Hidrodinámica Se estudian fenómenos con fluidos en movimiento
Ideas previas Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen con las siguientes si guientes características: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí.
Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.
Ideas previas Los fluidos que se considerarán son líquidos que cumplen con las siguientes si guientes características: Fluidos incompresibles: de densidad constante. Fluidos con flujo estable o estacionario: cuya velocidad y presión no dependen del tiempo. Flujos laminares: no turbulentos, las líneas de flujo no se cruzan entre sí.
Flujos irotacionales: sus líneas de flujo no se cierran sobre sí mismas. Flujos no viscosos: no hay resistencia al movimiento entre capas contiguas de fluido. Si no son viscosos se podrá hablar de conservación de la energía, ya que no habrá disipación de energía por efecto de roce.
Ecuación de continuidad Supongamos un fluido, de densidad ρ, que se mueve por un tubo con distintas secciones. La cantidad de fluido que entra por la sección 1, de Por la sección 1 ingresa una cantidad Δm1 de fluido, con área A1, es igual a la que volumen ΔV1, con velocidad v1 y recorre una distancia sale por la sección 2, de Δx1 en un tiempo Δt. área A2, en todo momento. En el mismo tiempo Δt, por la sección 2 sale una cantidad Δm2 de fluido, con volumen ΔV2, a una v1 velocidad v2 recorriendo una distancia Δx2. Δm2
A1
1
Δm1 = Δm2
v2
ρ ΔV1 = ρ ΔV2
2 A2
Δm1
ρA1 Δx1 = ρA2 Δx2 ρA1v1 Δt
= ρA2v2 Δt
Δx2 Δx1
Movimiento del fluido
A1v1 = A2v2
TASA DE FLUJO DE UN FLUIDO La cantidad de fluido que pasa por un sistema por unidad de tiempo puede expresarse por medio de tres términos distintos: El flujo volumétrico : es el volumen de fluido que circula en una sección por unidad de tiempo. El flujo en peso : Es el peso del fluido que circula en una sección por unidad de tiempo . El flujo masivo : Es la ,masa del fluido que circula en una sección por unidad de tiempo
Símbolo
Nombre
Definición
Q
Flujo Volumétrico
Q Av
W
Flujo en peso
W
Q
W
Av
Flujo masico
M
Q
M
M
Av
Unidades del SI
Unidades del sistema USA
m3 / s
pie3 / s
N / s
lb / s
Kg / s
slugs / s
A medida que un fluido se desplaza a través de un tubo de sección transversal y elevación variables, la presión cambia a lo largo del tubo. En 1738 el físico Daniel Bernoulli (1700 –1782) dedujo una expresión fundamental que correlaciona la presión con la rapidez del fluido y la elevación.
A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizada hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema.
Ecuación de Bernoulli •
Considere un sistema como el siguiente
W K U En el tramo 1, la fuerza que empuja al fluido se determina como:
•
F 1 P 1 A1 •
En el tramo 2, la fuerza de resistencia se determina como:
F 2
P 2 A2
W K U Por tanto el trabajo realizado en el tramo 1 es:
•
W 1 F d F 1 x1 P 1 A1 x1 •
W 2
El trabajo realizado en 2 se calcula como:
F d F 2 x2 P 2 A2 x2
El signo menos (-) es porque la fuerza tiene dirección
W K U Volumen (V)
•
Es decir, el trabajo total es:
W P 1 A1 x1 P 2 A2 x2 W P 1 V P 2 V
W K U
W P 1 V P 2 V W ( P 1 P 2 ) V
W K U Parte de este trabajo se utiliza para cambiar la energía cinética y potencial del fluido. • Si la masa m es la que entra por un extremo y sale por el otro en un tiempo t, entonces el cambio de energía cinética es •
K
1 2
2 2
mv
1 2
2 1
mv
W K U •
El cambio de energía potencial es U
mgy2 mgy1
W K U Por tanto, juntando estas tres ecuaciones
W P 1 V P 2 V K
1 2
U
2 2
mv
1 2
2 1
mv
mgy2 mgy1
W K U ( P 1 P 2 ) V
1 2
2 2
mv
1 2
2 1
mv
mgy2 mgy1
Pero, m=ρ·V, entonces
( P 1 P 2 ) V
1 2
2 2
Vv
1 2
2 1
Vv Vgy2 Vgy1
•
Dividiendo la ecuación por V y ordenando los valores se obtiene: ( P 1 P 2 ) P 1
1 2
2 1
1 2
2 2
v
1 2
2 1
v gy2 gy1
v gy1 P 2
1 2
2 2
v gy2
•
Por lo tanto, tenemos la ECUACIÓN DE BERNOULLI P 1
1 2
2 1
v gy1 P 2
1 2
2 2
v gy2
O sea
P
1 2
2
v gy
Constante
La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.
Tubo de Venturi De acuerdo a la ecuación de continuidad A1v1 = A2v2, entonces v2 = A1v1/A2 Por otro lado, de acuerdo a la ecuación de Bernoullí, en el efecto Venturi, se tiene: P1 – P2 = ½ρ(v22 – v12) Reemplazando v2 Es un tubo donde hay un angostamiento. Esto se aprecia en la figura, donde en un sector hay una sección de área A1 y en otro tiene una sección reducida a A2. En el sector más grande la velocidad del fluido es v1 y en el más pequeño la velocidad aumenta a v
P1 – P2 = ½ρ(A12v12/A22 – v12) Si se despeja v1, se tendrá: v1
2P1 P2
A12 2 1 A 2
Efecto Venturi Entonces: P1
v1
P2
P1 – P2 = ½ρ(v22 – v12)
v2
Si v1 > v2, entonces P1 – P2 < 0 Y ello ocurre solo si P2 > P1 Por lo tanto, se puede afirmar que donde la velocidad es mayor la presión es menor, o también, que donde la velocidad es menor la presión es mayor.
Supongamos que un estanque con agua tiene un orificio pequeño en la parte inferior.
El agua cae lentamente, por lo tanto se puede considerar v1 = 0 m/s
Según la información de la figura que se muestra: ¿con qué velocidad sale el chorro de agua en el orificio?
También se tiene que P1 = P2 = P0 Si aplicamos la ecuación de Bernoulli:
P1 + ½ρv12 + ρgh1 = P2 + ½ρv22 + ρgh2
P1
Se tendrá: ρgh1 =
v1 h1
v2 h2
P2
½ρv22 + ρgh2
Y, despejando v2, se obtiene que:
v2 2 g (h1 h2 )
u1
2 gH
La velocidad con la que sale un liquido por el orificio de un recipiente, es igual a la velocidad que adquirirá un cuerpo que se deja caer desde la superficie libre del liquido hasta el nivel del orificio Esquema de un dispositivo experimental
Área del Orificio
2
4 Dch
2
Área del chorro contraído
Ach
Velocidad real
Vr X (
Velocidad teórica
Vt (2 gh)1/ 2
Caudal real Caudal teórico Coeficiente de descarga
Vena contracta, esquema de las características de un flujo de un fluido al salir por un orificio.
A0
D0
4 g 2Y
)1/ 2
Qr / t Qt A0 (2 gh)1/ 2 C D
Qr / Qt
Coeficiente de velocidad
CV
Vr / Vt
Coeficiente de contracción
Cc
Ach / A0
Algunas explicaciones a partir del efecto Venturi En una carretera, si dos vehículos pasan cerca, en el espacio entre ellos el aire se mueve a gran velocidad respecto a los vehículos, por lo tanto en esa zona disminuye la presión del aire y con ello se justifica que los vehículos se atraen entre sí. Esto es más manifiesto si uno de los vehículos es mucho más pequeño que el otro.
Se tiene P > Pinterior por lo tanto el vehículo más pequeño es atraído hacia el más grande.
Pinterior
F Velocidad del aire
VELOCIDAD DEL AIRE
SUSTENTACION
PESO
Discusión ¿Dónde es más grande la presión, en A o en B? A B
¿Por qué se levanta el techo con un viento fuerte?
¿Por qué sale líquido por la boquilla al apretar la perilla?
¿Hacia donde es empujada la pelota, hacia arriba o hacia abajo?
Ejemplo •
•
Considere el siguiente sistema
Si la velocidad del fluido en 1 es de 1 m/s y la velocidad en 2 es de 3 m/s ¿En qué lugar la presión es mayor?¿En 1 o 2?
