Homomorfisma Ring
Oleh: Rizki Alfath (3115086736) dan Caroline Olivia (3115086769)
A. Pend Pendah ahul ulua uan n
Sama halnya dengan Grup, pada Ring juga ada pemetaan dari ring R ring R ke ring R’ R’ yang mengawetkan kedua operasi yang ada dalam ring tersebut, yang disebut dengan homomorfisma ring.
B. Isi Definisi 1
Suatu pemetaan f dari ring R ring R ke ring R ring R’’ disebut suatu homomorfisma ring bila untuk setiap a, b ∈ R berlaku: a. f (a + b) = f = f (a) + f + f (b) b. f (a . b) = f = f (a) . f . f (b)
Ada beberapa definisi khusus mengenai homomorfisma ring adalah sebagai berikut: Definisi 2 a. Suat Suatu u homo homomo morf rfis isma ma ring ring yang yang bers bersif ifat at inje injekt ktif if (1 – 1) dise disebu butt denga dengan n
monomorfisma ring. b. Suatu Suatu homomo homomorfi rfisma sma ring ring yang yang bersif bersifat at surjek surjektif tif (pada) (pada) disebut disebut dengan dengan
epimorfisma ring. c. Suatu homomorfisma homomorfisma ring yang bersifat bersifat bijektif, bijektif, yaitu yaitu injektif injektif dan surjektif, surjektif,
disebut dengan isomorfisma ring. Definisi 3
Suatu Suatu homomo homomorfi rfisma sma dari dari suatu suatu ring ring ke dalam dalam diriny dirinyaa sendir sendirii dinama dinamakan kan suat suatu u
endo endomo morf rfis isma ma dan dan
suat suatu u
endo endomo morf rfis isma ma yang yang bije bijekt ktif if dina dinama maka kan n
automorfisma.
1
Teorema 1
Misalkan R adalah suatu ring dan R’ juga merupakan
suatu ring. Bila
pemetaan f : R → R’ adalah suatu homomorfisma ring, maka: a. f (0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di
R’. b. f (– a) = – f (a), ∀ a ∈ R.
Bukti: a. f (0) = 0’, dengan 0 merupakan unsur nol di R dan 0’ merupakan unsur nol di
R’. Ambil sebarang a ∈ R, 0 merupakan unsur nol di R, yang berarti a+0=0+a=a sedemikian hingga f (a) = f (a + 0) = f (a) + f (0) dan f (a) = f (0 + a) = f (0) + f (a) maka f (a) = f (a) + f (0) = f (0) + f (a) Ini berarti bahwa f (0) merupakan unsur nol di R’. Karena unsur nol di R’ adalah 0’ maka dengan sifat ketunggalan unsur nol didapat f (0) = 0’. b. f (– a) = – f (a), ∀ a ∈ R.
Ambil sebarang a ∈ R, karena ada a ∈ R, maka ada – a ∈ R yang berarti a + (– a) = (– a) + a = 0 sedemikian hingga f (0) = f (a + (– a)) = f (a) + f (– a) dan f (0) = f ((– a) + a) = f (– a) + f (a) maka f (0) = f (a) + f (– a) = f (– a) + f (a)
2
Dari pembuktian f (0) = 0’, didapat: f (a) + f (– a) = f (– a) + f (a) = f (0) = 0’ Dengan sifat ketunggalan dari unsur balikan atau invers, maka f (– a) = – f (a). Definisi
Kernel dari suatu homomorfisma ring f adalah {a ∈ R | f (a) = 0’}, biasa ditulis K = {a ∈ R | f (a) = 0}.
C. Contoh Permasalahan
Contoh 1
Tunjukkan apakah f : Z → R dengan f (a) = a adalah suatu homomorfisma ring. Penyelesaian
Akan dibuktikan ∀ a, b ∈ R berlaku: a. f (a + b) = f (a) + f (b) b. f (a . b) = f (a) . f (b)
sehingga a. f (a + b) = f (a) + f (b), ∀ a, b ∈ R
(a + b) = (a) + (b) a+b =a+b b. f (a . b) = f (a) . f (b), ∀ a, b ∈ R
a . b = (a) . (b) a.b = a.b Dikarenakan untuk f (a + b) = f (a) + f (b) dan f (a . b) = f (a) . f (b) maka f : Z → R untuk f (a) = a merupakan suatu homomorfisma ring. Contoh 2
Tunjukkan apakah f : Z → R dengan f (a) = 2a adalah suatu homomorfisma ring. Penyelesaian
Akan dibuktikan ∀ a, b ∈ R berlaku:
3
a. f (a + b) = f (a) + f (b) b. f (a . b) = f (a) . f (b)
sehingga a.
f (a + b) = f (a) + f (b), ∀ a, b ∈ R 2(a + b) = 2a + 2b 2(a + b) = 2(a + b) a+b =a+b
b. f (a . b) = f (a) . f (b), ∀ a, b ∈ R
2ab = 2a . 2b 2ab ≠ 4ab Dikarenakan untuk f (a . b) ≠ f (a) . f (b) maka f : Z → R untuk f (a) = 2a bukan merupakan suatu homomorfisma ring.
4
Daftar Pustaka
Fadli., 2010, Materi 8: Ring Faktor & Homomorfisma Ring , [ONLINE], (http://fadlibae.wordpress.com/2010/06/02/materi-6-ring-faktorhomomorfisma-ring/, diakses tanggal 13 Mei 2011). ., 2011, Ring Homomorphism, [ONLINE], (http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism, diakses tanggal 3 Juni 2011).
5
