UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ
- PERÚ
I.
INTRODUCCION HIDRODINÁMICA
Estudia el movimientos de los fluidos, es los fluidos
decir, el flujo de
Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad, velocidad) en cada punto del espacio en función del tiempo.
I.
INTRODUCCION HIDRODINÁMICA
Estudia el movimientos de los fluidos, es los fluidos
decir, el flujo de
Este estudio se realiza describiendo las propiedades de los fluidos (densidad, velocidad) en cada punto del espacio en función del tiempo.
I.
INTRODUCCIÓN
• La naturaleza del movimiento de un fluido real es muy compleja y no siempre puede ser estudiada de forma exacta mediante el análisis matemático. • Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener deferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. • Las ecuaciones básicas que nos permiten predecir el comportamiento de los fluidos son: A. El principio de conservación de masa, a partir del cual se obtiene
la ecuación de continuidad. B. El principio de conservación de la energía. C. El principio de conservación de la cantidad de movimiento que nos permite determinar las fuerzas dinámicas ejercidas por los fluidos
II. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. 2.1.
Sistema
Un sistema se define como una cantidad arbitraria de masa de identidad fija limitada por el entorno a través de una frontera. Los contornos del sistema forman una superficie cerrada, y ésta superficie puede variar con el tiempo, de manera que contenga la misma masa durante los cambios en condición. El sistema puede contener una masa infinitesimal o una masa finita grande de fluidos de fluidos y sólidos a voluntad del investigador
II. SISTEMAS Y VOLUMENES DE CONTROL. 2.2.
Volumen de control.
Es una región fija en el espacio, a través de cuyos límites puede fluir, masa, momento, energía, etc. El límite del volumen de control se denomina superficie de control . El volumen de control puede ser de cualquier tamaño y forma. La cantidad y la identidad de la materia en el volumen de control permanecen fijas
3.1.
III. FLUJO DE FLUIDOS
Flujo permanente.
Un flujo es permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones del movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo.
En un punto cualquiera del fluido, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma.
Por lo tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo, pero puede variar de un punto a otro, es decir ser variable respecto de las coordenadas. De la misma manera las otras magnitudes tales como la densidad, la presión y la temperatura no varían con el tiempo, esto es
/ t 0
p / t 0
T / t 0
Un ejemplo lo constituye el flujo de un líquido a través de una tubería
p / s 0
III. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS 3.2.
Flujo no permanente.
Un flujo es no permanente cuando las propiedades del fluido y las condiciones en cualquier punto cambian con el tiempo, es decir
v / t 0
Un ejemplo de éste tipo de flujo lo constituye el movimiento de un fluido a través de una tubería de sección constante pero a caudal variable
p / s 0
III. TIPOS DE FLUJO DE FLUIDOS 3.3.
Flujo uniforme.
Un flujo de fluidos es uniforme cuando en cualquier punto del fluido el vector velocidad es idéntico, es decir con igual módulo, la dirección y el sentido en un instante dado, esto se expresa mediante:
v / s 0
Esto significa que las otras magnitudes físicas del fluido no varían con las coordenadas espaciales o bien
/ s 0
p / s 0
Un ejemplo lo constituye el movimiento de un fluido bajo presión a través de tuberías de sección constante y gran longitud.
III. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3.4.
Flujo no uniforme
Se dice que un flujo es no uniforme, cuando el vector velocidad en un instante dado de un punto a otro- es decir
•
Un ejemplo es el movimiento de un fluido a través de una tubería de sección variable
v / s 0
De igual forma las otras variables como la densidad, presión, etc. Varía de un punto a otro en la región del fluido.
/ s 0
p / s 0
III. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3.5.
Flujo laminar.
Un flujo es laminar cuando las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o láminas, deslizándose una capa sobre la otra adyacente. En el flujo laminar se cumple la ley de Newton de la viscosidad dad por
v / y Turbulento
Laminar
III. TIPOS FLUJO DE FLUIDOS 3.6.
Flujo turbulento
En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias irregulares originándose un intercambio de cantidad de momentum molecular. Es un ejemplo la cascada de un río .
III.
Tipos de Flujos de fluidos
Flujo laminar Ocurre cuando las moléculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias paralelas
Flujo turbulento Ocurre cuando las moléculas de un fluido en movimiento siguen trayectorias erráticas
III.
TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS
FLUJO INCOMPRESIBLE Aquel
en el cual la densidad de cada una de las partículas del fluido permanecen relativamente constantes mientras se mueve por el campo de flujo
d dt
0
En este tipo de flujo se encuentran el movimiento de los líquidos. Sin embargo, algunos flujos gaseosos de baja velocidad, como el flujo atmosférico, también se puede considerar como incompresible
III.
TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS
FLUJO COMPRESIBLE
En general todos los fluidos son compresibles en menor o mayor grado. Es decir la presión y la temperatura cambia con la densidad
d dt
0
Un ejemplo de este tipo de flujo es el movimiento de masas de aire como los huracanes, Movimiento aerodinámico de un avión de alta velocidad
III. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO VISCOSO:
Es quel flujo en el cual la viscosidad no pueden despreciarse. La viscosidad es el rozamiento interno entre partículas que componen el fluido.
FLUJO NO VISCOSO:
Es aquel en el cual se desprecian los efectos de la viscosidad.
III. TIPOS DE FLUJOS DE FLUIDOS FLUJO ROTACIONAL. Aquel flujo que presenta vórtices. Son ejemplos de este tipo los huracanes. FLUJO IRROTACIONAL.
III. FLUJO DE FLUIDOS 3.7.
Flujo unidimensional.
3.8
Flujo bidimensional. En este flujo se supone que
En un flujo unidimensional se desprecian las variaciones de la velocidad, presión, densidad, transversales a la dirección principal del movimiento del fluido. El flujo a través de una tubería se puede considerar unidimensional.
todas las partículas siguen trayectorias idénticas en planos paralelos, por lo tanto, no hay cambios en el flujo en la dirección normal a dichos planos. Es un ejemplo el movimiento de un líquido a través de un vertedero.
3.9
Flujo tridimensional. Es aquel tipo de flujo general en
el que las componentes de la velocidad vx , vy y vz en direcciones perpendiculares son funciones del tiempo y de las coordenadas espaciales.
VI. FLUJO IDEAL. En el estudio del movimiento de fluidos en muchos casos se puede considerar como un flujo de fluidos ideal a aquel que cumple con las siguientes características: a. El fluido debe ser absolutamente incompresible. b. El fluido debe carecer de viscosidad o rozamiento interno. c. Debe ser de régimen estacionario d. Debe ser un flujo irrotacional
V. LINEA DE CORRIENTE
Las líneas de corriente son líneas imaginarias dibujadas a través de un fluido en movimiento y que indican la dirección de éste en los diversos puntos del flujo de fluidos.
Debe observarse que la tangente en un punto a la línea de corriente nos da la dirección instantánea de la velocidad de las partículas del fluido, en dicho punto.
V. Líneas de corriente Dos
líneas de corriente nunca se cruzan entre si, cuando ocurre produciría un flujo inestable y turbulento.
VI. LINEA DE CORRIENTE Debido
a que la velocidad en dirección normal a la línea de corriente no existe, entonces en la dirección perpendicular a la línea de corriente no existe flujo.
En
la Figura, se muestra la forma de algunas líneas de corriente al colocarse diversos sólidos del flujo de fluidos
VI. TUBO DE CORRIENTE Es la parte de un fluido limitado por un haz de líneas de corriente. Todas las partículas que se hallan en una sección de un tubo de corriente, al desplazarse continúan moviéndose por su sección sin salirse del mismo. De igual forma ninguna partícula exterior al tubo de corriente puede ingresar al interior del tubo.
VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. La aplicación del principio de conservación de masa a un flujo de fluidos permanente y unidimensional, en un tubo de corriente, nos da la ecuación de continuidad . Consideremos un sistema físico conteniendo una determinada cantidad de masa de fluido limitada por un tubo de corriente, como se muestra a través del tubo para un flujo permanente, unidimensional y compresible. Cerca de la sección (1) del tubo, el área de la sección es A1 y la densidad ρ1, mientras que en la sección (2) el área de la sección es A2 y la densidad es ρ2. El volumen de control está representado por las letras I y R, en tanto que la superficie de control coincide con las paredes del tubo
VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
De la figura puede verse que en un tiempo t el sistema está compuesto por el fluido dentro del volumen de control (I + R), en un tiempo t + dt el sistema se mueve corriente abajo, de tal forma que según el principio de conservación de masa del sistema se tiene que Masa del fluido en las masa del fluido en las
zonas I y R en un tiempo t
Es decir:
m
I
zonas O y R en un tiempo t dt
mR t mO mR t dt
Para el caso de un fluido permanente las propiedades del fluido en puntos del espacio no son funciones del tiempo, de tal forma que
m m R t
R t dt
VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Por lo tanto
Es a la cantidad m Av, que se le conoce como Régimen de flujo de masa y constituye la I t O t dt llamada ecuación de la continuidad, la misma que Estos dos términos se expresan en un flujo expresa: fácilmente en función de otras permanente, el régimen de variables como la densidad, el área flujo de masa que pasa a de la sección y el desplazamiento través de todas las de la masa del fluido, es decir secciones de un tubo de 1 A1dS1 2 A2 dS 2 corriente, es constante.
m m
1 A1 ( dS1 / dt ) 2 A2 ( dS2 / dt )
1 A1v1
2 A2v2
m Av Cte d Av 0
VII. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.
Por otro lado si se multiplica a la ecuación de continuidad por la aceleración de la gravedad local g se obtiene el flujo ponderal (G )
G mg Av
Para el caso en el cual el fluido es incompresible la densidad así como el peso específico se mantiene constante. Entonces la ecuación de la continuidad se expresa en la forma
Q Av Cte
A
la cantidad Q se le llama Caudal o gasto o régimen de flujo volumétrico o volumen por unidad de tiempo que pasa a través de un área del tubo de flujo, cuyas unidades son m3 /s.
Para flujos bidimensionales el régimen de flujo se expresa por unidad de distancia perpendicular normal al plano del flujo, la ecuación de continuidad, se escribe
G b
hv
VIII. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE EULER.
Otra de las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos es la ecuación de Euler, la ecuación de Bernoulli, la ecuación de la energía.
La ecuación de Euler no es más sino la aplicación de la segunda ley de Newton al movimiento de las partículas de un fluido
VIII.
Fuerzas debido a la presión
F1
Ecuación de Euler
pdA;
F2
( p dp)dA
Fuerzas debido al peso en la dirección tangencial es
dW g dA dS sen Aplicación
tangencial
de la segunda ley de Newton en dirección
Ft m.at F1 F2 dW Sen dm at
dv p dA p dp dA g dA dS Sen dA dS dt dp(dA) g dA dS Sen dA v dv
VIII.
Ecuación de Euler
• Teniendo en cuenta que dz = dS sen , la ecuación anterior se escribe
dp g dz v dv
• Para fluidos incompresibles
dp
v d dz 0 2 g 2
• O para el caso de flujos cuya densidad es uniforme
p v z 0 d 2 g 2
XI. Ecuación de Bernoulli
p1
Es una ecuación de importancia en la mecánica de los fluidos ideales (se desprecia las fuerzas de rozamiento, el flujo debe ser estable e incompresible) y constituye una expresión del principio de conservación de la energía. Se considera que en el flujo existen tres tipos de energía: la energía cinética debida al movimiento, la energía debida a la presión y la energía potencial gravitatoria debida a la elevación. Se obtiene integrando la ecuación de Euler, esto es
2 1
v
2 g
z1
p2
2 2
v
2 g
z 2
p
v
2
2 g
z H Cte
VIII.
LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.
• La ecuación de Bernoulli, se aplica a todos los puntos de la línea de corriente y provee una relación útil entre la presión p, la magnitud de la velocidad v y la altura z sobre el plano de referencia. A la cantidad H se le denomina carga total. La ecuación de Bernoulli, revela además que las cantidades p/ γ, v 2 /2g y z son distancias verticales. El experimento de Pitot demuestra que la suma de las cargas de velocidad (v 2 /2g ), la carga de presión ( p/ γ) así como la carga de altura z siempre permanece constante.
VIII.
LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.
1. La línea que representa la suma de la presión estática y la carga de elevación es llamada LÍNEA DE GRADIENTE HIDRÁULICO. 2. La línea que representa la carga total del fluido se llama LÍNEA DE GRADIENTE DE ENRGÍA p
v2 2 g
z H Cte
La diferencia entre EGL y HGL representa la carga de velocidad
VIII. RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. 1. Es valida solo para flujos incompresibles ( =cte) 2. Es aplicable a flujos estables. Por tanto no podría aplicarse durante períodos de cambio de las condiciones de flujo. 3. Es aplicable cuando se consideran despreciables las pérdidas de energía por fricción. 4. Es aplicable cuando no existe dispositivos mecánicos que agreguen energía al fluido (bombas) o retiren energía del fluido (turbinas. 5. Es aplicable sólo cuando se desprecia las transferencias de calor entre el fluido y su entorno 6. Es
li bl
lí a de
ient
IX.
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.
1. La ecuación de la hidrostática.
Para determinar la ecuación hidrostática se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la
p1
v12 2 g
z1
p2
v22 2 g
z 2
Como el depósito está abierto sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica p0 . Así mismo, debido a que el fluido está en reposo, v1 y v2 son nulas, con lo que la ecuación anterior se
escribe
p1
0 z1
p0
0 z 2
p1 p0 z 2 z 1 p1 p0 h
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 2.
Teorema de Torricelli.
Permite determinar la velocidad de salida de un fluido a través de una boquilla. Se aplica la ecuación de la continuidad
p0
A1v1 A2 v2
La ecuación de Bernoulli nos da
p1
v12 2 g
z1
p2
v22 2 g
z 2
Debido a que las presiones en los puntos 1 y 2 son las mismas esto es la presión atmosférica p0, la ecuación anterior se escribe.
v12 2 g
z1
p0
v22 2 g
z 2
v22 v12
2 g z2 z1
v22 v12
2 gh
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI. 2. Teorema de Torricelli..
De las ecuaciones anteriores se tiene 2 A2 2 2 gh v2 1 A1
v2
2 gh
1 A1 / A2 2
En general el área de la tobera A2 es mucho menor que el área de la sección transversal del depósito A1, de tal forma que
v2
2 gh
Esta ecuación indica que la velocidad de descarga es igual a la velocidad que alcanzaría una partícula cayendo libremente sin fricción desde el punto 1 hasta el punto 2. En otras palabras la energía potencial de la superficie libre se convierte en energía cinética del chorro.
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.
2. Efecto Venturi
Supongamos que tenemos un flujo en el cual no existen diferencias significativas de energía potencial del fluido en movimiento. Entonces en la ecuación de Bernoulli se puede considerar que z1 = z2 = 0, con lo que se tiene
p1
2 1
v
2 g
v
2 g
De donde
p1 p2
p2
2 2
1 2
v22 v12
En esta expresión, si v2 es mayor que v1 entonces también lo es 2 2
v
2
v1
En consecuencia,
( p1 p2 )
es negativo, lo que a su vez, es posible solo si p2 es mayor que p 1. En términos más simples, donde la velocidad sea mayor, la presión es menor. A este fenómeno se le conoce como efecto Venturi.
Este efecto se aprecia con gran facilidad al soplar entre dos hojas de papel separadas unos cuantos centímetros. La velocidad del aire entre las hojas será mayor que en las caras externas y por tanto la presión en las caras externas será mayor, uniéndolas.
Efecto venturi
El mismo efecto se observa cuando se sopla por la cara superior de una hoja dispuesta horizontalmente, levantándola; a su vez, este ejemplo explica el porqué los techos arrancados de las casas con puertas y ventanas bien cerradas en un día de viento de gran intensidad.
Otro ejemplo interesante lo constituye una pelota golpeada de manera que se roto traslade como se observa en la Figura que representa una mirada desde arriba.
Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro. Se tiene P > Pinterior Por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande
Pinterior
Velocidad del aire
Tubo Venturi • Este medidor mostrado en la figura consiste en un tubo con un estrechamiento en forma gradual y un aumento también gradual practicado con la finalidad de evitar la formación de remolinos quedando de esta forma asegurado un régimen estacionario (permanente).
Tubo Venturi •
Para aplicar las ecuaciones de mecanica de fluidos es necesario observar las lineas de corriente
Tubo Venturi •
Otra forma como se puede diseñar un tubo de venturi se muestra en la figura
Tubo Venturi
Para determinar el caudal en primer lugar se determina la velocidad de flujo del fluido aplicando la ecuación de continuidad entre los punto 1 y 2
A1v1
• Observando la figura se ve que z1 y z2 se encuentran en un mismo nivel horizontal por lo que
p1
A2 v2
A2 v2 v2 A1
p1
2 2
v
Por otro lado aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene
v12 2
z1
p2
v22 2
z 2
•
v12 2 g
v 2 1
p2
2 g
v22 2 g
p1 p2
Combinando las ecuaciones 1 y 2
v2
2 g
p
1
p
2
A 1 A 2
2
1
Tubo Venturi
La diferencia de presiones se determina a partir de las lecturas de los piezometros, es decir
p0 h1 p2 p0 h2 p1
p1 p2 h
Entonces la velocidad se expresa en la forma
v2
2 g h
A 2 2 1 A1
Entonces el caudal Q o régimen de flujo volumétrico se expresa en la forma
Q A1v1
Q A1 A2
A2v2 2 gh
2 2 A A 1 2
Tubo de Venturi
Tubo de Venturi
Tubo de Pitot
Este dispositivo se utiliza para medir la velocidad del flujo de un • La diferencia de presiones se determina del manómetros gas, consiste en un tubo manométrico abierto e que va p2 p1 Hg h conectado a una tubería que lleva un fluido como se muestra en la Figura 2 g Hg h
•
p1
p1
2 1
v
2 g
z1
v2 2 g
v
0
p2
p2
v
2 2
2 g
z 2
0 2 g
2 g ( p2 p1 )
0
v
Tubo de pitot
•http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Staudruck-Differenz-Messeinrichtung-prinzipiell-bewegt.gif
Tubo de Pitot
•Sifones P0
1
1
gy0 v 0 PC gyC v C 2
Patm
2
2
2
1
1
2
g 0 0 Patm gyC v C2 2
2
vC
2gy C
Ejemplo 01 • Por la tubería en Y de la figura circula agua a 20°C. El flujo entrante en peso es 5300 N/s y la velocidad en la sección 3 es 5 m/s. Determine: (a)
la velocidad en la sección 1, (b) el flujo másico en la sección 3 y (c) la velocidad del fluido en la sección 2 y (d) El flujo volumétrico en la sección 2
EJEMPLO 02
En la figura, los diámetros interiores del conducto en las secciones 1 y 2 son de 50 mm y 100 mm, respectivamente. En la sección 1 fluye agua a 70°C con velocidad promedio de 8 m/s. Determine: (a) la velocidad en la sección 2, (b) el flujo volumétrico, (c) el flujo ponderal y (d) el flujo másico.
EJEMPLO 03 En la figura se muestra un sifón utilizado para conducir agua desde una alberca. La tubería que conforma el sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y termina en una tobera de 25 mm de diámetro. Despreciando las pérdidas de energía. Determine: (a) el flujo volumétrico a través del sifón y (b) las presiones en los puntos B y E.
Ejemplo 04 • El medidor de venturi
de la figura conduce agua a 60°C. Si la gravedad específica del fluido manométrico es 1,25. Calcule la velocidad de flujo en la sección A y el flujo volumétrico del agua
Ejemplo 05 • Para el tanque de la
figura, calcule la velocidad de flujo de la tobera, así como el flujo volumétrico para un rango de profundidad de 3 m a 5 m, en intervalos de 0,5 m. El diámetro del chorro en la salida de la tobera es de 50 mm
Ejemplo 06 • Por
medio de un sistema similar al que se muestra en la figura, calcule la presión del aire que es necesario aplicar sobre el agua, a fin de hacer que el chorro llegue a 40 pies por arriba de la salida. La profundidad es h = 6 pies.
Ejemplo 07 • Para
el tanque mostrado en la figura, determine el tiempo que demora en evacuar el fluido
Ejemplo 08 • ¿Qué
presión p1 se requiere para obtener un gasto de 0,09 pies3/s del depósito que se muestra en al figura?. Considere que el peso específico de la gasolina es γ = 42,5 lb/pie3.
EJEMPLO 09 Un tanque cilíndrico contiene aire, aceite y agua. El aire se mantiene a una presión manométrica p = 5 lb/pulg2. ¿Cuál es la velocidad del agua que sale si se ignora la fricción y la energía cinética del fluido por encima de la elevación A? El chorro de agua que sale tiene un diámetro d = 1 pie.
EJEMPLO 10 Un tanque grande contiene aire comprimido, gasolina con una densidad relativa de 0,68, aceite liviano con una densidad relativa de 0,80 y agua. La presión manométrica del aire es p = 150 kPa. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el régimen de flujo de masa?.
EJEMPLO 11 A través de la tubería mostrada en la figura fluyen trescientos litros por segundo de un líquido con peso específico de 8 kN/m3. Determine la lectura del manómetro en U si la densidad del mercurio es 13600 kg/m3.
EJEMPLO 12 Calcular el caudal ideal a través del sistema de tuberías mostradas en la figura.
Ejemplo 13 •
Un piezómetro y un tubo de Pitot son colocados en el interior de una tubería de agua como se muestra en la figura, para medir las presiones estática y de estancamiento. Para las alturas de las columnas de agua indicadas, determine la velocidad en el centro del tubo
EJEMPLO 14 A través de la tubería mostrada fluye gasolina cuza densidad relativa es 0,85. Determine: (a) La lecturas de los medidores de presión; (b) El régimen de flujo de masa.
EJEMPLO 15 A través del tubo vertical circula agua en forma permanente luego entra en la región anular entre las placas circulares mostradas. Luego se mueve radialmente, saliendo como una lamina libre. Si no se tiene en cuenta la fricción. ¿Cuál es el caudal de agua a través de la tubería si la presión manométrica en el punto A es 69 kPa?.
EJEMPLO 16 Para un régimen de flujo de aire de 2 m 3/s de aire cuyo peso especifico es 12 N/m3. ¿Cuál es la mayor área A 2 que hará que se aspire agua por la abertura del piezómetro?. Desprecie los efectos de compresibilidad.
EJEMPLO 17 A través de la tubería mostrada en la figura fluye agua. Determine el régimen de flujo volumétrico
EJEMPLO 18 Los dos fluidos de a figura se encuentran a 20°C. Si la velocidad del agua en la posición 1 es v 1 = 1,7 pies/s y se desprecian las pérdidas. ¿Cuál es la lectura h del manómetro?. Considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/pie 3 y la densidad relativa del mercurio es 13,6.
EJEMPLO 19 A través del sistema de tuberías fluye agua. Determine: (a) la altura H(m) y (b) la lectura del medidor de presión p(kPa).
EJEMPLO 20 En esta tubería fluye agua a razón de tres décimos de metro cúbico por segundo. Calcular la lectura del manómetro, (a) usando el diagrama como se muestra, (b) cuando el tubo del pitot está en la sec. 2 y la conexión de presión estática está en la sección 1.
EJEMPLO 21 Establezca una ecuación para determinar el tiempo de descenso del nivel de un líquido en un depósito de sección recta constante mediante un orificio como se muestra en la figura. ¿Cuál sería el tiempo requerido para vaciarlo desde un nivel de 3 m hasta 0,5 m . El tanque tiene un diámetro de 1, 5 m y la boquilla tiene un diámetro de 50 m m ?.
EJEMPLO 22 Un depósito rectangular alimentado de forma permanente por un flujo de 30 L/s de agua, tiene una superficie transversal de 20 m2. Un sifón de 100 mm de diámetro asegura el vaciado del depósito. Con los datos indicados en la figura y partiendo del momento en que se encuentra lleno y por tanto el sifón cebado se pide: (a) Deducir si el depósito se vaciará o desbordará (b) encontrar una expresión que relacione la altura de la lámina de agua en función del tiempo
Solución Parte (a). Determinar si se vacía el tanque o se desborda
Como el caudal que sale es mayor que el caudal que ingresa entonces el depósito se vaciará
Solución Parte b. Cálculo de la expresión que relacione la altura de la lámina de agua en función del tiempo
Integrando la expresión anterior resulta
Sustentación del ala de un avión •
Este principio explica el vuelo de los aviones, ya que la forma y la orientación de las alas del avión permiten que el aire pase con mayor velocidad por la parte superior que por la inferior de éstas. Luego, la presión encima del ala es menor que la presión debajo de ella, produciendo una fuerza resultante dirigida hacia arriba, llamada fuerza ascensional o de sustentación.
Líneas de corriente alrededor del ala de un avión
SUSTENTACIÓN DEL ALA DE UN AVIÓN •
Esta distribución de las líneas de flujo nos induce a pensar que es semejante a un venturímetro en donde la parte inferior (punto 1) es la garganta del venturímetro y el punto 2 la parte ancha de dicho tubo, Es decir
v1 •
F
v2
p1 p2
La fuerza de sustentación
F2 F1 ( p2 p1 ) A
Aplicando
la
ec.
de
Bernoulli p1
p2 p1
F
v12 2 g
z1
v 2 g A
2 1
p2
v22 2 g
z 2
v22 z1 z 2
v 2 g
2 1
v
2 2
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. •
La aplicación de los principios de trabajo-energía al flujo de fluidos produce una valiosa relación entre las propiedades del fluido, el trabajo realizado y la energía transmitida. Se ve entonces que la ecuación de Bernoulli es equivalente a a de la mecánica para el flujo de –en er g í la ecuación trabajo un fluido ideal.
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA.
Consideremos la sección de un tubo de corriente diferencial como se ve en la figura y el sistema fluido que ocupa las zonas I y R del volumen de control en el tiempo t , y las zonas R y O en el tiempo t + dt . Para un fluido permanente la ecuación de la continuidad establece ( ρ = cte).
dA1v1
dA2v2
o
dA1dS1
dA2dS 2
La relación trabajo-energía establece que el trabajo dW (expresado como una fuerza actuando a distancia) realizado sobre un sistema, produce un cambio equivalente en la suma de las energías cinéticas, Ek y potencial, Ep del sistema, esto es en un tiempo d t .
dW
Ek EP t dt Ek EP t
Ek EP t Ek EP R Ek EP I Ek EP R Ek
EP t Ek EP R
1 2
2
VI v1
1 2
mI v12
VI gz 1
mI gz 1
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. • La energía en el instante t será
Ek EP t Ek EP R
1 2
2 1
(dA1dS1) v
(dA1dS1 ) gz 1
• De igual forma la energía en el instante (t + dt) es
Ek EP t dt Ek EP R Ek
EP t dt Ek EP R
1 2
1 2
VOv22 VO gz 2 2
(dA2dS 2 )v2
(dA2dS 2 )gz 2
• El trabajo de flujo
F1dS1 p1dA1dS1 dW2 F2 dS 2 p2 dA2 dS 2 dW1
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. • El remplazo de ecuaciones conduce a dW p1dA1dS1 p2 dA2 dS2
Ek EP t dt Ek EP t
1 1 Ek EP R ( dA2dS2 )v22 (dA2dS 2 ) gz2 Ek EP R (dA1dS1)v12 (dA1dS1) gz 2 2
• Aplicando la ecuación de la continuidad 1 1 p1dA1dS1 p2 dA1dS1 (dA1dS1 )v22 (dA1dS1 ) gz2 (dA1dS1 )v12 ( dA1dS1 ) gz1 2 2 • Simplificando
1 1 2 2 p1 p2 v2 gz2 v1 gz 1 2 2 p1
1
2
v1
gz1 p2
1
2
v2
gz 2
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. • Dividiendo entre el peso específico se tiene
p1 •
2 1
v
2 g
z1
p2
2 2
v
2 g
z 2
Una vez más se ha obtenido la ecuación de Bernoulli, pero esta vez utilizando las ideas energéticas por lo que ésta se constituye en a Ecuación de la energía mecánica
• Si al sistema se añade energía (bombas) o se extrae energía (turbinas) se tiene
p1
2 1
v
2 g
z1 h B hT
p2
2 2
v
2 g
z 2
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA.
Cuando se considera las perdidas en las tuberías por la fricción se usa la ecuación.
p1
2 1
v
2 g
z1 h B hT hL
p2
2 2
v
2 g
z 2
Donde:
hL es la energía por unidad de peso perdida por la fricción
es el factor de corrección de la energía cinética cuyo calor es aproximadamente de 2 para un flujo laminar y de 1.04 a 1.11 para el flujo turbulento.
Los términos
Todos los términos referidos a la ecuación tienen dimensiones de longitud
son todos positivos.
LA ECUACION TRABAJO-ENERGIA. Escriba la ecuación general de la energía para para el flujo de fluido mostrado
POTENCIA REQUERIDA POR LAS BOMBAS •
Se define como la rapidez a la cual se realiza trabajo.
•
En mecánica de fluidos la potencia es considerada como la rapidez con la que se transfiere la energía.
•
La potencia se calcula mediante la multiplicación de la energía transferida por newton de fluido por el flujo en peso. Es decir,
P A •
hAW hAQ
Donde:
1hp 550lb. pie / s
P A = es la potencia agregada al fluido 1lb. pie / s 1, 356 W 1hp 745, 7 W = peso específico del fluido Q = es el flujo volumétrico
EFICIENCIA MECÁNICA DE LAS BOMBAS •
Se usa para denotar la relación de la potencia transmitida por la bomba al fluido a la potencia que se suministra a la bomba.
•
Debido a las pérdidas por fricción mecánica en los componente de la bomba, fricción del fluido, turbulencia, la eficiencia se expresa.
Potencia transmitida al fluido Potencia de entrada a la bomba
P A P I
Equivalencias de unidades •
1gal/min = 0,002228pies/s = 0,06309 L/s
•
1 CV = 550pie.lbf/s = 745,7 W
•
1pie.lbf/s = 1,3558 W
•
1 pie = 12 pulgada = 0,3048m
•
1 pie3= 0,028317 m3
•
1 galón = 231 pulg3=0,0037854 m3
•
1 litro =0,001 m3 = 0,035315 pies3
•
1 lbf/pie2= 47,88 Pa
•
1 atm =2116,2 lbf/pie2=101325 Pa
•
1mmHg =3375 Pa
•
1 lbm = 0,4536 kg
•
1 slug = 32,174 lbm = 14,194 kg
EJEMPL O 01 • Una tubería, que transporta aceite de densidad
relativa 0,877 pasa de 15 cm de diámetro en la sección E, a 45 c m en la sección R. La sección E se encuentra a 3,6 m por debajo de R y las presiones son respectivamente 0,930 k g f/cm 2 y 2 . Si el caudal es 146 lt/s . 0,615kgf/cm Determine la pérdida es la dirección de flujo
•
EJEMPL O 02 De un depósito grande fluye agua a razón de 3 0,034 m /s por un sistema de tubería, como se muestra en la figura. Determine la cantidad total de energía que se pierde en el sistema debido a la válvula, codos, entrada de tubería y fricción del fluido.
EJEMPL O 03 • El flujo volumétrico a través de la bomba de la figura es de 0,014 m3 /s. El fluido que se bombea es aceite con (SG = 0,86 ). Determine la energía que transmite la bomba al aceite por unidad de peso de este fluido en el sistema. Las pérdidas en el sistema son ocasionadas por la válvula de verificación y la fricción, mientras el fluido circula por la tubería. Se determinó que la magnitud de dichas pérdidas
EJEMPL O 04 • En el sistema mostrado en la figura la bomba BC debe producir un caudal de 160 litros/s de aceite (DR = 0,762), hacia el recipiente D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es 2,50 kgf.m/kgf y entre C y D es de 6,50 kgf.m/kgf . ¿Qué potencia en CV debe suministrar la bomba a la línea de corriente?
EJEMPL O 05 • Para el arreglo de prueba de la bomba de la figura,
determine la eficiencia mecánica de ésta si la potencia de entrada que se midió fue de 2,87 k W , 3 cuando bombeaba 125 m /h de aceite (γ = 8,8 3 ) kN/m
EJEMPLO 06 • A través del motor de fluido de la figura circula agua a 10°C , a razón 115 l/min. La presión de A es de 700 kPa, y en B es de 125 kPa. Se estima que debido a la fricción en la tubería existe una pérdida de energía de 4 N.m/N en el agua que fluye. Calcular la potencia que el agua transmite al motor de fluido, (b) Si la eficiencia mecánica del motor de fluido es 85%, calcule la potencia de salida
EJEMPL O 07 Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una presión manométrica de 35 kPa en su superficie libre. El agua se bombea a través de una tubería como se muestra en la figura, y sale a través de una boquilla para formar un chorro libre. ¿Cuál es la potencia requerida por la bomba?.
EJEMPLO 08 A través de una turbina mostrada en la figura circulan 0,22 m3/s de agua y las presiones en a y B son iguales a 1,5 kgf/cm2 y -0,35 k g f / c m 2 , respectivamente. Determine: (a) la potencia comunicada por la corriente de agua a la bomba. (b) si la potencia extraída de la corriente es 68 CV y las presiones manométricas en A y B son 1,45 kgf/cm2 y -0,34 kgf/cm2 , respectivamente, ¿Cuál es el caudal de agua que está fluyendo
Ejemplo 09 •
Calcular la altura h que producirá un régimen de flujo de 85 lt/s y una producción de potencia de 15 kW por la turbina.
EJEMPLO 10 •
A través del motor de fluido de la figura circula agua a 10°C, a razón de 115 L/min. La presión de A es de 700 kPa, y en B es 125 kPa. Se estima que debido a la fricción en la tubería existe una rapidez de energía de 4 N.m/N en el agua que fluye. (a) determine la potencia que el agua transmite al motor de fluido. (b) Si la eficiencia mecánica del motor de fluido es de 85%, calcule la potencia de salda. 1 litro = 0,001m3=0,035315pie3
EJEMPL O 11 • Determine la potencia producida por la Turbina mostrada en la figura para una razón de agua dulce de 0,6 m3/s. La turbina tiene una eficiencia de 90%.
Ejemplo 12 • Calcular la potencia de la bomba, si a través de ella existe un flujo de agua
Ejemplo 13 •
3 /s ¿Cuál es la potencia requerida para que 30 pies de agua fluyan en la bomba de la figura mostrada?. Desprecie la fricción en la tubería y considere que el diámetro de la salida en la boquilla tiene 10 pu lgadas . Considere que el peso específico del agua es 62,4 lb/p ie 3 .
EJEMPLO 14 •
Cuando la bomba mostrada en la figura proporciona un caudal de 220 m3 /h de agua a temperatura ambiente de 20°C desde el depósito, la pérdida total de carga por ficción es 5 N.m/N. Si el flujo se descarga a la atmósfera a través de una tobera de 5 cm de diámetro. (a) ¿Cuál es la potencia en kilowatios (kW ) que la bomba proporciona al agua?. (b) ¿Cuál sería la potencia si eficiencia de la bomba es 82%?
EJEMPLO 15 •
Si a través de la bomba que se muestra en la figura debe 3 /s circular 10 pie . Si la pérdida total de carga por fricción es de 5 lb.pie/lb . ¿Cuál debe ser la potencia en la bomba?. Considere que el peso específico del agua es 3 62,4 62, 4 lb/p ie y que el rendimiento de la bomba es 8 2 %
EJEMPLO 1 6 • Si la bomba mostrada en la
figura
impulsa 0,089 3 p i e s /s de fluido con peso específico de 60 lb/pie 3 . ¿Qué potencia en hp debe transmitir la bomba al fluido, si entre los puntos 1 y 2 hay una pérdida de energía de 3,40lb.pie/lb?. (considere que 1 hp = 550 55 0 lb.pie/s )
EJEMPLO 17 •
La bomba mostrada en la figura mueve querosene a 20ºC a 2,3 m /s . La pérdida de carga entre los puntos 1 y 2 es de 8 pies y la bomba proporciona al flujo 8 h p de potencia. ¿Cuál será la lectura h del manómetro en pies?. Considere que la densidad relativa del kerosene es 0,804 ; la densidad del agua 62,4 lb/p ie 3 y 1 hp = 550 lb .p ie/s
EJEMPLO 18 •
Una bomba de bomberos saca agua de mar ( DR = 1,025 ) mediante un tubo sumergido y la descarga a través de una tobera, según se representa en la figura. La pérdida total de carga es de 6,5 p ies . Si el rendimiento de la bomba es 75%. ¿a qué potencia se requiere que funcione la bomba?.
EJEMPLO 19 •
El sistema bomba turbina mostrado en la figura admite agua del depósito superior para proporcionar energía a la ciudad. Por la noche bombea agua del depósito inferior al superior para restablecer la situación anterior. Para un caudal de diseño de 15000 gal/min en cada reacción, la pérdida de carga por fricción es de 17 pies. Estime la potencia en kilovatios: (a) extraída por la turbina y (b) requerida por la bomba
EJEMPLO 20 • A
través de la tubería esta fluyendo 120 l/s de combustible jet (JP-4), cuya densidad es 773,1 kg /m 3 . Calcular la potencia de la bomba.
EJEMPLO 21 • A
través de la tubería esta fluyendo 28 agua. Calcular la potencia de la bomba.
l/s de
EJEMPLO 22 •
En una planta de energía hidroeléctrica, fluye agua a razón de 100 m 3 / s desde una altura de 120 m hacia una turbina, donde se genera la energía eléctrica como se muestra en la figura. La pérdida total de carga en el sistema del punto 1 al punto 2 (con exclusión de la unidad de turbina) se determinó que es de 3 5 m . Si la eficiencia global de la turbina-generador es de 80% , Determine la potencia eléctrica disponible.
EJEMPLO 22 La central hidroeléctrica 3 de la figura toma 30 m /s de agua a través de su turbina y la descarga a v 2 = 2 m /s a la atmósfera, la perdida de carga en el conducto de alimentación y la turbina es h f = 20 m . Suponiendo que se trata de un flujo turbulento, con α = 1,06 . Determine la potencia extraída por la turbina
Ejemplo •
Teniendo en cuenta los datos de la figura 05, determine: (a) El caudal circulante, (b) la altura manométrica y la potencia útil de la bomba, (c) diferencia de alturas R entre los meniscos del manómetro diferencial del venturímetro (d) densidad relativa del líquido manométrico del conjunto del Pitot más piezómetro abierto, (e) altura R’ que señala el manómetro acoplado al Pitot en la salida a la atmosfera del sistema y (f) la altura h que alcanzará el líquido en un piezómetro abierto situado a la entrada de la bomba.
Ejemplo 23 Una bomba de riego sube 50 L / s de agua de un depósito y lo descarga en el canal de riego para agricultura. La bomba suministra 10 N.m/N. ¿Cuánto es la energía mecánica perdida?
•cs2
4m
2.4 m 2m
•cs1
N. Ref pin
2
zin in
h p zout hL
Vin
2 g
hP
pout
2
zout out
hL hp z out
V out 2 g
hT hL
hL = 10 m - 4 m
FLUIDOS REALES
Muchas de las restricciones que hemos considerado, son necesarias para encontrar los principales modelos que rigen el comportamiento de los fluidos en movimiento.
Sin embargo, en muchos casos es necesario abandonar estas restricciones, porque proporcionan aproximaciones suaves al comportamiento de los fluidos reales
Una aproximación mejor sería si se tiene en cuenta: Primero: considerar la resistencia que experimenta el fluido al desplazarse dentro de los tubos (viscosidad);
Segundo, evaluar hasta que punto un fluido se comporta de manera laminar, a través de un coeficiente sencillo denominada numero de Reynolds.
FLUIDOS REALES: Viscosidad
Flujo laminar aquel movimiento regular en el que las partículas del fluido parecen deslizar unas sobre otras en capas o láminas.
Flujo turbulento es un movimiento caracterizado por la aleatoriedad del movimiento de las partículas observándose remolinos de varios tamaños.
Para determinar la viscosidad consideremos el flujo laminar de un fluido real que está confinado a moverse entre dos placas de extensión infinita
FLUIDOS REA L ES: V i s c o s i d a d
El esfuerzo cortante será
F dF lim A0 A dA
En un intervalo de tiempo Δt , el elemento se deforma tal como se muestra en la figura. La rapidez de deformación está dada por d t 0 t dt
rapidez de deformación lim
La distancia Δl entre los puntos M y M’ es
l vt
Para ángulos pequeños la distancia Δl puede expresarse
l y
Igualando las ecuaciones, resulta v t y
v t y
Si el fluido es newtoniano, el esfuerzo cortante es proporcional a la rapidez de deformación,
d dt
dv dy
Ejemplo • Un bloque de 1000 N de peso y 200 mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0,005 mm. Si se utiliza un perfil lineal velocidades en el aceite. Determine la velocidad terminal de bloque. Considere que la viscosidad del aceite es 0,07 N/m2..
Ejemplo • Un cilindro de 149,5 mm de diámetro y 150 mm de longitud cae por su propio peso con una velocidad constante de 46 mm/s, dentro de un tubo vertical lubricado de 150 mm de diámetro interno. La holgura que se supone, está llena de aceite. Suponiendo que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. Determine la viscosidad del aceite.
NÚMERO DE REYNOLDS.
Existe una velocidad crítica, después de la cual el fluido deja de comportarse en forma laminar.
Entonces se observa que sólo las líneas de flujo muy cercanas a las paredes, que forman una capa denominada capa límite, conservan las propiedades del flujo laminar,
Más allá de la capa límite el movimiento es muy irregular, cesa el sentido de líneas separadas nítidamente.
En el interior del fluido se originan corrientes circulares aleatorias locales, denominadas vórtices, que dan lugar a un gran aumento de la resistencia al movimiento.
Un flujo así se denomina turbulento.
NÚMERO DE REYNOLDS.
Existe un parámetro asociado a la turbulencia, denominado Número de Reynolds, que matemáticamente está expresado mediante la ecuación
N R
2r v
Donde v es la velocidad del fluido, ρ es su densidad, η es su coeficiente de viscosidad cinético, r es una longitud asociada al flujo como por ejemplo el radio del tubo, cuando el flujo es en un tubo
Si NR < 2000 (flujo laminar) y NR > 3000 (flujo turbulento
Si
MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS.
Dada la naturaleza de los efectos de la viscosidad, resulta evidente que la velocidad de un fluido viscoso que pasa a través de un tubo no es la misma en todos los puntos de una sección transversal, Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre las capa más externas del fluido, que a su vez actúa sobre la capa más inmediata y así sucesivamente. Como consecuencia de esto, la velocidad es máxima en el centro del tubo y disminuye hasta ser nula en las paredes.
Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica
MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS.
Para calcular la velocidad en un fluido viscoso consideremos una porción de tubo de radio R y longitud L.
Considere además que el movimiento del fluido es de izquierda a derecha debido a la diferencia de presiones (p1 – p2 ).
Separemos ahora mentalmente una capa cilíndrica de fluido de radio interno r y espesor dr tal como se muestra
MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. •
En la parte interior de la capa actúa una fuerza de rozamiento
•
•
Por la parte exterior de la capa actúa una fuerza de rozamiento dirigida en sentido contrario a la fuerza f (la fuerza f acelera el movimiento de la capa y la fuerza f 1 lo
La fuerza resultante debido a la viscosidad será
MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS.
Como la velocidad es máxima en el centro del tubo, el valor de , será negativo y la fuerza será positivo. Esta fuerza en estado de régimen estacionario debe ser igual a la fuerza debido a la diferencia de presiones, esto es
Igualando las fuerzas debido a la fricción y las debido a la presión
Integrando en forma indefinida la ecuación anterior, resulta
•
MOVIMIENTO DE FLUIDOS VISCOSOS A TRAVÉS DE TUBOS. •
Debido a que en el centro del • El volumen que sale del tubo es tubo r =0; es nulo, entonces, el valor de C es nulo por lo que la ecuación se escribe • Remplazando la velocidad
•
Integrando nuevamente
• El volumen total que sale es
• Ley de Poiseuille
Ejemplo •
Un recipiente cilíndrico de radio R = 2 cm tiene en su pared lateral un orificio en la cual va montado horizontalmente un tubo capilar de radio interior r = 1 m m y longitud l = 2 cm . Este recipiente contiene aceite de ricino cuya viscosidad dinámica es 12 g/cm.s . Hallar la variación de la velocidad V , con que desciende el nivel del aceite en el recipiente, en función de la altura h de este nivel sobre el tubo capilar. Calcular el valor numérico de esta velocidad cuando h = 26 cm .
LEY DE STOKES • Si un cuerpo esférico se mueve en un fluido experimenta una fuerza dada por
Fv •
v
El coeficiente κ depende de la geometría del objeto móvil. Por ejemplo si el cuerpo que se mueve tiene simetría esférica de radio R, la ley de Stokes establece que
6 R
LEY DE STOKES •
La fuerza resultante será
Fv •
6 R v
Cuando un cuerpo esférico se desplaza a través de un fluido viscoso bajo la acción de una fuerza F como su peso (véase la figura), la aplicación de la segunda ley de Newton nos da
F y m a y W E Fv m a mg m f g 6 R v m a ( m m f ) g 6 R v m a
LEY DE STOKES •
Después de cierto tiempo alcanza una velocidad límite es decir su aceleración es nula
(m m f ) g 6 R vL •
0
Teniendo en cuenta que m = (4R3/3) se tiene
6 R v L
v L
4 g R 3
2 g R 9
2
3
f
f
Ejemplos 1. Una bola emerge con velocidad constante de un líquido cuya densidad es 4 veces mayor que la del material de que está hecha la bola. ¿Cuántas veces es mayor la fuerza de rozamiento que actúa sobre la bola que emerge que el propio peso de éste?.
2. Una bolita de acero de 1 mm de diámetro cae con la velocidad constante de 0,185 cm/s en un gran recipiente lleno de aceite de Ricino. Hallar la viscosidad dinámica del aceite de Ricino.
Ejemplos En un depósito de 1 m de profundidad lleno de glicerina se echa una mezcla de perdigones de plomo entre los cuales unos tienen 3 mm de diámetro y otros 1 mm. ¿Cuánto tiempo más tarde llegarán al fondo los perdigones más pequeños que los de diámetro mayor?. La viscosidad dinámica de la glicerina a la temperatura que se hace el experimento es igual a 14,7 g/cm.s.
