C apít ul ulo o
HABILIDAD OPERATIVA INT INTRODUCCIÓN RODUC CIÓN Tri lcito se le pid A ln iñ o Tri pid e qu q u e o b tenga en ga com
o respuest espu esta 6 en cada cad a fila, u tilizand o cual cua lqu ier oper op eraci ació n m atem áti ática co no cid a
¿C ó m o reso lvió vió el n iñ o trilcito el sigu ien te d esaf esa fio ?
1
1
1
2 3 3 4 4
3
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
9
2
2 4
6 6 6
Respuesta Respue sta : ...... ........ ...... C o m o us u sted n otar otará á el niño Trilcito tien e qu q u e ut u tilizar sus hab h ab ilid ad es aritm éti éticas ca s co co n u n ra zon am ient en to q u e le perm p erm ita reso lver ve r el desaf de safi io. E n con secuen cia el capí cap ítu lo q ue d esarr esarro llam o s aho ra, titu lad o com o "H abilidad Operativa " con co n siste en e n d esar esa rrolla r p ro b lem as aritm éticos, co s, algeb ráicos, co s, geo m étricos, co s, q u e ap a p arent aren tem ent en te son o p erativo s; pero con co n in gen io y hab h ab ilid ad en las o peracio nes, se po d rá resol resolver d e m aner an era a m ás si sim ple y m eno s oper op erat ativa. A cont co nti inu ació n d esarr esarro llam o s algun gu n o s pro pro blem as par pa ra q ue usted tenga en ga la id ea m ás clara de d e lo qu e trata el e l tem a. 01. Se sabe sabe que :
R O M C H IP 9999999 R O M C H IE 8765432 C alcul cu lar :
S
C H I P E R O M E
Resolución : P ara reso resol lver ve r éste pr p ro b lem a o b serven ve n lo sigui gu ient en te :
1 8
9
S um u m an 9
1 17
99
S u m an 9
1 48 6
99 9
S u m an 9
33
R az. M atemático
A plicand o en el problem a : R O M C H IP 9999999 = R O M C H IE 8 7 6 5 4 3 2
Sum an 9 Se d educe : R = 1 ; O = 2 ; M = 3 ; C = 4 ; H = 5 ; I= 6 ; E = 7 Luego, reem plazand o tenem os :
1 1 2 3 4 5 6 P 9 9 99 9 9 9 = 1 2 3 45 6 7 87 6 5 43 2
+ 1 E nton ces : P = 8 Piden :
S
C H I P E 4 5 6 8 7 R O M E 123 7
S 30 2 4 13
13
02. H allar la sum a de las cifras del resultad o de la siguiente serie :
988 9988 99988 ... 88 ... 98 sum andos
Resolución : A com od am os con venientem ente a los sum and os y luego a cada uno le sum am os 12, para hacer m ás fácil la sum a.
1º 2º 3º 4º 98º 9
8 8
(12 ) (12 ) (12 )
9 8 8 9 9 8 8
1 0 0 0 1 0 0 0 0
(12 )
9 9 9 8 8
9 9
1 0 0
9 9 8 8
1 0 0 0 0 0
(12 ) 1 0 0
0 0 0 0
1 1 1
1 1 0 0
N otam os que cada sum ando aum enta en una cifra, eso quiere decir que la sum a final ten drá 100 cifras
A la sum a final le restam os la cantidad de doce (12 ) qu e hem os sum ad o, para así hallar la sum a verdad era : 10 0 cifras
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0 7
0 6
(98 12)
1 0 9 9
2
4
Sum a real
10 0 cifras
Sum a d e cifras : 9 5(1) + 0 + 9 + 9 + 2 + 4 = 1 19 03. Se sabe que : 2 2 95 9995 ... .....TR ILC E 99 5 2 95 sum andos
C alcular : T R + I L + C E
34
Resolución : O bserven lo siguiente :
2
2
95 = 9 5 = 90 25
10 995
2
C on secutivo del9
2
= 99 5 = 9900 25
100 2
C onsecutivo del 99
2
9995 = 999 5 = 999000 25
10 00
C on secutivo del999
A pliqu em os esto en el problem a : 9 5
2
=
9 9 5
2
=
9 9 0 0 2 5
9 9 9 5
2
=
9 9 9 0 0 0 2 5
9 9 9 9 5
2
=
9 9 9 9 0 0 0 0 2 5
9 9 9 9 9 52
=
9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 2 5
2
=
9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 2 5
9 9 9 9 9 9 5
9 0 2 5
95 sum andos
T R I L C E
Sum ando c/u d e las 6 últim as colum nas se obtiene :
* 95(5) =
Piden :
475
E * 95(2) + 47 =
R I L C 9 0 1 3 7 T
237
C * 95(0) + 23 =
23
10
=
5
1
L * 9 + 94(0) + 2
E
9
11
I * 9 + 93(0) + 1
=
10
R * 9 + 9 + 92(0) + 1
=
19
T 0 4 . S i: a + b + c = 0 C alcular :
N
a bc
b ac
c ab
Resolución : De la condición se despeja : * b + c= a * a + c= b * a+ b= c Reemplazando :
35
R az. M atemático
N N
a bc a
a
b ac
c ab
b c b c
N 1 1 1 3 05 . D edu zca elvalor de x, sabiend o x 1 y adem ás : x 1 3
3
2
x 1
Resolución : H acem os un cam bio d e variable : x 1 a
a 3 2 3 a
a2 9 2 3a
a 2 9 6a a 2 6a 9 0 (a 3 )2 0
a 3 0 a= 3
Luego : x 1 3 x 1 9 x 10
x 10 0
06. Si:
x y x y 12 y ; y 0
A dem ás : M
x
y x y
Resolución :
D ato : 12 y
x y x y x
Piden :
x
M
y x y
12 y (M ) x y x y x y x y diferencia de cuadrados
36
12 y (M ) x 12 y (M ) x
2
y x
y x
2
y
y
12 y (M ) 2 y
M 1 6
07. ¿En qué cifra term ina el resultad o de la siguiente expresión? S (43 44 42 43 ) 675 42 46 41 51 40
Resolución : Para resolver éste p roblem a debem os tener en cuenta lo siguiente : n 1º (N º im par) N º im par n 2º (N º par) N º par
3º ....5 4 º ....6 5 º ....1
n n n
....5
n 1
N úm eros ....6 C íclicos
....1
A plicand o en el problem a : S (43
44
42 43 ) 675 42 46 41 51 40
Im par
Par
S (Im par Par) .....5 .....6 .....1 S (Im par) .....5 .....7 S .....5 .....7
S .....8 08. ¿En qué cifra term ina el resultad o de la siguiente expresión? TR ILC E
A (22222 )(44444 )
Resolución : Para resolver este problem a hay que tener en cuenta lo siguiente : 1
2 2 2
2
3
24
2 4
8 16
2
5
2
6
2
7
28
32
2
9
10
64
2
128 256
2
11
212
512 1024 2048 4096
o 4
de esto se deduce que : 2 .......6 E n el problem a :
TR ILC E
A 2222 2
(44444)
o
4 o 4
A .....2
A ........6 09. C alcule el valor de la siguiente expresión : A 0 ,27 3 0 ,81 0,73 2 0,73 3 2,19 0 ,27 2
Resolución : O rden and o la expresión tenem os :
37
R az. M atemático
3 2 2 3 A 0,27 2,19 0,27 0,81 0 ,73 0,73
A (0 ,27 )3 3(0,27 )2 (0,73 ) 3(0,27 )(0,73 )2 (0,73 )3 Sab em os : a 3 3 a 2 b 3 ab 2 b 3 (a b )3
A (0 ,27 0,73 )3 A (1,00 )3
A 13 1 10 . C alcular : E 3 99 100 101 10
3
9 10 11 10
Resolución : Trabajando por partes : 3 3
9 10 11 10
(10 1)(10 )(10 1) 10
D iferencia de cuadrados 3
3
(10 2 1)(10 ) 10
(10 3 10 ) 10 10
R eem plazand o en la expresión : E 3 9 100 101 10 10 E 3 (100 1)(100 )(100 1) 100
D iferencia de cuadrados E 3 (10 0 2 1)(10 0) 10 0
E 3 (100 3 100 ) 100 100
38
EJERCICIOS PROPUESTOS 0 1 . S i:
07. ¿En qu é cifra term ina el resultad o de : 4 44 444 ... ...P E R U
E (23 7 12 5 ) 115 2 26 3 31 6 ?
24 sum andos
H allar : P + E + R + U a) 10 d) 15
a) 7 d) 10
b) 18 e) 17
b) 8 e) 11
c) 16 08. C alcule la sum a de cifras del resultad o : 2 2 111 E 111 .. .1113 ...1111
02. H allar : S + U + K + Y,si:
9
9
9
9
9
9
9
9
50 cifras
9
9
c) 9
21 sum andos
a) 204 d) 208
b) 216 e) 312
50 cifras
c) 212
09 . C alcular :
a) 17 d) 16
9
9
9
9
R 75 2 999999
S
U
K
Y
Y dar com o respuesta la sum a d e las cifras delresultad o.
c) 19
a) 52 d) 62
b) 18 e) 20
03 . C alcular (a + b), si sabe que : 2
3
b) 54 e) 56
10. R educir : E 8 4 6 26 626 1
4
a 5 b 5 a 5 b 5 ... ...ab a 67 sum andos
a) 2 d) 7
b) 4 e) 9
a) 5 d) 125
b) 10 e) 625
c) 25
c) 5 11. H allar el valor de :
R 4
04 . C alcular :
C A M PE O N Se sabe qu e :
C A M P E O N 9999999 ...4321568 a) 683 d) 694
c) 60
b) 681 e) 656
c) 692
a)
3 4
b) 1
d)
5 6
e) 2
4 6 26 1 5 7 37 1
c)
1 4
12. R educir : 05. C alcular el prod ucto d e las cifras d el resultad o de efectuar : E
a) 3 d) 2
37 3737 373737 ...(159 sum andos) 53 5353 535353
b) 5 e) 1
c) 4
J 1 a) 51 d)
49 2
1 1 1 1 1 1 ......1 2 3 4 50
b) 25 e)
c) 28,5
51 2
13. C alcular : a + b + b 0 6 . S i:
Si: abb 999 ......378 a) 7 b) 8 d) 10 e) 11
R C H I 492 C H I M 615 C alcular :
c) 9
1 4 . S i:
0 ,R O M C ,H I ; 0 = cero (D ar com o respu esta la sum a d e las cifras de la parte decim al).
H allar las 3 ú ltim as cifras de N 15 6
a) 25 d) 27
a) 188 d) 178
b) 28 e) 29
c) 26
N 37 5 ...62 5 N 42 7 ...02 1
b) 243 e) 125
c) 172
39
R az. M atemático
2 2 . S i:
1 5 . S i:
3 35 35 3 3535 ... ...A V A
1 12 123 ... ...abc 90 1234
2 0 sum andos
9 sum andos
H allar :
H allar : a + b + c
A + V + A a) 12 d) 8
b) 5 e) 16
c) 17
a) 5 d) 8
16. ¿C uál es la últim a cifra d el producto? 3
3
3
3
b) 3 e) 9
2 3 . S i: 3
S (1 1)(2 1)(3 1)(4 1)...(20 1)
a) 0 d) 3
b) 1 e) 6
a) 25 d) 81
8 2 28 sum andos 8 2
2
8
2
8
2
N
E
N
a) 18 d) 19
A
b) 17 e) 15
c) 1 6
18 . U sand o exclusivam ente "4 cifras 4" (4444) qué nú m ero es im posible form ar,usar sólo las 4 operaciones básicas. a) 15 d) 16
b) 11 e) 17
2
2 2 2 2 (15 25 35 ... 95 ) ...ab
C alcular : b a
c) 2
17. H allar: N + E + N + A en :
2
C ( 11 1.. .1) H ( 22 2... 2) 15 cifras
21.
d) 0
e) x 2
a) 225 d) 125
b) 255 e) 120
2
c) 155
25. Ind icar en qu é cifra term ina el resultad o de :
A 77 7 98 33 333 99 9 99 b) 2 e) 5
c) 3
Si en total hay 222 sum and os
c) 96
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
2 7. H allar : L + U + C + H + O Si:
c) 1
4 4
6
4
6
4
4
6
4
6
4 6
4
6
4
6 4
6
4
6
L U
C
H
O
Si: 2
6 0 cifras
40 4040 404040 40404040 ... 37 3737 373737 37373737
20. ¿C uál es el resultado de la expresión? E = (x a) (x b) (x c) ... (x z) x b) x
I ( 33 3... 3)
3 0 cifras
C alcular la sum a d e las cifras del resultado de : (C + H + I)
Si: 1a 2a 3a ... 9 a bc1
a) x
c) 86
26 . E fectúe la op eración y dé com o respuesta la sum a de cifras del resultado :
(a b c) sum andos
b) 153 e) 110
b) 49 e) 32
24. Se sabe que :
a) 1 d) 4
c) 5
19 . H allar : a a a ... a
a) 315 d) 536
c) 10
2
2
2
15 25 45 5 35 ... ...m a 4 1 sum andos
H allar : m + a+ m + a a) 12 d) 10
40
b) 7 e) 14
c) 15 a) 18 d) 16
b) 19 e) 22
c) 20
80 sum andos
28. C alcular la sum a d e las cifras del resultad o de :
E
a) 4 d) 10
1 30 35 40 45 62 5 25
b) 5 e) 8
36 . S 4 3 5 17 257 65537 1 a) 256 d) 128
b) 512 e) 1024
c) 64
c) 6 3 7 . S i:
29. C alcular la sum a d e cifras del resultad o de : M (888889 )2 (111112 )2
1
2
3
4
5
6
11 1 11 5 11 6 21 1 21 5 21 6 ... ....m n 2005 sum andos
H allar : (m n )n m
a) 60 d) 72
b) 80 e) 86
c) 84 a) 175 d) 625
b) 200 e) 5
c) 225
30. Si: (a b c)2 a 25 C alcular : A ba 3 cb2 4 ac acb a) 2093 d) 1090
b) 2000 e) 2320
3 8 . S i: 1 12 123 ... ...abc 68 1234
c) 2088
9 sum andos
C alcular : E (a b c)2 31. C alcular: A + B + C + D Si se sabe :
Y dar com o respuesta la sum a d e las cifras delresultad o.
A B C D 999999 ......992468 a) 13 d) 17
b) 15 e) 10
c) 7
a) 12 d) 14
b) 9 e) 15
39. H allar la sum a de las cifras del resultad o de:
E 243 1001001001 . ... 20 cifras 1
32 . C alcular a + b en : (509 )2 (605 )2 (706 )2 (802 )2 ....ab a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
a) 184 d) 175
b) 178 e) 200
E 999974 999995
(176 )2 (276 )2 (376 )2 (476 )2 ....ab b) 13 e) 4
c) 15
a) 54 d) 55
b) 61 e) 59
5(a b c d ) a b c d b) 96 e) 240
c) 16
3 5 . S i:
6 4 M 5 7 8 C am biar de po sición algun os núm eros de la expresión "M " y determ ina r el m áxim o valor entero d e d icha exp resión. a) 71 d) 61
b) 75 e) 76
c) 58
41. C alcular el valor de "E " y dar com o respu esta la sum a de sus cifras :
34. Si: ....3518 9999 .....abcd C alcular :
a) 48 d) 460
c) 180
40. C alcule la sum a de cifras del resultad o d e :
33 . H allar : a + b
a) 14 d) 10
c) 13
E a) 2 d) 11
425 375 160625 625 625 b) 6 e) 15
c) 7
42. H allar la sum a total de todos los núm eros de 20 cifras cuya sum a d e cifras sea 179 . (D ar com o respuesta la sum a d e sus cifras) a) 169 d) 145
b) 180 e) 165
c) 170
3
43. Si: N ...376 C alcular : "a + b + c" en :
c) 77
N a) 9 d) 15
3
N 6 N 9 ... N 90 ...abc
b) 10 e) 13
c) 12
41
R az. M atemático
44. C alcular : G + I+ N + A
50. R educir : 1
L 1
1 2
1 2 3 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 .... 4 9 16 25
.... 1
88 sum andos
1 10000
1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3
G IN A a) 14 d) 17
b) 15 e) 16
c) 12
a)
10 0 10 1
b)
10 0 2001
d)
10 1 10 0
e)
2001 10 0
(1984)(2016) 25 6 (95 9)(1041) 1681
N (999 ...9992 ) (999 ...998 )
5
(n 3 ) cifras
A
b) 64 e) 1024
10 1 20 0
51. C alcular el valor de "N " y dar com o respuesta la sum a de sus cifras en :
45 . R esolver :
a) 32 d) 256
c)
a) 9n + 18 d)9n - 29
c) 128
b) 9n - 20 e) 9 n + 2 0
(n 3 ) cifras
c) 9n + 27
52. H allar la sum a d e las cifras de la sum a total de : 4 6 . S i:
92 992 9992 2 ...
A B C D E F 999 . ...999 ....634528
92 sum andos
"n " cifras
n 6 C alcular :
a) 101 d) 105
A B C D E F
b) 106 e) 102
c) 103
2
5 3 . S i: 3,4205 10 a 0,000 ...0034205
a) 4 d) 25
b) 9 e) 36
c) 16
(b 2) cifras
C alcular : (5 + 3a)
47 . C alcular :
531438 531444 9 727 731 4
M 12
a) 4 d) 1
b) 3 e) 9
a) 3b + 18 c) 3b + 14 e) 3b + 15
c) 2 5 4 . S i:
m
2
48 . C alcular : (a b a) 2
2
2
99 99 9 ... ...aba 9 b) 144 e) 500
1 22
c) 400
.... 1
a) 98,49 d) 98,50
42
1 2
b)
1 3
d) 2
e)
1 5
a) 3
1 99
2
4
4
1 10 0 2
b) 99,50 e) 100
c) 99,49
5
1 ab
m 2 n 2 ab m 2 n 2 a 2 b 2
12 1 12 12 1 12 12 3
ab
; n
E
49 . C alcule la sum a : 1
1
C alcular el valor de "E ", si:
49 térm ino s
a) 360 d) 420
b) 3b + 10 d) 3 b + 12
c)
1 4
5 5 . S i: m n 32
(abc4 )
...6
a) 900 d) 450
b) 600 e) 990
c) 1800
Adem ás : 2
n ...(x 5 ) ( 99 9...99 )
58 . H allar el valor de "A " 224 226 50626 1
A
n cifras
4
9 5
8
C alcule : x a) 1 d) 3
b) 9 e) 6
a) 1 d) 225
c) 7
b) 2 e) 22
c) 15
5 9 . S i: 5 6 . Ten em o s : 2
N 23 .....92 7
2
a b 11 2
N 25 .....22 5
2
(....) (....) 111 2
H alle las 3 ú ltim as cifras de N 42 y de com o respuesta la sum a d e dichas cifras.
2
(.......) (.......) 1111
a) 10 d) 9 x 2 y 2 11 1..... 11 ; x ,y N 10 0 cifras
H allar la sum a de las cifras del resultad o de x + y a) 12 d) 82
b) 26 e) 100
b) 15 e) 12
60. Sim plificar : E 3
c) 35
57 . H allar el resultado de M y dar com o respuesta la sum a de sus cifras.
c) 13
a) 1 d) 5
(1 1023 1025 ) 9 111
b) 2 e) 7
37 32
4
c) 3
2
M (m m m ....m )
100 veces
Adem ás : m
2 20
2 4 10 82 6562 ... 1
21 factores
43
R az. M atemático
laves Claves
44
01.
b
31.
d
02.
b
32.
c
03.
d
33.
e
04.
a
34.
b
05.
e
35.
c
06.
d
36.
a
07.
b
37.
c
08.
a
38.
b
09.
b
39.
c
10.
a
40.
d
11.
d
41.
c
12.
e
42.
a
13.
d
43.
b
14.
a
44.
a
15.
e
45.
e
16.
a
46.
a
17.
c
47.
b
18.
b
48.
c
19.
b
49.
a
20.
d
50.
c
21.
e
51.
d
22.
b
52.
c
23.
a
53.
c
24.
b
54.
a
25.
b
55.
e
26.
a
56.
e
27.
c
57.
a
28.
d
58.
a
29.
d
59.
c
30.
c
60.
d
