>PRESENTACIÓN
Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió: “... la mejor forma de aprender es hacer”.
En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 1 propone a los estudiantes de primer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados. Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto. Por otro lado, así como un árbol tiene ramas, pero un montón de ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad. En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.
> ESTRUCTURA DE TU LIBRO Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques cada uno compuesto de varias lecciones, cada una con su número por bloque. Esta distribución responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada. Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro: Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de: 2 4 Como2regletasazulesmidenlomismoque4regletascolorcafé,entonces 4 = 8 . Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones:
Enlace
2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regletablancamide lo mismo que 2 regletas rojas. Buscacon tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante unaigualdad defracciones. Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones: 1 regletablanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 regletamorada miden lomismo que 5regletas moradas;1regleta azuljunto con 3regletas colorcafé miden lomismo que 5 regletascolor café; sia 2 regletasverdes les quitamos 2 regletasamarillas nos quedan 4regletasamarillas.
Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.
Buscacon tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante unaigualdad defracciones. 2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en unacircunferenciade radio 1 cm, mide ellado de cadauno de ellos, calculasu perímetro y llenalasiguiente tabla.
Bloques
“Laentradaal conocimientodetodaslascosasexistentesy todoslososcurossecretos.” Estoesloquese leealiniciodeltextodeestedocumento,llamado papiro deRhind , escritoporAhmes aproximadamenteenelaño 1650antesdenuestraera. Estemanusc rito egipcioes unade laspocasobras matemáticas de la antig üedad, conse rvadas hast a nuestrosdías.Elpapiroconsta devariastablasque contienen87problemasresueltosdeAritmética,principalmentefracciones,cálculode áreasy volúmenes, progresiones,reparto proporcional,aplicaciónde la reglade tres,ecuacioneslinealesyTrigonometríabásica.Enla fotodelaizquierdasemuest ranlaspart es correspondientesalos problemas43 a55. Enla fotodela dere chasemuest raelproblema62, quedice:"Enuna bolsahayoro,platay plomoendistintasproporciones.Hay quedividir84 entres partes, proporcionalesa12, 6y 3.¿Cuálessonestas partes?". Estees unproblemade repartoproporcional,que es unode lostemasque estudiaráseneste bloque.
Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque , expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente
los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada.
Para comenzar
necesitasrecordar: 1. 2. 3. 4.
Cómo se escriben los números en elsistemadecimal. Qué valor tiene cadacifra deun númeroescrito ensistema decimal. Cómo se leen números escritos en sistema decimal. Cómo se suman, se restan y se multiplican númerosescritosen sistema decimal.
En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes e indica el inicio de la actividad tres de esa lección. Cada lección puede tener de tres a seis partes. Cada parte consta de una a tres páginas, el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .
Lecciones
En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 362.
¿Tehaspreguntadocómocontabanenlaantigüedad?Cuandoloshombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en huesos, nudos en unacuerdayalgunasotrasformas.Peroseguramente,altornarsemáscomplejas las sociedades, fue necesario representar cantidadescadavez más grandes yestos métodosresultaroninsuficientes.Porestarazón,surgió laideade usar símbolosquerepresentarancantidades.Asínacierondistintossistemasde numeración formados por v arios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbolosal escribircantidades.
En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla conalgunosnúmerosegipciosysu equivalenteen sistemadecimal:
Analiza la tabla anteriory escribe en sistema decimal la cantidad que representacadaunode lossiguientessímbolosegipcios.
Aplicación En algunas lecciones encontrarás una
aplicación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.
• laidentificaciónde laspropiedades delsistema de numeracióndecimal, contrastándolasconlas deotrossistemas numéricosposicionalesy no posicionales.
¿Lossímbolosegipciosrepresentan potenciasde algún número? Explica tu respuesta. Escribe en sistema egipcio elaño en que naciste. Al escribir el número 728000 en sistemaegipcio, ¿cuántas veces se repite elsímbolo que representa100 000? ¿Cuántasvecesdebesescribirelsímboloque representa 10000? ¿Yelsímboloque representa1000?
Para terminar
.Copia en tucuadernola siguientefiguray refléjalarespecto ala recta prolongalarecta sies necesario.
Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.
2.¿Cuántosejes de simetríatiene un triánguloequilátero? ¿Yun triángulo isósceles? ¿Un escaleno? .Construye figurascon los datosque seindican: A
a) A y C son vértices de la figura y larectaes unejede simetría. b)Doscuadradoscuyos vértices sean untos de la malla y quelasrectas diujadas sean ejes de simetría.
C
B A
c)Un rombo en elque los puntosA y B sean vértices y que tengaa larecta como unode susejes de simetría.
Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.
Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:
MatemáTICas
En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta t an valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.
Punto de encuentro
Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores. LaConstitu ciónPolíticadelosEstadosUnidosMexicanos otorg aa losPartidosPolíticoscon regist roanteel InstitutoFederalElectoral (IFE),el derecho a recib ir financiamientopúblicopara elsostenimiento desus actividadescotidianas;es decir,para losgastosdecampaña, actividadesdeeducacióny capacitaciónpolítica,investigaciónotareaseditoriale s.Estederechoestáconsagradoen lafracciónII delArtículo 41(TítuloSegundo, CapítuloI. DelaSoberanía Nacionaly delaFormadeGobierno).
Junto ala llantadeatrás, labicicletatieneseis engranes y junto alos pedales tieneotros tres.
Una nueva actitud En algunos modelos, los engranes delpedal tienen 56, 48 y 40 dientes ylos dela llanta traseratie nen 28, 24, 22,20,18 y 14 dientes. Lacadenadela bicicle tauneun engranedelpedalconuno delallantade atrásysepuedecambiarlaposición delacadenaparaescogercualquie radelostresengranesdelanterosycualquieradelosseistraseros.
En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.
Lareglamentac iónde la forma enque cada partido políti coha derecibirestosrecursosestáplasmadaen el numeral 7 del Artículo 4 9 del CódigoFederal deInstitucionesy Procesos Electorales (Cofipe).
El70% restante se distribuye de manera proporcional ala cantidad de votos queobtuvo cadapartido en laelección inmediataanterior. Es decir, lo que le correspondaa cadapartido deeste 70%,dependerá del númerode votos que cadauno hayaobtenido. En enero de 2005, el Instituto Federal Electoral (IFE) determinó que elmonto anual para financiamiento a los partidos políticos con representación en las Cámaras delCongreso de laUnión sería de $1953655351.92 (un mil novecientos cincuenta y tres millonesseiscientos cincuenta y cinco mil trescientos cincuenta y un pesos 92/100m.n.) Atendiendoa la fracción V arriba citada, este monto se repartióen dos tantos: el30% se distribuyó equitativamente entre los partidos y el70%se distribuyó proporcionalmente.
Para determinar elmonto anual destinado a las actividades de los partidos,elConsejo General delIFE calcula los costos mínimos para las campañas de diputados y senadores y para la campaña presidencialy la suma de estos montos es lo que se dividirá entre los partidos. El 30% deeste monto se entrega por parte s iguales a cadaunodelospartidosquetienenrepresentantesenlas cámaras de diputados y senadores. Así, elmonto que se distribuyó equitativamente fue: 1 953655351.92 × 0.30 = 5860 96605.58 quecorrespondeal30%delmontototal. Sien 2005 había 7 p artidos políticos con representación en las cámaras, ello significa que cada uno recibió inicialmentela cantidad de: 586096605.58 ÷ 7 = $83728086.51
Al final de tu libro se encuentran cuatro anexos:
Glosario . Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su significado. Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las
referencias utilizadas para la elaboración de este libro. Búsqueda de información en Internet . Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales relevantes para tu curso. Programa de la asignatura . Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estudio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación de los contenidos con respecto al programa.
> CONTENIDOS EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico
• •
Significado y uso de los números Números naturales Números fraccionarios y decimales Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas
Forma, espacio y medida
•
BLOQUE 1
14
LECCIÓN 1 EL SISTEMA DE LA ABUELA Y OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
17
Identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales
LECCIÓN 2 NÚMEROS Y LETRAS Fórmulas geométricas en lenguaje natural. Sucesiones de números
LECCIÓN 3 ¿QUÉ NÚMERO ES MÁS GRANDE?
•
Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad Representación de la información Diagramas y tablas
43
Ubicación de fracciones y números decimales en la recta numérica Comparación y orden de números fraccionarios y números decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes y la regla de los productos cruzados
Transformaciones Movimientos en el plano
Manejo de la información
•
31
LECCIÓN 4 IGUAL PERO AL REVÉS
57
Construcción de figuras simétricas respecto a una recta y el análisis de las propiedades que se conservan bajo la reflexión.
LECCIÓN 5 AGRANDAR Y REDUCIR
65
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando varios procedimientos
LECCIÓN 6 ¿CUÁNTO LE TOCA A CADA QUIÉN?
73
Elaboración y uso de diversos procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional
LECCIÓN 7 CUENTA CUÁNTOS
79
Distintas formas de contar empleando diversos recursos, como tablas y diagramas y la identificación de patrones
•
MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud
84 86 88
EJE
BLOQUE 2
90
Sentido numérico y pensamiento algebraico
LECCIÓN 1 PARTIENDO EN DOS
93
Significado y uso de las operaciones Problemas aditivos Problemas multiplicativos
Las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos
LECCIÓN 2 TANTOS LADOS COMO QUIERAS Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones
103
Forma, espacio y medida
•
Formas geométricas Rectas y ángulos Figuras planas • Medida Justificación de fórmulas
Manejo de la información
LECCIÓN 3 SUMANDO Y RESTANDO
113
Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos Uso de aproximaciones
LECCIÓN 4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Y DECIMALES
123
Multiplicación de números fraccionarios y de números decimales
LECCIÓN 5 PARTES DE PARTES
135
División entre números fraccionarios
•
Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad
LECCIÓN 6 ÁREAS Y PERÍMETROS
143
Fórmulas de área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
LECCIÓN 7 MÁS RAZONES
155
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando procedimientos expertos Interpretación del efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas
• •
MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud
160 164 165
EJE
BLOQUE 3
168
Sentido numérico y pensamiento algebraico
LECCIÓN 1 ¿QUÉ TANTO ES TANTITO?
171
Significado y uso de las operaciones Problemas multiplicativos Significado y uso de las literales Ecuaciones
Forma, espacio y medida
• •
Formas geométricas Figuras planas Medida Estimar, medir y calcular
El concepto de porcentaje, su cálculo y aplicaciones, así como su expresión como una fracción o un número decimal La utilidad de la representación de la información mediante gráficas de barras y circulares
LECCIÓN 2 INCÓGNITAS Y ECUACIONES
183
Los problemas que impliquen el planteamiento y solución de ecuaciones de la forma x + a = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución de ecuaciones de la forma ax = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución de ecuaciones de la forma ax + b = c
LECCIÓN 3 PROPORCIONES Y MÁS PROPORCIONES
193
Problemas de tipo valor faltante Relación de proporcionalidad, valor unitario y regla de tres
Manejo de la información
• • •
Análisis de la información Relaciones de porpocionalidad Porcentajes Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas Análisis de la información Noción de probabilidad
LECCIÓN 4 ¿SE PUEDE O NO SE PUEDE?
201
La construcción de figuras geométricas a partir de ciertos datos y la unicidad del resultado de dicha construcción La relación entre los elementos necesarios para calcular perímetros y áreas
LECCIÓN 5 COLECCIONANDO DATOS
213
Análisis de datos Las nociones de frecuencia Frecuencia relativa Gráficas de barras, gráficas de discos y sus interpretaciones
LECCIÓN 6 PUEDE QUE SÍ, PUEDE QUE NO
229
Reconocimiento de las experiencias aleatorias Enumeración de los resultados posibles de una experiencia aleatoria La probabilidad clásica y cómo se calcula Comparación de las probabilidades de ocurrencia de dos o más eventos en una experiencia aleatoria
EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico
• • •
Significado y uso de los números Números con signo Significado y uso de las operaciones Potenciación y radicación Significado y uso de las literales Relación funcional
Forma, espacio y medida
•
Formas geométricas Figuras planas • Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular
MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud
242 244 246
BLOQUE 4
248
LECCIÓN 1 ENCONTRAR EL LADO
251
Las potencias de exponente natural de números naturales y decimales. El cálculo de la raíz cuadrada Los problemas que implican la división de números naturales
LECCIÓN 2 PARA ADELANTE O PARA ATRÁS
263
Planteamiento y resolución de problemas que implican la utilización de números con signo
LECCIÓN 3 ALREDEDOR DEL CÍRCULO
269
Determinación del número (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro Justificación y uso de la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia Resolución de problemas que implican el cálculo del área y el perímetro del círculo Construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan ciertas condiciones dadas
Manejo de la información
•
Representación de la información Gráficas
EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico
• •
Significado y uso de las operaciones Problemas aditivos Significado y uso de las literales Relación funcional
Forma, espacio y medida
•
Medida Estimar, medir y calcular
Manejo de la información
• •
Análisis de la información Nociones de probabilidad Relaciones de proporcionalidad Representación de la información Medidas de tendencia central y de dispersión
LECCIÓN 4 RELACIONES FUNCIONALES
279
El análisis de cantidades relacionadas y su representación mediante una tabla y una expresión algebraica Localización de puntos en el plano cartesiano La función de proporcionalidad directa: tablas, gráficas y expresión algebraica
MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud
292 294 296
BLOQUE 5
298
LECCIÓN 1 DESCRIBIENDO TENDENCIAS
301
Comparación entre dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central
LECCIÓN 2 ¿MÁS O MENOS?
311
Solución de problemas que implican la suma y resta de números con signo
LECCIÓN 3 SIGAMOS CON LAS MEDIDAS
323
Solución de problemas que implican el cálculo de áreas en diversas figuras planas
LECCIÓN 4 ACTIVIDADES DE PROPORCIONALIDAD
331
Relaciones de proporcionalidad Cálculo de valores faltantes en varias representaciones de proporcionalidad directa
LECCIÓN 5 PROPORCIONALIDAD INVERSA
341
Introducción a las relaciones de proporcionalidad inversa a través de problemas
LECCIÓN 6 ¡A JUGAR!
347
Equiprobabilidad por medio de varios juegos de azar
MatemáTICas Punto de encuentro Una nueva actitud Glosario Bibliografía Búsqueda de información en Internet Programa de la asignatura
356 358 360 362 364 366 367
> ENLACE > ¿Qué aprendiste de Matemáticas en la primaria?
PARA COMENZAR el estudio de las matemáticas del primer grado de secundaria necesitarás recordar o reaprender, en su caso, los conocimientos que recibiste anteriormente. Como su nombre lo indica, esta parte es un enlace entre los conocimientos y habilidades que adquiriste en la escuela primaria con lo nuevo que aprenderás en la secundaria. Aquí desarrollarás una serie de actividades que, con la guía de tu maestra o maestro, te ayudarán a conseguir este objetivo.
Actividades 1. Sobre una cartulina reproduce las regletas de la siguiente figura, respetando los colores y las medidas. El dibujo está hecho a escala. Usa tus escuadras para trazar las paralelas y las perpendiculares y tu regla graduada para hacer las divisiones:
30 cm
¿Cuántas regletas lilas necesitas para formar una regleta naranja? ¿Cuántas verdes? ¿Cuántas regletas de color café necesitas para formar una regleta naranja? Compara de esta manera todas las regletas con la naranja y escribe tus respuestas en tu cuaderno. 1 regleta lila representa 1 de una regleta naranja. 2 1 1 regleta verde representa 3 de una regleta naranja. ¿Qué fracción de la regleta naranja representan las demás regletas? Escribe tus respuestas en tu cuaderno.
Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones: 2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regleta blanca mide lo mismo que 2 regletas rojas. Busca con tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante una igualdad de fracciones. Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones: 1 regleta blanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 regleta morada miden lo mismo que 5 regletas moradas; 1 regleta azul junto con 3 regletas color café miden lo mismo que 5 regletas color café; si a 2 regletas verdes les quitamos 2 regletas amarillas nos quedan 4 regletas amarillas. Busca con tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante una igualdad de fracciones. 2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio 1 cm, mide el lado de cada uno de ellos, calcula su perímetro y llena la siguiente tabla.
Polígono Número de lados Perímetro (en cm)
Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Octágono
> ENLACE
3. Calcula el área del siguiente triángulo midiendo la base y la altura. Para ello, traza una recta perpendicular a la base que pase por el vértice superior e identifica la altura. Mide cada uno de los ángulos del triángulo y obtén la suma de los tres ángulos.
Traza una recta paralela al lado mayor del triángulo que pase por el vértice opuesto a ese lado. Construye un t riángulo isósceles que tenga la misma base que el triángulo anterior y el tercer vértice sobre la línea que trazaste, calcula su perímetro y su área. ¿Cómo son los perímetros y las áreas de los dos triángulos? ¿Cuál es mayor? Mide cada uno de los ángulos del triángulo isósceles que construiste y obtén la suma de los tres ángulos. ¿Hay alguna diferencia entre la suma de los tres ángulos del triángulo rojo y la suma de los tres ángulos del triángulo isósceles que construiste?, ¿cuál es? 4. Se tiene una ruleta con 6 hoyos numerados, perfectamente simétrica y bien balanceada. Se coloca una canica en la ruleta y se hace girar. Al detenerse, la canica se deposita en alguno de los hoyos. Compara las siguientes parejas de resultados y analiza cuál es más probable en cada caso: a) Que la canica caiga en un número impar o en un par. b) Que la canica caiga en un número par o en un múltiplo de 3. c) Que la canica caiga en un número impar o en un divisor de 6. Explica cada una de tus respuestas.
1
6
2
5
3 4
5. Si fueras a extraer una bola al azar de alguna de las siguientes urnas y ganaras en caso de que la bola extraída sea azul, ¿qué urna elegirías? Explica por qué.
Urna 1
6. Una maestra representó en una gráfica de barras las calificaciones de sus 36 alumnos en el examen final de Matemáticas. La gráfica quedó así: Sólo 2 estudiantes obtuvieron 5 de calificación. a) ¿Cuál es la calificación más frecuente? ¿Cuántos estudiantes obtuvieron esa calificación? b) Haz una tabla de frecuencias con los datos de la gráfica. c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo 10 de calificación? d) ¿Qué porcentaje de estudiantes no aprobó el examen? e) ¿Cuál es la calificación promedio del grupo?
Urna 2
Urna 3
10 9
s e 8 t n a i d 7 u t s 6 e e d 5 o r 4 e m ú 3 N
2 1 5
6
7
8
Calificación
9
10
>BLOQUE 1
> Lo que aprenderás en este bloque
EJE
EJE
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Manejo de la información
Identificar las propiedades del sistema de
Construir figuras simétricas respecto de
Identificar y resolver situaciones de pro-
numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales
un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.
porcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.
Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.
“La entrada al conocimiento de todas las cosas existentes y todos los oscuros secretos.” Esto es lo que se lee al inicio del texto de este documento, llamado papiro de Rhind , escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1 650 antes de nuestra era. Este manuscrito egipcio es una de las pocas obras matemáticas de la antigüedad, conservadas hasta nuestros días. El papiro consta de varias tablas que contienen 87 problemas resueltos de Aritmética, principalmente fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, reparto proporcional, aplicación de la regla de tres, ecuaciones lineales y Trigonometría básica. En la foto de la izquierda se muestran las partes correspondientes a los problemas 43 a 55. En la foto de la derecha se muestran los problemas 61 al 64. El problema 63 dice: “Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 23 , 12 , 13 y 1 ”. Éste es un problema de reparto proporcional, que es 4 uno de los temas que estudiarás en este bloque.
EJE
Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.
Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.
>PARA COMENZAR ... necesitas recordar:
1. 2. 3. 4.
Cómo se escriben los números en el sistema decimal. Qué valor tiene cada cifra de un número escrito en sistema decimal. Cómo se leen números escritos en sistema decimal. Cómo se suman, se restan y se multiplican números escritos en sistema decimal.
> En esta lección, abordarás el tema de:
• La identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.
>1º 1> El sistema de la abuela y otros sistemas de numeración La abuela de Mónica tiene una tienda en un pequeño poblado. Desgraciadamente, la anciana no asistió a la escuela y no sabe escribir cantidades grandes en el sistema decimal. A pesar de ello, lleva sus cuentas con todo cuidado. Observa los billetes y monedas que le pagan sus clientes y escribe, a su manera, los precios de los productos que vende, usando sólo los símbolos 0, 1 y 2. En vacaciones, Mónica se ofreció a ayudarle, así que la abuela le mostró cómo anota lo que vende. Esto es lo que la abuela había escrito ese día.
0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 1 5 2 1
Un kilo de azúcar
1
0
0
1
1
0
2
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
0
Tres caramelos Tres paquetes de galletas
2
1
Una lata de chiles Tres refrescos grandes Dos bolsas de papas fritas
5
1
1
Lo primero que Mónica tuvo que hacer es entender el sistema de su abuela para escribir cantidades. En las siguientes actividades, vamos a ayudarle en esta tarea. Analiza el cuadro anterior con tus compañeros de equipo. Después, contesta lo siguiente. ¿Por qué crees que la abuela eligió los números 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2 y 1 para registrar sus ventas? Cuando escribe un 2 en la columna encabezada por el número 2, ¿qué cantidad representa? Escribe en sistema decimal el precio de los siguientes productos que vendió la abuela en el día: Un kilo de azúcar Una lata de chiles Tres refrescos grandes Dos bolsas de papas fritas Tres caramelos Tres paquetes de galletas ¿Cuánto dinero se reunió por las ventas anteriores?
Actividad colectiva
500
200
100
50
20
Copia el siguiente cuadro y escribe la cantidad total de ventas en el sistema de la abuela. Compara tus respuestas con las de tus 10 5 2 1 compañeros. Analiza si es posible escribir esa cantidad de distintas formas usando el sistema de la abuela. Explica tus conclusiones. Ahora, en un cuadro igual al anterior, escribe en tu cuaderno la cantidad 126 de tres formas distintas en el sistema de la abuela. ¿Crees que hay alguna cantidad menor a 1 000 que no pueda escribirse en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta. Anota en el cuadro tres cantidades distintas en el sistema de la abuela usando dos unos, un dos y un cero. Escribe el equivalente en el sistema decimal.
Sistema de la abuela
10
5
2
Sistema decimal
1
¿Es importante la posición que ocupan el 0, 1 y 2 al escribir cantidades en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta.
Los sistemas de numeración en los que el valor de cada símbolo depende de la posición en que se coloque, se llaman sistemas posicionales.
Ahora compara el sistema de la abuela con el sistema decimal. En un cuadro como el siguiente, escribe en cada columna si el sistema correspondiente tiene o no cada una de las características indicadas. Características
Sistema de la abuela
Sistema decimal
Cada cantidad sólo se puede escribir de una forma. Es un sistema posicional. Se puede representar cualquier cantidad menor o igual que 1 000. Se puede representar cualquier cantidad mayor o igual que 1 000.
Discute con tus compañeros de equipo las ventajas y desventajas del sistema de la abuela para escribir cantidades. Anótenlas.
>2º Cuando Mónica platicó en su clase de Matemáticas la forma en que su abuela escribe cantidades, la maestra le planteó al grupo este reto: “¿Podrían expresar cualquier cantidad usando sólo los símbolos 0 y 1?” Varios estudiantes respondieron que no. La maestra insistió: “Imaginen que tienen varios palitos de paleta. ¿Qué símbolo usarían para representar uno solo?” Luis: Pues el 1. Maestra: Y ¿cómo representarían dos palitos? Carla: No hay un símbolo para esa cantidad. Maestra: Entonces usen dos símbolos juntos que no comience con cero, por-
que al igual que en nuestro sistema el cero a la izquierda es ocioso. Pepe: ¡Ah! Entonces se puede usar 10 o bien 11. Maestra: Bueno, podemos usar esas dos parejas de símbolos para representar las cantidades 2 y 3. ¿Cuál de ellas creen que debiera representar la cantidad más pequeña? Arturo: Pues en los números que usamos el 10 es más chico que el 11. Maestra: Entonces digamos que 10 representa dos palitos y 11 representa tres palitos. Ahora veamos cómo representar cuatro palitos, ¿qué símbolos usarían? Mónica: Ya no hay más posibilidades con dos símbolos juntos Maestra: Es verdad, pero pueden usar tres símbolos juntos. Mónica: Entonces creo que hay que usar el 100. En el grupo siguieron escribiendo cantidades usando solamente el 0 y el 1. La maestra escribió en el pizarrón una tabla como la siguiente: Nuevo sistema
Sistema decimal
1
1
1 0
2
1 1
3
1 0 0
4
1 0 1
5
1 1 0
6
1 1 1
7 8 9 10
Analiza con tu equipo la construcción de esta nueva numeración y escribe los números que faltan en la tabla anterior. Este sistema de numeración que sólo usa ceros y unos para representar cantidades se llama sistema binario.
Actividad colectiva
Para poder determinar qué cantidad corresponde a un número escrito en el sistema binario, sin tener que escribir todos los números anteriores, es necesario entender las reglas de esta forma de representar cantidades. Toma 15 palitos de paleta y varias ligas. Forma grupos como los siguientes: Observa que el primer grupo está formado por un solo palito y el segundo por dos palitos. El tercer grupo está formado por dos grupos de dos palitos; es decir, cuatro palitos. El cuarto, por dos grupos de cuatro palitos, o sea, ocho palitos. Como habrás notado, cada colección está formada por dos grupos del tamaño anterior.
Actividad colectiva
Usa los agrupamientos de palitos para formar cada una de las cantidades indicadas en el siguiente cuadro. Escribe cuántos agrupamientos de cada dimensión se usan en cada caso. Agrupamientos Agrupamientos Agrupamientos Agrupamientos de 8 222 de 4 22 de 2 de 1
1
1 2
1
0
3 S E D A D I T N A C
4 5 6 7 8 9
1 10 100 1000 10000
A partir de los resultados que obtuvieron en la tabla anterior, encuentren las cantidades que representan los números de la izquierda, escritos en sistema binario. En el sistema binario, ¿el 1 siempre tiene el mismo valor o su valor depende de la posición que ocupa? Explica la respuesta de tu equipo.
¿Qué cantidad representa el número 1101 en sistema binario? Expliquen al resto del grupo cómo lo obtuvieron. Junto con tu equipo ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en sistema binario sin calcular su equivalente en sistema decimal. 11000
10110
1111
1000
Actividad colectiva
11101
Explica el procedimiento que usaron en tu equipo para ordenarlos. Escribe en sistema decimal la cantidad que representa cada uno de los números escritos en el sistema binario. Sistema binario
Sistema decimal
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
Las computadoras utilizan el sistema binario.
1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
Ahora ordena de menor a mayor las cantidades en sistema decimal. ¿Se obtiene el mismo orden en el sistema binario que en el sistema decimal? Números en sistema binario
Números en sistema decimal
Ordenamiento en sistema decimal
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1°
1 1 1 0 1
Discute con tu equipo cuáles son las semejanzas y las diferencias entre el sistema binario y nuestro sistema decimal. Luego, escribe en tu cuaderno las conclusiones. El sistema binario tiene varias semejanzas con nuestro sistema decimal, pero requiere usar muchas cifras aun para expresar cantidades pequeñas.
>3º
Actividad colectiva
Actividad individual
Recuerda que en el sistema decimal necesitamos 10 símbolos para poder escribir cualquier cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A estos símbolos se les llama dígitos. Realicen por equipo el siguiente juego usando el sistema de numeración decimal. 1. Cada equipo debe escribir los diez dígitos en papeles separados, doblar los papeles e introducirlos en una bolsa en la que se puedan revolver bien. 2. Cada integrante del equipo debe dibujar en su cuaderno una tabla con cinco espacios como el de la izquierda. 3. Un miembro del equipo saca uno de los papeles y muestra el número. Cada integrante lo escribe en el espacio del cuadro que prefiera. El papel se regresa a la bolsa y se repite el procedimiento anterior, anotando el nuevo dígito en alguno de los lugares vacíos, y así sucesivamente hasta que se hayan llenado todos los espacios. 4. Al terminar, cada estudiante lee el número que formó y gana aquel que haya formado el número más grande. Después de realizar varias veces el juego anterior, contesta lo siguiente: ¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la primera casilla del lado izquierdo? ¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la segunda casilla de izquierda a derecha? ¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la última casilla de izquierda a derecha? Si en el juego anterior sale el 9 o el 8, ¿en qué casilla los colocarías? ¿Por qué? Y si sale el 0 o el 1, ¿en qué casilla los escribirías? ¿Por qué?
Actividad individual
En primaria estudiaste las características del sistema decimal y el significado de cada dígito en las cantidades escritas en ese sistema. Por ejemplo, el 657 se puede ver como resultado de la suma 600 + 50 + 7.
600
7
50
La forma de representar cantidades en ese sistema se puede analizar formando agrupamientos de palitos de paleta como los que usaste en el sistema binario. Un solo palito representaría una unidad. ¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la segunda cifra de derecha a izquierda? ¿Cuántos tendrían los agrupamientos que están representados en la tercera cifra de derecha a izquierda?
¿Cuántas decenas caben en una centena? ¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la cuarta cifra de derecha a izquierda? ¿Cuántas centenas caben en una unidad de millar? ¿Cuántos grupos del tamaño anterior tendría cada nuevo agrupamiento? El número 908, ¿cuántas centenas tiene? ¿Cuántas decenas? ¿Cuántas unidades?
= 0 1 e x d 0 o 1 0 t x n 0 e 0 i 1 0 m x 0 a 0 0 p 1 0 u x 1 r g 0 A 1 x 0 1
Analiza el cuadro anterior y completa en tu cuaderno los siguientes desarrollos: 821 = (8 ×
) + (2 ×
20 937 = (
× 10 000) + (
1 548 804 = (
×
(
)+(
×
)+ (1 × × 1 000) + ( )+( ×
1
e = d 0 o 1 t x n 0 e 0 i 1 0 0 m x 0 a 0 1 p 1 u x r g 0 A 1
5
e d = o t 0 1 n e x 0 i 0 0 0 m 1 a 1 p x u 0 r g 1 A
e d o t = n e 0 i 1 0 m x 0 1 a 0 p 1 u r g A
0 1 e d o t n e i m a p u r g A
1 e d o t n e i m a p u r g A
8
2
1
2
0
9
3
7
2
8
8
0
4
) × 100) + (
× )+(
= e 0 1 d x o t 0 0 1 n e x 0 i 0 0 m 0 1 a 0 p x 1 u 0 r g 1 A x 0 1
)+( ×
× 10) + ( × )+(
× 1) )+
×
)
Para escribir este tipo de desarrollos de manera más clara, vamos a usar una forma breve de escribir multiplicaciones como 10 × 10, 10 × 10 × 10, etcétera. Una multiplicación repetida del mismo factor se puede escribir en forma resumida de la siguiente manera: 2 × 2 × 2 × 2 = 24
56
3 × 3 = 32 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105 Expresiones como 24, 32 o 105 se llaman potencias. La base de una potencia es el factor que se repite y el exponente es el número que indica cuántas veces se repite el factor.
Usando potencias de base 10, el desarrollo que corresponde a un número entero escrito en sistema decimal se escribe de la siguiente forma: 560 047 = (5 × 100 000) + (6 × 10 000) + (0 × 1 000) + (0 × 100) + (4 × 10) + (7 × 1) = (5 × 105) + (6 × 10 4) + (0 × 103) + (0 × 102) + (4 × 10) + (7 × 1) Es por eso que este sistema se llama decimal o de base 10. Cuando en un sistema posicional cada lugar o posición tiene un valor que se puede expresar como potencia de un mismo número, se dice que ese número es la base del sistema.
¿Cuál es la base del sistema binario?
base
exponente
> 4º Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en huesos, nudos en una cuerda y algunas otras formas. Pero seguramente, al tornarse más complejas las sociedades, fue necesario representar cantidades cada vez más grandes y estos métodos resultaron insuficientes. Por esta razón, surgió la idea de usar símbolos que representaran cantidades. Así nacieron distintos sistemas de numeración formados por varios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbolos al escribir cantidades. Actividad individual
En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla con algunos números egipcios y su equivalente en sistema decimal: Sistema egipcio
Sistema decimal
32 396 1 910 24 289 300 000
Analiza la tabla anterior y escribe en sistema decimal la cantidad que representa cada uno de los siguientes símbolos egipcios. Sistema egipcio
Monumento egipcio.
Sistema decimal
Sistema egipcio
Sistema decimal
¿Los símbolos egipcios representan potencias de algún número? Explica tu respuesta. Escribe en sistema egipcio el año en que naciste. Al escribir el número 728 000 en sistema egipcio, ¿cuántas veces se repite el símbolo que representa 100 000? ¿Cuántas veces debes escribir el símbolo que representa 10 000? ¿Y el símbolo que representa 1 000?
¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar las siguientes cantidades del sistema decimal en sistema egipcio? 9 99 999 Los números del 1 al 9 se escriben repitiendo el símbolo tantas veces como sea necesario, pero para el número 10 hay otro símbolo: . Los números del 10 al 99 se escriben repitiendo tantas veces como sea necesario los símbolos y , pero sin exceder nueve repeticiones de cada uno de ellos porque para el número 100 hay otro símbolo. ¿Cuál es el mayor número de que se puede escribir? ¿Por qué?
Actividad colectiva
Para facilitar la lectura de los números egipcios, se ordenan los símbolos de derecha a izquierda de acuerdo con el valor de cada uno de ellos. No debe confundirse este ordenamiento con el hecho de que el sistema de numeración sea posicional. Recuerda que la característica esencial de los sistemas posicionales es que un mismo símbolo colocado en distintas posiciones adquiere diferentes valores, como sucede en el sistema decimal, en el binario y en el sistema de la abuela. Analiza con tu equipo si el sistema egipcio es posicional o no lo es y argumenta tu respuesta. Para comparar la forma en que se pueden hacer operaciones en el sistema egipcio y en el sistema decimal, realiza las siguientes actividades: El siguiente cuadro contiene una resta escrita en sistema decimal. En la segunda columna hay que escribir la misma operación usando números egipcios. Efectúa la operación y escribe el resultado en cada uno de los dos sistemas numéricos. Sistema decimal
–
Sistema egipcio
2 26 124
En el sistema decimal requerimos un cero para indicar que no hay decenas en el resultado. ¿Por qué en el sistema egipcio no es necesario un símbolo para el cero al escribir el resultado de esta resta? Discute con tu equipo las semejanzas y las diferencias entre el sistema decimal y el sistema egipcio. Escríbelas en tu cuaderno. En el sistema egipcio fue necesario inventar más y más símbolos para escribir cantidades cada vez más grandes.
Actividad colectiva
> 5º Los antiguos romanos también construyeron su propio sistema de numeración. Actualmente, seguimos usando los números romanos, por ejemplo, al escribir los siglos, los tomos de una enciclopedia o los capítulos de un libro. Los símbolos del sistema romano son las siguientes letras mayúsculas:
Actividad colectiva
Sistema romano
I
1
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1 000
Completa la siguiente tabla: Sistema romano
¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar la cantidad 888 en sistema romano? ¿En el sistema romano el valor de un símbolo depende de su posición? Explica tu respuesta.
Actividad individual
Actividad individual
Sistema decimal
257
CCLVII CCCXXV
538 663
DCLXIII
725 DCCCLXXXVIII
Los romanos introdujeron una regla para escribir más brevemente números como el 4, el 9, el 40, el 90, etcétera.
Coliseo romano.
Sistema decimal
2 153
MMCLIII MMMDCCXXVI
4 863
Número romano
IV
IX
XL
XC
CD
CM
Número decimal
4
9
40
90
400
900
En los números romanos de la tabla anterior, el valor del símbolo de la izquierda se resta al del símbolo de la derecha. Pero no cualquier símbolo puede escribirse a la izquierda de cualquier otro símbolo romano. Analiza la tabla anterior. ¿A la izquierda de cuáles símbolos se puede escribir el número romano C? ¿Y el número X? ¿Y el I? Explica por qué no es correcto escribir 999 como IM y escribe correctamente ese número en el sistema romano. Al final de las antiguas películas mexicanas, aparece en números romanos el año en que fueron realizadas. En la siguiente lista aparecen los nombres de varias películas, el actor principal y el año. Escribe en sistema decimal los años en se realizaron:
Santa, Lupita Tovar, MCMXXXI La Valentina, Jorge Negrete, MCMXXXVIII El ahijado de la muerte, Jorge Negrete, MCMXLVI Nosotros los pobres, Pedro Infante, MCMXLVII Escuela de rateros, Pedro Infante, MCMLVI
Los tres huastecos, Pedro Infante, MCMXLVIII Doña Diabla, María Félix, MCMXLIX La malquerida, Dolores del Río, MCMXLIX Calabacitas tiernas, Tin Tan, MCMXLVIII El Ceniciento, Tin Tan, MCMLI
Escribe las diferencias entre el sistema romano y el sistema de numeración decimal. Compara tu respuesta con las de tus compañeros. Aunque hay muchas diferencias entre los sistemas egipcio y romano y la forma en que ahora escribimos números en el sistema decimal, estos sistemas antiguos tienen una estructura similar a la que usamos para leer números actualmente. Por ejemplo, el número 130 547 123 se lee 130 millones 547 mil 123. Los nombres que usamos para los primeros números se construyen de manera parecida hasta el 999, los nombres de los siguientes números se construyen de manera similar hasta el 999 999 y así sucesivamente.
MM
CCC
Dos mil
Trescientos
Al llenar un cheque, se tiene que escribir la cantidad que se debe pagar por él con números y con palabras. El cajero de un banco recibió cheques por las siguientes cantidades: novecientos uno treinta mil ciento siete doscientos veinte mil trescientos dos millones cinco mil cinco Escribe en tu cuaderno los números correspondientes.
X
VI dieciséis
Actividad individual
Escribe el nombre de cada uno de los siguientes números: El número entero que sigue después del nueve mil novecientos nueve. El número entero anterior a mil millones. Para leer números cada vez más grandes se han tenido que inventar más y más nombres. Escribe los nombres de las siguientes cantidades: 1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000
Aplicación Habrás oído que se venden docenas de naranjas o gruesas de naranjas. Una docena está integrada por 12 naranjas. Una gruesa consta de doce docenas, es decir, 12 2 = 12×12 = 144 naranjas. Para ventas más grandes se pueden formar docenas de gruesas, es decir, 12 3 = 12×12×12 = 1 728 naranjas. El sistema de las docenas es un sistema de numeración de base 12. En el siglo XVIII, el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, lo propuso para contar las mercancías. Su utilidad radica en que hay muchas partes de una docena que son números enteros. Por ejemplo: La mitad de una docena es 6. La tercera parte de una docena es 4. La cuarta parte de una docena es 3. La sexta parte de una docena es 2.
>6º 1. Escoge un símbolo que represente la cantidad 20, otro que equivalga a 5 y otro que represente 1. Con estos símbolos escribe los primeros 25 números en un sistema numérico no posicional. 2. Revisa el sistema de la abuela que se vio al principio de esta lección. a) Escribe de todas las formas posibles la cantidad 145 en este sistema. b) Supongamos que al sistema de la abuela se agrega la siguiente regla: “las cantidades se deben escribir usando siempre el menor número posible de billetes y monedas de cada denominación”. Ahora vuelve a escribir 145 de todas las formas posibles.
4
3. En el rectángulo de la izquierda, escribe en cada cuadrito uno de los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, de manera que se forme un número de 7 cifras en sistema decimal que cumpla lo siguiente: Tiene 4 cifras iguales y están juntas. La cifra de las unidades es el entero anterior a la cifra de las decenas. Sólo tiene una cifra impar y el doble de su valor es la cifra de las unidades de millar. En las unidades de millón, tiene una cifra que es el doble de la que está en las decenas. 4. Escribe en sistema decimal las siguientes cantidades: a) Trescientas decenas. b) 32 decenas de millar y 70 centenas. c) 90 unidades de millón, 35 unidades de millar y 435 unidades. 5. Escribe el valor de la cifra 9 en los siguientes números: En 1 940 765 En 891 En 9 237 6. Si se escriben todos los números enteros del 1 al 1 000, ¿cuántas veces aparece el dígito 5? 7. Las placas de los vehículos que circulan en cierta isla usan únicamente ceros y unos. Cada placa puede tener de una a cinco cifras. Ninguna placa puede empezar con un cero en el extremo izquierdo. a) ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir en las placas? b) ¿Cuántas placas distintas puede haber en la isla?
>PARA TERMINAR 8. Éstos son los primeros números de un sistema desconocido y su equivalencia en el sistema decimal. Analízalo y contesta.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
a) ¿Cuántos símbolos diferentes se usan? b) ¿Es un sistema posicional? c) ¿En qué cantidades se requiere agregar una cifra? ¿Esas cantidades son potencias de algún número? d) ¿Cuál es la base del sistema desconocido? e) ¿Coincide la base del sistema con el número de símbolos? f) Escribe las diferencias entre el sistema desconocido y nuestro sistema decimal. Torito Para numerar las páginas de un libro en sistema decimal, se usaron 4 221 caracteres. ¿Cuántas páginas tiene el libro?
9
>PARA COMENZAR ... necesitas recordar:
1. Cómo se suman, restan y multiplican los números enteros. 2. Cómo se encuentra el perímetro de un polígono regular. 3. Cómo se encuentra el área de un cuadrado y de un rectángulo.
> En esta lección, abordarás los temas de:
• Fórmulas geométricas en lenguaje natural. • Sucesiones de números.
>1º 2> Números y letras Laura y Alicia juegan a formar cuadrados con losetas cuadradas. Alicia dibujó las losetas acomodadas así: Dibuja en tu cuaderno los dos cuadrados que siguen. ¿Cuántas losetas tendría el cuarto cuadrado? 1 ¿Y el quinto? ¿Cuántas losetas tendrá el cuadrado número 10? ¿Qué operación hiciste para encontrar el número de losetas del décimo cuadrado? Completa la siguiente tabla: Número de figura
1
2
3
Lado del cuadrado
1
2
3
Número de losetas
1
4
9
4
5
6
7
8
9
10
...
Los números que corresponden al número de losetas en la tabla, se llaman números cuadrados. ¿Cuál es el decimosegundo número cuadrado? ¿Cuál es el vigésimo? ¿Y el quincuagésimo? Describe una regla que indique cómo calcular cualquier número cuadrado. Compara la regla que obtuviste con las obtenidas por el resto del grupo. En Matemáticas se acostumbra usar literales para representar ciertos números. Por ejemplo, se dice “el número natural n ” para simbolizar cualquiera de los números naturales. También se hacen operaciones usando símbolos de este tipo. Así, el doble de un número n se puede escribir como n + n o como 2 × n .
Explica qué tendrías que hacer para encontrar el número cuadrado que corresponde a la figura n–ésima. Escribe una fórmula para el número cuadrado correspondiente a la – ésima figura. n
Ahora imagina que el lado de las losetas mide un decímetro. ¿Cuántos decímetros cuadrados mide el área de la cuarta figura? ¿Y el área de la décima figura?
2
3 ...
¿Qué relación observas entre los números cuadrados y el área de cada figura? Explica. Los números cuadrados n 2 = n × n representan el área de un cuadrado de lado n . Actividad colectiva
Observa la siguiente sucesión de escaleras formadas con palillos:
Analiza con tu equipo las tres escaleras. Observa que la primera tiene un peldaño, la segunda tiene dos y la tercera tiene tres. Cuenta el número de palillos que se usó en cada una de las figuras. Después contesta: ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera del mismo tipo con 4 peldaños? ¿Y para formar una con 5 peldaños? ¿Será cierto que para formar una escalera similar con 11 peldaños, se necesitan 35 palillos? En ese caso, ¿cuántos palillos se necesitan para formar una con 12 peldaños? ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera con 20 peldaños? Escribe en tu cuaderno cómo encontrarías el número de palillos que se requieren para formar una escalera con n peldaños. Luego escribe una fórmula para obtener el número de palillos en ese caso. Compara la explicación y la fórmula que obtuvieron en tu equipo con las que hayan obtenido los demás compañeros de tu grupo. ¿Cuántas fórmulas distintas encontraron en tu grupo? ¿Todas ellas son correctas? Explica por qué.
>2º Considera la siguiente sucesión de números: 3, 7, 11, 15, . . . Siguiendo el patrón que muestran los números escritos, ¿qué número colocarías en quinto lugar? ¿Qué número colocarías en sexto lugar?
Actividad individual
Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan: Lugar
Número
1
3
2
7
3
11
4
15
5 6 7
¿Qué número colocarías en el lugar 10 de la sucesión? ¿Por qué? ¿Qué número colocarías en el lugar 100 de la sucesión? ¿Por qué? ¿Qué número colocarías en el lugar n de la sucesión? ¿Por qué? Discute tus respuestas con el resto del grupo. Considera la siguiente sucesión de números: 2, 4, 8, 16, . . . ¿Qué número colocarías en el quinto lugar? ¿Qué número colocarías en el sexto lugar? Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan: Lugar que ocupa el número
Número
1
2
2
4
3
8
4
16
5 6 10 ... n
Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respuesta con la de tus compañeros. Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión. Compara tu fórmula con la de tus compañeros.
Actividad individual
Diseña una sucesión de números que siga cierto patrón y escribe los primeros cinco términos en una hoja de papel. Intercambia tu hoja con otro integrante del equipo para que encuentre los siguientes términos de tu sucesión y escriba la fórmula correspondiente al patrón. Actividad colectiva
En la siguiente tabla se han escrito los primeros términos de las sucesiones de números pares y los primeros términos de la sucesión de números impares, comenzando con el 3. Anota los datos que faltan en la tabla.
Actividad individual
2
4
6
8
3
5
7
9
Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respuesta con la de tus compañeros.
Estas fotografías muestran un modelo de los primeros términos de las sucesiones de números pares y números impares utilizando regletas de Cuisenaire La longitud de las regletas va de 1 a 10 cm. Cada una tiene una altura determinada: La regleta blanca 1 cm. La regleta roja 2 cm La regleta verde claro 3 cm. La regleta lila 4 cm. La regleta amarilla 5 cm. La regleta verde oscuro 6 cm. La regleta negra 7 cm. La regleta café 8 cm. La regleta azul 9 cm. La regleta naranja 10 cm.
Números impares, primeros términos
Números pares, primeros términos
Representa al segundo término de la sucesión de números pares mediante una regla. Haz lo mismo para el tercer término de la sucesión. Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión de números pares. En cada columna compara el número de arriba con el de abajo ¿Encuentras alguna relación? Explícala. Si el término n de la sucesión de pares se representa como 2 × n, ¿cómo se representa el término n de la sucesión de números impares? ¿Cuál es el término 100 de la sucesión de números impares?
>3º Observa la siguiente sucesión de figuras, donde el lado de cada una mide dos unidades:
figura 1
figura 2
figura 3
figura 4
¿Qué figura colocarías en el quinto lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del noveno lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del decimotercer lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura que ocupe el lugar n? ¿Cuánto mide el perímetro de la primera figura? ¿Cuánto mide el perímetro de la quinta figura? ¿Qué tendrías que hacer para obtener el perímetro de la figura n ? Completa la tabla. Número de figura
Números de lados de la figura
Perímetro de la figura
1
3
2+2+2=3x2
2
4
3
5
4
6
9 10 13 n
Si el lado de los polígonos regulares midiera 5 unidades, ¿cómo obtendrías el perímetro de cada uno de los primeros cuatro polígonos? Escribe una fórmula para determinar el perímetro de un polígono regular de n lados cuyo lado mide 5 unidades.
Actividad individual
Actividad individual
En la sucesión de rectángulos de la izquierda, la base mide 4 cm, pero varía la altura. El primero tiene 1 cm de altura, el segundo 2, el tercero 3. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla. Números de rectángulo
Altura
Perímetro
Área
1
1
1 + 1 + 4 + 4 = 2 + 8 = 10
4x1=4
2
2
3
3
4 5 ... 15
¿Cómo expresarías el perímetro del rectángulo con altura n? ¿Cómo expresarías el área del rectángulo con altura n? Discute tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo. Actividad individual
Observa las figuras de la izquierda. Construye las cuatro figuras siguientes en tu cuaderno. Elabora una tabla como la siguiente y llénala: Número de figura
Figura 1
Número de cuadrados blancos Número de cuadrados rojos Número total de cuadrados en la figura
1
2
8
12
1 9
3
4
5
6
7
9 16
¿Cuántos cuadrados rojos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10? ¿Por qué? Figura 2
Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados rojos para la figura n. ¿Cuál es el total de cuadrados en la figura 6? ¿Y en la figura 10? ¿Cuál es el total de cuadrados en la figura n? ¿Cuántos cuadrados blancos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10?
Figura 3
Analiza tu tabla. En cada figura, ¿qué relación observas entre el número de cuadrados rojos y los otros dos renglones de la tabla? Explica esa relación. Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados blancos en la figura n.
> 4º Observa la siguiente sucesión de figuras.
1
2
Actividad colectiva
3
Construye las figuras 4 y 5 de acuerdo al patrón que siguen las tres primeras. Compara las figuras que obtuvo tu equipo con las de los demás compañeros del grupo. Haz una tabla como la siguiente y completa los datos que faltan, hasta la figura número 10: Números de figura
Número de puntos en la figura
Número de puntos que se agregaron a la figura anterior
1
1
–
2
3
2
3
6
3
4 . . .
Los números que escribiste en la segunda columna se llaman números trian gulares. ¿Cuál es el décimo número triangular? ¿Cuál es el decimosegundo? ¿Qué necesitarías saber para calcular el vigésimo número triangular? Discute con tus compañeros de equipo cómo se encuentra cualquier número triangular. Escribe la propuesta de tu equipo y compárala con la de los demás.
Ahora completa en tu cuaderno los datos que faltan en la siguiente tabla: Cantidad de puntos del número triangular
Número de sumandos
Resultado
1
1
1
1+2
2
3
1+2+3
3
6
1+2+3+4
4 . . . 10
¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del número triangular 12? ¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del número triangular n? Discute las respuestas de tu equipo con las de los demás compañeros. Aplicación El uso de literales para representar números es muy útil en diversas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en física se suele representar la rapidez de un objeto en movimiento por la letra v , la distancia que recorre por la letra d y el tiempo de viaje por la letra t .
Si un automóvil viaja siempre a una rapidez de 100 km/h, la distancia que recorre en una hora es 100 km, la que recorre en 1.5 horas es 150 km, etcétera. Se puede entonces representar la distancia recorrida por el automóvil mediante la fórmula d = 100 × t En esta fórmula, la letra t puede representar cualquier número de horas, y la letra d representa el número de kilómetros correspondiente. Observa que tanto t como d representan cantidades que pueden ser números enteros o fraccionarios. ¿Cómo escribirías la fórmula que representa la distancia recorrida por un automóvil que viaja a v km/h después de t horas de viaje?
>PARA TERMINAR 1. En arbolitos de Navidad de distintos tamaños se colocan luces de acuerdo con el siguiente patrón:
Tamaño 1 Tamaño 2
Tamaño 3
a) ¿Cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 4? ¿Y para uno de tamaño 5? b) Analiza cómo crece el número de luces al ir aumentando el tamaño. Determina cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 20. c) Explica cómo se puede obtener el número de luces para un árbol de tamaño n. d) Escribe una fórmula para determinar el número de luces en un árbol de tamaño n. 2. Escribe las operaciones que deben hacerse para encontrar el perímetro de los dos primeros paralelogramos. Posteriormente, escribe una fórmula para determinar el perímetro de los otros dos paralelogramos.
3
3
5 4 n
a b
m
> 5º
>PARA TERMINAR 3. Observa la siguiente colección de figuras. ¿Cuántos puntos tendrá en la base y en la altura la figura que sigue?
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Completa la siguiente tabla. Números de puntos en la base
Número de puntos en la altura
Total de puntos
1
1x2
2
2x3
... n
4. ¿Cuántos lados tiene cada uno de los siguientes polígonos regulares? ¿Cómo encontrarías su perímetro? b
a
c
d
>PARA TERMINAR 5. El número que aparece en cada figura representa la longitud del lado del rombo (recuerda que un rombo es un cuadrilátero con todos sus lados iguales)
1
2
3
¿Cómo encontrarías el perímetro del rombo que ocupa el lugar n en la sucesión? 6. Encuentra los primeros términos de una sucesión de números con las siguientes características y escribe la expresión que describe el término n de la sucesión: a) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 3 y el primer término es 5. b) El primer término es 2 y cada término posterior es el triple del anterior. c) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 7 y el primer término es 12. 7. El primer término de una sucesión de números es 1 y cada nuevo término se obtiene multiplicando el anterior por 3 y restando 1 al resultado. Encuentra los 6 primeros términos de esta sucesión.
Torito Completa esta tabla. Luego busca un patrón y trata de justificarlo.
Número de sumandos
Resultado
1
1
1
1+2
2
3
1+2+3
3
6
1+2+3+4
4
1+2+3+4+5
5
Sin hacer la suma, halla el resultado de: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 ¿Cuál es el resultado de la suma de los primeros 50 números naturales?
>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. Cómo son los números decimales y cómo se representan. 2. Cuáles son las fracciones decimales y cómo se representan como número decimal. 3. Cómo encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada. 4. Cómo se simplifican las fracciones. 5. Cómo se representan números en la recta numérica.
> En esta lección , abordarás los temas de: • Ubicación de fracciones y números decimales en la recta numérica. • Comparación y orden de números fraccionarios y números decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes y la regla de los productos cruzados.
>1º 3> ¿Qué número es más grande? A Toño se le cayó la caja de brocas de su papá y se desacomodaron todas. Al recogerlas, observó los diámetros de las brocas: :
5 1 3 3 , , , , 32 8 32 16
y
Actividad colectiva 1 4
de
pulgada. Observando el grosor de las brocas, Toño las acomodó de menor a mayor.
¿En qué orden quedaron las brocas después de que Toño las acomodó? ¿Qué fracción corresponde a la broca más gruesa? ¿Y a la más delgada? Ordena las fracciones de menor a mayor. Compara el procedimiento usado y el resultado obtenido en tu equipo con los procedimientos y resultados de los otros equipos. Discute con tu grupo cuáles son correctos y cuáles no. Para verificar el resultado anterior, une varias hojas cuadriculadas o usa un pliego de papel cuadriculado para trazar un segmento horizontal que abarque cuando menos 32 cuadros. Ubica el cero en el punto inicial del segmento y coloca el 1 a 32 cuadros de distancia del 0. Sobre esa recta numérica, localiza cada una de las medidas de las brocas. ¿Obtuviste el mismo orden que antes? Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas: ¿Qué fracción es más grande,
3 7
o
4 ? ¿Por qué? 7
Escribe una regla para determinar qué fracción es mayor entre dos fracciones que tienen el mismo denominador. Utiliza tu regla para ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: 120 229 49 350 35 300 , , , , , 235 235 235 235 235 235
Compara tu resultado con los del resto del grupo.
Actividad individual
¿Cuántos octavos hay en un cuarto? Entonces ¿qué fracción es más grande: 1 4
o
1 ? 8
¿Qué fracción es mayor:
¿Qué fracción es mayor:
1 6
o
1 ? 5
3 4
o
3 8
¿Por qué?
Puedes ayudarte de algún tipo de esquema
para explicar tu respuesta. Y entre
5 6
y
5 5
¿cuál es mayor?
Escribe una regla para determinar qué fracción es mayor entre dos fracciones que tienen el mismo numerador. Verifica tu regla ordenando de menor a mayor las siguientes fracciones: 15 15 15 15 15 15 , , , , , 12 125 40 58 115 2
Compara las dos reglas que escribiste con las de tus compañeros y discute con ellos cuáles son correctas y cuáles no. Actividad individual
Para responder las siguientes preguntas puedes apoyarte en algún tipo de esquema: 1 ¿Cuántos cuartos hay en un medio? Escribe una igualdad entre 2 y una fracción con denominador 4. ¿Cuántos novenos hay en dos tercios? Escribe la igualdad entre fracciones que expresa lo anterior. Compara las igualdades que escribiste con las del resto del grupo. Observa las parejas de diagramas que están a continuación y debajo de cada pareja, escribe la igualdad entre fracciones que corresponde:
Compara las igualdades que escribiste con las de tus compañeros y verifica que todas sean correctas. Ahora analiza todas las igualdades entre fracciones que has escrito en esta actividad. ¿Hay alguna relación entre los numeradores y los denominadores de las fracciones en cada igualdad? Escribe en tu cuaderno una explicación de esa relación. Recuerda que dos fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes
>2º Discute con tus compañeros de equipo y formula el procedimiento para obtener fracciones equivalentes a una fracción cualquiera a .
Actividad colectiva
b
Con un garrafón de 5 litros de agua, se pueden llenar 30 vasos iguales. Indica con una fracción la capacidad de un vaso. Escribe otras dos fracciones que representen la capacidad del mismo vaso. ¿Cuál es la fracción con numerador 1 que corresponde a la capacidad del vaso? ¿Cómo la obtuviste? Compara tus resultados con los de tus compañeros. Compara la formulación de tu equipo con las de los demás equipos.
Actividad individual
El proceso de encontrar fracciones equivalentes a una fracción a en las b que el numerador y denominador son menores que los de la fracción original, se llama simplificación de la fracción. Una fracción que no puede simplificarse se conoce como fracción irreducible. Discute con tus compañeros de equipo y formula el procedimiento para simplificar cualquier fracción a/b que no sea irreducible.
Actividad colectiva
36
Encuentra una fracción equivalente a 48 con denominador 12. Escribe cómo encontraste el numerador de esta fracción. Encuentra dos fracciones equivalentes a ca el método que usaste.
36 48
Simplifica lo más que puedas la fracción
con denominadores 8 y 6. Expli-
16 . 40
Explica cómo lo hiciste.
Un tornillo penetra 8 milímetros al dar 20 vueltas. Indica con una fracción irreducible la longitud que avanza en cada vuelta. Encuentra la fracción irreducible equivalente a cada una de las siguientes fracciones:
25 18 12 21 24 , , , , . 30 42 13 38 64
En tu cuaderno traza una recta numérica para representar en ella las siguientes cantidades, escoge una unidad adecuada en cada caso: a) 40, 120, 200 b)
Actividad individual
Actividad individual
Actividad individual
Actividad individual
1 1 1 1 , , , 2 4 8 16
Compara tus rectas numéricas con las de tus demás compañeros y discute con ellos el criterio que usaste para elegir la unidad. Copia en tu cuaderno la siguiente figura: 1 2
¿Dónde colocarías el 0? ¿Y el 1? Compara tu recta numérica con la de tus demás compañeros. ¿La distancia del 0 al 1 es igual en todas?
Actividad individual
Actividad individual
Copia en tu cuaderno la siguiente figura
1 3
2 3
Encuentra los puntos que representan al 0 y al 1. ¿La distancia del 0 al 1 es igual en tu recta numérica que en la de todos tus compañeros? ¿Es suficiente ubicar un número en la recta numérica para que los demás queden bien determinados? ¿Es suficiente ubicar dos números en la recta numérica para que los demás queden bien determinados? Discute tus respuestas con tus demás compañeros. Actividad individual
En una recta numérica como la siguiente, localiza las fracciones: 9 7 5 3 5 17 , , , , , 12 4 6 2 3 12
y
2 3
0
1
2
Escribe las fracciones anteriores en orden de menor a mayor. En una recta numérica como la siguiente, localiza los números: 1 , 4
1 1 3 4 3 , , , 2 2 3 4
1, 3 ,
y
2 . 3
5 4
0
Sobre una recta numérica como la siguiente, localiza los números: 2,
15 45 11 , , 24 30 22
y
11 . 4
18 8
0
¿Cómo se puede determinar cuál es mayor entre las fracciones be el procedimiento en tu cuaderno. Determina qué fracción es menor entre
2 7
y
2 9
8 21
Escribe en orden de menor a mayor las fracciones
2 5 , 3 15
y
6
y 18? Escri-
7 . 9
Compara las respuestas que obtuviste con las del resto del gr upo.
>3º 3 4
Analiza si son equivalentes las fracciones lencia entre las fracciones ¿Las fracciones
9 12
¿Son equivalentes
3 4
y
y
9 . 12
Ahora analiza la equiva-
15 . 20
15 representan la 20 9 15 y 20? 12
y
Actividad individual
misma cantidad?
Explica en qué basas tu respuesta. ¿Son equivalentes las siguientes parejas de fracciones? 8 10
y
4 5
20 25
y
4 5
8 10
y
20 25
8 5
y
16 10
1 3
y
9 27
Argumenta tus respuestas. Si dos fracciones son equivalentes a una tercera entonces son equivalentes entre sí. Discute con tus compañeros de equipo cómo encontrar una fracción equivalente a
7 5
con denominador 40 y otra fracción equivalente a
nador 40. ¿Qué fracción es más grande,
7 5
Encuentren dos fracciones equivalentes a
u
5 7
11 con 8
denomi-
11 ? ¿Por qué? 8
ya
7 9
que tengan el mismo deno-
minador. ¿Qué fracción es mayor? Discute con tu equipo un método general para encontrar dos fracciones con un mismo denominador que sean equivalentes a dos fracciones dadas. Formulen un método general para comparar dos fracciones. Compara tus métodos con los que hayan encontrado tus compañeros. Analiza con todo el grupo cuáles son correctos y cuáles no.
Actividad colectiva
Actividad individual
Usando el método que describiste en la actividad anterior, compara las siguientes parejas de fracciones: 4 7
y
5 9
2 3
y
3 4
2 10
y
1 5
Ahora analiza las siguientes fracciones: ¿Cuáles son menores que
1 ? 2
4 7 9 5 3 1 , , , , , . 9 12 8 6 4 7
¿Cuáles fracciones están entre
1 2
y 1? ¿Cuál es
la menor de todas las fracciones? ¿Y la mayor? Para comparar las fracciones a y c , multiplicamos el numerador y el b d denominador de la primera fracción por d y el numerador y el denominador de la segunda por b . a = (a × d ) y c = (c × b ) b (b × d) d (d × b)
Como estas dos nuevas fracciones tienen el mismo denominador, basta comparar los numeradores para saber cuál de ellas es mayor o si son iguales. Si a × d = c × b las fracciones originales son equivalentes. Si a × d > c × b la fracción a es mayor que la fracción c . b d Si a × d < c × b la fracción a es menor que la fracción c . b d A esta forma de comparar fracciones se le conoce como método de los pro- ductos cruzados . Actividad individual
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 1 4
5 7
4 11 11 12 8 7 9 13 5 4 1
> 4º En tu cuaderno, construye una tabla como ésta: Entre 0 1 y 4
Entre y
1 2
1 4
Entre y
3 4
1 2
Actividad individual
Entre
3 4
y1
Entre 1 5 y 4
Analiza las siguientes fracciones y escribe cada una de ellas en la columna 1 2 5 8 1 3 5 7 9
3
9 12 16
3
5
9
que le corresponde: 7 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 14 , 14 , 14 , 14 , 16 , 16 , 16 , 15 18 3 13 21 27 36 16 , 16 , 32 , 32 , 32 , 32 , 32 . Puedes auxiliarte con una recta numérica. Compara tu resultado con los obtenidos por tus compañeros. 1
3
Escribe un número fraccionario que esté entre 3 y 4 1 7 Escribe otro que esté entre 5 y 8 9
Actividad individual
10
Escribe una fracción entre 7 y 7 1 1 Escribe otra fracción entre 4 y 5
Encuentra fracciones equivalentes a las dadas con un denominador más grande. Describe el procedimiento que usaste para encontrar los números anteriores. Compara tu procedimiento con los de tus compañeros. Discute con el resto del grupo cuál método es más eficiente. En una recta numérica localiza los puntos que corresponden a las fracciones 1 2 3 y 3 . Después, intercala tres fracciones entre estas dos. Indica claramente
en la recta numérica cuáles son las fracciones que intercalaste. Explica el procedimiento que usaste para determinar esas fracciones. 5
13
Localiza en una recta numérica las fracciones 4 y 8 . Intercala tres fracciones entre las dos fracciones anteriores. ¿El procedimiento que usaste puede aplicarse para intercalar fracciones entre cualquier pareja de fracciones que te den? Explica tu respuesta. Entre cualquier par de fracciones distintas se pueden intercalar tantas fracciones como se quiera. También se pueden representar cantidades que están entre dos números enteros usando números decimales. En una recta numérica localizamos en la forma usual los números 0, 1, 2, 3, etcétera. Dividimos en 10 partes iguales cada unidad. A estas partes las llamamos décimos.
Actividad individual
Después dividimos cada décimo en 10 partes iguales y a estas partes las llamamos centésimos. Este proceso de subdivisión se puede continuar formando las partes a las que se les llama milésimos, diezmilésimos, cienmilésimos, millonésimos, etcétera. Cada número decimal tiene una parte entera (que puede ser cero), un punto decimal y después una expresión decimal. 1.5 1.6 0
0.3
0.6
0.9 1
1.50
1.2
1.52
2
1.54
1.56
1.58
2.3
1.60
La parte decimal está formada por una cantidad de décimos, otra cantidad de centésimos y así sucesivamente. Por ejemplo:
.008
.008 .04
.04 .5 Actividad individual
.008 .04
.00 8 .04 .5
.5
.5 De manera que 0.548 = 0.5 + 0.04 + 0.008 Analiza la construcción de los décimos, centésimos, milésimos, etcétera. ¿Cuántos décimos hay en un entero? Escribe en números decimales las siguientes fracciones: 1 4 12 26 59 10 , 10 , 10 , 10 , 10
¿Cuántos centésimos hay en un décimo?
Escribe en números decimales las siguientes fracciones: 27 5 105 89 110 100 , 100 , 100 , 100 , 100
¿Cuántos milésimos hay en un centésimo? Escribe en números decimales las siguientes fracciones: 152 1676 6 74 1000 , 1000 , 1000 , 1000
Escribe una regla para convertir una fracción cuyo denominador sea 10 en un número decimal, para convertir una fracción cuyo denominador sea 100 en número decimal, y para convertir una fracción con denominador 1 000 en un número decimal. Discute las reglas anteriores con tus compañeros. ¿Hay alguna relación entre el número de ceros que tiene el denominador y el lugar que ocupa el punto decimal? 1 7 Las fracciones cuyo denominador es una potencia de 10, como , , 10 100 3 5 , , etcétera, se llaman fracciones decimales. 1 000 10 000 Toño y su papá preguntaron los precios de distintos tipos de galletas en la tienda. La información es la siguiente:
Para nieve
$14.00 la caja con 40 galletas
Con chispas de Con bombón chocolate
$10.25 la caja con 25 galletas
$12.40 la caja con 30 galletas
Discos sabor chocolate
$4.60 el empaque de 5 galletas
Con sabor a nuez
$7.45 el empaque con 10 galletas
Encuentra el precio de una galleta de cada tipo. Puedes auxiliarte con una calculadora. Localiza el precio de cada una de las galletas en una recta numérica. Ordena los tipos de galletas de acuerdo a su precio, empezando por las más baratas.
Actividad individual
> 5º Escribe las siguientes fracciones como número decimal:
Actividad individual
1 3 4 3 2, 4, 5, 8
Explica cómo lo hiciste. Localiza en la siguiente recta numérica las fracciones anteriores y escríbelas arriba del punto que corresponde 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Escribe las siguientes fracciones como número decimal: 2 3 4 3, 7, 9
¿Funciona el mismo método que usaste antes? Explica lo que observaste en este caso. Si al dividir el numerador de una fracción entre su denominador, en algún momento se obtiene un residuo igual a cero, el resultado de la división es el número decimal que corresponde a la fracción. Cuando al realizar división entre el numerador y el denominador no se obtiene nunca un residuo igual a cero, la expresión decimal de la fracción no termina nunca. Por ejemplo: 0.333333 ... 1 3 = 0.333333 ... 3 1.000000 10 10 10 10 10 10 1 En estos últimos casos sólo es posible dar una expresión decimal aproximada. Los números con punto decimal se leen usando el valor de la última cifra, por ejemplo: 6.438 se lee: seis enteros cuatrocientos treinta y ocho milésimos, que es lo mis438
mo que 6 enteros y 1000 . 0.75935 se lee: setenta y cinco mil novecientos treinta y cinco cienmilésimos, 75935
que es lo mismo que 100 000 Para convertir un número decimal en fracción, analizamos cómo se lee el número, escribimos la fracción decimal correspondiente y luego la simplificamos.
Escribe las siguientes fracciones como números decimales:
Actividad individual
125 48 12 120 16 20 , 8 , 18 , 36 , 96
Escribe en palabras cómo se leen los siguientes números decimales. Luego, escribe cada uno de ellos como fracción: 0.08, 1.47, 0.005, 3.333, 0.685 ¿Qué número es más grande? 0.8 o 0.598765; 0.6 o 0.59999999; 0.657 o 0.857; 0.0009 o 0.001 Explica el criterio que utilizaste. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. 4 ¿Qué número es mayor 3 o 1.35? Describe el procedimiento que usaste para comparar este par de números 3
¿Qué número es mayor 7 o 0.45? Compara el procedimiento que usaste con los que hayan usado otros equipos. ¿Cuántos procedimientos distintos encontraron? Escribe un número decimal que esté entre 0.34 y 0.6 Escribe otro número que esté entre 0.456 y 0.489 Escribe un número entre 5.2 y 5.289
Actividad individual
Describe el procedimiento que usaste para encontrar los números anteriores. Compara tu procedimiento con los de tus compañeros. ¿Hay métodos diferentes al tuyo para resolver estos problemas? Discute con el resto del grupo cuál método es más eficiente. 5
Localiza en una recta numérica como la siguiente los números 4 , 1.35, 0.4, 7 5 y 1.95 0
1
Actividad colectiva
2
Ordena los siguientes números decimales: 0.95, 2.3, 1.1, 1.09, 0.5 y 1.7. Explica el método que usaste para ordenarlos. Después, localízalos sobre una recta numérica. Localiza los números 3.5 y 1.8 en la siguiente recta numérica 0
2.3
4.5
Lingotes de oro.
Aplicación Un kilate es una unidad para medir la pureza del oro. El oro de 24 kilates es el oro puro. Como el oro puro es suave, se le mezcla con otros metales para hacer piezas de joyería, monedas, medallas, etcétera. Cuando se dice que una pieza de oro es de 18 kilates, quiere decir que de 24 partes de la mezcla de metales, 18 son de oro puro. Es decir, la parte de oro puro es 18 y la parte de otros metales es 6 . El número de kilates de una pieza de oro se conoce como la ley de esa pieza de oro. 24 24 En algunos museos, se encuentra oro de 22 kilates y las monedas de oro que venden los bancos usan generalmente un poco más de 21 kilates. En las piezas de joyería se usan desde 18 hasta 8 kilates.
>6º 1. Representa el área coloreada en las siguientes figuras como número decimal y como fracción.
1
1
1 Figura 1
1 Figura 2
1
1
1 Figura 3
1 Figura 4
2. ¿Cuántos habitantes tiene un poblado si las 1500 personas menores de 15 2
años representan 7 de la población? 3. ¿Cuántos gramos de oro puro hay en una medalla de 20 kilates que pesa 6 gramos? 4. Neptuno recorre tres veces su órbita alrededor del Sol en el mismo tiempo en que Plutón recorre su órbita dos veces. a) En el tiempo en que Plutón completa una vuelta alrededor del Sol, ¿qué fracción de órbita ha recorrido Neptuno? b) En el tiempo en que Neptuno completa una vuelta alrededor del Sol, ¿qué fracción de órbita ha recorrido Plutón? 5. Encuentra el número que falta en las siguientes parejas de fracciones equivalentes y escribe el procedimiento que usaste: ¿? ¿? 3 15 5 15 a) 7 b) c) 9 7 14 21 ¿? =
d)
3
¿?
=
=
=
18 48
6. ¿Cuánto vale el número x en las siguientes fracciones equivalentes? 5
a) 3
=
14
d) x
x 15 28 20
2
b) 5
=
x 20
3
c) 8
=
12 x
=
7. Determina cuál de las fracciones de cada pareja es mayor o si son equivalentes: 13
6
a) 15 y 7 d)
8
7
4
12
b) 5 y 15 )
17
8
10
5
3
5
c) 13 y 7 f)
>PARA TERMINAR 4 3 1
5
8. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 7 , 8 , 2 y 9 . 3 1 1 2
9. En una recta numérica como la siguiente, localiza los puntos 2 , 6 , 2 , 3 , 7 1 6 y 3. 5 6
0 4
4 3
1
5
10. a) Encuentra tres fracciones entre 6 y 6 . Localiza las cinco fracciones en una recta numérica. 5 7 b) Encuentra tres fracciones entre 6 y 8 . 11. En cada caso escribe cuál de los números es más grande a) 3.013 o 3.0014 b) 1.0609 o 1.007 c) 5.1009 o 5. 101 12. Encuentra 3 números decimales entre 0.6 y 0.571 13. Coloca los siguientes números en la columna de la tabla que corresponde: 19
9
3
11
8
30
3
3
0.71, 0.701, 0.071, 21 , 16 , 0.34, 7 , 0.99, 15 , 12 , 65 , 11 , 20 Entre 0 y 0.2
Entre 0.2 y 0.4
Entre 0.4 y 0.6
Entre 0.6 y 0.8
Entre 0.8 y1
14. Localiza en una recta numérica los siguientes números: 1 2 11 4 , 0.5, 5 , 1.25, 11
15. Encuentra la fracción que tiene las siguientes características: es una fracción irreducible y si al numerador se le suma 1 y al denominador se le res15
ta 1, se obtiene una fracción irreducible equivalente a 12 . Torito
a) Encuentra una pareja de números a y b que satisfaga la siguiente igualdad: ¿Hay más de una pareja de números que satisfaga esta condición? b) Encuentra un número y tal que
4 y
=
y 9
a 7
=
8 b
>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2. 3. 4.
Qué significa que dos segmentos sean perpendiculares. Qué significa que dos segmentos sean paralelos. Cómo se miden los ángulos. Cómo se encuentra el punto medio de un segmento.
> En esta lección, abordarás el tema de: • La construcción de figuras simétricas respecto a una recta y el análisis de las propiedades que se conservan bajo la reflexión.
>1º 4> Igual pero al revés ¿Conoces los caleidoscopios? ¿Sabes cómo funcionan?
Vista interior de los colores y formas de dos caleidoscopios.
Dentro de un tubo de cartón se colocan tres espejos rectangulares formando un prisma triangular; en uno de los extremos del tubo se colocan dos vidrios transparentes y entre ellos se insertan pedacitos de vidrio de colores. En el otro extremo se coloca otro vidrio transparente. Imagina que la siguiente ilustración representa un pedacito de vidrio de colores en un caleidoscopio.
Actividad individual
Sin hacer una construcción precisa dibuja en tu cuaderno cómo se vería el triángulo si lo ref lejaras en cada uno de los tres espejos.
Toma una hoja de papel blanco y una de papel carbón, colócalas juntas de modo que el lado del carbón se adhiera al papel. Dóblalas con el papel blanco hacia fuera.
Actividad individual
Dibuja un triángulo en la hoja doblada, desdóblala y observa.
D
D’ B
B’
C
C’
Con ayuda de tu transportador mide los tres ángulos de ambos triángulos. ¿Qué puedes decir de ellos? En cada uno de los triángulos mide las longitudes de los lados. ¿Qué observas? Une B con B’ mediante un segmento y mide el ángulo que forma el segmento BB’ con el doblez de la hoja. ¿Qué puedes decir del segmento BB’ y la recta definida por el doblez? ¿Qué puedes decir del segmento DD’ y la recta definida por el doblez? ¿Y del segmento CC’ y la recta definida por el doblez? Discute tus conclusiones con el resto del grupo. Encuentra el punto medio de los segmentos BB’, CC’ y DD’. ¿Qué observas? Discute tus conclusiones con tus compañeros. Nota que el triángulo BCD y el triángulo B’C’D’ son idénticos, sus ángulos son iguales y sus lados también, salvo porque están “al revés”. Además sus vértices correspondientes están a la misma distancia del doblez. Dos puntos A y A’ son simétricos respecto a una recta si la recta pasa por el punto medio del segmento que une A con A’ y es perpendicular a este segmento. Un par de figuras son simétricas respecto de una recta si cada par de puntos correspondientes de las figuras es simétrico respecto a . A la línea se le llama línea de reflexión . Al reflejar la figura con respecto a una recta se conservan los ángulos y las distancias. A
A’ D
D’
C
C’
B
B’ l
>2º En una hoja de papel cuadriculado traza un punto A y una recta que no contenga al punto, como en la siguiente figura.
A
Encuentra el simétrico del punto A respecto a la recta l y llámalo A’. Discute con tus compañeros cómo lo hiciste. Encuentra la reflexión de la siguiente figura respecto a la recta. Llama A’, B’, C’, D’ y E’ a los puntos simétricos de A, B, C, D y E respectivamente.
B E A
F
C
D
Contesta: ¿Cuánto mide el segmento AB? ¿Cuánto mide el segmento A’B’?
Actividad individual
Mide los otros tres lados del cuadrilátero y compara sus medidas con las del cuadrilátero reflejado. ¿Qué conclusión obtuviste? Mide el segmento AE y compáralo con su reflejo A’E’. ¿Qué puedes decir de estas medidas? Mide los cuatro ángulos del cuadrilátero y compáralos con los ángulos correspondientes de la figura reflejada. ¿Qué conclusión obtuviste? Mide los ángulos que se forman entre el segmento AE y los lados AD y BC del cuadrilátero. ¿Son paralelos los segmentos AD y BC? ¿Son paralelos los lados A’D’ y B’C’? Actividad individual
Copia la siguiente figura en una hoja de papel cuadriculado.
Localiza la recta sobre la que se hizo la ref lexión de uno de los polígonos para obtener el otro. Discute tu propuesta con el resto del grupo.
>3º Copia la siguiente figura en una hoja de papel cuadriculado. Localiza el punto medio M del lado AD y el punto medio N del lado BC. Traza una recta que pase por esos puntos medios.
A
D
B
C
Actividad individual
¿Qué sucede si reflejas el cuadrado respecto a la línea que pasa por M y N? Localiza los punto puntoss medios de los lados AB y DC del cuadrado, llámalos P y Q y traza la línea que los contiene. ¿Qué sucede si reflejas el cuadrado por la línea que contiene a P y Q? Discute tus respuestas con el resto del grupo.
Decimos que la recta es eje de simetría de una figura si al reflejarla respecto a , la figura f igura queda sobre sí misma. Observa que las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del cuadrado son ejes de simetría del cuadrado. ¿Habrá otros ejes de simetría en el cuadrado? Busca otros ejes de simetría. ¿Cuántos encontraste? ¿Son todos los posibles ejes de simetría del cuadrado? Compara tus resultados con los de tus demás compañeros. Copia las siguientes figuras en una hoja de papel cuadriculado y encuentra todos los ejes de simetría de cada una.
Actividad individual
Completa la tabla, respondiendo sí o no, según el caso.
Figura
¿Las rectas que unen los puntos medios de lados opuestos son ejes de simetría?
¿Las diagonales son ejes de simetría?
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio isósceles
Papalote
¿Cuáles de estas figuras son paralelogramos? (Recuerda que un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos). ¿Cuántos paralelogramos tienen 4 ejes de simetría? ¿Cuáles son? ¿Cuántos paralelogramos tienen sólo dos ejes de simetría? ¿Cuáles son? ¿Cuáles de éstos tienen como ejes de simetría a las rectas que pasan por los puntos medios de sus lados? ¿Cuáles tienen como ejes de simetría a las diagonales? Haz una clasificación de los paralelogramos en términos de sus ejes de simetría. Discute tus respuestas con el resto del grupo. g rupo.
> 4º
>PARA TERMINAR
1. Copia en tu cuaderno la siguiente figura y refléjala respecto a la recta prolonga prol onga la recta si es necesario.
2. ¿Cuántos ejes ejes de simetría tiene t iene un triángulo equilátero? ¿Y un triángulo isósceles? ¿Un escaleno? 3. Construye figuras con los datos que se indican: a) A y C son vértices de la figura y la recta es un eje de simetría.
b) Dos cuadrados cuyos vértices sean puntos de la malla y que las rectas dibujadas sean ejes de simetría.
A
C
B A
c) Un rombo en el que los puntos puntos A y B sean vértices vértice s y que tenga a la recta como uno de sus ejes de simetría. Torito La siguiente ilustración representa una imagen vista en un caleidoscopio. ¿Dónde crees que estén los espejos? Hay varias posibilidades.
>PARA COMENZAR ... necesitas recordar: 1. 2.
Cómo se calcula el perímetro y el área de un rectángulo. Cómo se realizan las operaciones básicas entre números naturales.
Hotel Sheraton y Secretaría de Relaciones Exteriores. Centro histórico. Ciudad de México.
> En esta lección, abordarás el tema de: • Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando varios procedimientos.
>1º 5> Agrandar y reducir Considera la siguiente colección de rectángulos: 4
3
2
6 8 4 ¿Encuentras alguna relación entre las medidas de las bases y de las alturas de los rectángulos? Si en la colección hubiera otro rectángulo de altura 8 ¿cuánto mediría su base? Explica cómo encontraste tu respuesta. Si en la colección hubiera otro rectángulo de base 2 ¿cuánto mediría su altura? Explica cómo encontraste tu respuesta. ¿Qué regularidad encuentras en la relación base-altura? Discute tu respuesta con tus compañeros. Si en la colección hubiera un rectángulo de base 1 ¿cuánto mediría su altura? Explica cómo encontraste tu respuesta. Y si hubiera un rectángulo de altura 3.5 ¿cuánto mediría su base? Llena los datos que faltan en la tabla. Altura
Base
1 5 12 2.5 9 0.5 3.42 1.73 6.32 8.36 n
Base Altura
Perímetro
Perímetro Altura
Área
Área Altura
Fíjate que en la tercera columna de la tabla siempre obtuviste el mismo número; es decir, la razón (o cociente) entre la longitud de la base y la longitud de la altura es la misma. Entonces podemos decir que en esta colección de rectángulos, la base y la altura varían proporcionalmente . ¿La razón entre el perímetro y la altura resultó constante? ¿En esta colección de figuras, el perímetro varía proporcionalmente respecto a la altura? ¿La razón entre el área y la altura resultó constante? ¿En esta colección de figuras, el área varía proporcionalmente con respecto a la altura? Discute tu respuesta con el resto del grupo. Una cantidad varía proporcionalmente con respecto a otra si la razón entre ellas es un número fijo, llamado constante de proporcionalidad es de y cir k = . x En forma equivalente, una cantidad y varía proporcionalmente con respecto a otra cantidad si = kx. Actividad individual
Un hombre camina a una velocidad de 4 kilómetros por hora; es decir, cada hora recorre 4 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas? ¿Cuántos kilómetros recorrerá en media hora? ¿Por qué? Discute tu razonamiento con el resto del grupo. Llena los datos que faltan en la siguiente tabla: Distancia
Tiempo
8 km
2h
Distancia Tiempo 8 km km =4 2h h
5h 10 km 1 h 2 n
h
¿Qué números obtuviste en la tercera columna? ¿La distancia varía proporcionalmente respecto al tiempo?
>2º Una librería compró 25 libros de texto, que le darán una ganancia total neta de 200 pesos.
Actividad individual
¿Cuál sería la ganancia neta por la venta de 50 libros? ¿Cuál será la ganancia neta por la venta de 5 libros? ¿Cuál es la ganancia neta por la venta de un libro? ¿Cuál sería la ganancia neta por la venta de 16 libros? Completa la siguiente tabla. Número de libros comprados
Ganancia neta
25
200
50 75 100 1 n
Si la ganancia neta es de 160 pesos, ¿cuántos libros se vendieron? Discute tu razonamiento con el resto del grupo.
Actividad individual
En la ilustración de la derecha aparece una recta sobre una retícula formada por cuadrados de lado 1. Si a partir de P nos movemos una unidad hacia la derecha, ¿cuántas unidades habrá que subir para llegar a la recta? Si a partir de P nos movemos dos unidades hacia la derecha, ¿cuántas unidades habrá que subir para llegar a la recta?
P
Escribe una regla para conocer el número de unidades que debemos subir para llegar a la recta, en términos del número de unidades que nos movemos hacia la derecha. ¿El número de unidades que debemos subir varía proporcionalmente con respecto del número de unidades que nos desplazamos a la derecha? En caso afirmativo, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? Ahora copia la siguiente tabla en tu cuaderno y llena los datos que faltan: Si el número de unidades que subimos es...
... entonces el número de unidades que nos movemos hacia la derecha es ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
¿El número de unidades que nos movemos hacia la derecha también varía proporcionalmente respecto al número de unidades que nos movemos hacia arriba? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso? ¿Hay alguna relación entre las dos constantes de proporcionalidad que determinaste? Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.
María mandó reducir una foto. La foto original mide 160 mm de largo y 120 mm de ancho. El ancho de la foto reducida debe ser de 90 mm.
¿Cuánto medirá el largo de la foto reducida? ¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso? ¿Cuánto medirá el largo de la foto reducida si el ancho debe medir 60 mm? ¿Cuánto medirá el ancho de la foto reducida si el largo debe medir 120 mm? ¿Cuánto medirán el largo y el ancho de la foto reducida si la razón de proporcionalidad es 12 ? Si en vez de reducir la foto quisiéramos amplificarla al triple ¿cuánto medirá la foto ampliada?
Actividad individual
>3º 1. Para construir un muro se usarán bloques de 40 20 (es decir, sus dimensiones son 40 cm de largo y 20 de altura). a) Cuando el muro mide 2 metros de altura, ¿cuántas filas de bloques se han forNúmero de filas mado? (No contaremos la cantidad de mezcla necesaria.) de bloques Cuando el muro mide 3 metros de altura, ¿cuántas filas de bloques se han formado? Copia en tu cuaderno la tabla de la izquierda y llena los datos que faltan.
Altura construida (en metros) 1 2 3
¿Existe una relación de proporcionalidad entre la altura del muro y el número de filas de bloques? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?
4 n
Longitud de la pared (metros)
Número de bloques por fila
Número total de bloques
1.2
3
45
2.4
6
b) Digamos ahora que la altura del muro se fija en 3 metros. ¿Cuántos bloques se necesitan para levantarlo si debe tener una longitud de 3.6 metros? ¿Qué pasará si el muro debe tener una longitud de 4.8 metros? Copia en tu cuaderno la tabla de la izquierda y llena los datos que faltan.
3.6 18
¿Existe una relación de proporcionalidad entre la longitud del muro y el número total de bloques? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso? 2. Alejandro compró una computadora pagando mensualidades fijas de 350 pesos. a) ¿Cuánto dinero habrá pagado después de 3 meses? ¿Y de 5 meses? b) Completa la siguiente tabla. Después del mes...
... se ha pagado...
1
350
2
700
3 4 5
>PARA TERMINAR c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso? d) Describe la regla para determinar el monto pagado después de n meses. 3. Un grupo de siete personas quiere atravesar el desierto del Sahara. Cada persona debe disponer de 3 litros de agua por día. a) ¿Cuánta agua deben transportar si el viaje dura 10 días y no pueden reabastecerse del líquido? b) ¿Y si el viaje dura 15 días? ¿30 días? c) Expresa una regla para la cantidad de agua que deben transportar, en términos del número de días. d) ¿Para cuántos días (aproximadamente) les alcanzarán 300 litros de agua a todo el grupo? ¿Y 400 litros? e) Supongamos que el viaje durara 30 días, pero a los 12 días encuentran a dos personas perdidas. Si todos continuaran consumiendo la misma cantidad de agua por persona, ¿cuántos días más puede durar el viaje sin reabastecerse? 4. En un restaurante cada 5 días se consumen dos cajas de huevos que contienen 450 huevos cada una. ¿Cuántos huevos se consumen en el restaurante en un mes, si todos los días se usa el mismo número de huevos? 5. En una carretera, los postes de luz están colocados a una distancia de 50 m entre sí. ¿Cuántos postes hay en un tramo de 5 kilómetros? ¿En 10 km? ¿Y en 15 km? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? 6. En cada inciso, indica si una cantidad varía en forma proporcional con respecto de la otra. Analiza y discute con tus compañeros. a) El precio de una naranja y el precio de una gruesa de naranjas. b) El número de canicas (todas iguales) en una bolsa y su peso. c) La edad de una persona y su estatura. Torito Se está llenando un tinaco de 350 litros vertiendo agua desde dos llaves; una de ellas vierte 15 litros por minuto y la otra vierte 1 litro cada 3 segundos. ¿En cuánto tiempo se llena el tinaco?
>PARA COMENZAR ... necesitas
recordar:
1. Cómo se realizan las operaciones básicas entre números naturales. 2. Cómo determinar si dos cantidades son directamente proporcionales.
> En esta lección, abordarás el tema de:
• Elaboración y uso de diversos procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.
>1º 6> ¿Cuánto le toca a cada quién? Laura y Claudia depositaron $500 y $200, respectivamente, en una cuenta de ahorro común. Cuando decidieron cerrar su cuenta, en ésta había $840 debido a las utilidades obtenidas. ¿Cómo les repartirías el dinero en forma equitativa? Discute con tus compañeros de equipo con qué criterio repartirías el dinero y explica las razones para usar ese criterio.
Actividad colectiva
Si Laura y Claudia deciden repartirse el dinero de manera proporcional a lo que cada una de ellas puso al principio, ¿cuánto dinero le tocaría a cada una? Explica el procedimiento que usaste. Compáralo con los procedimientos de tus compañeros del grupo. Después contesta las siguientes preguntas: ¿Cuánto dinero depositaron entre las dos al iniciar el ahorro? En un segmento como el siguiente, ilumina de rojo la parte del dinero depositado que corresponde a lo aportado por Laura y de azul la que corresponde a lo aportado por Claudia.
¿Qué fracción del total representa el depósito de Claudia? ¿Y el de Laura? ¿Cómo usarías estas fracciones para repartir los $840? Explica por qué. ¿Qué parte de los $840 le corresponden a Laura? Explica por qué. A Claudia le correspondería lo que resta de los $840. ¿Qué parte es del total? ¿Corresponde con la fracción que puso Claudia al abrir la cuenta? Explica. David, Gabriel y Rodrigo realizaron un trabajo la semana pasada. David trabajó 6 horas, Gabriel 8 y Rodrigo 4. Recibieron un pago de $2 700. Quieren repartirse el dinero de manera que cada uno reciba una parte proporcional al número de horas trabajadas. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?
Actividad colectiva
Discute con tu equipo cómo hacer la repartición del dinero. Cuando hayan concluido, discutan en el grupo cómo lo resolvió cada equipo y comparen los resultados. ¿Cuántas formas distintas de resolver el problema encontraron en tu grupo? Aquí vamos a analizar cómo razonaron el problema dos equipos. En cada caso, contesta las preguntas que se plantean. Equipo A • ¿Cuántas horas trabajaron entre los 3? • De los $2 700 que les pagaron por todo el trabajo, ¿qué cantidad corresponde a una hora de trabajo? • ¿Cuánto le toca a David por 6 horas de trabajo? ¿Cuánto le toca a Gabriel por 8 horas de trabajo? ¿Cuánto le toca a Rodrigo por 4 horas de trabajo? • ¿Cuánto suman las tres cantidades anteriores? Explica si consideras correcta la solución.
Equipo B
• ¿Cuántas horas trabajaron entre los 3? • Por tratarse de una repartición proporcional, se puede plantear la siguiente relación: Pago total total de horas trabajadas
=
Pago a David horas que trabajó David
Es decir, 2 700 ¿? = 18 6
Encuentra una fracción equivalente a 2700 con denominador 6. 18 ¿Cuánto dinero le toca a David? • Escribe la relación correspondiente para Rodrigo. ¿Cuánto dinero le toca a Rodrigo? • La parte restante de los $2700 le corresponde a Gabriel, ¿cuánto es?
¿Son equivalentes los procedimientos de los equipos A y B? Explica tu respuesta. ¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más fácil? ¿Por qué?
>2º En la entrada de este bloque te presentamos el papiro de Rhind, que contiene varios resultados matemáticos de los antiguos egipcios. El problema 65 de ese papiro, fotografía a la derecha, es del siguiente tipo: Se reparten 100 panes entre siete personas de modo que tres de ellas reciben el doble de ración que las demás.
Actividad colectiva
Responde lo siguiente: • Si 4 personas reciben una ración y tres personas reciben 2 raciones, ¿en cuántas raciones debes dividir los 100 panes? • ¿Cuántos panes debe recibir cada persona a la que le toca ración sencilla? • ¿Cuántos panes obtiene cada uno de los que reciben ración doble? • ¿Cuántos panes se obtiene al sumar los panes que reciben las 7 personas? En la clase de Claudia, la maestra planteó el siguiente problema acerca de tres hermanos: “Miguel tenía 5 barras de chocolate y José otras 3. Adrián, el menor de los hermanos, no traía chocolates. Se repartieron las 8 barras entre los tres, de manera que todos comieran la misma cantidad de chocolate. Adrián, agradecido, entregó a sus hermanos los 8 pesos que tenía para que se los repartieran. ¿Cuánto dinero debe tomar Miguel y cuánto José para que la distribución del dinero sea equitativa?” Lo primero que Claudia pensó es que Miguel debía quedarse con 5 pesos y José con 3. Analiza la respuesta de Claudia. ¿Es equitativa esta distribución del dinero? Justifica tu respuesta. ¿Crees que sería más equitativo dividir el dinero entre los tres hermanos? ¿Por qué? ¿Qué fracción de las 8 barras de chocolates se comió cada uno? ¿Cuántos tercios hay en las 5 barras que traía Miguel? ¿Cuántos de esos tercios se comió Miguel? ¿Cuántos tercios le dio Miguel a su hermano Adrián? ¿Cuántos tercios hay en las 3 barras de chocolate que traía José? ¿Cuántos de esos tercios se comió José? ¿Cuántos tercios le dio José a su hermano Adrián? Si el dinero que le toca a cada uno de los hermanos mayores es proporcional a la cantidad de chocolate que le dieron a Adrián, ¿cómo lo repartirías? ¿Qué piensas ahora? ¿Es equitativa la distribución propuesta por Claudia? ¿Por qué?
Actividad colectiva
Actividad individual
Se encontró un escrito antiguo con un problema matemático. Como la hoja está rota, no se alcanza a distinguir el enunciado completo, pero se ve bien la respuesta. Un terreno en forma de triángulo rectángulo se reparte proporcionalmente entre 4 hijos de manera que ¿Cuánto le corresponde a cada uno de los hijos? Solución: Se sabe que las edades de los hijos son 5, 15, 25 y 35 años. En la siguiente figura se muestra la superficie de tierra que le corresponde a cada uno de los hijos:
4
3
2
1
La base del triángulo se ha dividido en 4 segmentos iguales. En cada cuarto se ha trazado una recta perpendicular a la base. La región 4 le corresponde al hijo mayor, la región 3 al segundo hijo, la región 2 al tercero y la región 1 al menor de los hijos. Así, se cumplen las condiciones del reparto proporcional deseado.
Analiza la ilustración con tus compañeros de equipo. Dibuja una figura similar a la anterior en tu cuaderno. No importan las dimensiones que uses en tu dibujo, pero ten cuidado de dividir la base en 4 partes iguales. Busca alguna relación entre el área de la región que le corresponde al hijo menor y el área que le corresponde al hijo que sigue. Haz lo mismo para las otras regiones. ¿Cuál fue el criterio que se usó para repartir el terreno? Discute con el grupo los procedimientos empleados por los equipos para resolver el problema y las soluciones que se obtuvieron. Aplicación El reparto proporcional tiene muchas aplicaciones en distintos contextos. Por ejemplo, es usual que en las cooperativas se recurra a esta forma de reparto. Las cooperativas son negocios emprendidos por un conjunto de personas a las que se les llama cooperativistas. Para iniciar el negocio, cada cooperativista aporta cierta cantidad de recursos en dinero o en bienes materiales. El reparto de las ganancias que se obtienen en ese negocio se realiza proporcionalmente a la cantidad de recursos aportados por cada cooperativista.
>PARA TERMINAR 1. Se desea repartir un terreno de 540 m 2 entre dos personas, de modo que una de ellas reciba el triple de área que la otra. ¿Cuántos metros cuadrados recibe cada una? 2. En una obra, Gabriel trabajó media jornada y Rodrigo la cuarta parte de la jornada. Juntos recibieron $240. Si se reparten el dinero en forma proporcional al trabajo realizado, ¿cuánto dinero recibió cada uno? 3. Una herencia de $540 000 debe repartirse entre tres familias, de acuerdo con el número de sus integrantes. Las familias tienen tres, dos y cuatro integrantes cada una. ¿Cuánto dinero le toca a cada familia? 4. Cuatro cuadrillas de trabajadores recogieron 120 costales de naranjas. Si se reparten la cosecha en forma proporcional y las cuadrillas tienen 12, 8, 6 y 4 personas, ¿cuántos costales recibe cada cuadrilla? 5. El problema 62 es el único del papiro de Rhind en el que se mencionan las medidas de peso egipcias: los deben . Una bolsa contiene el mismo peso de oro, plata y plomo. El valor total es de 84 shaty . Se sabe que un deben de oro vale 12 shaty, un deben de plata vale 6 shaty y un deben de plomo vale 3 shaty. Se pide calcular el valor de la cantidad de cada metal en la bolsa. Para resolver este problema, contesta lo siguiente: a) ¿Cuánto cuesta el total de oro, plata y plomo en la bolsa? b) ¿Cuánto cuestan juntos 1 deben de oro, 1 deben de plata y 1 deben de plomo? c) ¿Cuál es el peso de cada metal en la bolsa? d) ¿Cuál es el valor del oro en la bolsa? e) ¿Cuál es el valor de la plata en la bolsa? f) ¿Cuál es el valor del plomo en la bolsa? Torito (Problema 63 del papiro.) Reparte 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes propor2 1 1 1 cionales a , , y . 3 2 3 4
>PARA COMENZAR ... necesitas
recordar:
1. Las operaciones básicas con números naturales y cómo descubrir patrones.
> En esta lección, abordarás el tema de:
• Distintas formas de contar empleando diversos recursos, como tablas y diagramas, y la identificación de patrones.
>1º 7> Cuenta cuántos Escribe con tu equipo cada uno de los números 1, 3, 4 y 6 en un papelito. Dobla los papeles y mételos en una bolsa. Después de revolverlos bien, selecciona un papel y anota su número. Regresa el papel, agita la bolsa y vuelve a seleccionar un papel. Anota el segundo número que obtuviste. Regresa el papel, selecciona otro más y anota su número. Suma los tres números obtenidos ¿Cuántas sumas diferentes te pueden salir?
Actividad colectiva
Discute con tu equipo el problema. Puedes empezar realizando el experimento de seleccionar tres papeles en la forma indicada. ¿Qué resultado obtuviste? Repite el procedimiento. ¿Qué resultado salió? Antes de repetir el procedimiento por tercera vez, ¿puedes adivinar qué resultado obtendrás? Explica por qué. Sin seguir realizando el experimento, ¿puedes determinar cuáles son todas las sumas que te pueden salir? ¿Cómo lo harías? Hay muchas formas en que puedes contar en forma ordenada las distintas sumas. Una de ellas es usando una tabla como la siguiente:
Números
Suma
1
1
1
1
...
1
1
1
1
...
1
3
4
6
...
3
5
...
En tu cuaderno dibuja una tabla como la anterior y complétala. Asegúrate de escribir todas las posibles ternas de números. ¿Cuántos grupos de 3 números formaste? ¿Todas las sumas son diferentes? Entonces, ¿cuántas sumas distintas obtuviste? En una bolsa hay 5 papeles doblados que tienen escritos los números 1, 2, 5, 6 y 8. Después de agitar la bolsa, selecciona uno de los papelitos y, sin regresarlo, selecciona otro. Sin retornar los papelitos anteriores, extrae otro. Desdobla los tres papelitos y suma sus números. ¿Qué suma obtuviste? Repite el procedimiento descrito. ¿Qué suma obtuviste? En este caso, ¿puedes obtener dos números iguales? ¿Por qué? En una tabla escribe todas las ternas que se pueden obtener y realiza la suma en cada caso. Cuenta cuántas sumas distintas puedes obtener.
Actividad individual
>2º Actividad colectiva
Arturo está pensando cómo vestirse para ir a una fiesta. Primero seleccionó tres camisas, dos pantalones y dos pares de zapatos que le gustan. Ahora debe decidir cuál de los arreglos que puede formar con esas prendas de vestir se pondrá para la fiesta. ¿Cuántos arreglos distintos tiene Arturo para elegir su vestuario? Para verificar si tu respuesta anterior es correcta, completa con tu equipo el siguiente diagrama de árbol.
Analiza el número de caminos que hay desde una camisa hasta un par de zapatos, ¿obtienes el mismo resultado que te había salido antes? Si Arturo aumentara sólo una camisa, ¿cuántos arreglos tendría para escoger? Entonces, ¿cuántos arreglos adicionales obtuvo por agregar una camisa? Completa la siguiente tabla. Puedes verificar el resultado construyendo en cada caso un árbol como el que hiciste antes. 3 camisas 2 pantalones 2 pares de zapatos
4 camisas 2 pantalones 2 pares de zapatos
3 camisas 3 pantalones 2 pares de zapatos
3 camisas 2 pantalones 3 pares de zapatos
Cantidad de arreglos posibles
Propón una regla para determinar el número de arreglos que se pueden formar si sabes cuántas prendas de cada tipo hay. Encuentra el número de arreglos que tiene Arturo para elegir su vestuario si puede elegir entre 6 camisas, 4 pantalones y 3 pares de zapatos. Si Arturo escogiera entre n camisas, m pantalones y k pares de zapatos, ¿cuántos arreglos distintos podría formar?
P
Se desea conectar los puntos P y Q por trayectorias descendentes en la siguiente figura. ¿Cuántos caminos distintos hay?
A veces es conveniente empezar por problemas simples para ir descubriendo un procedimiento de conteo. Por ejemplo, en la figura de la derecha, ¿cuántas trayectorias hay de P a Q?
Actividad individual
P Q Q
Cuenta el número de trayectorias de P a Q en la siguiente figura. P
Q Para verificar tu resultado, coloca en cada vértice el número de trayectorias que pueden llegar a él desde los vértices superiores. Completa los números que faltan en la siguiente figura. P 1
1
1
1 2
–
–
Q Analiza esta forma de contar. ¿En qué lugar de la figura aparece el número total de trayectorias? Explica por qué. El número de trayectorias que se obtiene de esta manera, ¿es igual al que habías encontrado antes? Sigue el mismo procedimiento para contar cuántas trayectorias existen en la siguiente figura: P 1 1
2
3
1
– –
1 1
– –
>3º
1
–
–
– Q Ahora, con el procedimiento mostrado antes, encuentra el número de trayectorias que unen a P con Q en la figura inicial.
Actividad colectiva
Estas figuras se llaman pentominós porque están formadas por cinco cuadrados iguales:
1
2
3
4
5
6
Aquí hemos dibujado 6 pentominós. Dibuja en tu cuaderno todos los que faltan. ¿Cuántos encontraste? Compara tus figuras con las que obtuvieron los demás equipos del grupo. Si te faltaron algunos, agrégalos. Si repetiste alguno, elimínalo. ¿Cuántos pentominós hay? A cada figura ponle un número como hicimos arriba. Si cada cuadrado tiene un centímetro de lado, calcula el perímetro de cada pentominó y cuenta el número de lados donde uniste los cuadrados. Con esa información llena la tabla siguiente. Pentominó
Perímetro (cm)
Lados de unión
1
12
4
2 . . .
. . .
. . .
¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columnas? Explica. Aplicación Para organizar torneos donde los participantes juegan varios partidos unos contra otros, se usan técnicas de conteo. Un ejemplo de ello es la organización del Mundial de Futbol. Los 32 países participantes forman 8 grupos de 4 equipos cada uno. En cada grupo, los equipos juegan 3 partidos, uno contra cada uno de los otros integrantes del grupo. Si, por ejemplo, el grupo A está formado por los equipos E1, E2, E3 y E4, los partidos son E1-E2, E1-E3, E1-E4, E2-E3, E2-E4, E3-E4. Así, en esta fase se juegan 8 × 6 = 48 partidos. A los octavos de final, pasan 16 equipos, los dos que obtengan mejor puntuación en cada grupo. Para las quinielas, se debe determinar de cuántas formas pueden ser seleccionados esos 16 equipos. En cada grupo se pueden formar 6 parejas distintas. Por cada pareja del grupo A, hay 6 parejas distintas del grupo B, es decir 6 2 opciones de dos equipos de cada grupo. Por cada una de estas selecciones, hay 6 parejas posibles del grupo C, es decir 6 3 opciones, y así sucesivamente. De manera que los equipos que pasan a octavos de final, son un arreglo de los 68 arreglos posibles.
>PARA TERMINAR 1. Para formar el comité organizador de la fiesta de fin de cursos, se eligen tres estudiantes entre Laura, Sara, Toño, Karla, Paco y Hugo. a) ¿Cuántos comités distintos se pueden formar? b) ¿Cuántos de esos comités incluyen sólo a una mujer? c) ¿Cuántos no incluyen hombres? 2. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 10 y 226? 3. Beto, Óscar, Luis y Fernando acuerdan encontrarse en las canchas al terminar las clases. Cada uno de ellos llega por su lado. a) Determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado. b) Si Fernando fue el primero en llegar, encuentra todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado los otros tres. 4. Amanda, Marcela y Julieta se reparten 10 balones. A cada una le toca por lo menos uno, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo? 5. En la carta de un restaurante, se lee lo siguiente: a) Si en cada caso se elige una de las opciones, ¿cuántos menús diferentes se pueden formar? b) Si se agrega el siguiente renglón Café o té
c) ¿Cuántos menús más se podrán formar? 6. Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de dos cifras puedes formar con los números 1 y 2. Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de dos cifras puedes formar con los números 1, 2 y 3. Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de tres cifras puedes formar con los números 1, 2 y 3. Sin hacer el diagrama, explica cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Discute con tus compañeros del grupo cómo obtuvo cada quién la respuesta anterior. Torito ¿Cuántos cuadrados distintos se pueden dibujar con sus vértices en los puntos de la malla de la derecha? No todos deben tener sus lados paralelos a los lados de la malla.
COMIDA CORRIDA
Sopa de fideo o sopa de papa Arroz o espagueti Carne asada o pechuga de pollo o filete de pescado Nieve de limón o una manzana Agua de sabor o refresco
MatemáTICas
> Abre una hoja de cálculo como la siguiente y en la
> Ahora suma los triangulares dos y tres, ¿ qué número
primera columna, después del título Números natu- rales , escribe los primeros 25 naturales (pregunta (pregunta a tu maestro cómo hacer para no teclearl teclearlos os todos).
obtuviste? Continúa sumando dos triangulares consecutivos y coloca el resultado, en orden, en la tercera columna. ¿Qué números aparecen en la tercera columna?
> Construye los números triangulares triangulares en la segunda co-
> En efecto, los números cuadrados se pueden obte-
lumna. Para ello basta que recuerdes cómo se construían (el primer número triangular es 1): ¿Qué le debes sumar a 1 para obtener el segundo número triangular? ¿Qué le debes sumar al segundo número triangular para obtener el tercero? (si no sabes cómo sumar celdas en la hoja de cálculo, pregunta a tu maestro).
ner sumando dos triangulares consecutivos, consecutivos, como se muestra en la siguiente figura:
> Los siguientes son los llamados números pentagonales:
> En la tercera columna, a la misma altura que el 1 anterior, vuelve a teclear el 1. Ahora suma el primer y el terior, segundo números triangulares y coloca la suma deba jo del último 1 que tecleaste (en la tercera columna). ¿Qué número obtuviste?
MatemáTICas
> ¿Cuántos puntos tiene el primer número pentagonal? ¿Cuántos puntos tiene el segundo? ¿Cuántos puntos tiene el tercer pentagonal? pentagonal?
> Observa el siguiente agrupamiento de los números pentagonales. Hemos “descompuesto” los números pentagonales como una “suma” de números triangulares y otros puntos:
> ¿Encuentras alguna relación entre los números pentagonales y los números triangulares? ¿Cuál es esa relación?
> Usando esa regla construye los números pentagonales en la cuarta columna de tu hoja de cálculo (pregunta a tu maestro cómo se hace para multiplicar el resultado de una celda por un número).
>PUNTO DE ENCUENTRO > Observa la siguiente foto de una bicicleta de montaña.
Junto a la llanta de atrás, at rás, la bicicleta tiene seis engranes y junto a los pedales tiene t iene otros tres.
En algunos modelos, los engranes del pedal tiene t ienenn 56, 48 y 40 dientes y los de la llanta trasera t rasera tienen 28, 24, 22, 20, 18 18 y 14 dientes. La cadena de la bicicleta une un engrane del pedal con uno de la llanta de atrás y se puede cambiar la posición de la cadena para escoger cualquiera de los tres engranes delanteros y cualquiera cualquiera de los seis traseros.
>PUNTO DE ENCUENTRO 1. ¿De cuántas formas se pueden combinar los engranes? Enlista todas las parejas posibles.
20
3. Si se cambia el engrane trasero por el de 20 dientes, Cuando se hacen girar los pedales, los dos engranes avanzan el mismo número de dientes. Las distintas combinaciones de engranes producen que la llanta trasera gire más o menos veces por cada vuelta del pedal. 2. Si el engrane delantero es de 56 dientes y el trasero es de 14 dientes, a) ¿cuántas vueltas da la llanta cuando los pedales dan una vuelta? b) ¿cuántas vueltas da la llanta cuando los pedales dan dos vueltas?
a) ¿Aproximadamente cuántas vueltas da la llanta trasera por cada vuelta de los pedales? b) Escribe la fracción de vueltas que gira la llanta trasera por cada vuelta de los pedales; es decir, la fracción que indica qué parte del engrane grande son los 20 dientes del engrane chico. c) Simplifica la fracción anterior; es decir, encuentra la fracción equivalente a la anterior formada por los enteros más chicos posibles. d) Usando una tabla como la siguiente, descubre cuántas vueltas tienen que dar los pedales para que, por primera vez, el número de vueltas de la llanta trasera sea un entero:
Completa la siguiente tabla: Combinación de engranes 56-20 Combinación de engranes 56-14 Vueltas de los pedales
Vueltas de la rueda trasera
1
Vueltas de los pedales
Vueltas de la rueda trasera
1 2
2
3
3
c) ¿Cómo es la relación entre las vueltas de los pedales y las vueltas de la rueda? Explica por qué. d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? e) Completa la siguiente tabla. Combinación de engranes 56-14 Vueltas de los pedales
Vueltas de la rueda trasera
8
e) Explica la relación entre la fracción simplificada que encontraste en el inciso (c) y el resultado de la tabla anterior. 4. Analiza el efecto de cada una de las combinaciones de engranes. Para ello te será útil construir una tabla como la siguiente en tu cuaderno: Combinación de engranes
Vueltas de la rueda por una vuelta de los pedales
40-14 40-18
40
40-22
12 56
¿Con cuál combinación de engranes la rueda trasera gira más veces por cada vuelta de los pedales?
>UNA NUEVA ACTITUD La Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos otorga a los Partidos Políticos con registro ante el Instituto Federal Electoral (IFE), el derecho a recibir financiamiento público para el sostenimiento de sus actividades cotidianas; es decir, para los gastos de campaña, actividades de educación y capacitación política, investigación o tareas editoriales. Este derecho está consagrado en la fracción II del Artículo 41 (Título Segundo, Capítulo I. De la Soberanía Nacional y de la Forma de Gobierno).
El 70% restante se distribuye de manera proporcional a la cantidad de votos que obtuvo cada partido en la elección inmediata anterior. Es decir, lo que le corresponda a cada partido de este 70%, dependerá del número de votos que cada uno haya obtenido. En enero de 2 005, el Instituto Federal Electoral (IFE) determinó que el monto anual para financiamiento a los partidos políticos con representación en las Cámaras del Congreso de la Unión sería de $1 953 655 351.92 (un mil novecientos cincuenta y tres millones seiscientos cincuenta y cinco mil trescientos cincuenta y un pesos 92/100 m.n.) Este monto se repartió en dos tantos: el 30% se distribuyó equitativamente entre los partidos y el 70% se distribuyó proporcionalmente.
La reglamentación de la forma en que cada partido político ha de recibir estos recursos está plasmada en el numeral 7 del Artículo 49 del Código Federal de Instituciones y Procesos Electorales (Cofipe). Para determinar el monto anual destinado a las actividades de los partidos, el Consejo General del IFE calcula los costos mínimos para las campañas de diputados y senadores y para la campaña presidencial y la suma de estos montos es lo que se dividirá entre los partidos. El 30% de este monto se entrega por partes iguales a cada uno de los partidos que tienen representantes en las cámaras de diputados y senadores.
Ciudadanos votando en una casilla electoral
Así, el monto que se distribuyó equitativamente fue: 1 953 655 351.92 × 0.30 = 586 096 605.58 que corresponde al 30% del monto total. Si en 2 005 había 7 partidos políticos con representación en las cámaras, ello significa que cada uno recibió inicialmente la cantidad de: Mesa directiva de una casilla electoral
586 096 605.58 ÷ 7 = $83 728 086.51
>UNA NUEVA ACTITUD El 70% restante, es decir $1 367 558 746.34 (un mil trescientos sesenta y siete millones quinientos cincuenta y ocho mil setecientos cuarenta y seis pesos 34/100 m.n.) se repartió proporcionalmente al porcentaje obtenido por cada partido en la elección del año 2 003.
equipo el texto aquí presentado. Escriban sus comentarios. Investiguen a cuánto asciende el salario mínimo diario en el lugar donde viven y calculen cuántos salarios mínimos le tocaron a los distintos partidos en 2005.
Según los datos del IFE, los resultados de la votación para diputados federales en el año 2 003 fue la siguiente: A
B
C
D
E
F
G
Otros partidos
7 842 862
5 900 404
4 520 598
614 851
1 016 335
581 683
3 434 440
731 050
y además hubo un total de 957 410 votos anulados. Como el porcentaje de votación de algunos partidos no alcanzó el 2% de la votación nacional (representados en la tabla como “Otros partidos”), a éstos no les corresponde representación en el Congreso de la Unión, de modo que la votación que se considera para realizar la distribución del presupuesto es únicamente la suma de los votos alcanzados por los partidos A, B, C, D, E, F y G; es decir, 23 811 173 votos. Con estos datos, los porcentajes de votos de los 7 partidos representados en el Congreso de la Unión es el siguiente:
Salón de sesiones del Congreso de la Unión, Ciudad de México.
Partidos
A
B
C
D
E
F
G
%
32.93
24.77
18.98
2.16
4.26
2.44
14.42
Así pues, al partido A le corresponde el 32.93% de $1 367 558 746.34; es decir: $450 442 929.65; al partido B le corresponden $338 880 789.16; al partido C le corresponden $259 633 716.22; al partido D, $29 569 689.33; al partido E, $58 371 665.20; al partido F, $33 408 084.27 y al partido G le corresponden $197 251 872.50. De este modo, hay que sumar la parte proporcional del presupuesto para cada partido con la asignación inicial fija de $586 096 605.58 para conocer cuál es el presupuesto asignado para el año de 2 005. Lee cuidadosamente y discute con los compañeros de tu
Escaño en el Congreso de la Unión, Ciudad de México.