Pertem ertemuan 21
HOMOM ORFISMA DAN DAN SIF SIFAT AT-S -SIF IFATNY ATNY A A . Pendahuluan Modul ini membahas uraian tentang pemetaan dari suatu struktur ring ke struktur ring yang lain. Sebagaimana telah dipelajari dalam Teori Group, penguasaan materi dalam pertemuan ini sangat bergantung pada penguasaan konsep pemetaan (fungsi), fungsi injektif (1-1), surjektif (pada) dan bijektif. Selain itu, sangat diperlukan juga penguasaan homomorfisma ho momorfisma grup. Pembahasan dalam pertemuan ini dimulai dari homomorfisma yang
meliputi
pengertian
homomorfisma,
dilanjutkan
pengertian
monomorfisma, epimorfisma dan lain-lain yang sangat terkait dengan materi homomorfisma dan konsep fungsi. Diharapkan para mahasiswa setelah mempelajari materi ini, mampu : 1. mengidentifikasi
apakah
suatu
pemetaan
(fungsi)
merupakan
homomorfisma atau bukan 2. membuktikan suatu fungsi merupakan homomorfisma atau tidak. 3. mengidentifikasi
suatu
homomorfisma
apakah
merupakan
monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma atau tidak 4. membuktikan suatu homomorfisma merupakan monomorfisma, epimorfisma, isomorfisma
B. Pengertian Homomorfisma Def Definisi 12. 12. : Diberikan ring R dan R’, maka P emetaan f : R
→
R’ disebut
homomorfisma dari R ke R’ jika ∀a, b ∈ R ber laku : f (a (a +b) =f =f (a) (a) +f +f (b) dan f (a.b) (a.b) =f =f (a).f (a).f (b) (b)
Operasi pada R
Operasii pada R’ Operas R’
Pengantar struk struktur Aljaba jabar
89
Pertemuan 21
Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang disajikan dengan skema berikut : `
R
f →
R’
a
→
b
→
atau
R
f →
R’
a’
a
→
f(a)
b’
b
→
f(b)
a + b
→
a’ + b’
a + b
→
f(a) + f(b)
a . b
→
a’ * b’
a . b
→
f(a) * f(b)
Catatan : 1. operasi pada R dan R’ tidak harus sama, baik penjumlahan maupun pergandaannya 2. operasi pada R dan R’ sering kali tidak dinyatakan. 3. untuk membuktikan homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu suatu fungsi, jika belum diketahui fungsi (f : R → R’ disebut Pemetaan
atau fungsi jika (∀a, b∈ R) a =b ⇒ f (a)=f (b) ∈ R’)) Contoh 1.: (Q,+,*) adalah ring dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan,
∀x,
y ∈Q, x*y = xy/2. jika didefinisikan pengaitan f
dari ring Z ke Q, sebagai berikut :
∀a∈Z,
f (a) = 2a, maka tunjukkan
bahwa f adalah suatu homomorfisma. Bukti : Untuk membuktikan f adalah homomorfisma, maka harus ditunjukkan : a) f fungsi : (∀a, b∈ Z) a =b ⇒ f (a)=f (b) ∈ Z Ambil sebarang a,b ∈ Z, dengan a = b ⇒ 2a = 2b ⇒
f (a) = f (b)
sifat dalam Z def. f
b) f homomorfisma : (∀a, b∈Z) i. f (a+b) =f (a) +f (b); f (ab)=f (a)*f (b) Ambil sebarang a, b ∈ Z, maka :
Pengantar struktur Aljabar
90
Pertemuan 21
i. f (a+b) = 2(a+b)
def. f
ii. f (a+b) = 2(ab)
def. f
= 2a + 2b
sifat di Z
= (2a)(2b)/2
sifat di Z
= f (a)+f (b)
def. f
= (2a)*(2b)
def * di Q
= f (a)*f (b)
def. f
Contoh 2.: Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, serta didefinisikan pengaitan g dari ring Z ke Q, sebagai berikut : ∀a∈Z,
g(a) = 2a, maka apakah g adalah suatu homomorfisma.
a. g fungsi : bukti analog dengan contoh no. 1. a. b. g bukan homomorfisma, karena tidak berlaku ∀x, y∈Z, g(xy) = 2xy ≠ (2x)(2y) = g(x)g(y)
Sebagai counter example : ∃-3, 5∈ Z, g((-3)5) = g(-15) = 2(-15) = 30 ≠ g(-3)g(5) = (-6)10 = 60 Contoh 3. Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat modulo n.): ∀x ∈Z,
h(x) = r = sisa x/n, artinya x = kn + r atau r = x – kn , untuk
suatu k
∈ Z
dan 0 ≤ r < n. buktikan bahwa h homomorfisma
Bukti : a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan mahasiswa b. h homomorfisma : suatu p, q
∈ Z.
∀x,
Ini berarti bahwa h(x) = r, h(y) = s
0≤ s
y∈Z maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk
∈ Zn.
∈ Zn,
0 ≤ r< n dan
kita tahu bahwa r, s, r+s, rs∈ Z, sehingga
u ∈Z berlaku r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan 0≤ v < n dan
0≤w
91
Pertemuan 21
i. x + y = (pn + r) + (qn + s)
ii. xy = (pn + r)(qn + s)
= (p+q)n + (r+s)
= (pqn)n + (ps)n + (qr)n + rs
= (p+q)n + tn +v
= [(pqn)+(ps)+(qr)]n + un + w
= (p+q+t)n + v
= [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w
= p*n + v
= q*n + w
Tampak dari i., bahwa h(x+y) = v = r+s = h(x)+h(y), dari ii. diperoleh : h(xy) = w = rs = h(x)h(y). Jadi h adalah homomorfisma
C. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma Sebelum membahas materi ini, perlu diingatkan kembali beberapa hal yang berkaitan dengan pemetaan (fungsi), yaitu:
Definisi 13. : a. fungsi f disebut onto/pada/surjektif jika f(G) =G’ atau dengan kata lain : (∀a’∈ G’)(∃a ∈ G) sehingga a’ =f(a). b. fungsi f disebut injektif (1–1) jika (∀a, b ∈ G) f(a) =f(b) ⇒ a =b c. fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1)
jika f injektif dan
surjektif mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfisma tanpa faham definisi 13. di atas (sudah dipelajari dalam Logika Matematika dan Himpunan). Oleh karenanya mahasiswa harus banyak berlatih untuk menganalisa fungsi-fungsi apakah 1-1, pada atau tidak, barulah mengikuti definisi berikut :
Definisi 14.: 1. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut
monomorfisma. 2. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut
epimorfisma. Pengantar struktur Aljabar
92
Pertemuan 21
3. suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma. 4. suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut
endomorfisma (suatu homomorfisma dari suatu ring R ke ring R itu sendiri) 5. endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma. 6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ homomorfik 7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ isomorfik, dinotasikan R ~ R’ Coba perhatikan kembali 2 contoh homomorfisma di atas (contoh 1. dan 3.), selidiki apakah merupakan epimorfisma, monomorfisma, isomorfisma atau bukan. Tugas Kelompok : Buatlah 2 buah homomorfisma dengan syarat tipe berbeda, yaitu: bukan epimorfisma dan bukan monomorfisma, monomorfisma tetapi tidak epimorfisma,
epimorfisma
tetapi
bukan
monomorfisma,
atau
isomorfima. (ditulis di plastic transparansi untuk dipresentasikan) Tugas Mandiri : Mempelajari
sifat-sifat
sederhana
homomorfisma
ring,
silakan
dibandingkan dengan sifat-sifat sederhana dari homomorfisma group.
Pengantar struktur Aljabar
93
