Unidad II: Vectores 1) Sean P 2, 1 Q 3, 3 R 1, 4 M 1, 4 N 4, 6 puntos de Ó 2
a) Graficar y determinar las coordenadas de los vectores PQ, RP , QR, MN
b) Representar los vectores PQ, RP , QR, MN como vectores cuyo origen sea el punto 0, 0, llamar a estos nuevos vectores a PQ, b RP , u QR, v MN
c) Determine la direccion y modulo de los vectores a , b , u , v
d) Determine las componentes rectangulares de a , b , u , v e) Determine el angulo entre los vectores a y b , y el angulo entre u y v f) Determine si a es combinacion lineal de u , v y b g) ¿Es b combinacion lineal de u , v ? justificar
2) Considere los vectores a 4, 3; b 0, 6 ; u 2, 3 v 1, 5 en Ó 2
a) Graficar los vectores a , b , u , v b) Calcular y graficar el vector w a b u v c) Deterimnar y representar la proy b a y la proy u v d) Calcular el valor de
ab
u v
e) Determinar si a , b o si u , v
3) Dados los vectores u 1, 5, 2 , v 3,4, 1 w 1,0, 1 , z 1,1, 1
a) Determinar u v
w z z
b) Calcular la proy v u y proy w z c) Calcular w z , u v
d) Encontrar el valor de k , para que el vector u sea perpendicular al vector x 7,2, k
e) ¿Es el vector x 6,27, 9 paralelo a y u
v?
f) Calcular el angulo entre w y z
g) ¿Es v combinacion lineal de u , w, z ? justificar
4) Hallar un vector perpendicular a u 5, 1, 2 y v 1,2, 2
5) Calcular el area del triangulo determinado por los vectores u 3,7, 6 y v 4,1, 2
6) Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por u 3, 5, 1 v 7,4,2 y w 0,6,1
7) Hallar el valor de k , para que los vectores u 3, 5, 1 v 7,4,2 y w 1,14, k sean coplanares
8) Calcular el volumen del paralelepipedo determinado por u 1,2,3 v 1,1,0 y w u v
9) Dados los vectores u x 1, 2 x 4, 3 x 9 v x 2 ¿para que valores de x los vectores son paralelos?
1, x 2
4, x 2
9
10) Dados los vectores v 1,0, 1 u 1, 1, 1 . Encontrar un vector que w cumpla con: w, v , w// u y w 2
11) Dados los vectores u 1,0,1 ; v 1,1,1 ; w 4,6,2 ; z 1,0, 1 ¿es w combinacion lineal de u , v , z ? justificar
12) Sean v 1, 0 ; u 1, 3 y x vectores en Ó 2 . Encuentre el valor de c Ó de modo que la ecuacion 2 x 3 v 4 x c u tenga a 1, 32 como conjunto solucion. R: c 14
13) Sean x 2 i
j k ; y i 2 j
k ; z 2, 11,7 vectores en
Ó3 .
a) Encuentre , en Ó tal que z x y R: 3, 4 b) Sea w 2,11,7 , encuentre , en Ó si es posible) tal que w x y R: No es posible
14) Encuentre los vectores z en Ó 2 tal que z 2, 1 tenga magnitud 3 5 y simultaneamente sea un multiplo escalar del vector 1, 1 R: 5, 5 ; 4, 4
15) En el primer octante del espacio Ó 3 se ubica una habitacion cubica, de lado a metros, de modo que uno de sus vertices coincida con el origen 0,0,0 , desde donde se lanza una particula en linea recta con velocidad constante. Si despues de un segundo la particula esta en el punto a5 , a3 , a2 , determine:
a) con que pared chocara la particula. R: pared paralela al plano XY b) en que instante se produce el choque. R: a los 2 seg. c) en que punto de la pared chocara la particula. R: 25a , 23a , a d) que distancia habra recorrido la particula desde que se lanza hasta que se produce el choque. a R: 19 mts. 15
16) Sean x 2,4,1 y L una recta en la direccion del vector y 6,0,0 . Calcular la magnitud de la proyeccion de x sobre la recta L. R: 2
17) Demuestre que los puntos 0,2,1 ; 2,1,3 ; 1,6,2 ; 3,5,4 son los vertices de un rectangulo y determine su area. R: 9 2
18*) Sean u 2, 1. 1 ; v 3, 4, 4 . Encuentre un vector w en Ó 3 tal que los extremos de u , v , w sean los vertices de un triangulo rectangulo.
19*) Sean u , v vectores no nulos en Ó 3 , tales que u es perpendicular a v . Demuestre que para todo en Ó se tiene que u v u
20) Determine el seno del angulo entre los vectores u 1,0, 1 v 1,1,1 R: 2 21) Sean x 1,2,3 ; y 0,1,1 vectores de los vectores son linealmente independientes.
Ó 3 . Verificar
que
22) Sean los vectores u 1,0,1 ; v 1,1,1 ; w 4,6,2 ¿son liealmente independientes? justificar.
23) Dados los vectores u 1, 1 ; v 2, 3 ; w 4, 3 . Pruebe que estos vectores NO son L.i.
24) Determinar y respresentar el espacio generado por el vector u 2, 5. R: L : x, y 0, 0 t 2, 5 ; t Ó
25) Determinar y representar el espacio generado por los vectores u 1,0,1 ; v 1,1,1 R: : x z 0
26) Determinar y representar el espacio generado por los vectores u 2,1,3 ; v 1,2,1 R: : x y z 0
27) Encuentre condiciones sobre a, b, c en Ó para que el vector a, b, c sea combinacion lineal de los vectores 1, 1, 2 ; 0, 1, 1 ; 1,0,1 . R: a b c 0
28) Determine los valores de k en Ó para que los vectores 2,1,0 ; 1, k , 3 ; 0,2, 4 sean L.i. R: k 1
