BAB I PENDAHULUAN 1.1.
LATAR BELAKANG
Sistem bilangan yang telah dikenal seperti bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan kompleks mempunyai dua operasi yang didefinisikan padanya yaitu penjumlahan dan pergandaan. Di bawah operasi pergandaan himpunan bilangan bilangan tersebut di atas merupakan grup abelian. Sistem aljabar dengan dua operasi seperti di atas termasuk dalam sistem aljbar yang dinamakan ring. Dalam makalah ini akan dibahas definisi dan teorema-teorema Ring Faktor. Pada Struktur Aljabar 1 telah dibicarakan mengenai Grup Faktor, dimana grup yang unsur-unsurnya berupa koset dengan suatu operasi. Sama halnya dengan Ring Faktor, jika pada Grup Faktor mendiskusikan koset pada grup, pada Ring Faktor pun juga mendiskusikan koset-koset pada ring yang dinamakan ideal.
1.2.
RUMUSAN MASALAH
Dari latar belakang tersebut dapat dibuat rumusan masalah sebagai berikut : 1. Apa definisi Ring Faktor? 2. Bagaimana Teorema-teorema Ring Faktor? 3. Bagaimana definisi homomorfisma ring ?
1.3.
TUJUAN
Tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui Definisi Ring Faktor 2. Mengetahui sifat-sifat pada Ring Faktor. 3. Mengetahui definisi homomorfisma ring
1
BAB II PEMBAHASAN 2.1.
RING FAKTOR
Pada materi sebelumnya kita telah membicarakan bahwa bila N adalah suatu subgroup normal dari G, maka kita dapat membetuk suatu factor dari G/N. Pada suatu ring R, bila N adalah suatu subring dari R, maka
/={+:∈
} dengan operasi penjumlahan dari R adalah suatu grup grup factor. Hal ini dijamin oleh kenyataan < ,+> ,+ > adalah suatu grup komutatif. Selanjutnya kita ingin membentuk R/N menjadi suatu ring. Persoalan yang timbul adalah bagaimana cara kita mendefinisikan operasi perkalian atas R/N. Jawaban yang wajar adalah kita mendefinisikannya dengan menggunakan operasi perkalian di ring R. Andaikan
+ , + ∈ /,
menurut operasi
perkalian di ring R.
+ . + = . + + + = . + + + + . + ∈ /. atu ideal dai R maka ⊆ dan ⊆ . Hal ini
Secara umum kita tidak mempunyai jaminan bahwa Tetapi bila N adalah su berakibat
bahwa
+ + = , sehingga + + = . + ∈ / Kemudian kita harus menjamin operasi
+ + = . + + , + ∈ / adalah terdefinisi dengan baik. Artinya bila + = + dan + = + , maka kita harus menjamin + + = + + . Untuk itu, kita harus bahwa + = + . Karena N adalah subgroup memperlihatkan bahwa normal, hal ini sama artinya dengan memperlihatkan − ∈ . Untuk semua
Perhatikan bahwa
2
− = +− + − = − + − + = + dan + = + , maka − , − ∈ . Sehingga − ∈ dan − ∈ , akibatnya Karena
− = − + − Jadi operasi
+ + = . + terdefinisi dengan baik.
Teorema 1.1
Andaikan adalah suatu ring dan misalkan
adalah ideal dari . Bila pada / = { + : ∈ } didefinisikan operasi
himpunan
+ + + = + + Dan
+ . + = . + untuk semua + , + ∈ /, maka <
⁄ , +,∙ > adalah suatu ring.
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
< ⁄ , +,∙ > adalah suatu ring. Untuk membuktikannya
harus memenuhi syarat-syarat ring yaitu:
< ⁄ , +> merupakan suatu grup komutatif/abelian. i. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di /
1.
Ambil sembarang
+ , + ∈ /
berlaku + + + karena
r1 , r2
R
= + +
dan R merupakan ring maka
r1
r2
R
sehingga + + ∈ / . Terbukti bahwa / tertutup terhadap penjumlahan di 3
/ .
/ Ambil sembarang + , + , + ∈ / [ + + + ] + + = [ + + ] + + ....Definisi
ii. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di
operasi pada R / N
= [ + + ] +
…………. Definisi operasi pada
= [ + + ] +
………….Sifat assosiatif
R / N
[ + + + ] + + = + + [ + + + ]… Definisi operasi pada
R / N
Maka Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di
/ berlaku.
iii. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di R / N .
+ ∈ / sebagai unsure identitas dan ∈ . Ambil sembarang + ∈ / diperoleh + + + = + + = + + + + = + + = + Karena + + + = + + + = + , maka R/N Pilih
memilki unsur identitas.
iv. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di R/N Ambil sembarang
+ ∈ / , pilih − + ∈ / diperoleh
+ + (− + ) = ( + − ) + = + = (− + ) + + = (− + ) + = + = Karena + + (− + ) = (− + ) + +
= + , maka
R/N memiliki unsur invers.
v. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di R/N Ambil sembarang + , + ∈ /, diperoleh
+ + + = + + ............... Definisi operasi pada R / N = + + ………… Sifat komutatif penjumlahan
4
= + + + ….Definisi operasi pada Karena + + +
R / N
= + + + , maka sifat komutatif
dipenuhi. 2.
< ⁄ ,∙ > merupakan suatu semigrup/monoid.
i. Tertutup terhadap perkalian (.) Ambil sembarang + , + ∈ /, diperoleh
+ . + = . + Karena
r1 , r2 R dan
R merupakan ring maka
r1.r2 R
Sehingga . + ∈ / . Terbukti bahwa / tertutup terhadap perkalian.
ii. Assosiatif terhadap perkalian (.) Ambil sembarang + , + , + ∈ /, diperoleh
[ + + ] + = + + operasi pada
…………….definisi
R / N
= + …………………….Definisi operasi pada R / N = + ……………………Sifat Assosiatif pada perkalian = + + …………...Definisi operasi pada R / N = + [ + + ] ……Definisi operasi pada R / N Sehingga / Assosiatif terhadap perkalian (.) 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan. Ambil sembarang + , + , + ∈
/, diperoleh
Untuk distributive kiri
+ [ + + + ] = + [ + + ] ………Definisi operasi pada
R / N
5
= + +
……………………. Definisi operasi pada
R / N
= + + ………………………Sifat distributive kiri = + + + ……………..... Definisi operasi pada R / N = + + + + + .. Definisi operasi pada R / N Untuk distributive kanan
[ + + + ] + = [ + + ] + ………Definisi operasi pada
R / N
= + +
…………………… Definisi operasi pada
= + +
R / N
…………………….Sifat distributive kanan
= + + + + + .. Definisi operasi pada R / N Jadi, / memenuhi Distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena / terpenuhi aksioma-aksioma ring,maka
/ merupakan ring. Ring / pada teorema di atas disebut sebagai ring faktor dari modulo . Contoh 1
Bila K = {0, 2, 4} adalah suatu Ideal yang dibangun oleh 2 dalam Z 6. Tunjukan Z6/K merupakan Ring Faktor.
Penyelesaian :
Z6/K = {K, 1+K } Tabel Cayley (Z6/K,+,.)
6
+
K
1+K
K
K
1+K
1+K
1+K
K
.
K
1+K
K
K
K
1+K
K
1+K
Dari table diatas diperoleh: 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K Ambil sembarang
a K,b K
Z6
/K
Berlaku (a K ) (b K ) ( a b) K Karena
a, b Z 6 dan Z 6 merupakan
ring, maka
a b Z 6
Sehingga (a b) K Z6 / K
Terbuktilah bahwa di Z
berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan (+).
6
/ K
2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K Ambil sembarang
a K,b K,c K
Z6
/ K dengan a, b, c Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa [(a K ) (b K )] (c K ) (a K ) [(b K ) (c K )
Karena
Z 6 merupakan
assosiatif, maka pada
himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat
Z 6 juga
berlaku, sehingga :
[(a K ) (b K )] (c K ) [( a b) K ] (c K )
Terbuktilah bahwa di Z
6
/ K
(a b c) K
[ a (b c )] K
(a K ) [(b c ) K ]
(a K ) [(b K ) (c K )]
berlaku sifat assosiatif terhadap penjumlahan (+).
3. Adanya unsur kesatuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) di Z6/K (e K ) (0 K ) Z 6
/
K (a K ) Z 6
(e K ) (a K ) (0 K ) ( a K )
/
(0 a) K
7
K berlaku e K a K a K e K a K
(a K )
(a K ) (e K ) ( a K ) (0 K )
(a 0) K
(a K )
Terbuktilah bahwa di Z
6
/ K
memiliki unsur identitas.
4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K (a K ) Z 6
Misalkan (a (a K ) ( a
(a
1
1
1
/ K a 1 K Z 6 / K (a K ) (a1 K ) (a1 K ) (a K ) (e K )
K)
K)
K ) (a K)
( a K )
( a K) ( a K)
(a ( a)) K
(0 K )
(e K )
( a K) ( a K)
(a a ) K
(0 K )
(e K )
Terbuktilah bahwa di Z
6
/ K
memiliki unsur invers.
5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K Ambil sembarang
a K ,b K
Z6
/ K dengan
a, b Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa (a K ) (b K ) (b K ) (a K ). Karena
Z 6 merupakan
komutatif, maka pada
himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat
Z 6 juga
(a K ) (b K ) (a b) K
berlaku, sehingga :
(b a) K
(b K ) ( a K )
Terbuktilah bahwa di Z
6
/ K
berlaku sifat assosiatif terhadap penjumlahan (+).
6. Tertutup terhadap perkalian (.) di Z 6/K Ambil sembarang
a K ,b K
Z6
/K
8
Berlaku (a K ).(b K ) ( a.b) K Karena
a, b Z 6 dan Z 6 merupakan
Sehingga (a.b) K Z 6 / K Terbuktilah bahwa di Z
6
ring, maka
a.b Z 6
/ K
berlaku sifat tertutup terhadap perkalian (.).
7. Assosiatif terhadap perkalian (.) di Z 6/K Ambil sembarang
a K,b K,c K
Z
6
/ K dengan a, b, c Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa [(a K ).(b K )].(c K ) ( a K ).[(b K ).(c K ) Karena
Z 6 merupakan
assosiatif, maka pada
himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat
Z 6 juga
berlaku, sehingga :
[(a K ).(b K )].(c K ) [(a.b ) K ].(c K )
Terbuktilah bahwa di Z
6
/ K
( a.b.c) K
[a.(b. c)] K
(a K ).[(b.c) K ]
(a K ).[(b K ).(c K )]
berlaku sifat assosiatif terhadap perkalian (.).
8. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) di Z 6/K Ambil sembarang
a K,b K,c K
Z
6
/ K dengan a, b, c Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa (a K ).[(b K ) (c K )] [( a K ) (b K )].( c K ) Pilih (a K ) (b K ) (0 K ), (c K ) (1 K )
(a K ).[(b K ) (c K )] (0 K ).[(0 K ) (1 K )]
(0 K ).(1 K )
(0 K )
[( a K ) (b K )].(c K ) [(0 K ) (0 K )].(1 K )
(0 K ).(1 K )
(0 K )
Terbuktilah bahwa (a K ).[(b K ) (c K )] [(a K ) (b K )].(c K ) sehingga pada
Z 6 / K
berlaku sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan.
9
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa Z 6/K = {K, K + 1} adalah merupakan suatu Ring Faktor. Lemma I.2
Andaikan R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Bila N adalah suatu ideal dari R, maka R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan. Bukti :
Pada teorema sebelumnya menjamin R/N adalah suatu ring. Selanjutnya untuk setiap + , + ∈ / Sehingga R/N adalah suatu ring komutatif. Karena
+ + = + = +
…………..sifat komutatif perkalian
= + + Sehingga R/N adalah ring komutatif. Karena
1 + + = + 1 + =+ Untuk semua +
∈ /, 1 + adalah unsur kesatuan dari R/N.
Teorema 1.3
Misalkan R adalah suatu ring komutatif dengan unsure kesatuan 1, dan misalkan N adalah suatu ideal dari R. R/N adalah suatu lapangan jika dan hanya jika N adalah ideal maksimal. Bukti:
Pada teorema 1.3 terdapat dua pernyataan yang harus dibuktikan yaitu: 1. 2.
/ℎ → ℎ ℎ → /ℎ . 10
Untuk bukti 1: Diketahui R/N adalah suatu lapangan, akan ditunjukkan bahwa N adalah ideal maksimal.
⊂ , kita perlihatkan = 1 ∈ . Misalkan ∈ sehingga
Untuk itu misalkan M adalah ideal dari R sehingga
menurut teorema H.3 cukup diperlihatkan ∉ , karenanya + ∈ / . Karena / adalah suatu lapangan, maka terdapat + ∈ / sehingga + + = 1 + . Perhatikan bahwa + + = + = 1 + , akibatnya 1 − ∈ ⊂ . Selanjutnya, karena M adalah suatu ideal dan ∈ maka ∈ . Hal ini berakibat 1 ∈ . Jadi = sehingga N ideal maksimal.
Untuk bukti 2: Diketahui N adalah ideal maksimal dari R/N, akan ditunjukkan bahwa R/N adalah suatu lapangan. Karena R komutatif dengan unsure satuan, kita cukup memperlihatkan bahwa setiap +
∈ / adalah unsure satuan. Perhatikan himpunan = { + : ∈ ∈ } Jelaslah bahwa ⊂ . Kita perlihatkan bahwa S adalah suatu ideal dari R. Untuk sebarang + , + ∈ , + − + = − + − = − + − Karena − ∈ dan − ∈ , maka + − + ∈ Selanjutnya, perhatikan sebarang unsure ′ ∈ dan + ∈ . Jelaslah bahwa ′ ∈ , kemudian karena N adalah suatu ideal maka ′ ∈ . Jadi + ∈ . Dengan cara yang sam, kita dapat memperlihatkan bahwa + ∈ . Jad S adalah ideal dari R. Karena N adalah ideal maksimal dari R dan ⊂ , maka = . Sehingga unsure kesatuan 1 ∈ . Misalkan 1 = + ′ dengan ∈ , maka 1 + = + + = + = + + Hal ini berakibat bahwa setiap unsure tak nol dari R/N adalah unsure kesatuan.
11
Sehingga R/N adalah suatu lapangan.
Teorema I.4
Andaikan R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan misalkan N adalah ideal dari R. R/N adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika N adalah ideal prima.
Bukti :
Pada teorema 1.4 terdapat dua pernyataan yang harus dibuktikan yaitu: 1. 2.
/ adalah suatu daerah integral → ℎ ℎ → / ℎ ℎ
Untuk bukti 1: misalkan R/N adalah suatu daerah integral, kita perlihatkan bahwa N adalah ideal prima. Yakni, bila r 1r 2
∈ N ,
maka r 1
∈ N atau
r 2
∈ N untuk
semua r 1r 2
∈ R.
Perhatikan sebarang dua unsur r 1 + N dan r 2 + N di R/N . Bila r 1r 2 ∈ N , maka ( r 1 + N ) + ( r 2 + N ) = r 1r 2 + N = N . Karena R/N adalah suatu daerah integral, ( r 1 + N )( r 2 + N ) = N akan selalu berakibat r 1 + N = N atau r 2 + N = N . Hal ini berarti r 1 ∈ N atau r 2 ∈ N . Sehingga N adalah suatu ideal prima.
Untuk bukti 2: Karena R adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan 1, Lemma 3.3.2 menjamin R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan ( 1 + N ). Andaikan N adalah suatu ideal prima. Untuk memperlihatkan R/N adalah suatu daerah integral, kita tinggal memperlihatkan bahwa R/N tidak mempunyai unsur pembagi nol. Yakni, bila ( r 1 + N )( r 2 + N ) = N , maka harus diperlihatkan ( r 1 + N ) = N atau ( r 2 + N ) = N. Misalkan ( r 1 + N )( r 2 + N ) = N , maka r 1r 2 + N = N . Hal ini berarti r 1r 2 Karena N adalah suatu ideal prima, maka r 1
∈ N atau r 2 ∈ N . Sehingga ( r 1 + N ) =
N atau ( r 2 + N ) = N . Jadi R/N adalah suatu daerah integral.
Contoh
12
∈ N .
Perhatikan ring Z12 dengan ideal prima maksimal N = { 0,3,6,9 }. Maka R/N = { N ,1 + N , 2 + N } adalah suatu ring dengan tabel Cayley dari operasi penjumlahan dan perkaliannya adalah sebagai berikut: +
N
1 + N 2 + N
N
N
1 + N 2 + N
1 + N 1 + N 2 + N N 2 + N 2 + N N
.
N
1+N
2+N
N
N
N
N
1 + N
Dari tabel di atas kita ketahui bahwa
1 + N N
1 + N 2 + N
2 + N N
2 + N 1 + N
/ = {, 1 + , 2 + } adalah ring factor
dengan modulo N, karena: 1. Akan ditunjukkan (R/N,+) merupakan suatu grup komutatif/abelian i.
Tertutup Ambil sembarang
a N ,b N R
/N
Berlaku (a N ) (b N ) (a b ) N Karena
a, b R
dan
R
merupakan ring, maka a b R
Sehingga (a b) N R Terbuktilah bahwa di R / N
berlaku sifat tertutup terhadap penjumlahan
(+). ii.
Assosiatif Ambil sembarang
a N,b N,c
N
R
/ N dengan
a, b, c R
Akan ditunjukkan bahwa [(a N ) (b N )] (c N ) (a N ) [(b N ) (c N )
Karena R merupakan himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat assosiatif, maka pada R juga berlaku, sehingga : [(a N ) (b N )] (c N ) [(a b ) N ] (c N )
(a b c) N
[a (b c )] N
(a N ) [(b c) N ]
( a N ) [(b N ) (c N )]
Terbuktilah bahwa di R/N berlaku sifat assosiatif terhadap penjumlahan (+).
13
iii.
Sifat Identitas (e N ) (0 N ) R / N (a N ) R / N berlaku
(e N ) (a N ) (0 N ) ( a N )
(0 a) N
(a N )
(a N ) (e N ) (a N ) (0 N )
(a 0) N
(a N )
e N a N a N e N a N
Terbuktilah bahwa di R/N memiliki unsur identitas. iv.
Sifat Invers
1
(a N ) R / N a
Misalkan (a (a N ) ( a
(a
1
1
1
N)
N)
N ) ( a N)
( a N )
( a N) ( a N) ( a ( a)) N
(0 N )
(e N )
( a N) ( a N)
(a a ) N
(0 N )
(e N ) R / N
1
N ) (a
1
N ) (a N ) (e N )
Jadi setiap elemen di v.
N R / N (a N ) (a
memiliki invers terhadap operasi penjumlahan.
Sifat Komutatif Ambil sembarang
a N,b N
R
/ N dengan
a, b R.
Akan ditunjukkan bahwa (a N ) (b N ) (b N ) (a N ). Karena R merupakan himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat komutatif, maka pada R juga berlaku, sehingga : (a N ) (b N ) (a b) N
14
(b a ) N
(b N ) (a N )
Terbuktilah bahwa di R/N berlaku sifat assosiatif terhadap penjumlahan (+). Dari i, ii, iii, iv, dan v disimpulkan bahwa
R
/ N , adalah Grup Abelian
2. (R/N,.) merupakan suatu semigrup/monoid terpenuhi, karena i.
Tertutup Ambil sembarang
a N, b N R / N
Berlaku (a N ).(b N ) ( a.b) N Karena
a bR ,
dan R merupakan ring, maka a.b R
Sehingga (a.b) N R / N
Terbuktilah bahwa d R/N berlaku sifat tertutup terhadap perkalian (.). ii.
Assosiatif Ambil sembarang
a N,b N,c
N
R
/ N dengan a, b, c Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa [( a N ).(b N )].(c N ) (a N ).[(b N ).(c N ) Karena R merupakan himpunan bagian dari Z dan dalam Z berlaku sifat assosiatif, maka pada R juga berlaku, sehingga : [(a N ).(b N )].(c N ) [(a.b ) N ].(c N ) ( a.b.c) N
[a.(b.c)] N
(a N ).[(b.c) N ]
( a N ).[(b N ).(c N )]
Terbuktilah bahwa di R/N berlaku sifat assosiatif terhadap perkalian (.).
Dari i dan ii disimpulkan bahwa
R
/ N ,. adalah Semigrup
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan terpenuhi Ambil sembarang
a N,b N,c N
R
/ N dengan a, b, c Z 6.
Akan ditunjukkan bahwa (a N ).[(b N ) (c N )] [(a N ) (b N )].(c N )
15
Pilih (a N ) (1 N ), (b K ) (0 N ), (c N ) (2 N )
(a N ).[(b N ) (c N )] (1 N ).[(0 N ) (2 N )]
(1 N ).(2 N )
(2 N )
[(a N ) (b N )].(c N ) [(1 N ) (0 N )].(2 N )
Terbuktilah
bahwa
(1 N ).(2 N )
(2 N )
(a N ).[(b N ) (c N )] [(a N ) (b N )].(c N )
sehingga pada R/N berlaku sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan. Dari 1, 2, dan 3 disimpulkan bahwa
R
/ N , ,. adalah sebuah Ring.
4. Akan ditunjukkan bahwa < / , +, . > adalah RTPN Komutatif. a, b R / N , a b b a
berlaku maka pada Ambil sebarang
(sifat komutatif pada pergandaan bilangan bulat
R / N juga
a R / N, a
berlaku)
0 dan b R / N , b 0 maka
diperoleh a b 0 dan b a 0 a b ab 0 ,
dan
b a ba ab 0
Dari penjabaran di atas disimpulkan bahwa
R
/
N , ,.
adalah RTPN
Komutatif. R/N adalah suatu lapangan karena
/ merupakan ring yang unsur-unsur tak nol
membentuk grup komutatif yang mempunyai unsur balikan /invers terhadap perkalian yaitu terbukti pada aksioma 1, 2 , dan 3. Dan juga R/N adalah suatu daerah integral, karena pada 1, 2, 3, dan 4.
Akibat 1
16
/ memenuhi aksioma
Setiap ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah ideal prima. Bukti :
Jika N adalah ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan, maka Teorema 1.3 mengakibatkan R/N adalah suatu lapangan. Sehingga R/N adalah juga suatu daerah integral. Selanjutnya, Teorema 1.4 menjamin N adalah suatu ideal prima. Contoh:
Tentukanlah ideal maksimal dan ideal prima dari ring Z 12! Penyelesaian: TABEL CALEY Z12
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
3
0
3
6
9
0
3
6
9
0
3
6
9
4
0
4
8
0
4
8
0
4
8
0
4
8
5
0
5
10
3
8
1
6
11
9
2
7
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
7
0
7
2
11
6
1
8
3
10
5
8
0
8
4
0
8
4
0
8
4
0
8
4
9
0
9
6
3
0
9
6
3
0
9
6
3
10
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
11
0
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
4
4
Diperoleh ideal dari Z12 yaitu:
NO={0}
N1= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}
17
=Z12
N2= {0,2,4,6,8,10}
N2= {0,2,4,6,8,10}
N3={0,3,6,9}
N3={0,3,6,9}
N4={0,4,8}
N4={0,4,8}
N6={0,6}
N6={0,6}
Maka ideal sejati dari Z12 yaitu: Ideal Prima dan Maksimal
N2= {0,2,4,6,8,10}
∀ x , y ∈ R , x y ∈ N maka x ∈ N atau y ∈ N N2 adalah ideal maksimal, oleh sebab untuk setiap ideal M di R dengan N ⊂ M ⊂ Z12 maka M = N atau M = Z12 N3={0,3,6,9} N3 adalah ideal prima, oleh sebab ∀ x , y ∈ R , x y ∈ Nmaka x ∈ N atau y ∈ N N3 adalah ideal maksimal, oleh sebab untuk setiap ideal M di R dengan N ⊂ M ⊂ Z12 maka M = N atau M = Z12 N4={0,4,8} N4 bukan ideal prima, oleh sebab ∃ 2 , 2 ∈ R , 2 . 2 = 4 ∈ N tetapi 2 ∉ N N4 bukan ideal maksimal, oleh sebab ∃M = {0,2,46,8,10} dengan N = {0,4,8} ⊂ M = {0,2,46,8,10} ⊂Z12 tetapiM ≠ N dan M ≠ Z12 N6={0,6} N6 bukan ideal prima, oleh sebab ∃ 2 , 3 ∈ R , 2 . 3 = 6 ∈ N tetapi 2,3 ∉ N N6 bukan ideal maksimal, oleh sebab ∃M = {0,2,46,8,10} dengan N = {0,4,8} ⊂ M = {0,2,46,8,10} ⊂Z12 tetapiM ≠ N dan M ≠ Z12 N2 adalah ideal prima, oleh sebab
Berarti ideal prima merupakan ideal maksimal.
2.2.
Homomorfisma
18
DEFINISI J-1
Andaikan (R,+1,.1) dan (S,+2,.2) masing-masing adalah ring. Suatu pemetaan
β:R→S
dikatakan
sebagai
homomorisma
ring
jika
ϕ
mempertahankan operasi ring, yaitu untuk setiap x,y ϵ R dipenuhi 1.
β(x+1y) = β(x) +2 β(y)
2.
β(x.1y) = β(x) .2β(y)
Operasi x +1 y dan x.1y dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan dan perkalian pada ring R sedangkan operasi β(x) + 2 β(y) dan β(x).2β(y) dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan dan perkalian pada ring S.
Gambar 1.1 Ilustrasi Dari Homorfisma Ring Contoh 1
Diberikan ring himpunan biangan bulat modulo 4,
dengan operasi
penjumlahan dan perkalian modulo 4 seperti pada tabel Cayley pada tabel 4.1 dan Tabel 4.2
19
+
0
1
2
3
.
0
1
2
3
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
1
2
3
0
1
0
1
2
3
2
2
3
0
1
2
0
2
0
2
3
3
0
1
2
3
0
3
2
1
Tabel 4.1
Tabel 4.2
Dan ring himpunan bilangan bulat modulo 6, dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6 seperti terlihat pada tabel Cayley pada tabel 4.3 dan Tabel 4.4
20
+
0
1
2
3 4
5
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3 4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4 5
0
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5 0
1
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0 1
2
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1 2
3
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2 3
4
5
5
0
1
2
3
4
Tabel 4.3
Tabel 4.4
Akan ditunjukan pemetaan β: mod 6 untuk setiap x ϵ
→
yang didefinisikan dengan β(x) = 3x
merupakan
suatu homomorfisma ring. Hasil
pemetaan dapat kita lihat sbagai berikut : β(0) = 0 mod 6 = 0 ; β(1) = 3 mod 6 = 3 ; β(2) = 6 mod 6 = 0 ; β(3) = 9 mod 6 =3. Perhatikan bahwa untuk setiap x,y ϵ diperoleh : β(x+4y) = 3(x+4y) mod 6 = (3x mod 6) + 6 (3y mod 6) = β(x)+6 β(y) dan β(x.4y) = 3(x.4y) mod 6 = (3x mod 6) . 6 (3y mod 6) = β(x).6 β(y) kedua syarat dipenuhi maka β merupakan homorfisma ring.
DEFINISI J-2
21
Andaikan : → merupakan suatu homomorfisma ring. 1.
Homomorfisma
dikatakan monomorfisma jika
dikatakan epimorfisma jika
jika pemetaan
injektif.
2.
Homomorfisma
jika pemetaan
surjektif .
3.
Homomorfisma dikatakan isomorfisma jika jika pemetaan bijektif .
4.
Homomorfisma dikatakan endomorfisma , jika ring R = S
5.
Homomorfisma
dikatakan
automorfisma jika ring R = S dan
merupakan pemetaan bijektif.
merupakan dinotasikan ≅ Jika
isomorfisma maka R dan S dikatakan isomorfik,
Contoh 1 :
Pemetaan
∶ 3 →
dengan definisi
=
untuk setiap
∈3
merupakan suatu monomorfisma. bukti : Akan ditunjukkan pemetaan setiap
∶ 3 → dengan
definisi
= untuk
∈ 3 merupakan suatu homomorfisma ring injektif. Hasil pemetaan
dapat kita lihat sebagai berikut :
0 = 3 . 0 = 0 ; 1 = 3 . 1 = 3 ; 2 = 3 . 2 = 6 ; 3 = 3 . 3 = 9…. ∀ ∈ 3
,
∀ ∈ 3
, =
=
∀ , ∈ 3
, +
= + = +
∀ , ∈ 3
, . =
. = .
22
suatu homomorfisma karena pemetaannya dari 3Z ke Z memenuhi dua syarat homorfisma ring, ∀ , ∈ 3 dengan = maka x = y sehingga merupakan monomorfisma . Berarti
Contoh 2 :
Pemetaan
∶ Z4 → Z2 dengan definisi = mod 2 untuk setiap ∈ Z4
merupakan suatu epimorfisma. bukti : Akan ditunjukkan pemetaan untuk setiap
∈
∶
Z4
→
Z2 dengan definisi
= 2
Z4 merupakan suatu homomorfisma ring. Hasil pemetaan
dapat kita lihat sebagai berikut :
0 = 0 2 = 0 3 = 3 2 = 1
1 = 1 2 = 1
;
Perhatikan bahwa untuk setiap
;
2 = 2 2 = 0
;
, ∈ Z4 diperoleh :
+4y) = +4y) mod 2 = 2 +2 2 = +2 . 4y)
= . 4y) mod 2
= 2 . 2 2 = . 2
suatu homomorfisma karena pemetaan ∶ Z 4 → Z 2 dengan definisi = mod 2 untuk setiap ∈ Z4 dan karena ∀ ∈ Z4 (kodomain) ∃ ∈ Z2 (Domain) ∋ = sehingga merupakan suatu epimorfisma. Berarti
Contoh 3 :
= {…,−2,−1,0,1,2,… } dan (B, +) grup a) Perhatikan pemetaan
∶ → dengan = 2
∀ ∈
,
= 2
∀∈
,
= 2
∀ , ∈ , + = 2+ 2 = 2+ = +
23
suatu homomorfisma, karena pemetaan dari B ke B , maka merupakan endomorfisma.
b) Perhatikan pemetaan
∶ → dengan = −
∀ ∈
,
= −
∀∈
,
= −
∀ , ∈ , + = −+ − = −+ = + suatu
Berarti merupakan
homomorfisma, karena pemetaannya dari B ke B dan
pemetaan
bijektif
,
maka
merupakan
suatu
automorfisma. Contoh 4 :
Diberikan (Z,+,∙). Dimana 6Z merupakan ideal dari Z, didefinisikan pemetaan φ: Z→Z/6Z, yaitu φ(n) = ̅, untuk setiap n ϵ z, buktikan φ merupakan homomorfisma dan ker(φ) = 6Z. Akan dibuktikan Karena 6Z ideal dari Z dapat dibentuk ring faktor
̅, ( Z/6Z = {0+6Z, 1+6Z, 2+6Z, . . . ,5+6Z} = { 0
1̅, … 5̅}, +, ∙)
Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap n , n ∈ Z berlaku φ(n +
n ) = φ(n + hn dan φ(n ∙ n = ∙ℎ
oleh karena itu φ meruakan homomorfisma ring. Akan dibuktikan ker(φ)= 6Z Ker(φ)
= {n ∈ Z φ(n
= 0}
= {n ∈ Z ̅=̅ } = {n ∈ Z n + 6Z = 0 + 6Z}
24
= {n ∈ Z n – 0 ∈ 6Z = { n ∈ Z n ∈ 6Z} = 6Z Jadi terbukti bahwa ker(φ) = 6Z Contoh 5:
Diberikan (Z,+,∙). Dimana 6Z merupakan ideal dari Z, disefinisikan pemetaan φ:Z→Z/6Z, yaitu φ(n) = ̅, untuk setiap n ϵ z, buktikan φ merupakan homomorfisma dan ker(φ) = 6Z. Peneyelesaian Akan dibuktikan Karena 6Z ideal dari Z dapat dibentuk ring faktor
̅, ( Z/6Z = {0+6Z, 1+6Z, 2+6Z, . . . ,5+6Z} = { 0
1̅, … 5̅}, +, ∙)
Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap n , n ∈ Z berlaku φ(n + n ) = φ(n + hn dan φ(n ∙
n = ∙ ℎ
oleh karena itu φ meruakan homomorfisma ring. Akan dibuktikan ker(φ)= 6Z Ker(φ)
= {n ∈ Z φ(n
= 0}
= {n ∈ Z ̅=̅ } = {n ∈ Z n + 6Z = 0 + 6Z} = {n ∈ Z n – 0 ∈ 6Z = { n ∈ Z n ∈ 6Z} = 6Z Jadi terbukti bahwa ker(φ) = 6Z
25
BAB III PENUTUP 3.1.
KESIMPULAN
Dari penjelasan yang telah diuraikan, dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Suatu ring R dikatakan Ring factor R modulo N, bila: a. b.
< ⁄ , +> merupakan suatu grup komutatif/abelian. < ⁄ ,∙ > merupakan suatu semigrup/monoid
c. Distributifi perkalian terhadap penjumlahan.
2. R adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1. Bila N adalah suatu ide al dari R, maka R/N adalah suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan
3. R adalah suatu ring komutatif dengan unsure kesatuan 1, dan misalkan N adalah suatu ideal dari N. R/N adalah suatu lapangan jika dan hanya jika N adalah ideal maksimal.
4. Setiap ideal maksimal dari ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah ideal prima.
26
DAFTAR PUSTAKA
Gallian,Joseph.2012.Comteporary Abstract Algebra 8 Edition. USA: university of Minnesota Duluth. Saragih, Sahat dkk. 2015. Struktur Aljabar 2. Medan: Unimed Press Wahyuni,Sri.2013. Pengantar Struktur Aljabar II .UGM: FMIPA
27
