Aprendizajes a alcanzar: Calcular, analizar e interpretar las medidas de Tendencia Central Recursos:: Atención, deseos y disposición para aprender, orden, creatividad, recursividad, manejo de cálculos aritméticos. Recursos Actitud de los los estudiantes estudiantes en y durante la clase. Desarrollo Desarrollo de los ejercicios ejercicios y problemas problemas en clase de manera individual y grupal. grupal. Calculadora, cuaderno, regla.
1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central son valores que por lo general se ubican en la parte central de la distribución correspondiente 1.1 MEDIA ARITMÉTICA ( x ) .- Es el promedio en un conjunto de datos. a1 a 2 ...... a n
a) para datos sin agrupar x n ; cantidad de datos n Ejemplo.- Encuentre la media aritmética aritmética de las edades de un grupo de personas. Las cuales son: 30, 27, 37, 40, 29, 49, 31, 33 30 27 37 40 29 49 31 33 276 La edad promedio es de 34,5 años de edad. 34,5 x 8
8
Media aritmética Ponderada.Ponderada .- La media ponderada de un conjunto de valores: x1; x2; x3 ,… ; xn de una variable
b)
“Xi”: a los que se han asignado, respectivamente, los pesos: p 1; p2; p3 ,… ; pn se calcula mediante la
fórmula:
k
x x
x 1 p1 x 2 p 2 ...... x n p n p1 p 2 p 3 ...... p n
i
p n
i 1 n
p
i
i 1
Ejemplo.- Los promedios finales de un estudiante en los cursos de matemáticas del Centro Educativo fueron: Obtener el promedio final del área de matemáticas. Solución Solución:: Cursos Notas Finales (x i) Horas de clase por semana (p i) Álgebra 11 3 Aritmética 10 1 Geometría 9 1 Trigonometría 12 1 Rm 11 2 TOTAL 8
xi*pi 33 10 9 12 22 86
k
x ̅
x1 f 1 x2 f 2 ...... xk f k f 1 f 2 f 3 ...... f k
∑ xi f n i 1
n
La nota promedio es de 10,75 puntos pun tos.
c) Media aritmética para datos agrupados en una tabla de frecuencias. Se determina con la siguiente relación: Ejemplo: Los siguientes datos, expresados en metros, corresponden a las estaturas de 80 estudiantes de una escuela, clasificada en intervalos. Intervalos [1,62 – 1,68) [1,68 – 1,74) [1,74 – 1,80) [1,80 – 1,86) [1,86 – 1,92) [1,92 – 1,98)
Frecuencias 5 7 28 17 18 5 80
Determinar la altura promedio de los estudiantes: estudiantes: La altura promedio es: x
=
144.66 80
=
1,81 m
Intervalos [1,62 – 1,68) [1,68 – 1,74) [1,74 – 1,80) [1,80 – 1,86) [1,86 – 1,92) [1,92 – 1,98)
Marca de clase (x i) 1,65 1,71 1,77 1,83 1,89 1,95 --
Frecuencias (f i) 5 7 28 17 18 5 80
xi* f i 8,25 11,97 49,56 31,11 34.02 9,75 144.66
.-Dada Dada una distribución de frecuencias con los valores ordenados de menor a mayor, llamamos mediana y la 1.2 MEDIANA (Me).representamos por Me, al valor de la variable, que deja a su izquierda el mismo número de frecuencias que a su derecha.
Para datos sin agrupar Ejemplo: 2; 4; 6; 7; 9, 12; 16 (la Me = 7) “n impar” 10; 12; 12; 13, 15; (Me = 10 + 12 = 11) “n par” 5; 8; 10; SE ORDENAN LOS DATOS 2
Para datos agrupados 1° Se calcula n/2 y se reconoce la clase de la mediana, anotando su límite inferior (L i) y su frecuencia (f Me Me) 2° Se suman las frecuencias anteriores a la clase de la mediana:( f)1 3° Se determina el ancho de clase de la mediana: Ac n 4º Se aplica la fórmula. f 1 Me: Mediana. Me Li 2 Ac Li: Límite inferior de la clase mediana. f Me Mitad del total de datos. n
:
(f)1: Suma de frecuencias anteriores a la clase de la mediana. f Me Me : Frecuencia de la clase mediana. Ac: Ancho de clase de la mediana.
Ejemplo 01 Los siguientes datos, expresados en kg, corresponden a los pesos de 110 estudiantes, clasificados en intervalos.
1° límite
Intervalos [40 – 50) [50 – 60) [60 – 70) [70 – 80) [80 – 90]
Frecuencias 12 20 35 39 4 110
Frecuencia Acumulada 12 32 67 106 110 --
Solución: Se calcula n/2 y se reconoce la clase de la mediana, anotando su inferior (Li) y su frecuencia (f Me) n 2
110 2
55
2º para ubicar la clase de la mediana, sumamos f 1 + f 2 + f 3 = 12 +20 + 35 = 67, lo cual nos indica que el lugar 55 se encuentra en la tercera frecuencia. La clase de la mediana es [60 – 70), entonces: Li = 60 y f Me = 35 3° Se determina el ancho de clase de la mediana: Ac = 10 (Ancho de clase de la mediana) 110 4º Se aplica la fórmula. 32 Me 60 2
35
10 66,57 kg
Interpretación: El peso máximo del 50% de las personas es 66,57 kg que a su vez es el peso mínimo del 50% restante de personas. 1.3 Moda (Mo).- Es el valor más frecuente en una distribución de datos. Para datos sin agru par
Se determina el valor o valores que más se repiten. Ejemplo Calcular la moda de los siguientes valores. 2, 3; 3; 3; 5; 8 (Mo = 3) Ejemplo Calcular la moda de los siguientes valores. 2, 3; 3; 3; 5; 8; 9; 9; 9 (Mo1 = 3) y (Mo2 = 9) Para datos agrupados
Para datos agrupados en intervalos, en el cálculo se procede de la siguiente manera. 1° La clase modal es la que tiene mayor frecuencia. Se anota su límite inferior (L i) y su frecuencia (f Mo) 2° Se determina el valor 1 = f Mo – f anterior 1 3° Se determina el valor 2 = f Mo – f posterior Ac Mo L i 3° Utilizamos la siguiente relación: 2 1 Li : Límite inferior de la clase modal 1 : f Mo – f anterior 2 : 2 = f Mo – f posterior Li : Límite inferior de la clase modal. C: Ancho de clase. Ejemplo .- Se tiene las temperaturas observadas en el hemisferio norte durante 24 días en °C. L i L s f i Construimos la columna de frecuencias acumuladas. L L [-19 – -17) [-17 – -15) [-15 – -13) [-13 – -11) [-11 – -9) [-9 – -7] TOTAL
2 2 8 3 4 5 24
1 Ac Mo Li 1 2 1 : 2 :
Li : Ac :
i
f Mo – f anterior = 8 – 2 = 6 2 = f Mo – f posterior = 8 – 3 = 5 Límite inferior de la clase modal = -15 Ancho de clase = 2
6 2 14,3 6 5
Mo 15
s
[-19 – -17) [-17 – -15) [-15 – -13) [-13 – -11) [-11 – -9) [-9 – -7] TOTAL
f i
Fi
2 2 8 3 4 5 24
2 4 12 15 19 24 --
Interpretación.- La temperatura más frecuente durante los 24 días fue -14,3ºC II. PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y EN CLASE: Se analizan las notas de 20 estudiantes en el curso de estadística recogiéndose los siguientes datos. (Justifique sus respuestas) 3 4 8 2 11 7 10 12 16 15 7 11 10 6 9 9 10 13 13 14 01.
Cuántos estudiantes aprobaron el curso según los datos originales y según los datos ya agrupados. (Nota aprobatoria igual a 10 y superior). a) 12 b) 8 c) 13 d) 14 e) 1, 71 f) Ninguna 02. Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales a 15. a) 18 b) 0,5 c) 1,75 d) 20 e) 19 f) Ninguna 03. Calcular la media. (Para los datos sin agrupar).
a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5 d) 10,31 e) 12,7 f) Ninguna 04. Calcular la media ponderada: (Tabla de datos sin agrupar) a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5 d) 10,31 e) 12,7 f) Ninguna 05. Calcular la mediana (Para los datos sin agrupar). a) 9,5 b) 9,8 c) 9 d) 10 e) 10,5 f) Ninguna 06. Calcular la moda (Para los datos sin agrupar).
a) 8 b) 9
.
c) 10
d) 11
e) 7
f) Ninguna