CENTRO PSICOPEDAGÓGICO “LA PAZ”. ZACATECOLUCA DEPTO. DE LA PAZ SEGUNDO AÑO DE BACHILLERATO GENERAL.
Contenido: Hidrodinámica. Caudal. Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli Hasta ahora, nuestro estudio de los fluidos se ha restringido a condiciones de reposo, que son considerablemente más sencillas que el estudio de fluidos en movimiento. Las dificultades matemáticas a las que hay que enfrentarse cuando se intenta describir el movimiento de un fluido son formidables. La tarea se facilitará si establecemos ciertas suposiciones. Ante todo, consideraremos que todos los fluidos en movimiento muestran una corriente laminar o flujo o flujo aerodinámico. aerodinámico.
se dice que un flujo es laminar , cuando cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas. De esta manera, las partículas forman capas o láminas y se mueven sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas. Por otra parte, cuando el fluido se mueve con una rapidez superior a cierta rapidez crítica, el flujo se vuelve turbulento. Este tipo de flujo se caracteriza por ser irregular debido a la presencia de remolinos, como ocurre en las zonas en que los ríos se encuentran con obstáculos.
Flujo turbulento de vapor de agua condensado (el vapor de agua es invisible) En la imagen se puede visualizar la ormación de remolinos o vórtices
Para caracterizar la fricción interna de un fluido cualquiera se usa un parámetro conocido como viscosidad. Cuando un fluido es más viscoso, entonces hay mayor fricción entre sus capas, lo que dificulta su movimiento , de manera análoga a la acción de la fuerza de roce por deslizamiento entre dos superficies. Puedes ir a observar sobre una lámina de vidrio colocándolo en forma inclinada y derrama sobre ésta: miel, aceite y agua y observarás que no fluyen o se mueven de igual manera debido a la fricción.
Para hacer el estudio se hará hace uso de un modelo simplificado para estudiar la dinámica de los fluidos, f luidos, consideraremos las siguientes propiedades de un fluido ideal; lo cual permite aproximarnos a los casos reales
• Fluido no viscoso. Es decir, despreciaremos los efectos de la viscosidad . Según esta
suposición, las láminas constituyentes del fluido no interactúan entre sí, y tampoco interactúan con las paredes del conducto en el que fluyen. • Fluido incompresible. En general, los fluidos pueden ser compresibles. El aire encerrado en una jeringa, por ejemplo, es un gas evidentemente compresible. Sin embargo, en esta sección solo consideramos fluidos homogéneos incompresibles, cuya densidad es constante, independientemente de la presión. Este es el caso de cualquier líquido a temperatura constante que se mueve en un conducto, y también el de algunos gases. • Flujo laminar. Es decir, cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas. En el que capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente una sobre otra, y el flujo es estable. (Una lámina es una hoja delgada.) • Flujo irrotacional. Es decir, en el fluido no se producen remolinos o vórtices. Es decir, ninguna partícula de fluido tiene velocidad angular ( = 0 ) Flujo Estable o estacionario. En un flujo estable, cada elemento que pasa por un punto dado sigue la misma línea de flujo. En este caso, el “mapa” de las velocidades del fluido en distintos puntos del espacio permanece constante, aunque la velocidad de una partícula específica pueda cambiar tanto en magnitud como en dirección durante su movimiento El trayecto de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo.
¿Qué es la tasa de flujo volumétrico o caudal? Tal vez hayas escuchado el término tasa de flujo volumétrico y pienses que suena aburrido, pero la tasa de flujo volumétrico te mantiene con vida. Te diré cómo en un segundo, pero primero debemos definir qué es la tasa de flujo volumétrico. Definimos la tasa de flujo volumétrico Q de un fluido como el volumen de fluido que pasa a través de una sección transversal dada por unidad de tiempo. El término sección transversal es solo
una forma elegante de describir el área a través de la que algo fluye, por ejemplo, el área circular dentro de la recta punteada en el diagrama que se muestra a continuación. Como la tasa de flujo volumétrico mide la cantidad de volumen que pasa a través de un área en un tiempo dado, su ecuación se ve así: En unidades del SI (Sistema Internacional de Unidades), la tasa de flujo volumétrico tiene unidades de metros cúbicos por segundo, pues te dice el número de metros cúbicos de fluido que fluyen cada segundo. Entonces ¿cómo es que la tasa de flujo volumétrico te mantiene vivo? Tu corazón bombea un volumen de sangre más o menos igual al volumen de una lata de refresco cada cuatro segundos. El corazón promedio de un humano en reposo bombea aproximadamente 330 mL de sangre cada 4 segundos, por lo que podemos encontrar la tasa de flujo volumétrico con
Podemos convertir esta cantidad a las unidades convencionales del SI, metros cúbicos por segundo, al transformar los litros en metros cúbicos de la siguiente manera:
Cuando expresamos esta tasa de flujo volumétrico en metros cúbicos por segundo, parece ser muy pequeña, pero eso solo es porque un metro cúbico es un volumen enorme. Un
metro cúbico es el volumen encerrado por un cubo de dimensiones 1 m x 1 m x 1 m, que equivale al volumen de 2850 latas de refresco.
¿Existe otra fórmula para la tasa de flujo volumétrico?
Resulta que hay una alternativa útil para escribir la tasa de flujo volumétrico que no sea como =
Podemos escribir el volumen de una porción de fluido en una tubería como V=Ad ,donde A es la sección transversal del fluido y d es el ancho de la porción de fluido, como se muestra en el diagrama a continuación. Podemos sustituir esta fórmula en vez del volumen en la expresión para la tasa de flujo volumétrico y obtener: Q= A v
En esta ecuación, A es el área de la sección transversal de la tubería y v es la velocidad del fluido en esta parte. Así, obtuvimos una nueva fórmula para la tasa de flujo volumétrico Q=Av, que a menudo es más útil que la definición original, pues el área A es fácil de determinar. La mayoría de las tuberías son cilíndricas —lo que significa que podemos determinar el área con A= 2 — y la velocidad v del fluido es una cantidad de interés práctico en la mayoría de las situaciones. Ejercicios
1. A través de un tubo de 8.0 cm de diámetro fluye aceite a una rapidez promedio de 4.0 m/s. ¿Cuál es el flujo Q en
y
ℎ
? R. 0.020
; 72
ℎ
2. De manera experimental se encuentra que por un tubo cuyo diámetro interno es de 7.0 mm salen exactamente 250 mL de flujos de fluido en un tiempo de 41 s. ¿Cuál es la rapidez promedio del fluido en el tubo? R. 0. 16 m/s 3. A través de un tubo de 4.0 cm d.i. (diámetro interior) fluye aceite a una rapidez promedio de 2.5 m/s. Encuentre el flujo en Resp. 3.1
− × 10
; 3.1
× 10
y en
¿Qué es la ecuación de continuidad?
Los líquidos deben mantener su volumen conforme fluyen en una tubería, pues son prácticamente incompresibles. Esto significa que el volumen de líquido que entra en una tubería en una cantidad dada de tiempo debe ser igual al volumen de líquido que sale de la tubería en esa misma cantidad de tiempo. Por ejemplo, si en una hora bombeas 2 en una tubería llena de agua, deben salir 2 de la tubería durante esa misma hora. Si no, las únicas alternativas serían que el líquido se comprima dentro de la tubería (lo cual no debe ocurrir) o que la tubería se hinche (que suponemos que no ocurre si esta es rígida). Recuerda, no estás confinado a considerar puntos solo al principio o al final de la tubería; este argumento funciona igual de bien para agua que entra y sale de cualesquiera dos secciones de la tubería. Entonces, la tasa de flujo volumétrico Q para un fluido incompresible en cualquier punto en una tubería es la misma que la tasa de flujo volumétrico en cualquier otro punto de la tubería.
Podemos representar matemáticamente este hecho con la fórmula Q=constante o, si escogemos cualesquiera dos puntos en la tubería, podemos decir matemáticamente que la tasa de flujo volumétrico es la misma en estos dos puntos al escribir la igualdad
Esta ecuación es muy útil, particularmente en esta forma, ya que establece que l a cantidad Av, v tiene un valor constante a través de la tubería. En otras palabras, no importa en dónde en la tubería escojas determinar Av, v, si el fluido es incompresible, el valor siempre resultará ser el mismo número para una tubería dada. Así, si el área A de una sección de tubería disminuye, la velocidad v del líquido en esa región debe aumentar, de tal forma que el producto Av, v permanezca constante. Esto significa que los fluidos aceleran cuando alcanzan una región más agosta de tubería y frenan cuando alcanzan una sección más amplia de tubería. Esto corresponde con la
experiencia cotidiana. Piensa acerca de lo que ocurre si bloqueas una porción de la salida de una manguera con tu pulgar, reduciendo efectivamente su área A. El agua debe salir con mayor velocidad, v, para garantizar que la tasa de flujo volumétrico, Av permanezca constante. Esta es la razón por la que una boquilla angosta, que reduce el área (A), conectada a una manguera causa un incremento significativo en la velocidad v del fluido en ese punto.
Ejemplo 1: la casa de ensueño de refresco
Una mujer muy rica que adora el refresco construye su casa con una tubería cilíndrica que transporta refresco desde la parte inferior de la casa hasta su dormitorio en la parte superior. El refresco entra a la casa por una tubería con una sección transversal de área 0.0036 2 donde viaja con una velocidad de 0.48 metros por segundo. En el dormitorio de la mujer, el grifo por donde sale el refresco tiene un área de 0.0012 2 ¿Cuál es la velocidad del refresco conforme sale del grifo en el dormitorio de la señora?
R. 1.44 m/s nota: también podemos resolver este problema al observar que el área 2 de la tubería
en el dormitorio es del área de la tubería en la parte inferior de la casa, Esto significa
que para que el factor Av, permanezca constante, el refresco debe ir tres veces más rápido en la tubería del dormitorio comparado con la tubería de abajo Ejemplo 2: panquecitos de leche de coco
Un chef quiere asegurarse de siempre tener leche de coco disponible para todas sus recetas de panquecitos, por lo que crea una tubería cilíndrica que va del almacén a la cocina. La tubería en el almacén tiene un radio de 4 cm, donde la leche viaja con una velocidad de 0.25 metros por segundo. La leche de coco sale de la tubería de la cocina con una velocidad de 1 metro por segundo. ¿Cuál es el radio del tubo de la cocina a través del cual sale la leche de coco?
R/ r = 2 cm o 0.02 m
EJERCICIOS APLICATIVOS
Ejercicio 1: Por un tubo ubicado en forma horizontal circula agua con un caudal de . Inicialmente la superficie del tubo es y la sección va disminuyendo hasta alcanzar un área de 1m^2. La densidad del agua es
a) Cuál es la velocidad del agua al ingresar al tubo. b) Cuál es la diferencia de presión entre las dos secciones. c) En qué sección del tubo es mayor la presión. Inicialmente debemos elaborar un dibujo que nos permita identificar qué nos plantea el problema. a) Recordemos que
Despejando b) Ahora hallaremos la velocidad de salida, necesaria para encontrar la diferencia de presiones: Nota: Una diferencia, como ya sabemos es una resta, por tanto cuando me piden diferencia de presiones, solicitan que halle
Como el tubo está en posición horizontal
1Pa=1 c) La presión a la entrada es mayor que a la salida porque a la entrada la velocidad es menor (La sección a la entrada es mas grande ), y como la velocidad es menor, la presión será mayor. Para deducir esto apliqué el principio de mayor velocidad, menor presión de la lección 9. Ejercicio 2: Un líquido de densidad 1,2 g/cm3 ó 1,2 X 103 kg/m3 fluye como muestra la figura:
Calcular: (a) La velocidad de salida del líquido. (b) La cantidad de líquido que sale por segundo (c) La velocidad del líquido en la sección 3. (d) La presión en la sección 3. (e) La diferencia de altura entre las columnas de mercurio del tubo en U.
Solución: a) Velocidad de salida del líquido : Planteemos la ecuación de Bernoulli entre las secciones (1) y (2): p
Se tiene que el término es 0.
en la sección 2 es 0 porque la altura h en tubos horizontales
Ahora tenemos que presión atmosférica, ya que inicialmente está en reposo y empieza a salir a una velocidad mínima que odemos tomarla como despreciable y la densidad es la misma, entonces podemos eliminarlos de la ecuación:
. b) La cantidad de líquido que sale por segundo es
La superficie o área de un círculo (forma de la boca del tubo) es , y el diámetro del tubo en la sección 2, que es el de salida es 8 cm r=D/2 por tanto r=4 cm=0.04 m:
c) Velocidad del líquido en la sección 3 : Por la ecuación de continuidad, tenemos:
d)La presión en la sección 3: Planteemos la ecuación de Bernoulli entre las secciones (2) y
(3):
Organizando términos y factorizando términos semejantes obtenemos:
Como realizamos la diferencia de presiones tenemos la presión manométrica. Como nos piden la presión en 3 (presión absoluta), recordemos que Cada uno de los estudiantes deben calcular ésta presión en 3.
.
e) Diferencia de altura entre las columnas de mercurio:
Observando la gráfica podemos deducir que Las secciones que afectan la entrada y salida del tubo de mercurio (Hg) son 3) y 2). Recordando que los términos en ambos lados de la igualdad en la ecuación de bernoulli deben ser constantes (lección 9) tenemos:
El valor
lo hallamos en el punto anterior, y el valor de la gravedad se toma
negativo y lo aproximamos a
:
PREGUNTA: Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante.
Considerando dos secciones de esa cañería; S1 = y S2 = será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s?
, ¿cuál
