Extra3-Teorema Homomorfisma Grup

Extra 3 Teorema Homomorfisma Grup Catatan: Suatu malam, seorang kawan yang tengah mengerjakan tugas akhirnya mengirim sebuah sms padaku. Isinya ia meminta bantuanku untuk membuktikan tiga teorema utama homomorfisma grup. Berhubung di situsku aku belum membahas mengenai teorema tersebut, maka sekalian saja aku membuat tulisan mengenai teorema tersebut. Tentu saja, karya ini dipersembahkan untuk temanku itu. Semoga sukses tugas akhirnya.

Homomorfisma grup merupakan suatu pemetaan pada grup yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Pada bab ini akan dibahas mengenai homomorfisma grup beserta sifat-sifatnya, termasuk diantaranya tiga Teorema Utama Homomorfisma. Definisi E3.1 (Homomorfisma) Diketahui

( G, ∗)

homomorfisma ϕ

dan jika

( G ',∗ ') dan

merupakan grup. Pemetaan hanya

jika

untuk

setiap

ϕ : G → G '

a, b ∈ G

disebut berlaku

( a ∗ b ) = ϕ ( a ) ∗ 'ϕ ( b ) .

Contoh E3.2

Diketahui



ϕ :  → 

dengan

merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka, ϕ

( a ) = −a , untuk setiap

a ∈  merupakan homomorfisma grup.

Untuk mempermudah penulisan, notasi a ∗ b akan ditulis ab .

Struktur Aljabar – Teorema Homomorfisma Grup © Wijna 2009. http://wijna.web.ugm.ac.id

1

Lemma E3.3 Diketahui G, G ' grup dan

ϕ : G → G '

merupakan homomorfisma grup, maka keempat

sifat berikut berlaku:

(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka

ϕ

( e)

merupakan elemen

identitas e ' di G '

(ii). Jika a ∈ G , maka

ϕ

( a ) = ϕ ( a ) −1

−1

(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ ( H ) merupakan subgrup pada G ' (iv). Jika K ' merupakan subgrup pada G ' , maka

−1

ϕ

( K ')

merupakan subgrup

pada G.

Definisi E3.4 (Kernel) Diketahui

G, G '

grup

dan

ϕ : G → G '

homomorfisma

grup.

Himpunan

{a ∈ G ϕ ( a ) = e '} dinamakan kernel dari ϕ dan dinotasikan ker (ϕ ) . Contoh E3.5

Pada contoh E3.2, diperoleh ker (ϕ ) = {0} .


ϕ : G → G '

merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

ϕ

merupakan pemetaan injektif jika dan hanya jika ker (ϕ ) = {e} .

Bukti.

(⇒) Menurut Teorema E3.3 (i) berakibat

ϕ

(e) = e '

dan karena ϕ merupakan pemetaan

injektif maka hanya elemen e di G yang dipetakan ke elemen e ' di G’ . Jadi, ker (ϕ ) = {e} .


2

( ⇐) Diandaikan pemetaan dan

ϕ

bukan pemetaan injektif, yaitu terdapat a, b ∈ G dengan a ≠ b

ϕ

( a ) = ϕ ( b ) . Karena ϕ ( a ) = ϕ ( b ) , maka ϕ ( a )ϕ ( b )

(ii) diperoleh

ϕ

akibatnya ab−1

( a )ϕ (b )

=e

−1

=ϕ

−1

= e'.

Menurut Teorema E3.3

( a ) ϕ ( b 1 ) = ϕ ( ab 1 ) = e ' . Karena diketahui −

−

ker (ϕ ) = {e} ,

dan dengan kata lain a = b . Muncul kontradiksi dengan pengandaian

bahwa a ≠ b . Jadi, pengandaian diingkar dan terbukti ϕ merupakan pemetaan injektif.



Definsi E3.7 (Isomorfisma) Diketahui G, G ' grup dan

ϕ : G → G '

merupakan homomorfisma grup. Pemetaan

disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika

ϕ

ϕ

merupakan pemetaan bijektif.

Contoh E3.8

Pemetaan

ϕ

pada contoh E3.2 merupakan isomorfisma grup.

Berikut diberikan definisi mengenai subgrup normal. Dari definisi subgrup normal tersebut,

dapat

dimunculkan

suatu

lemma

mengenai

sifat

dari

kernel

suatu

homomorfisma. Definisi E3.9 (Subgrup Normal) Diketahui G grup dan H subgrup pada G. Subgrup H disebut subgrup normal jika dan hanya jika gH

=

Hg untuk setiap g ∈ G .

Contoh E3.10

Diketahui



merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Setiap

subgrup n dengan n ∈  pada



merupakan subgrup normal.


3


ϕ : G → G '

homomorfisma grup, maka ker (ϕ ) merupakan

subgrup normal pada G. Bukti.

Pertama, akan ditunjukkan bahwa ker (ϕ ) merupakan subgrup pada G. Diambil sebarang a, b ∈ ker (ϕ ) ,

( a )ϕ ( b )

−1

ϕ ϕ

( a )ϕ (b )

−1

dan

= e'. =ϕ

dengan

Karena

ϕ

demikian

( a )ϕ ( b )

−1

= e',

( a ) ϕ ( b 1 ) = ϕ ( ab 1 ) = e ' . −

( a ) = ϕ ( b ) = e '

ϕ

−

atau

dengan

kata

lain

maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh Jadi, diperoleh ab −1 ∈ ker (ϕ ) dan dengan

demikian ker (ϕ ) merupakan subgrup pada G. Kedua, akan ditunjukkan bahwa H = ker (ϕ ) merupakan subgrup normal pada G. Diambil sebarang g ∈ G dan dibentuk gH a ∈ gH , ϕ

maka

a = gh1

untuk

=

suatu

( a ) = ϕ ( gh1 ) = ϕ ( g ) ϕ ( h1 ) = ϕ ( g ) e ' = ϕ ( g )

(

Karena ϕ ( gh1 ) = ϕ ( g ) , diperoleh ϕ gh1g yaitu gh1 g −1 a = gh1

=

=

{ gh h ∈ H = ker (ϕ )} .

−1

h1 ∈ H .

berlaku pula Hg ⊆ gH . Karena gH

⊆

⊆

) = e'

bahwa

atau dengan kata lain gh1 g −1 ∈ H =

h dan a = gh1 , maka diperoleh

Hg dan dengan cara serupa dapat ditunjukkan

Hg dan Hg

H = ker (ϕ ) merupakan subgrup normal.

Diperhatikan

atau dengan demikian ϕ ( gh1 ) = ϕ ( g ) .

h untuk suatu h ∈ H . Karena gh1 g −1

hg ∈ Hg . Jadi, berlaku gH

Diambil sebarang

⊆

gH , maka gH

=

Hg dan terbukti



Teorema-teorema berikut mengawali pembahasan Teorema Utama Homomorfisma Grup. Teorema E3.12 Diketahui G H

=

{ gH

ϕ : G → G '

homomorfisma

grup

dengan

ker (ϕ ) = H .

Maka

g ∈ H } merupakan grup terhadap operasi biner ( aH )( bH ) = ( ab ) H untuk

setiap ( aH ) , ( bH ) ∈ G H .


4

Teorema E3.13 Diketahui μ

:G H

homomorfisma grup dengan ker (ϕ ) = H . Maka pemetaan

ϕ : G → G '

→ ϕ

(G )

yang

didefinisikan

μ

( aH ) = ϕ ( a )

untuk

setiap

aH ∈ G H

merupakan isomorfisma grup.

Bukti.

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa

( aH ) , ( bH ) ∈ G Karena aH

H dengan aH

= bH

, akibatnya ab−1 ∈ H dan dengan demikian

( ab ) = e ' ,

ϕ

( ab ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) = ϕ ( a )ϕ ( b )

μ

maka

−1

menurut

−1

sesuai definisi

μ

merupakan pemetaan. Diambil sebarang

dan akan ditunjukkan bahwa

= bH

ϕ

−1

μ

berlaku

( aH ) = μ ( bH ) . Jadi,

μ

μ

−1

Teorema

( aH ) = ϕ ( a )

dan

μ

( aH ) = μ ( bH ) .

( ab ) = e ' . −1

E3.3

e ' atau dengan kata lain

=

ϕ

μ

(ii) ϕ

Karena

diperoleh

( a ) = ϕ ( b ) .

Karena

( bH ) = ϕ ( b ) , dengan demikian berlaku

merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa

μ

merupakan homomorfisma grup. Diambil

sebarang ( aH ) , ( bH ) ∈ G H , diperhatikan bahwa μ

( ( aH )( bH ) ) = μ ( ( ab ) H ) = ϕ ( ab ) = ϕ ( a ) ϕ ( b ) = μ ( aH ) μ ( bH ) .

Jadi, terbukti bahwa

μ

merupakan homomorfisma grup.

Diambil sebarang y ∈ ϕ ( G ) , maka y = ϕ ( a ) untuk suatu a ∈ G dan dengan demikian dapat dipilih x = aH ∈ G H sehingga

μ

( x ) = y . Jadi,

μ

merupakan pemetaan surjektif.

Diambil sebarang x ∈ ker ( μ ) . Karena ker ( μ ) ⊆ G H , maka x = aH untuk suatu a ∈ G . Karena

μ

( x ) = μ ( aH ) = ϕ ( a ) = e '

a ∈ H , berakibat aH

=

H dan dengan demikian x = H . Jadi, diperoleh ker ( μ ) = { H }

dan menurut Lemma E3.6 berakibat Jadi, karena

μ

dan karena ker (ϕ ) = H berakibat a ∈ H . Karena

μ

merupakan pemetaan injektif.

merupakan homomorfisma grup yang surjektif sekaligus injektif, maka

merupakan isomorfisma grup.

μ




5

Teorema E3.14 homomorfisma grup dengan ker (ϕ ) = H . Maka pemetaan

ϕ : G → G '

Diketahui γ : G → G

H

yang

didefinisikan

γ

( a ) = aH

untuk

setiap

a∈G

merupakan

homomorfisma surjektif.

Bukti.

Diambil sebarang a, b ∈ G , diperhatikan bahwa γ

( ab ) = ( ab ) H = ( aH )( bH ) = γ ( a ) γ (b ) .

Jadi, terbukti bahwa γ

γ

merupakan homomorfisma. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

pemetaan surjektif. Diambil sebarang y ∈ G H , maka y = gH untuk suatu g ∈ G dan

dengan demikian dapat dipilih x = g homomorfisma surjektif.

sehingga

γ

( x ) = y .

Jadi,

γ

merupakan



Dari Teorema E3.12 dan E3.13, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut: (i).

Diketahui G dan G ' merupakan grup

(ii). Diketahui

ϕ : G → G '

(iii). Diketahui

ϕ

homomorfisma grup

(G ) ⊆ G '

(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh G ker (ϕ ) merupakan grup (v). Dari Teorema E3.14, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari G ke G ker (ϕ )

(vi). Dari Teorema E3.13, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari G ker (ϕ ) ke ϕ

(G ) .

Diperhatikan langkah (iv), (v), dan (vi). Jika a ∈ G , maka untuk memetakan elemen a ke G ' melalui suatu pemetaan homomorfisma, tidak harus melalui pemetaan

ϕ .

Dari

langkah (iv), (v), dan (vi), untuk memetakan elemen a ke G ' dapat pula melalui pemetaan

γ

dan

μ

yang keduanya merupakan pemetaan homomorfisma. Pertama,

elemen a dipetakan terlebih dahulu ke grup G ker (ϕ ) melalui pemetaan


γ ,

hasil petanya

6

adalah

γ

( a ) . Selanjutnya, elemen γ ( a )

hasil petanya adalah

dipetakan ke

ϕ

(G ) ⊆ G '

melalui pemetaan

μ ,

( ( a ) ) = ( μ  γ )( a ) . Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut

μ γ

elemen a tidak langsung dipetakan ke G ' melalui pemetaan

ϕ ,

melainkan harus

“singgah sejenak” di grup G ker (ϕ ) untuk kemudian dipetakan ke G ' melalui pemetaan μ  γ .

Tetapi yang terpenting adalah grup G ker (ϕ ) dan

suatu isomorfisma dari G ker (ϕ ) ke

ϕ

(G ) .

ϕ

(G )

isomorfis, yaitu ada

Sifat tersebut dapat dinyatakan ke dalam

sebuah teorema. Teorema E3.15 (Teorema Utama Homomorfisma Grup 1) Diketahui

ϕ : G → G '

G ker (ϕ ) ke

Jika

ϕ

ϕ

homomorfisma grup, maka terdapat suatu ismomorfisma dari

(G ) .

merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh

ϕ

(G ) = G '

dan Teorema E3.15

dapat berubah menjadi seperti berikut. Teorema E3.16 ϕ : G → G '

Diketahui

homomorfisma grup yang surjektif, maka terdapat suatu

ismomorfisma dari G ker (ϕ ) ke G ' .

Sejauh ini, Teorema Utama Homomorfisma Grup 1 hanya menyatakan bahwa G ker (ϕ ) isomorfis dengan G ' . Berikut akan ditunjukkan bahwa terdapat grup lain yang isomorfis dengan G ' . Grup lain tersebut dapat dibentuk dengan “mengganti” grup G ker (ϕ ) menjadi grup G N dengan N merupakan subgrup normal pada G. Teorema E3.17 (Perumuman Teorema E3.12) Diketahui G N

=

ϕ : G → G '

{ gN

homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka

g ∈ N } merupakan grup terhadap operasi biner ( aN )( bN ) = ( ab ) N untuk

setiap ( aN ) , ( bN ) ∈ G N .


7

Bukti.

Untuk menunjukkan bahwa G N merupakan grup, terlebih dahulu ditunjukkan bahwa operasi

( aN )( bN ) = ( ab ) N

terdefinisi dengan baik. Misalkan aN

=

cN dan bN

( aN )( bN ) = ( cN )( dN )

untuk suatu a, b, c, d ∈ N , akan ditunjukkan bahwa

=

dN

yaitu

( ab ) N = ( cd ) N . Karena aN

=

cN dan a ∈ aN , maka a = cn1 untuk suatu n1 ∈ N . Dengan cara serupa

diperoleh juga b = dn2 untuk suatu n2 ∈ N . Diperhatikan bahwa n1d ∈ Nd . Karena N subgrup normal berakibat Nd dengan kata lain n1d

=

=

dN . Dengan demikian diperoleh n1d ∈ Nd

=

c ( dn3 ) n2

=

( cd ) n3 n2 = ( cd ) n4 , dengan

Dengan demikian diperoleh ab ∈ ( cd ) N . Akibatnya dapat

dN atau

dn3 untuk suatu n3 ∈ N . Diperhatikan bahwa

ab = ( cn1 )( dn2 ) = c ( n1d ) n2

serupa

=

ditunjukkan

( cd ) N ⊆ ( ab ) N

( ab ) N ⊆ ( cd ) N

dan

( ab ) N = ( cd ) N . Jadi, operasi ( aN )( bN ) = ( ab ) N

n4

dengan

=

n3 n2 ∈ N .

dan dengan cara

demikian

berlaku

terdefinisi dengan baik.

Pembuktian bahwa aksioma-aksioma grup berlaku sengaja tidak penulis cantumkan.



Teorema E3.18 (Perumuman Teorema E3.14) Diketahui pemetaan

ϕ : G → G ' γ : G → G

homomorfisma grup dan N subgrup normal pada G, maka

N yang didefinisikan

γ

( a ) = aN

untuk setiap a ∈ G merupakan

homomorfisma surjektif dan ker ( γ ) = N .

Bukti.

Pembuktian bahwa

γ

merupakan homomorfisma surjektif serupa dengan pembuktian

Teorema E3.14. Akan ditunjukkan bahwa ker ( γ ) = N . Karena aN jika a ∈ N , maka jelas bahwa ker ( γ ) = N .

=

N jika dan hanya




8

Teorema-teorema berikut merupakan sifat dari subgrup normal. Teorema E3.19 Diketahui H sebarang subgrup pada G dan N subgrup normal pada G, maka HN merupakan subgrup pada G. Lebih lanjut jika H subgrup normal, maka HN merupakan subgrup normal pada G.

Bukti.

Diperhatikan bahwa HN

=

{hn h ∈ H , n ∈ N } .

Jelas bahwa operasi biner pada HN

terdefinisi dengan baik, karena operasi biner pada HN juga merupakan operasi biner pada G. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi biner pada HN tertutup. Diambil

sebarang h1n1 , h2 n2 ∈ HN . Karena N subgrup normal, maka n1h2

=

h2 n3 untuk suatu

n3 ∈ N . Diperhatikan bahwa

( h1n1 )( h2 n2 ) = h1 ( n1h2 ) n2 = h1 ( h2 n3 ) n2 = ( h1 h2 )( n3 n2 ) ∈ HN . Jadi, operasi biner pada HN tertutup dan dengan demikian sifat asosiatif juga berlaku pada HN . Karena e ∈ N dan e ∈ H , jelas bahwa e = ee ∈ HN . Diambil sebarang hn ∈ HN . Karena h ∈ H dan n ∈ N , maka berlaku n −1h −1

=

( hn )

−1

. Karena N subgrup

normal, berlaku n −1h −1 = h −1n1 untuk suatu n1 ∈ N dan dengan demikian

( hn )

−1

∈ HN

.

Jadi, terbukti bahwa HN merupakan subgrup pada G. Misalkan H merupakan subgrup normal, akan ditunjukkan bahwa HN merupakan subgrup normal. Diambil sebarang g ∈ G dan sebarang x ∈ gHN , maka x = gh1n1 untuk suatu h1 ∈ H dan n1 ∈ N . Karena N subgrup normal, maka gh1n1

=

n2 gh1 untuk suatu

n2 ∈ N . Karena H subgrup normal, maka n2 gh1 = h2 n2 g untuk suatu h2 ∈ H . Dengan

demikian diperoleh, x = h2 n2 g ∈ HNg dan berlaku gHN dapat ditunjukkan berlaku HNg

⊆

⊆

HNg . Dengan cara serupa

gHN . Jadi, diperoleh gHN

g ∈ G , yaitu HN merupakan subgrup normal pada G.

=

HNg untuk sebarang



Teorema E3.20 Diketahui H dan N merupakan subgrup normal pada G, maka H∩ N merupakan subgrup normal pada G.


9

Dari Teorema E3.17, Teorema E3.18, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20 dapat diturunkan teorema sebagai berikut. Teorema E3.21 (Teorema Utama Homomorfisma Grup 2) Diketahui H subgrup pada G

dan

N

merupakan subgrup normal pada G, maka

terdapat suatu ismomorfisma dari HN N ke H

( H ∩ N ) .

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh HN N dan H

( H ∩ N ) merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema E3.16,

yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut: (i).

Dibentuk G = HN dan G ' = H

(ii). Dibentuk pengaitan

(H ∩ N )

ϕ : G → G '

hn ∈ HN . Akan ditunjukkan bahwa

Akan ditunjukkan bahwa

ϕ

merupakan grup

dengan ϕ

ϕ

( hn ) = h ( H ∩ N ) untuk

setiap

merupakan homomorfisma.

merupakan pemetaan. Misalkan hn = h1n1 untuk

suatu h, h1 ∈ H dan n, n1 ∈ H . Dengan demikian diperoleh h1−1h = n1n −1 ∈ N . Karena h1−1h ∈ H dan h1−1h ∈ N , diperoleh h1−1h ∈ H ∩ N dan dengan demikian h1 ( H

∩N

) = h(H ∩ N )


ϕ

atau dengan kata lain

n1h2

=

( hn ) = ϕ ( h1n1 ) .

merupakan pemetaan.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa sebarang

ϕ

ϕ

merupakan homomorfisma. Diambil

h1n1 , h2 n2 ∈ HN . Karena N merupakan subgrup normal, maka

h2 n3 untuk suatu n3 ∈ N dan dengan demikian

( h1n1 )( h2 n2 ) = h1 ( n1h2 )n2 = h1 ( h2 n3 ) n2 = ( h1 h2 )( n3 n2 ) . Diperhatikan bahwa ϕ

( ( h n )( h n ) ) 1 1

2 2

= ϕ

( ( h h )( n n ) ) 1 2

2 3

( h1h2 )( H ∩ N ) = ( h1 ( H ∩ N ) ) ( h2 ( H ∩ N ) ) = ϕ ( h1n1 ) ϕ ( h2 n2 ) . =


ϕ



10

(iii). Diketahui

ϕ

(G ) ⊆ G '

(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh G ker (ϕ ) merupakan grup. Akan ditunjukkan bahwa ker (ϕ ) = N . Jika

hn ∈ ker (ϕ ) ,

h∈ H

∩ N .

berakibat

ϕ

( hn ) = ( H ∩ N )

atau

Sehingga diperoleh ker (ϕ ) = {hn h ∈ H

sebarang hn ∈ ker (ϕ ) , berlaku h ∈ N dan

dengan

∩ N, n ∈ N

kata

lain

} . Karena untuk

n ∈ N akibatnya hn ∈ N dan

dengan demikian ker (ϕ ) ⊆ N . Jika dipilih h = e , maka untuk sebarang n ∈ N berlaku n = en ∈ ker (ϕ ) dan dengan demikian N ⊆ ker (ϕ ) . Jadi, karena berlaku ker (ϕ ) ⊆ N dan N ⊆ ker (ϕ ) maka dapat disimpulkan bahwa ker (ϕ ) = N .

(v). Dari Teorema E3.14, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari G ke G ker (ϕ )


(G ) .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I, terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari HN N ke

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa surjektif. Diambil sebarang y ∈ H

ϕ

ϕ

( HN ) .

( HN ) = H ( H ∩ N ) , yaitu

( H ∩ N ) , maka

ϕ

y = h ( H ∩ N ) untuk suatu h ∈ H

dan dengan demikian dapat dipilih x = he ∈ HN sehingga berlaku Jadi,

ϕ

merupakan pemetaan

ϕ

( x ) = y .

merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

isomorfisma dari HN N ke H

( H ∩ N ) . 


11

Teorema E3.22 (Teorema Utama Homomorfisma Grup 3) Diketahui H dan K subgrup normal pada G. Jika K subgrup pada H, maka terdapat suatu isomorfisma dari G H ke ( G K )

(H

K ) .

Bukti.

Menurut Teorema E3.17, Teorema E3.19, dan Teorema E3.20, diperoleh G H dan

(G

K)

(H

K ) merupakan grup. Pembuktian adalah dengan menggunakan Teorema

E3.16, yaitu dengan menjalankan langkah (i) sampai (vi) sebagai berikut: (i).

Dibentuk G dan G ' = ( G K )

(ii). Dibentuk pengaitan

(H

ϕ : G → G '

a ∈ G . Akan ditunjukkan bahwa

Jelas bahwa

ϕ

K ) merupakan grup

ϕ

dengan

ϕ

( a ) = ( aK )( H

K ) untuk setiap


merupakan pemetaan. Diambil sebarang a, b ∈ G .

Diperhatikan bahwa ϕ

( ab )

( ( ab ) K ) ( H K ) = ( ( aK )( bK ) ) ( H K ) = ( ( aK )( H K ) ) ( ( bK )( H K ) ) =

=ϕ

( a )ϕ ( b ) .


(iii). Diketahui

ϕ

ϕ


(G ) ⊆ G '

(iv). Dari Teorema E3.12, diperoleh G ker (ϕ ) merupakan grup. Akan ditunjukkan bahwa ker (ϕ ) = H . Jika x ∈ ker (ϕ ) , berakibat

ϕ

( x) = ( H

K ) atau dengan kata lain xK ∈ H K .

Diperhatikan bahwa xK ∈ H K jika dan hanya jika x ∈ H . Jadi, diperoleh ker (ϕ ) = H .


12

(v). Dari Teorema E3.14, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari G ke G ker (ϕ )


(G ) .

Dari langkah (i) sampai (vi), sesuai dengan Teorema Utama Homomorfisma Grup I, terbukti bahwa terdapat suatu isomorfisma dari G H ke

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa

ϕ

(G ) = (G

surjektif. Diambil sebarang y ∈ ( G K )

(H

K)

(H

ϕ

(G ) .

K ) , yaitu

ϕ

merupakan pemetaan

K ) , maka y = ( aK )( H K ) untuk suatu

a ∈ G dan dengan demikian dapat dipilih x = a ∈ G sehingga berlaku

Jadi,

ϕ

ϕ

( x ) = y .

merupakan pemetaan surjektif sehingga menurut Teorema E3.16 terdapat suatu

isomorfisma dari G H ke ( G K )

(H

K ) . 


13

Sumber:

Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.


14

Extra3-Teorema Homomorfisma Grup

Recommend Documents