Guía de Ejercicios Propuestos sobre Vectores
Ejercicio Nº 1
Demuestre que el triángulo con vértices P (–2,4,0), Q (1,2,–1) y R (–1,1,2) es un triángulo equilátero. Ejercicio Nº 2
Determine si los siguientes tríos de puntos se encuentran en línea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,–1) y R (1,–15,11) B.- P(0,3,–4), Q (1,2,–2) y R (3,0,1)
Ejercicio Nº 3
Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices en los puntos P (2,–3,4), Q (5,– 2,6) y R (–2,7,–4) Ejercicio Nº 4
Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos P (3,–3,4), Q (5,–1,–2). Ejercicio Nº 5
Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Ejercicio Nº 6
Demuestre que x 2 + y2 + z2 +4x –6y +2z +6 = 0 es la ecuación de una esfera, y encuentre su centro y radio.
Ejercicio Nº 7
Encuentre la ecuación de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que está contenida en el primer octante. Ejercicio Nº 8
Encuentre la ecuación de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Ejercicio Nº 9
Encuentre la ecuación de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio su intersección con cada uno de los planos coordenados. coordenados.
7 . Describa
Ejercicio Nº 10
Sean los vectores en IR 3:
v
= (1,−3,2) ,
→
u
→
= ( − 2, 3, − 4) , a = (2,0,-1) y b = (1,5,4)
A.- Determine los vectores: UV y AB B.- Determine el vector ST = UV × × AB C.- Calcule: UV • ST × AB
→
→
→
→
D.- Determine si el vector V es una combinación lineal de los vectores u , a , b →
→
→
E.- Dete Determ rmin ine e si los los vect vector ores es u , v , a son son una una comb combin inac ació ión n line lineal al del del vect vector or (0,15,−20) . Ejercicio Nº 11
En IR3 sean los vectores A.- v • u B.- v × u C.- u × v → → D.- ( u + v )
v = (−3,4,−5)
y
u
= (1,−2,3) , determinar:
→
x u
Ejercicio Nº 12
Sean los vectores en IR 3: A.-
v
= (2,−1,3) ,
u
= (1,0,4) y
w = (1,−1,2) ,
obtener:
• UW UV •
B.- UV x UW
Ejercicio Nº 13
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- P( 3, 1,−2 ) y Q( − 2, 7, − 4) . ¿Está el punto A( −5,−2,−1) sobre la recta? B.- P( −1, 4, 2 ) y Q( − 3, 3, − 5 ) . ¿Está el punto B(13,1,14) sobre la recta? Ejercicio Nº 14
Encuentre una ecuación del plano que pasa por los siguientes tríos de puntos de IR 3: A.- P( 1, − 3, 2 ) , Q (−2,3,−4) , y R (2,0,−1) . B.- P(2,−3,4) , Q(5,−2,4) , y R ( −2,7,−4) . C.- P(−1,3,−7) , Q(2,−3,5) , y R(−2,0,−5) . Ejercicio Nº 15
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto paralelo al plano dado por la ecuación: 3 x + y − 6 z + 8 = 0 .
P(5,−2,4)
y que es
Ejercicio Nº 16
Encuentre la distancia del punto P(2,3,4) al plano dado por la siguiente ecuación: 4 x + 3 y + 2 z = 24 . Dibuje el punto y el plano dado. Ejercicio Nº 17
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto: a la recta cuyo vector director es: v = −2i + 7 j + 4k .
P (3,1,2)
y que es paralela
Ejercicio Nº 18
Sean los vectores en IR 3: v = (2,−3,5) , u = (−1,0,3) y w = (0,−4,1) . ¿Es el vector A = (4,−15,2) una combinación lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos: V, U y W. Ejercicio Nº 19
Sean los vectores en IR 3: v = (2,−3,5) , y w = (−3,−1,2) . ¿Es el vector a = (4,−15,2) coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paralelepípedo. Ejercicio Nº 20
Encuentre una ecuación del plano Π que contiene a los puntos de IR 3: P(2,−4,5) , Q(0,−1,6) y R(2,3,4) ; además hállese un vector normal a dicho plano y el área determinada por los tres puntos. Ejercicio Nº 21
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(1,−1,5) y punto A(−5,−2,−1) sobre la recta? ¿Y el punto B( 13, 1, 14 ) ?-1 + t
Q(7,0,5) .
¿Está el
Ejercicio Nº 22
Sean los vectores en IR2:
V = (−1,3) , U = (3,4) , A = (2,−1)
A.- Grafique los vectores: UV y B.- Determine si UV
y
B
= (5,4) :
AB .
≈ AB
Ejercicio Nº 23
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,7,4).
Respuestas
Respuesta Ejercicio Nº 1
Demuestre que el triángulo con vértices P (–2,4,0), Q (1,2,–1) y R (–1,1,2) es un triángulo equilátero. 2
d (P,Q) =
(1 + 2)
d (P,R) =
( −1 + 2 )
d (P,R) =
( −1 − 1)
∴
+ (2 − 4) 2 + ( −1 − 0) 2 = 2
+ (1 − 4) 2 + (2 − 0) 2 =
(1)
2
+ (1 − 2) 2 + ( 2 + 1) 2 =
(-2)
d (P,Q) = d (P,R) = d (P,R) =
2
+ ( −2) 2 + ( −1) 2 =
2
+ ( −3) 2 + (2) 2 =
1+ 9 + 4 =
2
+ ( −1) 2 + (3) 2 =
4 + 1 + 9 = 14
(3)
9 + 4 +1=
14
14
14 , el triángulo PQR es equilátero.
Respuesta Ejercicio Nº 2
Determine si los siguientes tríos de puntos se encuentran en línea recta: A.- P (5,1,3), Q (7,9,–1) y R (1,–15,11)
d( P, Q ) =
( 7 − 5)
d( P, R ) =
(1 − 5)
d( Q, R ) =
(1 − 7 )
∴
84 + 336
2
+ (9 − 1) 2 + ( −1 − 3) 2 =
(2)
2
+ (8) 2 + ( −4) 2 =
2
+ ( −15 − 1) 2 + (11 − 3) 2 =
(-4)
2
+ ( −15 − 9) 2 + (11 + 1) 2 =
(-6)
= 756 ⇒ Los puntos
4 + 64 + 16
2
+ ( −16) 2 + (8) 2 =
2
+ ( −24) 2 + (12) 2 =
=
84
16 + 256 + 64
36 + 576 + 144
P , Q y R se encuentran en línea recta.
B.- P (0,3,–4), Q (1,2,–2) y R (3,0,1)
d( P, Q ) =
(1 − 0)
2
+ (2 − 3) 2 + ( −2 + 4) 2 =
d( P, R ) =
( 3 − 0)
2
+ (0 − 3) 2 + (1 + 4) 2 =
(3)
d( Q, R ) =
(3 − 1)
2
+ (0 − 2) 2 + (1 + 2) 2 =
(2)
∴
≠ 43 ⇒ Los puntos
6 + 17
(1)
2
+ ( −1) 2 + (2) 2 =
=
1+1+ 4 =
2
+ ( −3) 2 + (5) 2 =
9 + 9 + 25 =
2
+ ( −2) 2 + (3) 2 =
4+4+9=
6
43
17
P , Q y R no se encuentran en línea recta.
336
=
756
Respuesta Ejercicio Nº 3
Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices en los puntos P (2,–3,4), Q (5,– 2,6) y R (–2,7,–4) Primero se determina los vértices de las medianas: M1
=
2 + 5 - 3 - 2 4 - 6 ⎞ ⎛ 7 - 5 ⎞ M PQ = ⎛ , , ⎜ ⎟ = ⎜ , , - 1⎟
⎝ 2
2
2
⎠ ⎝ 2
⎠
2
5 − 2 - 2 + 7 6 - 4 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ M2 = M QR = ⎛ , , ⎜ ⎟ = ⎜ , , 1⎟
⎝
M3 = M
2
2
⎠ ⎝ 2
2
2
⎠
2 − 2 - 3 + 7 4 - 4 ⎞ = ⎛ , , ⎜ ⎟ = (0 , 2 , 0 )
PR
⎝
2
2
2
⎠
Luego se calcula las longitudes de cada mediana: d(
M1M 2
)=
(
−
7 2 ) 2
+( +
d(
M 2M3
)=
(0 −
3 2 ) 2
+ (2 −
d(
M1M3 )
7 2 ) 2
+ (2 +
=
3 2
(0 −
5 2
5 2 ) 2
+ (1 + 1) 2 =
5 2 ) 2
+ (0 − 1) 2 =
5 2 ) 2
+ (0 + 1) 2 =
∴ La longitud de cada mediana es:
(-2)
2
+ (5) 2 + (2) 2 =
3 2 (- ) 2
+(
7 2 (- ) 2
+(
−1
)
2
4 + 25 + 4 =
9
+ ( −1) 2 =
2 9 2 ) 2
+
4
+ (1) 2 =
49 4
M 1M 2 = 33 ; M 2 M 3 =
+
7 2
1
33
+1=
4 81 4
7 2
+1=
67 2
y M1M 3 =
67 2
Respuesta Ejercicio Nº 4
Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos P (3,–3,4), Q (5,–1,–2). Determinando Determinando el punto medio para calcular las coordenadas coordenadas del centro: M
PQ
3 + 5 - 3 - 1 4 - 2 ⎞ = ⎛ , , ⎜ ⎟ = (4 , - 2 , 1) = C( h , k , l )
⎝
2
2
2
⎠
Para obtener el radio, basta con calcular la distancia de C a cualquiera de los puntos dados:
d(C,Q) =
(5 − 4) 2
+ (−1 + 2)2 + (−2 − 1)2 = (1) 2 + (1)2 + (−3) 2 = 1 + 1 + 9 = 11 = r
Luego aplicando la formula de la ecuación de esfera se tiene: ( x – h ) 2 + ( y – k )2 + ( z – l ) 2 = r2 ⇒ ( x – 4 )2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 1 ) 2 =
11
2
X2 + y2 + z2 – 8x + 4y – 2z + 10 = 0 Respuesta Ejercicio Nº 5
Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro C (6,-3,5) y que son tangentes a los planos coordenados. Formulando las ecuaciones de las esferas con radio r 1= 6 , r2 = 3 y r3 = 5
⎧( x − 6) 2 + ( y + 3) 2 + (z − 5) 2 = 6 2 ⎪ ( x − 6) 2 + ( y + 3) 2 + (z − 5) 2 = 3 2 2 2 2 2 ⎨ ( x – h ) + ( y – k ) + ( z – l ) = r ⇒ ⎪( x − 6) 2 + ( y + 3) 2 + (z − 5) 2 = 5 2 ⎩ se tiene: x2 + y2 + z2 –12 x +-6y – 10z + 34 = 0 x2 + y2 + z2 –12 x +-6y – 10z + 61 = 0 x2 + y2 + z2 –12 x +-6y – 10z + 45 = 0 Respuesta Ejercicio Nº 6
Demuestre que x 2 + y2 + z2 +4x –6y +2z +6 = 0 es la ecuación de una esfera, y encuentre su centro y radio. Asociando y completando cuadrados de binomio para escribir la ecuación de la esfera se tiene: (x + 2) 2 + (y – 3)2 +(z + 1) 2 = 8 Comparando esta última ecuación con la de la forma normal, vemos que es la ecuación de una esfera con centro C (-2,3,-1) y su radio r = 8 .
Respuesta Ejercicio Nº 7
Encuentre la ecuación de la esfera mas grande con centro C (6,3,9) y que está contenida en el primer octante. Se desea que la esfera sea del primer octante entonces usaremos el radio r =3. Luego la ecuación pedida es: (x – 6) 2 + (y – 3) 2 +(z – 9)2 = 32 x2 + y2 + z2 –12x –6y –18z +117 = 0 Respuesta Ejercicio Nº 8
Encuentre la ecuación de una esfera que pasa por el origen y cuyo centro tiene coordenadas C (2,-5,11) Determinaremos Determinaremos su radio, calculando la distancia desde el origen al centro dado.
d( C, O ) =
(2 − 0)2 + (−5 − 0) 2 + (11 − 0)2
=
(4)2 + (−5)2 + (11) 2
=
16 + 25 + 121 = 162
=9
2 =
r
Luego la ecuación es: ( x – h ) 2 + ( y – k )2 + ( z – l ) 2 = r2 ⇒ ( x – 2 )2 + ( y +5) 2 + ( z – 11) 2 =
162
2
x2 + y2 + z2 – 4x + 10y – 22z – 12 = 0 Respuesta Ejercicio Nº 9
Encuentre la ecuación de la esfera con centro C (6, 5,- 2) y radio su intersección con cada uno de los planos coordenados. coordenados.
7 . Describa
Determinando Determinando la ecuación de la esfera: ( x – h ) 2 + ( y – k )2 + ( z – l ) 2 = r2 ( x – 6 )2 + ( y – 5 ) 2 + ( z +2 ) 2 =
Luego la ecuación pedida es:
7
2
x 2 + y 2 + z2 – 12 x – 10y + 4z + 58 = 0
Su intersección será: Si x = 0 ⇒ y2 + z 2 – 10y + 4z + 58 = 0 ⇒ ( y – 5) 2 + ( z +2 )2 = – 29, esto no es consistente ya que la suma de dos cuadrados es siempre no negativa, por lo tanto la intersección es vacía.
Si y = 0 ⇒ x2 + z2 – 12 x + 4z + 58 = 0 ⇒ (x – 6) 2 + (z +2) 2 = – 18 ⇒ la intersección es vacía. Si z = 0 ⇒
x2 + y2 – 12 x – 10y 10y + 58 = 0 ⇒ (x – 6) 2 + (y – 5) 2 = 3
Luego la intersección con el plano XY resulta ser la circunferencia: x2 + y2 – 12 x – 10y + 58 = 0 de centro C ( 6 , 5 ) y radio r =
3.
Respuesta Ejercicio Nº 10
Sean los vectores en IR 3:
= (1,−3,2) ,
v
A.- Determine los vectores: UV y →
UV
=
AB
→
→
= b − a = ( 1–2 , 5 – 0 , 4 +1 ) = (–1 , 5 , 5 )
B.- Determine el vector
ST
→
= ( − 2, 3, − 4) , a = (2,0,-1) y b = (1,5,4)
= v − u = ( 1+2 , – 3 –3 , 2 + 4 ) = ( 3 , – 6 , 6 ) →
AB
→
u
× AB = UV ×
=
ST
UV × × AB
(3, – 6, 6) x (–1, 5, 5) =
i
j
3 -6 -1
5
k 6
= (– 60, – 21
5
C.- Calcule: UV • ST × AB
UV
• ( ST × AB ) = ( 3 , – 6 , 6 ) • [(−60,−21, 9 ) x (-1,5 , 5 )]
UV• ( ST× AB) = (3, – 6, 6) •
i
j
k
- 60
- 21
9
-1
5
5
= (3 , – 6 , 6) • (–150, – 291, –321)= – 630
→
→
→
→
D.- Determine si el vector V es una combinación lineal de los vectores u , a , b
Sea el vector v = ( 1,−3, 2 ) , y los escalares →
V =
→
→
→
α, β, δ ∈ ℜ
entonces:
α ⋅ u + β ⋅ a + δ ⋅ b = α (-2,3,-4) + β (2,0,-1) + δ (1,5,4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
−8
α=
∴
v = ( 1,−3, 2 ) =
−8 13
β
,
13
=0
y δ =
( − 2, 3, − 4) +0 (2,0,-1)+
−3 13
→
−3 13
(1,5,4) →
→
→
Significa que V es combinación lineal de los vectores u , a , b →
→
→
E.- Dete Determ rmin ine e si los los vect vector ores es u , v , a son son una una comb combin inac ació ión n line lineal al del del vect vector or (0,15,−20) . ( 0 , 15 , − 20 ) =
→
αu +β
→
v +
δ
→
a=
α ( − 2, 3, − 4) + β
( 1,−3, 2 ) + δ ( 2 , 0 , -1 )
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
α=
β
,
3
Respuesta Ejercicio Nº 11 En IR3 sean los vectores v = (−3,4,−5) y
=-2
u
y
δ = 4
= (1,−2,3) , determinar:
A.-
v•u
v•u
= ( −3, 4,−5) • (1,−2 , 3) = −3 ⋅ 1 + 4 ⋅ −2 + −5 ⋅ 3 = −3 − 8 − 15 = −26
B.- v × u v×u
C.-
= ( −3, 4,−5) x (1, – 2, 3) =
→
j
k
-3
4
-5
1
-2
3
i
j
k
1
-2
3
-3
4
-5
= ( 2, 4 , 2 )
u×v
u×v =
D.-
i
(1, – 2, 3) x ( −3, 4,−5) =
→
→
= (– 2, – 4 , – 2 )
→
( u+ v) x u →
→
( u+ v) x u
=
[(1,−2 , 3 ) + ( - 3 ,4 ,-5 )] x ( 1 , - 2 , 3 ) = (-2,2,-2) x (1,–2,3)
Entonces: →
→
→
( u + v) x u
=
i
j
k
-2
2
-2
1
-2
3
Respuesta Ejercicio Nº 12 Sean los vectores en IR 3: v = (2,−1,3) , A.-
u
=
( 10 , 4 , 2 )
= (1,0,4) y
w = (1,−1,2) ,
obtener:
• UW UV •
• UW UV •
→
→
→
→
= ( v − u ) • ( w − u ) = ( 1, –1 , –1) • ( 0, –1 , –2) = 3
B.- UV x UW UV x UW = ( 1, - 1 , - 1) x ( 0, - 1 , - 2) =
i
j
k
1
-1
-1
0
-1
-2
= ( 1, 2 , - 1 )
Respuesta Ejercicio Nº 13
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos: A.- P( 3, 1,−2 ) y
Q ( − 2, 7, − 4) .
¿Está el punto
A( −5,−2,−1) sobre
la recta?
Determinemos Determinemos las ecuaciones ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: P( 3, 1,−2 ) y Q( − 2, 7, − 4)
Un vector director director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q. PQ = Q − P = ( − 2, 7 , − 4) – ( 3, 1,−2 ) =
(5,–6,2)
Por lo tanto, la ecuación de de la recta r en forma forma vectorial vectorial es: (x,y,z) = P + λ PQ = ( 3, 1,−2 ) + λ (5,–6,2) En forma paramétricas paramétricas es:
⎧x = 3 + 5 λ ⎪ r : ⎨y = 1 − 6 λ ⎪z = −2 + 2 λ ⎩
En forma continua es:
r:
En forma implícita es:
r:
Reemplazando Reemplazando el punto
x−3 5
=
y −1
−6
=
z+2 2
⎧ 6 x + 5 y − 23 = 0 ⎨ ⎩ 2 x − 5 z − 16 = 0
A( −5,−2,−1) sobre
la recta en forma paramétricas tenemos:
⎧− 5 = 3 + 5 λ ⇒ λ = − 8 ⎪ 5 ⎪ 1 ⎪ ⎨ - 2 = 1− 6 λ ⇒ λ = 2 ⎪ 1 ⎪ ⎪⎩ - 1 = − 2 + 2 λ ⇒ λ = 2
∴ El punto
A( −5,−2,−1)
no esta sobre la recta.
B.- P( −1, 4, 2 ) y Q( − 3, 3, − 5 ) . ¿Está el punto B(13,1,14) sobre la recta?
Determinemos Determinemos las ecuaciones ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos: P( −1, 4, 2 ) y Q( − 3, 3, − 5 ) Un vector director de de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q. PQ = Q − P = ( − 3, 3 , − 5) – ( − 1, 4, 2 ) = (– 2,–1,–7)
Por lo tanto, la ecuación de la recta r en forma vectorial es: (x,y,z) = P + λ PQ = ( − 1, 4, 2 ) + λ (– 2,–1,–7)
⎧x = ⎪ En forma paramétricas es r: ⎨y = ⎪z = ⎩
λ 4− λ 2- 7 λ
-1- 2
En forma continua es r:
En forma implícita es r:
x +1
−2
=
y−4
−1
=
z−2
−7
⎧ x − 2 y+9 = 0 ⎨ ⎩ 7 x − 2 z + 11 = 0
Reemplazando el punto B( 13 ,1 , 14) sobre la recta en forma paramétricas tenemos:
⎧ ⎪ 13 = − 1 − 2 λ ⇒ λ = − 7 ⎪ ⎨ 1= 4 − λ ⇒ λ = 3 ⎪ − 12 ⎪ 14 = 2 − 7 λ ⇒ λ = 7 ⎩
∴ El punto
B( 13 ,1 , 14) no esta sobre la recta, ya que los
λ son todos
diferentes entre si. Respuesta Ejercicio Nº 14
Encuentre una ecuación del plano que pasa por los siguientes tríos de puntos de IR 3: A.- P( 1, − 3, 2 ) ,
Q (−2,3,−4) ,
PQ = ( –3 , 6, – 6 )
;
y
R( 2,0,−1) .
PR = ( 1 ,3 , –3 ) i
PQ × PR = ( –3 , 6, – 6 ) x ( 1 ,3 , –3 )= = - 3 1
j
k
6
-6
3
-3
→
=
0 , 15 , - 1 5 = n
n es un vector normal normal al plano.
Por consiguiente, de acuerdo a la formula punto-normal. punto-normal. a( x – x0) + b ( y – y 0) + c ( z – z 0) = 0 , se tiene: 0( x – 1) + 15 ( y + 3) –15 ( z – 2) = 0 es decir 15 y –15z + 75 = 0 , es la ecuación general general del plano ; considerando considerando que que P es el punto en el plano. B.- P(2,−3,4) , Q(5,−2,4) , y R ( −2,7,−4) .
PQ
=
( 3 ,1, 0 )
PR = (-4 , 10 , - 8 )
;
i
PQ × PR = ( 3 , 1, 0 ) x ( – 4 ,10 , – 8 )= =
j
k
→
3
1
0
-4
10
-8
=
- 8 , 24 , 34 = n
es un vector normal al al plano. Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a( x – x0) + b ( y – y 0) + c ( z – z 0) = 0 , Se tiene: – 8 ( x – 5 ) + 24 ( y + 2 ) + 34 ( z – 4) = 0 es decir – 8x + 24 y + 34 z – 48 = 0 , es la ecuación general del plano, considerando que Q es el punto en el plano. C.- P(−1,3,−7) , Q(2,−3,5) , y R(−2,0,−5) .
PQ
=
( 3 , - 6 , 12 )
;
PR = (- 1 , - 3 , 2 )
PQ × PR = ( 3 , – 6 , 12 ) x ( – 1 , – 3 , 2 ) =
i
j
k
3
-6
12
-1
-3
2
→
=
24 , - 18 , - 15
= n,
→
( n es vect vector or norm normal al al plan plano) o).. Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal. a ( x – x0) + b ( y – y 0) + c ( z – z 0) = 0 , Se tiene 24 ( x +2 ) – 18 ( y – 0 ) – 15 ( z +5 ) = 0 es decir 24 x – 18 y – 15 z – 27 = 0 , es la ecuación general del plano, considerando que R es el punto en el plano. Respuesta Ejercicio Nº 15
Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto paralelo al plano dado por la ecuación: 3 x + y − 6 z + 8 = 0 . Como los dos planos son paralelos, tienen las mismas normales.
P(5,−2,4)
y que es
→
La normal al plano dado es n =
3 ,1, - 6
Por tanto: 3 ( x – 5 ) + 1 ( y + 2 ) – 6 ( z – 4 ) = 0
∴
3 x + y – 6 z + 11 = 0, es la ecuación del plano plano desconocido.
Respuesta Ejercicio Nº 16
Encuentre la distancia del punto P(2,3,4) al plano dado por la siguiente ecuación: 4 x + 3 y + 2 z = 24 . Dibuje el punto y el plano dado. Aplicamos la formula de distancia de un punto a un plano, dada por:
d=
a x0
+ b y 0 + c z 0 + d a2
d=
+ b 2 + c 2
4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 - 24 4
2
+3 +2 2
1
=
2
29
=
29 29
≈ 0,186
Respuesta Ejercicio Nº 17
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto: a la recta cuyo vector director es: v = −2i + 7 j + 4k .
P (3,1,2)
y que es paralela
→
Se tiene tiene v = ( a , b , c ) = ( – 2 , 7 , 4 ) Luego aplicando la forma:
Se obtiene la ecuación de la recta:
x − x 0 a
=
x −3
−2
=
y − y0 b y −1 7
= =
z - z0 c
z-2 4
Respuesta Ejercicio Nº 18
Sean los vectores en IR 3: v = (2,−3,5) , u = (−1,0,3) y w = (0,−4,1) . ¿Es el vector A = (4,−15,2) una combinación lineal de los vectores V, U y W? Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos: V, U y W.
A.- Por determinar si los vectores dados son combinación lineal del vector A. →
→
→
→
α⋅ v +β⋅u + δ⋅ w = A α ⋅ ( 2,−3, 5 ) + β ⋅ (-1, 0, 3 ) + δ ⋅ ( 0, - 4, 1 ) = ( 4 , - 15 , 2 ) Desarrollando Desarrollando el sistema de ecuación, se tiene: ti ene: α = 1 ; β = - 2 y δ = 3
∴ Los vectores dados son combinación lineal del vector
→
A .
B.- Determinación de la ecuación del plano que contiene a los puntos dados. UV
=
( 3, - 3, 2 )
;
VW
=
(1, - 4 , - 2 )
UV × VW = ( 3 , – 3 , 2 ) x ( 1 , – 4 , – 2 ) =
i
j
k
3
-3
2
1
-4
-2
=
14 , - 8 , - 9
Luego la ecuación del plano está dada por: ( 14, - 8 , -9 ) • [ ( x - 0 ) , (y + 4 ) , ( z - 1 ) ] = 0 14 x – 8 y – 9 z – 23 = 0 Respuesta Ejercicio Nº 19
Sean los vectores en IR 3: v = (2,−3,5) , y w = (−3,−1,2) . ¿Es el vector a = (4,−15,2) coplanar a los vectores V, U y W? Si no los es calcule el volumen del paralelepípedo. →
→
→
2
-3
5
-1
3
3
-3
-1
2
Los vectores son coplanares si: u ⋅ ( v x w ) = 0
Entonces: coplanares.
→
→
v ⋅( u
→
x w )
=
= 89 ≠ 0 por lo tanto no son
El volumen de un paralelepípedo está expresado por: V =
∴
El volumen del paralelepípedo paralelepípe do corresponde a
→
u
⋅
→
→
(v x w )
89 = 89.
Respuesta Ejercicio Nº 20
Encuentre una ecuación del plano Π que contiene a los puntos de IR 3: P(2,−4,5) , Q(0,−1,6) y R(2,3,4) ; además hállese un vector normal a dicho plano y el área determinada por los tres puntos. i
A.- PQ × PR = (– 2 , 3 , 1 ) x ( 0 , 7 , –1 ) = - 1 0
j
k
3
1
7
-1
→
=
- 10 , - 2 , - 14
= n,
→
( n vector normal al plano). plano). Por consiguiente, aplicando la formula punto-normal.
π:
- 10 , - 2 , - 14
⋅ ( x , y , z ) – - 10 , - 2 , - 14 ⋅ ( 0, − 1 , 6 ) = 0 ,
Se tiene: - 10 x – 2 y – 14 z + 82 = 0 , es la ecuación general del plano, considerando considerando que Q es el punto en el plano. B.- El área determinada por los tres puntos la obtenemos por la formula:
→ AΔ
=
A 2
=
PQ x QR 2
n
=
2
=
10 2
+ 2 2 + 14 2 2
=
300 2
≈ 8,66
Ejercicio Nº 21
Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(1,−1,5) y punto A(−5,−2,−1) sobre la recta? ¿Y el punto B( 13, 1, 14 ) ?-1 + t A.- Sabemos que
PQ
=
( 6 , 1, 0 )
es: n = 6 , 1 , 0 Luego la ecuación paramétricas de la recta es: X = ( 1 ,−1 , 5) + t ⋅ ( 6, 1 , 0 ) X =( 1 + 6 t , -1 + t , 5 ) x =1+6t
;
y = -1 + t ; z = 5
B.- ¿Está el punto A( −5,−2,−1) sobre la recta?
–5 = 1 + 6 t ⇒ t = – 1 –2 = – 1 + t ⇒ t = – 1 –1 = 5 ⇒⇐
∴
A ∉ a la recta.
C.- ¿Está el punto B( 13, 1, 14 ) ?
13 = 1 + 6 t ⇒ t = 2 1 =– 1+t ⇒ t=2 14 = 5 ⇒⇐
∴
B ∉ a la recta.
¿Está el
es paralelo a la recta, el vector de dirección
→
∴
Q(7,0,5) .
Respuesta Ejercicio Nº 22 Sean los vectores en IR2: V = (−1,3) , A.- Grafique los vectores: UV y
UV =
(-4,-1)
y
AB =
U = (3,4) , A = ( 2,−1)
y
B
= (5,4) :
AB .
( 3 ,5 )
y
y
AB
U
B
V
x
x A
UV
B.- Determine si UV
≈ AB
Gráficamente se observa que los vectores no son congruentes. Respuesta Ejercicio Nº 23
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P (-3,1,-2) y Q (2,7,4). P( − 3, 1,−2 ) y Q( 2, − 7, 4) .
Determinemos la ecuación ecuaci ón de la l a recta r que pasa por los puntos dados, d ados, calculando un vector director de r es, por ejemplo, el vector que va desde el punto P hasta el punto Q. PQ = Q − P = ( 2, - 7 , 4) – ( − 3, 1,−2 ) =
(5,–8,6)
Por lo tanto, tanto, la ecuación ecuación de la recta recta r en forma continua es:
r:
x+3 5
=
y −1
−8
=
z+2 6
considerando considerando el punto P.
ór:
x−2 5
=
y+7
−8
=
z−4 6
considerando el punto Q.
