Pengantar Struktur Aljabar 2
HOMOMORFISMA NATURAL
A. Pendahuluan Pembahasan
dalam
pertemuan
ini
sangat
tergantung
dengan
pemahaman materi-materi sebelumnya, terutama tentang ring factor dan homomorfisma. Selain itu, harus dingat kembali homomorfisma natural pada group. Pembahasan dalam modul ini dimulai dari mengingatkan kembali bahwa setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kernelnya, dan kernel pastilah ideal, sehingga selalu dapat dibentuk ring faktor. Selanjutnya akan dibentuk pengaitan baru dari domain homomorfisma ke ring factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural Diharapkan para mahasiswa mampu :
- Menentukan homomorfisma natural - Menjelaskan homomorfisma natural - Membuktikan bahwa homomorfisma natural merupakan epimorfisma B. Homomorfisma Natural Teorema 1: Misalkan R suatu Ring dan I ideal dari R. jika didefinisikan pengaitan
R
suatu
: R p R/I oleh R(x) = x + I untuk setiap x dalam R, maka
merupakan epimorfisma. Biasanya
R
R
disebut homomorfisma natural .
Bukti : Akan ditunjukkan
R
merupakan fungsi, surjektif dan homomorfisma,
sebagai berikut :
Pertemuan 11
41
Pengantar Struktur Aljabar 2
i)
R
fungsi
Ambil sebarang a, b
R dengan a = b maka a + I = b + I atau
(a) =
R
v(b), jadi R adalah fungsi ii)
R
surjektif
Ambil sebarang y
R/I maka y = x + I = R(x) untuk suatu x
R. jadi
R
surjektif iii) R homomorfisma Ambil sebarang a, b
G
(a+b) = (a+b) + I
R
= (a+ I) + (b + I) = R(a) + R(b)
(a.b) = (a.b) + I
R
= (a+ I) . (b + I) = R(a) . R(b)
Teorema 2 : Jika f adalah homomorfisma dari R ke R¶ maka ker(f) = {x
R | f(x) = e 0¶,
eo¶ elemen netral dalam R¶} adalah ideal dari R, sehingga dapat dibuat homomorfisma natural dari R ke R/ker(f)
Tugas Kelompok : Mahasiswa
membuat
contoh
homomorfisma
dengan
berbagai
karakteristik :
Pertemuan 11
42
Pengantar Struktur Aljabar 2
1. homomorfisma yang tidak 1-1 dan tidak pada 2. homorofisma yang 1-1 tetapi tidak pada 3. homomorfisma tidak 1-1 dan pada 4. homomorfisma 1-1 dan pada selanjutnya dari contoh yang dibuat, dicari kernelnya dan dibentuk homomorfisma natural.
TEOREMA FUNDAMENTAL HOMOMORFISMA RING C. Pendahuluan Pembahasan
dalam
pertemuan
ini
sangat
tergantung
dengan
pemahaman materi-materi sebelumnya, terutama tentang Ring factor, homomorfisma baik epimorfisma maupun monomorfisma dan juga homomorfisma natural yang dibentuknya. Kalian juga harus mengingat kembali teorema Fundamental Homomorfisma Grup, karena memiliki kemiripan dalam pembentukan maupun pembuktiannya. Pembahasan dalam modul ini dimulai dari mengingatkan kembali bahwa setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kernelnya, dan kernel pastilah ideal, sehingga selalu dapat dibentuk Ring faktor. Selanjutnya akan dibentuk pengaitan baru dari Ring factor yang dibentuknya ke kodomain homomorfismanya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang memenuhi diagram komutatif, yaitu homomorfisma awal akan sama dengan komposisi fungsi dari homomorfisma baru yang dibentuknya dengan homomorfisma natural. Diharapkan para mahasiswa setelah mempelajari pada pertemuan ini, mampu :
Pertemuan 11
43
Pengantar Struktur Aljabar 2
- Menentukan homomorfisma baru yang memenuhi diagram komutatif - Menjelaskan teorema fundamental homomorfisma Ring - Membuktikan teorema fundamental homomorfisma Ring dengan berbagai kasus (hom0morfisma awal : tidak 1-1 dan tidak pada; 1-1 dan tidak pada; tidak 1-1 tetapi pada; maupun 1-1 dan pada)
Pertemuan 11
44
Pengantar Struktur Aljabar 2
D. Teorema Fundamental Homomorfisma Ring Teorema 3 : Diketahui J : R p R¶ adalah homomorfisma dengan kernel(J )= K, maka
J(R)= im(J ) adalah suatu ring (karena im(J) subring di R¶) dan dibentuk fungsi Q :
R
K
p
im(J) diberikan oleh :
Q (x + K ) = J(x), untuk setiap (x+K)
R/K , maka Q isomorfisma.
diagram alur berfikir :
J (diket) homo J(R)=im(J)
R
(diket) homonatural R
R
( pada R¶, diambil im( J) saja )
Q (dibuktikan)
K
Catatan : 1. Q merupakan isomorfisma dari
R
K
ke J(R)=im(J) BUKAN ke R¶
karena belum tentu J(R) = R¶. 2. Q (x+ K ) = J(x) adalah monomorfisma dari
R
K
ke R¶
3. jika J adalah epimorfisma yang berarti J(R)=im(J) = R¶ maka
Q (x+ K ) = J(x) adalah isomorfisma dari
R
K
ke R¶
4. J = Q rR dikatakan bahwa diagram di atas adalah komutatif Bukti : Akan ditunjukkan Q merupakan fungsi, 1-1, surjektif dan homomorfisma dari
R
K
ke J(R) sebagai berikut :
iv) Q fungsi
Pertemuan 11
45
Pengantar Struktur Aljabar 2
Ambil sebarang a+ K , b+ K
R
a+ K = b+ K maka a ± b
K (karena K = kernel J subring sehingga
K
dengan a+ K = b+ K
merupakan subgroup dari (R,+)) sehingga J( a ± b) = 0¶
0¶ elemen netral dalam R¶
J( a) ± J(b) = 0¶
J homomorfisma
J( a) = J(b)
ditambahkan J(b)
Q(a+ K ) = Q(b+ K )
definisi Q,
jadi Q adalah fungsi v) Q satu-satu (1-1) atau injektif Ambil sebarang a+ K , b+ K
R
K
dengan Q(a+ K ) = Q(b+ K ), akan
ditunjukkan a+ K = b+ K , sebagai berikut :
Q(a+ K ) = Q(b+ K ) J( a) = J(b)
definisi Q
J( a) ± J(b) = 0¶
dikalikan J( a)
J( a ± b) = 0¶
J homomorfisma
a±b
definisi kernel J
-1
K
a+ K = b+ K
sifat subgrup (karena K subgroup)
Catatan : Dalam pembuktian Q injektif bukan karena J juga injektif sebab J belum tentu injektif) vi) Q surjektif Ambil sebarang y
R
.
sehingga x+ K
K
J(R) maka y = J(x) = Q(x+ K ) untuk suatu x
jadi y J(R), x+ K
R
K
R,
sehingga y = Q(x K ),
Pertemuan 11
46
Pengantar Struktur Aljabar 2
dengan kata lain Q surjektif
Q homomorfisma
vii)
Ambil sebarang a+ K , b+ K
R
K
Q [(a+ K )+(b+ K )] = Q [(a+b)+ K ]
(a+ K )+(b+ K ) = (a+b)+ K
= J (a+b)
definisi Q
= J(a)+ J(b)
J homomorfisma
= Q(a+ K )+ Q(b K )
definisi Q
Teorema 4 : jika J : R p R¶ adalah Epimorfisma dengan kernel(J)= K maka pengaitan
Q:
R
K
p
R¶ diberikan oleh :
J R
R¶
Q
R
R
Q (x+ K ) = J(x) merupakan isomorfisma.
K
Selanjutnya dikatakan
R
K
isomorfik dengan R¶ dinotasikan
R
K
}
R¶
Bukti : sebagai latihan mahasiswa Tugas Kelompok : Dengan teorema fundamental homomorfisma ring maka bentuklah homomorfisma
natural
dan
isomorfisma
yang
dibentuk
dari
homomorfisma dengan ketentuan 1. homomorfisma yang tidak 1-1 dan tidak pada 2. homorofisma yang 1-1 tetapi tidak pada 3. homomorfisma tidak 1-1 dan pada 4. homomorfisma 1-1 dan pada
Pertemuan 11
47
