HIMPUNAN, PROBABILITAS, STATISTIK, dan STOKASTIK Disusun untuk melengkapi Tugas Makalah I mata kuliah Statistik
Disusun Oleh : Nama
: Osha Eka Prima
NIM
: L0F009025
PROGRAM STUDI DIPLOMA III TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO 2011 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Latar Belak Belakang ang Masal Masalah ah
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya.
Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jel jelas as dala dalam m mene menent ntuk ukan an angg anggot otaa suat suatu u himp himpun unan an ini ini sang sangat at pent pentin ing g kare karena na untu untuk k membed membedaka akan n mana mana yang yang menjad menjadii anggot anggotaa himpun himpunan an dan mana mana yang yang bukan bukan merupa merupakan kan anggota himpunan. Teori Teori probab probabili ilitas tas untuk untuk ruang ruang sampel sampel berhin berhingga gga meneta menetapka pkan n suatu suatu himpun himpunan an bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1. Probabilita Probabilitass bersyarat dituliska dituliskan n dengan p( A B ) yang menyatakan menyatakan probabilitas probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A
B. Peru Perumu musa san n Masal Masalah ah
Dari uraian sepintas diatas yang telah dipaparkan saya dapat menguraikan perumusan masalah sebagai berikut: 1. Baga Bagaim iman anaa Teori Teori Himp Himpun unan an ? 2. Bagaim Bagaimana ana Teori Teori Probab Probabili ilitas tas ? 3. Apa Hubung Hubungan an antara antara Teori Teori Himpunan Himpunan dengan dengan Teori Probab Probabilitas ilitas ? 4. Bagaim Bagaimana ana Probab Probabili ilitas tas Bersyar Bersyarat at ? 5. Bagaim Bagaimana ana Total Total Probab Probabili ilitas tas ? BAB II PEMBAHASAN
1. TEORI HIMPUNAN
Himpun Himpunan an adalah adalah konsep konsep dasar dasar dari dari semua semua cabang cabang matema matematik tika. a. Gerorg Gerorg Cantor Cantor dian diangg ggap ap seba sebaga gaii bapa bapak k teor teorii himp himpun unan an.. Himp Himpun unan an adal adalah ah seku sekump mpul ulan an obje objek k yang yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia,
hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Syarat tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan ini sangat penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota himpunan. Inilah yang kemudian dinamakan himpunan yang terdefinisi dengan baik ( well-defined set ). Contoh :
1. Himpunan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o 2. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, 2, 4, 6, … 3. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x2 - 3 x – 4 = 0
Penyajian Cara Himpunan 1. Enumerasi Contoh .
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 } - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A; x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks
•
Himpunan yang universal: semesta , disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3 . Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh .
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau
A = { x | x P , x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151}
4. Diagram Venn Contoh .
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn: U
A
1 3
B
2 5
7 8 6
4
Kardinalitas
•
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
•
Notasi: n( A) atau A
Himpunan Kosong
• •
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong ( null set ). Notasi : ∅ atau {}
Contoh .
(i) E = { x | x < x }, maka n( E ) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n( P ) = 0 (iii) A = { x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n( A) = 0
• • •
himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { ∅} himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai { ∅, {∅}} {∅} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
Himpunan Bagian ( Subset )
•
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.
•
•
Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
•
Notasi: A
⊆ B
Diagram Venn: U
B A
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A). (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A ⊆ B dan B ⊆ C , maka A ⊆ C
Himpunan yang Sama
•
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.
•
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ≠ B.
•
Notasi : A = B
↔ A ⊆ B dan B ⊆ A
Himpunan yang Ekivalen
•
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
•
Notasi : A ~ B
↔ A= B
Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A= B= 4
Himpunan Saling Lepas
•
Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( disjoint ) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.
•
Notasi : A // B
•
Diagram Venn: U
A
B
Contoh .
Jika A = { x | x P , x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Himpunan Kuasa
•
Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
•
Notasi : P ( A) atau 2 A Jika A= m, maka P ( A)= 2m.
•
Operasi Terhadap Himpunan a. Irisan (intersection)
•
Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
b. Gabungan (union)
•
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
Contoh
(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A
c. Komplemen (complement )
•
= { x | x ∈ U, x ∉ A }
Notasi : A
Contoh .
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka
(i)
= {2, 4, 6, 8} A
(ii)
jika A = { x | x/2 P , x < 9 }, maka
= { 1, 3, 5, 7, 9 } A
d. Selisih (difference)
•
Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
Contoh
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B –
A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup ( Symmetric Difference)
•
Notasi: A ⊕ B = ( A ∪ B) – ( A ∩ B) = ( A – B) ∪ ( B – A)
Contoh
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A ⊕ B = B ⊕ A (b) ( A ⊕ B )
(hukum komutatif)
⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C )
(hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product )
•
Notasi: A × B = {(a, b) a ∈ A dan b ∈ B }
Contoh .
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A × B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: A × B= A. B. 2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan ( b, a), dengan kata lain ( a, b) ≠ (b, a). 3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A
× B ≠ B × A
dengan syarat A atau B tidak
kosong. Pada Contoh 20(i) di atas, D × C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ≠ C × D. 4.
Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A =
∅
2. TEORI PROBABILITAS
1.
Probabilitas Suatu Kejadian
Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.
Definisi II.1
Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi
Contoh II. 1
Bila sebuah mata uang dilantunkan dua kali maka ruang sampelnya adalahS = { MM, MB, BM, BB }. Bila mata uang yang digunakan setaangkup maka tiap hasil mempunyai kemungkinan muncul sama. Tiap titik diberi bobot b sehingga 4b = 1 atau b = ¼. Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul maka P(A) = ¾.
Teorema II.1
Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A maka probabilitas kejadian A adalah P(A) = n/N.
Contoh II.2
Bila satu kartu ditarik dari satu kotak bridge berisi 52 kartu maka akan ditentukan peluang mendapatkan kartu hati. Banyaknya hasil yang mungkin adalah 52 dan 13 diantaranya adalah kartu hati. Probabilitas kejadian A menarik kartu hati adalah 17 P(A) = 13/52 = ¼.
2. Hukum- Hukum Probabilitas
• • •
Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) – P( A ∩ B) Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) Jika A dan A’ adalah kejadian saling berkomplemen, maka P ( A’ ) = 1 – P ( A)
1. HUBUNGAN
ANTARA
TEORI
HIMPUNAN
DENGAN
TEORI
PROBABILITAS
Teori probabilitas merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan analisis fenomena acak. Obyek utama dalam kajian adalah peubah acak, kejadian acak, dan proses stokastik. Dua obyek penting dalam kajian ini adalah hukum bilangan besar ( law of large
number ) dan teorema limit pusat (central limit theorem ). Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain. Metode–metode probabilitas (dalam sistem kompleks) digunakan dalam mekanika statistis. Hal ini merupakan pendekatan dalam fisika teoritis dalam penyelidikan fenomena fisis khususnya dalan kajian secara atomik. Kajian khusus dalam fisika teoritis tersebut disebut dengan mekanika kuantum. Dasar matematika yang relevan dan berguna untuk tujuan ini adalah teori himpunan dan teori probabilitas. Jika didefenisikan dalam konteks himpunan, peristiwa-peristiwa dapat dikombinasikan untuk memperoleh peristiwa lain melalui aturan operasi dari himpunan dan sub-himpunan; pada dasarnya, ini menyangkut gabungan (union) dan perpotongan (intersection) dari dua peristiwa atau lebih termasuk komplemen-komplemennya. Dengan cara serupa, aturan-aturan operasi dari probabilitas menyajikan dasar untuk hubunganhubungan deduktif di antara probabilitas-probabilitas dari peristiwa-peristiwa yang berbeda di dalam ruang probabilitas tertentu; khususnya, ini terdiri dari aturan pertambahan (addition rule), aturan perkalian,teorema probabilitas total,dan teorema Bayes
2. PROBABILITAS BERSYARAT
Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A B ) yang menyatakan probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A
Contoh 1.
Misalkan ruang sampel S menyatakan orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :
Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata daan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke seluruh negeri. Misalkan M menyatakan kejadian lelaki yang terpilih sedangkan kejadian E menyatakan orang yang terpilih dalam status bekerja. Bila digunakan ruang sampel E diperoleh P(M | E) = 460/600 = 23/30.Misalkan n(A) menyatakan jumlah unsur dalam suatu himpunan A. Diperoleh
Dalam hal ini
Contoh 2 :
Bila A menyatakan menyukai sepakbola B menyatakan menyukai bola volley
p(A) dan p(B) dinamakan dengan probabilitas marginal
p(A,B) menyatakan probabilitas bersama A dan B, dan dibaca probabilitas A dan B. Kejadian(A,B) = {(ya,ya), (ya,tidak), (tidak,ya), (tidak,tidak)} p(A=ya,B=ya) = 0.2 p(A=ya,B=tidak) = 0.5 p(A=tidak,B=ya) = 0.2 p(A=tidak,B=tidak) = 0.1
Probabilitas seseorang menyukai sepakbola bila diketahui dia menyukai bola volley adalah:
Probabilitas seseorang tidak akan menyukai bola volley bila diketahui dia menyukai sepakbola adalah:
3. TOTAL PROBABILITAS
Anggap sebuah komponen pada setiap waktu dapat dikategorikan dalam keadaan bekerja (up) atau sedang diperbaiki (down). Anggap komponen mulai bekerja pada waktu t = 0. Setelah bekerja selama X 1 satuan waktu, komponen tersebut gagal dan segera diperbaiki selama Y 1 satuan waktu sehingga komponen tersebut dapat bekerja kembali seperti komponen yang baru. Setelah bekerja lagi selama waktu X 2 komponen gagal lagi dan diperbaiki kembali selama waktu Y 2. Proses ini berlangsung terus menerus dan setiap kali selesai dilakukan perbaikan komponen dianggap seperti baru lagi. Barisan ( Xi; Yi; i ¸ 1) akan dianggap sebagai barisan vektor acak positif dan berdistribusi independen dan identik. Untuk menunjukkan apakah komponen bekerja atau tidak, didefinisikan variabel indikator Z , sebagai berikut:
Jika Z (t ) menyatakan komponen bekerja atau gagal pada waktu t , maka total waktu bekerja sistem pada interval waktu [0 ; t ] diberikan :
Total waktu perbaikan D(t ) didefinisikan sebagai berikut:
Dalam skripsi ini akan digunakan notasi untuk fungsi-fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:
BAB III PENUTUP
A. KESIMPULAN
Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari himpunan itu. Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1 sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik pada ruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1. Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika. Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yang melibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar, termasuk teori himpunan.Jadi teori himpunan dan teori sangat berhubungan erat satu sama lain. Probabilitas bersyarat dituliskan dengan p ( A
B ) yang menyatakan
probabilitas A bila diketahui B, dimana A dan B menyatakan kejadian acak. Probabilitas bersyarat dapat dihitung menggunakan :
Dimana : p (A, B ) adalah probabilitas A dan B p ( A ) adalah probabilitas A
Statistik pada dasarnya merupakan alat Bantu untuk memberi gambaran atas suatu kejadian melalui bentuk yang sederhana baik berupa angka maupun gambar (grafik). Sedangkan statistika merupakan proses pengumpulan informasi,, pengolahan informasi dan proses penarikan kesimpulan. Di antara kegunaan Statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah: (a) Untuk menggambarkan keadaan, baik secara umum amupun secara khusus; (b) Untuk memperoleh gambaran tentang perkembangan (pasang-surut) dari waktu ke waktu; (c) Untuk mengetahui permandingan (membandingkan) antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (dalam) Untuk menilai keadaan dengan jalan menguji perbedaan
antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; (e) Untuk menilai keadaan dengan jalan mencari hubungan antara gejala yang satu dengan gejala yang lain; Oxford Dictionary (1993) menakrifkan proses stokastik sebagai suatu barisan kejadian yang memenuhi hukum-hukum peluang. Dengan demikian, jika pengalaman yang lalu hanya dapat menyajikan struktur peluang keadaan yang akan datang, maka barisan kejadian itu disebut stokastik. Berdasarkan jenis ruang parameter dan ruang keadaannya, proses-proses stokastik dapat dibedakan menjadi: 1.Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan tercacah 2.Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan tercacah 3.Proses stokastik dengan ruang parameter tercacah dan ruang keadaan malar 4.Proses stokastik dengan ruang parameter malar dan ruang keadaan malar Berdasarkan kaitan antara peubah-peubah acak yang membentuknya, proses stokastik dapat dibedakan menjadi beberapa kelas seperti proses Levy, proses Bernoulli, proses Markov, proses martinggil, dan proses titik ( point process).
DAFTAR PUSTAKA
Teori Himpunan, kur2003.if.itb.ac.id/
Bab
4
Himpun,
202.91.15.14/ MATEMATIKA
1
Pengantar
Teori
Himpunan,
didi.staff.gunadarma.ac.id/ TEORI PROBABILITAS, sainsmat.uksw.edu/ Matematika, staff.ui.ac.id/
http://books.google.co.id/books/about/So_Statistik_Ed_3.html?id=TaqK12UuJkIC Agus Irianto, Prof, DR, Statistik: Konsep Dasar dan Aplikasinya, Prenada Media, Jakarta, 2004. Gonick, Larry and Smith, Woolcott, Kartun Statistik, Kepustakaan Populer Gramedia, Jakarta, 2002. J. Supranto, Pengantar Metode Statistik, Edisi VI, Penerbit Airlangga, Jakarta, 2003. Noegroho Boedijoewono, Drs, Pengantar Statistik Ekonomi dan Perusahaan, Jilid 1 dan 2, UPP AMP YKPN, Jogjakarta, 2000. Prof. Dr. Sudjana, Metode Statistik , 1990, Transito, Bandung. Furqon, PhD, Statistik Terapan Untuk Penelitian, 1997, Alphabeta, Bandung. Richard J. Shavelson, Statistical Reasoning for Behavioral Science, 1988, Allyn and Bacon, Massachusetts. Papoulis, Athanasius, Probabilitas, Variabel Random, dan Proses Stokastik , edisi ke-2, Gadjah Mada university Press, Yogyakarta, 1992.
