VECTORES

Vectores

VECTORES

Vectores en R n

Muchas magnitudes físicas tales como el área., longitud y masa quedan descriptas dando un número real que representa la magnitud de la cantidad en cuestión. Otras magnitudes físicas, denominadas vectores, no quedan completamente determinadas hasta que se especifique una magnitud, una dirección y un sentido. Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, son algunos ejemplos de vectores.-

Los vectores se pueden pueden representar mediante segmentos de rectas dirigidos dirigidos en R n. La dirección de la flecha especifica la dirección y el sentido del vector, y la longitud determina su magnitud.-

Si el punto inicial de un vector es a, y el punto terminal es b, entonces se escribirá v = ab

b

a

Equivalencia de vectores

Se dice que dos vectores son equivalentes si tienen la misma dirección y longitud. Los vectores equivalentes se considerarán iguales aún cuando puedan tener posiciones diferentes.b

b’

v ~ v’ a

Ing. Luis A. Cárdenas

a’

1

Vectores

Sea v un vector que está en R 3. Suponemos que v está colocado de tal manera que su punto inicial coincide con el origen de un sistema de coordenadas rectangular. Las coordenadas (v1 , v2 , v3) del punto terminal de v se llaman las componentes de v, y se escribe v = (v1 , v2 , v3). En general identificaremos a un vector de R n a toda nupla ordenada de reales, es decir, v = (v 1 , v2 ,..., vn).

Si dos vectores equivalentes v y w se colocan de tal manera que sus puntos iniciales coincidan con el origen del sistema de coordenadas, entonces sus puntos finales también coinciden, por lo tanto estos dos vectores tienen las mismas componentes. De igual manera, si dos vectores tienen las mismas componentes, deben tener la misma dirección y longitud, y como consecuencia, deben ser equivalentes.Es decir, sean v~w

⇔

v = (v1 , v2 ,..., vn),

vi = wi

∀

w = (w1 , w2 ,..., wn).

i

Definición:

Sean v y w dos vectores en R n. Definimos la operación suma (operación interna) como +: R n x R n  R n / (v, w)  v + w = (v 1 + w1 ; v2 + w2 ; ... ; v n + wn) Si k es un escalar, definimos el producto externo o escalar como k . u = (k.v 1 ;k. v2 ; ... ;k. v n) Estas operaciones reciben el nombre de operaciones ordinarias en R n.

Ejemplos e interpretación geométrica :

u2 + w2 v2 w2 v1


w1

v1+w1

2

Vectores

k 1 >0 y k 2 <0 k 1.v

v

k 2.v El vector nulo en R lo simbolizamos como n

0 =0 =(0,0,..., 0)

Si u = (u1, u2, ..., un) es un vector cualquiera de R n, su opuesto o inverso aditivo lo notamos como –u = (-1).u = (-u 1, -u2, ..., -un). La diferencia de vectores será u – v = u + (-v)

Teorema:

Sean u, v vectores de R n, a y b reales, entonces (Rn, +) es grupo abeliano 1.

a.(b.u) = (a.b).u

2.

(a+b).u = a.u + b.u

3.

a.(u + v) = a.u + a.v

4.

1.u = u

Estas propiedades nos permiten manejar los vectores en R n sin tener que expresarlos en términos de sus componentes.

Ejemplo:

Para resolver la ecuación vectorial x + u = v (x + u) + (-u) = v + (-u) x + (u + (-u)) = v – u x+0=v–u x=v–u

Traslación:

Ocasionalmente habrán vectores que no tengan sus puntos iniciales en el origen. Para encontrar las componentes de un vector v que tiene su punto inicial en x = (x 1,x2,x3) y


3

Vectores

su punto terminal en y = (y 1, y2, y3) se traza un vector equivalente que tenga su punto inicial en el origen.oa

+

ox

=

oy

(a1,a2,a3)+(x1,x2,x3)=(y1,y2,y3) (a1+x1, a2+x2,a3+x3)=(y1,y2,y3) Tenemos que a 1 = y1 – x 1 a 2 = y2 – x 2 a 3 = y3 – x 3

y x

En general ai = yi – xi

a (a1,a2,a3)

En muchos casos se pueden facilitar problemas si los ejes de coordenadas se trasladan para obtener nuevos ejes paralelos a los originales.

y

En la figura se trasladaron los ejes x e y para obtener un nuevo sistema de coordenadas x’ y’ , cuyo origen está en (x, y) = (h1, h2).

y’

p h2

o’

x’

h1

x

Un punto en el plano tiene coordenadas (x, y) y coordenadas (x’, y’). Para ver la relación existente entre estos dos sistemas consideramos el vector

o' p

. En el

sistema (x,y) su punto inicial tiene coordenadas (h 1;h2) y su punto terminal en (x,y), por lo tanto o' p

= (x-h1; y-h2)

En el sistema (x'; y') su punto inicial está en (0;0) y su punto terminal en (x';y'); por lo tanto x'= x-h 1 ; y'=y-h2.


4

Vectores

Si es un vector en R n; donde su punto inicial está en h = (h 1; ...; hn) y su punto final en x = (x1; ...; xn); las ecuaciones serán: x'i = xi – hi. A estas últimas ecuaciones se las llama ecuaciones de traslación.-

Ejemplo:

Consideremos el punto (h 1; h2) = (4; 1), el cual coincide con el origen del sistema de coordenadas (x';y'). y

y'

El punto p tiene coordenadas xy p = (2; 0) y tiene coordenadas x'y' p = (2-4; 0-1) = (-2; -1) x' x

1

2 3 4 5

Norma de un vector:

Dado un vector v; llamaremos norma de v a su longitud, y la denotaremos

v

.

En R 2 obtenemos la norma de v aplicando el Teorema de Pitágoras: v

=

2

v1

+ v 22

Análogamente obtenemos la norma de un vector en R 3: v

=

2

v1

En R n:

v

+ v 22 + v 3 2

=

2

v1

+ v 22 +... + vn2

Que es la expresión de la norma o longitud euclidiana.-

Sean dos puntos p 1 = (x1; x2; ...; xn) y p2 = (y1; y2; ...; yn). La distancia entre estos puntos la podemos calcular encontrando el valor de la norma del vector p1p2 ; es decir d=

( y1 − x1)2 + ( y 2 − x2)2 + ...+ ( yn − xn)2

Expresión que nos da la distancia euclidiana.-

Producto Punto. Proyecciones. Definición:


5

Vectores

ϕ

Sean u y v dos vectores en R n ; y

el ángulo que forman los mismos. Entonces

definimos como producto punto, producto interno euclidiano o producto interno

 u . v . cos ϕ si 0 si u = 0 

canónico a la expresión = 

u ≠ 0 y v ≠ 0 ó

v = 0

x2

u

ϕ

v x1

Consideremos dos vectores no nulos u y v en R 3. Vamos a calcular la norma del vector u – v. Aplicando el teorema del coseno: u −v

2

=u

2

+v

2

−2. u . v . cos

Desarrollando : (u1 – v1)2+(u2 – v2)2 + (u3 – v3)2 = u12 + u22 + u32 + v12 + v22 + v32 -

2. u . v . cos

u12 – 2.u1.v1 + v12 + u22 – 2.u2.v2 + v22 + u32 – 2.u3.v3 + v32 = = u12 + u22 + u32 + v12 + v22 + v32 -

2. u . v . cos

Simplificando: u1.v1 + u2.v2 + u3.v3 =

u . v . cos

= i =n

n

En R : = u1.v1 + u2.v2 + ... + un.vn =

∑u .v i

i

que es el producto interno

1 i=

canónico o euclidiano.-

Teorema:

i) ii) iii)

∀ x ∈ Rn : x

x

0 =

R ; ∀ α ∈

≥0

x = 0 ⇔

n x ∈ R ∀

:

. x =α . x α

iv)

=

v)

=+


6

Vectores

vi)

< k.u ; v > = k. = 

vii)

=

viii)

u

≥0

2

y =0

si y solo si u = 0

Si u y v son vectores no nulos que cumplen que = 0, diremos que u y v son vectores ortogonales.-

Proyección ortogonal :

El producto punto es muy útil para los problemas donde se desea descomponer un vector en la suma de dos vectores perpendiculares. Si u y v son dos vectores no nulos, siempre es posible descomponer a u y expresarlo como u = w1 + w2 , donde w1 es un múltiplo escalar de v y w2 es perpendicular a v.

x2 u w2 v

ϕ

w1 x1

w1 y w2 se pueden obtener de la siguiente manera: u = w1 + w2 = k.v + w 2 por lo tanto = < k.v + w 2 ; v > = < k.v ; v > + < w 2 ; v > = = k.< v ; v > + 0 = k.

v

2

⇒ k=

v

2

Por lo tanto w1 = v


2

.v

Proyección ortogonal de u sobre v.

7

Vectores

w2 = u v

.v

2

Componente de u ortogonal a v.-

Producto Cruz :

En muchas aplicaciones de los vectores a problemas de geometría, física o de ingeniería, se requiere trazar un vector en R 3 que sea perpendicular a dos vectores conocidos. en esta sección se introduce una segunda multiplicación: Definición:

Sean u, v vectores de R 3. Definimos al producto cruz, o producto vectorial uxv al vector de R 3

uxv = (u2.v3 – u3.v2 ; u3.v1 – u1.v3 ; u1.v2 – u2.v1)

Para no memorizar la fórmula, construimos una matriz auxiliar que nos ayudará a recordarla.

 u1  v1

C=  

u2 v2

u3 



v 3  

 u2

u3

 v 2

v3

uxv=  

u1 ;

-

u3

v1

v3

u1 ;

v1

  v 2  

u2

Teorema:

Sean u, v vectores no nulos de R 3. Entonces a)

 = 0.

b)

< v ; u x v > = 0.

c)

u x v

2

=

u

2

. v

2

-

2

Igualdad de Lagrange.

Teorema:

Sean u, v, w vectores no nulos de R 3; k real. Entonces: a)

u x v =-( v x u)

b)

u x (v + w) = u x v + u x w

c)

(u + v) x w = u x w + v x w

d)

k.(u x v) = (k.u) x v =u x (k.v)

e)

ux0=0xu=0

f)

uxu=0


8

Vectores

Observación:

No es cierto que

(u x v) x w = u x (v x w)

Ejemplo:

i = (1 ; 0 ; 0)

; j = (0 ; 1 ; 0)

 0

0

1 ;− 0 0

(i x j) x j =  

 1

;

k = (0 ; 0 ; 1)

  x (0 ; 0 ; 1) = (0 ; 0 ; 1) x (0, 1, 0) = -i 1  

0 1 ; 0 0

0

i x (j x j) = i x 0 = 0

Sabemos que u x v es ortogonal a u y a v. Si u y v son vectores diferentes de cero, es posible mostrar que la dirección de uxv se puede determinar mediante la regla de la mano derecha, o regla del tirabuzón.-

Sea

θ el ángulo formado por u y v, suponiendo que u gira un ángulo θ hasta

hacerlo coincidir con v. Si los dedos de la mano derecha se colocan de tal manera que apunten en la dirección de la rotación, entonces el dedo pulgar indica aproximadamente la dirección de uxv.-

Por otro lado, de la Igualdad de Lagrange: u x v

2

=

u

2

. v

Como = u x v

2

=u

Por lo tanto

2

. v

2

-

2

u . v . cos 2

u x v

-

u

2

. v

2

2 2 2 2 . cos 2 θ = u . v (1 −cos 2 θ ) = u . v . sen 2 θ

= u . v . sen θ

Interpretación geométrica:


9

Vectores

x2 v h

v

u

ϕ

u

x1

Observamos que la altura del paralelogramo es h =

v . sen

Por lo tanto, el área del paralelogramos será A = base x altura =

u . v . sen

Teorema:

u x (v x w) = .v - . w

Observaciones:

Un vector se define como un segmento de resta dirigido en R n. Los sistemas de coordenadas y las componentes se introdujeron posteriormente a fin de simplificar las operaciones con vectores. Es importante tener presente que un vector tiene "existencia matemática" que no depende de la introducción de un sistema de coordenadas. Además, un vector no determina completamente sus componentes, sino que también dependen del sistema de coordenadas que se use. Por ejemplo:

y'

v x,y = (1; 1) v x',y' = ( 2 ; 0)

y x' 1

v

1

x

Esto suscita una duda acerca de la definición del producto cruz: dado que se definió en términos de las componentes de u y de v; y éstas dependen del sistema de coordenadas adoptado, pareciera ser que dos vectores fijos u y v pueden tener productos cruz diferentes. Afortunadamente no es así, dado que:


10

Vectores

1.

u x v es perpendicular a u y a v.

2.

La dirección de u x v se determina mediante la regla de la mano derecha.

3.

u x v

= u . v . sen θ

Después de reflexionar por un momento, es claro que estas propiedades determinan completamente la dirección y la longitud del producto cruz. Dado que estas propiedades dependen única y exclusivamente de las longitudes de u y de v, así como de la posición relativa de u y de v, el vector u x v permanece invariable si se introduce un sistema de coordenadas distinto. La definición de uxv es independiente del sistema de coordenadas.

Ejemplo: z

≡ z'

k

j

x'

y

i y' x

Hacemos una rotación del sistema de coordenadas un ángulo de 45 º alrededor del eje z. Consideremos los vectores i y j. En el sistema de coordenadas xyz , tenemos: i x j = (1; 0; 0) x (0; 1; 0) = (0; 0; 1) = k En el sistema de coordenadas xý'z' :

 

i=  

1

;

2

1 2

 

;0  

 

j=  −

1 2

;

1 2

 

;0  

Por lo tanto, el producto cruz será:


11

Vectores

ixj=

     

1 2 1

1

0 ;

-

0

2

−

1

0

2 1

;

−

0

2

1

2 1

2 1

2

2

   = (0; 0; 1) = k    

Interpretación geométrica del producto mixto :

Sean u, v, w tres vectores que no están situados en el mismo plano. Entonces forman los lados de un paralelepípedo en el espacio.

uxv

w h

v

u

La base es un paralelogramo. El área de la base es A =

u x v

La altura del paralelepípedo es la proyección ortogonal de w en la dirección de uxv.

h=

<

w (, u x >v u x v

Volúmen = base x altura =

u x v

.

<

w ,( u x v>)

=

u x v Si w está en el plano de u y de v, wes perpendicular a (uxv), por lo tanto w.(uxv) = 0. Si w.(uxv) = 0, entonces w es perpendicular a (uxv), por lo tanto w está n el plano determinado por u y v. Es decir: tres vectores u, v, w son coplanares


⇔

su triple producto escalar es cero.

12

Vectores

Combinación Lineal Independencia Lineal: Definición:

Sean v1; v2; ... ; v m m vectores de R n. Cualquier expresión de la forma a1.v1 + a2.v2 + ... + am.vm se llama combinación lineal de v1; v2; ... ; v m. Ejemplo: Sean v1 = (1; 3; 5) y v2 = (0; 1; 2) v = 3 v1 + v2 = 3.(1, 3, 5) + (0, 1, 2) = (3, 10, 17) es combinación lineal de v1 y v2 . Independencia Lineal:

En el estudio del álgebra y lineal, una de las ideas centrales es la referente a la dependencia e independencia lineal. Definiremos estos conceptos y se mostrará su relación con la teoría de sistemas homogéneos y los determinantes. Existe alguna relación entre v1 = (1; 2) y v2 = (2, 4) ???. Por supuesto que sí: v2 = 2.v1 ; ó bien 2.v1 – v2 = 0. Es decir, el vector 0 se puede escribir como una combinación lineal de v1 y v2, pero también se puede escribir 0.v1 + 0.v2 = 0. Si consideramos v1 = (1, 2, 3) ; v2 = (4, 5, 6) , v3 = (7, 8, 9). No es tan obvio, pero se puede comprobar que v3 = -v1 + 2.v2 Es decir que v1 – 2.v2 + v3 = 0. pero también 0.v1 + 0.v2 + 0.v3 = 0. En estos dos casos se dice que los vectores son linealmente dependientes. Definición 1: Sean v1; v2; ... ; v m m vectores de R n. Se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen escalares c1; c2; ...; cm no todos nulos que satisfagan la ecuación c1.v1 + c2.v2 + c3.v3 + ... + c m.vm = 0 Definición 2: Sean v1; v2; ... ; v m m vectores de R n. Se dice que estos vectores son linealmente independientes si la ecuación c1.v1 + c2.v2 + c3.v3 + ... + cm.vm = 0 tiene como única solución c1 = c2 = ... = cm = 0 , que es la solución trivial.


13

Vectores


14

VECTORES

Recommend Documents