3 " -2

24

. . . * ! *+ 2 "

6ntonces:

-2

61

/ am a

6n una fiesta a la que asisten 1#5 personas se obser%a que =arAa bail; con # caballeros/ na bail; con 8 caballeros/ Cecilia bail; con 1& caballeros H asA sucesi%amente asta llegar a licia que bail; con to"os los caballeros. FCuantos caballeros asistieron a la fiestaG

D dama D c a K a  e r o 

35

-2

2º Or"en:

umero combinatorio. &M N n, n &M = M,!n − M", +UC6+Sk L6 2º ORL6 6s to"a sucesi;n polinomial en "on"e: an  an2 , bn , c FComo allar an en forma prcticaG +ea la sucesi;n c C a o O a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 . . . a + K C Ko O + K1 + K2 + K3

2a C r O r a= 2 6ntonces:

+r +r . . .

b  bo - a c  ao

Ee*loCalcular el %ig3simo t3rmino "e la sucesi;n siguiente: '/ 1#/ 1'/ 2(/ #(/ . . .

2

3  3  5  9  . . . ! n - 3 n + 5 " -0

-2 +2

-4 . . . . . +2 . . . .

#º Or"en:

+oluci;n: Buscamos las "iferencias sucesi%as H allamos los terminos que estarAan antes que los primeros.

c C 7 O 9 13 19  2 7 37 . . . a + K C 2 O +4 +6 +8 +10 2a C 2 O +2 +2 +2 6ntonces: a  1 b  1 c  ( Reemplaan"o en a n  an2 , bn , c an  n2 , n , ( os pi"en: a25  252 , 25 , (  !2( +UC6+Sk 76O=NRSC Nambi3n se le llama Progresi;n geom3trica H es aquella en "on"e a partir "el primer termino siempre se multiplica por una misma canti"a" llama"a ra;n geom3trica. 6Yemplos: j

7 14 2 8 56  . . . *2 *2 *2 . . .

j

9 2 7 81 24 3 . . . *3 *3 *3 . . .

j

12 0 60 30  15 . . . * 1 * 1 * 1 2 2 2

6n general:

a 1 a 2 a 3 a 4 . . .  a * * *

5 10  20 4 0 . . . *2 *2 *2

+abemos que: an  a1 4 qn-1 6ntonces: a25  & 4 21' PROPS6LL6+ +ea la P.7. a1/ a2/ a#/ a!/ a&/ . . . 1. +i tomamos # terminos consecuti%os cualquiera a2 = a1 × a3 a3 = a2 × a4 a4 = a3 × a5

j j j 2. +i ZnZ es impar acentra = a1 × an

#. 6l pro"ucto "e terminos e4tremos es siempre el mismo. a1 4 an  a2 4 an-1  a# 4 an-2  ...

n

Por in"ucci;n: a1  a1 a2  a1 4 q a#  a2 4 q2 a!  a# 4 q# j j j 6ntonces:

+oluci;n:


an = a1 × n−1

Ee*loCalcule el %ig3simo termino "e la P.7. siguiente: &/ 15/ 25/ !5/ . . . .

(oble*as (esueltos P(oble*a 1 as sucesiones: 2 # * 15 .... H !55 #'5 #85 #(5 ........ tienen igual canti"a" "e t3rminos H a"ems sus @ltimos t3rminos son iguales. 6l pen@ltimo t3rmino "e la segun"a sucesi;n es: Reso)ución( n!n + 1" 2

1/ #/ */ 15/ . . . / !55/ #'5/ #85/ . . . / 0!15 - 15n) n!n + 1" = 410 − 10n 2 n2 + n = 820 − 20n 2 n + 2 1 n - 8 20 C 0 n 41 -20 n

n  25

6ntonces en la segun"a sucesi;n a 25  215

La PRE Tu Cuntas cifras se a academia… utilia"o en la sucesi;n: 35915........................    

50 término

Respuesta( a1; = 22< Reso)ución( $allamos ZanZ

c C 3 O 3 5 15  . . . a + K C 0 O + 2 +4 +6 2a C 2 O +2 +2

an  n2 - n , # 35915...93113...9951059.... 

3×1

   

  

   

8× 2

21× 3

18 × 4

 "e cifras  1&!

Respuesta( 134 P(oble*a 4 $allar el n@mero que sigue en la sucesion: 1/ #/ */ 15/ !5/ !8/ . . . . . . . . Reso)ución P(oble*a 2 +e empiea a enumerar las pginas "e un libro "e la siguiente manera: la primera pgina con &5/ la segun"a pgina con &1/ la tercera con &2 H asA sucesi%amente/ utilian"o "e esta manera &1 cifras mas que en la numeraci;n normal. FCuntas oYas tiene el libroG Reso)ución( Le los "atos: 1/ . . . / '/ 15/ . . . / 4 nro "e paginas &5/ . . . / 155/ . . . 04 , !')  cifras al inicio: ' , 04 - ') 4 2  24 -'  cifras al final: &5 4 2 , 04 - &5) 4 #  #4 - &5 6ntonces: 024 - ') , &1  #4 - &5 Resol%ien"o 4  '2 Respuesta( 46 P(oble*a 3

1 3 6 10  40  48  . . . +2 *2 +4 *4 +8 *8

6l termino que sigue es !8 4 8  #8!

Respuesta( 4 P(oble*a 5 6l cuarto t3rmino "e una sucesi;n polinomial "e 2"o or"en/ es cuatro %eces el primer t3rmino/ H la ra;n constante es igual al n@mero or"inal "el tercer t3rmino aumenta"o en 1. "ems se sabe que el segun"o t3rmino "e la sucesi;n es los #2 "el primero t3rmino. Reso)ución( +ea la sucesi;n "e 2º or"en:

a 1 a 2 a 3 a 4 . . .

+ K1 + K2 +K3 . . . . +c +c . . .

a!  ! 4 a 2 C#,1! 3 a2 = a1 2

a

 a + * *


 a + 2 * + 4  a + 3 * + .1. 2. . * + 8

* + 4 4

4

3 a a+ * = a⇒ * = 2 2

a , #4 , 12  !a a 3a 3 + 12 = 3a ⇒ 12 = 2 2

a8

Respuesta( 

689.

$allar P , J P  1.2 , 2.# , #.! , ........., 15.11 J  1.2.#,2.#.!,#.!. &,............., ,1#.1!.1& a) 11 !55 ") 15 !!5

b) 15 #*5 e) 15 '25

c) 11 #*5

So)ución P  1.2 , 2.# , #.! , ........., 15.11 10

10

= ∑ i(1 + i) = ∑ (i + i 2 ) i

=1

10

i

10

= ∑i + ∑i =

i 1

=

10 (10

=1

2

=

i 1

+ 1)

2 = 55 + 385

+

10 (10

+ 1)( 2.10 + 1) 6

= 440 J  1.2.#,2.#.!,#.!. &,............., ,1#.1!.1& 13

= ∑ i(1 + i )(2 + i) i

=1

pero: "(1+")(2+") = "(2+"+" 2 ) = 2"+" 2 +"  uego


13

=

∑ (2i + 3i

2

3 +i )

= 2. n

i =1

(n

+ 1)

− 3n

2 n − 3n

= n2 + 13.14 13.14.27  13.14  =2 +3 +  = n 2 − 2 n 2 6 2   2

= 182 + 2457 + 8281 = 10920

691.

P , J  11 #*5

Rpta( c

1 , 2 , # , ! , ?. , n  ! *&* n( n

+ 1)

2

n( n + 1)

n ( n + 1)

= 4656 = 9312

= 96(96 + 1) n = 96 "Aas

Rpta( 0

690.

$allar la suma "e to"os los n@meros "e la forma 29#/ "on"e <> toma %alores "e 1 asta / inclusi%e. ) n2 B) n2 , n

B) n2 9 2n L) n2 , 2n

C) 2n -!

So)ución os pi"en n

n

n

∑ (2 − 3) = 2.∑ − ∑ 3 i

i

=1

i

i

=1

i

$allar  . B . C   ! , 2 , 1 , 12 ,........ B  ' , * , ! , 8# , ....... C  1#,1#2,1##,1#! , ....... a) 21* ") 12

So)ución Lespu3s "e oras "e trabaYo gano ! *&*/ es "ecir:

=1

692.

Rpta( 0

b) 158 e) &!

c) #*

So)ución / B/ C son progresiones geom3tricas al infinito H sus raones se encuentran en 〈5/ 1〉 Para : t1!/ r12 t 1 4 = =8 A = 1 1 − r 1− 2 Para B: t1'/ r*'2# t 1 9 B = = = 27 2 1 − r 1− 3 Para C: t11#/ r1# 1 t 1 1 = 3 = C = 1 2 1 − r 1− 3 1 .B.C  = 8.27 . = 108 2 Rpta( 0 as e"a"es "e tres personas estn en progresi;n geom3trica sien"o el pro"ucto "e las e"a"es 2(555. FCul es la e"a" "e la persona "e e"a" interme"iaG a) 25

b) #5

c) !5

") &5

e) *5

a) 22 ") '

So)ución =enor: a =e"io: ar =aHor: ar 2 a 4 ar 4 ar 2  2(555 0ar)#  2(555 ar  #5 6"a" me"ia  ar  #5

So)ución Le los "atos

(t 1 + t n ) n = 54 2 (t 1 + t n ) n = 108 (t 1 + t n ) n

Rpta( 0 693.

b) #/ ( H 11 ") 2/ * H 15

So)ución N3rmino menor: t1 Nermino me"io: t 2 N3rmino maHor: t# +eg@n "atos t1 , 2  15 t2 , #  2& t# , 8  &5 o t1  15 - 2 t2  2& 9 # t#  &5 - 8

695.

694.

Calcular <4> en la siguiente progresi;n aritm3tica: !4 9 !/ &/ #4 a) ")

a suma "e los ZnZ primeros t3rminos "e la progresi;n es tambi3n &! cuan"o ZnZ %ale:

1 2 1

4

b) 1

c)

696.

2 3

e) 2

So)ución Propie"a": 2.tn  tn,p , tn-p uego 20&)  !4-! , #4 15  (4 -! 1!  (4 24

01)

Le la propie"a"es "e P. 2t2  t1 , t# 2.02& - #)  015 - 2 ) , 0&5 9 8) &5 9 *  *5 -15   2& Reemplaan"o  en 01) t1  2 t2  ( t#  12 Rpta( e

= 3 . 3 . 3 .2 . 2

6ntonces tenemos %arias posibili"a"es para n: D 1/ 2/ #/ !/ */ '/ 12/ 18/ 2(/ &!/ 158/ #* E a @nica posibili"a" en las alternati%as es '. Rpta( d

os # t3rminos en progresi;n aritm3tica que aumenta"os en 2/ # H 8 respecti%amente son proporcionales a 15/ 2& H &5 son: a) 2/ & H 8 c) #/ * H ' e) 2/ ( H 12

La PRE Tu b) 11 academia… c) 15 e) 8

Rpta( e

Un ombre a%ana en el primer segun"o "e su carrera *m H en ca"a segun"o posterior a%ana 2& cm. ms que en el anterior/ FCunto a%ana en el octa%o segun"o H qu3 "istancia abr recorri"o asta ese momentoG a) 155 2&5 b) 111 #&5 c)11 2!5 ") 215 285 e) 181 (8!

La PRE Tu academia… So)ución Nenemos una P.. "e ra;n 2&/ por lo tanto la serie sera *m , #1m , &*m , ?.. , t 8 6n el octa%o segun"o t8  t1 , (r  * , (02&)  181 a suma "e los 8 segun"os & +& S8 = 1 8 8

2 6 + 181 = 8 2 = 784

Rpta( e

697.

os ngulos "e un tringulo estn en progresi;n aritm3tica cuHa ra;n es 15. Cul es la "iferencia entre el maHor H el menor "e "icos ngulos. a) 15W ") 12W

b) 25W e) 1&W

c) #5W

So)ución Recuer"a que los ngulos "e un tringulo suman 185W a , 0a,15) , 0a,25)  185W #a  1&5 a  &5 =enor  &5 =aHor  a,25  (5 Respuesta  maHor 9 menor  25W Rpta( 0

698.

Leterminar la suma "e los perAmetros "e los infinitos cua"ra"os forma"os seg@n la figura 0el la"o "el cua"ra"o es la mita" "el cua"ra"o anterior)

2

a) 1! ") 18

699.

b) 1& e) 1'

c) 1*

$allar la suma "e los elementos "e la serie:

2

1 2 2 3

2 2

2

3

3

2

4

2

4

2

4

2

....... 20

2

2

2

2

....... 20

5 ....... 20


2

a) b) c) ") e)

.................. ................. 2

19 20 20

2

700.

210

2

#

1'

703.

3

2

b)

80

e)

210

c)

400

3

2

Un e4gono se pue"e formar en la siguiente figura

FCuntos e4gonos se pue"e contar en la siguiente figuraG

704.

b) 1815 e) 1855

c) 2&55

+e quiere saber cunto suman los n@meros que an si"o reemplaa"os por letras

2

1 1 . . . . . . . . ...........

30 . Qa

a) #* &2 ") && 705.

!25 !55 215 &*5 #*5

702.

1' 25

FCon cuntos palitos se a construi"o la siguiente torreG

c)

e) *5

6n una grfica se a "istribui"o los t3rminos "e "os sucesiones: 9 6

1 7 .. . .. . x

13 11

16

Y

FCuntos t3rminos tiene ca"a uno/ si H 9 4  2!G a) 2! b) 2& c) !8 ") &5 e) *5

706.

1 2

5 13 y 3 8 x

b) !8

5

Calcular la canti"a" total "e bolitas que forman el siguiente arreglo: a) b) c) ") e)

21

Calcular la suma "e to"os los t3rminos que conforman el siguiente arreglo/ si tiene 25 filas: 1 2 2 # # # ! ! ! !

a) 28(5 ") 2'55

701.

25

2

a) !555 ")

&15 '55 !25 #&5 215 1

Un n@mero triangular es aquel que pue"e representarse geom3tricamente como se muestra en la siguiente figura. Leterminar la f;rmula "el n-esimo n@mero.

La PRE Tu academia… 710.

) n0n - 2) # B) n0n 9 1) 6) n2,n-#n 707.

C) n0n , 1) , L) n0n , 1)2

6sta escalera tiene !2 pel"a]os. FCunto %ale 4,H G x y .

a) 1!( b) 1'5 c) 2!( ") ##( e) !2!

708.

.

.

.

33 38 30 34 27 30 24 26

711.

709.

712.

$allar la suma "e las 1# primeras filas "e la "isposici;n triangular. 1 1 # 1 # & 1 # & ( a) (#' ") 2!&(

b) 1*#8 e) 81'

c) 2(1

Con 1&# bolas "e billar/ un Yuga"or form; un tringulo 0%er la figura) FCuntas bolas formarn la baseG a) b) c) ") e)

6ntre los elementos "e "os conYuntos aH una correspon"encia . FJu3 n@mero le correspon"e a 1&5G ) 25 &*5 B) 21 8&5 C) 2# *&5 L) 22 *&5 6) 2! 8&5

$allar la suma "e to"os los n@meros que forman este tringulo/ sabien"o que contiene ## filas. # # , # # , # , # # , # , # , # . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) 1 &** b) 1 *8# c) #(8 ") &8* e) 1 '8*

713.

18 1' 1( 25 21





La"o el arreglo "e n@meros: 1 2 # ! & * ( 8 ' 15 ........................................................ ... $allar la suma "e la fila 25 a) !55 b) !155 c) !515 ") 1!5 e) 8525 La"o el arreglo "e n@meros: 2 ! * 8 15 12 1! 1* 18 25 ................................................. $allar la suma "e la fila 1& a) ##85 b) ##'5 c) ##'& ") #!'5 e) . .

Series Bueno

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