0
OPERASI HIMPUNAN DAN LOGIKA DALAM MAPLE
LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR
Oleh Berta Yuda Sisilia Putri NIM 131810301051
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2013
1
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Sedangkan logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya
kata, ucapan, pikiran. Kemudian
pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metodemetode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metodemetode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari. Merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata n yata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, topik ini akan sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar mereka, topik tersebut akan dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari dan di saat mempelajari mata pelajaran lainnya. Kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para guru memiliki m emiliki kemampuan untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam melakukan penalaran secara logis dan kritis. Dalam praktikum kali ini akan dibahas mengenai cara penulisan himpunan dan logika serta cara penyelesaian soal himpunan dan logika menggunakan menggunakan Maple. 1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam dalam praktikum kali ini, yaitu :
2
a. Bagaimana penulisan himpunan dalam Maple? b. Bagaimana penulisan penulisan logika dalam Maple ? c. Bagaimana penyelesaian penyelesaian himpunan dalam Maple ? d. Bagaimana penyelesaian penyelesaian logika dalam Maple ? 1.3 Tujuan
Adapun tujuan dalam praktikum kali ini, yaitu : a. Mengetahui penulisan himpunan himpunan dalam Maple. b. Mengetahui penulisan logika dalam Maple. c. Mengetahui penyelesaian himpunan dalam Maple. d. Mengetahui penyelesaian penyelesaian logika dalam Maple.
3
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
Secara etimologis, logika berasal dari kata yunani „logos‟ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan penurunan-pe nurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebut penalaran (reasoning) (Markaban,2004). 2.1 Logika
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar atau salah saja tetapi tidak sekaligus kedua-duany k edua-duanya. a. Contoh : jakarta adalah Ibu Kota Indonesia. Suatu kalimat , bukan pernyataan jika kalimat tersebut tidak dapat ditentukan benar atau salahnya salahnya atau mengandung mengandung pengertian pengertian relatif. Contoh : Jarak antara Surabaya dengan Jember adalah dekat. Lambang nilai kebenaran adalah (dibaca tau) dari huruf bahasa yunani. : B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah benar : B dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah salah
Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya kebenarannya karena masih mengandung variabel atau peubah. Contoh : P adalah bilangan prima
4
A. Pernyataan Majemuk 1. Konjugasi Bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai benar dengan menggunakan kata penghubung logika “dan” (
Tabel 2.2 konjungsi (sumber: dendinasrulloh.blogspot.com) dendinasrulloh.blogspot.com) 2. Disjungsi Gabungan dua pernyataan yang menggunakan kata penghubung logika “atau” (V)
Tabel 2.2 disjungsi (sumber: dendinasrulloh.blogspot.com) dendinasrulloh.blogspot.com) 3. Implikasi Gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung “jika...maka” (
5
Pernyataan p dinamakan anteseden atau hipotesis, sedangkan pernyataan q dinamakan konsekuen atau kesimpulan. Pernyataan implikasi “ ” bernilai salah apabila hipotesis benar dan
kesimpulan salah. Selain itu, pernyataan implikasi bernilai benar.
Tabel 2.2 Implikasi (sumber: dendinasrulloh.blogspot.com) dendinasrulloh.blogspot.com) 4. Biimplikasi Bimplikasi atau dikondisionalialah suatu pernyataan majemuk yang berbentuk “p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan jika q maka p”. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “ .
Tabel 2.2 Biimplikasi (sumber: dendinasrulloh.blogspot.com) dendinasrulloh.blogspot.com) 5. Negasi Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari negasi pernyataan-pernyataan pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi, yaitu apabila
6
negasi pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari komponen-komponennya.
6. Ekuivalen Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.Dua pernyataan p dan q yang ekuivalen dinotasikan dengan . Untuk menunjukkan bahwa dua pernyataan ekuivalen atau ekuivalensi dari dua pernyataan, dapat menggunakan menggunakan tabel kebenaran. k ebenaran. a. Hukum Komutatif
b. Hukum Asosiatif
c. Hukum Distributif
d. Hukum de Morgan
7
7. Tautologi dan Kontradiksi Suatu pernyataan majemuk merupakan tautologi, jika kebenarannya adalah selalu benar. Contoh : Suatu pernyataan majemuk merupakan kontradiksi, jika nilai kebenarannya adalah selalu salah. Contoh : Suatu pernyataan majemuk merupakan kontingensi, jika nilai kebenarannya memuat benar dan salah. Contoh : 8. Konvers, Invers dan Kontraposisi Jika p maka q adalah suatu pernyaaan. pernyaaan. Maka pernyataan majemuk:
adalah konvers dari
adalah invers dari
adalah kontraposisi dari
2.2 Himpunan
Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan dapat berupa daftar, koleksi maupun kelas. Sedangkan obyek dalam himpunan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf. Contoh (4.1): 1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o x – 4 2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 – 3 3 x – 4 = 0
8
A. Ada tiga cara dalam penulisan himpunan himpunan antara lain: lain: a. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal. b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya. anggotanya. c. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya. keanggotaannya.
B. Macam-macam Himpunan Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi menjadi beberapa beberapa macam, yaitu : 1. Himpunan kosong (himpunan hampa) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai atau { }. 2. Himpunan Semesta Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari Universal). Contoh : S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} Dikatakan S merupakan semesta dari himpunan A. 3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit). Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai m empunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. 4. Himpunan Bagian (Subset). Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “ A B”, B”, jika
setiap anggota A merupakan anggota dari B.Dinyatakan dengan
simbol : A B jika dan hanya hanya jika
9
5. Kesamaan Himpunan. “ A = B ”, jika dan hanya Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A
jika A Í B dan B Í A. Dinyatakan dengan simbol
Contoh : Misalkan A = {a, b, c, d }, }, B = { c, b, a, d }, }, dan C={ a,b, b, a, c, d }
A, B dan C adalah himpunan – himpunan himpunan yang sama yaitu A = B = C 6. Himpunan Berpotongan. B” jika dan Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “ A B”
hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B. Contoh :
Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8} A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan. 7. Himpunan Lepas B” jika dan hanya Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “ A // B”
jika kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama. Contoh : Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif} B = {x /x = bilangan bulat negatif} Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas. C. Operasi-Operasi Operasi-Operasi Dalam Himpunan 1. Gabungan ( Union ). B”, adalah Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A B”,
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya. kedua-keduanya.
10
2. Irisan ( Intersection ) B”, adalah Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A B”,
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B.
3. Komplemen. Komplemen dari himpunan A ditulis Ac atau Al adalah himpunan yang anggota-anggotanya anggota-anggotanya dalam semesta ( S ) yang bukan anggota A. Atau Ac. 4. Selisih Dua Himpunan A – B” B” atau “ A Bc ” Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A –
adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan A – B. B. anggota. Atau A –
5. Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri) B” adalah Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A B”
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A yang bukan anggota B dan
anggota B yang bukan anggota A. Atau A B.
11
BAB 3. METODOLOGI
3.1 Alat dan Bahan
a. Laptop dengan spesifikasi : Toshiba satellite C800 prosesor : Intel® Pentium® Pentium® Processor B980 B980 (2.40) monitor : 14 Inci b. Software Classic worksheet maple 15 3.2 . Langkah Kerja
a. Menghidupkan laptop dengan menekan tombol on b. Menunggu hingga keluar tampilan desktop c. Meng-klik icon maple 15 untuk menjalankan software maple-15. d. Tunggu hingga muncul worksheet. e. Melakukan operasi himpunan dan logika.
12
BAB 4. HASIL HASIL DAN PEMBAHASAN
Praktikum kali ini yaitu operasi himpunan dan logika dalam maple. himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan dapat berupa daftar, koleksi maupun kelas. Sedangkan obyek dalam himpunan dapat berupa benda, orang, bilangan bilangan atau huruf. Dalam penulisan himpunan dalam maple adalah pertama menuliskan pernyataan seperti biasa namun menggunakan kurung kurawal untuk menghimpun., seperti : > d:={1,3,5,7,13,17}; d := { 1, 3, 5 , 7 , 13 , 17 } > d; { 1, 3, 5 , 7 , 13 , 17 }
Jika ingin mengetahui kebenaran keberadaan suatu anggota himpunan dalam maple menggunakan perintah „member‟ buka
kurung, tuliskan anggota
dan himpunannya dipisahkan dengan dengan tanda koma, seperti : > member(3,d); true
> member(4,d); fals f alse e
Jika anggota yang disebutkan memang berada dalam himpunan tersebut maka akan muncul hasil true, namun jika tidak ada maka akan muncul hasil false seperti contoh di atas. Bisa juga dalam mengetahui suatu keberadaan anggota dalam himpunan menggunakan perinta h „evalb‟ buka kurung tulis anggota dan himpunannya dipisahkan dengan „in‟, seperti :
13
> evalb(3 in d); true
> evalb(4 in d); fals f alse e
Perintah „evalb‟ akan memunculkan hasil yang sama seperti perintah „member ‟. Jika benar maka true dan jika bukan maka false. Operasi-operasi Operasi-operasi himpunan diantaranya adalah irisan. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A B”, B”, adalah himpunan yang anggota-anggotanya
terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B. Penulisan operasi irisan dalam maple menggunakan perintah „intersect‟, seperti :
> a:={e,r,i,n,h,j}; a : := = { e, h, i, j, n, r }
> b:={h,i,r,r,n b:={h,i,r,r,n,j,k,l}; ,j,k,l}; b : := = { h, i, j, k, l, n, r }
> a intersect b; { h, i, j, n, r }
Operasi berikutnya adalah gabungan. Gabungan dua himpunan A dan B”, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri himpunan B ditulis “ A B”,
atas anggota A, atau anggota B, atau sekaligus kedua-keduanya. Penulisan operasi gabungan dalam maple menggunakan perintah „union‟, seperti :
> a union b; { e, h, i, j, k, l, n, r }
Operasi selisih dua himpunan, selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “ A – A – B” B” atau “ A Bc ” adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri
atas anggota A dan bukan anggota. Dalam maple jika kita ingin mengetahui bukan anggota dari suatu himpunan maka menggunakan perintah „minus‟,
seperti : > a:={e,r,i,n,h,j}; a : := = { e, h, i, j, n, r } b:={h,i,r,r,n,j,k,l}; ,j,k,l}; > b:={h,i,r,r,n
14
b := { h, i, j, k, l, n, r }
> a minus b; {e}
– B ≠ B – A, A – B A, contoh di atas adalah A – B. B. Perintah „subset‟ dalam maple digunakan untuk mengetahui kebenaran
suatu anggota dalam suatu himpunan, seperti : > k:={m,n}; k : := = { m, n }
> l:={m,n,o,p,q}; l : := = { m, n, o, p, q }
> k subset l; true
> l subset k; fals f alse e
Jika benar maka true dan jika bukan maka false. Perintah „remove‟ dalam maple berfungsi sebagai menghapus satu atau
lebih anggota dari suatu himpunan, seperti : w:={1,2,3,4,4,5,12}; ,5,12}; > w:={1,2,3,4,4
w : := = { 1, 2, 3 , 4 , 5 , 12 }
> u:=remove(has,w,12); u : := = { 1, 2, 3, 4, 5 }
> u; { 1, 2, 3, 4, 5 }
> u:=remove(has,w,[12,3]); u : := = { 1, 2, 4, 5 }
Caranya adalah menuliskan dulu himpunan aslinya kemudian membuat definisi baru seperti contoh di atas, himpunannya himpunannya didefinisikan w, kemudian membuat u. Kemudian „remove‟ kurung buka „has‟ himpunan yang yang definisi baru yaitu u.
akan di remove salah satu anggotanya yang dipisahkan tanda koma kemudian
15
pisahkan lagi dengan tanda koma, baru dituliskan anggota yang akan dihapus dari himpunan tersebut. Untuk menghapus anggota lebih dari satu, suatu himpunan. Maka menggunakan menggunakan kurung siku ( [ ] ). Untuk mengambil anggota suatu himpunan dalam maple menggunakan perintah „select‟, caranya seperti perintah remove hanya saja diganti rumusnya
yaitu select. Dan jika kita ingin mengambil lebih dari suatu anggota maka mengunakan mengunakan kurung siku, seperti : w:={1,2,3,4,4,5,12}; ,5,12}; > w:={1,2,3,4,4
w := { 1, 2, 3 , 4 , 5 , 12 }
> select(has,w,2); {2 }
> select(has,w,[2,3,5]); { 2, 3, 5 }
Jadi yang sebelumnya himpunan w terdiri banyak anggota, setelah menggunakan menggunakan perintah „select‟ maka terdiri dari anggota yang kita inginkan saja seperti contoh
di atas. Logika sering disebut sebagai penalaran (reasoning). Operasi dari satu atau dua pernyataan tunggal dapat berupa konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi dan negasi. Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan
perakit
„dan‟ dinotasikan
. Penulisan dalam maple
menggunakan bahasa inggrisnya yaitu „and ’ ’ , yang artinya dan, seperti : > true and false; fals f alse e
Benar dan salah maka hasilnya salah. Karena perakit „dan‟ jika
salah satu
pernyataan benilai benilai salah maka hasilnya salah. salah. Jika salah maka maka muncul false. Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan perakit „atau‟
dinotasikan . Penulisannya dalam maple menggunakan bahasa inggrisnya yaitu „or „or ‟, ‟, seper ti ti :
16
> true or false; true
Berbeda dengan perakit „dan‟, perakit „atau‟ jika salah satu pernyataan bernilai
benar maka hasilnya hasilnya benar (true). Implikasi dengan notasinya p
⇒
q, merupakan pernyataan majemuk
yang didapat dari menggunakan kata „jika‟ sebelum pernyataan pertama pertama dan kata „maka‟ diantara pernyataan pertama dan kedua, pernyataan bersyarat,
kondisional atau hypothecial. Dalam penulisan perakit implikasi dalam maple juga menggunakan menggunakan bahasa inggrisnya yaitu yaitu implies , seperti : > true implies false; fals f alse e
Penyataan pertama merupaka hipotesis sedangkan pernyataan kedua merupakan suatu konklusi atau kesimpulan. Seperti contoh di atas apabila hipotesis benar dan kesimpulan salah maka salah. Negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan. Negasi p adalah ~p. Dalam penulisan di maple menggunakan perakit „not‟, seperti : > not false;
true
> not(true implies true); false
Tanda kurung menentukan mana yang akan di negasikan. Biimplikasi adalah Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p
⇔
q. Untuk
negasi biimplikasi yang di notasikan ~(p ⇔q), penulisan dalam maple adalah menggunakan perakit „xor‟, seperti :
> true xor true; false
> false xor false;
17
false
> true xor false; true
Penarikan suatu kesimpulan/konklusi diperlukan beberapa pernyataan (premis). Apabila premis-premisnya bernilai benar, maka kesimpulan/konklusi juga bernilai benar. Dikatakan penarikan kesimpulannya kesimpulannya sah. Modus Ponen merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan berupa tautologi. > (true and (true implies false))implies false))implies false; true
Modus Tollen merupakan penarikan kesimpulan yang seah, sebab pernyataan merupakan tautologi. > (not false and (true implies false)) implies true; true
Silogisme Hipotesis merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan merupakan merupakan tautologi. > ((true implies false) implies (false implies false)) implies (true implies false);
false
Silogisme Disjungsi merupakan penarikan kesimpulan yang sah sebab pernyataan merupakan merupakan tautologi. > ((true or false) and not true) implies false; true
Simplifikasi > (true and false) implies true; true
18
BAB 5. PENUTUP 5.1 Kesimpulan
Berdasarkan praktikum di atas dapat ditarik kesimpulan yaitu : 1. Menuliskan himpunan dalam maple menggunakan kurung kurawal. 2. Operasi-operasi himpunan dalam maple diantaranya irisan menggunakan perintah intersect , gabungan menggunakan perintah union, bagian menggunakan perintah subset , selisih mengunakan perintah minus, menghapus menggunakan remove, mengambil menggunakan perintah select ,
mengetahui kebenaran keberadaan anggota menggunakan member
atau evalb.
3. Penulisan logika terlebih dahulu membuat definisi false dan true. 4.
Dalam operasinya logika perakit dan menggunakan and , perakit atau menggunakan
or ,
implikasi
menggunakan
implies,
biimplikasi
menggunakan notxor dan negasi menggunakan not, negasi biimplikasi menggunakan xor .
5.2 Saran
Bagi praktikan selanjutnya diharapkan lebih telitui dalam memasukkan perintah untuk pengoperasian himpunan maupun logika. Karena sering terbaik dalam menggunakan menggunakan tanda. Dan tidak ti dak lupa untuk merestart worksheet.
19
DAFTAR PUSTAKA
Dendi Nasrulloh [ http://dendinasrulloh.blogspot.com, dikutip tanggal 28 November 2013]. 2013]. Ir.suharto. 1992. Matematika Terapan untuk Perguruan Tinggi . Jakarta:Rineka Cipta Jakarta. Kusumah, Y.S . (1986). Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito. Lipschutz,seymour. Lipschutz,seymour. 1988. Matematika Hingga. Jakarta:Erlangga. Markaban. 2004. Logika Matematika. Yogyakarta : PPPG Matematika.
20
LAMPIRAN
1. Buatlah sembarang himpunan a,b,c,dan d.Tentukan hasil perintah : a. Idempotent
e. Komplemen
b. Komutatif
f. De Morgan
c. Asosiatif
g. Identitas
d. Distributif > A:={1,2,3,4,5 A:={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; ,6,7,8,9}; A := { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> B:={2,4,6,8,10}; B : := = { 2, 4, 6, 8 , 10 }
> C:={0,1,3,5,7,11,14,15}; C : := = { 0, 1, 3 , 5 , 7 ,11 ,14 , 15 }
> d:={11,13,17,18}; d : := = { 11, 13, 17, 18 } a. Idempotent
> A union A; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> A intersect A; A; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } b. Komutatif
dan > A union B; { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
> B union A; { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
> A intersect B; B; { 2, 4, 6, 8 }
1
> B intersect A; { 2, 4, 6, 8 } c. Assosiatif
> (A union B) union C; { 0, 1, 2 , 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,14 ,15 }
> A union (B union union C); { 0, 1, 2 , 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,14 ,15 }
> (A intersect B)intersect C; { } (B intersect C); > A intersect (B
{ } d. Distributif
> (A intersect B)union C; { 0, 1, 2 , 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,11 ,14 ,15 }
> (A union C) intersect (B union C); { 0, 1, 2 , 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,11 ,14 ,15 }
> A intersect ( B union C); { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
> (A intersect B) union ( A intersect C); { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
> A union (B intersect intersect C); { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> (A union B) intersect ( A union C); { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
2
> (A union B) intersect C; { 1, 3, 5, 7 }
> (A intersect C)union ( B intersect C); { 1, 3, 5, 7 } e. Komplemen
> A union A^c; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 }c { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> A intersect A^c; A^c; { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 }c { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
> (A^c)^c; ( { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , 7, 8, 9 }c )
c
f. de Morgan
> (A union B)^c; { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }c
> A^c intersect B^c; { 2, 4, 6 , 8 , 10 }c { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }c
> ( A intersect B)^c; { 2, 4, 6, 8 }c
> A^c union B^c; B^c; { 2, 4, 6 , 8 , 10 }c { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }c
g. Identitas
3
> s:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}: > o:={}: > a intersect s; { 1, 3, 5, 7, 9 }
> a intersect o; { }
> a union s; { 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
> a union o; { 1, 3, 5, 7, 9 }
2. Pembuktian kebenaran logika :
> p:=true: > q:=false: > r:=true: A. > p and (p or q); q); true
> p; true
B. > not (p or (q and r)); false
> (p implies q) and (p implies r); false
C. > (p or q) implies r; true
> (p implies r) and (q implies r); true
D.
4
> p implies (q or r); true
> not r implies (p implies q); true
