Guia escolar

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA

MARÍA REINA DE LA ESPERANZA

3ER AÑO DE SECUNDARIA

COMPENDIO DE CIENCIAS

.

C O M P E N D I O

Pág.

05 29 53 75 103

D E C I E N C I A S

129 155 199

II - BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA

Pág.

SUCESIONES

7

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES

11

USO DE LA SIGMA

15

CONTEO DE FIGURAS

18

OPERACIONES MATEMÁTICAS ARBITRARIAS

21

CRIPTOGRAMAS

25

RAZ. MATEMÁTICO II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA

..

.

.



RAZONAMIENTO MATEMÁTICO


SUCESIONES ¿Qué es sucesión? Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores casos), y que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que, gracias a este orden, se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente, acorde con una ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este orden se les denomina términos de la sucesión. Ejemplos: * 4; 7; 10; 13; ... es una sucesión numérica y está constituida de modo que cada elemento es obtenido al añadir 3 unidades al elemento anterior, a partir del segundo elemento. * B; D; F; H; ... es una sucesión literal donde cada término que sigue se obtiene considerando el orden que la letra ocupa en el alfabeto, dejando un lugar y también la siguiente letra.

II BIMESTRE

* 1

;

5

;

9

;

13

;

... es una sucesión

grafonumérica, donde cada elemento está constituido por una figura y un número. En el presente capítulo analizaremos las sucesiones numéricas y literales.

Sucesiones numéricas notables y especiales A continuación mostramos algunas sucesiones importantes: Nombre

Sucesión

De los números naturales

1;2;3;4;5;...

De los números pares

2;4;6;8;10;...

De los números impares

1;3;5;7;9;...

De los números triangulares

1;3;6;10;15;21;...

Regla de formación tn = n tn = 2n tn = 2n-1 ó tn = 2n+1 tn =

n (n + 1) 2

n (n+1) (n+2) 6

De los números tetraédricos

1;4;10;20;35;...

De los números pentagonales

1;5;12;22;...

De los números hexagonales

1;6;15;28;...

De los números cuadrados

1;4;9;16;25;...

tn = n 2

De los cubos perfectos

1;8;27;64;125;...

tn = n 3

De los números primos

2;3;5;7;11;13;...

-

tn =

tn =

n (3n - 1) 2

tn = n (2n-1)

-7-





D. Sucesión Alternada

SUCESIONES NUMÉRICAS Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de elementos numéricos, en el cual cada uno de ellos tiene un orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un número ordinal, de tal manera que pueda distinguirse a uno como el primero, otro como el segundo, otro como el tercero y así sucesivamente de acuerdo a cierta ley de formación.

Cuando los números pertenecen a dos o más series que, al escribirse juntas, aparentan formar una so l a s ec u en ci a que se h ace incoherente. -2

A. Sucesión Aritmética Es una sucesión numérica en la cual se fija el primer término, y cada término siguiente, a partir del segundo, se obtiene sumando el anterior un mismo número llamado diferencia común o razón de la progresión aritmética. 2 ;

5

;

8

;

11 ;

-2

-2

2 ; 10 ; 5 ; 8 ; 8; 6 ; 11 ; 4 ; A ; B +3

+3

+3

A = 14

Ejemplos: 1)

-2

÷3

...

+3

B=2 ÷3

÷3

4; 81; 12; 27; 36; 9; C ; D +3

+3

+3 ×3

24 ;

2)

20

; 16

-4

;

- 4

12 ;

C = 108

...

- 4

B. Sucesión Geométrica Es una sucesión numérica en la cual se fija el primer término diferente de cero y cada término siguiente, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número diferente de cero, llamado razón de la progresión geométrica. Ejemplos: 2 ;

1)

6

;

×3 2)

18

×3

24 ;

12

×1 2

;

; 54 ;

×3

...

×3 D=3

SUCESIONES LITERALES Una sucesión literal es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Estos criterios son diversos y los más considerados son: a) Lugar que ocupa la letra en el alfabeto. b) Iniciales de palabras conocidas. c) Formación de palabras.

×3 6

;

×1 2

3 ;

Observación

...

×1 2

C. Sucesión Combinada Es aquella que combina las reglas de formación de las sucesiones aritméticas y geométricas.

Generalmentre al elaborar las preguntas sobre sucesiones literales no se consideran las letras: CH; LL y RR. Por este motivo, al resolver los ejercicios dados no se toman en cuenta dichas letras, a no ser que se indique lo contrario.

Ejemplos: a)

5 ;

10

×2 b)

10 ; ×3

; +3

30

; -5

13

; 52 ; ×4

25 ; ×3

M = 210

-8-

57

;

+5

×6

75 ; 70

;

-5

×3

S = 342

S

M

;

N

-5

N = 205






* ¿Qué letra continúa? F, H, J, L, N, ...

9)

Resolución

2 ; 7 ; 4 ; 14 ; 6 ; 28 ; x ; y Halla "x + y".

Es una sucesión literal, veamos: F

;

H

;

F ; G ; H ; L

;

J

I ; N

L ; M ; N ;

J

;

I.

; K;

;

...

a) 39 d) 42

b) 43 e) 38

Respuesta:

M ,

V ,

T ,

M , ...

E R C U R I O

E N U S

I E R R A

A R T E

Respuesta:

b) 60 e) 80

c) 23

11) 4 ; 3 ; 1 ; -2 ; ... a) 253 d) 250

b) 254 e) 255

a) -4 d) -8

c) 252

b) -6 e) -9

c) -10

12) c ; p; e; r; g; t; i; .... 3) 1 ; 2 ; 4 ; 16 ; 192 ; ...

Si tratamos de resolver el problema por el criterio (a) (lugar que ocupa la letra en el alfabeto), no encontramos coherencia. Sin embargo, podemos ver que las letras son iniciales de palabras.

c) 57

2) 2 ; 5 ; 20 ; 56 ; 104 ; 173; ...

* ¿Qué letra continúa? M, V, T, M, ... Resolución

a) 3 d) 6

c) 41

Observación: No hemos considerado la letra "LL". La letra "O"

b) 64 e) N.A.

10) 12; 48; 9; 36; 6; 24; ...

1) 1 ; 5 ; 12 ; 21 ; 31 ; ...

Ñ ; O

a) 61 d) 52

En cada caso, encuentra el número que continúa.

a) 9218 d) 9216

b) 9214 e) 9220

a) t d) u

c) 9215

b) 56 e) 62

a) 2 d) -2

J(JÚPITER)

b) 14 e) 18

c) 1

14) 2M ; 5J ; 20V; 25S; ... a) 120D d) 150R

c) 19

15) 6)

b) -1 e) 10

c) 64

5) 5; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 14; ... a) 15 d) 17

c) v

13) 72; 36; 12; 6; 2; ...

4) 3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 21 ; 34; ... a) 58 d) 60

b) s e) z

b) 150D e) N.A.

c) 35P

2 ; 2 ; 6 ; 2 2 ; ...

A ; D ; H ; M ; R; ... a) W d) Z

b) Y e) V

c) X

a) 10 d) 12

b) 10 e) 13

c) 12

El número 40 Es un número que, asociado a la unidad, ha sido muy recurrente en la Biblia. Moisés pasó 40 días y 40 noches en el Monte Sinai. Jesucristo pasó 40 días de penitencia en el desierto. El Diluvio Universal duró 40 días. Los grandes reyes judíos Salomón y David reinaron 40 años, los mismos que el pueblo judío estuvo errante en el desierto.

II BIMESTRE

7)

A ; D ; G ; K ; Ñ ; S ; ... a) Y d) X

8)

b) W e) Z

c) V

A ; B ; D ; H ; ... a) Q d) Ñ

b) O e) R

c) P

-9-





4)

MNO; MNÑ; MNN; MN... a) S d) L

II. En cada caso, determina el número que continúa. 1)

b) 65 e) N.A.

b) P e) S

9)

6)

c) Q

7)

b) 48S e) N.A.

a) F;W d) E;X

- 10 -

b) 310 e) 185

c) 150

3/2 ; 6/5 ; 12/8 ; 24/11 ; x/y ; ...

a) 50 d) 53

b) 46 e) N.A.

c) E;W

10) En la siguiente sucesión, ¿qué número sigue?

2 ; 8; 5; 20; 17; 68; 65; ... a) 260 d) 145

b) F;X e) N.A.

c) 36T

halla "x + y". 3)

Indica las dos letras que continúan en la siguiente sucesión: W; J; Q; Ñ; M; R; I; U; ... ; ...

3M ; 6M ; 12L; 24D; ... a) 48P d) 48Q

c) 20/9

c) g

c) 57

A ; E ; I ; M; ... a) O d) R

b) e e) m

4 ; 14/5 ; 16/7 ; 2 ; ... a) 21/11 b) 23/11 d) 20/11 e) 21/10

c) M

t; q; o; n; k; i; h; ... a) f d) h

1 ; 1 ; 3 ; 9 ; 13 ; ... a) 17 d) 71

2)

5)

b) O e) Ñ

8)

c) 62

0; 6; 24; 60; 120; ... a) 270 d) 40

b) 310 e) 370

c) 210






ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES Son aquellas disposiciones de números colocados generalmente en filas y columnas, donde uno de ellos es dado de incógnita. Este número buscado se encuentra utilizando la rotación existente entre los demás números dados.

1. Analogías Numéricas Comparación horizontal entre relaciones numéricas. Generalmente se relacionan los términos extremos, para así hallar el centro. Ejemplo 1:

6 4 7

6 (9) 3 4 (8) 4 7 (...) 2

* Halla el número que falta en: 14 (77) 11 12 (72) 12 10 (...) 13

b) 7 e) 13

b) 55 e) 56

14 (77) 11 c) 11

Ejemplo 3: c) 65

Encontraremos que: 6x3 =9 2 4x4 =8 2 Piden: 7 x 2 = 7 2

 Rpta.: b

II BIMESTRE

* ¿Qué número falta? 18 16 6

Encontraremos que:

(14 x 11) ÷ 2 = 77 12 (72) 12 (12 x 12) ÷ 2 = 72 10 (...) 13 Piden:(10 x 13)÷ 2 = 65

Resolución extremos #central

Ejemplo 2:

En este caso se consideran grupos de números distribuidos en filas (horizontales) y columnas (verticales), pudiendo establecerse analogías entre filas como en el caso anterior; también entre columnas, sin que la incógnita sea necesariamente el número central. Por este motivo, las operaciones a realizarse alcanzan una mayor diversidad y exigen más raciocinio.

Resolución

(9) 3 (8) 4 (...) 2

a) 6 d) 14

También la clave puede ser “9”, ya que 6 + 3 = 9 y 4 + 4 = 8, pero en ninguna alternativa hay 9.

a) 66 d) 59

* ¿Qué número falta?

2. Distribuciones Numéricas

Observación

Rpta.: c

Nota Entre las múltiples operaciones que pueden explicar la relación entre los extremos y el número central, será siempre mejor aceptada la que implique los cálculos más simples y verosímiles, sin caer en operaciones rebuscadas o cálculos extravagantes.

a) 2 d) 5

25 20 15 b) 3 e) 8

4 3 ... c) 4

Resolución En cada columna el último número es el triple de la diferencia de los primeros. Entonces: 1.a columna: 18 - 16 = 2  2 x 3 = 6 2.a columna: 25- 20 = 5  5 x 3 = 15 3.a columna: 4 - 3 = 1  1 x 3 = 3

 Rpta.: b

- 11 -





Ejemplo 4:

Ejemplo 6:

* ¿Qué número falta? 8 12 10 a) 3 d) 2

*

17 16 11

vaca

(paco)

¿Qué número falta?  Rpta.: c

5 ... 9

42 6 27

b) 4 e) 1

66 7 40

a) 38 d) 39

c) 0

b) 45 e) 47

78 8

?

c) 41

Resolución Resolución En cada fila, la suma de los números es constante: a

1. fila: 8 + 17 + 5 = 30 2.a fila: 10 + 11 + 9 = 30 3.a fila: 12 + 16 + x =30  x = 2

Encontramos que: N.º superior= doble de la diferencia entre bases Para cada figura: 42 = (27 - 6) x 2 66 = (40 - 7) x 2 78 = (x - 8) x 2  x = 47

Nota No se consid eran los significados de las palabras, más bien, se observa y se busca con qué letras ha sido formada la palabra central.

Ejemplo 8: * ¿Qué letras faltan?

 Rpta.: e

 Rpta.: d

D O A

3. Distribuciones Gráficas

Ejemplo 5: Halla x en: 5

9

8

2

6

a) 18 d) 4

x

12 b) 77 e) 8

11

7

Resolución Analizando las primeras figuras se deduce que: * 8+2 = 5

2

* 6 + 12 = 9 2

En estos casos no hay ningún método general para la resolución. Se puede decir que son “adivinanzas numéricas”, es cuestión de imaginación.

a) N y L d) M y P

4. Relaciones Literales

Analizando tendremos:

Son distribuciones de letras. La idea es formar palabras o encontrar una relación con el abecedario.

Las que faltan serán: M y P

Semisuma

 x = 11 + 7

2

=9

c) P y R

Resolución D O A

E M

E L

P

 Rpta.: d

a) pota d) poro

pato

?

b) S y P e) P y T

Ejemplo 7:

b) poco e) pomo

c) paco

Resolución

 Rpta.: c

- 12 -

L

* ¿Qué palabra falta? pato (mata) maca vaca ( ... ) poro

c) 9

E ?

E

Observación

Son situaciones numéricas donde se buscará alguna relación operativa entre sus números dispuestos en un determinado gráfico.

*

poro

(mata)

maca

Reto Se trata de un ho mb re de 1,80 m de estatura que camina sobre el Ecuador terrestre y da así toda la vuelta a nuestro planeta. ¿Qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies? ¿Y si lo hace sobre el ecuador de la Luna?






6)

Indica el número que falta en: 8 8

Encuentra los números que faltan en los siguientes ejercicios:

10 4

7

a) 18 d) 16

6

x 2

9

b) 14 e) 13

1

11

(5) (6) (x)

a) 2 d) 8

7)

6 9 1

Indica el número que falta en: 10

b) 4 e) 10

a) 12 d) 6

(7) (6) (x)

5

4

a) 10 d) 6

203 111 221 8)

c) 8

3) 3 2 3

a) 20 d) 22

3

16 9 x

b) 18 e) 26

2

4

4

5

6

6

b) 47 e) 42

6

2

c) 5

5

3

6

4 x

9

2

b) 52 e) 50

5 4

3

c) 24

5 6

3

6

13

8 9 a) 4 d) 6

c) 50

x 5 8

b) 5 e) 8

4 c) 9

15) Halla x.

9) 4 8 3

( 12 ) (x) ( 28 )

a) 24 d) 23

3 5 8

2

9 7

3

14) Indica el número que falta:

x

33

12

20

a) 54 d) 10

c) 24

(72) (1600) (x)

1

4

c) 5

Indica el número que falta en:

a) 45 d) 53

4) Halla el valor de "x" en: 2 4 5

3

6

b) 4 e) 6

3

x

b) 8 e) 7

15 5 4 7

18

8 6

b) 10 e) 18

7


c) 6

2) 101 210 102

6

x

8

a) 1 d) 9

c) 11

1) 4 3 7


6 6 12

b) 23 e) 42

5 c) 32

12 6

a) 6 d) 17

1

3 9 5 5 3

9 15 12 x 1 3

b) 12 e) 5

c) 8

10) a) 8000 d) 5000

b) 7000 e) 6000

c) 4000

2

4

5 a) 15 d) 7

1

8

5 7 3

II BIMESTRE

c) 13

41 34 54

b) 3 e) 5

c) 2 Encuentra los números que faltan en los siguientes ejercicios:

11) Encuentra el valor de "x". 2 5 3

10 9 7 x

b) 14 e) 9

(6) (x) (4)

a) 4 d) 1

5) Halla el valor de "x" en: 8 6 8

83 27 94

a) 2 d) 7

4 2 3

2 0 x b) 3 e) 8

1 1 0 c) 5

1) 85 47 60 a) 95 d) 59

( 210 ) 125 ( 90 ) 43 ( x ) 35 b) 75 e) 58

c) 85

- 13 -





5)

2) 75 40 15

( 15 ) ( 25 ) ( x )

a) 22 d) 55

105 90 81

b) 44 e) 33

3 c) 66

20 5 15

16 7 13

a) 7 d) 10

6)

9 3 x

b) 8 e) 11

7

5

6

8

3

9

4

8

9

4

2

7

b) 32 e) 15

6 7

2 2

8

9) 6

4

7

6

b) 4 e) 5

9

8

c) 6

9 6 9

b) 12 e) 6

3 7 x c) 9

Halla el número que falta en el gráfico. a) 72 b) 82 c) 92 d) 98 e) 102

c) 9 5

5 3 6

a) 10 d) 3

x 5 11

Encuentra el valor de x. 3 4 3

c) 46

Indica el número que falta:

a) 7 d) 8 4)

x

12

a) 23 d) 13

3)

8)


5 ?

12 7 8 15 49 60

Halla "x". 5 7 13 a) 16 d) 23

6 3 10 b) 17 e) 41

1 7 9

12 3 x c) 15

7) 3

2 11

7

4

a) 22 d) 25

7

2

3 b) 23 e) 26

9 c) 24

1 0

x

31 5

- 14 -

10) Indica el número que falta en:


2 1

3 3 5 9

1 -2

4

4

a) -5 d) 5

b) 4 e) -4

2

6 4

x

5 11

12 13

15 c) 6






USO DE LA SIGMA Notación Sigma La suma de los términos: an ; an+1 ; an+2 ; ...; am Lo denotaremos como: m

 ak =an+ an+1+ an+2+ ...+ am

k=n

Las sumatorias más usuales en nuestro estudio son: m

 k = 1+2+3+...+n = n(n+1) 2

k=1

m

 k2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2

k=1

=

n(n + 1) (2n + 1) 6

Donde: k : es el índice de la sumatoria. ak : es el k-ésimo término de la suma o término general de la sumatoria. n : es el l ímite in fer ior de la sumatoria. m : es el límite su perior de la sumatoria. 1. NOTACIÓN ∑ : este símbolo es la décima octava letra del alfabeto griego, y se usa para representar la sumatoria. Límite Superior

m

m

 k3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3

k=1

=  n(n + 1)  2

2

1. Representa la siguiente sumatoria: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 30

∑ a k

k=n

Límite Inferior Se lee: la sumatoria de los elementos ak desde k = n hasta k = m.

Nota 1. Los límites superior e inferior de la sumatoria son constantes respecto del índice de la sumatoria. 2. El límite inferior es cualquier número entero menor o igual que el límite superior; es decir, n ≤ m.

II BIMESTRE

Resolución La sucesión está formada por todos los enteros positivos desde 1 hasta 30. Sea i un entero cualquiera cuyo valor mínimo es 1 (límite inferior) y el valor máximo es 30 (límite superior). Por lo tanto, la sucesión indicada la podemos representar como: 30 i i=1

El origen de la sigma En un ideograma de la escritura egipcia que mostraba unos lotos (plantas acuáticas con flores) emergiendo de un lago, se encuentra el origen de la letra S. Los fenicios, más tarde, lo simplificaron, dándole una forma semejante a la W, y lo llamaron samek. A su vez, cuando adoptaron el alfabeto fenicio, los griegos le pusieron el nombre de sigma a esa letra y la giraron 90 grados; fue así como adquirió la forma parecida al número 3, aunque con el paso del tiempo perdió la primitiva angulosidad y se hizo más redondeada. Los etruscos, que la escribían invirtiéndola hacia la derecha, la hicieron bastante parecida a la S que usamos hoy, aunque fueron los romanos quienes le dieron su aspecto definitivo. El uso de la sigma griega mayúscula para representar una sumatoria se debe a Euler, que empezó a usarla en 1755 con estas palabras: “Summam Indicabimus signo ∑”. Parece que al ser sigma la letra griega equivalente a la S de suma fue la causa de su elección.

- 15 -





B. Si K es un valor constante

5

2. Calcula

 (2i - 1) i=3

2)

m

m k. ai = k  ai  i=n i=n

Resolución Cada término a sumar es de la forma "2i - 1", donde "i" toma los valores 3, 4 y 5.

a) 25 . 103 d) 24. 104 b) 249 001 e) 25 . 104 c) 26 . 104 3)

Ejemplo:

Términos

i=3 i=4 i=5

2.3-1=5 2.4-1=7 2.5-1=9

5  (2i - 1) = 5 + 7 + 9 = 21 i=3

3.

5  (3k - 1) k=3

Calcula:

7   2i = 2 i i=4 i=4

C.

ai; bi son términos que dependen de la variable "i" m m m  ai + bi =  ai +  bi  i=n i=n i=n

a) 4 583 d) 4 536 b) 3 025 e) 4 356 c) 6 084 5) 22.1+22.2+22.3+ ... +180 a) 4 040 d) 4 410 b) 4 140 e) 4 400 c) 4 230

4 4 4  (3i + i2) =  3i +  i2 i=1 i=1 i=1

6)

5

 (3k-1) = 3(3)-1+3(4)-1+3(5)-1

k=3

k=3

k=4

k=5

= 8 + 11 + 14 = 33

2. PROPIEDADES A. Número de términos de la sumatoria m

 ai i=n

D. Sumatoria de una constante (k = cte.)

3+4+5+6+7+8

a)  n d) n=3

∑ k = k (Nº términos) i=n = k (m - n + 1)

8

b)

- 16 -

 n - e)1

N.A.

n=4 8

Ejemplo:

c)

2

n

n=1

8

 10 =10(8 - 4 + 1)= 50 i=4 7)

21 + 21 + 21 + 21 3

Ejemplo:

 ai Nº términos = 80 - 23 + 1 = 58 i=23

 n+2

n=1

m

a)

80

7

8

º términos = m-n+1

Halla el número de términos de la siguiente sumatoria:

d) 2550 e) 2652

4) 13 + 23 + 33 + ... + 113

Ejemplo:

Resolución

12 + 22 + 32 + ... + 102 a) 2562 b) 2450 c) 2756

7

Para

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 990

 21 d) k=1 5

Obtén el resultado de las siguientes sumas: 1) 1+2+3+4+5+6+7+8+9 a) 50 d) 36

b) 45 e) 55

c) 70

b)

c)

 21 e) k=2

6

 21 k=2 5

 21 k=0

21 4 k=4


8)





32 + 42 + 52 + ... + 576 a)

b)

24 2  n +1d) n=2 24 2  n e) n=1

25 2  n -1 n=4

a) 518 d) 712

24 2 n n=3

18  3k k=1

14) Calcula:

5)

b) 513 e) 716

Halla: i=18  (2i - 1) i=1

c) 418 a) 324 d) 348

b) 360 e) 340

15) Indica el resultado de efectuar:

25 c)

n

2

F=

n=3

9)

Halla: a) 210 d) 230

i=15  2i i=1 b) 250 e) 240

c) 320

a) 40 d) 62

7

25

6)

6  (k) + 75 k=1 b) 45 e) 60

c) 90

Evalúa: T =  i (i +1) i=4 a) 128 d) 178

b) 168 e) 198

c) 148

c) 220 11 7)

Halla:

 8a2

a=1 10) Halla la cantidad de sumandos en: 15  tk k=7 a) 8 d) 10

b) 7 e) 15

1)

Halla: a) 156 d) 78

c) 9 2)

b) 63 e) 77

c) 580

13) Calcula la suma de cifras del resultado: 335 k k=1 a) 19 d) 27

b) 21 e) 29

II BIMESTRE

 (2k - 7) k=5

3)

i=26  2i i=9 b) 650 e) 680

8)

30

a) 25 d) 26

c) 24

b) 24 e) 27

b) 8 e) 10

c) 4804

Calcula el valor de: 20

15

S= 5  k k=1

7 p p=1

a) 200 d) 426

b) 210 e) 320

c) 0

c) 23 9)

Halla la cantidad de sumandos en: 11 7 k=3 a) 9 d) 6

b) 4262 e) 5102

c) 72

c) 42

12) Halla:

a) 630 d) 670

b) 64 e) 82

a) 4048 d) 4903

Halla la cantidad de sumandos a partir de:

11) Halla el resultado de la suma anterior. a) 70 d) 56

i = 12 i i=1

c) 7

Calcula: 30

27 k +  k k=1 k=1 a) 460 d) 715

b) 525 e) 462

c) 843

10) Halla: 4)

Halla:

33 i = 20 i i=8

a) 168 d) 216

b) 182 e) 176

 2k k=10 c) 224

a) 1024 d) 1030

b) 1041 e) 1032

c) 1008

- 17 -





CONTEO DE FIGURAS Métodos de Conteo 1. CONTEO VISUAL-DIRECTO Requiere de agudeza visual y sobre todo práctica. Ejemplo 1:

*

Dentro de estos casos tenemos: PARA TRIÁNGULOS

Nota No existen fórmulas generales, só l o par a ci e r to s ca so s particulares.

n(n+1) 2

¿Cuántos triángulos hay?

PARA SECTORES CIRCULARES

1 2 3

...

n

n(n+1) 2

n 3

Ejemplo 3: Se observa 4 triángulos pequeños y uno grande, en total 5.

2

¿Cuántos triángulos hay?

2. CONTEO NUMÉRICO

Ejemplo 4:

Consiste en poner dígitos a las figuras que nos interesa contar e ir combinándolos en forma ordenada.

¿Cuántos sectores circulares hay? 1

2

3

4 5 4

Nº triángulos = 5(6) = 15 2

Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay?

2 3

x

3. CONTEO POR INDUCCIÓN • Se utiliza en casos donde la cantidad de figuras a contar parezca muy grande. • Consiste en analizar casos particulares y luego generalizar, para hallar el total. • Este método se emplea para determinar las fórmulas en ciertos casos particulares.

1 n(n+1) 2

n 3 2

3 2

PARA ÁNGULOS

1

De 1 figura: 1 , 2, 3 = 3 De 2 figuras: 12, 23, 3x, 1x = 4 De 4 figuras: 123x = 1 Total = 8

- 18 -

1

Nº sectores =

4x5 = 10 2

En total: 10 . 2 = 20 sectores 1 PARA CUADRADOS

Ejemplo 4: ¿Cuántos ángulos hay?

4 3

n 2 1

Nº ángulos =

Nº cuadrados = n(n+1)(2n+1) 6

4(5) = 10 2

3 2 1 2 3 ... n






Ejemplo 6:

6)

¿Cuántos cuadrados hay? 5 4 3 2 1 2 3 4 5

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

1) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

n=5 5 x 6 x 11 Nº cuadrados = = 55 6 PARA CUADRILÁTEROS

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

7)

2 1 2 3 ... n-2 n-1 n

n (n+1) 2 n(n+1) . m(m+1) Nº cuadriláteros= 2 2

2) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

8)

a) 10 b) 12 c) 13 d) 11 e) 14

4x5 2

4 3 2 1

2

3

4

3) ¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5

5x6 2 5x6 4x5 x Nº cuadriláteros = 2 2 = 150

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

PARA CUBOS n 1 n 1 ... n 2

[

]

n(n+1) Nº cubos = 2 Ejemplo 8: Para n = 3 2

Tenemos:

4) ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

( )

3(4) = 36 cubos 2

II BIMESTRE

5) ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 8 b) 12 c) 14 d) 16 e) 15

Ejemplo 7: ¿Cuántos cuadriláteros hay?

En la siguiente figura, ¿cuántos cuadriláteros hay? a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 e) 9

m m (m+1) 2

¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

9)

Halla el total de segmentos que se observan:

a) 144 d) 174

b) 154 e) 178

c) 164

10) ¿Cuántos tri ángulo s como máx imo se c uen tan e n la figura? a) 30 b) 26 c) 21 d) 15 e) 14 11) ¿Cuántos ángulos menores que 180  se pueden contar en la figura? a) 1 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

- 19 -





12) Hallar el número de sectores circulares.

2)

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

b) 520 e) 468

3)

4)

¿Cuánto s triángu los como máx imo se c uen tan e n la figura?

a) 50 y 125 b) 55 y 225 c) 75 y 250

d) 30 y 100 e) 55 y 155

15) ¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la figura?

¿Cuántos triángulos que no contengan asterisco (*) se pueden contar?

A

B

C D E

9)

*

*

¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 30 b) 36 c) 40 d) 44 e) 48

F H 5)

G

Halla el total de cuadriláteros. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 70 6)

¿Cuántos segmentos se cuentan en la siguiente figura?

8)

a) 11 b) 10 c) 9 d) 12 e) 13

Halla el total de ángulos menores de 180º. a) 56 b) 28 c) 14 d) 32 e) 64

¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) 35 b) 36 c) 37 d) 39 e) 19

a) 21 b) 42 c) 63 d) 158 e) 200

c) 481

14) ¿Cuántos cuadrados y cuántos cuadriláteros, respectivamente, se pueden observar en esta figura?

1)

7)

a) 165 b) 105 c) 60 d) 30 e) 90

13) Halla el total de cuadriláteros en:

a) 360 d) 640

¿Cuántos segmentos se pueden contar?

10) ¿Cuántos cuadrados se pueden observar en esta figura? a) 40 b) 50 c) 55 d) 60 e) 44

¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura? a) 79 b) 82 c) 84 d) 78 e) 87

1 2 3 4 ... 32 33 a) 561 d) 936

- 20 -

b) 488 e) 330

c) 624






OPERACIONES MATEMÁTICAS ARBITRARIAS Objetivos  C o n o c e r e n t o d as s u s variantes, el concepto de operación matemática.  Co no c er las dif ere n te s formas de definición de una operación matemática.  Potenciar la aptitud de reconocimiento y manejo adecuado de nuevas e s t ru c tu r a s s i m b ó l i c a s relacionadas con las operaciones matemáticas.

Nociones Previas Este es un capítulo que basa su importancia en la gran aplicación que tiene sobre los procesos condicionados y reglamentados, que permite medir la capacidad para captar relaciones u operaciones nuevas, a las que se supone estamos poco acostumbrados. Permite también analizar nuevas operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos: Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura. Esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido.

Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre determinadas cantidades. Estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee (representado por los botones). 1. ¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA? Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos a la adición, la sustracción, la multiplicación, etc. 2. ¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO? Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. C omo ej emp l os d e o pe rado re s matemáticos tenemos: OPERADOR

OPERACIÓN

+ x ÷

Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Potenciación

n

: Hilo delgado : Hilo grueso : Tela

II BIMESTRE

( )n

Aquí mostramos otros operadores: Operador asterisco

*

Operador cuadrado



Operador nabla

#

Operador grilla



Operador triángulo Operador rectángulo



Operador diamante

@

Operador arroba

Las operaciones matemáticas pueden ser: * Operaciones con regla de definición universal En este grupo tenemos todas las o p e r ac i o n e s c o n o c i d as , c o mo por ejemplo: la adición (+), la multiplicación (x), la división (÷), la sustracción (-), la radicación ( ),etc * Operaciones con regla de definición arbitraria Estas operaciones surgen cuando establecemos una regla de definición distinta no tradicional, “arbitraria” y escogemos para representarla un símbolo cualquiera, por ejemplo: *, , , etc, que será su operador matemático. Notación: Con estos operadores p o d e mo s e st ab l e c e r c u al q u i e r operación matemática, teniendo como REGLA DE FORMACIÓN alguna combinación de operaciones básicas conocidas que podemos crear. Operación m∆ n =m + n Operador

Regla de formación

- 21 -





Es decir: a = 5; b = 1 (en el ejercicio)  5 ∆ 1 = (5.1)2 - 5 = 20 1. Si m ∆ n = m + n2, calcular 5 ∆ 3 . a) 11 d) 12

b) 10 e) 13

Recuerda c) 14

m ∆ n

5 ∆ 3 Luego de identificar los valores de m y n, procedemos a reemplazarlos en la regla de formación: m ∆ n = m + n2

 1 2 3 4 1

sólo tenemos que identificar ambas expresiones tal como lo indican las flechas. a=1 b=2

Importante

2. Si a ∆ b = (ab)2 - a, halla 5 ∆ 1. Resolución Para observarlo con claridad hacemos lo siguiente: Sabemos: a ∆ b = (ab)2 - a Nos piden:

- 22 -

5 ∆ 1

1

2

2

2

3

3

4

3

4

3

2

1

4

2

4

1

1

Resolución Hacemos a = 6 y b = 2 y reemplazamos en a + b a-b Luego: 6+2 8 6*2= = =2 6-2 4

 Rpta.: 3

6*2=2  Rpta.: 2 4. Si

m # n = 2m - n; si m > n m # n = 2n - m; si: m < n halla (5 # 2) # (-3 # -1) Resolución

m>n -3 # -1 = 2(-1) - (-3) = -2 + 3 = 1 m
 A l e f e c t u ar o p e r ac i o n e s combinadas se procede en el siguiente orden: (1.º) Potenciación o radicación (2.º) Multiplicación o división (3.º) Adición o sustracción

3

Reemplazando los resultados: (1)  (2) = 3

5 # 2 = 2(5) - 2 = 8  Rpta.: c

4

4 3 = 1 3. Si a*b= a+b , a-b halla 6 * 2.

5 ∆ 3 = 5 + 32 Efectuando operaciones combinadas: - Primero la potenciación: 5 ∆ 3 = 5 + 9 - Luego la adición: 5 ∆ 3 = 14 El valor de 5 ∆ 3 es 14.

4 3 = 1 porque es el cruce de la fila que contiene al 4 y la columna que contiene al 3. Además: 2  1 = 2

 Si se nos da: a * b y se nos pide: 1 * 2

Resolución En este caso el operador es ∆. La regla de formación es m + n2. Lo que tenemos que hacer es hallar el valor numérico de tal regla para m = 5 y n = 3. Por lo tanto:

Resolución

Reemplazando estos resultados se tiene: (8) # (1) = 2(8) - 1 = 15 m > n  Rpta.: 15

5. Si  1 2 3 4

1 4 2 4 2

2 3 3 3 4

3 1 3 2 1

4 2 4 1 1

En todo análisis de datos, es muy importante que distingamos los valores absolutos (frecuencias abs olutas) d e los v alores porcentuales (frecuencia relativa). Veamos un ejemplo. Compararemos el número de enfermos de SIDA entre el país X (10 000 casos) y el país Y (20 000 casos). ¿Es más la influencia epidemiológica en X o en Y? A la vista parece que el país Y tiene la enfermedad más desarrollada. Pero este dato puede ser engañoso, porque si sabemos que el país X tiene 100 000 habitantes y el país Y tiene 2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que la enfermedad es más preocupante? Ciertamente en el país X porque hay 10 000 enfermos entre 100 000 habitantes, lo que significa que el 10% de la población está enferma. En cambio en el país Y sólo el 1% de la población está enferma. Ahora sí podemos comparar los datos.

%

halla (4  3)(2  1)






8)

n = (n-1)2

Si

halla “x” en

b) 44 e) 49

a) 2 d) 6

c) 42 9)

2) Si a T b = ab - ba, calcula 2 T 3. a) 0 d) 2

b) 1 e) -2

b) 9 e) 6

b) 0 e) 6

c) -1

6)

Si:

b) 4 e) 8 a∆ =

y:

c) 15

7)

b) 36 e) 72

II BIMESTRE

a) 1 d) 4

4 4 1 2 3

b) 2 e) 2 ó 3

c) 72

c) 3

14) Si n = n2 - 1 y además n = n + 5 , hallar 3 ( n > 0) a) 4 d) 2

a

b = ax + 3b

3

2 = 21

b) 3 e) 6

c) 5

15) Sabiendo que

5

x = 3x - 8 y

además x = 3x + 12x + 10,

a) 37 d) 40

4

halla

b) 42 e) 35

2

c) 38 a) 12 d) 23

b) 25 e) 18

c) 16

11) Sabiendo que: a • b = a2 - 1; (si a > b) a • b = b2 - a; (si b > a) simplifica: 5 • ( 4 • 17 )

3

x

1) a) 12 d) 16

b) 14 e) 20

Si

q = p - pq, 2

2p •

c) 24 halla 8 • 3

c) 6

c) 81

a) -12 d) 30

12) Definimos la siguiente operación “” mediante la siguiente tabla:  a b c d

c) 0

Se define: a * b = 2a b * a , entonces el valor de 1*27 es: a) 24 d) 48

b) 80 e) 55

calcula

c) 5

a2 - 1 , (a-1)2

b) 1 e) 4

3 3 4 1 2

2

calcula el valor de: A = (...(((2∆)∆)∆)∆...)∆ (en total hay 97 operadores) a) 2 d) 3

2 2 3 4 1

halla (3 * 4) * (2 * 1)

10) Sabiendo que:

5) Se sabe que: x+1 = x Halla 65 a) 5 d) 9

1 1 2 3 4

c) 4

1 ∆ A = A2 - 2B , b

a) 81 d) 64

4) Se sabe que: a - 5 , si “a” es impar. a = 2 a - 6 , si “a” es par. 2 Halla 13 - 14 a) 1 d) 4

Si

b) 3 e) 5

 1 2 3 4

halla 2 ∆ 3

3) Si a  b = 4a - 5b a ∆ b = 7a - 3b; halla (3  2) ∆ (4  3) a) 10 d) 11

= 64

si x +.

1) Si a # b = (a+b) (a-b), calcula 7 # 2. a) 46 d) 45

x

13) Si:

a c b a d

b d c b a

c a d c b

2)

d b a d c

Según esto, halla “x” en: (x  a)  d = (d  b)  (c  a) a) a d) d

b) b e) a o b

c) c

Si:

b) -20 e) 32  1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

c) -25

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

halla (3 • 4) • (2 • 1) a) 1 d) 4

b) 2 e) 3 ó 2

c) 3

- 23 -

3)





M

Si B y:

x 3

=

B + M + 15 2

= 14 5

halla el valor de: a) 125 d) 81 4)

2

x

b) 120 e) 60

Si: a

b) 3200 e) ∞

a) 1 d) 4

2 7 1 d) 4

a)

- 24 -

c) 0

1) 3 7 4 e) 9

b)

S e de fi ne n l os si gu i en te s operadores: x + 1 x+3

7)

b) 2 e) 5

a) 9 d) 12 9)

m = m2 - 1

7. 1 c) 3

Halla

10

a) 10 d) 11

b) 12 e) 17

= 3x + 5

E =

c) 3

Se sabe que:

= x -1

halla el valor de: 5

+

b) 10 e) 13

4

c) 11

2

( a b+35b)

Si a # b = b -1, 4a calcula 5# [5# { 5#(5# <...>)}] 30 operadores

m = m(m+2) , m > 0

3a+b ; si “a > b” 4 b= 2a - b ; si “a < b” 3

halla (5

8)

halla [(3  5)  (4  2)]1

Si p  q = 3p - 2q, halla:

a) 1 d) 2500

Dada la siguiente tabla:  1 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 2 5 3 4 2 1 3 2 1 3 5 4 4 4 5 2 4 3 5 1 2 4 3 5

c) 205

R = (5  4) (4  3)(3  2)... (100  99) factores

5)

6)

a) -2 d) 5

b) 1 e) 10

c) 3

c) 15 10) Si: x2 - xy x*y= -1 x-y para x ≠ y; xy ≠ 0, calcula: 8 * (8 * (8 * (8 * ...))) a) x d) x - 1

b) 7 e) F.D.

c) 2






CRIPTOGRAMAS Definición “ CRI PT O” si gn i fi ca ' oc u lto ' y “GRAMA” significa 'escritura'. En este sentido un CRIPTOGRAMA es una operación matemática que ha sido encriptada, es decir, sus cifras se han ocultado empleando para ello letras o asteriscos. El objetivo de la criptoaritmética es redescubrir las operaciones básicas de adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potenciación. Por eso, se aconseja que se dediquen a este género de problemas sólo los lectores pacientes y minuciosos como ustedes.

1 3 x c = 21; para que termine en 1. 7 c=7 2 3 x b + 2 = __7 3 x b = 15 ; para que termine en 5. b=5 3 3 x a + 1 = db 3 x a + 1 = d5 3 x a = d4; para que termine en 4. a=8 d=2 a + b + c + d = 8 + 5 + 7 + 2 = 22

Resolución abc x 3 abc1

II BIMESTRE

Ejemplo 4:

ABC + B35 C81 Resolución En las unidades: C + 5 = 11 C= 6 (llevo 1). En las decenas: B + 3 + 1 = 8 B=4 Otra opción: B + 3 + 1 = 18 B = 14 (no puede ser de dos cifras) En las centenas: A+4=6 A=2 Luego, la operación reconstruida es: 246 + 435 681

Si: Si abc x 3 = abc1 , calcula a + b + c + d .

 Rpta.: c

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: Ejemplo 1:

 TE x DEJE = DEJE x TE = 404 136

En la operación:

Nociones Básicas • Cada letra representa sólo una cifra. • A letras diferentes les corresponden valores diferentes. • A letras iguales les corresponden valores iguales. • Si se utilizan símbolos que no so n le tras, cada sí mbol o no necesariamente representa cifras diferentes. • L a l e tra “O” n o r e p re se n ta necesariamente al cero, a menos que sea indicado en el problema.

Productos Parciales

DEJE x TE E x DEJE = 29936 + T x DEJE = 37420 404136

E x DEJE = 29 936 y T x DEJE = 37 420 , calcula TE x DEJE

67b8 dc -ab ab -- 8

ab 2fg

¿cuál es el valor de a+b+c+d+f+g? a) 13 d) 18

b) 16 e) 19

c) 14

Resolución En primer lugar, dividimos: 67b8

ab 2

 Donde: 2 x ab < 67 Como se observará este último resultado; ab debe tomar el valor de 32 (aproximadamente). Para eso, vamos a verificarlo. Veamos: a b=3 2 Donde:

a) 673 560 b) 404 316 c) 404 136

d) 404 816 e) 404 613

Resolución El producto TE x DEJE, se puede escribir como:

67b8 dc -ab ab --8

ab 2fg

67b8 64 -32 32 --8

ab 210

- 25 -





Por comparación de términos, obtenemos: a=3 ; d=6 ;

b=2 ; f=1 ;

c=4 g=0

a + b + d + f + g = 16  Rpta.: b

1) Si AAB + BAA = 1352, halla A x B . a) 12 d) 24

Ejemplo 5: Si se cumple que: abc x 14 * * * (a ≠ b ≠ c) *** *518

2) Si

c) 180

Resolución

a) 9 d) 14 3) Si:

i) c x 4 = 8

a b c x Donde “c” puede tomar 14 valor de 2 ó 7. *** Si probamos con c=2 (no cumple). *** Ahora probamos con c = 7. *518 ii) Luego, en forma conveniente se tratará de ir completando dicha operación. a37 x 14 *48 *37 *518

Ahora sí es más fácil completar la operación, veamos: a37 x 14 **48 *37 *518

537 x 14 2148 537 7518

537 x 14 2148 537 7518

Por comparación de términos: a=5

,

b =3

y

c=7

Ahora llamamos el valor de: abc - bac = 537 - 357 = 180

- 26 -

a) 5 d) 8

b) 4 e) 25

c) 13

7)

b) 6 e) 9

c) 7

8)

halla +  . a) 5 d) 8 4) Si:

b) 6 e) 9 4A5B 52A A835

9)

b) 6 e) 10

b) 18 e) 13

c) 21

b) 1 877 e) 1 987

c) 1 888

c) 12 10) Si ABC x 9 = ...121 halla A + B + C . a) 16 d) 19

** x 1* 5* 2* *0*

b) 17 e) 20

c) 18

11) Si:

5) La suma de las cifras del segundo producto parcial es: b) 7 e) 10

c) 16

Si A + B + C = 17, halla ABC + BCA + CAB . a) 1 777 d) 1 887

Para las pregunta 9, se sabe que:

a) 6 d) 9

b) 20 e) 19

Si SI x 99 = ... 57 , halla S + I + I + I . a) 24 d) 17

c) 7

halla A+B . a) 11 d) 8

La suma de las cifras del dividendo es: a) 18 d) 17

4 + 5 7 11

Luego: abc x 14 *** *** *518

CBCx B35 1CC7

La suma de las cifras del divisor es:

halla B + 2C.

b) 260 e) 190

abc x 14 **8 **7 *518

c) 35

6)

halla abc - bac . a) 270 d) 250

b) 32 e) 16

Para las preguntas 11, 13, se sabe que: **** ** *8 3** -9* *0 *2* *** -*2

c) 8

MM = PMMNM , halla P + M + N . a) 11 d) 18

b) 12 e) 20

c) 15






12) Sabiendo que: a ∆ b = a2 - b2 p  q = (p - 2) (q + 3) m+n m n = m-1

2)

Si A + B + C = 19 , halla AAA + BBB + CCC . a) 1 999 d) 2 109

b) 2 009 e) 2 999

8)

Halla a + x + y si: a*a ** - 8 * * * - 1

c) 2 019

halla (8 ∆ 2)  (5 3) a) 270 d) 290

b) 285 e) 360

c) 350

3)

Si PAZ x 1001 = ...729 , halla P+Z A

D

13) Si ABCD = D , halla “A+C+A+B+A+D+A”. a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

a) 4 d) 8

14) Si TEZ = 5 x T x E x Z , halla ET2 . b) 3 600 e) 2 604

b) 21 e) 25

5)

Si TU6 = * * * T U 6 , halla “U + T”. a) 8 d) 11

Si:

6)

7)

AA+ BB CC A3D

b) 12 e) 15

c) 10

a) 19 d) 13

b) 12 e) 15

c) 21

*

b) 11 e) 14

c) 12

Halla la suma de cifras del dividendo. * * * * * * * ** *** - - -** ** -*** *** - -8

c) 13

a) 29 d) 32

II BIMESTRE

**x 98 ** *** ****

Si PERU = * y el (*) representa un mismo número, halla “P+E+R+U”.

halla A + B + C + D. a) 11 d) 14

b) 9 e) 12

c) 7

c) 23

a) 10 d) 13

1)

c) 15

b) 6 e) 9

10) Halla la suma de cifras del producto:

c) 3 061

15) Si BURLA x 3 = URLA3 , halla B+U+R+L+A . a) 19 d) 24

b) 12 e) 16

c) 12

Si ab . ba = 574, halla a + b. a) 5 d) 8

Si AA = BC, halla A+B+C a) 10 d) 14

9)

b) 10 e) 11

c) 5

c) 18 4)

a) 5 041 d) 5 184

b) 6 e) 9

a) 16 d) 14

12 xy

b) 30 e) 34

**8**

c) 31

- 27 -





- 28 -


Pág.

ADICIÓN

31

SUSTRACCIÓN

35

MULTIPLICACIÓN

38

DIVISIÓN

42

POTENCIACIÓN

45

TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

49

ARITMÉTICA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA



ARITMÉTICA


ADICIÓN 1. ADICIÓN: Es un a op eraci ón que hace corresponder a cada par de números m, n  N otro número natural llamado suma, denotado por m + n.

Ejemplo:

Ejemplo: (4 + 9) + 1 = 4 + (9 + 1) 13 + 1 = 4 +

1 + 2 + 3 + ... +48 =

10

48(48+1) 2

= 1176

14 = 14 2. PROPIEDADES

D. Elemento Neutro

A. Propiedad de Clausura Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número natural. B. Propiedad Commutativa El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: 7+3=3+7

a+0=a Ejemplo:

2. La suma de los «n» primeros números pares positivos:

2 + 4 + 6 + ... + 2n= n(n+1) 7+0=7

Demostración:

Ejemplo:

a+0=a a + (p - p) = a a+p=a+p a=a

2 + 4 + 6 + ... + 92= 46(46+1) = 2162

3. SUMAS NOTABLES (SUMATORIAS)

C. Propiedad Asociativa La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma. (a + b) + c = a +(b + c)

II BIMESTRE

1. La suma de los «n» primeros enteros positivos:

1 + 2 + 3 +... + n =

n(n+1) 2

- 31 -




ARITMÉTICA

3. La suma de los «n» primeros números impares positivos: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

Ejemplo:

1 + 3 + 5 + ... + 59 = 302 = 900

4. La suma de los «n» primeros cuadrados perfectos: 12 + 22 + 32 + ... + n2=

Ejemplo:

n(n+1)(2n+1) 6

12 + 22 + 32+ ........ + 622 = 62(62 + 1)(2.62 + 1) = 81375 6

Ejemplo 1: Efectúa: 2 + 22 + 222 +...+ 222222

5. La suma de los «n» primeros cubos perfectos: Resolución: 13 + 23 + 33 + ... + n3=

Ejemplo:

13 + 23 + 33 + ... + 243 =

2

[ n(n 2+ 1) ] 2

[ 24(242 + 1) ]

= 90000 6. La suma de los «n» primeros productos de 2 enteros consecutivos:

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + n ( n + 1 ) =

n(n+1)(n+2) 3

2+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 =6x2 1 0 . =5x2 . 8 . . =4x2 . . 6 . . . =3x2 . . . . 4 . . . . =2x2 . . . . . 2 . . . . . =1x2 2 4 6 9 1 2

Ejemplo: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 74 x 75 =

74(74 + 1) (74 + 2) 3

= 140600

Ejemplo 2: La suma de dos números consecutivos es 21, halla dichos números. Resolución: Sean los números: x, x + 1

La mayor biblioteca del mundo es la del Congreso de los EE.UU., ubicada en Washington DC. Posee 108'433370 items, ocupa una superficie de 265000 metros cuadrados, tiene 856 km de anaqueles y alrededor de 4600 empleados.

- 32 -

x+ (x + 1) = 21 2x + 1 = 21 2x = 20 x = 10

Los números son 10 y 11.




ARITMÉTICA


Ejemplo 3:

Reemplazando en la operación se obtiene: I = 8.

Ejemplo 7:

Halla la suma: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 Resolución:

Si (a + b + c)2 = 289, calcula abc + bca + cab.

U.N.I. = 1 . 9. 8 = 72

Resolución:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 11 11 11 5x ( 11) = 55

Ejemplo 4:

a + b + c = 17 Disponiendo en columna: a b c + b c a c a b 1 7 1 7 1 7 1 8 8 7

Si a + b + c = 6, halla:

1) Halla el valor de S si: S = 1 + 2 + 3 + ... + 85 a) 3655 b) 3254 c) 3321

d) 4000 e) 5000

Rpta.: 1887 2) Halla S si:

abc+ cab bca

Ejemplo 8:

S = 2 + 4 + 6 + ... + 96

Calcula las 3 últimas cifras de 5 + 55 + 555 + ... (37 sumandos).

Resolución: abc+ cab bca 666

Resolución:

3) Halla E si: 5 + 5 5 5 5 5

E = 1 + 3 + 5 + ... + 121 37

5 5 .... 5 5 5 Unidades : Decenas : Centenas :

37 x 5 = 36 x 5 = 35 x 5 =

Sean los números: x, x + 1, x + 2 x + (x + 1) + (x + 2) = 303 3x + 3 = 303 3x = 300 x = 100

185 + 180....... 175......... 485....

Rpta.: 485

Ejemplo 9: Si UU + NN + II = UNI Calcular U.N.I. Resolución:

Halla la suma: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 Resolución: 20 (21) 2 21 x 10 = 210

II BIMESTRE

U N I U N

a) 3721 b) 3000 c) 8700

d) 4005 e) 3800

4) Halla S si: S = 1 + 4 + 9 +... + 400 a) 3000 b) 2750 c) 2870

d) 5034 e) 6000

5) Si a83 + 5b9 + 64c = 1659, halla a + b + c.

 100, 101 y 102.

Ejemplo 6:

d) 4500 e) 6700

Resolución:

Ejemplo 5: Si tres números consecutivos suman 303, halla dichos números.

a) 3000 b) 2352 c) 2308

U + N I I

Unidades: U + N = 10; llevo 1 Centenas: U = 1  N = 9

a) 10 b) 13 c) 9

d) 15 e) 7

6) Halla a+b+c si se cumple que: x1x+x2x+x3x+....+x9x = abc4 a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 20

- 33 -




ARITMÉTICA

7) Si (a + b + c)2 = 361, halla abab + caba + bccc . a) 19994 b) 198888 c) 21109

d) 21009 e) 34532

8) Si L + F + V = 15, halla LFV + FVL + VLF a) 1665 b) 1555 c) 1653

d) 1565 e) 1666

9) Halla a + b + c si: a7c + c62 + 5ba = 1c26 a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

13) Si 1+2+3+ ... + x = (2a)(2a)(2a), halla x + a.

7 + 97 + 997 + ....+ 999...997 a) 39 b) 40 c) 41

d) 42 e) 43

d) 7 e) 9

11) Halla la suma de los 40 números de la siguiente serie: S = 9 + 99 + 999 + 9999 +....+ 999...9 Da como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 40 b) 38 c) 47

d) 45 e) 50

12) Halla la suma de todos los números naturales de tres cifras que se puedan formar con las cifras 1, 4 y 5 . Da como respuesta la cifra de mayor orden de dicha suma. a) 1 b) 3 c) 5

- 34 -

d) 7 e) 9

60 cifras

a) 70 b) 50 c) 65

d) 69 e) 80

14) Halla «a + b» si: ab8 + ba9 = 1ab7 a) 1 b) 12 c) 18

d) 16 e) 15

15) Calcula (a + b + c + x), si: 1x1+2x2+3x3+...+9x9 = ab8c a) 14 b) 15 c) 16

d) 20 e) 21

10) Halla la cifra de los millares de la siguiente suma: S = 5 + 55 + 555 + 5555 +... (27 sumandos) a) 1 b) 3 c) 5

4) Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adición :

5) Sabiendo que la suma de 25 números naturales consecutivos es 775, halla la suma de los 25 naturales co nsec utivos siguientes. a) 920 b) 1400 c) 825

6) Si abc + cba = 1272, calcula el valor de «b». a) 3 b) 4 c) 5

1) Halla la cifra de las centenas de la siguiente suma : S = 3 + 33 + 333 + 333+..., sabiendo que hay 25 sumandos. a) 0 b) 6 c) 2

7) Halla «a + b + c» si: a1a+a2a+a3a+ ... +aaa = 8abc1 a) 10 b) 13 c) 15

d) 18 e) 21

8) Si ab + ca = 111, halla ba + ac.

d) 13 e) 12

3) Halla x + y + a si: a1x + a2x + a3x + ....+ a7x = 38y1 a) 6 b) 7 c) 8

d) 8 e) 9

d) 4 e) 8

2) Si abc + bc + a0a = c7a , y 0 = cero, halla a + b + c. a) 14 b) 11 c) 15

d) 975 e) 1000

d) 9 e) 10

a) 111 b) 120 c) 110

d) 121 e) 230

9) Si a + b + c= 14, calcula el valor de ab3 + c2b + 4ac + bca. a) 1177 b) 1977 c) 1544

d) 1777 e) 19999

10) Si ab + bc = 89 y a+b+c=12, halla a – b + c. a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5




ARITMÉTICA


SUSTRACCIÓN Es una operación aritmética inversa a la adición que consiste en que dados 2 números: Minuendo y Sustraendo, se busca un tercer número llamado Dife renc ia qu e sumado co n el Sustraendo nos da el minuendo. Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos:

721 - 127 = 594 482 - 284 = 198 935 - 539 = 396

CA (5372)= (9-5)(9-3)(9-7)(10-2) = 4628

En otras bases:

Completar:

Si abc n - cban = xyzn,

18 - 6 = 12 18 excede a 6 en 12 unidades En general:

M-S=D

Donde: M : Minuendo S : Sustraendo D : Diferencia

PROPIEDADES 1. En una sustracción siempre se cumple que: S + D =M 2. La suma de los tres términos de una sustracción es:

entonces: x+1 = a-c, y = n-1, x+z = n - 1

CA(5172) = __________________

CA(1425) = 10005 - 1425 = 3035

5317 - 1357 = 3637 5238 - 3258 = 1768

CA(2357) = 10007 - 2357 = 4327

COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número entero es la cantidad que le falta para ser una potencia de 10, siendo ésta la menor posible.

En general: Si N es un numeral de k cifras en base n. CA(N) = nk - N

Interesante Ejemplos: CA(2) = 10 - 2= 8 CA (64) = 100 - 64 =36 Ca (759) = 1000 - 759 = 241 En general: Si N tiene k cifras CA (N) = 10k - N

3. Dada la sustracción: MÉTODO PRÁCTICO Si abc - cba = xyz

II BIMESTRE

CA(1384) = __________________

En otras bases:

Ejemplos:

M + S + D = 2M

entonces: x+1 = a - c, y = 9, x+z = 9

CA(279) = ___________________

CA(abcd) = (9-a)(9-b)(9-c)(10-d) Donde d ≠ o

En la antigüedad, el matemático griego Diofanto utilizaba el signo ´ para indicar la sustracción y los hindúes usaban un punto. Ya en la Edad Moderna, los algebristas italianos la representaban con una ‘‘m’’, letra inicial de la palabra ‘‘minus’’. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual ‘‘-’’, el cual es, al parecer, una alteración de la letra ‘‘m’’ manuscrita, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y - fueron publicados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.

- 35 -




ARITMÉTICA

1) Si la suma del minuendo, sustraendo y diferencia de una sustracción es 2460, halla el sustraendo si se sabe que el minuendo es el triple de éste. a) 410 d) 250

b) 310 e) 190

c) 230

2) Si en una sustracción el minuendo aumenta en 20 unidades y el sustraendo aumenta en 15, ¿en cuántas unidades varía la diferencia?

6) Si la suma de cifras de un número de tres cifras significativas es 17, halla la suma de cifras de su complemento aritmético a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

7) Si CA (abc) = a + b + c, calcula CA (a + b + c). a) 71

b) 73

d) 77

e) 79

c) 75

8) Halla a + b si: a) Aumenta 4 b) Aumenta 5 c) Aumenta 6 d) Disminuye 7 e) Disminuye 8

7696

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

a) 5

b) 6

d) 8

e) 9

c) 7

5) Halla el mayor valor de a + b + c si abc - cba = 4xy y abc + cba = **21 a) 10

b) 11

d) 16

e) 10

- 36 -

a) 10

b) 11

d) 13

e) 14

c) 12

9) El CA de abc es igual al producto de sus cifras de mayor y menor orden. Halla c si: xyz - zyx = 2ab

c) 15

b) 36

d) 16

e) 12

c) 45

13) La suma del CA de los siguientes números: a10, a11, a12, ..., a89 es 52040, halla ‘‘a’’. a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

14) I n d i c a l a s u m a d e c i f r a s encontradas: 4 3 2 5 3 3 7 8 a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

15) Halla ST si T00 = S0 + S0

c) 18

4) Halla x + y si: abc - cba = y(y+4)(2x)

a) 25

= CA ( ab )

ab + 100

3) En una sustracción, el minuendo termina en 283 y la diferencia en 589. Halla la suma de las tres últimas cifras del sustraendo.

12) ¿Cuál es la menor diferencia en abcd - xyz si cada letra representa un número diferente?

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

10) Halla a + b + c si el CA de (a + 4)(b + 3)(c + 2) es (a+3)(b+2)(c-4). a) 7

b) 8

d) 10

e) 6

b) 12

d) 16

e) 18

b) 5 e) 9

c) 6

c) 9

11) Si el complemento aritmético de (a + 2)(b - 1)(c + 3) es (a + 1)(b + 4)(c - 1), halla a + b + c. a) 10

a) 1 d) 7

c) 14

1) Halla a.b si: 8704 = CA ( ab ) 1ab a) 15

b) 16

d) 18

e) 20

c) 17




ARITMÉTICA


2) El CA de abc es igual al producto de sus cifras de primer y tercer orden. Halla c si: xyz - zyx = 3ab a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

5) ¿Cuál es la menor diferencia en abc - pmn si cada letra representa un número distinto. a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

6) Halla la suma de cifras encontradas 3) El complemento aritmético de un número formado por tres cifras consecutivas es otro número de tres cifras distintas cuya suma de cifras es 13. Halla la cifra de segundo orden del número original si es el mayor posible. a) 6

b) 5

d) 4

e) 8

c) 7

4) El CA de un número de tres cifras distintas está formado por tres cifras consecutivas. Halla la cifra de segundo orden del número original si es el mayor posible y la suma de sus cifras es 16. a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

II BIMESTRE

4 3 2 5 7 1 6 9 8

-

a) 11 d) 8

b) 10 e) 7

8) Si H0MER - FR0M = MEM0, calcula H + M + R + F; además 0 = cero. a) 10 d) 18

1121 - FMF = 7FM

-

a) 9 d) 13

b) 10 e) 14

b) 32 e) 30

c) 48

c) 9 10) Halla A + B + E si AAAA - BEF = BAE

7) Halla la suma de cifras del minuendo en : 1 3 3 5 3 0 0 8

c) 15

9) Halla F x M si

a) 24 d) 21

4

b) 12 e) 20

a) 15 d) 14

b) 10 e) 7

c) 12

c) 11

c) 5

- 37 -




ARITMÉTICA

MULTIPLICACIÓN  DEFINICIÓN Es una operación aritmética que consiste en adicionar una misma cantidad un número determinado de veces. Ejemplo: 5 x 4 = 5 + 5 + 5 +5 = 20 4 veces

2. P. Conmutativa

Ejemplos:

axb=bxa Ejemplo: 2 x (a x 3)= 2 x (3 x a) = (2 x 3) x a =6xa 3. P. Distributiva a x (b + c) = a x b + a x c

En general:

Ejemplo: M x m = M + M + ... + M = P m veces Donde: M: multiplicando m : multiplicador P : producto  ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN

4. La terminación del producto de dos números es igual a la terminación del producto de sus últimas cifras Ejemplo: * (... 3) x (... 4) = (... 2) ya que 3 x 4 termina en 2.

Ejemplo: 259 x 27 1813 518 6993

ab . 99 = ab (100 - 1) = ab00 - ab

Multiplicando Multiplicador Productos Parciales Producto

Donde: 1813= 259 x 7 518 = 259 x 2  PROPIEDADES

* Si abc x 3 = xy7  c= 9 ya que 9 x 3 termina en 7.

- 38 -

6. Cantidad de cifras de un producto Ejemplo: Si A tiene 5 cifras y B tiene 4 cifras, entonces: 104 ≤ A < 105 103 ≤ B < 104 Multiplicando: 107 ≤ AxB < 109 Luego AxB tiene 8 ó 9 cifras. En general: Si A tiene n cifras y B tiene m cifras A x B tiene n + m – 1 o n + m Ejemplo: Halla la mínima cantidad de cifras de abcd x mn . Solución:

Observaciones: (# Par) (# Entero) = (# Par) (# Impar) (# Impar) = (# Impar) (..... 5) (# Impar) = (....... 5) (..... 5) (# Par) = (....... 0) (......9) (.....x) = [...... (10 - x)]

abcd mn

 

4 cifras 2 cifras

Luego: abcd x mn  (4 + 2) - 1 = 5 cifras

5. Producto de Enteros Consecutivos

1. P. Asociativa (a x b) x c = a x (b x c)

* 5 (6) = 30 * 6 (7) = 42 * 7 (8) = 56

n(n +1) =

..... 0 ..... 2 ..... 6




ARITMÉTICA


 LEYES FORMALES I. Clausurativa El producto de dos números enteros es un número entero. Simbólicamente se denota de la siguiente manera: a, b Z  a . b = P  Z II. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

Reto Si: ab . a = 679 ab . b = 873 Halla la suma de las cifras del producto:

William Oughtred fue el primero

abab × a0b

palabra "veces", que en la lengua

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

Existe uno y sólo un número que se denota por "1", tal que: a.1=a o 1.a=a

en usar el signo "x" en vez de la árabe comenzaba con dicha letra. Gottfried Wihelm Leibniz propone utilizar el punto para indicar la multiplicación, puesto que la "x" ya se utilizaba para denotar las

A×B=B×A III. Elemento Neutro Multiplicativo

El Símbolo de la Multiplicación

variables en álgebra, y en 1637,  LA MULTIPLICACIÓN EN OTROS SISTEMAS 5 3 28 × 3 48 5150 201 6 2 5 3 3 08

René Descartes empezó a usar la yuxtaposición de los factores. Más adelante, en 1688, Leibniz utilizó ç para denotar esta operación.

 TEOREMA Dado P = a . b, si "a" aumenta o disminuye en "n" unidades, entonces P aumenta o disminuye en "n . b" unidades. Ejemplo: En una multiplicación, si el multiplicando aumenta 6 unidades, el producto aumenta en 78 unidades. Calcula el multiplicador. Resolución: 6 . m = 78 m = 13

 el multiplicador es 13.

II BIMESTRE

R. HALMITON (1805 - 1865) Describió una forma matemática de manejar pares de números reales. Esas reglas se usan en la actualidad para operar con números complejos. Más adelante descubrió la clave para operar con ternas o n-uplas de números, en el caso de n > 2, que consistía en descartar la propiedad conmutativa de la multiplicación usual. A los nuevos objetos que creó los llamó cuaterniones, precursores de lo que ahora son los vectores. Su monumental obra acerca de este tema, Treatise on Quaternions, fue publicada en 1853.

El número circular es uno de los números más curiosos de la matemática, debido a que al multiplicarlo por cada uno de los números menores que su cantidad de cifras, estas p e r mu ta n d e u n a f o r m a impresionante. 142857 x 1 = 142857 142857 x 3 = 428571 142857 x 2 = 285714 142857 x 6 = 857142 142857 x 4 = 571428 142857 x 5 = 714285 Trata de encontrar otro número circular.

1 2 5 4 8 7

- 39 -




ARITMÉTICA

7) Halla x + y si x [CA(x)] . y [CA(y)] = 2368, y además x - y = 3.

1) ¿En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero se duplica, el segundo aumenta en su cuádruplo y el tercero en su duplo? a) 20 d) 29

b) 30 e) 35

c) 40

2) Si el producto de dos números es 517, y el multiplicando aumenta en 5 unidades, el nuevo producto es 752. Halla el multiplicador. a) 47 d) 54

b) 49 e) 61

c) 51

3) Halla a + b + c + m + n si abc2 . 9 = mnnnn a) 20 d) 30

b) 22 e) 32

c) 24

b) 12 e) 15

c) 13

5) En la multiplicación abcd x 74 la diferencia de los productos parciales es 7944. Halla (a + b) . (c + d) a) 80 d) 96

b) 84 e) 100

c) 91

6) Halla a + b + c + e si abcde3 x 7 = 12abcde a) 10 d) 15

b) 12 e) 17

b) 7 e) 10

c) 21

c) 6

8) Si a dos números se les aumenta y disminuye 11 unidades respectivamente, el producto de ellos aumenta en 319 unidades. Calcula la diferencia de dichos números. a) 20 d) 40

b) 27 e) 45

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

10) Calcula la cifra de las decenas de: 1234567890123x342973x2532 + 7637 b) 5 e) 0

c) 7

11) Si se sabe que A tiene 8 cifras B 12 cifras y C 5 cifras, ¿cuál es la mayor cantidad de cifras que puede tener la expresión? E = A2 . B3 . C a) 53 d) 56

b) 54 e) 57

c) 55

12) Si abcn = ...abc, calcula a + b + c , n Z+. a) 13 ó 17 b) 16 ó 17 c) 16 ó 18 d) 13 ó 16 e) 14 ó 17 13) Calcula la suma de cifras de: E = 999...9 x 999...9 20 cifras

a) 180 d) 150

- 40 -

20 cifras

b) 90 e) 36

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

15) Si xyz × 6 = (z - 1) 384, halla x + y + z. a) 8 d) 13

b) 10 e) 18

c) 15

c) 34

9) Halla b + c si: aaa8 = bc1

a) 2 d) 3

4) Halla a + b + c si abc . 999= ...276 a) 11 d) 14

a) 8 d) 9

14) Si abc . a . b . c = 992, halla a2 + b2 + c2.

c) 45

1) Si a dos números se les aumenta y d i s mi n u ye 15 u n i d a de s respectivamente, el producto queda aumentado en 1125. Calcula la diferencia de dichos números. a) 20 d) 45

b) 25 e) 60

c) 40

2) Halla x + y + z si: xxxx5 = yz8 a) 7 d) 11

b) 8 e) 15

c) 13

3) La cifra de segundo orden de 7529 es: a) 2 d) 9

b) 0 e) 5

c) 7

4) Si se sabe que A posee 6 cifras, B tiene 8 cifras y C 12 cifras, ¿cuál es la mínima cantidad de cifras que puede tener? E = A . C2 . B3 a) 47 d) 50

b) 48 e) 51

c) 49

5) Si abcdn = ...abcd, calcula a + b + c + d si n  Z+. a) 17 o 21 b) 21 o 25 c) 17 o 25 d) 13 o 25 e) 13 o 17




ARITMÉTICA


8) Calcula a + b + c + d si abcd × 4 = dcba.

6) Si abc × c = 549, halla a + b + c. a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

7) Si abc × c = 1536, halla a + b + c. a) 8 d) 11

b) 9 e) 13

c) 10

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

10) Si abcde1 = 3 x (1abcde), halla el valor de "a + b + c + d + e".

c) 18 a) 25 d) 28

b) 26 e) 29

c) 27

9) Sabiendo que: mnp x m =2930 mnp x n = 4 688 mnp x p = 3 516 halla mnp x pnm. a) 410 414 d) 401 402 b) 410 401 e) 410 410 c) 41 041

II BIMESTRE

- 41 -




ARITMÉTICA

DIVISIÓN  DEFINICIÓN Es la operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercer número llamado cociente (q), que multiplicado por el divisor y sumar su residuo, nos da el dividendo.

a) División Inexacta por Defecto:

D Rd

d q

R

donde: D: Dividendo d : Divisor q : Cociente R : Residuo

d q

 CLASES DE DIVISIÓN

D 0

d q

Se cumple: D=d.q

Ejemplo: 135 5 ___ 27 0



147 15 ___ 9 12

- 42 -

cero ≤ residuo < divisor • En la división entera inexacta se cumple que:



15 está contenido 9 veces en 147, quedando 12 unidades.

residuo máximo = divisor - 1 residuo mínimo = 1 • En una división exacta para que el cociente aumente o disminuya 1, entonces al dividendo se aumenta o disminuye 1 × divisor.

b) División Inexacta por Exceso:

D -Re

d q+1

• Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado o dividido, según el caso, por dicho número.

Se cumple: D = d(q+1)-Re Re < d

Si D = dq + R D.k =(d.k)q+R.k D d.q R = + K K K

Ejemplo: 147 15 ___ 10 -3



15 está contenido 10 veces en 147, excediendo en 3 unidades.

• En una división exacta el máximo valor que puede añadirse al dividendo para que el cociente no varíe es:

147 = 15 . 10 - 3

135 = 5 . 27

Es aquella en la cual el divisor no está contenido de forma exacta en el dividendo y, por tanto, existe un residuo distinto de cero.

D = dq + Rd

147 = 15 . 9 + 12

5 está contenido 27 veces en 135

2. División Inexacta

• En toda división se cumple que el residuo es menor que el divisor.

Ejemplo:

1. División Exacta Es aquella en la cual el dividendo contiene al divisor un número entero (exacto) de veces y, por tanto, el residuo es cero.

Se cumple:

Rd < d

En general:

D

 PROPIEDADES

divisor - 1

La ilusión de Müller-Lier El segmento bc parece más largo que el ab, aunque en realidad son iguales. a

b

c




ARITMÉTICA


Leonardo de Pisa Leonardo de Pisa, fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptos (rotos).

División Son varios los signos que tenemos para indicar la división: La barra horizontal, de origen árabe, ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más satisfactoria, pues no sólo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de signo es paréntesis). La barra oblicua, (/), variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

÷

:

En 1659, el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo ÷, que resulta bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en su país, Suiza, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos, aunque no tanto en la Europa continental. Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto. En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la matemática, p.182, dice: "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto, es muy probable que también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Pues bien: en dicho "método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros números. Esta es la referencia más antigua que he encontrado".

II BIMESTRE

1) En una división inexacta el divisor es 12 y el cociente 27. Halla el dividendo si el residuo es mínimo. a) 325 d) 352

b) 300 e) 271

b) 55 e) 60

b) 531 e) 853

b) 610 e) 870

c) 750

5) En una división el resto por exceso es el triple del resto por defecto. Si el cociente por defecto es 15 y el dividendo más el divisor es 520, calcula el divisor. a) 30 d) 33

b) 31 e) 35

c) 730

7) ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos por 23 den un residuo que es el doble de su cociente? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

8) En una división al residuo le faltan 9 unidades para ser máximo y será mínimo al restarle 31. Halla el dividendo si el cociente es la mitad del residuo. a) 703 d) 706

b) 704 e) 707

c) 705

c) 472

4) Si al dividir un número entre 105 se obtiene por residuo 60 y al dividirlo entre 117 se obtiene 12 por residuo, halla dicho número si en las dos divisiones se obtuvo el mismo cociente. a) 530 d) 480

b) 620 e) 350

c) 57

3) En una división inexacta el residuo por defecto es 17 y el cociente por exceso es 24. Calcula el dividendo si el residuo por exceso es 12. a) 684 d) 728

a) 550 d) 470

c) 250

2) Al sumar dos números se obtiene 170 y al dividirlos se obtiene 2 como cociente y 17 como residuo. Halla el menor de dichos números. a) 51 d) 59

6) En una división inexacta el cociente es 21 y el residuo 4. Si el dividendo se aumenta en 100 unidades y se vuelve a dividir, se obtiene una división exacta de cociente 25. Halla el dividendo original.

9) En una división inexacta la suma de los términos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro términos resulta ahora 331. Halla el cociente. a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

10) En una división inexacta el divisor es 50 y el residuo es el triple del cociente respectivo. Halla el máximo valor que puede tomar el dividendo. a) 848 d) 253

b) 771 e) 594

c) 215

c) 32 11) En una división el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 12 d) 25

b) 17 e) 29

c) 21

- 43 -




ARITMÉTICA

6) En una división inexacta el divisor es el menor capicúa de 3 cifras, el cociente es la mitad del resto que es máximo. Entonces el dividendo es:

12) ¿Cu án to s nú meros entero s menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14? a) 32 d) 18

b) 15 e) 20

c) 19

13) Al dividir dos números enteros positivos se obtiene 18 de resto y 7 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al cuadrado del resto, calcula el divisor. a) 51 d) 38

b) 53 e) 61

c) 28

14) En una división inexacta el divisor y cociente poseen las mismas 2 cifras: 6 y 7 pero en orden inverso, siendo el resto máximo. El menor valor del dividendo es: a) 5158 d) 5307

b) 5198 e) 5107

c) 5167

15) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 15 y 4 respectivamente. Si el dividendo se quintuplica y se repite la operación, el nuevo resto será: a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

1) En una división por defecto al residuo le falta 36 unidades para ser máximo y será mínimo si restamos 34. Halla el dividendo si el cociente es la quinta parte del residuo. a) 329 d) 623

b) 151 e) 715

c) 539

2) La suma de los términos de una división inexacta es 128. Si el dividendo y el divisor se reducen a su tercera parte, la nueva suma es 50. Halla el cociente. a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

3) En una división inexacta el divisor es 37 y el residuo es el doble del cociente. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar el dividendo? a) 604 d) 671

b) 702 e) 800

c) 553

4) En una división el cociente es 12, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mínimo. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

- 44 -

b) 14 e) 10

b) 5050 e) 5500

c) 5250

7) En una división de enteros positivos el divisor es 12 y el resto 7. Si el dividendo se multiplica por 12, el resto de la división será ahora: a) 7 d) 4

b) 6 e) 0

c) 5

8) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 18 y 13 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, entonces volviendo a dividir, el resto será: a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

9) En una división exacta cuyo divisor es 23, cuál será el menor valor que se debe añadir al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades. a) 45 d) 69

b) 46 e) 26

c) 68

c) 12

5) ¿Cuántos números menores que 500 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 15 y su residuo cuatro tercios del cociente? a) 12 d) 11

a) 5150 d) 5350

c) 13

10) En una división el divisor y resto son 7 y 15 respectivamente. Calcula el menor valor que debe aumentarse al dividendo para que el cociente aumente en una unidad. a) 8 d) 21

b) 22 e) 15

c) 14




ARITMÉTICA


POTENCIACIÓN POTENCIACIÓN

Teorema Fundamental

Cuadrados Perefctos

Para que un número sea una potencia de «n», es condición necesaria y suficiente que todos los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica sean múltiplo de «n».

Criterios de Inclusión y Exclusión de Cuadrados A. SEGÚN SU ÚLTIMA CIFRA k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9 k2 ...0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1

Caracteres de exclusión

En general:

Conclusión:

 =a . b . c

Aplicaciones 

Reconocer cuando un número tiene posibilidad de ser k2 a fin de efectuar cálculos con rigurosidad.

Potencia



n

n

  =a

n

.b

.c

Cuadrado Perfecto Un número es cuadrado perfecto si en su descomposición canónica, los factores primos, están elevados a exponentes múltiplos de 2. k2 = a2 . b2 . c2

Op e rac i ón q ue c o n si s te en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

36 = 3 . 2

2

2500 = 22 . 54

2 x 2 x 2 = 23 5 x 5 x 5 x 5 = 54

Todo k2 NO puede terminar en 2; 3; 7 y 8 B. POR LA TERMINACIÓN DE CIFRAS CEROS Ejemplo: 6400 = 64 . 102 = 82 . 102 = 28 . 52 En general: abc... x 0000 ... 00 = k2

Ejemplos: 2

Ejemplos:

n

cuadrado «2n» ceros perfecto

C. TERMINACIÓN EN CIFRA “5” Ejemplos:

En general:

52 = 25 Exponente

b x b x b x b x ... x b = bn «n» factores

II BIMESTRE

252 = 625 152 = 225

Potencia Perfecta

- 45 -




ARITMÉTICA

Ejemplo 1:

En general: Si abc...xy5 = n5

2

¿Cuál de los siguientes números puede ser k2?

 y = 2  abc...x = n(n+1) D. NÚMERO PAR k2 ES 4° 

142 = 196  es 4º



182 = 324  es 4º

a) ab44

b) ab66

c) cd02

Resolución: º (a) pues si es par debe ser 4.

Ejemplo 2: En general: (2n)2 = 4n2  es 4º

¿Cuál de los siguientes no es k2? a) cde6

E. NÚMERO IMPAR k2 ES ° +1 8 

152 = 225  es 8º + 1



172 = 289  es 8º + 1 En general: (2n+1)2 = 4n2+ 4n + 1 = 4n (n+1) + 1 es 8º + 1.

b) abc4

c) abc7

Pitágoras (582 a.C. - 497 a.C.) Se sabe muy poco de la vida de Pitágoras, parece haber nacido en Grecia, en la Isla de Samos, a mediados del siglo VI a.C. Se piensa que fue discípulo de Tales, que viajó por Egipto pero que a su regreso estando su país ocupado por los Persas, se fue a las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela Pitagórica.

Resolución: (c) el k2 no puede terminar en 7.

Ejemplo 3: ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) (a – 2)(8 – a) 61 b) b(b + 2)(5 – b)(10 – b) c) (a – 1)a a(8 – 3a)

F. APLICANDO EL CRITERIO ° DEL 9 º 9º + 1 ; 9º + 4 Todo k puede ser 9; º ó 9 + 7. 2

152 = 225

es

9º

232 = 529

es

9º + 7

31 = 961

es

9º + 7

172 = 289

es

9º + 1

162 = 256

es

9º + 4

- 46 -

a) Suma de cifras es 13  9º + 4 b) Suma de cifras es 17  9º + 8 c) Suma de cifras es 7  9º + 7

Ejemplos:

2

Resolución:

No puede ser k2, la clave (b).

Ejemplo 4:

Una adivinanza Augustus de Morgan (1806 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje, nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: «En el año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?»

Un k2 tiene por cifras 0; 2; 5; 7 y 8. Calcula la raíz cuadrada.




ARITMÉTICA


Resolución:

Resolución:

 Sólo puede terminar en 0 ó 5, debe ser 5, pues sólo hay un 0.

 x = 2  55y = n(n + 1)

 La decenas debe ser el 2.  Las posibilidades son: 780 870 708 807

25 25 25 25

 Lo que precede a 25 debe terminar en 0, 2 ó 6 y además debe ser n(n+1). 78025

ó

Luego

No = 23 x 24 No

 Luego 55225 = 2352  y + x + k = 2 + 2 + 235 y + x + k = 239

87025 = 2952 La raíz es 295.







k2 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1

           

Es decir, para: º +1  5  52 = 25 = 12

87025 29x30

No

550 552 556

k 0 1  2 3 4 5 6 7 8 9  11 

Ejemplo 7: Si 7ab6 = k2, calcula la suma de los valores de ab.

5  1 Luego no puede terminar en: 2; 3; 5; 6; 7; 8;  y 

Resolución:  7006  k2  7996 83,7  k  89,4

Ejemplo 5: Si (n + 1)n(n + 3)(n + 2) = k2, calcula «n». Resolución:  “n” no puede ser 0; 1; 5; 6; 7; 8 ó 9.

 k  84; 85; 86; 87; 88; 89  pues : k = 84  842 = 7056 k = 86  862 = 7396 ab = 05 ó 39 suma = 44

 Tampoco no puede ser 3 pues la decena no será 2.  Las posibilidades son: n = 2  3254 es 9º + 5, No n = 4  5476 n = 4

Ejemplo 8: Demuestra que en el sistema de base 12 todo k2 no puede terminar en 2; 3; 5; 6; 7; 8;  ni . Resolución:

Ejemplo 6: Si 55yx5 = k2, calcula y + x + k.

Un número del sistema de base 12 puede terminar en 0, 1, 2, ...,  y ; donde  = 10 y  = 11. Ahora bien, sus cuadrados:

II BIMESTRE

1) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) ab36 b) bc5 c) abc9

d) abc8 e) 1ab4

2) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) a9 b) xy25 c) ab44

d) ab24 e) xy66

3) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) b) c) d) e)

(a + 2)a(8 – 2a)9 a1(6 – a)6 (7 + a)(a + 2)(4 – 2a)9 (4 + a)(5 – a)(a – 3)(10 – a) 6(a + 3)(10 – a)4

- 47 -




ARITMÉTICA

4) El menor valor entero positivo por el cual se debe dividir 12 para que sea k2, es: a) 1 b) 2 c) 3

6)

º 11 º +9 11 º +5 11

a) 21 b) 14 c) 6

d) 13 e) 14

a) 5 b) 15 c) 40

Si aba = ca2, calcula a + b + c. d) 15 e) 16

5)

6)

d) 45 e) 50

8)

Si 8ab = k , calcula a + b + k. a) 31 b) 32 c) 33

d) 34 e) 35

10) El menor valor entero positivo que debe multiplicarse a 23 . 49 para que sea k2 es: a) 1 b) 2 c) 8

- 48 -

d) p = 8k2 e) p = 12

Si ab = (a + b)2, calcula a . b a) 6 b) 8 c) 10

2)

d) 49 e) 98

11) Si 12p = n2, entonces p es de la forma: a) p = 12k2 b) p = 3k2 c) p = 6k2

1)

Si 7ab y 7cd son k 2, calcula a + b + c + d. a) 20 b) 21 c) 22

3)

d) 23 e) 24

Si N = 43 x 63 x 125, ¿cuál es el menor entero positivo que debe multiplicarse a N para que sea k2? a) 120 b) 24 c) 12

d) 6 e) 4

9)

d) 20 e) 21

¿Cuál es el menor número entero por el cual hay que dividir a 108675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto? a) 575 b) 115 c) 483

d) 12 e) 24

d) 33 e) 66

¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 2448 para que el resultado sea un k2? a) 17 b) 18 c) 19

2

d) 9 e) 11

¿Cuál es el menor número entero por el cual debes multiplicar a 792 para que el resultado sea un k2? a) 11 b) 22 c) 44

7)

d) n = 2p2 e) n = 24

¿Qué entero positivo bastará multiplicar a 75 para que sea k2? a) 3 b) 5 c) 7

d) 42 e) 49

15) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 540 para que el resultado sea un k2?

Si 24n = k2, entonces n es de la forma: a) n = 24p2 b) n = 6p2 c) n = 3p2

d) 25 e) 50

14) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 168 para que el resultado sea un cuadrado perfecto?

Si ab5 = bc2, calcula a + b + c.

a) 12 b) 13 c) 14 9)

a) 9 b) 5 c) 15

4)

d) n = 2k2 e) n = 4k2

13) Si A = 33 . 5 . 72, ¿por cuánto habrá que multiplicar a A para que sea k2?

º +1 11 º +6 11

d) 13 e) 14

a) 10 b) 11 c) 12 8)

d) e)

Si 3b1 = k2, calcula k - b. a) 10 b) 11 c) 12

7)

a) n = 18k2 b) n = 6k2 c) n = 3k2

d) 12 e) 48

5) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) b) c)

12) Si 18n = p2, entonces n es de la forma:

d) 69 e) 139

Si ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c. (ab5c0 es el máximo posible) a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

10) ¿Cuántos números de 4 cifras son cuadrados perfectos? a) 60 b) 64 c) 66

d) 68 e) 69




ARITMÉTICA


TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD En el conjunto Z de los enteros, se define: dados los enteros a y b ≠ o cualesquiera, se dice: b es divisor de a y se escribe: a/b si existe un entero k, tal que: a = b.k también se dice: a es divisible por b o a es múltiplo de b.

*

60 es divisible por 10, pues 60 = 10 x 6

*

- 20 es múltiplo de 4, pues -20 = 4 x (-5)

*

8 es múltiplo de 8, pues 8=8x1

*

*

*

1 es divisor de todo número.



0 es múltiplo de todo número, excepto de él.

NOTACIÓN DE UN MÚLTIPLO DE n n ; n Z

 Indica los múltiplos de 12. Éstos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24; 36; ...

Ejemplos:

*



0 es múltiplo de 5, pues 0=5x0 5 es divisor de 40, pues 40 =8 5 7 no es divisible por 0, pues 7 no existe 0 6 es divisor de -24, pues -24 = -4 6

OBTENCIÓN DE UN MÚLTIPLO Si a = n a = n.k

Ejemplo 1: Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divisibles por 11. Resolución 11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 20 11 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x 20 x 21

2

2310 Ejemplo 2:

La Teoría de los Números Los Elementos de Euclides son considerados frecuentemente, de una manera equivocada, como un libro dedicado exclusivamente a la geometría. En los libros VII, VIII y IX trata de la teoría de números: La palabra "número" para los griegos se refería siempre a lo que hoy llamamos naturales o enteros positivos. Euclides no usa expresiones como "es múltiplo de" o "es un factor o divisor de" sino que la sustituye por "está medido por" o "mide a", respectivamente, pues Euclides representa a cada número por un segmento, hablará de un número como AB. También menciona la distinción de un número par, impar, primo, compuesto, plano y sólido (los que se expresan como producto de 2 ó 3 factores, respectivamente)... Howard Boyer, ed. Madrid 1986, página 157.

¿Cuántos enteros múltiplos de 7 hay entre 100 y 1394? Resolución

100 < 7k < 1394 14,2 < k < 199,1 Éstos son: 199 - 15 + 1 = 185

II BIMESTRE

- 49 -




ARITMÉTICA

Ejemplo 3: Calcula el mayor número de 4 cifras divisible por 43. Resolución

Sea el mayor número de 4 cifras igual a 43k, hacemos: 43h = 9999 h = 232,5 como k es entero, tomamos k = 232 y el número será: 43 x 232 = 9976 PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD

3) Si la fracción N/a es entera, entonces N es divisible por a. 4) Si N es divisible por a y por b, entonces será divisible por el MCM de a y b. Ejemplo 1: Calcula el menor entero positivo divisible por 4 y 6. Resolución

Convención: n + n = n n-n=n n×n=n

que: N es 6

 N es 12

Luego, el menor será N = 12.

Ejemplo 2: De un grupo de personas, la cuarta parte son solteros, los 5/6 son mujeres y los 3/5 llevan lentes. ¿Cuántas personas como mínimo forman el grupo?

(n)k = n Resolución 2) Si A se divide entre n y dá de residuo r, se representa A como: n + r

Ejemplo: Si A y B se dividen entre 5, los restos respectivos son 2 y 3. ¿Cuál será el resto de A × B; A 3 y 3A - 2B entre 5? Resolución i.

A×B es: (5+2) (5+3) = 5+6 =5+1 ii. A3 es: (5 + 2)3 = 5 + 8 =5+3 iii. 3A - 2B es: 3(5 + 2) - 2(5 + 3) =5+6-6=5 Éstos restos son: 1; 3 y 0

- 50 -

abc - cba 100a + 10b + c - 100c - 10b - a 99a - 99c 99 (a - c) 3 . 3 . 11. (a - c) Entonces abc - cba es 3 ; 9 ; 11; 33; 99 y (a - c) 6) En la división: D = dq + r , r < d

Sea N el menor entero positivo tal N es 4

1) Si un número divide a otros dos, entonces divide a la suma, a la diferencia, al producto y a la potencia de dichos números. Es decir: Si a y b son múltiplos de n, entonces a + b ; a - b ; a x b y ak serán también múltiplos de n.

Resolución

Sea N N  solteros N es 4. 4 5N ii.  mujeres N es 6. 6 iii. 3N  lentes N es 5. 5

i. Si D y d son n  r es n ii. Si d y r son n  D es n iii. Si q y r son n D es n Ejemplo: En una división, el dividendo es 7 + 2, el cociente es 7 + 3 y el resto 7 + 1. ¿Cómo es el divisor? Resolución D 7+2 3d 3d d

= dq + r = d (7 + 3) + 7 + 1 =7+1 +14 =7 = 7 + 15 =7+5

i.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Luego N es: 60 El menor será N = 60 personas.

Se denomina ecuación diofántica (en honor al matemático griego Diofanto, siglo IV) a aquella ecuación cuyas constantes son números enteros y cuyas incógnitas representan números enteros.Pueden ser de 2 o más incógnitas y de primer grado o de grado superior. En particular estudiaremos la resolución de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas.

5) Todo número es divisible por sus factores si: N=a×b

Ax + By = C entonces: N es a y N es b Ejemplo: La expresión abc - cba, ¿de cuántos es múltiplo?

Donde: {A, B, C} Z Para que la ecuación anterior tenga solución es necesario y suficiente que: o C= MCD (A,B)




ARITMÉTICA


c) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número.

Ejemplo: Un negociante tiene S/. 1500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

n+r ; r
Expresando todos los términos en o función de 7 : o

e) Si:

x

f) Si P = a . b, entonces:

a) 150 d) 240

3

10

10

2

17

a) 183 d) 217

P es a +7 P es b +7

P es (a . b)

Por lo tanto, la compra se puede efectuar de 3 maneras diferentes.

a) 8 d) 4

n+n=n

n - n=n

b) La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n". n . k=n

II BIMESTRE

Plaza de San Pedro, Ciudad del Vaticano Ciudad del Vaticano, centro mundial de la Iglesia Católica, es un estado independiente dentro de la ciudad de Roma. Muchos de sus edificios fueron diseñados y decorados por algunos de los mejores artistas del momento. Gian Lorenzo Bernini diseñó en 1667 la Gran Plaza que enmarca la entrada a la Basílica dentro de un dinámico espacio oval formado por dos columnas semicirculares.

b) 200 e) 210

c) 180

b) 257 e) 297

c) 123

4) En un examen donde participan 100 alumnos, de los aprobados 1/3 son mujeres, los 5/6 proceden de colegios nacionales y los 3/8 son menores de 15 años . ¿Cuántos salieron desaprobados, sabiendo que es el menor posible?

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD a) La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número.

c) 1880

3) ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 5 y 7 a la vez?

y

18

b) 1600 e) 1500

2) Del 1 al 750, ¿cuántos números enteros son 3 pero no 5?

MCM(a;b)

Determinamos todas las soluciones posibles reemplazando los valores de y en la ecuación (1):

-8

1) Del 1 al 1200, determina: ¿Cuántos números enteros son 2? ¿Cuántos números son 10? ¿Cuántos números no son 30? H al l a l a s u ma d e d i c h a s respuestas. a) 760 d) 1260

N es a ; N es b; entonces N es:

o

7 + ( 7 + 1) y = 7 + 3 o y = 7+ 3

-8

KZ+ d) Si A no es divisible por n, entonces A es:

Sea: x  # de cajas de leche y  # de cajas de aceite  70x + 80y = 1500 7x + 8y = 150 ... (1)

o

k

(n ) = n

b) 12 e) 2

c) 6

5) Determina la suma de los 24 primeros múltiplos enteros positivos de 6. a) 1600 d) 1800 6)

b) 1500 e) 1100

c) 900

Expresa de manera simpli-ficada: (9 +8) + (9 + 3)(9 - 5) a) 9 + 2 b) 9 +3 c) 9 + 5

d) 9 + 1 e) 9 + 4

- 51 -

7)




ARITMÉTICA

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y terminan en 8? a) 27 d) 30

8)

b) 29 e) 34

c) 32

En una división el divisor es (11+ 3); el cociente es (11 + 8) y el resto ( 11 + 9). ¿Qué forma tiene el dividendo? a) 11 + 3

d) 11 + 9

b) 11

e) 11 + 4

13) Un determinado artículo cuesta S/. 2,10. Si un comprador tiene 15 monedas de 5 soles y la cajera tiene 20 monedas de 2 soles, ¿de cuántas maneras diferentes se puede efectuar el pago si compró 10 de dichos artículos? a) 3 d) 6

Del 1324 al 2007, ¿cuántos enteros son divisibles por 9? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c)5

14) Del 1 al 100, ¿cuántos son múltiplos de 8?

c) 11 + 1 9)

b) 4 e) 7

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

4)

a) 12 d) 10 5)

c) 14

15) Del 1 al 300, ¿cuántos números no son múltiplos de 8? b) 37 e) 264

c) 262

6)

10) Un número de la forma (3a)(3b) ab siempre es múltiplo de: a) 41 d) 17

b) 43 e) 9

11) En un salón de clase, la cantidad de alumnos es mayor que 354 pero menor que 368. El número de alumnos es tal que si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si se agrupan de 7 en 7 sobran 4, ¿cuántos alumnos se deben aumentar para que al agruparlos de 12 en 12 no sobre nadie? a) 11 d) 9

b) 12 e) 8

- 52 -

b) 198 e) 209

1)

2)

c) 10

12) En una fiesta donde habían 342 personas entre hombres y mujeres, la cantidad de varones era múltiplo de 11 y la cantidad de damas múltiplo de 7, siendo la diferencia entre estas cantidades mínima. Determina el número de hombres. a) 220 d) 187

7)

c) 231

En una multiplicación, el producto es de la forma (13 + 3). Si uno de los factores es ( 13 + 2), ¿de qué forma será el otro factor? a) 13+ 9

b) 13 - 2

d) 13+ 8

e) 13 + 1

Del 222(3) al 777(8), ¿cuántos enteros son múltiplos de 15 con resto 7? a) 29 d) 32

3)

c) 13 + 5

b) 30 e) 33

c) 31

Un número de la forma ab(2a) (2b), es siempre divisible por: a) 6 y 34 b) 6 y 17 c) 6, 17 y 34 d) 6, 17, 34 y 51 e) 51 y 6

c) 3

b) 16 e) 12

c) 17

b) 34 e) 37

c) 35

¿Cuántos números existe entre 300 y 500, que sean a la vez divisibles por 4 y 6? a) 7 d) 13

9)

b) 6 e) 5

Del 18 al 200, ¿cuántos son múltiplos de 5? a) 33 d) 36

8)

c) 13

Del 1 al 100, ¿cuántos son múltiplos de 6? a) 15 d) 14

c) 11

b) 15 e) 11

Una tienda comercial importa refrigeradoras y lavadoras cuyos precios por unidad son $ 270 y $210, respectivamente. Si gastó en total $ 2730, ¿cuántas refrigeradoras compró? a) 7 d) 4

c) 7 a) 36 d) 263

Los alu mnos del curso de aritmética se sientan en bancas de 7 al umno s, exce pto la última banca donde se sientan 8 alumnos. Cuando van al laboratorio se sientan en mesas de 4 alumnos salvo un alumno que se sienta solo. ¿Cuál es el número de alumnos si se sabe que está comprendido entre 76 y 92? Da como respuesta la suma de cifras del número hallado.

b) 9 e) 15

c) 11

Halla los elementos del conjunto: E = {x  N / 70 < x < 90, x es divisible por 8}. a) {76, 78} b) {74, 76} c) {72, 80, 88} d) {80} e) N.A.

10) A un congreso asisten entre 100 y 200 ingenieros. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ingenieros mecánicos y los 5/11 son ingenieros mineros, ¿cuántos son ingenieros mineros? a) 154 d) 100

b) 74 e) 70

c) 84


Pág.

DIVISIÓN ALGEBRAICA

55

DIVISIÓN EUCLIDIANA

59

COCIENTES NOTABLES

62

FACTORIZACIÓN I

65

FACTORIZACIÓN II

69

MCD Y MCM

72

ÁLGEBRA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA



ÁLGEBRA


´ DIVISIÓN ALGEBRAICA PREVIO Si multiplicamos 6 y 4, su producto sería 24; entonces tendríamos: 6 x 4 = 24 Pero, si se nos dieran como datos 4 y 24 para calcular el valor que multiplicado por 4 nos da 24, tendríamos: 24 =6 4 Donde: 24 : es el dividendo 4 : es el divisor 6 : es el cociente Ahora veamos esta misma operación con los monomios y polinomios.

División de Monomios

División de Polinomio entre Monomio Para esto dividimos los términos del polinomio entre el monomio, para luego efectuar una división de monomios.

24x7y8 + 16x5y6 24x7y8 16x5y6 = + 4x2y4 4x2y4 4x2y4 5 4

30x y 30 6-2 4-2 x .y = 6x2y2 6 = 5x4y2

Dividendo (D) Divisor (d) Cociente (q) Residuo o Resto (R)

= 6x y + 4x y

División entre Polinomios Cuando aprendimos a dividir en el conjunto ‘‘N’’ vimos el siguiente esquema: 27 3

8 3

D(x) = d(x) . q(x) Donde: D(x) es divisible por d(x). D(x) es múltiplo de d(x). d(x) es un factor o divisor de D(x). 2. División Inexacta (R(x) ≠ 0) D(x) = d(x) . q(x) + R(x) PROPIEDAD

27 = 8(3) + 3 PARA POLINOMIOS x2 + 1 2

1. División Exacta (R(x) = 0)

3 2

Se cumple: 6 4

x2 + 1 : x+1 : x-1 : 2 :

CLASES DE DIVISIÓN

Ejemplo:

Para esto dividimos los coeficientes y luego la parte variable. Ejemplo:

Donde:

x+1 x-1

MÉTODO CLÁSICO

1. [q(x)]º = [D(x)]º - [d(x)]º Ejemplo: x6 - 2x5 + 6 x2 - 7x + 1 [q(x)]º = 6 - 2 = 4

Se cumple: x2 + 1 = (x + 1)(x - 1) + 2

II BIMESTRE

- 55 -




ÁLGEBRA

MÉTODO DE HORNER Divide: x3 + 6x2 + 11x + 6 x2 + 5x + 6

1. Calcula (a - b) si la división:

C olocamos

los coeficientes del dividendo con su propio signo y los coeficientes del divisor con signo cambiado, a excepción del primer coeficiente. Coef. del dividendo 1

1

6

11

6

-5

4

3

12x - 12x + 13x + ax - b 2x2 - 3x + 5

Resolución:

1

11

6

2 3 -5

12

-12 18 6

13 -30 9 -8

3

-4

a

-b

4

5

a - 27 = 4 -b + 20 = 5

 

a = 31 b = 15

2. Calcula (ab) si la división es exacta. 4

2

2

2x + 3x - 3x - ax + b 2x2 + 2x + 3 Coeficientes del Coeficientes del Cociente Residuo Ahora efectuamos tres operaciones (÷, x, +) con los coeficientes del dividendo y el divisor. ÷ 1 -5 x

1

-6

6 -5 1

11 -6

2 -2 -3

2

0 -2 -2

-1

-a

b

3 -2

-3

1

0

0

Exacta -a + 1 = 0 b-3=0

a partir de (1). -5 -6

1

11

a=1 b=3

-5

-6 -5

÷1

6 -6

1 1 0 0 q(x) = 1x + 1 R(x) = 0 (División Exacta)

- 56 -

  ab = 3

6

 

0

0

m = 27 n=9

m + n = 36 4. Halla el valor de AB si la división es exacta. Ax4 + Bx3 + 7x2 + 4x + 3 3x2 + x + 3

Cuando es exacta se puede dividir en forma creciente. 3 -1 -3

3

4 -1 3

1

3 -3 2 2

x

1

m - 27 = 0 n-9=0

División exacta (R  0)

1

Ahora repetimos esta misma operación

3

7 -3 -1 3

B

A

-3 -1

-3

1

0

0

Resolución:

6

1

7 11

Resolución: a - b = 16

-6

2

-15 -12 20

Dato

6

-5

3 3 2 m n 4 -6 7 14 -21 11 22 -33 3 6 -9

Por Horner:

6

1

2

deja como resto 4x + 5.

-6

Como el divisor es de grado 2, trazamos la línea divisoria 2 lugares hacia la izquierda, partiendo del último coeficiente del dividendo.

1 2 -3

2

3. Calcula m + n si: 2x5 + 3x4 + 3x3 + 2x2 + mx + n es divisible entre x2 - 2x + 3.

1

B-4=0 A-3=0

 

AB = 34 = 81 5. Halla a/b si la división es exacta. ax4 - 8x3 - bx2 + 14x - 8 3x2 + x - 2 Resolución: 3 -1 2

a

-8 • •

Resolución: Si son divisibles entonces el resto es cero.

B=4 A=3

•

•

-b • • • 4 •

14

-8

-10 • -4 •

8 •

0


0



ÁLGEBRA


Horner invertido: 3 -1 2

a

7 •

6)

-8

-b

14

-7 • -15 •

14 • 5 • 12 •

-10 -4

-5 •

4

-b + 19 = 12  a/3 = 7 

0

x5 - 3x2 + x + 1 x2 + x - 1

-8

8 0

b=7 a = 21

a/b = 3

1) Indica verdadero (V) o falso (F) con relación a la división de polinomios:

2) Indica los coeficientes del dividendo y el divisor en el esquema mostrado de: 3

Pedro Ruffini algunos años antes había descrito un método similar que ganó la medalla de oro ofrecida po r la Socie dad Matemáti ca Italiana para la Ciencia; debido al pedido de métodos mejorados para las soluciones numéricas a las ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner eran los primeros en descubrir este método pues ZHU SHIJIE lo propuso 500 años antes. Después de que Horner muriera en 1837; su hijo, también llamado Guillermo, quedó a cargo de la escuela.

7)

2

Halla “A + B” si al dividir: 2x4 + x3 + 3x2 + Ax + B x2 - 2x + 1 el resto resulta 2x + 3. a) -2 d) 1

8)

x + 3x + 5x + 7 x+1

Fue educado en la escuela Bristol de Kingswood. A la edad casi increíble de 14 años fue auxiliar en la escuela de Kingswood en 1800. Cuatro años más tarde, salió de Bristol y fundó su propia escuela en 1809. La única contribución significativa de Horner a las matemáticas era el método para solucionar ecuaciones algebraicas. Fue sometida a la Sociedad Real el 1 de julio de 1819 y publicada en el mismo año en las transacciones filosóficas de la Sociedad Real.

a) 9x + 6 b) 9x - 5 c) 9x d) 9x + 5 e) 10x - 5

I) El [D(x)]º < [d(x)]º II) En una división exacta R(x)  0. III) El [q(x)]º = [D(x)]º - [R(x)]º

Guillermo Horner

II BIMESTRE

Halla el residuo en:

Ax4 + Bx3 + 7x2 + 4x + 3 3x2 + x + 3

9)

16x4 + 7x - 25x2 + 7 -5x2 + 4x3

c) 0

Halla el valor de AB si la división es exacta:

a) 81 d) 16

3) Indica los coeficientes en el esquema mostrado de:

b) -1 e) 2

b) 27 e) 25

c) 32

Determina m - n si F es divisible por Q. F = 2x5 - 3x3 + 2x2 + mx + n Q = x2 - 2x + 1 a) 9 d) -16

b) -9 e) 17

c) -8

10) En la siguiente división exacta, calcula “a”. ax5 + 3ax4 + (1,5a)x3 + ax2 + 6x - 3 2x2 + 2x - 1 a) -1 d) -2

x3 + 3x2 + 5x + 7 x+1 a) x2 + x - 3 d) x2 - 2x - 8 b) x2 - 2x - 3 e) x2 + 2x + 3 c) x2 + 2x + 3 5) Indica el término independiente del resto en: 2

6x - x + 2x + 6 3x2 - 2x - 1 a) 1 d) 7

b) 3 e) 2

c) 2

11) Halla “m + n” si la división:

4) Halla el cociente en:

3

b) -3 e) 3

c) 4

6x4 + 13x2 + mx - n 2x2 - 4x + 5 es exacta. a) 23 d) 38

b) 18 e) -28

c) -69

12) Halla a/b si la división: ax4 - 8x3 - bx2 + 14x - 8 3x2 + x - 2 es exacta. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

- 57 -




ÁLGEBRA

13) Halla m . n si la división es exacta.



mx4 + nx3 + 52x2 + 59x + 56 3x2 + 5x + 8

Para q ue la d iv is ión de x4 + ax2 + b entre x2 + x + 1 sea exacta; los valores de a y b deben ser:

a) 56 d) 114

a) 1; -1 d) -1; 1

b) 65 e) 132

c) 84

Al dividir: 3

2)

3) 2

x + 3x + 3x + 1 x2 + 2x + 1

a) x + 2 b) x + 1 c) x + 3 d) x + 4 e) x + 5 

c) 31

deja como residuo R(x) = - x + 14, calcula “a + b + c”.

15) Halla el cociente.

a) -18 d) 15 5)

b) 0 e) 33

4

3

4

3

x + x + mx - 1 x3 + x - n a) 1 d) 5

- 58 -

b) 3 e) -1/3

c) 2

b) 6 e) 18

c) 3

b) 1 e) 4

c) 2

Halla el resto de la división. a) 3x + 1 b) 2x + 1 c) 2x - 1 d) 3x e) 3x - 1 Halla el resto en: x3 + 5x2 - 7x + 5 x2 + 2x - 3

2

el residuo es un polinomio identicamente nulo. Halla m + n + p. a) 0 d) 4

8)

9)

9x - 6x - 5x + mx + nx + p 3x3 - x2 - x + 3

5

a) 0 d) 3

c) 2

En la división: 5

Calcula el valor de (m + n) en la siguiente división exacta.

Halla el resto.

Si la división: 20x6 + x5 + x4 - x3 + ax2 + bx + c 5x3 - x2 - 2x - 3

21x4 + 44x2 + 3x + 14 3x2 + 5

1)

* Grado del dividendo = 4 ( ) * Grado del divisor = 2 ( ) * Grado del cociente = 2 ( ) * Grado del resto ( ) máximo = 1 7)

4)

Al dividir:

a) x2 + 4 b) 7x2 + 3 c) x2 - 4 d) 7x2 - 3 e) x2 + x + 1

c) -2; 1

b) 30 e) 33

Indica verdadero o falso. 2x4 + x2 - 1 x2 + x + 3

La división: (x4 +2x3 -7x2 +ax+b)÷(x2 -3x+5) es exacta. Calcula a + b. a) 18 d) 32

14) Halla el cociente.

b) 1; -2 e) 1; 1

6)

a) 7x - 1 d) -10x + 14 b) 10x - 14 e) 6x c) -7x + 1 10) Halla la suma de coeficientes del cociente: 16x5 + 18x3 - 32x2 - 2x + 13 2x3 + 3x - 4 a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6




ÁLGEBRA


DIVISIÓN EUCLIDIANA La División Euclidiana es aquella que se realiza con polinomios de una variable. Así tenemos los siguientes métodos de división:

Ejemplo: Divide:

Ejemplo:

2 0 -15 0

-20

8

-6 18 -9

27

-21

-9

7

-13

x

T.I

x +3 =0

Divide: 12x4 - 17x3 + 17x2 + 2x - 9 4x2 - 3x + 1 12 ÷

3

2x5 + 3x3 + 3x - 6 x2 + 1

2x5 - 15x3 - 20x + 8 x+3

1. MÉTODO DE HORNER

4

Ejemplo:

-1

-17

17

9

-3

÷

-6

2 -9

2

÷

3 x2

-2 x

2 T.I

x4 x

x

q(x) = 2x4 - 6x3 + 3x2 - 9x + 7 R(x) = -13

Este teorema tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar la división.

1. Indica la suma de coeficientes del cociente al dividir: 6x4 + 7x3 - 3x2 - 4x + 6 3x2 + 2x - 1 Resolución:

b≠0

Se siguen los siguientes pasos: i) Se iguala el divisor a cero. ii) Se despeja una variable. iii) S e re e m pl aza el v al o r o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario. Ejemplo: 8x2003 + 13x2 + 1999 x+1

Dividendo

1 Lugar

x = -b

II BIMESTRE

2

10 -11 x T.I

Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado.

Cociente

3

3

6 -2

2. MÉTODO DE RUFFINI

x+b=0

2 -6

3. T E O R E M A D E R E N É DESCARTES (TEOREMA DEL RESTO)

q(x) = 3x2 - 2x + 2 R(x) = 10x - 11

d(x) = x + b

x = -3

Solución: i) x2 + 1 = 0 ii) x2 = -1 iii) Observa que: D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x - 6 Reemplazando: x2 = -1 R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x - 6 R(x) = 2x - 3x + 3x - 6 R(x) = 2x - 6

Resto

Solución: i) x + 1 = 0 ii) x = -1 iii) Se reemplaza: R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999 R = -8 + 13 + 1999 R = 2004

Por Horner: 3 6 7 -2 -4 1 3

2

1

-3 2 -2 -3

-4

6

1 2

-1

-1

-1

5

Cociente Suma de coeficientes =2 del cociente 2. Luego de dividir, indica el coeficiente del término independiente del cociente de: 2x5 - 7x4 + 8x3 - 13x2 - 4x + 7 x-3

- 59 -




ÁLGEBRA

3(x2)20 + 6(x2)8 + 3(x2)6 . x + (x2)2 - 3

Resolución: Por Ruffini: 2

x-3=0 x=3

-7 8 6 -3 -1 5

3 2

R = 3(-1)20 +6(-1)8 +3(-1)6x +(-1)2 - 3 R = 3 + 6 + 3x + 1 - 3 -4 7 6 6 2 13

-13 15 2

6)

R = 3x + 7

Calcula ‘‘m’’ si la división es exacta: 6x3 - 3x2 - mx - 15 2x - 3 a) -2 d) 1

Cociente

7)

x81 - 2x21 + 4x13 + 9 x+1

3. Calcula “m” si la división es exacta. 2

6x - 3x - mx - 15 2x - 3 Resolución: Por Ruffini: 6 x=3/2 6

2x - 3 = 0 x = 3/2

-3 -m -15 9 9 3/2 (9 - m) 6 (9 - m) 0 3/2 (9 - m) = 15 9 - m = 10 m = -1

x81 - 2x21 + 4x13 + 9 x+1

4x4 + 13x3 + 28x2 + 25x + 12 4x2 + 5x + 6

x = -1

reemplazando en el dividendo: R = (-1)81 - 2(-1)21 + 4(-1)13 + 9 R = -1 + 2 - 4 + 9

5. Halla el resto en: 3x40 + 6x16 + 3x13 + x4 - 3 x2 + 1 Resolución: Teorema del Resto: x2 +1 = 0 

x2 = -1

8)

6x5 + x4 - 11x3 + mx + n 2x2 + 3x - 1 es exacta. a) 5 d) -12

b) 37 e) -20

c) -21

b) 5 e) 10

c) 6

Halla el resto en: 60

3x - 5x45 + 3x30 - 2x15 + x5 + 7 x5 + 1 a) 3 d) 6

2) Calcula m + n si la división: 9)

b) 5 e) 19

c) 2

Calcula el cociente en: 2x5 + x4 + 3x3 + 3x2 + 5x - 2 2x3 + 3x2 + 2x - 1 a) x2 + x + 2 d) 2x2 - 2x + 3 b) x2 - x + 2 e) 2x2 + x +1 c) 3x2 + 2x + 1

3) Halla A/B si al dividir:

el residuo es 7x + 44. b) 5 e) 9

c) 6

4) L u e g o d e d i v i d i r, i n d i c a el coeficiente del término independiente del cociente. 2x5 - 7x4 + 8x3 - 13x2 - 4x + 7 x-3 a) -6 d) 10

R=6

a) 4 d) 7

a) x2 - 2x - 3 d) x2 + 2x 2 b) x + 2x + 3 e) x2 + x - 3 c) x2 - 1

a) 4 d) 12

Resolución:

- 60 -

1) Al efectuar la siguiente división, indica su cociente.

2x4 + x3 + Ax + B x2 + 2x - 3

4. Halla el resto de:

Teorema del Resto: x +1 = 0 

c) 0

Halla el resto de:

Coeficiente =2 del T.I.

3

b) -1 e) 2

b) 8 e) 23

c) 2

5) Halla la suma de coeficientes del cociente al efectuar: 5

4

b) -10 e) 22

2x4 + x3 - 12x2 + 13x - 6 2x - 3 a) 1 d) -2

c) -22

b) -1 e) 0

c) 2

11) Calcula la suma de coeficientes del cociente en: 6x4 - x3 - 21x2 + 28x - 30 3x - 5 a) 8 d) 12

b) 9 e) 14

c) 10

12) Halla el resto en: 3x5 + x3 + x2 + 6 x+1

3

8x - 2x - 19x - 15x + 6 4x - 3 a) -40 d) -52

10) Calcula el término independiente del cociente:

a) 7 d) 4

b) 5 e) 2

c) 3




ÁLGEBRA


13) Halla el resto en: (x2 + x)7 + (x2 + x)5 + 1 x2 + x - 1 a) 2 d) 3

b) 4 e) 0

2)

* El grado del dividendo es 3. ( ) * El grado del divisor es 5. ( ) * El grado del cociente es 1. ( )

a) 1 d) 4 3)

4)

a) 5 d) 8 

b) 4 e) -2

c) 5

a) 8 d) 9

b) 10 e) 12

5)

8)

6)

4x2 + 3x - 1 3x2 + 4x + 2 2x2 + 3x + 1 x2 + 3x - 2 x2 + 3x + 2

II BIMESTRE

c) 7

En la siguiente división:

Halla el cociente. a) 2x2 + x + 7 d) x2 - x + 1 b) x2 + x + 1 e) x2 - x - 1 c) 2x2 + x - 7

c) 7

9)

Al dividir, halla la suma de coeficientes del cociente: 2x5 - 7x4 + 8x3 - 13x2 - 4x + 7 x-3

Halla el resto en: x 3 - a3 x-a b) 2 e) 5

b) 6 e) 9

10x3 + 9x2 - 33x - 22 5x + 2

2

Calcula el cociente en: 8x5 + 18x4 - x3 - 20x2 - 2x + 4 2x3 + 3x2 - 2x - 2 a) b) c) d) e)

c) 3

Halla el resto en: x2 + x + 2 x-2

a) 1 d) 4

1)

b) 2 e) 5

Calcula la suma de coeficientes del cociente en:

a) 3 d) 2

x3 + 3x2 + 5x + 7 x-1 a) x - x + 7 d) x + x + 3 b) x2 + 4x + 9 e) x2 - x + 3 c) x2 - 4x + 9

Al dividir, halla la suma de coeficientes del cociente. x2 + 8x + 18 x+3

6x4 - 11x3 + 15x2 - 19x + 5 3x - 1

15) Halla el cociente al dividir:

2

7)

3x5 + 5x4 + 3x3 - 9x + 2 3x3 + 2x2 - 5x + 1

c) 5

14) Indica verdadero (V) o falso (F) al dividir: 2x5 + 2x3 + 1 x3 + x + 1

Calcula el término independiente del cociente en:

a) 6 d) 12 c) 0

Indica verdadero (V) o falso (F) al dividir: 2x4 + x3 + 3 x2 + x + 1 * El grado del dividendo es 4. ( ) * El grado del divisor es 2. ( ) * El grado del cociente es 2. ( ) * El grado del resto ( ) máximo es 1.



b) 8 e) 14

c) 10

En la siguiente división:

( 3 - 1)x3 + 2x2 - ( 3 - 2)x - 6 - 11 x- 2 10) Halla el resto. a) -5 d) -11

b) -7 e) -13

c) -9

- 61 -




ÁLGEBRA

COCIENTES NOTABLES 1. FORMA

2.2. Segundo Caso

Ejemplo:

Nº de términos = impar

xn  an = C.N. xa

x4 - 24 = x3 - x2(2)+ x(2)2 - 23 x+2

x7 + 1 = C.N. x+1

Condiciones: * Bases Iguales * Exponentes Iguales

x4 - 24 = x3 - 2x2 + 4x - 8 x+2

Por Ruffini: x + 1 = 0  x = -1

2.4. Caso General

2. CASOS 2.1. Primer Caso

0

0

0

0

1

1

-1 -1

1 1

-1 -1

1 1

-1 -1

1 1

-1 0

Ejemplo: Halla el cociente de dividir: x10 + y20 x2 + y4

0

0

0

-1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 0

q(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 Ejemplo: x6 - 1 = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x-1

Observación (*) En el ejemplo: n = 6 El C.N. tiene 6 términos. (*) Los signos de los términos del C.N. son todos positivos. (*) L o s e x p o n e n t e s d e x disminuyen de 1 en 1 en el C.N.

x10 + y20 (x2)5 + (y4)5 = x2 + y4 x 2 + y4

Ejemplo:

 x = 1

0

- 62 -

0

q(x) = x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1

1 1

0

-1

x5 - 1 = C.N. x-1 Por Ruffini: x-1=0

1

* Hacemos: x 2 = a ; y4 = b

x 5 + 25 4 3 = x - (x )2 + x2(2)2 - x(2)3 + 24 x+2

* Entonces:

Observación (*) En el ejemplo: n = 5 El C.N. tiene 5 términos. (*) Los signos de los términos del C.N. son alternados. (*) L o s e x p o n e n t e s d e x disminuyen de 1 en 1 en el C.N. (*) L o s e x p o n e n t e s d e 2 aumentan de 1 en 1 en el C.N.

5

a + b5 4 3 = a - a b + a2b2 - ab3 + b4 a+b * Ll evamo s a l a vari ab le original (x2)4 - (x2)3y4 + (x2)2(y4)2 x2(y4)3 + (y4)4 = x8 - x6y4 + x4y8 - x2y12 + y16

2.3. Tercer Caso Nº de términos = par x6 - 1 = x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 x+1




ÁLGEBRA


Ejemplo:

Observación Al dividir los exponentes de x, obtenemos la cantidad de términos del C.N. 10 : 2 = 5 También con los exponentes de y. 20 : 4 = 5

El quinto término de:

4. Calcula a + b si el quinto término del desarrollo del siguiente C.N. es x9-a . y12+b

x12 - y12 x-y

x14 - y35 x 2 - y5

es n = 12; k = 5

Resolución:

T5 = (+) x12-5y5-1 T5 = (+) x7y4

n=7 ; k=5 Tk = signo xn-k yk-1 T5 = + (x2)7-5(y5)5-1 T5 = x4y20 = x9-ay12+b

Entonces: # términos =

10 20 = 4 2

1. Halla el valor de “m” en el C.N. xm - y72 x2 - ym

En general: x p  yq xr  ys

; da lugar

A un C.N. si cumple:

Se cumple:

a + b = 13

xm - 2n x3 - 4

m 72 = 2 m m2 = 144



Resolución:

m = 12

m n # términos = = 3 2 k = 11 T11 = (x3)m/3-11(22)11-1 T11 = xm-33 . 220

2. Halla el número de términos del C.N.

Ejemplo:

xm - y12 x3 - ym

Halla el cociente que resulta de dividir: m70 - t42 m10 - t6 Sabemos: 70 42 = = 7 términos 10 6 Entonces: C.N. = m60 + m50t6 + m40t12 +m30t18+m20t24+m10t30+t36 3. TÉRMINO DE LUGAR "K" xn  yn es C.N. xy

Se puede calcular un término cualesquiera como: Tk = SIGNO xn-kyk-1 El signo del término es negativo sólo si k es par y el divisor es de la forma x + y.

II BIMESTRE

Dato: m - 33 = 3 m = 36

Resolución: Por ser C.N. se cumple:

Entonces: n = 24

número de m = 12 = términos 3 m m2 = 36

a=5 b=8

5. El grado del término de lugar 11 del desarrollo del C.N. es 3. Calcula m.n

Resolución:

p q r = s = # términos

Si

9-a=4  12 + b = 20 



m . n = 864

m=6

número de = 6 = 2 términos 3 3. Calcula el décimo término en el C.N. x50 - y25 x2 - y



1)

x6 - a6 = x-a

2)

x10 - a10 = x2 + a 2

3)

x 9 + a9 = x3 + a 3

Resolución: n = 25 k = 10 T10 = (x2)25-10 (y)10-1 30 9

T10 = x y

Obtén los cocientes notables en:

- 63 -

4)




ÁLGEBRA

x10y15 - a20b30 = x2y3 - a4b6

5) Desarrolla el C.N. e indica su penúltimo término: x8 - b 8 x-b 5

a) xb d) -b6 6)

2 5

b) x b e) xb6

3 4

c) x b

Desarrolla el C.N. e indica su segundo término: x6 + b 6 x2 + b 2 a) xb d) x

7)

2 6

b) -x b e) b2

2 2

c) -x b

Desarrolla el C.N. e indica su penúltimo término: x12y18 - a24b36 x2y3 - a4b6 a) xy2ab b) x2y3a16b24 c) x2y

8)

d) 3xy3 e) xy2a2b

Encuentra el término de lugar 15 del cociente de la siguiente división: x72 - y54 x4 - y3 a) -x42y12 b) x12y42 c) x 42 y 12 d) x38y12 e) x12y38

9)

11) Si la expresión: x2(4m+1) - y5m es C.N. el valor xm-1 + ym-3 de “m” es: a) 2 d) 8

a) 12 d) 13

b) 11 e) 9

b) 10 e) 26

b) xb6 e) x3b3

x12 - b12 x3 - b3 3

a) b d) b2

2 6

b) x b e) x3b3

10) Calcula a + b si el quinto término del desarrollo del siguiente C.N. es x9-a . y12+b. x14 - y35 x2 - y5 a) 11 d) 8

- 64 -

b) -13 e) 5

c) 13

1)

4)

5)

a) 8 d) 12

b) 9 e) 14

c) 10

c) 6

b) 810 e) 156

c) 132

En el desarrollo del C.N. a que da lugar la división: xn+1 . nn+1 - 1 xn - 1 si hay 256 términos. Calcula el valor de ‘‘n’’. a) 16 d) 256

c) b

b) 2 e) 5

El grado del término de lugar 11 x m - 2n del desarrollo del C.N. 3 x -4 es 3. Calcula m . n a) 864 d) 56



Halla el valor de ‘‘m’’ en el C.N. xm - y72 x 2 - ym

Si la expresión:

a) 1 d) 4

9

c) 39

b) -x4y21 c) -x8y8 e) -x8y21

x3(n+1) - yn+6 en C.N. el valor xn+1 - yn-2 de “n” es:

15) Desarrolla el C.N. y halla el cuarto término.

507

b) 9 e) 15

3)

c) x2b5

x -y x3 - yp a) 5 d) 13

a) x21y4 d) x4y21

c) 20

14) Desarrolla el cociente notable y h al la e l an te p en ú lti mo término. x8 - b 8 x-b a) x3b2 d) x4b

x20 - y30 xa - ya+1

c) 10

13) Halla el valor de ‘‘n’’, sabiendo que el quinto término del desarrollo de la división: xn+1 + yn+1 x-y Su grado absoluto resulta igual a 26. a) 15 d) 25

Si la siguiente división da lugar a un C.N., calcula el octavo término de:

c) 6

xn - 1 12) Si xr-2 - 1 da lugar a un C.N., cuyos términos tienen grado de homogeneidad 7, halla la suma de los mínimos valores de n y r.

Halla el número de términos del C.N. p

b) 4 e) 7

2)

b) 8 e) 128

c) 255

Obtén los cocientes notables en:

6)

x 4 - a4 = x-a

7)

x8 - a12 = x 2 + a3

8)

x 4 - a4 = x+a

9)

x12 - a8 = x3 + a2

10)

x14 + a7 = x2 + a




ÁLGEBRA


FACTORIZACIÓN I 1. INTRODUCCIÓN

3. FACTOR PRIMO

Al expresar 24 = 3 x 8 se ha factorizado 24 en producto de enteros; siendo 3 y 8 factores enteros de 24. A su vez 24 = 3 x 23 ; 3 y 2 son también factores de 24 y se llaman factores primos.

Es aquel que no se puede factorizar más; es decir, son aquellos polinomios de grado positivo que no se pueden expresar como una multiplicación de factores de grado positivo. Así por ejemplo:

Al expresar un polinomio como el producto de otros polinomios pertenecientes a un conjunto dado, se ha efectuado una factorización de polinomios. No todos los polinomios se pueden factorizar. De acuerdo a las características que presentan los polinomios se puede aplicar tal o cual método, por ejemplo: ax2y2 + bxy3z + cx3my4 Ax2n + Bxnym + Cy2m Ax2n + Bxnym + Cy2m + Dxn + Eym + F Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dxn + Ey Ax3 + Bx2 + Cx + D

    

Factor común Aspa simple Aspa doble Aspa doble especial Divisores binómicos

Entre otros casos particulares. Comienza factorizando cada uno de los polinomios: * * * * * * * * *

x2y2 + xy3 + x2y 24x2y2 + 16xy3z + 32x3my4 - 64zx3y5 9ab + 12bd - 45ac - 60cd 121m2 - 169n2 256p8 - q8 4x2 - 20xy + 9y2 6a2 - 7ab - 5b2 3x2 - 10xy + 3y2 x4 - 22x2 - 75

2. DEFINICIÓN Es un proceso mediante el cual, un polinomio se expresa como la multiplicación indicada de factores primos. Para llevar a cabo este proceso se usarán diversos criterios como: El factor común Identidades Evaluación

II BIMESTRE

-

Se dice que la factorización se realiza en Z cuando los factores primos obtenidos presentan únicamente coeficientes enteros; mientras no se indique alguna aclaración la factorización sólo se realizará en Z.

Ejemplos:

para saber cómo estamos comenzando en este maravilloso tema que es la factorización.

-

* F(x) = x2 - 4 no es primo, porque se puede expresar como (x - 2) (x + 2) * F(x) = x - 2 sí es primo, porque no se puede factorizar. * G(x) = 3x - 6 sí es primo, porque al obtener 3(x - 2), 3 es de grado cero.

Agrupación de términos Aspas

1. Factoriza: F(x) = x2 - 25 Reconociendo una diferencia de cuadrados obtenemos: F(x) = (x - 5) (x + 5) 2. Factoriza: G(x) = x2 - 3 Diremos: “no se puede factorizar, es primo”; en cambio si el enunciado fuera: Factoriza en R, entonces: G(x) = (x - 3) (x + 3) Nótese que la variable no está bajo el signo radical; ambos factores son de primer grado y esto es correcto.

- 65 -




ÁLGEBRA

B.

Observación

A3 - B3 = (A - B) (A2 + AB + B2) Así, al factorizar: 27n3 - 8 reconocemos: (3n)3 - (2)3 luego: 27n3 - 8 = (3n - 2) (9n2 + 6n + 4)

1. Todo polinomio de primer grado es primo, por ejemplo: 4x - 3 ; x + y + 1 2. Pa r a r e c o n o c e r s i u n polinomio es primo en Z, no es suficiente con agotar los recursos necesarios; a veces se encuentra en un artificio de “sumas y restas”. Por ejemplo: F(x) = x 4 + 4 donde aparentemente no se puede factorizar; cambia si “sumamos y restamos 4x2”. Así: F(x) = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 T.C.P. 2

2

2

= (x + 2) - (2x)

diferencia de cuadrados

= (x2 + 2 +2x) (x2 + 2- 2x)

4. CRITERIOS DIVERSOS 4.1. Factor Común Se denomina así al factor repetido en varios términos; para lo cual se eligen las bases comunes afectadas al menor exponente. Así: 4x3y4 - 5x2y5 + 7x4y7 Se observa (x 2 y 4 ) como factor común. Luego factorizando tenemos: x2y4(4x - 5y + 7x2y3) 4.2. Identidades Es la aplicación inmediata de algunos productos notables como: A.

Diferencia de Cubos

Diferencia de Cuadrados

C.

Suma de Cubos

A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) Así, al factorizar: 8n6 + 1 reconocemos: (2n2)3 + (1)3 luego: 8n6 + 1 = (2n2 + 1) (4n4 - 2n2 + 1) D.

Trinomio cuadrado perfecto A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (B - A)2 = (A - B)2 Así, al factorizar: 9x4 + 6x2 + 1 Nótese: (3x2)2 + 2(3x2)(1) + (1)2 Luego: 9x4 + 6x2 + 1 = (3x2 + 1)2

Resolución: * Sacando el término que se repite: a(a2 + a + 1)  Factores: * a * a2 + a + 1 2. Factoriza: (x - y)a + (x - y)b Resolución: * Sacando el término que se repite: (x - y) (a + b)  Factores: * x - y * a+b 3. Factoriza: ax + bx + x2 + ab Resolución:

Factorizar: 25y4 - 20y2 + 4 Nótese: (5y2)2 - 2(5y2)(2) + (2)2 Luego: 25y4 - 20y2 + 4 = (5y2 - 2)2 4.3. Agrupación Consiste en seleccionar convenientemente los términos, de tal manera que se genere algún factor común o alguna identidad. Así, al factorizar: a10 - a2b8 + a8b2 - b10 Nos percatamos que no hay factor repetido en todos los términos; pero si agrupamos de dos en dos obtenemos: a2(a8 - b8) + b2(a8 - b8)

* Agrupando: a(x + b) + x(b + x) * Extrayendo lo que se repite: (x + b) (a + x)  Factores: * x + b * a+x 4. Factoriza: x2 - 36 Resolución: * Utilizando la diferencia de cuadrados: x2 - 62 = (x + 6) (x - 6)  Factores: * x + 6 * x-6

Factor repetido: a8 - b8 Luego: (a8 - b8) (a2 + b2)

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

Continuamos: (a4 + b4) (a2 + b2) (a + b) (a - b) (a2 + b2)

Así, al factorizar: 9x2 - 16 reconocemos: (3x)2 - (4)2; luego: 9x2-16 = (3x-4) (3x+4)

Se usó repetidas veces “diferencias de cuadrados”. (a4 + b4) (a2 + b2)2 (a + b) (a - b)

- 66 -

1. Factoriza: a3 + a2 + a




ÁLGEBRA


4) Después de factorizar x 4 - 1, señala el número de factores primos. a) 1 d) 4

1) Fa c t o r i z a l o s s i g u i e n t e s polinomios: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

mx + nx ay + by cm - dm x2a + x2b m3y + m3t a3x - a2y a2x + ay a3 + a 2 + a a2b + b x2y - y - zy

a) 2 d) 4 6)

7)

8) a) P(x) = (x - 3) (x - 2) (x - 1) (x - 5) c) 3

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) 2 e) 5 3

2

4

d) F(x) = 2x (x + 1) (x - 1) (x + 1)5 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

II BIMESTRE

c) 3

(x + 2) (x + 7)

13) Factoriza: a3 - 3a2 + 3a - 1 a) (a - 2)3 d) b) (a + 1)3 e) c) (a - 2)2

(a - 1)3 (a - 1)2

14) Halla el número de factores primos: P(x) = 24 (x - 2)5 (x + 6)3 (x - 2)2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

a) x2 - y b) x2 + y c) a - b d) a2 + b e) x + y

(b - c) (a - b) (a - c) (a + b) (a + c) (b + c) (a + b) (a - b) (a + c) (a + b + c) (ab + ac + bc) (a + b + c) (a2 + b2 + c2)

Si P(x) = (x - 1)2 (x2 - 2) (x2 + x + 1)3, indica el número de factores primos. b) 2 e) 6

c) 3

Factoriza: P(x, y) = x3 (x+y) + 5xy (x+y), y da un factor primo.

10) Señala un factor primo de: ax + ay + bx + by

c) 3

a) (x + 1) d) b) (x + 1)2 e) c) (x + 1)3

15) Halla un factor primo: ax2 + bx2 - ay2 - by2

a) x - y b) x2 - 5y c) 2x + y d) x + y e) x + 5y

c) M(x) = x(x + 1) (x - 2)5 (x - 7)9 (x - 1) a) 1 d) 4

9)

3x + 4y 5x + 3

Factoriza: a2 (b - c) + b2 (c - a) + c2 (a - b)

a) 1 d) 5

b) Q(x) = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)

c) 1

Factoriza: (4x + 3y)2 - (x - y)2 e indica un factor primo.

a) b) c) d) e)

3) Señala el número de factores primos de cada factorización:

b) 2 e) 5

b) 3 e) 0

a) 5x + 4y d) b) 3x + 2y e) c) 2x + 5y

ax + bx + x2 + ab m2 - mn - mp + np ax + bx + cx + ay + by + cy x2y2 + x3y3 + x5 + y5 x7 - x4y4 - x3y3 + y7

a) 1 d) 4

c) 3

5) ¿Cuántos factores primos se obtiene al factorizar a4m + a4n - b4m - b4n?

2) Factoriza: a) b) c) d) e)

b) 2 e) 5

12) Factoriza: P = x3 + 3x2 + 3x + 1

a) a - b d) y - x

b) b - a c) x - y e) x + y

11) Halla un factor primo de: P(x, y) = x2 (x + y) + y2 (x + y)

Los ordenadores analógicos c o me n z aro n a c o n s tr u i rs e a principios del siglo XX. Los primeros modelos realizaban lo s cálcu lo s me dian te ejes y engranajes giratorios. Con estas máquinas se evaluaban las aproximaciones numéricas de ecuaciones demasiado difíciles como para poder ser resueltas mediante otros métodos. Durante las dos guerras mundiales se utilizaron sistemas informáticos analógicos, primero mecánico y más tarde eléctricos, para predecir la trayectoria de los torpedos en los submarinos y para el manejo a distancia de las bombas en la aviación.

a) x2 + y b) x + y2 c) x2 + x d) y2 + y e) x + y

- 67 -




ÁLGEBRA

4)

Halla un factor primo de: 2x3 + 2x2 - 2x - 2

8)

a) x + 1 b) x2 + 2 c) x2 - 1 d) x + 2 e) x - 3 1)

Del problema anterior, ¿cuántos factores cuadráticos tiene? a) 1 d) 4

2)

b) 2 e) 5

5)

c) 3 a) 0 d) 3 3

Factoriza: R(x) = x + x - x - 1, y halla un factor primo.

Da un factor primo de: x5y4 - x3y6 a) 2x - y b) x + y c) x - y d) x2 + y2 e) 2x + y

- 68 -

b) 1 e) 4

6)

Halla un factor primo de: R = x3 + x2 - x - 1

Factoriza y da un factor primo de: ax + bx + a2 + 2ab + b2 a) x + y b) a - b d) a + b e) ab

9)

b) 2 e) 5

c) 3

Factoriza a4 - 16, y da un factor primo. a) a + 4 b) a + 3 c) a + 2 d) a + 5 e) a + 7

a) x - 3 b) x - 2 c) x - 1 d) x + 4 e) x + 5 7)

a) 1 d) 4

c) 2

2

a) x + 1 b) x2 + 1 c) 2x - 1 d) x2 - 1 e) x2 + x + 1 3)

Señala el número de factores primos de: x3y2 + y3z2 - x3z2 - y5

Halla el número de factores primos de: P(x) = (x - 2) (x + 3) (x + 3)

10) Halla un factor primo: a4m + a4n - b4m - b4n a) a + b2 d) b) a2 + b e) c) (a2 + b2)

a2 - b a - b2

c) x - y




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FACTORIZACIÓN II ASPA SIMPLE

Ejemplo:

Se utiliza para factorizar particularmente polinomios de la forma: ax2n + bxn + c; o que se amolden a dicha forma.

x3 - x2 - 4; si evaluamos en x = 2, tenemos: 1

Proceso: x=2 1. Descomponer los extremos. 2. Verificar que la suma de productos en aspa sea igual al término central.

1

-1

0

-4

2

2

4

1

2

0

Luego, x3 - x2 - 4, se puede expresar como (x - 2) (x2 + x + 2). Nótese que está factorizado. Importante es saber en qué valores podemos usar el esquema; entonces veamos:

Así, al factorizar: x2 - 7x + 12 Descomponemos: x2 - 7x + 12  x -3 x -4 Verificando: -3x - 4x = -7x Luego, los factores se forman horizontalmente: (x - 3) (x - 4)

CRITERIO DE EVALUACIÓN Se usa básicamente para factorizar polinomios de grado mayores o iguales a 3.

1. Si el primer coeficiente es la unidad (polinomio mónico), se trabaja con los divisores del término independiente. Así, al factorizar: x3 + 3x2 - x - 6; notamos que es mónico, luego planteamos: ± (1; 2; 3; 6). Probando:

Proceso: Consiste en evaluar usando el esquema de Ruffini, así dado un polinomio F(x): Coeficientes del polinomio F(x)

0  Cociente Luego: F(x) = (x - a)q(x) Al valor “a” se le denomina cero del polinomio.

x = -2 1

3

-1

-6

-2

-2

6

1

-3

división 0  exacta

Luego: (x + 2) (x2 + x - 3)

x=a Cociente

1

2. Si no es mónico el polinomio, usaremos opcionalmente: ±

divisores del término independiente divisores del coeficiente principal

Así, al factorizar: 2x3 + x2 + x - 1 Luego planteamos:

( 1;12

±

Al usar el esquema, una vez agotados los valores enteros: (1; -1) no

II BIMESTRE

- 69 -




ÁLGEBRA

generan una división exacta, entonces probamos: 2 x=1/2 2

1

1

-1

1

1

1

2

2

0

¡Importante! división exacta

Finalmente:

3. Factoriza: P(x, y) = 16x2 + 13xy + 6y2 + 7x + 8y +2

4. Factoriza: P(x) = x3 - 7x + 6 * Posibles ceros: {1; 2; 3; 6}

Resolución:

Resolución:

* Aplicando aspas simples:

* Probando: 1

6x2 + 13xy + 6y2 + 7x + 8y + 2 x=1

(x - 1/2) (2x2 + 2x + 2) 2

[(2x - 1)/2] 2(x + x + 1) (2x - 1) (x2 + x + 1)

3x 2x

2y 3y

4x + 3x 7x

9xy + 4xy 13xy

2 1 6y + 2y 8y

(3x + 2y + 2) (2x + 3y + 1)

1

0

-7

6

1

1

-6

1

-6

0

* Factor: (x - 1) P(x) = (x - 1) (x2 + x - 6) x 3 x -2 P(x) = (x - 1) (x + 3) (x - 2)

1. Factoriza utilizando el criterio del aspa simple. P(x) = x2 + 7x + 12 Resolución: x2 + 7x + 12 x

4  4x

x

3  3x 7x

* La suma nos da el término central (7x). P(x) = (x + 4) (x + 3)  Factores: * x + 4 * x+3 2. Factoriza: P(x) = x 2 + 4x - 21, utilizando el criterio de aspa simple. Resolución: x2 + 4x - 21 x

7  7x

x

-3  -3x +4x término central

* P(x) = (x + 7) (x - 3)  Factores: * x + 7 * x-3

- 70 -

1) Factoriza por aspa simple: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

x2 + 7x + 12 x2 - 9x + 8 x2 - 14x - 32 x2 + 4x - 21 21 + m2 - 10m y2 - 27 - 6y n 4 + n2 - 6 p6 - 6p3 + 5 z10 - z5 - 20 6x2 - 7x + 2 14a2 + 29a - 15 3x7 + 10x14 - 1 3a2 + 5ab - 2b2 15x4 + x2y - 6y2 11x2y + 10x4 - 6y2 21m8 - 17m4n + 2n2 54a7b2 + 7a14 - 16b4 6x2y4 + 7xy2z - 5z2 15x2a + 9xa - 108 40x2a+2 - xa+1 - 15

2) Al factorizar: 72 + y 2 - 17y, l a s u m a d e l o s té rm i n o s independientes de los factores primos es: a) -17 d) 9

b) 72 e) -9

c) 15

3) Uno de los factores que se obtiene al factorizar (5x4 - 1) (x2 + 3) es : a) x - 2 b) x2 + 1 c) x + 1 d) x3 + 2 e) 2x + 1 4) Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de P(y) = 4y2 + y4 - 5. a) 5 d) 3

b) 6 e) 2

c) 7

5) ¿Cuántos factores primos lineales se obtiene al factorizar: P(x; y) = 4x2y2 + 12xy3 + 9y4? a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3


6)

13) Factoriza: M(a) = a3 - a + 6 e indica el factor lineal que se obtiene.

5x + 7y + 9 5x + 4y + 8 5x + 3y + 7 4x + 7y + 6 4x + 6y + 7

b) 2 e) 5

b) 6 e) -1

5)

a) a + b b) a - b d) c - a e) ab

6)

c) 3

c) b - c

Factoriza: P(x) = 15x2 - 22xy + 24x + 8y2 - 16y y da el término independiente de un factor. a) 1 d) 3

15) Da un factor de: a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b + 2abc

c) 8

Halla el número de factores primos de: x3(x + 10) + 3x2(x + 10) + 3x(x + 10) + x + 10 a) 1 d) 4

7)

b) 2 e) 4

b) 2 e) 5

c) 3

Halla la suma de todos los factores primos de: E = (x - y)a2 + (y - x)b2 a) 2a - x d) 2a + x + y b) 2a + x e) a2 - b2 c) 2a + x - y

1)

¿C uántos factores primo s lineales se obtiene al factorizar 4x4y + 4y - 17x2y? a) 1 d) 4

2)

a) 2x + y + 1 d) 2x + y - 1 b) 3x + 5y + 4 e) 5x + 3y - 4 c) 2x + 3y - 1

3)

b) 2 e) 5

x3 - 3x2 + 4x - 2 x3 + 2x2 - x - 2 x3 + 6x2 + 15x + 14 x3 - x - 6 x5 + 4x4 - 10x2 - x + 6 12x3 + 16x2 + 7x + 1

Factoriza por aspa doble especial los siguientes polinomios: * * * *

8)

c) 3

Factoriza, por el método de los divisores binómicos, los siguientes polinomios: a) b) c) d) e) f)

c) -7

11) Factoriza: P(x, y) = 6x2 + 19xy + 15y2 - 17y - 11x + 4 y señala un factor.

II BIMESTRE

b) 2 e) 5

Factoriza y da un factor primo: B(x) = 20x4 + 31x2 - 9 a) 5x2 - 9 b) 2x + 1 c) x - 1 d) x2 + 9 e) 4x2 - 1

d) a2 + 4a + 3 e) a2 + 2a + 3

14) Da el número de factores primos de: (2x + 1)a2 - (2x + 1)b2

c) 3

10) Al factorizar x 4 + 2x 3 - x 12, la suma de los términos independientes de sus factores primos resulta: a) 5 d) -4

4)

c) 7

¿Cuántos factores primos de tercer grado se obtiene al factorizar 2a6b3 - 13a3b3 - 24b3? a) 1 d) 4

a) a + 2 b) a - 1 c) a - 3

a) 1 d) 4

Luego de factorizar: 6x2 - 7xy + 2y2 + 12x - 7y + 6, la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos es: b) 5 e) 11

12) Factoriza y da un factor primo: P(x) = 8x2 - 2x - 3 a) 2x - 1 b) 4x - 3 c) 2x + 3 d) x + 1 e) 3x - 1

3x + 4y + 1 2x + y + 3 2x + 3y + 4 2x + 3y + 1 2x - 3y + 4

a) 3 d) 9 9)


Factoriza: P(x; y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18 e indica la suma de sus factores primos. a) b) c) d) e)

8)


ÁLGEBRA

Señala un factor de: F(x; y) = 10x2 + 23xy + 12y2 + 26x + 25y + 12 a) b) c) d) e)

7)


2x4 + x3 - 16x2 + 8x - 1 6x4 + 5x3 + 6x2 + 5x + 6 6x4 - 31x3 + 25x2 - 13x + 6 x4 + 2x3 + 5x + 12

Halla el factor primo que más se repite en 2x7y5 - 3x9y3 + 6x5y8. a) y d) x - y

9)

b) x c) x + y e) 2x - 3y

Halla la suma de los términos independientes de los factores primos de P(x) = x4 + 4x2 - 5. a) 1 d) 0

b) 2 e) 4

c) 3

10) Da la suma de los términos independientes de los factores primos de x2 + 2x + xy + y + 1. a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

- 71 -




ÁLGEBRA

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) De dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente numérico (prescindiendo de los signos) que es factor (o divisor) de los polinomios dados. Para hallar el MCD de varios polinomios se procede de la forma siguiente: a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos. b) El MCD es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes elevados a la menor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios. Ejemplo: El MCD de: 2332(x - y)3 (x + 2y)2 ; 2233(x - y)2 (x + 2y)3 ; 32(x - y)2 (x + 2y) es: 32(x - y)2 (x + 2y)

a) Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.

Resolución: b) El MCM es el producto obtenido al tomar todos los factores comunes y no comunes, elevados a la mayor potencia con la que entran a formar parte en cada uno de los polinomios.

MCM(6, 8) = 24 MCM(A, B) = 24x6y7 4. Sea A = x2 - x - 6 y B = x2 - 4x + 3, halla: MCM(A, B) MCD(A, B) Resolución:

1. El MCM de: 2332(x - y)3 (x + 2y)2 ; 2233(x - y)2 (x + 2y)3 ; 32(x - y)2 (x + 2y) es: 3233(x - y)3 (x + 2y)3

A = (x - 3) (x + 2) B = (x - 3) (x - 1)  MCM(A, B) = (x - 3)(x + 2)(x - 1) MCD(A, B) = (x - 3) 

2. Halla el MCD y MCM de los polinomios: A(x) = (x+3)4 (x2+1)6 (x-2)2 (x+7)6 B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (x-2)4 (x+5)8 C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (x-2)3 (x+3)3 Resolución:

Dos o más polinomios son primos entre sí, si su MCD es la unidad ±1.

Como ya están factorizados el:

EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)

MCD(A, B, C) = (x2 + 1)2(x - 2)2 MCM(A, B, C) = (x2 + 1)6 (x - 2)4 (x + 3)4 (x + 7)6 (x + 5)8

De dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente (prescindiendo de los signos) del cual es factor (o divisor) cada uno de los polinomios dados.

3. Halla el MCM de: A = 6x6y2 y B = 8x4y7.

MCM(A,B) (x-3)(x+2)(x-1) = MCD(A,B) x-3 = (x + 2) (x - 1)

5. Halla el MCD de A = x2 - 5x - 6, B = x2 - 36 y C = x3 - 216. Resolución: A = (x - 6) (x + 1) B = (x + 6) (x - 6) C = (x - 6) (x2 + 6x + 36)  MCD = x - 6

Propiedad: Sólo para dos polinomios A(x) y B(x) se cumple: MCD(A, B) MCM(A, B) = A(x) . B(x)

Para hallar el MCM de varios polinomios se procede de la forma siguiente:

- 72 -




ÁLGEBRA


7)

a) x + 1 b) x - 1 d) x e) 1

1) Halla el MCM de: R(a, b, c) = 8a2c6 S(a, b, c) = 6a5b7c4 T(a, b, c) = 2a4b2c3 a) 24ab2c3 d) b) 24a2b5c2 e) c) 24a2b2

8) 24a4b6 24a5b7c6

9)

a) 12m3n3 b) 36m2n2 c) 36mn d) 6m3n3 e) 36m3n3 3) Halla el MCM de: A = 3x2z B = 4x3y3z2 C = 6x4 12x4y3z2 6x3y4z2

4) Halla el MCD de Q y R, y da como respuesta su término independiente. Q(x) = x2 - 5x + 6 R(x) = x2 - 4x + 3 a) -1 d) -4

b) -2 e) -5

c) -3

5) Halla el MCD de: P = x2 - 2x - 15 Q = x2 - 25 a) b) c) d) e) 6)

(x + 5)(x - 5) (x + 5)(x - 5)(x + 3) x-3 x-5 (x - 5)(x + 3)

Halla el MCD de: A = 2x + 6 B = x2 - 9 a) x + 1 b) x - 2 c) x - 3 d) x + 2 e) x + 3

II BIMESTRE

c) x2

Halla el MCD de los polinomios: P(x) = x2 - 3x - 70 Q(x) = x2 - 5x - 50 a) x + 2 b) x2 c) x + 3 d) x - 10 e) x + 5

2) Halla el MCM de: P(m, n) = 6mn2 Q(m, n) = 9m2n3 R(m, n) = 12m3n

a) 12x4y3z d) b) 12x4y2z e) c) x2y2z

14) Si: A = x2 + x - 6 B = x2 + 4x + 3 calcula: MCM(A, B) MCD(A, B)

Halla el MCD de: M(x) = x2 - 1 N(x) = x2 + 2x + 1

Determina el número de factores del MCM de los polinomios: P(x) = x2 - 3x - 10 Q(x) = x2 - 4 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 2 e) -3

x2 - 4x + 1 x2 - 6x + 3 x2 - 8x + 7 x2 - x + 1 x-2

15) Halla el número de factores primos del MCM de: Q(x) = x4 - 1 R(x) = 6x2 + 6 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

c) 3

10) Halla el MCD de: P = 6x2 - x - 1 Q = 2x2 - 9x + 4 e indica la suma coeficientes. a) 1 d) 4

a) b) c) d) e)

de

c) -1

11) Si: A = x2 - 7x + 6 B = x2 - 5x + 4 , ¿cuál es su MCD? a) x + 1 b) x + 2 c) x + 4 d) x - 1 e) x - 6 12) H a l l a e l M C D d e l o s polinomios: P(x) = 3x2 - 4x - 4 Q(x) = 6x2 + 7x + 2 a) 2x + 3 b) x + 1 c) 3x + 2 d) 2x + 1 e) x + 4 13) Halla el MCD de: A = x2 + 6a2x - 16a4 B = x2 + 4a2x - 12a4

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, etc. La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, y que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas; hojas de cálculo, bases de datos, entre otros.

a) x - a2 b) x2 - a c) (x - a)2 d) 2x - a2 e) x - 2a2

- 73 -




ÁLGEBRA

5)

1)

Halla la suma de los coeficientes del MCD de los polinomios: P(x) = x2 + 7x + 12 Q(x) = x2 + 5x + 4 a) 1 d) 4

2)

c) 3

6)

C al c u l a e l M C M d e l o s polinomios: A(x) = x2 + 4x - 5 B(x) = x2 - 25

b) 4 e) 7

Dados los polinomios: A(x, y, z) = x4y3z6 B(x, y, z) = x5y4z10

a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5 d) xyz4 e) xyz 7)

Halla el MCM de: P = 20x2 + x - 1 R = 25x2 - 10x + 1 a) b) c) d) e)

5x - 1 (5x - 1)2 (5x - 1)2x (5x - 1)2(4x + 1) 4x + 1

8)

Halla el MCD de: A = x2 + 5x + 6 B = x2 + 6x + 8 C = x2 + 7x + 10 a) x + 1 b) x + 2 c) x + 4 d) x + 6 e) x + 10

c) 5

C(x, y, z) = x6y2z5 MCM(A, B, C) indica: S = MCD(A, B, C)

(x - 2)(x - 3)(x + 5) (x - 2)(x + 3) (x + 5) (x + 2)(x + 3)(x + 5) (x - 2)(x - 3)(x - 5) (x - 2)(x - 3)(x - 5)

a) x + 1 b) x + 5 c) x - 3 d) x - 5 e) x - 4 4)

a) 3 d) 6

Da el MCM de: P(x) = x2 - x - 6 Q(x) = x2 - 3x - 10 a) b) c) d) e)

3)

b) 2 e) 5

Halla el MCD de los polinomios: P(x) = 9x2 + 7x - 2 Q(x) = 9x2 + 25x - 6 y da como respuesta la suma de los coeficientes.

9)

Si: A(x, y) = 12xn-1ym+1 B(x, y) = 16xn+1ym-1 cu m p l e n MCM =  x a y 4 , MCD = x6yb, calcula: +b-n R= +a-m a) -1/53 d) -53

b) 53 e) 1/53

c) -1

10) Halla el MCD de: F(x) = 5x3 - 5x2 + 2x - 2 A(x) = 2x3 + 2x2 - 2x - 2 C(x) = x4 + x3 - x2 - x a) x - 1 d) b) (x + 1)2 e) c) (5x2 + 2)

x(x - 1) 1

Halla la suma de coeficientes del MCM de: 9x2 + 13x + 4 18x2 - x - 4 a) 10 d) 13

- 74 -

b) 11 e) 14

c) 12


Pág.

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

77

APLICACIÓN DE LA CONGRUENCIA

81

POLÍGONOS

85

CUADRILÁTEROS

89

PARALELOGRAMOS

94

LA CIRCUNFERENCIA

98

GEOMETRÍA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA

....



GEOMETRÍA


CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Son dos triángulos que tienen sus ángulos respectivos de igual medida y sus lados homólogos de igual longitud.  ABC   PQR

B 

k A





k C

B   50º

Q



m

1. Calcula x si AB = DC.

P



 m

A





k





C

B 

R a

Q

k

x

D

Resolución:

Para poder determinar que dos triángulos son congruentes es necesario que cumplan con uno de los siguientes postulados: 1. Lado - Ángulo - Lado (L - A - L)  ABC   PQR B

50º

E

 E 50º  D

A 50º

x

C

a

 ABD   CDE (L - A - L) x = 50º

2. Calcula MP si AQ = QR. A

C

m

P

2. Ángulo - Lado - Ángulo (A - L - A)  ABC   PQR B

Q

R

m

M

Q A

A



 m

C

P



 m

R

3. Lado - Lado - Lado (L - L - L) B k A

 ABC   PQR

Q



m

II BIMESTRE

k C

P

P

8

Resolución: Q  8 a M x  A P 8

a 12



 APQ   QMR (A - L - A) x + 8 = 12 x=4



m

R

12

R

 MP = 4

- 77 -

R




GEOMETRÍA

3. Calcu la AD si AB = DC y EC = 5.

B

B 

Q

D 100º

 E A

3) En el gráfico, calcula MP si AQ = QR.

x E

A

C

M





C

D

Resolución:

A B

Resolución:

a

B 

 E

  A D x

E x 60º

D 100º

5



A C

a

 ABD   EDC (L - A - L) x=5

a) 12 d) 5

8

R

12 P

b) 3 e) 6

c) 4

 C

4) En la figura, calcula x.

 ADC   BEC (L - A - L) x + 60º = 100º

C B

 x = 40º

16

12

 AD = 5

A a) 22 d) 28

4. Calcula x.

D

x b) 24 e) 30

c) 26

a b x

3x

Resolución:

B

C C

A

C

D E

D + a

a) 2 d) 5



E

b x B

 ADB   EDC (L - L - L) en el  EDC: 2 + 2 = 180º  +  = 90º

b) 3 e) 6

A

12



A 

5) En el gráfico, calcula EF si AB = BC, AE = 4 y CF = 7.

1) Calcula x si AC = CD.

E c) 4

a) 10 d) 14

b) 11 e) 15

B


5 C

A

D

A

3x-8

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

B x

E

- 78 -

c) 12

2) Calcula x si AC = CD.

 x = 45º

5. Calcula x si ABC y CDE son triángulos equiláteros.

F

B

c) 12 C a) 3 d) 7

b) 4 e) 8

c) 6




GEOMETRÍA


7) En la figura, PQ = AC calcula BP. B

 P 

6 A

a) 3 d) 6

B

b) 4 e) 7

15) En la figura, calcu la x si  +  = 70º.

D

B

E

 6 A

C





a) 3 d) 6

c) 5

x



Q

10






b) 4 e) 7

 C

x 

c) 5

A a) 100º d) 140º

8) Lo s trián gu lo s I y II s on congruentes, indica de qué caso se trata.

C b) 120º e) 150º

D c) 130º

12) Calc ula x si AB = BC y BD = BE. B 



E

II

a) A - L - A b) L - L - L c) L - A - L

x

D

I

A d) e)

A-A-A L-L-A

C

a) 15º d) 30º

b) 20º e) 35º

1)

Calcula x si AB = DC. B 

c) 25º

A

50º D

50º

 E x

C

13) Calcula x. 9) Lo s trián gu lo s I y II s on congruentes, indica de qué caso se trata.

B

a) 30º d) 50º

E

x

D II

4

 

 A

a) A - L - A b) L - L - L c) L - A - L

d) L - L - A e) A - A - L

I

b) 1,5 e) 4

C

x 70º

c) 2

14) En la figura, calcu la x si  +  = 60º.

 d) e)

II BIMESTRE

40º

a) 20º d) 45º

40º C

D b) 30º e) 60º

c) 37º

B 

II 

a) L - L - L b) A - L - A c) A - A - L

B E

a) 1 d) 3

 

D el g ráf i co , ca lc u l a x si AB = CD.

A

10) Lo s tr i án g u l o I y I I s o n congruentes. Indica de qué caso se trata.

c) 45º

 2)

I

b) 40º e) 60º

L-A-A L-A-L

A a) 130º d) 110º

x C b) 120º e) 100º

D c) 140º

- 79 -

3)




GEOMETRÍA

Calcula x si AB = EC.

7)

En la figura, calcula x. B

B

El triángulo de Sierpinski

D A

º 40 E

40º a) 30º d) 48º

x

b) 37º e) 50º

c) 40º

En la figura, calcula x.

8)

68º

A

a) 66º d) 68º

5)

b) 75º e) 90º

c) 80º



B

x



b) 54º e) 56º

C

70º

A

70º E

a) 50º d) 65º

9)

b) 55º e) 70º

a) 48º d) 63º

6)

C



b) 50º e) 68º

C

c) 56º

A

El conjunto de Sierpinski son los puntos que están en todos los triángulos así formados.

70º

70º E

a) 55º d) 65º

b) 58º e) 70º

c) 63º

C

2

R

Q

x 

8

- 80 -

M P



S

D

A a) 6 d) 9

D

10) En el gráfico, PQRS es cuadrado. Calcula RM si NS = 7.

En la figura, calcula x. 2

x

B

x

B

Comienza con un triángulo equilátero. Encuentra el punto medio de cada lado. Borra el triángulo que queda en el centro. Con cada uno de los tres triángulos que has obtenido, repite el proceso para borrar otros tres triángulos, y crear nueve. Se continúa el proceso tantas veces como se desee.

C al cul a x si AB = ED y AE = CD.

80º



D

c) 60º

B

A

C

c) 58º

En la figura, calcula x.

Es un conjunto geométrico que se basa en el triángulo y que es un fractal de los llamados deterministas. Se puede construir de la siguiente forma:

En el gráfico, calcula  si AB = ED y AE = CD.

B



C

D a) 60º d) 85º

4)

130° E

A 50° x

C

b) 7 e) 10

N

c) 8 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7




GEOMETRÍA


APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto contenido en la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo. A M a

b

 

O

OP : bisectriz del

Todo punto contenido en la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento. L

A

a

A Demostraciones

M

a

L : mediatriz de AB.

O

 

P

n

A

n 2b

B

Se observa que: APQ  BQP (L - A - L) x=y

M

O

 

a

n Q  m N

Se observa que: OMQ  ONQ (A - L - A) n=m

Q



a

Resolución:

En todo triángulo, la base media es paralela a la base y además su longitud es la mitad de la longitud de dicha base. B b

Q

N

TEOREMA DE LA BASE MEDIA



a

y

n

 AP = PB

Q B

x

BM : mediana relativa a la hipotenusa AC.

1. Demuestra que MQ = QN.

a

P

C

a

M

P

A

B

a

Resolución:

a

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ



a

P

AOB.



P

A

B

N

2. Demuestra que AP = PB.

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana que parte del ángulo recto es la mitad de la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo. B

Q b

a

TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

C

 MQ = QN

PQ : base media (PQ // AC).

II BIMESTRE

- 81 -




GEOMETRÍA

Resolución: B 1. Calcula x si OM = MP. A

16 x-3

O

70º 70º 30º

50º

A

P

M 5

 

x

50º

16

N 1) En la figura, calcula x. 40º

C

16

M

B

El  BMN es isósceles. x = 16 B

D x

 BN = 16

Resolución:

A

4. Halla HC si BH = 8 y HM = 3. A

O

P 10

M 5



M B

B

B

A 8 H

A

80º

2x

C

x C

8 6

D

x b) 4 e) 8

c) 5

3) En la figura, calcula x. B 3x+10

HQC: Notable 37º y 53º: x = 10

B

 HC = 10 2x

2x+20

A

5. Calcula EF si AB = 6, BC = 10 y EC = 5. 4x

2x

C

D

a) 10 d) 8

C

H

L

b) 12 e) 14

c) 15

Resolución: 4) En la figura, calcula x. B

4x = 80º

B



 x = 20º

6

10 F

6

3. Calcula BN si AM = MC = 16. B

x A N

Del

5

E

30º

C

2x+5

x+10

4

EFC: x=3

M

D

Q

Resolución:

- 82 -

 

a) 6 d) 7

3 M

L

A

C

Resolución:

B

50º

c) 4

C

2. Calcula x si AB = CD y L es mediatriz de BD.

80º

b) 3 e) 6


A

 x = 13

A

C

H

Por el teorema de la bisectriz: x - 3 = 10

A

 

a) 2 d) 5

B

x-3

2x-3

 EF = 3

C A

C

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5




GEOMETRÍA


9) Si AB = BC y AB = 16u, halla HM.

5) Calcula x.

13) Halla PQ. B

B

x

18

6



M

A

8 a) 2 d) 10

b) 5 e) 9

A

c) 8 a) 4 d) 9

6) Calcula x.

C

H b) 6 e) 10

Q

P 

C

M 38

a) 6 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

c) 8 14) Halla MN. B

12

16

9u 10) Calcula x si AM = MP.

x

B

b) 6 e) 7

c) 14

 

A

P

M 2x

a) 9 d) 5,5

b) 7 e) 4,5

c) 6

C

a) 1 d) 2,5

b) 1,5 e) 3

c) 2

B a

M

5

P a M

x B

C

12

a) 13 d) 7,5

b) 12 e) 6,5

11) Calcula x si AQ = QP.

10

Q

x

b N

y

18

A

P

a) 12 d) 16

2b C

16u b) 9 e) 18

c) 10

C

a) 1,5 d) 3

12

b) 2 e) 3,5

c) 2,5

R

N b) 14 e) 18

2

A

Q

Q 3x

b

2a

B

c) 9

8) Halla PQ.

a) 12 d) 16

N

15) Halla “x + y”.

7) Halla x. A

P

 

A

8 a) 8 d) 10

C

M

c) 15

12) Calcula x.

1)

B

Calcula x si OM = MP.

C

A x-3

A a) 24 d) 6

II BIMESTRE

x

24 b) 12 e) 36

D O

 

M 5

P B

c) 48 a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

- 83 -

2)




GEOMETRÍA

Calcula x si OM = MP.

6)

Calcula x.

A

10) Calcula x. b

B

a 5x

x P

3x  

O

a) 1 d) 2,5

3)

3b

b) 1,5 e) 3

a) 6 d) 2

7)

b) 8 e) 3



B

a) 4 d) 7

P 6

c) 8

b) 5 e) 10

6

N 70º

A

8)

b) 7 e) 10

c) 8

C alc ula PQ si AB = 6 y AC = 10. B Q

P A

c) 6

 

9)

C

M

a) 1 d) 8

Calcula x si AB = CD y L es mediatriz de BC.

C

14

a) 6 d) 9

Calcula x si L es mediatriz de AC. B L 10 2x 3  A C

c) 2

c) 4

C

4)

b) 1,5 e) 3

Calcula PN.

8

b) 7 e) 10

a) 1 d) 2,5

12

c) 2

3 A

2

2 C 10

B

x

a) 6 d) 9

A

2x+8

M

Calcula x si L es mediatriz de AC. B L

5)

3a

b) 4 e) 3

c) 2

Calcula x. B

B L A

10

80º C a) 10º d) 25º

- 84 -

b) 15º e) 30º

2x c) 20º

D

A 5 a) 10 d) 40

5

x 4 b) 20 e) 15

4

C c) 5


D



GEOMETRÍA


POLÍGONOS DEFINICIÓN

B

Es la figura geométrica cerrada que se forma al unir consecutivamente, tres o más puntos no colineales y coplanares, mediante segmentos; de tal modo que dicha figura limite una región del plano. C

C

A

3. Polígono Equilátero

D

a F

B

E

a

F

Polígono equilátero convexo.

AC es una diagonal

b

Vértices : A, B, C, D, E y F : AB, BC, CD, DE, EF y FA

Todos los lados del polígono están en un solo semiplano.

Polígono ABCDEF. ÁNGULOS DETERMINADOS 2

B A

Es aquel polígono en el cual en uno de sus lados al estar contenido en una recta, se notará que los puntos del polígono se encuentran en un mismo semiplano.

b b

b

b

Polígono equilátero no convexo. 4. Polígono Equiángulo

NOTACIÓN

2

1

b

1. Polígono Convexo

ELEMENTOS Lados

a a

CLASES DE POLÍGONOS A

a

E

 Diagonal: Es el segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos.

D

Es aquel polígono cuyos lados tienen la misma longitud.

C 3

6 6

F

5

 

 D 4

5

SEMIPLANO

3 4

1

Es aquel polígono convexo cuyos ángulos internos son congruentes.

E

 En la figura se tiene el polígono ABCDEF.  Medida de los ángulos interiores: 1, 2, 3, 4, 5, 6

SEMIPLANO





2. Polígono No Convexo Es aquel polígono en el cual uno de sus lados al estar contenido en una recta, se notará que en cada semiplano determinado por la recta hay puntos del polígono. SEMIPLANO

5. Polígono Regular Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez. a a  a

 Medida de los ángulos exteriores: 1, 2, 3, 4, 5, 6

 



a



 a

a SEMIPLANO

II BIMESTRE

- 85 -




GEOMETRÍA

NOMBRE DE ALGUNOS POLÍGONOS Ciertos polígonos, según el número de lados, reciben un nombre en particular.

Demostraciones 1. Suma de la medida de los ángulos internos. Sea un polígono de “n” lados. D

Número de lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Nonágono o eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

15

Pentadecágono

20

Icoságono

A los demás polígonos se les menciona por el número de lados. Así diremos: polígono de 14 lados, polígono de 30 lados, etc.

E

C

1. Se tiene un hexágono equiángulo, entonces el ángulo exterior mide: Resolución:

F B

G

n = 6 (hexágono) Por propiedad tenemos: exterior

H

A Resolución:

Del vértice “A” se trazan (n - 3) diagonales formandose (n - 2) triángulos; sabiendo que en cada triángulo la suma de sus ángulos internos es 180º. 180(n - 2) será la suma total. suma de ángulos = 180(n - 2) internos

360º 360º = = n 6 = 60º

2. Calcula el número de lados de un polígono regular convexo, cuyo número total de diagonales es 54. Resolución: Sea n el número de lados. Por propiedad tenemos: n(n - 3) #D= 2 2 . 54 = n(n - 3) 12 . 9 = n(n - 3)  n = 12

2. Número de diagonales internas del polígono. Sea un polígono de “n” lados.

 número de lados = 12

C

PROPIEDADES B

n : número de lados. Suma de ángulos internos

180º(n - 2)

Suma de ángulos externos

360º

Número total de diagonales

n(n - 3) 2

Máximo número de diagonales de un solo vértice

(n - 3)

Polígonos Regulares o Equiángulos Un ángulo interno

180º(n - 2) n

Un ángulo externo

360º n

3. Calcula x si ABCDEF es un hexágono regular.

D

C A

D x

E

E Resolución: i) Del vértice “A” se trazan (n - 3) diagonales. ii) Del vértice “B” se trazan (n - 3) diagonales. iii) Así sucesivamente.

B

A

F

(n - 3)n será la suma total de diagonales; pero estas operaciones se repiten en pares CA, AC, DA y AD. n(n - 3) # Dtotales = 2

Polígonos Regulares Un ángulo central

- 86 -

360º n




GEOMETRÍA


Resolución: C D

x

E

120º

B

1) Si un ángulo interior es 108º, ¿cuánto mide el ángulo exterior del polígono?

A  60º + x = 120º

a) 72º d) 36º

 x = 60º 4. ¿En qué polígono se cumple que el número de sus diagonales excede al número de sus vértices en 7? Resolución:

c) 180º

2) ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos interiores es 720º? a) b) c) d) e)

# vértices = # lados = n #D=n+7 Por propiedad tenemos: n(n - 3) =n+7 2

b) 108º e) 18º

7) Calcula  si el polígono es equiángulo. C D B

E

A

H a) 135º d) 90º

Pentágono Hexágono Octógono Heptágono Nonágono

n - 3n = 2n + 14 n2 - 5n - 14 = 0 n -7 n +2  n=7

b) 60º e) 75º

D

c) 90º E

Resolución: 2

C

60º 60º

2

60º

B

2

4 120º

120º

A

1

60º

3

3

b

60º

60º

 5+a=7 a=2 4+b=7 b=3 luego: 2p = 15

60º

E

1

B

5) Si el ángulo interior es el quíntuple del ángulo exterior de un polígono regular, ¿cuánto mide la diferencia de los ángulos?

C

x

A

D E

a) 120º d) 150º

b) 30º e) 90º

c) 60º

6) En un polígono regular de 9 vértices, ¿cuánto mide uno de los ángulos exteriores? a) 50º d) 40º

II BIMESTRE

c) 45º

9) Calcula x si ABCDE es un polígono regular.

F

3

b) 36º e) 65º

60º

60º

120º 120º 120º

c) 1260º

a) 30º d) 60º

1

D

120º

a

4) Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 vértices. a) 1080º b) 900º d) 1440º e) 720º

C

x

A

 Heptágono 5. Se tiene un hexágono equiángulo ABCDEF, BC = 2, DE = 1, CD = 4 y AF = 3. Halla su perímetro.

c) 120º

8) Calcula x si ABCDE es un polígono regular.

3) Se tiene un hexágono equiángulo. El ángulo exterior mide: a) 120º d) 45º

G

b) 45º e) 108º

B

2

F



b) 60º e) 30º

c) 20º

a) 36º d) 80º

b) 60º e) 90º

c) 72º

10) En un polígono regular de 10 lados, ¿cuánto mide su ángulo exterior? a) 30º d) 25º

b) 36º e) 45º

c) 18º

- 87 -




GEOMETRÍA

11) Calcula x si los polígonos son regulares.

15) Calcula x si ABCDEF es un polígono regular. B

x

C

A F b) 162º e) 170º

a) 10º d) 45º

c) 110º

b) 20º e) 60º

E c) 30º

b) 36º e) 50º

c) 18º

8) 1)

2)

Octógono Decágono Hexágono Nonágono Heptágono

14) Calcula x si ABCDEF es un polígono regular. B A F a) 30º d) 65º

b) 45º e) 80º

3)

4)

c) 60º

- 88 -

b) 135º e) 175º

b) 270 e) 324

c) 300

B

M F

c) 120º

D

A

a) 30º d) 60º

N E b) 54º e) 45º

c) 72º

10) Calcula x si ABCDEF es un hexágono regular. D

C

c) 16

x

Calcula el número de lados de un polígono regular convexo, cuyo número total de diagonales es 54.

B

a) 9 d) 15

a) 30º d) 60º

b) 10 e) 16

c) 56

En la figura, ABCDE y EFCMN son pentágonos regulares. Calcula m FED. C

c) 135º

¿Cuál es el polígono convexo que tiene 119 diagonales? Da como respuesta el número de lados. b) 15 e) 18

b) 49 e) 63

Calcula el número de diagonales de un polígono regular, sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo exterior equivale a 9 veces la medida de su ángulo interior.

¿Cuánto mide un ángulo interior de un polígono de 18 lados?

a) 14 d) 17 5)

b) 120º e) 160º

9)

c) 15º

Calcula el perímetro de un polígono regular cuyo lado mide 7 cm si la medida de su ángulo interior es el triple de la medida de su ángulo exterior.

a) 240 d) 315

En un polígono regular, el doble del número de diagonales es igual al quíntuplo del número de lados. Calcula la medida de un ángulo interior.

a) 145º d) 160º

D

E

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

a) 108º d) 145º

C x

¿Qué polígono tiene tantas diagonales como lados? a) b) c) d) e)

13) Si el ángulo interior de un polígono equiángulo es 135º, ¿cómo se llama el polígono? a) b) c) d) e)

7)

b) 14º e) 30º

a) 48 d) 72

12) En un polígono regular de 12 lados, ¿cuánto mide su ángulo exterior? a) 30º d) 25º

Calcula la medida de un ángulo exterior de un polígono regular de 24 lados. a) 12º d) 18º

D

x

a) 150º d) 120º

6)

c) 12

E

A

F

b) 45º e) 70º

c) 50º




GEOMETRÍA


CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN Es aquel polígono de cuatro lados. B

A

C

a

b

M

N

a

b

A

 Trapezoide  Trapecio  Paralelogramo

D

D

H

En la figura BC // AD  Bases: BC y AD

Cuadrilátero convexo

1. Trapezoide

 Lados laterales: AB y CD

Es el cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos.

B

Es el cuadrilátero en el cual una diagonal es mediatriz de la otra. D

C

Cuadrilátero no convexo

Cuadrilátero Convexo

a

 

a

C 

Clasificación de Trapecios Considerando la longitud de los lados laterales, se clasifican en: 1. Trapecio Escaleno

b

 B 

 Altura: BH  Base media: MN

1.1. Trapezoide Simétrico

C

B

B

Considerando el paralelismo o no de sus lados opuestos, se clasifican en:

C

A

CLASIFICACIÓN DEL CUADRILÁTERO CONVEXO

D

Trapecio que tiene dos lados laterales de diferente longitud.

b

B

C

A



a

b

BC // AD a≠b

1.2. Trapezoide Asimétrico

A





D

Es el cuadrilátero que no presenta características especiales. B

Del gráfico se observa:

A B

C

D C

 Lados opuestos: AB y CD, BC y AD. A

(Trapecio rectángulo)

D A

 Diagonales: AC y BD.

D

2. Trapecio  Suma de medidas de los ángulos internos.  +  +  +  = 360º

II BIMESTRE

Cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos denominados bases.

2. Trapecio Isósceles Trapecio que tiene los lados laterales de igual longitud.

- 89 -




GEOMETRÍA

B

C 

 

A





C

x

A

D

b

En la figura, BC // MN // AD MN: base media  x =

a+b 2

2. En todo trapecio, la longitud del segmento que tiene por extremos los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases. a

B E

x

C

A

a

b-a 2

n x



A

n D

b

1. En el gráfico, calcula x. B

a

B

  x

C 

n A

a

D

x-a 

a

b-a Q b

 x=

150º

 

60º

D

B

D

b+a 2

b-a si ABCD 2 es un trapecio de bases BC y AD.

2. Demuestra que x =

C

Resolución:

n



Se traza CQ // AB T. base media b-a  x-a= 2 2x - 2a = b - a 2x = b + a

- 90 -

 x=

C



A

Q D a

b+a 2 2x + 2a = b + a 2x = b - a

a+b si ABCD 2 es un trapecio de bases BC y AD. B

m

 x+a=

Resolución:

En la figura, BC // EF // AD, BF = FD, AE = EC b-a  x= 2

m a

Se traza CQ // BC T. base media

1. Demuestra que x =

F

C

b

Demostraciones



b

a

x

En la figura, AP = PD y CQ = QB. m-n  x= 2 

k

A

Resolución:

Q

D

n

N

D

b

B



M

x

P

C

k

B A

1. En todo trapecio, la longitud de la base media es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. a

x

m

D

Teorema de Trapecios

B

C

Observación

A



a

B

BC // AD AC = BD

  x Q  A

C 150º



60º

D

Por propiedad: 2 + 2 + 150º + 60º = 360º 2( + ) = 360º - 210º  +  = 75º Luego en el  AQB:  +  + x = 180º 75º + x = 180º  x = 105º




GEOMETRÍA


2. Calcula la longitud de la base media del trapecio ABCD si BC = 8, AB = 8 y CD = 12, además BC // AD. B 

B

C





A



C

M

53º

45º N

D

1) En el gráfico, calcula x. B

Resolución: A

D B

Resolución: 8 B  



C

8 2

 12

8 

A

A



8

D

12

E

C

M x 12

8

45º

A

53º

a) 100º d) 160º

D

8 + 12 2

B 120º

B



C 130º

A

70º

A

D

a) 30º d) 60º

Q x

x B 40º 60º



130º



A 70º

A

D

40º

b) 45º e) 70º

D

c) 53º

3) En el gráfico, calcula x. B  

Resolución:

C

60º

D

40º

Resolución:  B 

C 3x

x

A

3. En el gráfico, calcula x.



c) 150º

5. En el gráfico, calcula x.

60º C

x

b) 120º e) 170º

D

2) En el gráfico, calcula x.

 x = 10

x

B

50º

Por teorema:

x = 14

 

60º

15

N x=

Sea la base media = x Por propiedad: 8 + 20 x= 2

C

x

60º

60º D

 40º + 60º + x = 180º

x

C A

C

150º

 

60º

a) 90º d) 105º

b) 95º e) 110º

D

c) 100º

 x = 80º

Por propiedad: 2 + 2 = 130º + 70º 2( + ) = 200º  +  = 100º En el  AQB:  +  + x = 180º  x = 80º

4) En el gráfico, calcula x.



x  A

B   130º

C

50º

a) 60º d) 80º

D b) 70º e) 90º

c) 75º

4. En la figura, BM = MC, AB = 8 2 y CD = 15. Calcula MN.

II BIMESTRE

- 91 -




GEOMETRÍA

5) C al c u l a e l p e rí me tr o de l trapezoide simétrico ABCD. B 15 A

B

a) 30 d) 50

b) 35 e) 60

B

x

C

b) 40º e) 45º

c) 50º

C

a) 30º d) 50º

b) 40º e) 55º

10 A

D

c) 45º

8) En el gráfico, BC // AD, AB = a + 12 y CD = 18 - a. Calcula la longitud de la base media del trapecio. B

D a) 10 d) 15

B  

c) 14

5

C

A



D

x

a) 9 d) 12

b) 10 e) 14

c) 11

c) 14



C 

12 D

x b) 20 e) 30

c) 22

1)

a) 30 d) 35

  x

b) 25 e) 40

 

a) 80º d) 95º 2)

x

A

C 80º D

b) 85º e) 100º

c) 90º

c) 34

13) En el trapecio isósceles ABCD, calcula x si BC // AD. B C 3x-60º

a) 20 d) 35

A

D b) 32 e) 38

En el gráfico, calcula x. B

x

C b) 12 e) 18

c) 11

P 3 Q

12) En el trapecio ABCD, calcula x si BC // AD. B C 4x+10º A

A

b) 10 e) 14

B

D b) 12 e) 18

D

15) En el gráfico, ABCD es un trapecio. Calcula x si BC // AD.

C

A

a) 18 d) 24 2x

80º



m

18-a

a) 9 d) 12

c) 6

m

11) Del gráfico, calcula x en el trapecio ABCD si BC // AD.

7) En el trapecio isósceles ABCD, calcula x si BC // AD. B

A

b) 5 e) 10

C

x

D

B  

a) 9 d) 16

D

N

M

10) Calcula la longitud de la base media del trapecio ABCD si BC = 8, AB = 8, CD = 12 y BC // AD.

x+10º

A

a) 30º d) 60º



a) 4 d) 8

c) 40

6) En el trapezoide simétrico ABCD, calcula x.

a+4

B n

C n

A

D

- 92 -



14) En el gráfico, ABCD es un trapecio. Calcula x si BC // AD.

C 5

A

9) Si M y N son puntos medios de AC y BD, calcula MN si además BC = 2k y AD = 12 + 2k.

c) 30

D

En el gráfico, calcula x. B  C  130º x   70º D A a) 50º d) 70º

b) 60º e) 80º

c) 65º


3)



GEOMETRÍA


Los ángulos A y B de un trapecio ABCD miden 80º y 120º, calcula la medida del ángulo agudo que forman las bisectrices exteriores de los ángulos C y D. a) 70º d) 85º

b) 75º e) 90º

6)

c) 80º

Del gráfico mostrado, calcula (x + y). B  C    xy     A D a) 160º d) 190º

4)

70º

x   A a) 75º d) 95º

7)

C

B

En el gráfico, ABCD es un trapecio. Calcula la longitud de la base media si BC // AD.

100º D b) 65º e) 105º

8

c) 85º

A

a) 50º d) 45º

b) 40º e) 55º

8)

b) 10 e) 15

c) 11

a) 8 d) 15

b) 10 e) 18

c) 12

D

c) 13

En el gráfico, ABCD es un trapecio, calcula la longitud de la base media si BC // AD.

c) 60º

10 A a) 8 d) 12

II BIMESTRE

b) 12 e) 15

a) 9 d) 12

C

6

a) 10 d) 14 En un trapezoide ABCD m A = 90º, AB = AD y BC = CD. Si m ABC = 115º, calcula m BCD.

B 10  

Las longitudes de las bases y de la base media suman 30. Calcula la longitud de la base media.

10) Si el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio mide 5 y la longitud de la base mayor mide 20, calcula la longitud de la base menor.

c) 180º

Del gráfico, calcula x.  

5)

b) 170º e) 200º

9)

4 B C    

6 D

P b) 9 e) 14

c) 10

- 93 -




GEOMETRÍA

PARALELOGRAMOS DEFINICIÓN Cuadrilátero en el cual los dos pares de lados opuestos son paralelos y de igual longitud. B

 a



a A

b

b

B

B





1. Romboide Es el paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud. b

B  n

a



n



D

B b

A



45º 45º n

45º n 45º O

C



n

45º 45º

45º 45º 

D

1. En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD), BC = 4 y CD = 6. Calcula AD. B

En la figura: AC = BD O: centro del cuadrado ABCD.

a a





A

En todo trapezoide asimétrico, si se reunen los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo.







b

 

C

B



D En la figura: AC > BD. 3. Rectángulo Es el paralelogramo que tiene

- 94 -

B

Entonces el cuadrilátero MNPQ es un paralelogramo.

TEOREMA

 

Entonces MN // QP; de la misma manera MQ // NP.



Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados de igual longitud.

 

En el  ABC; MN es base media entonces MN // AC.

Es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados de igual longitud y las medidas de sus ángulos iguales a 90º.

n

2. Rombo

D

Q

En el  ADC; QP es base media entonces QP // AC.



En la figura: AC > BD y  +  = 180º.

A D

4. Cuadrado

a

b

a



En la figura: AC = BC





M

b

C

O

C

N

P



O



A

D

b

C



a

CLASIFICACIÓN DEL PARALELOGRAMO

A

Demostración:

C

En la figura: AB // CD y BC // AD

A

los lados consecutivos de diferente longitud y las medidas de sus ángulos iguales a 90º.

N

70º

40º

4

B

C

C

70º

A

M D Q MNPQ: es un paralelogramo.

D

Resolución:

P

A

C

70º

6

70º

4

Q

40º

6

Se traza CQ // AB  CDQ es isósceles  AD = 10


D



GEOMETRÍA


2. En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x.

B

B x A

E

C

B

60º

60º

M

D

x 5 

A

C

5. En el gráfico, ABCD es un romboide y EFGD es un cuadrado. Si AF = FC, calcula .

50º x

B

D BC // AD 5 = 50º  = 10º Luego: 50º + 10º + x = 180º  x = 120º

F A

a) 3 d) 6

P m C 2

B

n 



2a

C a

F a a

G a

a E a

D

2a A Por

 = 53º/2



P m C 2  n n 2 m

4. En la figura, ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero. Calcula x.

A 1) En la figura, ABCD es un romboide, BM = ME, CN = ND, BC = 12 y CD = 4. Calcula MN. B

D

II BIMESTRE

C

  M A

E

A

c) 5

40º b) 8 e) 12

D

c) 9

5) En la figura, ABCD es un rombo y BD = 12. Calcula su perímetro. B

C

x

  D

D

AD = n + m

B

b) 4 e) 7

70º

a) 6 d) 10

n

Q

4) En la figura, ABCD es un trapecio (BC // AD), BC = 4 y CD = 6. Calcula AD. B C

A

Resolución:

A

C

53º/2

D

B

E

A

Resolución:

3. H a l l a A D s i A B C D e s u n romboide.

B P

D

c) 9

3) En el gráfico, ABCD es un romboide, CD = 10, AP = PE y BQ = QD. Calcula PQ.

G

E

D

E b) 8 e) 12

C



B

A

A a) 7 d) 10

 x = 150º

B



N

x + 75º + 75º + 60º = 360º x = 360º - 210º

Resolución:

E

C 

A

D

75º

60º

50º

E

C

x 75º

5 

2) En la figura, ABCD es un romboide, BC = 10, CD = 6, BM = MA y CN = NE. Calcula MN.

Resolución:

a) 8 d) 12

74º

C D

a) 20 d) 60

b) 40 e) 35

c) 50

N D

E b) 9 e) 16

c) 10

- 95 -




GEOMETRÍA

6) En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x. B x 3 C A  E

b) 90º e) 120º

c) 100º

106º

A

C

D

x A

A

D

a) 37º d) 24º

b) 27º e) 12º

E

c) 32

C

M

1)

N

c) 110º

C

A 5x

D

E

b) 20º e) 18º

c) 8

A

20º

x

13) Si ABCD es un cuadrado y el  AED es equilátero, halla x. B x C E

2)

A

D

a) 20º d) 25º

b) 18º e) 30º

3)

B

D

b) 22 u e) 17 u

c) 21 u

Halla AD si ABCD es un romboide. B

m C 2

P

C

A a) 36 d) 32

c) 20 u

E

a) 20 u d) 18 u

14) Si ABCD es un romboide, BO = 2x, OD = 16u y AO = 3x, halla AC.

 D

C  

A

c) 15º

n A

O

c) 35º

b) 16 u e) 24 u

B

b) 48 e) 44



D

a) 2m + n d)

c) 28

b) m + 2n e)

D b) 30º e) 60º



En el gráfico, ABCD es un trapecio de base menor, BC = 8 y CD = 13u. Halla AD si además ABCE es un romboide.

C

E A

 

a) 18 u d) 22 u

c) 30º

10) En la figura, ABCD es un rectángulo. Calcula x.

- 96 -

Si ABCD es un paralelogramo, AB = 9u y EF = 2u, halla AD. B E F C

45

b) 100º e) 140º

b) 6 e) 12

2x

a) 20º d) 50º

c) 52º

D

a) 4 d) 5

9) En la figura, ABCD es un rombo AD = BE. B

B

b) 56º e) 45º

12) En la figura, ABCD es un rectángulo, AM = ME, CN = ND, AD = 8 y CD = 4. Calcula MN.

º

b) 24 e) 42

D

a) 46º d) 48º

c) 16º

A

a) 10º d) 15º

C 62º

B

8) En la figura, ABCD es un rombo. Calcula x. B x 5 C A  E 50º D a) 90º d) 120º

B

x

7) En la figura, ABCD es un rombo de perímetro igual a 60. Calcula AC. B

a) 12 d) 36

15) Siendo ABCD un rectángulo, halla x.

60º

D a) 80º d) 110º

11) En la figura, ABCD es un rectángulo, BC = 4k y CD = 3k. Calcula x. B C E

c) 2(m + n)

D m+n 3(m + n) 2


4)



GEOMETRÍA


Halla x si ABCD es un cuadrado y el  AMD es equilátero. B C M x E

7)

Si A BC D es u n r ombo y BM = MC, calcula x. B

A A a) 36º d) 45º

D b) 30º e) 20º

8) 5)

Si ABCD es un cuadrado y BQPC es un romboide, calcula x. Q

x C

B

x

C

D

a) 45º d) 75º

c) 40º

M

b) 60º e) 53º

B

C

A

D

T

Q

c) 30º

P

Si ABCD es un cuadrado y ECF es un triángulo equilátero, calcula AE/DF. C B

P

10) Siendo ABCD un rectángulo, AP = 8u y CT = 5u, halla BQ.

a) 12 u d) 13 u

b) 9 u e) 14 u

c) 11 u

E A

120º

D F

A a) 20º d) 25º

6)

a) 1/2 d) 1/3

D b) 15º e) 40º

9)

P

M

C N   D

A a) 12 d) 4

c) 1

c) 30º

Si ABCD es un romboide, AM = MB y PN = ND. Además AD = 12 y DC = 4, calcula MN. B

b) 2 e) 3

b) 10 e) 6

II BIMESTRE

Si ABCD es un rectángulo, tal que QC = 13u y CD = 8u, halla el segmento que une los puntos medios de AQ y CD. Q

B

A a) 18 d) 17

C

45º

D b) 19 e) 14

c) 15

c) 8

- 97 -




GEOMETRÍA

LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Es un conjunto de puntos que pertenecen a un plano y que equidistan de otro punto fijo de dicho plano denominado centro.

1. Todo radio es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia.

LS Q E A

O

T LT

 MN : Cuerda.

2. Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a ésta y al arco que subtiende. PH = HQ P mPB = mBQ  A

O

B TEOREMA DE PONCELET a + b = c + 2R b

a

R

B

H

c

 Q

3. A arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes y viceversa.

 AB : Cuerda máxima o diámetro.

B a

 PQ : Flecha o sagita.  EF : Arco EF (mEF: medida del arco EF).

P

T

En la circunferencia de centro O y de radio R se observa lo siguiente:

TEOREMA DE PITOT x

a+b=x+y

Si AB = CD

C

mAB = mCD

a

b

a 

A D

y

: Recta secante.

 LT : Recta tangente.  T

 

L N B

PA = PB

O

P

R

 LS

A

OT  L

O

F M

5. Los segmentos de tangentes trazados desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes.

: Punto de tangencia.

 Longitud de la circunferencia : L

4. En toda circunferencia se cumple que los arcos comprendidos entre cuerdas paralelas tienen igual medida. Si BC // AD B

L = 2R  Medida angular de la circunferencia: 360º.

- 98 -

 A

C

mAB = mCD  D

TEOREMA DE STEINER a-m=b-n B m C n D

b A a




GEOMETRÍA


2. En la figura, calcula r.

Demostraciones 1.

12

a a

b

R R

R a-R

r a+4

c

Luego: c = a - R + b - R

2.

3. En la figura, calcula x si P, Q y R son puntos de tangencia. p

B

65º n

A

y

65º A

50º

x 180º-2x

65º

A

Q

2x

10

C

 x = 70º

b) 2 e) 5

c) 3

3) Calcula “r” si AB = 8. r

C O

50º + 180º - 2x = 90º 140º = 2x

1. Calcula x.

B

a) 1 d) 4 R x

P

c) 4

Q x

2x

B

 a+b=x+y

b) 3 e) 6

P

C

Q

a+b=m+n+p+q x+y=m+n+p+q

a) 2 d) 5

2) Calcula “x” si PQ = 9.

Resolución:

Resolución:

B

3x D

R x

P

b

m

B

 r=4

 a + b = c + 2R

a

2x C

Apli camos el teorema de Poncelet: a + 12 = a + 4 + 2r 8 = 2r

Resolución:

q

A

Resolución:

b-R

x

1) Calcula “x” si AB = 20.

37º

A a) 4 d) 2

b) 6 e) 5

B

c) 8

5

A

3x

D

4) Calcula “r” si PQ = 3. r

Resolución:

O

Aplicamos el teorema de Pitot: 2x + 3x = 10 + 5 5x = 15  x=3

II BIMESTRE

53º

P a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

Q

c) 5

- 99 -




GEOMETRÍA

5) Cal cu la “ r ” s i AB = 5 y AC = 12.

10) Calcula “x”. 2x B

15) En la figura AB = 8, AD = 7 y CD = 3. Calcula BC.

C

B 8

12

B C

A r

8x

A

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 1/2

c) 3

6) Calcula “r” si AB = 6 y BC = 8. A

a) 1 d) 4

A

D c) 3

b) 2 e) 5

D b) 3 e) 1

a) 2 d) 5

c) 4

11) Si AC = 26 y BC = 22, calcula “R”. Además “T” es punto de tangencia. A B C T R

r B

1)

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

7) Calcula la flecha correspondiente a la cuerda AB si AB = 8. A

c) 3

Q

13

b) 7 e) 10

2x

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

A a) 37º d) 60º 2)

B

b) 53º e) 45º

c) 30º

12

a r

D 6x C

a) 1 d) 4

(a+4) E

2x

b) 2 e) 5

c) 3

a) 1 d) 4 3)

b) 2 e) 5

c) 3

Si el cuadrilátero mostrado es circunscriptible, calcula x. 15

14) Si las dos circunferencias son congruentes, calcula x.

C

x

En la figura, calcula r.

13) Si D, E, C y B son puntos de tangencia, calcula x.

A 12 B

c) 8

c) 5

C

O

M

8) Calcula la flecha correspondiente a la cuerda PQ si PQ = 24. P

9) Calcula x. B

c) 14

R

b) 4 e) 1

a) 6 d) 9

b) 13 e) 16

12) Si AC = 12 y BC = 10, calcula “R”. Además “M” es punto de tangencia. C A B

B

5

a) 5/2 d) 2

a) 12 d) 15

En la figura, calcula x si O es centro, AO = 5 y OC = 3.

2x 10 A a) 2 d) 5

- 100 -

5 3x b) 3 e) 1

A

c) 4

B 25

x

D

3x

M N a) 100º d) 130º

b) 110º e) 140º

c) 120º

a) 4 d) 9

b) 6 e) 5

c) 8


4)



GEOMETRÍA


En la figura, calcula x si O es centro y B es punto de tangencia.

7)

En la figura, el perímetro del triángulo ABC es 30 y AB = 12. Calcula BF.

P

B A

25º O

5)

x

Q

D

B C

R E

b) 50º e) 35º

C D

a) 2 d) 5

c) 40º a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

12 b) 3 e) 6

S c) 4

c) 3

En la figura, calcula x si P, Q y R son puntos de tangencia. 8)

B

A

40º

C

b) 55º e) 70º

C A

c) 85º

En la figura, calcula el radio r de la circunferencia inscrita en el sector AOB. A

a) 20º d) 50º

9)

La geometría no euclideana continuó siendo durante décadas un aspe cto margi nal de l a matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinarias de Riemann (1826 - 1866).

x

D

E b) 30º e) 60º

c) 40º

C

r

74º

4 16

b) 2 e) 6

II BIMESTRE

30º

A B

a) 1 d) 4

O

En la figura, calcula el perímetro del trapecio ABCD. B

O

Un gran geómetra

B

Q

a) 65º d) 80º

En la figura, calcula x si O es centro y BC = CD.

R x

P 65º

6)

3x

F

A a) 25º d) 45º

10) En la figura, calcula x si P, Q, R y S son puntos de tangencia.

c) 3

a) 12 d) 26

b) 22 e) 30

D

c) 24

- 101 -




GEOMETRÍA

- 102 -


PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

105

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

108

GEOMETRÍA ANALÍTICA

113

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

117

ECUACIÓN DE LA RECTA

121

NÚMEROS REALES

125

TRIGONOMETRÍA II BIMESTRE



TRIGONOMETRÍA


PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS MOTIVACIÓN Uno de los genios más extraordinarios de la historia de la matemática fue el matemático alemán Karl Friedrich Gauss (17771855). Gauss demostró antes que nadie el Teorema Fundamental del Álgebra y efectuó importantes estudios que lo llevaron a dejar fundamentada la Aritmética superior. Su obra principal fue Disquisitione Karl Friedrich Gauss Arithmeticae.

Razones Trigonométricas de ángulos complementarios 

 b

sen   cos  

tg   ctg   Razones Trigonométricas Recíprocas Si  es un ángulo agudo se cumple: csc   sec  

b a ; cos   sen   c c

b a ; ctg   tg   a b

sec   csc  

1  sen   csc   1 sen 

+ =90°

c

a

c c ; csc   sec   a b

 seno y coseno

1  cos   sec   1 cos 

tangente y cotangente secante y cosecante.

1 ctg    tg   ctg   1 tg 

Se denominan co-razones trigonométricas una de la otra respectivamente.

Ejemplo: Determinar x en cada uno de los casos: Ejemplo:

ángulos iguales

1. Si : cos (60°  5 x ).sec x = 1  60°  5 x = x

60° = 6 x x = 10° ángulos iguales

Determinar x.

1. Si : tg 3 x  ctg 3 x  3 x  3 x  90 6 x  90 x  15

2. Si: sec(4x–20°) = csc7x  4x – 20°+7x = 90° 11x = 110°

2.

Si : tg 3 x.ctg (80°  5 x ) = 1  3 x = 80°  5 x

x = 10°

8 x = 80° x = 10° II BIMESTRE

105

1.




TRIGONOMETRÍA

Calcular x, si: sen x  csc15  1 Rpta.:...........................................................

11. Sabiendo que: cos(60°–x) . sec2x=1 sen3x=cos3y Determine (2y –x) .

2.

Calcule x, si: cos3x.sec12°=1 Rpta.:...........................................................

3.

4.

Rpta.:........................................................... 12. Determine: (3y – x), si: cos2x . secy=1

Calcule x, si: tg4x . ctg(2x+30°)=1

tg40° . ctg2y=1

Rpta.:...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Calcule x, si: sec(2x– 50°) . csc(x+20°)=1

13. Determine x. 16

x tg 15

 8

ctg 75

Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 5.

Calcule x, si: tg2x=ctg60° Rpta.:...........................................................

6.

14. Calcule m del gráfico: A

Calcule x, si: sec(x+20°)=csc(x–20°) Rpta.:...........................................................

7.

Rpta.:........................................................... 8.

 B

D

4

C

Además: tg75  ctg  0

Reduce: sec 20º ctg10º cos 31º   csc 70º tg80º sen59º

Rpta.:........................................................... 9.

m

Simplifique: sen 20 tg35 E  cos 70 ctg55

Calcule: E  sen10  csc 10  3 sec 80 

Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 15. Si:     90 Calcule : E  ctg . ctg 

sen cos 

Rpta.:...........................................................

10. Reduce M = cos22º (sec22º – 8csc68º) Rpta.:...........................................................

106


1.



TRIGONOMETRÍA


Calcule x, si: tg  2 x  40   ctg  x  10   1

6.

Rpta.:........................................................... 7. 2.

Simplifique: cos 8 sec16 tg25 E   sen72 csc 74 ctg65

10°

Calcule tg x, si: tg(x+10°)=ctg(x – 10º) A) 4 B) 1 C) 5 D) 3 E) 2

9.

Simplifique: E = (sen 40° + 2 cos 50°) . csc 40°

Rpta.:...........................................................

A) D)

1 4

B) E)

2 5

C)

3

10. Simplifique: E = tg 10° . tg 20°. tg 30° ... tg 80°

Reduce:

E  tg1  tg2  tg3... tg89 Rpta.:........................................................... 5.

Calcule y, si: cos 2y . sec 20° = 1 A) 5º B) 20° C) D) 30º E) 15°

Calcule: E  9  sen40  csc 40

4.

30°

8. Rpta.:...........................................................

3.

Calcule x, si: senx . csc 10° = 1 A) 10° B) 20° C) D) 5° E) 15°

A)

1

B)

D)

2 3

E)

2

C)

3

3 3

Calcule x, del gráfico: A 8  B

D

x

C

Además: tg  2  45   ctg  0

Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

107




TRIGONOMETRÍA

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁGULOS

MOTIVACIÓN

Es decir: C

Introducción histórica Uno de los más grandes algebristas del siglo XIX fue el matemático noruego Hiels Henrik Abel (1802-1829). Abel demostró el teorema general del binomio y la imposibilidad de la resolución de las ecuaciones de quinto grado. Por su trabajo sobre las funciones elípticas obtuvo el Gran Premio de Matemática del Instituto de Francia.

C Lsec





A

B

L

A

B

L

II. Conocido el ángulo agudo y el cateto L opuesto a dicho ángulo. C

CÁLCULO DE LADOS

y

Es el procedimiento mediante el cual se calculan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado y un ángulo agudo, también conocido. El criterio a emplear es el siguiente:

Ltg



x  ctg  x  L ctg L y  csc   y  L csc  L

L

x

A

Aplicando:

B

C lado desconocido =R.T  ángulo conocido  lado conocido



 B

A

Se tienen los siguientes casos:

Lctg

A

B

C

Conocido el ángulo agudo y el cateto adyacente a dicho ángulo.

Aplicando :

L

L

C Aplicando:

y

x

 L

B

x  tg   x  L tg  L y  sec   y  L sec  L



x  sen  x  Lsen L y  cos   y  L cos  L

x

y

A

B

Es decir:

C

C

L

L

 A 108

L

III. Conocido el ángulo agudo y la hipotenusa L del triángulo.

Es decir:

A

Lcsc

L

Despejándose de esta expresión, el lado incógnita. La R.T. a colocar; responde directamente a la posición de los lados que se dividen respecto al ángulo conocido.

I.

C

Lsen

 B

A

Lcos

B




TRIGONOMETRÍA


ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Línea Visual:

El área de un triángulo cualquiera es igual al semiproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. En el gráfico; S área del triángulo ABC.

Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que se observa.

Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador.

B a

h

c

H

A

Línea Horizontal:

S

b.h 2

En el gráfico: vi línea

C

b

plano horizontal

  línea

pero: h=a senC

visua l

b.a sen C ab S  . sen C 2 2 Es decir: S

sual

 y  :ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en:

ab ac bc sen C  sen B  sen A 2 2 2

 :ángulo de elevación

Por ejemplo; en el triángulo ABC:

 :ángulo de depresión

B

Los problemas en este capítulo, son básicamente para dibujar correctamente el enunciado, reconociendo los ángulos de elevación y depresión para su correcto trazo.

7 A

37°

S

Por ejemplo:

10 C 7.10 sen37 2 3 pero : sen37  5 7.10 3 luego : S  . 2 5  S  21

1.

Un niño de estatura h observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación  .

S

53º 5

l visua

3

 horizontal

37º

h

4 2.

ÁNGULOS VERTICALES

Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación  .

DEFINICIÓN Los ángulos verticales son aquellos que están ubicados en un plano vertical. Esto es, los ángulos verticales formados por una línea visual y una línea horizontal.

II BIMESTRE

punto en tierra

l ua vis

 horizontal

109

3.




TRIGONOMETRÍA

Desde lo alto de una torre se divisa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión  .

 



horizontal vis ua l objeto

6. 4.

Un niño de estatura h divisa una hormiga en el suelo con un ángulo de depresión  .

horizontal v

Un niño observa los ojos y pies de su padre, con ángulos de elevación y depresión  y  , respectivamente



al isu



h



hormiga

5.

1.

Desde lo alto de un poste se ve lo alto de un edifico con un ángulo de elevación  y desde lo alto del edificio se ve la base del poste con un ángulo de depresión  .

Calcule BC en el gráfico:

Los gráficos en realidad, deben ser referenciales y lo más concretos posibles.

4.

Calcule el perímetro del triángulo dado:

B

 C

A

10



a

Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 2.

Determine x; en el triángulo 5.

Calcule sen , si ABCD es un rectángulo.. B

8

2

C



60° x Rpta.:...........................................................

3.

2

Determine el perímetro del triángulo dado:

3

A

D

Rpta.:...........................................................

m 

Rpta.:........................................................... 110


6.



TRIGONOMETRÍA


Calcule, sen , si ABCD es un rectángulo.. B

C

12  A

9

Rpta.:........................................................... 16

D

Rpta.:........................................................... 7.

Una persona de 2m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45°. Si la altura del poste es de 20m. ¿A qué distancia de él se halla la persona?. Rpta.:...........................................................

8.

11. Desde la parte más alta de un edificio situado a una distancia d de una torre se le ve la parte más alta con un ángulo de elevación  y la más baja con un ángulo de depresión . Calcule la altura de la torre.

Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45°. ¿Cuánto mide cada piso del edificio?, si el punto observado se halla a 24m del mismo.

12. Un niño de 1,5m de estatura; está ubicado a 6m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? Rpta.:........................................................... 13. Desde un punto en tierra se divisa una antena que se halla sobre una casa bajo un ángulo de 60°. La parte superior de la casa de elevación de 30°. Si la antena mide 8m, ¿cuál es la altura de la casa? Rpta.:........................................................... 14. Determine x, del gráfico.

B

Rpta.:........................................................... 9.

Desde lo alto de un árbol se ve un pajarito en tierra 1 con un ángulo de depresión “  ” ( ctg  ). ¿A 3 qué distancia de la base del árbol se halla el pajarito; si el árbol mide 9m? Rpta.:...........................................................

10. Una colina está inclinada un ángulo “  ” respecto a la horizontal. A una distancia d del inicio de la colina y sobre ella se encuentra un objeto. ¿A qué altura se encuentra éste respecto a la horizontal?

45° A

x

 D n C

Rpta.:........................................................... 15. Calcule tg x, del gráfico. B x

Rpta.:...........................................................  A

3

D

2

C

Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

111

1.




TRIGONOMETRÍA

Desde un punto ubicado a 24m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre?

7.

Calcule el perímetro del triángulo ABC. C 4

Rpta.:........................................................... 2.

3.

Una persona de 2m de estatura, ubicada a 32m de una torre de 34m de altura; divisa la parte más alta con un ángulo de elevación de: Rpta.:........................................................... Desde lo alto de un edificio de altura h se divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión . ¿A qué distancia de la base del edificio, se halla la piedra?



B A) B) C) D) E) 8.

A

4(sen  + cos ) 4( tg  + ctg ) 4(1+ sen  + cos ) 4(1 + sec  + csc ) 4(1 + csc )

Calcule AC en el gráfico. B

Rpta.:........................................................... 

4.

Desde un punto en Tierra se divisa lo alto de una torre con un ángulo de elevación . Si el observador se acerca 20m el ángulo de elevación sería . Calcule la altura de la torre, si además se sabe que: ctg  ctg  0, 25

H  A

A) C) E)

Rpta.:........................................................... 5.

Desde lo alto de un faro se oberva a un mismo lado, dos barcos con ángulos de depresión  y (  <  ). Si la altura del faro es de 15m, calcule la distancia de separación de los barcos, si: ctg  – ctg  = 0,8 Rpta.:...........................................................

6.

Calcule BC en el gráfico:

B) D)

C

H(ctg  - tg ) H(tg  - tg )

Desde un punto de tierra ubicado a 10 m de una torre, se observa la parte más alta con un ángulo de elevación . Calcule la altura de la torre; si: tg  = 2/5. A) 2m B) 3m C) 4m D) 1m E) 5m

10. Un niño de 1,5m de estatura divisa una piedra en el suelo con un ángulo de depresión de 37º. ¿A qué distancia del niño se encuentra la piedra? A) 1m B) 3m C) 5m D) 4m E) 2m

C

x

9.

H(ctg  + tg ) H(tg  + tg ) H(ctg  - ctg )

D

m  A

B A) C) E)

112

m sen  m tg  m ctg 

B) D)

m cos  m sec 




TRIGONOMETRÍA


GEOMETRÍA ANALÍTICA

MOTIVACIÓN Uno de los mayores aportes a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1 736-1 813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época, y, además del Álgebra, destacó en otras disciplinas. Su mayor aporte al Álgebra es su famosa memoria Sobre la resolución de las ecuaciones numéricas, escrita, en 1 767.

PLANO CARTESIANO Llamado también sistema de coordenadas rectangulares, es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema.

rectas, las cónicas (parábola, elipse, hipérbola), la circunferencia y otras curvas maravillosas (lemniscatas, cicloides, espirales de Arquímedes, etc.); que son materia de análisis en un curso más completo de Geometría Analítica que el que aquí presentamos.

Y IIC

(+)

IC

PAR ORDENADO (X;Y)

(+)

Es un conjunto formado por dos elementos que tienen un orden establecido, el primer elemento pertenece al eje de las abscisas, el segundo elemento pertenece al eje de las ordenadas.

X

()

IIIC

()

IVC

x: ubicación del punto respecto del eje de abscisas y: ubicación del punto respecto del eje de ordenadas.

En el gráfico adjunto se puede apreciar la división del plano en cuatro regiones, cada una de las cuales se va a denominar cuadrante y tienen la numeración que se indica. Las rectas numéricas se llaman: eje X: eje de abscisas. eje Y: eje de ordenadas.

UBICACIÓN DE UN PUNTO Un punto queda localizado en el plano cartesiano; cuando se conocen los valores que le corresponden a la proyección del punto sobre cada uno de los ejes. En el gráfico:

Nota: Los cuadrantes no consideran a punto sobre el eje X e Y. Sobre este plano cartesiano, René Descartes dio origen a su Geometría Analítica y a representar geométricamente ecuaciones algebraicas que relacionaban dos variables (x e y); tal es el caso de las

II BIMESTRE

Y P(x;y) y

y 0

X x

113




TRIGONOMETRÍA

x e y: componentes de P.

A(1; 5) y B(–2; 2)

El punto es:

2

d(A;B)  1   2   5  2

P(x; y) x: abscisa de P.

2

d(A;B)  9  9  18  d(A;B)  3 2

y: ordenada de P.

OP : radio vector DISTANCIA HORIZONTAL (DH)

Se cumple: 2

2

r  x y

2

;r>0

Dado los puntos P(x1; y) y Q(x2; y), entonces la distancia horizontal (DH), se calcula restando las abcisas de P y Q.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS









Dados los puntos A x1; y1 y B x 2 ; y 2 ; la distancia entre ellos es calculada así: A(x1 ; y1)

D x x



H

2

1

, donde x  x 2

1

Ejemplos: 1. Hallar la distancia horizontal entre P(–4; 3) y Q(5; 3)  D H  5  (4)

 DH  9

B(x2 ; y2) DISTANCIA VERTICAL (DV)

x

d(A, B) 

2

x

2

1

  y

2

y

1



2

Ejemplo:

Dado los puntos P(x; y 1) y Q(x; y 2 ), entonces la distanci a vertical (D V), se ca lcula restando las ordenadas de P y Q.  D  y  y , donde y  y V

Y

-2

2

1

1. Hallar la distancia vertical entre A(–4; 5) y B(–4; –3).  D  5  (3)

2

V

1

 D 8 V

X

2. Hallar la distancia vertical entre R(2; 16) y S(2; 4).  D V  16  4

114

1

A(1;5)

5 B(-2;2)

2

 D V  12


1.



TRIGONOMETRÍA


Indicar las coordenadas de cada punto.

10. En el gráfico. Calcule DC. Y

Y A

7 4 C

-8

X

B

1

F

-3 -1

-1

G

D

1 3

5

6

X

D (-5;-4)

C (6;-4)

Rpta.:........................................................... -9

E

11. En el gráfico. Calcule EF. Rpta.:...........................................................

Y E(2;2)

2.

¿En qué cuadrante se ubica P(-3;2)?

X F(2;-3)

Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 3.

¿El punto P(4;0) se ubica en el IC?

4.

Rpta.:........................................................... ¿Cuál es la distancia del punto P(3;6) al eje X?

12. En el gráfico. Calcule MN. M(-4;1)

Y X

Rpta.:........................................................... 5.

N(-4;7)

¿Cuál es la distancia entre P(1;-2) y Q(4;2)? Rpta.:...........................................................

6.

¿Cuál es la distancia entre A(3;5) y B(3;-4)?

7.

Rpta.:........................................................... ¿Cuál es la distancia entre M(-2;6) y N(4;-2)?

Rpta.:........................................................... 13. Determine el perímetro de la figura: Y (6;5)

Rpta.:........................................................... 8.

Dado los puntos P(-6;2), Q(4;2); R(1;5) y T(1;-5). Calcule: PQ E RT Rpta.:...........................................................

9.

En el gráfico. Calcule PQ.

X (-5;-2)

Rpta.:........................................................... 14. Calcule tg  , si: (-3; 7)

Y

Y P(-4;3)

Q(5;3) X



X Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

(-3;-2)

(9;-2)

Rpta.:........................................................... 115




TRIGONOMETRÍA

15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(3;1) y B(7;4). Calcular su perímetro.

Rpta.:..........................................................

1.

Calcule la suma de distancias de los segmentos AB y CD.

6.

Calcule la distancia horizontal:

Y DH

Y

(6; 4)

(-4; 4)

(10;6) B C (7;4)

(-4;6) A

X

X A) D)

D (7;-4) Rpta.:...........................................................

7.

10 5

B) E)

8 4

C)

6

Calcule la distancia vertical: Y

2.

Calcule ctg  .

Y

(3; 4)

(10;8)

DV (3; -2)

X  (-2;-2)

3.

A) D)

(10;-2)

Rpta.:...........................................................

8.

5 2

B(– 2, 2),

C(6; 2) y

B) E)

8 0

C) 6

Calcule: (x0 + y0). Y

Calcule el área del rectángulo cuyos vértices están en los puntos: A(-2; 7),

X

(-3; 3) A

B(4;y0 )

D(6; 7)

X

Rpta.:........................................................... C (x 0 ;-4)

4.

5.

¿Cuál es la distancia del punto P(3; 4) al eje X? A)

3

B)

5

D)

2

E)

7

C)

4

A) D)

1 7

B) E)

3 9

C)

5

¿Cuál es la distancia entre los puntos A(-1; 3) y B(2; 5)? A)

10

B)

13

D)

7

E)

5

116

C)

15




TRIGONOMETRÍA


COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Introducción Histórica

Leonardo de Pisa (1170 - 1250) Fue educado por maestros árabes que le pusieron al corriente de los muchos conocimientos matemáticos heredados de los griegos. En 1202 publicó el Liber Abaci, que constituye una colección de problemas aritméticos y algebraicos, además de una defensa apasionada del sistema de numeración árabe. Es considerado como el matemático más destacado de la Europa Medieval.

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO y P2(x2 ; y2)

M(x0 ; y0) P1(x1 ; y1)

x

Las coordenadas del punto medio M(x0; y0) de un segmento cuyos extremos son: P1  x1 ;y1  y P2  x 2 ;y 2  son: x0 

II BIMESTRE

x1  x 2 2

y0 

y1  y 2 2

117

1.




TRIGONOMETRÍA

Calcule las coordenadas del punto medio del

7.

Calcule las coordenadas del punto “P”

segmento A B cuyos extremos son: A(3;2) y B(9;10) Rpta.:........................................................... 2.

Q(8;12) M(6;9) P(x ; y)

Calcule las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son: P(8;2) y Q(-2;6)

Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 8. 3.

Calcule las coordenadas del punto “M”

Calcule las coordenadas del punto “N” N(x ; y) Q(4;3)

B(9;8)

(6;2)

M

Rpta.:...........................................................

A(1;0)

9.

Calcule las coordenadas del punto “N”

Rpta.:........................................................... 4.

Calcule la suma de coordenadas del punto “M” Q(10;7)

B(4;10) P(10;7)

M

N

A(-4;-4)

M

Rpta.:...........................................................

P(2;5)

10. Calcule las coordenadas del punto medio “M”

Rpta.:...........................................................

(5;10) (10; 8)

5.

Del gráfico, calcule “y0 - x0”:

M

Y B(1;8) (-3; 0)

(x0;y0)

(16; -2)

Rpta.:...........................................................

A(–5;2) X Rpta.:...........................................................

6.

Calcule: E 

Y

b a

Y (–4;7)

(4;3) C

X

(a;b) (6;3)

X Rpta.:...........................................................

118

11. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia.

(1;–3) Rpta.:...........................................................




TRIGONOMETRÍA


12. Calcule el área del triángulo:

14. Calcule la distancia vertical:

B(6;6)

M (–6;5)

(2;5) DV

A(4;2)

C(8;2)

(x;–3)

Rpta.:........................................................... 13. Calcule la distancia horizontal:

Rpta.:........................................................... 15. Del gráfico, calcule: “y0 - x0”

(6;12)

Y B(8;4)

(2;7) A(-2;2)

DH

(x0;y 0)

(–8;2)

X

Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................

1.

Halle:

R

3.

b a

Calcule las coordenadas del punto A(x ; y)

B(9;8) Y

(–2;10)

(a;b)

M(5;4) (8;2)

A(x ; y)

X

Rpta.:........................................................... Rpta.:...........................................................

4.

Calcule las coordenadas del punto A(x ; y). (5;11)

2.

Calcule las coordenadas del punto “R” R (x ; y) A(x ; y) (14;-1)

M(4;2) Q(–4,–2)

Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

(-5;-5)

Rpta.:...........................................................

119

5.




TRIGONOMETRÍA

Calcule la distancia vertical:

8.

Calcule las coordenadas del punto “A”

M (–5;4)

M(12;10)

A

(15;4) B(8;6)

DV (x;–3)

A)

(16;14)

B)

(12;14)

D)

(12;12)

E)

(14;12)

C)

(16;12)

Rpta.:........................................................... 9. 6.

Calcule : E 

Calcule las coordenadas del punto medio del

a b Y

segmento NP cuyos extremos son: N(3;5) y P(7;7) A)

(5;6)

B)

(3;6)

D)

(6;5)

E)

(6;6)

(a;b)

C)

M(4;2)

(6;3)

X (–4;–2)

7.

Calcule las coordenadas del punto “M” A(4;7) M

A)

1

B)

2

D)

4

E)

5

C)

3

B(10, 3)

A)

(5;10)

B)

(7;5)

D)

(7;10)

E)

(5;7)

C)

(10;7)

10. Calcule la distancia vertical: M (–3;7)

(7;7) DV (x;–2)

120

A)

3

B)

1

D)

5

E)

7

C)

9




TRIGONOMETRÍA


ECUACIÓN DE LA RECTA


Peter G. Dirichlet (1805 - 1859) Estudió la convergencia de series demostrando que en una serie completamente convergente el valor de la suma de los términos es independiente del orden de los mismos. Junto con Legendre, demostró el teorema de Fermat para n = 5, ahora tan a de actualidad con la aparentemente buena demostración de Andrew Wytes.

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA La dirección de una recta “L” se indica por el ángulo “  ” que forma con el eje “x”. El ángulo de inclinación “  ” se mide en sentido antihorario desde el eje “x” hasta la recta “L”.

Y

Y

+

L

L 30°

L

90°

X

Y

X

Y L

180°

X

X

II BIMESTRE

121




TRIGONOMETRÍA

PENDIENTE DE UNA RECTA

Ejemplo:

La pendiente de una recta “L” se denota por «m» y se define como la tangente de su ángulo de inclinación “  ”. Es decir:

Calcule la ecuación de una recta que pasa por los puntos A(4 ; -3) y B(7 ; 9).

m  t g

Primero; calculamos la pendiente con los puntos A(4;– 3) y B(7 ; 9).

Ejemplos:

Resolución

Y

m

L 30° o

X

m  t g30 m

3 3

9  (3) 12  4 74 3

Segundo; reemplazamos la pendiente “m” y el punto conocido A(4 ; -3) en la ecuación punto pendiente, así: y =– (–3) = 4 . (x - 4)  y + 3 = 4x - 16 0 = 4x - 16 - y - 3

L



0 = 4x - y - 19

Y 4x  y  19  0 forma general

X

m  t g120 m 3

Si reemplazamos como el punto conocido a B(7; 9) la ecuación resulta la misma. 4x  y  19  0

Si una recta “L” pasa por los puntos P1  x 1 ; y1  y P2  x 2 ;y 2  la pendiente “m” se calcula como sigue: m=

y2 - y1 x2 - x1

PROPIEDADES I.

L

Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C=, su pendiente “m” se calcula como sigue: m

P2(x2;y2)

A B

Ejemplo:

P1(x1;y1)

Calcule la pendiente de la recta cuya ecuación es: 3x - 4y -12 =0

Ejemplo: Calcule la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos P1  2; 3  y P2  5;6  Resolución: m

6   3  52



Resolución: 3x  4y  12  0  m  

9  3 3

ECUACIÓN DE UNA RECTA Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P(x1;y1) es un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda determinada mediante la ecuación: y  y 0  m  x  x 0  forma punto-pendiente

Esta ecuación la convertimos a una expresión lineal y resulta:

m 

II.

3 ( 4)

3 4

Si un punto (a;b) pertenece a una recta “L” de ecuación: Ax+By+C=0 , entonc es debe satisfacer su ecuación, es decir: (a;b)



 L: Ax+By+C=0

Aa + Bb + C=0

Ejemplo: El punto (a;5) pertenece a la recta de ecuación: 2x - 3y - 12 =0. Calcule el valor de “a”.

Ax  By  C  0 forma general

Resolución:

122

(a;5)  L: 2x – 3y – 12 = 0  2a – 3(5) – 27  a= 12=0 2


1.

2.

3.



TRIGONOMETRÍA


Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3;2) y (7;5)

9.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;7) y (6;13)

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1;3) y (7;15).

10. La pendiente de una recta es 6 y pasa por los puntos (6 ; b) y (8 ; 9)“b”. Calcule “b”.

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 45º. Calcule la pendiente de dicha recta.

2 y pasa por los 5 puntos (a ; 4) y (-3;2). Calcule “a”

11. La pendiente de una recta es

Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 4.

Determine el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (-1;3) y (7;9). Rpta.:...........................................................

5.

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (3;4). Rpta.:...........................................................

6.

7.

12. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;4) y (6;12).

Rpta.:........................................................... 13. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-5;1) y (7;3).

Rpta.:...........................................................

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3 y pasa por el punto (5;8).

14. Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es 60º. Halle la pendiente de dicha recta.

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (2;5). 2

15. Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 5 y pasa por el punto (2;5)

Rpta.:........................................................... 8.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3;4) y (4;7).

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

123

1.




TRIGONOMETRÍA

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es

6.

3 y pasa por el punto (3;3). 4

Rpta.:........................................................... 2.

7.

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1;3) y (3;7).

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2;5) y (4;11). A)

1

B)

2

D)

4

E)

5

Rpta.:........................................................... La pendiente de la recta es 2 y pasa por los puntos (10;a) y (a;4). Calcula “a”.

8.

3

Si el ángulo de inclinación de la recta con la horizontal es de 37º. Calcule la pendiente de dicha recta. 4 5 4 A) B) C) 3 4 5 D)

3.

C)

3 4

5 3

E)

Calcule la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (6;9). A)

x-y-9=0

B)

D)

3x-y+9=0 E)

3x-y-9=0 C)

3x+y-9=0

x-3y-9=0

Rpta.:........................................................... 9. 4.

Calcule la ecuación de la recta

Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;7) y (6;13) A) 2x – 3y+8 = 0 B) 3x – 2y +8=0 C) E)

Y 6

3x– y – 8 = 0 2x – 3y – 8 =0

D)

3x – 2y – 8=0

10. Calcule la ecuación de la recta

Y

X

5

4 Rpta.:...........................................................

5.

.

X

–3

Calcule la ecuación de la recta: A) 3x - 4y + 12 = 0 C) 3x - 4y - 12 = 0 E) 3x - 4y + 4 = 0

y 3

-2

B) 3x + 4y - 12 = 0 D) 3x + 4y - 4 = 0

x

Rpta.:...........................................................

124




TRIGONOMETRÍA


NÚMEROS REALES


Agustin Louis Cauchy (1789 - 1857) La definición moderna del concepto de función se debe al matemático francés Agustin-Louis Cauchi. Inició la sistematización de la teoría de grupos, imprescindible en el álgebra moderna y fue uno de los precursores del rigorismos en matemáticas.

DEFINICIÓN Es el conjunto “R”, provisto de dos operaciones; suma (+) y producto (.), de una relación de orden (<) que se lee “menor que” y un axioma llamado “el axioma del supremo”. Cada elemento: a  R, se llama NÚMERO REAL; y los números reales se pueden identificar con los puntos de una recta, siendo esta relación entre los números reales y los puntos de la recta biunívoca, es decir a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real (a esta recta se le llama recta real o recta numérica). (+) –

10 –3 –2 –1 0 2

2.5

+

(–)

DESIGUALDADES Son relaciones de orden que se establecen entre los elementos del conjunto «R»; por ejemplo: a>b

: “a” es mayor que “b”

ab

: “a” es menor o igual que “b”

b
II BIMESTRE

125




TRIGONOMETRÍA

INTERVALOS

TEOREMAS

Son subconjuntos de “R”; y permiten representar gráficamente las desigualdades. Por ejemplo:

1.

1.

Si : a  x  b  a  c  x  c  b  c ; c  R

2.

Si : a  x  b  a  c  x  c  b  c ; c  R

–

a

x

b

+

Intervalo abierto (a< x < b)

3.

Si : a  x  b  c  0  ac  x c  bc

2.

[a; b]

4.

Si : a  x  b  c  0  ac  x c  bc

–

a

x

b

+

5.

Intervalo cerrado (a  x  b)

3.

–

a

x

b

+

< - ; a>

7.

a

+

Intervalo infinito (-  < x < a)

b

1 1 1   a x b

Si : a  x  b ; a , b    1 1 1    a x b

VALOR ABSOLUTO x ; x  0  x  0 ; x  0 x ; x  0 

–

6.

Si : a  x  b ; a , b   

8.

x

–

5.

Si : a  x  b ; a , b    a 2  x 2  b2

Intervalo semi abierto (a
4.

a , b  

 a 2  x 2  b2

6.

Si : a  x  b ;

x

+

Intervalo infinito (b < x < +

Propiedades:

<-; + 

1.

x 0

x0

2.

x a

 x  a ó x  a

–

x

+

Es el conjunto “R“ (- < x <+)

126


1.



TRIGONOMETRÍA


Si -1
8.

Si : -2 < x < 1; determine el intervalo de:



 3x  1 2

Rpta.:...........................................................

Rpta.:...........................................................

2.

Si : -2 < x < 3; determine el intervalo de: 2x  1 3 Rpta.:...........................................................

3.

Si : 1 < x < 2; determine el intervalo de: 1 x



9.

Si : -4 < x < -1; determine el intervalo de: 2 x

Rpta.:........................................................... 10. Si : -3 < x < -2; determine el intervalo de: - 2 x Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 4.

Si : 2 < x < 3; determine el intervalo de: x2

11. Resolver: 3x  1  0 Rpta.:...........................................................

Rpta.:........................................................... 12. Resolver: 3x  1  1 5.

Si : -5 < x < -2; determine el intervalo de: x2 Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 13. Resolver: 2x  1  2

6.

Si : 1 < x < 2; determine el intervalo de: – 2x Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 14. Resolver: 4 x  2  3

7.

Si : 2 < x < 4; determine el intervalo de: – 2x + 3 Rpta.:........................................................... Rpta.:........................................................... 15. Si: 2 < x < 3; calcule: E  x  3  x  1 Rpta.:...........................................................

II BIMESTRE

127

1.




TRIGONOMETRÍA

Si: 1 < x < 2; calcule: E  x  2  x  3

7.

A) D)

Rpta.:........................................................... 2.

Si: y = x2 + 2x + 1; calcule : ymin 8. Rpta.:...........................................................

3.

2

Si: y = 8x – 3x + 2; calcule : ymin Rpta.:...........................................................

4.

Si: 2  x  3 ; calcule : ymin + ymáx En y= 2x2 + x + 1

5.

9.

1;1 2;1

B) E)

1;1 2;1

C)

2;3

Si: 2  x  4 , determine el intervalo de:  3 x  3 3 A)   2 ;  8   

 3 3 B)   ;   8 4

 3 3 D)   2 ;  4   

E)

3 C)  2 ;4 

3   2 ; 4  

Resolver 3x  1  2 2

Rpta.:...........................................................

1 A) x  ; x  1 3

5 B) x  ; x  1 3

Si: 1  x  2 ; calcule : ymin - ymáx

5 5 C) x  ; x   3 3

1 1 D) x  ; x   3 3

En y= x2 + 2x – 1 Rpta.:........................................................... 6.

Si -1 < x < 1; determine el intervalo de: 3x  1 2

Si: 1  x  3 ; determine el intervalo de: 2x + 1 A) 3;6 B) 3;7 C) 2;7 D) 3;6 E) 2;7

5 E) x  ; x  1 3 10. Calcule ymin si : y = 2x2 + 3x - 1

1  x  1 15 A)  8

17 B)  4

17 C)  2

17 D)  8

15 E)  2

128


Pág.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MRU I

131

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MRU II

136

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE

139

VARIADO (M.R.U.V.) I MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) II

143

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE

146

MOVIMIENTO PARABÓLICO

150

FÍSICA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA



FÍSICA


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MRU I Objetivos  Poder describir el movimiento de un móvil.  Conocer los conceptos de velocidad y rapidez así como las medidas del movimiento.

Introducción El movimiento ha sido tema de estudio durante casi toda la historia de la humanidad. En la antigüedad, el hombre observaba el movimiento de los cuerpos celestes. En el siglo XVIII se estudia el movimiento de las moléculas en un gas. En el siglo XX ya se estudia el movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico. Y en la actualidad se estudia el movimiento existente en el interior del núcleo. El movimiento es un fenómeno físico. En la vida diaria suceden muchas cosas, muchos fenómenos relacionados al movimiento, por ejemplo: La luz posee una rapidez de 300000 km/s, ‘‘esto sí que es rápido’’; la rapidez del sonido es de 340 m/s esto explica por qué en las tormentas eléctricas percibimos primero la luz después el sonido. Así como éstas, veremos muchas otras en el transcurso de nuestro estudio que empieza a continuación.

Una tortuga se desplaza a una velocidad de 4km/h.

Tormenta Eléctrica

II BIMESTRE

- 131 -




FÍSICA

1. SISTEMA DE REFERENCIA Constituido imaginario o realmente por un observador que se considera en estado de reposo y un sistema temporal (reloj).

Personaje de la semana

Galileo Galilei

y s Sistema Temporal (reloj)

trayectoria del proyectil

r

x Observador

Móvil .__________________________________________________ __________________________________________________ __________________________________________________

Desplazamiento (r) _________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________ Trayectoria._________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________

Recorrido (s)._________________________________________________ _________________________________________________ __________________________________________________

- 132 -

Nacido en Pisa en el seno de una familia noble, cursó estudios de medicina en la misma ciudad en 1581 y de matemáticas en Florencia, siendo catedrático en Padua entre 1592 y 1610. Construyó un telescopio de 30 aumentos con el que pudo observar los movimientos celestes, descritos en su obra El mensajero celeste. Seguidor del pensamiento de Copérnico, sostiene la teoría heliocéntrica, según la cual los astros no giran alrededor de la Tierra sino que ésta y otros planetas circulan cíclicamente en torno al Sol. La Iglesia emprende un proceso contra Galileo al considerar sus afirmaciones contrarias a la Biblia, lo que le llevará a comparecer ante la Inquisición en 1633 al no retractarse de sus afirmaciones. La condena posterior le confina en Arcetri, a pesar de mostrarse arrepentido, donde seguirá estudiando hasta su fallecimiento. Galileo preconiza la ciencia moderna, al establecer la observación y la experiencia como herramientas básicas del conocimiento y la formulación mate mática como métod o explicativo de la naturaleza. Sus trabajos astronómicos, de suma importancia, describen la Luna y muchos de sus rasgos, detallan la existencia de miles de estrellas y formulan un modelo explicativo de la Vía Láctea. En el terreno de la física, formula una teoría sobre la gravitación, elabora leyes sobre la relatividad del movimiento y describe la uniformidad del movimiento pendular independientemente de la amplitud del mismo.




FÍSICA


2. VELOCIDAD Es una cantidad vectorial que nos expresa la rapidez con que cambia de posición un móvil.

Rapidez .- Es el módulo de la velocidad.

4 m/s

B

4 m/s

A

3m/s

2m/s A

C

4 m/s

A

VA = 2m/s () D

r

A

r

VA = 3m/s ()

A

Velocidad del móvil A

= 2m/s

= 3m/s

4 m/s

VA = 4m/s() ; rA = 4 m/s VB = 4m/s() ; rB = 4 m/s

Rapidez del móvil A

VC = 4m/s() ; rC = 4 m/s VD = 4m/s() ; rD = 4 m/s

a. Velocidad Media (Vm) Nos indica el desplazamiento realizado en un intervalo de tiempo.

= r t

Vm =

Unidades m ; km s h

b. Rapidez Promedio (Vp) Nos indica el recorrido realizado por un móvil en un intervalo de tiempo.

Vp =

=s t

La tierra por cada segundo se mueve 30 km., es decir, su rapidez de traslación es 30 km/s y nosotros no la sentimos.

Observación: Para convertir km/h a m/s se multiplica por:

Ejemplo : Transforma km a m h s 36 km h

( )

=

II BIMESTRE

m s

18 km h

( )=

m s

- 133 -




FÍSICA

MRU :

- S i u n mó v i l c am b i a d e _____________ respecto a otro cuerpo que se supone no está quieto, entonces se está ______________________

________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

1s 3m/s

3m/s

Fórmula:

d=v.t

1s

1s

3m/s

3m/s

Unidades:

d

d



v

t

v

5) Coloca “mayor que” (>), “menor que” (<) o “igual que” (=) según sea el caso. - 1 km ____ 100 m. - Velocidad del sonido ____ Velocidad de la luz. - 1 hora ____ 3600 segundos. - 18 km/h ____ 10 m/s.

m

t

km

6) Relaciona correctamente: I. kph ( II. En el vacío. ( III. Velocidad del sonido. (

) ) )

A. Más rápido que el sonido B. 340 m/s C. Kilómetros/hora 1) Relaciona correctamente. a) Movimiento ( b) Factor de ( conversión c) MRU d) Móvil

( (

) avión ) en línea recta y velocidad constante ) 5/18 ) Cambio de posición

2) Para completar: - Para h al lar la di stanci a re c or ri da p o r u n m óv il debemos multiplicar: __________ X __________ - Una señal de tránsito dice 60 km/h, esto quiere decir que el auto puede moverse con _______________________

- 134 -

- L a s i n i c i a l e s M . R . U. significan: _______________________ _______________________ 3) Clasifica como verdadero (V) o falso (F).

7) Un móvil con MRU recorre 200 m en 40 segundos. Calcula su velocidad. a) 5 m/s b) 204 m/s c) 50 m/s

d) 10 m/s e) 15 m/s

• 36 km/h, equivalen a 10 m/s.

( ) El movimiento no es relativo. • ( ) En el M.R.U., la velocidad • puede variar. ( ) 4) Completa: - En el M.R.U. se recorren ________________________ en tiempos ________________ ________________________ -Para convertir km/h a m/s se debe multiplicar por ______.

8) Clasifica como verdadero (V) o falso (F). - Si dos autos parten de un mismo punto “B”, distante 100 m, al mismo tiempo, significa que tienen la misma velocidad. ( ) - En el MRU, la velocidad cambia. ( ) - Distancia es igual que espacio recorrido. ( )




FÍSICA


9) ¿Cuál es la ecuación correcta del MRU? a) e= V t b) V= t e

d) V= e t e) t= e.V

15) Un móvil viaja con una rapidez de 18 km/h. ¿Qué rapidez tendrá en m/s? a) 10 m/s b) 12 m/s c) 5 m/s

d) 30 m/s e) 15 m/s

5) Convierte a m/s. 54 km/h

18 km/h

a) 15 y 20 m/s b) 10 y 5 m/s c) 5 y 10 m/s

d) 15 y 5 m/s e) 10 y 11 m/s

c) V= e.t 6) Convierte de m/s a km/h.

10) Un auto con movimiento uniforme recorre 20 m en 5 s. ¿Cuál es el valor de su velocidad? a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s

d) 8 m/s e) 10 m/s

11) Un tren con movimiento uniforme en 8 s recorre 320m. ¿Cuál es la rapidez del móvil? a) 10 m/s b) 20 m/s c) 40 m/s

d) 60 m/s e) 80 m/s

12) Un móvil con movimiento uniforme recorre 4000 km en 10 h. ¿Cuál es la rapidez del móvil? a) 10 km/h b) 20 km/h c) 30 km/h

d) 40 km/h e) 50 km/h

d= 120m; t= 8s d= 180m; t= 15s d= 150m; t= 12s

¿Cuál es el más veloz? a) B b) C c) A

d) B y C e) Iguales

14) Se tiene 3 móviles con los siguientes datos: Móvil A: Móvil B: Móvil C:

1) Señala V o F según corresponda. El movimiento es:

• Cambio de posición. ( • Cambio de rapidez. ( • C a mb i o d e s i s te m a referencia.

2) S e ñ a l a V corresponda.

(

o

F

) de )

según

• En el MRU, la rapidez varía. (

)

• Es lo mismo decir velocidad que rapidez.

(

vectorial.

(

3) Indica la velocidad del móvil. 1 m/s

a) 1 m/s b) 2 m/s c) 3 m/s

d) 1 m/s () e) 1 m/s ()

4) Indica la velocidad del móvil.

a) 18 y 19 km/h d) 36 y 20 km/h b) 18 y 36 km/h e) 34 y 36 km/h c) 20 y 10 km/h

)

7) Una paloma se desplaza a 14 m/s. ¿Qué distancia recorre en 5s ? a) 60 m b) 50 m c) 70 m

d) 80 m e) 90 m

8) Un móvil tiene una rapidez de 18 m/s durante 2,5 s. ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? a) 54 m b) 45 m c) 40 m

d) 50 m e) 60 m

)

9) Un tren moderno logra moverse a razón de 15 m/s. ¿Qué distancia logra recorer en 4 min? a) 3200 m b) 4800 m c) 480 m

d) 360 m e) 3600 m

10) Si un móvil con un movimiento uniforme recorre 24m en 3s, ¿cuál es su rapidez? a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s

d= 180m; t= 12s d= 80m; t= 5s d= 240m; t= 15s

10 m/s

)

• La rapidez es una magnitud

13) Se tiene 3 móviles con los siguientes datos: Móvil A: Móvil B: Móvil C:

5 m/s

d) 10 m/s e) 8 m/s

¿Cuál es el más lento? a) A b) B c) C

d) B y C e) Iguales

II BIMESTRE

a) 2 m/s ( ) b) 2 m/s () c) 1 m/s ()

d) 2 m/s () e) 2 m/s ( )

- 135 -




FÍSICA

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME MRU II

Presentación Hola amigos espero que sigan estudiando. Hoy veremos el tiempo que emplean 2 móviles para alcanzar el uno al otro y el tiempo que emplearían en encontrarse.

1. TIEMPO DE ENCUENTRO (te)

te = t e V

El Magle v e s u no de l os trenes más rápidos del mundo, pues llega a alcanzar 517 km/h.

t e V

1

2

Frases

d ‘‘En la naturaleza nada hay más antiguo que el movimiento y son muchos y extensos los libros que los filósofos le han dedicado; sin embargo, yo he descubierto que hay muchas cosas interesantes acerca de él que hasta ahora han pasado inadvertidas’’.

2. TIEMPO DE ALCANCE (ta)

ta V

V

1

ta

2

d

ta =

Donde : V >V 1 2

Galileo Galilei

d : separación inicial (en m)

- 136 -




FÍSICA


1) Halla el tiempo de encuentro. a) 10 s b) 20 s c) 30 s d) 40 s e) 50 s

2m/s

3m/s

5) Si parten a las 4 p.m., ¿a qué hora se encuentran los autos? 50km/h

300 km

100 m

2) D e t e r m i n a e l t i e m p o d e encuentro. 3m/s

3m/s

120 m

a) 10 s b) 15 s c) 20 s

d) 25 s e) 30 s

3) Halla el tiempo de alcance. 2m/s 5m/s

60 m

a) 5 s b) 10 s c) 15 s

d) 20 s e) 25 s

4) Indica el tiempo de alcance. 6m/s 3m/s

150km/h

9) Una explosión ocurre dentro del agua, y después de 2s, un buzo logra escucharla. Determina la distancia entre el buzo y el lugar de la explosión. (Vs(agua)= 1500 m/s)

a) 4:30 p.m. b) 5:00 p.m. c) 5:30 p.m.

d) 6:00 p.m. e) 6:30 p.m.

6) Un ciclista cruza un puente en 2 minutos. Si el puente tiene una longitud de 600 metros, determina la rapidez del ciclista. a) 20 m/s b) 10 m/s c) 5 m/s

d) 25 m/s e) 15 m/s

7) Del problema anterior, si cruzara el puente en 5 minutos, halla su rapidez.

a) 2 km b) 3 km c) 4 km

d) 5 km e) 6 km

10) En cual de los siguientes casos la velocidad varía. I.

II.

III. 3

3

3

a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s

d) 8 m/s e) 5 m/s

8) Un muchacho quiere saber qué tan lejos está un cerro, para ello hace sonar fuertemente un pito y escucha el primer eco en 0,5 s. Halla la distancia que los separa (Vs= 340 m/s). a) 90 m b) 85 m c) 75 m

d) 70 m e) 60 m

3

a) Sólo I b) I y III c) II y III

d) Sólo II e) Sólo III

11) Calcula la distancia recorrida por el móvil.

-20

3

0

10 30 m

a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

II BIMESTRE

a) 17 m b) 27 m c) 47 m

d) 57 m e) N.A.

- 137 -




FÍSICA

12) Calcula el desplazamiento.

0

-17

a) 10m b) -10 m c) -17 m

2) Del gráfico mostrado, se puede decir de la velocidad del móvil: 10

d) -27 m e) N.A.

13) Si un móvil se encuentra en x 0 = - 1 7 y f i n al me n t e s e encuentra en x= -7. Calcula el desplazamiento. a) 7 b) 10 c) -10

d) -7 e) N.A.

14) Calcula la distancia recorrida (la figura es un triángulo equilátero).

20 m/s

40 m/s

L=5

L=5

a) 5 m b) 10 m c) 15 m

d) 20 m e) N.A.

15) Del problema anterior, calcula el módulo del desplazamiento. a) 7 b) 5 c) cero

d) 15 e) N.A.

a) Sólo I b) Sólo III c) III y V

a) 20 m/s b) 50 m/s c) 100 m/s

- 138 -

d) 150 m/s e) 200 m/s

d) II y III e) III, IV y V

3) Un niño lanza un grito estando frente a una montaña Si escucha el eco después de 4 segundos, ¿a qué distancia de la montaña se encuentra el niño? (Vs= 340 m/s)

x(m) 10

7

a) 7 m b) 10 m c) 15 m

d) 120 m e) 240 m

4) Se produce una explosión a una distancia de 1020 m. ¿Después de cuánto tiempo se oirá el ruido de la explosión? (Vs= 340 m/s) a) 2 s b) 1 s c) 3 s

20

d) 20 m e) 3 m

8) Dos móviles parten de C y D como se indica, ¿a qué distancia de C se encuentran? 40km/h

D

30km/h

C

140 km

a) 40 km b) 50 km c) 60 km

d) 70 km e) 90 km

9) En el gráfico, ¿en qué tiempo los móviles equidistarán del árbol?

d) 4 s e) 5 s

VA= 3m/s

VB= 2m/s

A

5) Un avión recorrió una distancia de 2800 km con una velocidad de 700 km/h. ¿En qué tiempo recorrió esta distancia? a) 2 horas b) 3 horas c) 6 horas

1) Un avión se mueve con una velocidad de 360 km/h. Esta velocidad en metros por segundo equivale a:

80 m/s

I. Es 30 m/s. II. Es 50 m/s . III. Aumenta de 20 en 20. IV. No es un M.R.U. V. Es variada.

a) 680 m b) 1360 m c) 340 m L=5

60 m/s

7) C a l c u l a e l m ó d u l o d e l d e s p l az am i e n t o d e l m ó v i l mostrado en la figura.

d) 4 horas e) 7 horas

100 m

a) 10 s b) 15 s c) 20 s

d) 25 s e) 30 s

10) Del gráfico, ¿en qué tiempo los autos equidistan del poste?

6) El profesor Omar asomado a la ventanilla de un tren que va a 90 km/h observa que un tren estacionado en la vía adyacente pasa ante él en 5 segundos. ¿Cuál es la longitud de este tren?

15m/s

20m/s

200 m

a) 125 m b) 120 m c) 150 m

B

d) 200 m e) 105 m

a) 5 s b) 6 s c) 7 s

d) 8 s e) 9 s




FÍSICA


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) I Concepto: El Dato El MRUV es aquel movimiento donde la velocidad experimenta variaciones iguales en tiempos iguales. FÓRMULAS DEL M.R.U.V  d = Vit +

 d=

(

V i + Vf 2

Vi = O

Donde:

at2 2

)

Vf Vo a

t

Un móvil parte de reposo su velocidad inicial es:

:

Velocidad Final (m/s)

:

Velocidad Inicial (m/s)

:

Aceleración (m/s2)

V a

(+) : Movimiento Acelerado  Vf2 = Vi2 + 2ad

(aumenta la velocidad)

Movimiento

( - ) : Movimiento Retardado  Vf = Vi + at

Acelerado

(disminuye la velocidad) V a

Ejemplo :

A

1s

1s

2 m/s

2 m/s

B

1s

1s

2 m/s

C

MRU

1s 6 m/s

4 m/s

D

E

8 m/s

Movimiento Retardado o Desacelerado

F

MRUV

Tramo AC : La velocidad se mantiene ______________________. Tramo CF : En cada segundo la velocidad cambia de ______________ a ________________ m/s.

¿Qué significa a = 2m/s2?

Que en cada segundo que transcurre la velocidad del móvil _________________________.

Entonces el cambio de velocidad en un intervalo de tiempo se le conoce como aceleración que en todo momento permanece ________________________.

II BIMESTRE

- 139 -




FÍSICA

1) Completa los valores que faltan: I.

5) C o m p l e t a l a s s i g u i e n t e s oraciones:

Vf = Vi + at I. MRUV significa ___________ ____________________ .

a t2 II. d = Vit + 2

II. En el MRUV la velocidad ___ ___________________en forma constante.

III. Vf2 = Vi2 + 2 a d IV. d =

(

V i + Vf 2

2)

)

t

III. En todo M.R.U.V. los cuerpos viajan con _______________ ______________________ .

at2 2

I.

d = Vit +

II.

Vf2 = Vi2 + 2 a d

III. d =

(

V i + Vf 2

)

t

6) Clasifica con verdadero (V) o falso (F) cada una de las proposiciones. I. En el MRUV la aceleración se mantiene constante. ( )

IV. Vf = Vi + at

II. Un auto puede tener velocidad y no tener aceleración. ( )

3) I. II. III.

III. Un auto puede tener velocidad cero y tener aceleración. ( )

Vf2 = Vi2 + 2 ad 2 d = Vit + a t 2

d=

(

V i + Vf 2

)

IV. En el MRUV no existe aceleración. ( ) t 7) Relaciona correctamente (con flechas).

IV. Vf = Vi + at 4) I.

Vf = Vi +

a t

2 II. d = Vi t + a t 2

III.

d=

(

V i + Vf 2

)

IV. Vf = Vi + 2 at

- 140 -

t

• m/s

• Unidad de Velocidad •

• móvil

• Parte del Reposo

• Motocicleta

•

En el MRUV es cierto que: I. En tiempos iguales se recorren espacios iguales. (V) (F) II. L a a c e l e r a c i ó n v a r í a constantemente. (V) (F) III. La velocidad varía en forma constante. (V) (F) IV. Si un móvil parte del reposo, su velocidad inicial es CERO. (V) (F) 9) Un automóvil con una velocidad de 108 km/h frena a razón de 5m/ s2. ¿Calcula después de qué tiempo se detiene? a) 5 s b) 4 s c) 2 s

d) 8 s e) 6 s

10) Del problema anterior, ¿qué espacio recorrió el automóvil hasta que se detuvo? a) 20 m b) 90 m c) 45 m

d) 270 m e) 180 m

11) Del a figura, calcula la aceleración.

• Unidad de Aceleración•

•

8) Marca con una (X) según sea verdadero o falso.

t=4 s V1= 2m/s

V2= 18m/s

• Vi =0

A

B

2

a) 5 m/s2 b) 4 m/s2 c) 8 m/s2

• m/s

d) 12 m/s2 e) 1 m/s2




FÍSICA


12) Del problema anterior, ¿qué espacio recorrió el móvil entre los puntos “A” y “B”? a) 50 m b) 60 m c) 40 m

d) 30 m e) 20 m

13) Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s en 10 s acelerando uniformemente. Calcula dicha aceleración. a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

2) Una motocicleta se mueve con MRUV y lleva una velocidad de 20 m/s. Si empieza a frenar hasta que logra detenerse en 10 segundos, calcula el espacio que recorrió desde que empezó a frenar hasta que se detuvo. Solución: Vi =

Fórmula

Vf =

e=

Vi + Vf

e=

(Vi) + (Vf)

t= e=

14) Un automóvil que realiza un MRUV emplea 5 s en aumentar su velocidad de 30 m/s a 60 m/s. Calcula el valor de la aceleración. a) 2 m/s2 b) 4 m/s2 c) 6 m/s2

15) Un auto que parte del reposo acelera uniformemente y demora 8 s en adquirir una velocidad de 72 m/s. Calcula el valor de la aceleración. m/s2

a) 5 b) 7 m/s2 c) 9 m/s2

2

2

) ) t

e=

3) Halla la velocidad final de un auto que pasa por un putno con 12 m/s y acelera con 4 m/s durante 3 segundos.

d) 11 e) N.A.

Vi =

Fórmula

Vf =

Vf = Vi + at

e= t=

Rpta.: Vf=

t=

Fórmula

(

e=

Rpta.:

Vi + Vf 2

)

t

t=

e=

1) Un auto con MRUV tiene una velocidad inicial de 5 m/s pero al pasar un cruce empieza a acelerar con 2 m/s2. Calcula el espacio recorrido en 6 segundos.

V1 =

Fórmula

e=

 Si un móvil está frenando su aceleración es positiva. ( )  En el MRUV el movimiento puede ser curvilíneo. ( )  Si un móvil tiene velocidad pero aceleración cero, entonces es un MRU. ( )

a) Vf = Vi + at 2

b) Vf = Vi + at c) e = Vit + d) d =

(

at2 2

Vi + Vf 2

)

t

e) Todas son correctas 8) Un automóvil parte del reposo y acelera con 4 m/s 2 . ¿Qué velocidad tendrá al cabo de 6 segundos? a) 50 m b) 42 m c) 24 m

d) 60 m e) 80 m

Rpta.: 2

a=

5) En cada uno de los siguientes casos, coloca “acelerando”, “desacelerado” o “velocidad constante”, según los datos mostrados: a) Vi= 5m/s; Vf= 10 m/s; t=2s ________________

Solución:

6) Col oca (Sí) o (No) se gún se la proposición correcta o incorrecta.

7) Indica la fórmula incorrecta:

Solución:

Vf =

f) Vi= 15 m/s; Vf=36 km/s; t=5s _________________

Vf = (Vi) + (a)(t)

4) Calcula el tiempo en el que se detuvo un automóvil, si su velocidad era de 20 m/s y recorrió 100 metros hasta detenerse.

Vi =

e) Vi= 24 m/s; Vf= 24 m/s; t=6s _________________

 Si un cuerpo parte del reposo, su velocidad inicial es cero. ( )

t

Solución:

d) 8 m/s2 e) 10 m/s2

m/s2

( (

Rpta.:

d) Vi= 15 m/s; Vf= 0 m/s; t= 3s _________________

e = V i.t + at 2

e=

b) Vi= 0; Vf= 8 m/s; t= 4s ________________

22

e = (Vi).(t) + (a)(t ) 2

t=

II BIMESTRE

c) Vi= 12 m/s; Vf= 4 m/s; t=2s ________________

- 141 -




FÍSICA

9) Un móvil que parte del reposo y realiza un MRUV emplea 10 s en lograr 100 m/s. Calcula el valor de la aceleración. a) 10 m/s2 b) 20 m/s2 c) 5 m/s2

- 142 -

d) 30 m/s2 e) N.A.

10) Un móvil aumenta su velocidad de 36 km/h a 144 km/h en 5s, uniformemente. ¿Cuál es la aceleración en m/s2? a) 8 m/s2 b) 6 m/s2 c) 4 m/s2

d) 5 m/s2 e) N.A.




FÍSICA


MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) II Veamos dos autos que parten del reposo al encuentro.

t

t a2

a1

Vi = 0

Vi = 0

Paso 1: d1 = vit + 1 a1t2 2 pero vi = 0

d1

d2

d1 = 1 a1t2 ... (1) 2

d Entonces sumamos (1) + (2):

Paso 2:

d1 + d2 = d2 = vit + 1 a2t2 2 pero vi = 0

a1t2 a2t2 + 2 2

d = 12 t2 (a1 + a2) 

d2 = 1 a2t2 ... (2) 2

te =

2d a1 + a2

¡Sólo si los móviles parten del reposo!

¿y el tiempo de alcance?

Vi = 0

Vi = 0

a2

a1

d Se obtiene: En la teoría de la relatividad Einstein introdujo el tiempo como Cuarta Dimensión.

II BIMESTRE

ta =

2d a1 - a2

a1 > a2

- 143 -




FÍSICA

1) Si estás a bordo de un ómnibus contesta qué sucede con tu cuerpo cuando: I. El ómnibus tiene aceleración positiva: _________________ _______________________ II. El ómnibus tiene aceleración negativa: ________________ _______________________ III.El ómnibus avanza con MRU: ________________________ _______________________

2) ¿Después de cuánto tiempo el móvil “A” alcanzará al móvil “B”? a = 1ms2

A

v=

2ms

16 m

v = 4ms B

a) No la alcanza. b) Lo alcanza en 4 segundos. c) Lo a l c an za d e s p u é s d e recorrer 48 metros. d) Lo alcanza en 8 segundos. e) C y D son correctas.

3) Dos móviles parten del reposo simultáneamente de un mismo punto acelerando sobre una recta y en el mismo sentido con 2 y 8 m/s2. ¿Qué tiempo después estarán separados 300 m? a) 1 s b) 5 s c) 6 s

- 144 -

d) 10 s e) 7 s

4) Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200m. Si se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos, determina la aceleración del móvil más lento si están en la relación de 3 a 1. m/s2

a) 6 b) 3 m/s2 c) 5 m/s2

m/s2

d) 7 e) 2 m/s2

5) Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en vías paralelas y sentidos opuestos. Cuando sus velocidades son 12 y 18 m/s, sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s 2. Halla el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente. a) 10 s b) 12 s c) 6 s

d) 18 s e) 24 s

6) De la figura, determina el tiempo de encuentro si ambos cuerpos parten del reposo. a1 = 3m/s2

a2 = 1m/s2

8) De la figura, determina el tiempo de encuentro si ambos cuerpos parten del reposo. a1 = 2m/s2

a2 = 4m/s 2

d = 192 m

a) 4 b) 6 c) 8

d) 7 e) 5

9) Del ejercicio anterior, determina la velocidad del móvil de mayor aceleración cuando se produce el impacto. a) 40 m/s b) 20 m/s c) 32 m/s

d) 36 m/s e) 45 m/s

10) Dos móviles que parten del reposo con aceleraciones de 5 m/s2 y 3 m/s2 se encuentran distanciados 64 m. Si viajan en la misma dirección, halla el tiempo de alcance. a) 6 s b) 3 s c) 4 s

d) 7 s e) 8 s

d = 200 m

a) 10 s b) 6 s c) 8 s

d) 7 s e) 5 s

7) Del ejercicio anterior, ¿a qué distancia del móvil de menor acel erac ión se pro duc e e l encuentro? a) 150 m b) 50 m c) 170 m

11) Del ejercicio anterior, ¿a qué distancia del móvil de menor ace l er aci ón se pr od uj o e l alcance? a) 96 m b) 32 m c) 64 m

d) 160 m e) 180 m

d) 30 m e) 120 m




FÍSICA


5) Si un móvil tiene una aceleración constante de 10 m/s2, calcula su velocidad al cabo de 7 s de haber concluido su movimiento (el móvil partió del reposo).

12) ¿En qué tiempo estarán seperados 15 m si parten de l mismo origen?

10 m/s

15 m/s

10 m/s

15 m/s

1) En la figura, halla “V”. 4s

1s

a) 1 s b) 2 s c) 3 s

3m/s

d) 4 s e) 5 s

3 m/s

9 m/s

A

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

d) 19 m e) 20 m

15) En la figura, halla la distancia “d”. 4s

1s 2m/s

d

d) 13 m/s e) 14 m/s

a) 1 m/s2 b) 2m/s2 c) 3 m/s2

2) Un móvil cambia su velocidad de 3 m/s a 5 m/s en 2 s. ¿Cuál es la aceleración de la partida? t= 2s

14) Del problema anterior, ¿qué espacio recorrió el móvil entre los puntos A y B? a) 16 m b) 17 m c) 18 m

6) Un móvil aumenta su velocidad de 5 m/s a 25 m/s en 5 s. Calcula el valor de la aceleración.

B

200 km

a) 1 m/s2 b) 2m/s2 c) 3 m/s2

a) 10 m/s b) 11 m/s c) 12 m/s

5 m/s

3 m/s

a) 1 m/s2 b) 2m/s2 c) 3 m/s2

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

3) Un móvil es acelerado a razón de 5 m/s 2 hasta alcanzar una velocidad de 20 m/s luego de 2s. ¿Cuál fue su velocidad inicial?

a) 30 m b) 32 m c) 34 m

d

d) 36 m e) 38 m

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

7) Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 50 m/ s e n 4 segundos. Calcula el valor de la aceleración. a) 10 m/s2 b) 20m/s2 c) 15 m/s2

d) 25 m/s2 e) N.A.

8) En la figura, determina el tiempo de alcance si ambos móviles parten del reposo. a1 = 6m/s 2

a2 = 4m/s2

d = 100 m

a) 10 m/s b) 8 m/s c) 16 m/s

d) 4 m/s e) 5 m/s

4m/s

3m

d) 80 m/s e) N.A.

V

5m/s

3m

13) D e l a f i g u r a , c a l c u l a s u aceleración.

a) 50 m/s b) 60 m/s c) 70 m/s

4) Un auto que parte con una velocidad de 18 km/h, aumenta su velocidad a razón de 6 m/s cada segundo. ¿Qué velocidad tendrá 10 s después? a) 78 m/s b) 60 m/s c) 66 m/s

d) 68 m/s e) 65 m/s

a) 15 s b) 10 s c) 12 s

d) 14 s e) 2 s

9) Del ejercicio anterior, ¿cuál fue la velocidad del móvil más rápido en el encuentro? a) 30 m/s b) 40m/s c) 60 m/s

d) 50 m/s e) 80 m/s

10) Un autobús de pasajeros emplea 10 s en cambiar su velocidad de 10 m/s a 40 m/s. Calcula la aceleración. a) 1 m/s2 b) 2m/s2 c) 3 m/s2

II BIMESTRE

d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

- 145 -




FÍSICA

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE Caída Libre Es el movimiento de aproximación de un cuerpo a la tierra por acción de la fuerza de la gravedad sin considerar la resistencia del aire.

Vf = Vi + gt

Interesante

h = Vit + 1 gt2 2 Vf2 = Vi2 + 2gh

Siendo: (+) : Cuando el cuerpo baja. (-) : Cuando el cuerpo sube. La ace le raci ón de bi da a l a gravedad (g) dirigida al centro de la tierra tiene un valor constante aproximado de: (latitud 45º)

g = 9,8 m/s2 Como el movimiento de Caída Libre de un cuerpo se realiza con aceleración constante, entonces este movimiento es un caso particular de MRUV por tanto se usa las mismas fórmulas; donde la aceleración a = g y las distancias d = h (altura).

Galileo Galilei (1564 - 1642) Gran físico y astrónomo italiano que por primera vez empleó el método experimental de investigación en la ciencia. Estudió las Leyes de la Caída de los cuerpos y del movimiento de estos por un plano inclinado.

Todo cuerpo cerca de la superficie de la Tierra cae al suelo desde que pierde su apoyo. La causa de este movimiento es la acción de la gravedad. La caída de los cuerpos, es un problema histórico desde tiempos remotos, muchos hombres han tratado de encontrar las leyes del movimiento de los cuerpos. Aristóteles, el más famoso filósofo griego no tuvo éxito en su empeño. En cambio Galileo Galilei, veinte siglos después, descubrió la Ley de la Caída de los Cuerpos, es esta ley la que conocemos actualmente y que estudiaremos en este capítulo.

- 146 -




FÍSICA


CARACTERÍSTICAS:

VB =

 En la altura máxima, la velocidad es nula.

VA = 50m/s A

 La rapidez de subida es igual a la rapidez de bajada en un mismo nivel horizontal.

VC = C

TIEMPO

AD

 El tiempo de subida y de bajada son iguales para un mismo nivel horizontal.

=

h = 55 m D

V=0 5m 1s

V = 10m/s

15 m 1s V = 20m/s

1s

25 m V = 30m/s

1s

35 m V = 40m/s

1s V = 50m/s

45 m

R E C U É R D A L O

A partir de 4 g para un piloto sentado, aparecen los desarreglos fisiológicos, que se manifiestan por la presencia de un velo negro o rojo en los ojos, debido a la desaparición o acumulación de sangre en la cabeza.

1s V = 60m/s

II BIMESTRE

55 m

- 147 -




FÍSICA

1) Un cuerpo se abandona desde cierta altura. Halla su velocidad luego de 3 segundos (g=10m/s2). a) 0 b) 10 m/s c) 20 m/s

d) 30 m/s e) 40 m/s

2) Un cuerpo se deja caer desde un acantilado. Halla la velocidad de dicho cuerpo luego de 5 segundos. a) 10 m/s b) 20 m/s c) 50 m/s

d) 40 m/s e) 30 m/s

3) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál fue el tiempo de subida? a) 1 s b) 3 s c) 2 s

d) 5 s e) 4 s

4) Un cuerpo se lanza hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. ¿En qué tiempo regresa al punto de partida? a) 2 s b) 6 s c) 3 s

d) 8 s e) 5 s

5) Desde lo alto de un edificio se deja caer un cuerpo, llegando al suelo en 4 segundos. Halla la altura del edificio. a) 80 m b) 50 m c) 60 m

- 148 -

d) 40 m e) 70 m

6) Se deja caer un cuerpo desde lo alto de un edificio. Si demora 5 segundos en llegar al piso, calcula la altura del edificio. a) 105 m b) 125 m c) 80 m

d) 45 m e) 150 m

7) Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s. Calcula su velocidad luego de 4 s. a) 30 m/s b) 20 m/s c) 10 m/s

d) 15 m/s e) 0

8) Se deja caer un cuerpo de 2 kg en un lugar donde la resistencia del aire es nula, empleando 6 s en llegar al piso. Calcula desde qué altura se dejó caer (g= 10 m/s2). a) 125 m b) 180 m c) 185 m

d) 200 m e) N.A.

9) Un cuerpo es dejado caer desde 125 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el instante del impacto? a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s

d) 40 m/s e) 50 m/s

10) Un cuerpo es dejado caer desde 80 m de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá 35 m antes de impactar el piso? (g= 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s

d) 40 m/s e) 50 m/s

11) Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con velocidad de 20 m/s. Calcula el tiempo que demora en alcanzar una velocidad de 60 m/s (g= 10 m/s2). a) 6 s b) 7 s c) 8 s

d) 9 s e) 10 s

12) U n p r o y e c t i l e s l a n z a d o verticalmente hacia abajo y luego de recorrer 60 m duplica su velocidad. Calcula el tiempo empleado (g= 10 m/s2). a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

13) U n a m o n e d a s e l a n z a verticalmente hacia abajo con una velocidad de 15 m/s en caída libre. ¿Qué espacio recorre la moneda en el quinto segundo de su movimiento? a) 20 m b) 30 m c) 50 m

d) 60 m e) N.A.




FÍSICA


14) Desde un edificio de 150 m de altura se suelta un objeto “A” y simultáneamente desde el piso se lanza hacia arrriba un objeto “B” con cierta rapidez. Si luego de 3s están separados 60 m, determina con qué rapidez se lanzó “B”. a) 30 m/s b) 25 m/s c) 20 m/s

d) 15 m/s e) 10 m/s

4) En la figura, halla el tiempo de vuelo. a) 5 s b) 30 s c) 15 s d) 10 s e) 50 s

50m/s

5) De la figura, halla el tiempo que estuvo en el aire la esfera.

15) Desde una torre de 45 m de altura se lanza hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Determina la rapidez con la que llega al piso (g= 10 m/s2). a) 35 m/s b) 45 m/s c) 55 m/s

d) 65 m/s e) 75 m/s

a) 6 s b) 10 s c) 15 s d) 4 s e) 24 s

40m/s

60m/s

6) Un cuerpo es dejado caer desde 125 metros de altura con respecto al piso. ¿Qué velocidad tendrá en el instante del impacto? a) 20 m/s b) 35 m/s c) 40 m/s 1) Del ejercicio anterior, ¿cuál será el valor de la velocidad 6 segundos después de haber lanzado el cuerpo? a) 0 b) 50 m/s c) 20 m/s

d) 10 m/s e) 40 m/s

a) 35 m b) 40 m c) 105 m d) 15 m e) 80 m

d) 20√2 m e) 30√2 m

10) Desde la azotea de un edificio de 120 m se suelta una objeto “A” y simultáneamente desde el piso, se lanza otro objeto “B” hacia arriba con una rapidez de 30 m/s. Determina la altura que están separados luego de 3 s. (g=10m/s2) a) 10 m b) 20 m c) 30 m

d) 40 m e) 50 m

d) 50 m/s e) 80 m/s

d) 208 m e) 210 m

30m/s

h

2s

3) De la figura, halla “h”. a) 75 m b) 105 m c) 80 m d) 90 m e) 125 m

a) 15 m b) 15 √2 m c) 20 m

7) Desde la torre se lanza hacia arriba un objeto con una rapidez de 20 m/s alcanzando una altura de 220 m respecto del piso. ¿Qué altura tiene la torre? a) 180 m b) 200 m c) 205 m

2) De la figura, halla “h”.

9) Un niño lanza hacia arriba y desde el piso, una pelota con una rapidez de 20 m/s e inicia un MRU con 5 m/s. Detemina la distancia entre la pelota y el niño, después de 3 s de haber lanzado la pelota.

h

3s

8) Desde la azotea de un edifio se lanza hacia arriba un objeto “A” con una rapidez de 30 m/s y simultáneamente se suelta otro objeto “B” del mismo punto. Determina la altura que están separados luego de 3 s. (g=10m/s2) a) 45 m b) 60 m c) 80 m

d) 90 m e) 100 m

40m/s

II BIMESTRE

- 149 -




FÍSICA

MOVIMIENTO PARABÓLICO Objetivos  Estudiar el movimiento parabólico como la s uper pos ición de d os movimientos simultáneos.  E n e l e j e H o r i z o n t al : Movimiento Rec tilíneo Uniforme.  En el eje Vertical: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.

Introducción En la sección anterior vimos que ocurría cuando un cuerpo era lanzado verticalmente (o bien hacia arriba o bien hacia abajo); y observamos que la trayectoria descrita en cualquier caso era una recta. Ahora se estudiará el lanzamiento de un proyectil ya no verticalmente sino de manera inclinada, y observaremos que aquí la trayectoria seguida para este caso es una curva que se conoce como parábola, es por ello el nombre de movimiento parabólico. Como dijimos antes, el movimiento parabólico se puede estudiar como la superposición de dos movimientos. Esto fue demostrado de manera experimental por Galileo Galilei. Y posteriormente demostrado también matemáticamente. Lo que hizo fue lanzar una partícula

- 150 -

de manera horizontal y simultáneamente dejo caer otra desde el reposo (tal como muestra la figura) y observó que ambos cuerpos descendían recorriendo las mismas distancias verticales en los mismos intervalos de tiempo, es decir siempre se e nc o n tr arán a la misma altura (mismo nivel).

(1)

(2) Vx

Como sabemos, la causante de que un cuerpo tienda a caer es la gravedad que da origen a la fuerza gravitatoria, que es la que obliga al cuerpo a caer o acercarse a Tierra. También dijimos que la gravedad se considerará cerca de la Tierra como 10 m/s2 (siendo su valor real 9,8 m/s2). A continuación, esquematizaremos lo que ocurre cuando una partícula es lanzada con una velocidad inclinada. y 10

g = 10m/s2

40

40

x 20

30

40

50

40

10

40

20

37º 40

40

30 40

(todas las velocidades estan en m/s) 40

* Entre un instante y otro hay un intervalo de 1 s.

40

50




FÍSICA


Importante Eje Horizontal.-

En este eje se observa que la componente de la velocidad (horizontal) no cambia y, esto se debe a que después del lanzamiento no existe fuerza horizontal en dicho eje. Eje Vertical.-

En este eje se observa que el componente de la velocidad (vertical) cambia de valor, y el cambio es de 10 m/s en cada segundo, este cambio se debe a que existe una fuerza vertical siempre dirigida hacia abajo, que es la causante de que el cuerpo al subir disminuya su rapidez y al bajar aumente su rapidez. Las fórmulas a utilizar aquí son las mismas que en MRUV (en el eje vertical). Y la mismas que en MRU (en el eje horizontal). Sin embargo, es importante para facilitar las cosas trabajar los parámetros con signos según sea el caso.

1) Desde la azotea de un edificio de 45 m de altura se lanza horizontalmente una pelota con una rapidez de 20 m/s. Calcula a que distancia del edificio cae dicha pelota. a) 30 m b) 40 m c) 50 m

2) Desde la azotea de un edificio se lanza horizontalmente un objeto y demora en llegar al piso 4 s. Si se lanzó con 30 m/s, calcula la altura del edificio. a) 45 m b) 65 m c) 70 m

II BIMESTRE

d) 80 m e) 85 m

3) Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura se lanza un objeto con Vo =25 m/s y formando 37º con la horizontal. Determina el alcance horizontal de dicho objeto. a) 30 m b) 35 m c) 40 m

En las competencias de salto largo, al realizar dicho salto en las proximidades del mar (costas) es menos ventajosa que hacerlo en zonas elevadas (sierra).

d) 60 m e) 70 m

d) 45 m e) 50 m

4) Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto horizontalmente con Vo =10 m/s y este cae a 50 m del pie del edificio. Determina la altura del edificio. a) 125 m b) 120 m c) 110 m

d) 100 m e) 80 m

5) Se lanza un objeto con Vo =50 m/s y un ángulo de elevación de 53º. Determina la rapidez de dicho objeto luego de 4 s y 7 s del lanzamiento. a) 0 y 30 m/s b) 30 m/s y 30 2 m/s c) 20 m/s y 30 m/s d) 30 m/s y 30 2 m/s e) 30 m/s y 30 5 m/s

6) Un objeto describe MPCL y en cierto instante su velocidad es perpendicular a su aceleración y es 20 m/s. Determina la rapidez de dicho objeto luego de 2s. a) 20 m/s b) 20 2 m/s c) 30 m/s

d) 30 3 m/s e) 40 m/s

7) Desde la azotea de un edificio de 80 m de altura se lanza horizontalmente un objeto con una rapidez de 30 m/s. Calcula a qué distancia del pie del edificio cae. a) 120 m b) 130 m c) 140 m

d) 150 m e) 160 m

8) Desde la azotea de un edificio se lanza horizontalmente un objeto con una rapidez de 25 m/s y cae a 100 m del pie del edificio. Calcula la altura del edificio. a) 70 m b) 80 m c) 90 m

d) 100 m e) 110 m

- 151 -




FÍSICA

9) Desde lo alto de una torre de 105 m de altura se lanza un objeto con una rapidez de 25 m/s y un ángulo de 53º con la horizontal. Determina el tiempo que demora en caer y la distancia al pie del edificio a la que cae. a) 3 s; 45 m b) 4 s; 45 m c) 3 s; 60 m

13) En el siguiente gráfico, halla el alcance horizontal. 30 2m/s

45º

1) La persona que se muestra en la figura describe un MRU y logra agarrar al objeto “A” a tiempo. Determina la altura del edificio.

d) 5 s; 60 s e) 4 s; 75 m 53º

d 10) Desde lo alto de una torre se lanza un objeto con una rapidez de 25 m/s y ángulo de 37º con la horizontal y demora 4 s en llegar al piso. Determina la altura de la torre y a que distancia del piso cae.

a) 300 m b) 240 m c) 210 m

30 m/s

80 m

11) Desde el piso se lanza un objeto con V o =50 m/s y un ángulo de elevación de 37º. Determina su rapidez luego de 3 s y 5 s del lanzamiento. a) 30 m/s y 20 2 m/s b) 40 m/s y 20 m/s c) 30 m/s y 10 5 m/s d) 40 m/s y 20 5 m/s e) 30 m/s y 20 5 m/s

15 m/s

d) 100 m e) 150 m

14) Para el siguiente lanzamiento, halla el alcance horizontal.

a) 120 m; 80 m d) 160 m; 60 m b) 140 m; 60 m e) 80 m ; 60 m c) 140 m; 80 m

A

50 m/s

a) 80 m b) 120 m c) 160 m

d) 200 m e) 15 m

5 m/s

100 m

a) 40 m b) 45 m c) 50 m

d) 55 m e) 60 m

2) EL avión que se muestra describe un MRU con V o =30 m/s. Determina la rapidez del tanque si la bomba hace blanco en el tanque. Vo

h =4,5 m

15) Calcula “x”.

V 20 m/s 45 m

12) En el gráfico, halla el alcance horizontal de la esferita. 60 2m/s

x

45º

a) 125 m b) 100 m c) 80 m d a) 840 m b) 840 2 m c) 250 m

- 152 -

a) 15 m/s b) 18 m/s c) 20 m/s

125 m

d) 60 m e) 70 m

d) 21 m/s e) 25 m/s

3) Determina a qué altura por encima de la pared pasa el objeto si Vo =50 m/s y  =37º.

53º 100 m/s

d) 200 m e) 230 m

30 m

Vo

 80 m

a) 5 m b) 10 m c) 15 m

d) 20 m e) 25 m




FÍSICA


4) Un objeto que describe MPLC en cierto instante su velocidad y su aceleración forman 135º y se mueve horizontalmente con 40 m/s. Después de qué tiempo su velocidad formará 45º con la aceleración. a) 5 s b) 6 s c) 7 s

7) Si el objeto es lanzado con Vo =50 m/s y  =53º, determina a que distancia de la pared cae.

50m/s

37º

h

Vo

d) 9 s e) 8 s

10) Halla la altura h del edificio si el tiempo que el cuerpo permanece en el aire es 12 segundos.

 180 m

5) En el instante en que el objeto es lanzado con “Vo”, la persona inicia su movimiento con MRUV con a = 2m/s2 y logra agarrar el objeto luego de 5 s. Determina la rapidez “Vo”. Vo

a) 40 m b) 50 m c) 60 m

a) 360 m b) 300 m c) 240 m

d) 70 m e) 80 m

d) 230 m e) 200 m

8) Si para el objeto Vo =25 m/s, determina a que altura por encima o debajo del punto “A” llega el objeto. 37º Vo

a

70 m 100 m

a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s

20 m

d) 20 m/s e) 25 m/s 40 m

6) El avión que se muestra en la figura suelta una cantidad de agua con la intención de apagar el fuego. Si describe un MRU con una rapidez de 50 m/s, determina si logra su objetivo. 50 m/s

180 m Fuego

300 m

a) 0 m d) 10 m, arriba b) 5 m, arriba e) 10 m, debajo c) 5 m, debajo 9) Se lanza un objeto con Vo =40 m/s y logra una ”h” máxima de 20 m. Determina el ángulo de lanzamiento. a) 30º b) 37º c) 40º

d) 53º e) 60º

5m

a) Sí b) No, cae a 10 m. c) No, cae a 20 m. d) No, cae a 30 m. e) No, cae a 35 m.

II BIMESTRE

- 153 -




FÍSICA

- 154 -


Pág.

ENLACE QUÍMICO

157

FUERZAS DE ENLACES INTERMOLECULARES

166

HIDRUROS - ÁCIDOS HIDRÁCIDOS CATIONES Y ANIONES

171

NOMENCLATURA INORGÁNICA I

176

NOMENCLATURA INORGÁNICA II

186

NOMENCLATURA INORGÁNICA III

192

QUÍMICA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA



QUÍMICA


ENLACE QUÍMICO CONCEPTUALIZACIÓN Es la sumatoria de fuerzas de atracción y repulsión que se dan entre dos o más sustancias del tipo electrostático.

DEFINICIÓN Un enlance químico se produce entre dos átomos o grupos de átomos, cuando las fuerzas que actúan entre ellos conducen a la formación de un agregado con suficiente estabilidad como para considerarlo una especie química independiente con características propias y diferentes a las especies formadoras.

PARA EL ESTUDIANTE Uno de los aspectos más intrigantes de la química es el estudio de las fuerzas entre los átomos. En este capítulo centraremos nuestra atención en las dos fuerzas interatómicas más fuertes: enlaces iónicos y Covalentes. Es importante destacar que la mayoría de los enlaces no son ni 100% iónicos ni 100 % covalentes, por el contrario la mayoría tiene características intermedias pero es fácil entender estos enlaces intermedios si los relacionamos con los tipos ideales de enlaces puros.

ENLACE INTERATÓMICO

Enlace Covalente (No metal - No metal)

Enlace Metálico

Enlace Iónico

Molécula

E.C. Polar

E >1,9 Se produce entre Metal - No metal.

E.C. polar

E <1,9 Se produce entre Metal - Metal.

E.C. Coordinado

Cristal de Fluorita ENLACE INTERMOLECULAR

FUERZAS DE VAN DER WAALS Fuerzas de London o Dispersión

ENLACE PUENTE DE HIDRÓGENO Elementos que pueden formar este tipo de enlaces: F, N y O

Fuerzas Dipolo - Dipolo

Grafito

II BIMESTRE

- 157 -




QUÍMICA

Enlaces Interatómicos 1.

ENLACES COVALENTES

Algunas sustancias moleculares tienen la capacidad de compartir 1 par, 2 pares, 3 pares o más pares de electrones, localizados en las capas de valencias de los átomos. Al enlace que así se forma se llama enlace covalente. La diferencia de electronegatividad entre dos átomos nos ayuda a determinar y diferenciar los tipos de enlace, tal como se muestra en la tabla.

ENLACE COVALENTE

EN < 1,7 y se da generalmente entre no metales.

ENLACE IÓNICO

EN

ENLACE METÁLICO

EN < 1,7 y se da entre metal con metal.

> 1,7 y se da generalmente entre metal con no metal.

ELECTRONEGATIVIDAD Un par de electrones compartidos es atraído simultáneamente por ambos átomos enlazados y puede por tanto considerarse que los átomos compiten con los electrones, sin embargo, el par electrónico no es compartido igualmente a menos que los dos átomos tengan la misma atracción por los electrones. Esta atracción se mide mediante una cantidad conocida como la electronegatividad, que se define como la tendencia relativa que muestra un átomo enlazado a atraer electrones hacia sí.

Un enlace metálico es un enlace químico que mantiene unidos los átomos de los metales entre sí. Estos átomos se agrupan de forma muy cercana unos a o t ro s , l o qu e p r o d u c e estructuras muy compactas. Se trata de redes tridimensionales que adquieren la estructura típica de empaquetamiento compacto de esferas. En este tipo de estructura cada átomo metálico está rodeado por otros doce átomos (seis en el mismo plano, tres por encima y tres por debajo). Además, debido a la baja electronegatividad que posee los metales, los electrones de valencia son extraídos de sus orbitales y tiene la capacidad de moverse libremente a través del compuesto metálico, lo que otorga las propiedades eléctricas y térmicas de los metales.

La electronegatividad (EN) se define como la tendencia general de los núcleos de los átomos para atraer electrones hacia sí mismos cuando forman un enlace químico. La escala de electronegatividad más conocida es la de Pauling. La electronegatividad de algunos elementos son:

H 2,1 Li 1,0 Na 0,9

Be 1,5 Mg 1,2

K 0,8

Ca 1,0

B 2,0 Al 1,5

Fe 1,8

Co 1,8

Ni 1,8

Cu 1,9

Zn 1,6

C 2,5 Si 1,8

N 3,0 P 2,1

O 3,5 S 2,5

F 4,0 Cl 3,0 Br 2,8

Dióxido de Carbono

I 2,5 Dióxido de Azufre

- 158 -




QUÍMICA


ELECTRONEGATIVIDAD

METALES Cobre Hierro Cobalto Níquel Zinc Aluminio Berilio Magnesio Litio Calcio Sodio Potasio

Cu Fe Co Ni Zn Al Be Mg Li Ca Na K

NO METALES 1,9 1,8 1,8 1,8 1,6 1,5 1,5 1,2 1,0 1,0 0,9 0,8

Flúor Oxígeno Nitrógeno Cloro Bromo Carbono Yodo Azufre Fósforo Hidrógeno Boro

F O N Cl Br C I S P H B

4,0 3,5 3,0 3,0 2,8 2,5 2,5 2,5 2,1 2,1 2,0

Galena

Pirita

Aplicación de la electronegatividad para demostrar que un enlace es covalente.

Ejemplo (1) ¿Qué tipo de enlace tendrá la unión de un átomo de oxígeno con un átomo de hidrógeno?

Analicemos: Electronegatividad (EN) Restamos las electronegatividades

O

H

3,5

2,1

Carbonato de Calcio

3,5 - 2,1

O

O

H C

ENLACE IÓNICO

∆ EN = 1,4 ∆ EN = 0

H

H

OH

OH

OH C H H C OH

ENLACE COVALENTE

H

H OH

OH

H C OH

∆ EN = 1,4

 -D - glucose

CH2OH H

H C OH CH2OH

CH2OH H

 -D - glucose

O H OH

H

H

OH

OH

OH H

Moléculas ∆ EN = 1,7

∆ EN = 3,3

* Observamos que el punto 1,4 pertenece al intervalo del enlace covalente. * 1,4 es menor que 1,7, entonces el enlace es covalente.

II BIMESTRE

- 159 -




QUÍMICA

Ejemplo (2) ¿Qué tipo de enlace tendrá la unión de un átomo de oxígeno con un átomo de hidrógeno?

Analicemos: Electronegatividad (EN) Restamos las electronegatividades

Cl

Cl

3

3 3- 3

∆ EN = 0 ENLACE IÓNICO

ENLACE COVALENTE

∆ EN = 0

∆ EN = 1,7

∆ EN = 3,3

* Observamos que el punto 0 pertenece al intervalo del enlace covalente. * Cero es menor que 1,7 entonces el enlace es covalente.

POLARIDAD DE ENLACES Átomos idénticos tienen electronegatividades idénticas. En la molécula de H2. H

:

H

Los átomos de hidrógeno atraen por igual el par electrónico. La distribución de la carga electrónica es simétrica respecto a los dos núcleos; es decir, no está más cerca de un núcleo que del otro. Como un extremo del enlace es electrostáticamente igual al otro, se dice que el enlace no es polar (esto significa que no tiene polos). Los átomos con electronegatividades idénticas forman enlaces covalentes no polares (apolares). Los átomos de diferentes elementos tienen diferente electronegatividad. En la molécula de fluoruro de hidrógeno: H

:

F

Como el átomo de flúor tiene una electronegatividad mayor que la del hidrógeno, el par electrónico está compartido desigualmente. El enlace resultante tiene carga negativa acumulada en un extremo y deja una carga positiva en el otro. Un enlace covalente en el cual el par electrónico es compartido desigualmente se dice que es un enlace covalente polar. Moléculas

- 160 -




QUÍMICA


Las sustancias moleculares presentan tres tipos de enlaces covalentes: * Enlace Covalente Apolar. * Enlace Covalente Polar. * Enlace Covalente Coordinado.

NOTACIÓN DE LEWIS

Por grupos según la tabla periódica.

1.1 Enlace Covalente Apolar Se caracteriza porque los pares de electrones compartidos, de enlace, son atraídos con la misma fuerza eléctrica por cada núcleo de los átomos que forman la molécula homonuclear. Ejemplos: O2, Cl2, H2, N2, etc.

IA

IIA

IIIA

IVA

E

E

E

E

VA

x

VIA

xx

Ex x

x

xx

Ex xx

VIIA

x

VIIIA

xx

E xx

x x

xx

xx

E xx

xx

Ejemplo: ¿ Cuál será la notación de Lewis para el átomo de Oxígeno?

1.2 Enlace Covalente Polar Oxígeno es Es cuando los p ares de electrones compartidos, de enlace localizados, son atraídos con mayor fuerza eléctrica por el átomo más electronegativo. Generalmente se forma en moléculas heteronucleares. Ejemplos: H2O, HCl, HF, CO, NH3, etc. 1.3 Enlace Covalente Coordinado

8

O

Su configuración electrónica seria: 1s2

2p4

Para la notación de Lewis se considera a los electrones de valencia y ellos son: 2s2

2p4

Nivel Nivel Es decir, los electrones que se encuentran en el último nivel de energía.

2s

2p

La notación de Lewis para el átomo de oxígeno sería:

Es cuando uno de los átomos cede 2 electrones libres de valencia a otro átomo que las recibe. El átomo que cede electrones se llama dador y el átomo que acepta electrones es llamado aceptor. A este tipo de enlace también se llama enlace dativo. Ejemplos: H3O+, NH4+, O3, PH4+.

2s2

O

Notación de Lewis considerando aspas para los electrones.

xx x

O x

x x

El oxígeno pertenece al grupo VIA, por lo tanto, presenta seis electrones de valencia.

II BIMESTRE

- 161 -




QUÍMICA

ENLACE COVALENTE APOLAR Ejemplo (1) H

+

H

X

H

Átomo de hidrógeno con un electrón de valencia.

X

H

H - H

Molécula H2

Formación del enlace covalente apolar.

Ejemplo (2) xx

F

+

x

F xx

xx x x

F

Átomo de Flúor con siete electrones de valencia.

x

Fxx xx

F - F

Molécula F2

H - F

Molécula HF

Formación del enlace Covalente Apolar.

ENLACE COVALENTE POLAR Ejemplo (1) xx

H

+

x

F

xx

xx

H

x x

x

F xx

x x

Formación del enlace covalente polar, ya que los átomos son diferentes y sus electronegatividades son diferentes.

ENLACE COVALENTE COORDINADO ( Dativo)

Ejemplo (1) Molécula de Agua

O H

+

+

H

H

Ejemplo (2) N

+

+

H

H H H Éste hidrógeno no tiene electrones.

- 162 -

+

H

+

O

O

H

Éste hidrógeno no tiene electrones.

Molécula de Amoniaco

H H

H

Molécula H3O+ H

El oxígeno pone los dos electrones para formar el enlace.

H N

+

H H H

H

El enlace coordinado se representa mediante una flecha.

+

N

Molecula NH4+

H H H

El nitrógeno pone los dos electrones para formar el enlace.


2.



QUÍMICA


ENLACE IÓNICO

Es la gran fuerza de atracción electrostática entre iones de carga positiva e iones de carga negativa. Los iones se forman por la transferencia de electrones. La fuerza de atracción electrostática entre iones de un compuesto iónico, aumenta con la carga de ion, por ejemplo: Al³+Cl¯3 >Mg² +Cl¯2>Na+Cl¯ Se forma por la atracción electrostática entre los iones resultantes de la transferencia de electrones desde un átomo a otro. Esta transferencia de electronegatividades, la cual es mayor o igual a 1,7 se produce entre un metal y otro no metal.

Magnétita Cristal

Ej.: Na x

+

Cl

Na

+

x

Cl

¯

Pierde un electrón y Gana un electrón y se carga positivo. se carga negativo.

3.

ENLACE METÁLICO

Hematita

Las unidades que ocupan los puntos reticulares en un sólido metálico son iones positivos, por ejemplo: en el metal sodio encontramos iones Na+ ocupando los puntos de un retículo. Se puede considerar que cada uno de los sodios [Na+] ha perdido un electrón y a contribuido con la nube electrónica que envuelve todo el retículo. Estos electrones no están unidos a ningún átomo y no forman incluso un par sino que están deslocalizados en todo el cristal. Se llama por ello electrones libres. Se denomina también a menudo gas electrónico. En un metal típico del cual el sodio es un buen ejemplo, existe una atracción mutua entre el gas electrónico y los iones. Esto estabiliza la estructura y al mismo tiempo le permite distorsionarse sin que se rompa, por ello el sodio y otros metales son fácilmente deformables. Los electrones deslocalizados en un metal dan lugar a la conductividad térmica y a la eléctrica.

Metales Oro

El Cobre es probablemente el primer metal utilizado en la prehistoria. El objeto de cobre más antiguo conocido hasta el momento es un colgante oval procedente de Shanidar (Iraq) y que ha sido datado en el año 9500 aC. Sin embargo, esta pieza es un caso aislado, ya que no es hasta 3000 años más tarde que las piezas de cobre martilleado en frío comienzan a ser habituales. El objeto de cobre fundido más antiguo que se conoce procede de los Montes Zagros, concretamente de Tal-i-Blis (Irán), y se data en el 4100 aC. Metales Plata Nativa

II BIMESTRE

- 163 -




QUÍMICA

4) ¿ Cuál es la notación de Lewis del átomo de nitrógeno? 1) Un metal forma enlace iónico al combinarse con un elemento de: a) b) c) d) e)

Baja afinidad electrónica. Bajo potencial de ionización. Transición. Alta afinidad electrónica. Baja electronegatividad.

2) Un enlace metálico se produce entre: a) b) c) d) e)

Metal - No metal, ∆E < 1,7 Metal - Metal, ∆E > 1,7 No metal - No metal Metal - No metal, ∆E > 1,7 Metal - Metal, ∆E < 1,7

3) ¿Qué enlace tendrá la unión de un átomo de sodio con otro átomo de cloro?

Solución: Nitrógeno 7

N

I. Completa el siguiente cuadro.

Su configuración electrónica sería: 2

2

3

1s 2s 2p

Para la notación de Lewis se considera a los electrones de valencia. 2s2

2p3

Nivel

Nivel xx

x

Nx

Na

Cl

0,9

3,0

El nitrógeno pertenece al grupo VA, por lo cual presenta 5 electrones de valencia.

5) ¿Cuál es la diferencia entre un enlace covalente y un enlace coordinado? Solución: ENLACE COVALENTE:

Restamos las electronegatividades 3,0 - 0,9

Comparte electrones de cada áto m o i n v o l u c ra do e n e l enlace. ENLACE COORDINADO:

∆ EN = 2,1 ENLACE COVALENTE

∆ EN = 0

ENLACE IÓNICO

∆ EN = 1,7 ∆ EN = 2,1 ∆ EN = 3,3

• El punto 2,1 pertenece al intervalo del enlace iónico. • 2,1 es mayor que 1,7, entonces el enlace es iónico.

- 164 -

1)

2)

3)

Enlace Iónico

∆EN___

4)

Enlace Metálico

∆EN___

x

Solución: Electronegatividad

Enlace Interatómico

Comparte electrones, dona un par a uno de los átomos.

II. Completa los espacios vacíos. 5) El enlace Iónico se produce entre ________________________. 6) El enlace Covalente comparte ___________ de cada átomo involucrado en el enlace. 7) ____________ se define como la tendencia general de los núcleos de los átomos para atraer electrones hacia sí mismos cuando forman un _________. III. Da ejemplos para: 8) Enlace Iónico __________________________ __________________________ ________________________. 9) Enlace Covalente Apolar _________________________ _________________________ ________________________. 10) Enlace Covalente Coordinado __________________________ __________________________ ________________________.




QUÍMICA


IV. Indica el diagrama de Lewis correcto. 11) a.

O

b.

He

d.

N

e.

F

c. C

12) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. a) HCl

presenta polaridad. ( )

b) H F

enlace iónico.

c) H2O

enlace covalente apolar. ( )

( )

IV. Responde: 13) Un elemento tiene la siguiente notación de Lewis G y se encuentra en el tercer período. ¿ Cuál será su número atómico? a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 18 14) Cuáles son las estructuras de Lewis correctas para los elementos . 1

I.

H; 4 Be; Cl

III. S

16

II.

S;

17

1) En una molécula covalente hay: a) Transferencia de electrones. b) Solamente metales. c) Metales y no metales. d) Compartición de electrones. e) Compartición de protones. 2) Si la electronegatividad de un átomo X e s 3,5 y la de otro Y es 1,5. Si se combinan X y Y, ¿qué tipo de enlace formarán? a) Covalente polar. b) Covalente apolar. c) Covalente dativo. d) Iónico. e) a y b 3) La siguiente definición: “ fuerza de atracción entre la nube circundante y los iones positivos en el océano de electrones; por eso tiene buena conductividad eléctrica, tiene: brillo, etc.” Corresponde al enlace:

Cl

Be

IV. H

a) I y II d) I, III y IV b) II, III y IV e) II y IV c) I y III 15) Completa adecuadamente: El anión presenta carga ______ debido a la _____________ de electrones. a) neutra - ganancia b) neutra - perdida c) positiva - ganancia d) positiva - perdida e) negativa - ganancia

II BIMESTRE

6) La notación de Lewis para l o s áto m o s de e l e m e n to s representativos pertenecientes a un mismo grupo es la misma, esto se debe a que en su última capa tienen ___________________. 7) Indica cuál de las siguientes preposiciones es falsa. a) CaO, enlace electrovalente. b) HCl, presenta polaridad. c) C2H5OH, enlace esencialmente covalente. d) HF, enlace iónico. e) PH , enlace covalente. Datos: Elementos P Ca O Cl F H EN 2,1 1,0 3,5 3,0 4,0 2,1 8) ¿Qué fórmula representa un compuesto apolar? a) H

F

d) H N H H

H

e) H Cl

O

b) H

H c) H C H H

a) Iónico. b) Covalente polar. c) Covalente no polar. d) Covalente dativo. e) Metálico. 4) Dadas las siguientes electronegatividades, ¿qué compuesto no tiene su enlace característico? Elemento K Mg N H Br F O E.N 0,8 1,2 3,0 2,1 2,8 4,0 3,5

a) Mg O: iónico b) Br2O3: covalente c) MgF2: iónico d) K3N: covalente. e) NH3: covalente.

9) Una molécula de amoniaco (NH3) contiene: a) Enlace covalente solamente. b) Sólo enlace iónico. c) Tanto enlace covalente como iónico. d) Ni enlace covalente ni iónico. d) Enlace metálico. 10) Ordena de mayor a menor los siguientes compuestos iónicos: Mg Cl2, NaCl, Al Cl3

5) El tipo de enlace en un cristal de cloruro de sodio es ________ y una molécula de metano es __________________.

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QUÍMICA

FUERZAS DE ENLACES INTERMOLECULARES Fueron introducidas por el físico Van der Waals, para explicar la diferencia del comportamiento entre un gas real y un gas perfecto, es decir, aquel que obedece a la teoría cinética de los gases. En un gas perfecto, se supone que las moléculas no interaccionan unas con otras, mientras que Van der Waals debió admitir que entre las moléculas de un gas real existían unas fuerzas de interacción que reducían, por ejemplo; la presión ejercida por este gas. Estas fuerzas a menudo se designan con el nombre de fuerzas de Van der Waals, éstas desempeñan un papel importante en la cohesión de moléculas líquidas o en cristales moleculares. Los líquidos moleculares constituyen la mayor parte de los compuestos orgánicos en estado líquido y de algunos compuestos orgánicos formados por enlaces covalentes. En ellos las moléculas están presentes de un modo individualizado y se desplazan unas con respecto a las otras. En los cristales moleculares, la red cristalina no esta formada por iones, sino por moléculas covalentes.

NATURALEZA DE LAS FUERZAS INTERMOLECULARES Las fuerzas que existen entre átomos y moléculas tienen prácticamente un origen eléctrico, es decir, de naturaleza electrostática que consiste en atracciones y repulsiones. Las repulsiones son debidas a las nubes electrónicas y las atracciones se explican fácilmente en el caso de las moléculas polares. La naturaleza de estas interacciones son de tres clases poco diferentes en su origen, pero que actúan simultáneamente constituyendo las fuerzas de Van der Waals.

¿QUÉ SON FUERZAS DE VAN DER WAALS? Son fuerzas intermoleculares que mantienen unidas a moléculas covalentes no polares,. Estas fuerzas aparecen como consecuencias de un desarreglo electrónico momentáneo que inducen la aparición de “polos”, estas fuerzas son momentáneas y relativamente débiles. ENLACE INTERMOLECULAR

Fuerzas de Van der Waals

Fuerzas de London o Dispersión.

Elementos que pueden formar este tipo de enlace: F, N y O

Fuerzas Dipolo - Dipolo

Metanol Geometría molecular

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Enlace Puente de Hidrógeno

Atracción Intermolecular entre moléculas HCl




QUÍMICA


Las fuerzas intermoleculares son las principales responsables de las propiedades macroscópicas de la materia, por ejemplo: punto de ebullición y punto de fusión. Las fuerzas intermoleculares generalmente son más débiles que los enlaces iónicos o covalentes. H Cl

H — Cl

H Cl

16 kJ /mol

431 kJ /mol

Se requiere menor energía para vaporizar un líquido o fundir un sólido que romper los enlaces covalentes de las moléculas. Así cuando el HCl pasa de líquido a gas las moléculas quedan intactas. Algunas propiedades sobre las que influyen las fuerzas intermoleculares (FIM) son: a. Punto de Ebullición El punto de ebullición de las sustancias reflejan la magnitud de las fuerzas intermoleculares que actúa entre las moléculas. b. Punto de Fusión El punto de fusión de las sustancias aumentan con la intensidad de las fuerzas intermoleculares.

FUERZAS DIPOLO - DIPOLO Se produce en moléculas polares neutras. Las moléculas polares se atraen cuando el extremo positivo de una de ella; está cerca del extremo negativo de la otra. Para moléculas con masa molares y tamaños parecidos la intensidad de las atracciones intermoleculares aumentan al aumentar la polaridad. Las fuerzas dipolo - dipolo son comúnmente mucho mas débiles que los enlaces iónicos o covalentes.

+

–

+

FUERZAS DE DISPERSIÓN O DE LONDON Si un ion o molécula polar se acerca a un átomo (o molécula no polar) la distribución electrónica del átomo (o molécula) se distorsiona por la fuerza que ejerce el ion o la molécula polar, dando lugar a una clase de dipolo. Se dice que el dipolo del átomo (o molécula no polar) es un dipolo inducido porque la separación de sus cargas positivas y negativas se debe a la proximidad de un ion o una molécula polar. La atracción entre un ion y el dipolo inducido se conoce como interacción ion-dipolo inducido, en tanto que la atracción entre una molécula polar y el dipolo inducido se conoce como interacción dipolo-dipolo inducido. Las fuerzas de dispersión son las fuerzas de atracción que se generan por los dipolos temporales inducidos en los átomos o moléculas. La intensidad de las Fuerzas de dispersión de London tiende a aumentar conforme aumente el tamaño molecular o el peso molecular.

– Fuerza de Dispersión de London

–

+

–

+ +

–

Fetanol

II BIMESTRE

–

+

Importante

Fuerza de atracción electrostática Fuerza de repulsión

Urea

Las Fuerzas de Dispersión operan en todas las moléculas, sean polares y no polares. En muchos casos las Fuerzas de London son relativamenete mayores que las fuerzas dipolo-dipolo que existen en moléculas polares. Dependen en parte de la facilidad de distorsión de la nube de una molécula, es decir de la polarizabilidad de la molécula. En general, mientras más grande sea la molécula y más electrones tenga, más polarizable será y por ello las Fuerzas de London pueden ser mayores. No obstante, la forma molecular y otros factores también son importantes.

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QUÍMICA

– + – –

–

+

+

–

–

–

Separación instantánea de carga debido al movimiento de la nube de electrones.

Distribución de la carga

–

– –

Se mueven uno cerca del otro.

– –

– +

Dipolo instantáneo

–

Interacción Ion - Dipolo

– –

Dipolo inducido instantáneo

PUNTOS DE FUSIÓN DE COMPUESTOS NO POLARES SEMEJANTES COMPUESTO

PTO. DE FUSIÓN (°C)

C H4 C F4 C Cl4 C Br4 Cl4

Interacción Dipolo - Dipolo

- 182,5 - 150,0 - 23,0 90,0 171,0

PUENTE DE HIDRÓGENO El enlace puente de hidrógeno es una fuerte atracción intermolecular en la que los átomos de “H” forman “enlaces puentes” entre átomos de alta electronegatividad en moléculas adyacentes. Se presenta en compuestos en la que los atómos de H están enlazados con atómos electronegativos tales como N, el O y el F (como el N H3, H2O, HF). El enlace hidrógeno es una fuerza más débil que el enlace iónico o el covalente, pero generalmente más fuerte que las Fuerzas de London y las de atracción dipolo-dipolo.

H H H H

H

F

H

F

H

O H

O

En general el punto de ebullición se eleva al aumentar las Fuerzas de Dispersión. La excepción más notable a esta regla es el H2O, N H3 y H F (agua, amoniaco y fluoruro de hidrógeno). Estas anormalidades en las tendencias generales se deben a la presencia de puentes de hidrógeno.

O

O

H

H

H

O H

H

H O H

Puente de Hidrógeno del agua

F

Puente de Hidrógeno H

O H

H

O

H

H

O H

Puente de Hidrógeno entre etanol y agua

Puente de Hidrógeno

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QUÍMICA


Puntos de ebullición de los compuestos hidrogenados binarios de los grupos IV al VIIA. IVA Punto de ebullición (°C) C H4 - 161,5 Si H4 - 111,8 Ce H4 - 90,0 Sn H4 - 52,0

VA Punto de ebullición (°C) N H3 P H3 As H3 Sb H3

- 33,4 - 88,0 - 55,0 - 17,0

VIA Punto de ebullición (°C)

VIIA Punto de ebullición(°C)

H2O H2S H2Se H2Te

HF H Cl H Br HI

100 - 61,8 - 42,0 - 2,0

- 119,6 - 83,7 - 67,0 - 36,0

Como se puede apreciar, los datos de la tabla anterior para los compuestos del grupo IVA, el punto de ebullición aumenta a medida que aumenta el peso molecular. Para los compuestos del grupo VA, VIA y VIIA se deberá cumplir lo mismo; sin embargo el N H3, el H2O y HF presentan puntos de ebullición mucho mayores de los que les corresponderían, debido a que en ello está presente la unión intermolecular de tipo Puente de Hidrógeno, la que determina la presencia de una mayor fuerza intermolecular.

1) I n d i c a qu é ti p o d e f u e rz as intermoleculares existen en las siguientes moléculas: H Br y H2S Solución: Para id e n ti fi c ar l as f ue r zas intermoleculares conviene clasificar a las especies participantes como: a) Moléculas no polar b) Moléculas polares y c) Iones Recuerda: Las fuerzas de Dispersión o Fuerza de London existen entre todas las especies, tanto el HBr como el H2S son moléculas polares de modo que en ellas se establece la fuerza dipolo-dipolo, además de las fuerzas de dispersión. 2) I n d i c a q u é ti p o d e f u e r za s intermoleculares existen en las siguientes moléculas: Cl2 y CBr4 Solución:

Etanol

Ácido Acético

Pa r a i d e n t i f i c a r l a f u e r z a intermolecular se utiliza los pasos anteriores. Tanto el Cl2 como CBr4 son moléculas no polares, de modo que en ellas sólo existen fuerza de dispersión (Fuerzas de London). 3) I nd ic a qu é tip o de fu e rzas in te rmol ecu lares tie ne n l as siguientes moléculas. H F y N H3

Neptuno

Forma de núcleode capa de agua amoniaca y Metano.

Son moléculas polares, pero el H está enlazado con átomos muy electronegativos [F, N], entonces la fuerza intermolecular será puente de hidrógeno. 4) ¿En qué sustancia no existe enlace puente de hidrógeno? a) H2O b) NH3 c) CH3OH d) H F e) H2

El hidrógeno es el único átomo capaz de formar el Enlace Puente de Hidrógeno, porque al ser tan pequeño permite que los otros átomos más electronegativos de las moléculas vecinas puedan aproximarse lo suficiente a él como para que la fuerza de atracción sea bastante intensa. Este tipo de enlace intermolecular es el responsable; por ejemplo, de la existencia de océanos de agua líquida en nuestro planeta, si no existiera, el agua se encontraría en forma de vapor.

El hidrógeno se enlaza con F, O, N, entonces el H2 no es una fuerza intermolecular puente de hidrógeno. 5) ¿Qué fuerza intermolecular tiene el CO2 ? El CO2 es apolar, entonces tendrá Fuerza de Dispersión (London).

II BIMESTRE

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QUÍMICA

IV. Relaciona correctamente los cuadros con los números romanos.

A

Puente de Hidrógeno

B

Fuerzas dipolo – dipolo

C

Fuerzas de Dispersión (London)

I. Completa los espacios vacíos. 1) Las fuerzas de Van der Waals son fuerzas intermoleculares que mantienen unidas a moléculas ________________________. 2) Son propiedades sobre las que i nf lu ye n las fue rzas intermoleculares: ____________ y _______________________ .

I. Moléculas polares. II. Moléculas no polares. III. H – F, H – O y H – N

Para: 3) Las fuerzas dipolo – dipolo se producen en ______________ ________________________ .

11) A le corresponde __________. 12) B le corresponde __________.

4) Las fuerzas dipolo – dipolo son más débiles que los enlaces ___________ o ___________________. II. Menciona ejemplos de: 5) Fuerzas dipolo − dipolo __________________________ __________________________ _________________________. 6) Fuerzas de Dispersión (London) __________________________ __________________________ _________________________. 7) Fuerzas de Puente de hidrógeno __________________________ __________________________ _________________________.

13) C le corresponde __________.

9) El enlace entre H2O y el NH3 presenta puente de hidrógeno. ( ) 10) El H 2S presenta puente de hidrógeno. ( )

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a) H2O b) H F c) N H3

d) C Cl4 e) C2H5OH

3) Indica cuántos de los siguientes compuestos tienen fuerza dipolo – dipolo. CO2, CH3 Cl, Si H4, H2O a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 0

4) ¿En qué molécula no existe enlace puente de hidrógeno? a) H2O b) CH3 OH c) N H3

d) H F e) Cl2

I. Completa: V. De las moléculas, indica cuáles son dipolo – dipolo. 14) I. CO2 III. H2O

II. CH4 IV. H F

15) Del ejercicio anterior, las que no son dipolo – dipolo, ¿qué tipo de fuerzas intermoleculares son:? __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

5) Se produce entre átomos de hidrógeno y átomos de mayor electronegatividad (F, O y N). _________________________. 6) Las fuerzas de dispersión operan las moléculas _____________ y ___________. 7) Las fuerzas de London son aún mayores que las fuerzas _______ _________________________ . 8) La intensidad de la fuerza de dispersión aumenta conforme aumenta _________________. 9) El enlace puente de hidrógeno es de naturaleza _____________.

III. Indica verdadero (V) o falso (F). 8) Los enlace H2O y C2H5OH presentan puente de hidrógeno. ( )

2) Marca las que tienen puente de hidrógeno de las siguientes moléculas:

1) Co loc a los tipo s de fu erza intermolecular que presentan: CO2 C4H10 CH3OH H2S

: __________________ :__________________ :__________________ :__________________

II. Indica qué molécula tiene fuerza dipolo – dipolo 10) a) CH3Cl b) CO2 c) B Cl3

d) C Cl4 e) C H4




QUÍMICA


HIDRUROS - ÁCIDOS HIDRÁCIDOS CATIONES Y ANIONES

FUNCIÓN HIDRURO

ÁCIDOS HIDRÁCIDOS

Son compuestos binarios del hidrógeno que se producen de la combinación del hidrógeno con cualquier elemento.

Las combinaciones del hidrógeno con los alógenos (F, Cl, Br y I) o calcógenos (S, Se y Te) disueltos en agua presentan propiedades ácidas.

Hidrógeno + Elemento  hidruro

Para nombrarlos se coloca la palabra ácido seguido del nombre del elemento cambiando la terminación uro por hídrico.

HIDRURO METÁLICO Se producen cuando el hidrógeno (E.O.: – 1) se combina con metales. Son en general sólidos muy reactivos que se preparan por reacción directa entre el metal y el hidrógeno.

• H F(g)

• Ca

+ H¯ Ca H2 Hidruro de Calcio

HIDRURO NO METÁLICO Se producen cuando el hidrógeno (E.O.: + 1) se combina con un no metal. Son generalmente sustancias moleculares volátiles, muchos de ellos son conocidos con nombres comunes. Ejemplos: • B¯3 + H+  BH3 Hidruro de Boro (Borano) 4

+

• C¯ + H C H4 Hidruro de Carbono (Metano)

II BIMESTRE

:

Fe+3

:

Pb+2

:

Pb+4

Ácido fluorhídrico

H F(ac) Ácido clorhídrico

+

+2

H3O+ Mg+2 Ca+2 Fe+2

H F(ac)

Fluoruro de hidrógeno

Cloruro de hidrógeno

• Na + H¯ Na H Hidruro de Sodio

: : : :

Ejemplos:

• H Cl(g)

Ejemplos:

Ion Hidronio Ion Magnesio Ion Calcio Ion Ferroso (Hierro II) Ion Férrico (Hierro III) Ion Plúmboso (Plomo II) Ion Plumbico (Plomo IV)

• H Br(g)

H Br(ac)

Bromuro de hidrógeno

• H I(g)

H I(ac)

Ioduro de hidrógeno

• H2 S(g)

Ácido bromhídrico

Ácido iodhídrico

H2 S(ac)

Sulfuro de hidrógeno

Ácido sulfhídrico

SÍMBOLOS Y NOMBRES DE CATIONES COMUNES Ion Sodio Ion Potasio Ion Amonio Plata Ion Cuproso Cobre(I) Ion Cúprico Cobre(II) Ion Mercurioso Mercurio (I)

: : : : :

Na+ K+ NH4+ Ag+ Cu+

:

Cu+2

:

Hg+

El monóxido de carbono, cuya fórmula química es CO, es un gas inodoro, incoloro, inflamable y altamente tóxico. Los vehículos detenidos con el motor encendido también lo despiden. Si se respira, aunque sea en moderadas cantidades, el monóxido de carbono puede causar la muerte por envenenamiento en pocos minutos porque substituye el oxígeno en los eritrocitos de la sangre. Cada año un gran número de personas pierde la vida accidentalmente debido al envenenamiento con este gas. Las mujeres embarazadas y sus bebés, los niños pequeños, las personas mayores y las que sufren de anemia, problemas del corazón o respiratorios pueden ser mucho más sensibles al monóxido de carbono.

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QUÍMICA

3) Formula el siguiente compuesto: • Ácido Clorhídrico 1) Formula el siguiente compuesto: Solución:

• Hidruro de Magnesio

Solución: El magnesio es un metal que pertenece a la familia de los metales alcalinos térreos, trabaja con número de oxidación +2. El hidrógeno cuando se une a un metal trabaja con número de oxidación –1, por lo tanto el hidruro de magnesio tendría la siguiente fómula:

Mg

+2

H

–1

Formula los siguientes compuestos:

El cloro es un no metal que trabaja con número de oxidación positivo y negativo. Cuando su nombre termina en hídrico significa que fue un “URO” antes de solubilizarse en el agua, por lo que su número de oxidación es negativo en este caso el cloro trabaja con –1, por lo tanto el ácido clorhídrico tendría la siguiente fómula:

H+1

Cl– 1 HCl(ac)

MgH2

Donde: ac: acuoso 2) Formula el siguiente compuesto: • Bromuro de Hidrógeno

Solución:

4) Da la siguiente fórmula ¿Qué número de oxidación presenta el Magnesio? Mg H2 Solución:

El bromo es un no metal que trabaja con número de oxidación positivo o negtivo. Cuando su nombre termina en “URO” trabaja con su número de oxidación negativo en este caso –1. El hidrógeno es de menor electronegatividad que el bromo, por lo que trabaja con número de oxidación positiva en este caso +1, por lo tanto el bromuro de hidrógeno tendría la siguiente fómula:

H+1

Br – 1 HBr(g)

Mg x

H2– 1

x – 2 = 0 x = +2 • El magnesio trabaja con número de oxidación +2. 5) ¿Qué alternativa presenta un ácido hidrácido? a) HCl(g) b) H2S(g) c) H Br(ac) d) H F(g) e) H2Se(g) Solución: La respuesta es la (c), porque los hidrácidos al solubilizarse en el agua se nombran como ácidos hidrácidos y se les reconoce por la abreviatura (ac) que significa medio acuoso.

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1) Hidruro de Litio _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ ___ 2) Hidruro de Sodio _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ ___ 3) Hidruro de Calcio _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ ___ 4) Hidruro de Magnesio _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ ___ 5) Hidruro de Potasio _________________________ _________________________ _________________________ _________________________ ___ 6) Halla el elemento que puede formar ácidos hidrácidos con el hidrógeno. a) Fe b) N2 d) O2

d) Mg e) I2

7) No es un hidruro metálico. a) NaH b) AlH3 d) PH3

d) MgH2 e) CaH2




QUÍMICA


8) Formula:

13) Une con flechas:

* Hidruro de Potasio_________ * Silano ____________________ * Sulfuro de Hidrógeno _______ * Fosfonio _________________ * Hidruro de Bario __________ 9) Da el nombre a los siguientes hidruros: * * * * *

SnH4 ___________________ SbH3 ____________________ NH3 ____________________ AsH3 ___________________ H3O+ ___________________

10) Relaciona: I. II. III. IV.

MgH2 HCNO CH4 HBr(ac)

a. b. c. d. e.

Bromuro de Hidrógeno Ácido Ciánico Ácido Bromhídrico Metano Hidruro de Magnesio

A) Ia−IId−IIIc−IVb B) Ic−IIa−IIIe−IVd C) Ie−IIb−IIId−IVc D) Ia−IIb−IIIc−IVe E) Ib−IIc−IIIa−IVd

a) b) c) d) e)

Fe+3 Pb+4 Cu+2 NH4+ Ag+

• Plata • Plúmbico • Amonio • Férrico • Cúprico

14) Es un Ion tetravalente. a) b) c) d) e)

Plumboso Ferroso Cúprico Amonio Plúmbico

15) Con respecto a los hidruros, señala lo incorrecto. I. En los hidruros metálicos el estado de oxidación es +1 para el hidrógeno. II. Los carbonoides y calcógenos f o r ma n c o mp u e s to s d e propiedades ácidas. III. Los hidruros son compuestos binarios. a) VVV b) VFF c) FFF

d) FFV e) VVF

Hidruro de Rubidio Hidruro de Zinc Ácido Bromhídrico Amoniaco Silano

12) Marca la alternativa incorrecta. a) b) c) d) e)

NaH: Hidruro de Sodio HBr: Bromuro de Hidrógeno KH: Hidruro de Potasio NH3: Amoniaco HF(g): Ácido Fluorhídrico

II BIMESTRE

a) b) c) d) e)

Hidruro de Cesio Hidruro de Berilio Sulfuro de Hidrógeno Bromuro de Hidrógeno Hidruro de Galio

4) ¿Qué elementos no pueden formar hidruros no metálicos? a) C d) Sn

b) As e) S

c) Cl

5) Marca la alternativa incorrecta. a) b) c) d) e)

GeH4: Germano BH3: Borano NH3: Amoniaco ZnH2: Hidruro de Zinc AlH3: Hidruro de Antimonio

6) Relaciona: I. II. III. IV.

SbH3 SiH4 SnH4 LiH

a. Hidruro de Litio b. Arsenamina c. Silano d. Estibomina e. Hidruro de Estaño

A) Id−IIe−IIIa−IVb B) Ic−IId−IIIe−IVb C) Ib−IIa−IIId−IVc D) Id−IIc−IIIe−IVa E) Ia−IIb−IIIc−IVe

11) Señala un compuesto tetratómico en las siguientes alternativas: a) b) c) d) e)

3) Indica la atomicidad de los siguientes hidruros e indica el mayor.

7) Une con flechas: 1) Formula: * Hidruro de Estroncio_________ * Hidruro de Germanio_______ * Hidruro de Cobre ___________ * Hidruro de Zinc _____________ * Hidruro de Litio __________

a) HCl b) CaH2 c) HI d) LiH e) HBr(ac)

• Hidruro de calcio • Ioduro de hidrógeno • Ácido bromhídrico • Hidruro de litio • Ácido clorhídrico

2) Da el nombre de los siguientes compuestos: * BiH3 ____________________ * LiH _____________________ * AgH _____________________ * H2Te(ac) __________________ * HI(ac) ____________________

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QUÍMICA

8) En las siguientes proposiciones señala verdadero(V) o falso(F) según corresponda. I. El hidrógeno presenta estado de oxidación +1 en los hidrácidos. II. Los hidruros NaH, CaH2 y NH3 son metálicos. III. Los cationes e iones pueden ser binarios y cuaternarios. a) VVF b) VVV c) VFF

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9) Indica aquel ion que sea trivalente. a) Sodio b) Calcio c) Cúprico

d) Férrico e) Plata

10 ) Da la suma de los estados de oxidación de los elementos diferentes del oxígeno: CaH2, NH4+, PH4+, MnO4 a) 11 d) 4

b)9 e) 5

c) 6

d) FFV e) FVF




QUÍMICA


PUPI QUÍMICA M N O A E F S T U

C A D O Q Q L O O

D M I O U L O R C

A O C S I A R L I

M N A O M T U A R

O I R R I E R T R

N A D R C M D E E

C C I E A O I M F

P O H F A N H O N

P L A T A C I D O

S O D I O C D O I

ENCUENTRA: Química Sodio Ion Ferrico Hidruro Hidrácido Amoniaco

II BIMESTRE

Ácido Metal No metal Plata Ferroso

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QUÍMICA

NOMENCLATURA INORGÁNICA I FUNCIONES QUÍMICAS INORGÁNICAS

Objetivos  Diferenciar valencias y número de oxidación de un elemento.

COMPUESTO BINARIO

ELEMENTO

 Clasificar a los compuestos inorgánicos.  Formular y nombrar óxidos.

Metal

INTRODUCCIÓN

+ O2

Óxido Básico

No metal + O2

Óxido Ácido

Uno de los objetivos del curso de química básica es enseñar a los estudiantes la nomenclatura química, es decir, a nombrar los compuestos y a escribir la fórmula de un compuesto dado conociendo su nombre. Existe dos clases de nombres en la nomenclatura química: el nombre común o clásico y el nombre sistemático, siendo la tendencia actual a la nomenclatura sistemática. La nomenclatura química de los compuestos está dada por la IUPAC (International Union of Pure and Applied Chemistry) que periódicamente revisa y actualiza las reglas. En un compuesto, la especie química más positiva que puede ser el metal, el ion poliatómico positivo o el ion hidrógeno; se escribe primero y se nombra al final, mientras que la especie negativa puede ser el no metal más electronegativo o el ion poliatómico negativo que se escribe al último y se nombra al comienzo.

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Cristales

¿POR QUÉ A LA SAL COMÚN NO LA LLAMAS SODIURO DE CLORO? Esto se debe a las reglas de la IUPAC (por convención). Se menciona primero al más electronegativo seguido del menos electronegativo.

Cristales

Cristales

Hermatita




QUÍMICA


COMPUESTOS DEL OXÍGENO El estado de oxidación más común que muestra el oxígeno es -2, pero también muestra -1, -1/2, +1/2, +1 y +2. Estado de oxidación -2 Este estado lo muestra el oxígeno en los óxidos y en muchos otros compuestos. Se obtiene cuando un átomo de oxígeno completa su octeto, ya sea por ganancia de un par de electrones para formar el ion óxido O¯2, o por la ganancia de compartir dos electrones para formar un enlace covalente con un elemento menos electronegativo. Los óxidos iónicos incluyen los de los metales alcalinos y alcalinos – térreos, excepto el Be O que es covalente. Muc h os óx i do s ió n ic o s so n refractarios, es decir, pueden calentarse a altas temperaturas sin que se funda o descomponga. El óxido de calcio, CaO (cal viva), tiene un punto de fusión de 2500°C. Los óxidos moleculares covalentes se forman cuando el oxígeno se enlaza con otros no metales, los ejemplos incluyen CO2, SO2, NO2 y Cl O2. Estos óxidos son ácidos.

En los primeros días del teatro la cal viva se usaba para iluminar el escenario porque a altas temperaturas da una luz blanca brillante, la “ luz de calcio”.

Óxido Compuesto binario formado por el oxígeno y otro elemento químico. Se dividen en óxidos metálicos y óxidos no metálicos (antiguamente llamados anhídridos), según fuera la naturaleza química del elemento. Se conoce los óxidos de todos ellos a excepción de los gases nobles, algunos se encuentran en la corteza terrestre y en la atmósfera (por ejemplo el dióxido de silicio en el cuarzo y el dióxido de carbono en el aire). La mayor parte de los elementos reaccionan directamente con el oxígeno en condiciones de presión y temperaturas adecuadas. Los metales en estado normal reaccionan muy lentamente a temperatura ambiente, recubriéndose de una capa fina de óxido que en general los pasiva porque si se inflan arden violentamente. El oro es el que presenta mayor resistencia a la oxidación. Se pueden clasificar en ácidos o básicos, según el carácter de las disoluciones que resultan cuando se ponen en contacto con el agua. Los óxidos metálicos son alcalinos y los óxidos no metálicos son ácidos.

II BIMESTRE

PARA EL ESTUDIANTE El cambio de énfasis en este capítulo no debe desconcentrarnos. Aunque se necesitará aprender (memorizar) más hechos químicos que en los primeros capítulos anteriores, se encontrará también que los fundamentos teóricos expuestos en los primeros capítulos ayudan a organizar, recordar y hacer uso de estos nuevos hechos. Por su puesto hay que estar listo a refrescar la memoria volviendo atrás a dichos capítulos cada vez que sea necesario.

NOMENCLATURA INORGÁNICA Esta vez daremos una mirada más detenida a la nomenclatura química inorgánica. Elemento El nombre de los elementos varía un poco de un idioma a otro, pero los símbolos químicos son casi universales. Cada símbolo consta de una o dos letras tomadas del nombre del elemento (generalmente del latín, del griego, etc.). Cuando el símbolo tiene dos, la primera letra es mayúscula y la segunda minúscula.

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QUÍMICA

Los elementos que pueden existir como dos o más alótropos moleculares pueden nombrarse sistemáticamente con un prefijo que indica el número de átomo por molécula. Los prefijos y los números que presentan son: Mono Di Tri Tetra

1 2 3 4

Penta Hexa Hepta Octa

5 6 7 8

Nona o ennea Deca

9 10

Undeca 11 o Hendeca

Las alternativas dadas para 9 y 11se derivan del latín y del griego, respectivamente. Algunos ejemplos del uso de los prefijos son: Fómula

Nombre Sistemático IUPAC

O2 O3 P4 S8

Dioxígeno Trioxigeno Tetrafósforo Octaazufre

Nombre Común Oxígeno Ozono Fósforo Blanco Azufre

Cationes Cationes simples; cuando un elemento muestra solamente una simple forma catiónica el nombre del catión es el mismo nombre del elemento. Ejemplos:

La IUPAC se formó en 1919 por químicos de la industria y academia. Durante casi ocho décadas la unión ha ten ido éxito, crean do las comunicaciones mundiales en las ciencias químicas y uniendo académicos, a los químicos que trabajan para industrias y a la química del sector público en un idioma común. La IUPAC se ha reconocido por mucho tiempo como la autoridad mundial en la nomenclatura química, la terminología, los métodos estandarizados para la medida, pesos atómicos y muchos otros datos críticamente evaluados. Durante la guerra fría, la IUPAC se volvió un instrumento importante para mantener el diálogo técnico entre científicos a lo largo del mundo.

Na+ Ion sodio Ca+2 Ion calcio Al+3 Ion aluminio Cuando un elemento puede formar dos cationes relativamente comunes (con dos estados de oxidación respectivamente diferentes) cada ion debe nombrarse de tal manera que se diferencie del otro. Hay dos maneras de hacer esto; el sistema oso – ico y el sistema Stock. El primero usa los sufijos – oso – e – ico – unidos a la raíz del nombre del elemento para indicar, respectivamente, el más bajo y el más alto estado de oxidación. La raíz se forma comúnmente al suprimirle al nombre latino la terminación “um”. La última sílaba al nombre en español, por ejemplo: Sistema oso – ico Nombre Español

Nombre latino

Estado de oxidación más bajo

Estado de oxidación más alto

Cobre Estaño Cromo Hierro Cobalto

Cuprum Stanum ——— Ferrum ———

Cu+ Ion Cuproso Sn2+ Ion Estannoso Cr2+ Ion Cromoso Fe2+ Ion Ferroso Co2+ Ion Cobaltoso

Cu2+ Ion Cúprico Sn4+ Ion Estánnico Cr3+ Ion Crómico Fe3+ Ion Férrico Co3+ Ion Cobáltico

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QUÍMICA


La segunda manera de nombrar cationes simples es el sistema stock. En este sistema el estado de oxidación del elemento se indica por medio de un número romano inmediatamente después del nombre. Sistema stock Elemento

Estado de oxidación más bajo

Estado de oxidación más alto

Cobre Estaño Cromo Hierro Cobalto

Cu1+ Ion Cobre (I) Sn2+ Ion Estaño (II) Cr2+ Ion Cromo (II) Fe2+ Ion Hierro (II) Co2+ Ion Cobalto (II)

Cu2+ Ion Cobre (II) Sn4+ Ion Estañoso(IV) Cr3+ Ion Cromo (III) Fe3+ Ion Hierro (III) Co3+ Ion Cobalto (III)

Aniones Los aniones monoatómicos se denominan añadiendo el sufijo “uro” a la raíz del nombre del elemento en la cual la raíz usualmente consiste en la primera sílaba del nombre del elemento.

El peróxido de hidrógeno se encuentr a en bajas concentraciones (3-9%) en muchos productos domésticos para usos medicinales y como blanqueador de vestimentas y el cabello. En la industria, el peróxido de hidrógeno se usa en concentraciones más altas para blanquear telas y pasta de papel, como componente de combustible para cohetes y para fabricar espuma de caucho y sustancias químicas orgánicas. En otras áreas como en la investigación, se utiliza para medir la actividad de algunas enzimas como la catalasa.

Ejemplo: O2¯ N3¯ F¯ Br¯ I¯ H¯ Cl¯ S2¯

Óxido ( excepción) Ion Nitruro Ion Fluoruro Ion Bromuro Ion Yoduro Ion Hidruro Ion Cloruro Ion Sulfuro Dolomita

Nombres comunes Muchas sustancias se conocen desde antaño por sus nombres comunes. De hecho estos nombres comunes son más y mejor conocidos que sus nombres sistemáticos. Así, al agua nunca se la denomina como óxido de hidrógeno. Otros nombres comunes se usan en aplicaciones especializadas. Así el tíosulfato de sodio para los fotógrafos es el “hipo”, los minerólogos conocen al sulfuro de zinc como espalderita.

Ambar

Fórmula NH3 Al2O3 NaOH KOH NaCl

Nombre Común Amoniaco Alumina Soda Cáustica Potasa Cáustica Sal, sal común

II BIMESTRE

Nombre Sistemático Nitruro de Hidrógeno Óxido de Aluminio Hidróxido Sodio Hidróxido Potásio Cloruro Sódico

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QUÍMICA

FORMACIÓN DE COMPUESTOS Los compuestos se forman cuando los átomos se combinan en proporciones definidas y se representan mediante fórmulas. La fórmula de un compuesto nos indica los elementos presentes y el número relativo de átomos de cada elemento. En ella los átomos participan con sus diferentes números de oxidación, los mismos que pueden ser positivos (+) o negativos (-). Los elementos pueden ser metales y no metales, y su capacidad de combinación tiene relación con el lugar que ocupa en la tabla periódica.

ESTADOS DE OXIDACIÓN O NÚMERO DE OXIDACIÓN Es una medida del grado de oxidación de un elemento cuando forma compuestos. Es (+) o (-), según sea el caso de como participa el elemento en el compuesto. Reglas para asignar el Número de Oxidación 1.- A un elemento libre, en cualquiera de sus formas alotrópicas, se le asigna un número de oxidación cero. Ejemplos: Na˚, Ca˚, Al˚, Cl2˚ S8˚, P4˚, S6˚, S2˚, N2˚. 2.- Los metales tienen número de oxidación (+) en sus compuestos. Los metales del grupo IA y IIA tienen un único número de oxidación +1 y +2, respectivamente. Si participan como ion, su número de oxidación es igual a la carga de ion. +3

+3

-2

+2

-1

Al Cl3 Iónico

Al2 O3 Iónico

Ejemplos:

Rubí

-2

Ca O Iónico

3.- Los no metales en sus compuestos presentan número de oxidación (+) o (-) según sea el caso. Ejemplos:

+2

-2

+2

Ca S

+4

-2

+6

-2

S O2

S O

-2

S O3 Mica Muscovite

4.- Al oxígeno se le asigna un número de oxidación -2, excepto cuando forma compuesto con el flúor, su número se oxidación es +2 y en los peróxidos es -1. Ejemplos:

+2

+3

-2

+1

-2

Al2 O3

Ca O +5

+1

-2

Cl2 O5

+3

-2

K2 O

-1

H2 O2

-2

Cl2 O3 +1

-1

Na2 O2

5.- En todo compuesto químico la suma de los números de oxidación de todos los átomos es cero y en un ion complejo la suma total de sus números de oxidación es igual a la carga del ion. Ejemplos:

- 180 -

+2

-2

Ba O (+2)+(-2)=0

+1

+6

-2

H2 S O4 2(+1)+(+6)+4(-2)=0

+6

-2

(S O4 ) -2 (+6)+4(-2)=-2




QUÍMICA


NÚMERO DE OXIDACIÓN DE ALGUNOS ELEMENTOS

Personaje del Tema

+1

H H-1 Li

Marie Curie N-3 N+3 N+5

+1

Na+1 Mg+2

O

-2

S -2 S+2 S+4 S+6

Al+3 Fe+2 Co+2 Ni+2 Cu+1 Zn+2 Fe+3 Co+3 Ni+3 Cu+2

K+1 Ca+2

Sn+2 Sn+4 Pb+2 Pb+4

Ag+1 Au+1 Au+3

NO METALES Número de Oxidación

METALES Número de Oxidación Flúor

F

( -1)

Cloro Bromo Yodo

Cl Br I

(+1, +3, +5, +7) (+1, +3, +5, +7) (+1, +3, +5, +7)

Oxígeno

O

( -2)

Azufre

S

(+2, +4, +6)

Nitrógeno

N

(+3, +5)

(+1, +2) (+1) (+1, +3)

Fósforo

P

(+3, +5)

Cabono

C

(+2, +4)

(+3) (+2, +4) (+2, +4)

Hidrógeno H

Litio Sodio Potasio

Li Na K

(+1) (+1) (+1)

Magnesio Calcio

Mg Ca

(+2) (+2)

Hierro

Fe

(+2, +3)

Cobalto Níquel

Co Ni

(+2, +3) (+2, +3)

Cobre Plata Oro

Cu Ag Au

Aluminio Estaño Plomo

Al Sn Pb

Mar íe Sklo dow ska Cu ri e de sc ub r i ó u n mi s t er i o so elemento, el radio. Con este acontecimiento abrió las puertas a cambios profundos en la manera de pensar acerca de la materia y la energía. Nació en Polonia en 1867. En 1895, Henry Becquerel, descubrió que ciertos minerales que contenían uranio emitían rayos. Marie decidió estudiar es tos misteriosos ra yos (radiactividad). En 1898, se decubrieron dos elementos radioactivos, (el radio y el polonio), llamado este último en honor a la patria de Marie Curie. Murió en 1934 por la excesiva exposición a la radiacción. El elemento Curio (Cm) se denominó así en su honor.

(+1, -1)

FUNCIONES QUÍMICAS Son conjuntos de sustancias que tienen propiedades químicas semejantes por presentar composición química similar.

COMPUESTOS OXIGENADOS METAL

+

Oxígeno



Óxido Básico

NO METAL

+

Oxígeno



Óxido Ácido (Anhídrido)

ÓXIDO BÁSICO Se forma por la combinación de: Metal

+

II BIMESTRE

Oxígeno



Óxido Básico

- 181 -




QUÍMICA

Ejemplo: 4 Li°

+

O2°

+1



Oxigeno

Metal

-2

2Li2 O Óxido Básico

Nomenclatura IUPAC Sistemática Óxido de Dilitio

Común Óxido de Litio

STOCK Óxido de Litio (preferible)

A.- Para los elementos de los grupos IA y IIA se puede omitir (I) y (II) después del nombre, ya que éste es su único número de oxidación. Ejemplos:

+2

-2

+2

-2

2 Fe°

+

O2°



2Fe O .......(1)

4 Fe°

+

3 O2°



2Fe2 O3 .......(2)

El 13 de mayo de 1906, el consejo de la Facultad de Ciencias, por decisión unánime, otorgó a la viuda Marie Curie la cátedra que había desempeñado su esposo en La Sorbona. Era la primera vez en 650 años que se concedía tan alta posición en la enseñanza universitaria de Francia a una mujer.

B.- Cuando los elementos cuentan con más de un número de oxidación la nomenclatura común hace uso de las terminaciones oso (Fe+2) e ico (Fe+3), debido a que existen dos combinaciones posibles.

Nomenclatura Fe O Fe2 O3

Común Óxido Ferroso Óxido Ferrico

IUPAC Óxido Hierro Trióxido de Dihierro

STOCK Óxido de Hierro (II) Óxido de Hierro (III)

C.- La nomenclatura IUPAC, como se puede observar, es lectura de fórmula. 4 Fe°

+

3 O2°



2Fe2

O3 .......(2)

ÓXIDO ÁCIDO (ANHÍDRIDO) Se forma por la combinación de: No Metal

+

Oxígeno



Óxido Ácido (Anhídrido)

Ejemplo: 2 N2 °

+

3 O2°



+3

-2

2N2 O3

El no metal nitrógeno presenta dos números de oxidación (+3 y +5) para los anhídridos.

Nomenclatura N2 O3

Común Anhídrido Nitroso

IUPAC Trióxido de Dinitrogeno

D.- Para los anhídridos u óxidos ácidos sólo se trabaja con dos nomenclaturas, la común y la IUPAC.

- 182 -




QUÍMICA


Ejemplos: Números de oxidación del cloro +1, +3, +5 y +7. +1

-2

+3

-2

+5

-2

2 Cl2°

+

O2°



2Cl2 O .......(1)

2 Cl2°

+

3 O2°



2Cl2 O3 .......(2)

2 Cl2°

+

5 O2°



2Cl2 O5 .......(3)

2 Cl2°

+

7 O2°



2Cl2 O7 .......(4)

+7

1) D a n o m b r e a l s i g u i e n t e compuesto: Fe2 O3

-2

E.- Para el no metal cloro y otros que, como él, presentan cuatro números de oxidación, es necesario usar prefijos en la nomenclatura común según sea el caso.

Solución: El hierro presenta dos números de oxidación (+2 y +3). ¿Con cuál trabajará? x

Nomenclatura COMÚN (1) (2) (3) (4)

-2

Fe2 O3

IUPAC Óxido de Dicloro Trióxido de Dicloro Pentóxido de Dicloro Heptóxido de Dicloro

Anhídrido Hipocloroso Anhídrido Cloroso Anhídrido Clórido Anhídrido Perclorico

2x +3(-2) = 0 2x = 6 x =3

El hierro está trabajando con +3. Como el hierro es un metal, se trata de un óxido básico. Común Óxido Férrico IUPAC Sistemático Trióxido de Dihierro

FORMULACIÓN:

A

n-

m+

+

C



STOCK Óxido de Hierro (III)

Cn Am

NOMENCLATURA

2) D a n o m b r e a l s i g u i e n t e compuesto:

.............................. de ............................. (especie negativa) (especie positiva)

Cl2 O3 Solución: El cloro presenta cuatro números de oxidación (+1, +3, +5 y +7) ¿Con cuál trabajará? x

-2

Cl2 O3

2x +3(-2) = 0 2x = 6 x =3

El cloro está trabajando con +3. Como el cloro es un no metal, se trata de un óxido ácido o anhidrido. Común Anhídrido cloroso

Anhídrido

II BIMESTRE

IUPAC Sistemático Trióxido de Dicloro

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QUÍMICA

3) Diferencia quiénes son metales y quiénes son no metales: H, Ca, C, Fe, Cl, Mg, Li, Na. Solución: METALES NO METALES Ca H Fe C Mg Cl Li Na 4) Halla el número de oxidación de l me tal en el si gui en te compuesto: Al2 O3

Al2 O3 No Metal

2x +3(-2) = 0 2x = 6 x =3 El metal presenta número de oxidación +3. 5) Halla el número de oxidación de l c l or o en e l si g ui e n te compuesto: Cl2 O7 Solución: x

-2

Cl2 O7 Cloro

Metal

+

2)

Oxígeno

2x +(7)(-2) = 0 x =7 El cloro presenta número de oxidación +7.

9) Óxido Ácido __________________________ __________________________ _________________________. IV. Indica verdadero (V) o falso (F). 10) El prefijo “mono” corresponde a 2. ( )

No metal +

3) El estado de oxidación más común qué muestra el oxígeno es_____.

-2

Metal

1)

II. Completa:

Solución: x

I. Completa el cuadro.

4) Se co nocen los óxidos de todos ellos a excepción de los ________________________.

11) El prefijo “tri” corresponde a 3. ( ) 12) El prefijo “hepta” corresponde a 5. ( ) 13) La formula del fosforo blanco es P4 . ( )

5) Es el que p re senta mayor resistencia a la oxidación: _________________________

14) En la nomenclatura “oso” e “ico” el mayor es “oso” y el menor “ico” ( )

6) S e p u e d e n c l a s i f i c a r en ________________ o___________, según el caracter de las disoluciones que resultan cuando se ponen en contacto con el agua.

15) En la nomenclatura IUPAC, se usan los números romanos inmediatamente después del nombre. ( )

7) El nombre de un elemento varía un poco de un idioma a otro, pero los símbolos químicos son casi universales. Cada símbolo consta de una o dos letras tomadas del nombre del elemento generalmente del ____________ __________________________ .

I. Completa los cuadros: Na

+

O

S

+

O



1)

Na2 O



2)

S O3

III. Menciona ejemplos de: II. 8) Óxido Básico _________________________ _________________________ _________________________ __.

- 184 -

Halla el número de oxidación del metal en los siguientes compuestos:

3) Na2 O __________________________ __________________________ __________________________ _.




QUÍMICA


4) Fe2 O3 __________________________ __________________________ __________________________ _. 5) Al2 O3 __________________________ __________________________ __________________________ _.

II BIMESTRE

III. Halla el número de oxidación del no metal en los siguientes compuestos: 6) No metal (cloro) Cl2 O5 __________________________ __________________________ __________________________ _.

8) No metal (nitrógeno) N2 O3 __________________________ __________________________ __________________________ _. IV. Completa los cuadros: 4K

7) No metal (azufre) S O3 __________________________ __________________________ __________________________ _.

9) C 10)

+ O2 +

O2



2K2 O



C O2

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QUÍMICA

NOMENCLATURA INORGÁNICA II HIDRÓXIDOS Un hidróxido es un compuesto en el que el grupo hidroxo (-OH), se halla unido a otro átomo por lo general un metal (cuando el grupo hidroxo se une a un no metal el compuesto es un ácido y se nombra como tal). Se forma por la combinación de: Óxido básico +

Agua



Hidróxido

Ejemplo: +1

¯2 Li2 O

+1 ¯2 + H2 O

+1 1 2 Li (OH)¯

Hidróxido de Litio

Óxido de Litio

La estructura de un hidróxido está formado con el catión (+) metálico y el anión (–) (OH)¯, que está presente tantas veces como indica el número de oxidación del catión. Ejemplo (1): Ca(OH)2 Ca+2 + 2(OH)¯

El ácido clorhídrico o, como es todavía ocasionalmente llamado, ácido muriático, es una disolución acuosa del gas CLORURO DE HIDRÓGENO (HCl). Es muy corrosivo y ácido. A temperatura ambiente, el cloruro de hidrógeno es un gas incoloro ligeramente amarrillento, corrosivo, no inflamable, más pesado que el aire, de olor fuertemente irritante. Cuando se expone al aire, el cloruro de hidrógeno forma vapores corrosivos densos de color blanco. El cloruro de hidrógeno puede ser liberado por volcanes.

Ejemplo (2): Fe2+

+ 2(OH)¯1

Catión

Anión

Fe2+(OH)2¯1

Nomenclatura Fe (OH)2 Común Hidróxido ferroso

- 186 -

IUPAC Dihidróxido de Hierro

STOCK Hidróxido de Hierro




QUÍMICA


NOMBRE DE ALGUNOS HIDRÓXIDOS Fórmula

Nombres

K OH Ca (OH)2 Al (OH)3 Fe (OH)2

Hidróxido de Potasio Hidróxido de Calcio Hidróxido de Aluminio Hidróxido de Hierro (II) o Hidróxido Ferroso Hidróxido de Hierro (III) o Hidróxido Ferrico

Fe (OH)3

A los hidróxidos o base se les consideran funciones ternarias porque tienen 3 elementos diferentes.

Nomenclatura 1.– Si el metal posee un solo valor de estados de oxidación.

El cloruro de hidrógeno tiene numerosos usos. Se usa, por ejemplo, para limpiar, tratar y galvanizar metales, curtir cueros, y en la refinación y manufactura de una amplia variedad de productos. El cloruro de hidrógeno puede formarse durante la quema de muchos plásticos. Cuando entra en contacto con el agua, forma ácido clorhídrico. Tanto el cloruro de hidrógeno como el ácido clorhídrico son corrosivos.

HIDRÓXIDO DE [ NOMBRE DEL METAL] 2.– Si el metal posee varios estados de oxidación.

Nomenclatura Clásica HIDRÓXIDO [ RAIZ DEL METAL + SUFIJO] Según numeral Stock Hidróxido de [Nombre del metal] (estado de oxidación en romano) Ejemplos: Nomenclatura clásica (común)

Hidróxidos Na OH Fe (OH)2 Fe (OH)3 Cu (OH) Cu (OH)2

Hidróxido de Sodio Hidróxido Ferroso Hidróxido Férrico Hidróxido Cuproso Hidróxido Cúprico

Nomenclatura Stock Hidróxido de Sodio Hidróxido de Hierro (II) Hidróxido de Hierro (III) Hidróxido de Cobre (I) Hidróxido de Cobre (II)

Mica

Ejemplo: Forma al hidróxido de calcio. Solución: El calcio sólo tiene un número de oxidación +2. Para formar el hidróxido de calcio se une el metal calcio de su estado de oxidación +2 con el grupo funcional hidróxido (OH)¯1 de la siguiente manera. Ca+2 + (OH)¯1

II BIMESTRE



Ca1 (OH)2

Mica Muscovite

- 187 -




QUÍMICA

Ejemplo: Personaje del Tema

Forma al hidróxido férrico.

Otto Hahn

Solución: El hierro presenta dos números de oxidación (+2 y +3). Correspondiendo (+2) para la terminación “oso” y (+3) para la terminación “ico”. Se elige +3 porque la terminación de lo que nos piden esta en “ico”. Luego se une con el grupo funcional hidróxido (OH)¯1 de la siguiente manera: Fe+3 + (OH)¯1



Fe1 (OH)3

ÁCIDOS OXÁCIDOS En estos compuestos el protón disponible esta unido a un oxígeno y por lo tanto se puede clasificar como compuestos ácido hidroxo. Casi nunca se denominan siguiendo el modelo “nombre del Anión + Hidrógeno”(así el H2 SO4 raramente se nombra como sulfato de hidrógeno ). Por el contrario se nombra eliminando el sufijo (ito) o (ato) del nombre del anión y añadiendo (ácido___ oso) o (ácido____ico), respectivamente. Ejemplos: H Cl O H Cl O2 H Cl O3 H Cl O4

Nació en Alemania en 1879. Su mayor descubrimiento lo llevó a cabo en el año 1938. Trabajando con Strassmann. Hahn descubrió la fisión del Uranio y el Thorio en medio de pesados núcleos atómicos. Desde esa fecha hasta 1944, Hahn continuó la investigación en la prueba y separación de muchos elementos a través de la fisión nuclear. Otto Hahn murió en julio de 1968. El elemento hahnio (Z=1045) se llamó así en su honor.

Ácido Hipocloroso Ácido Cloroso Ácido Clórico Ácido Perclórico

* Se forma por la combinación : Óxido ácido (Anhídrido) +

Agua



Ácido Óxido

Ejemplo: +3

+1

-2

-2

N2 O3 + H2 O

Anhídrido Nitroso Trióxido de Dinitrógeno



+1

+3

-2

2 H N O2

Ácido Nitroso

NOMENCLATURA La nomenclatura que más se utiliza para nombrar a los ácidos oxácidos es la común. Para los no metales que tienen más de dos números de oxidación se utilizan los mismos prefijos que en los anhídridos (óxido ácidos). Para formar la mólecula de un ácido oxácido puede seguirse una de las dos reglas que a continuación se explican en base al estado de oxidación “n” del no metal llamemos “x”al no metal que actúa como átomo central. n REGLA (1) Si “n” es par, tenemos H2 XOp donde p = +1 2

Joyas

Ejemplo: H2 SO4 donde el número de oxidación del “S” es +6.

- 188 -




QUÍMICA


( )

REGLA (2) Si “n” es impar, entonces tenemos H XOp donde p = n+1 2 Ejemplo: Tenemos H NO3 , donde el número de oxidación del “N” es +5. Número de Oxidación del átomo central Cl +1 Cl +3 Cl +5 Cl +7

(H Cl O ) (H Cl O2 ) (H Cl O3 ) (H Cl O4 )

Número de Oxidación del átomo central S+2 (H2 S O2 ) S +4 (H2 S O3 ) S +6 (H2 S O4 )

Número de Oxidación del átomo central +2

C (H2 C O2 ) C +4 (H2 C O3 )

Número de Oxidación del átomo central B+3 (H BO2 )

Nombre del Ácido

1) Halla el número de oxidación del átomo central: H2 SO4 Solución:

Hipo____oso ......._____oso ......._____ico Per _____ico

Ácido Hipocloroso Ácido Cloroso Ácido Clórico Ácido Perclórico

Nombre del Ácido

Hipo____oso ......._____oso ......._____ico

Ácido Hiposulfuroso Ácido Sulfuroso Ácido Sulfúrico

El átomo central es el azufre +1

x

¯2

H2 S O4 2 (+1) + 1(x) + 4(¯2) = 0 2 + x - 8=0 x - 6=0 x = +6 El átomo central que es el azufre tiene número de oxidación +6.

2) Halla el número de oxidación del átomo central de: H NO3 Solución:

Nombre del Ácido El átomo central es el nitrógeno. ........ ____oso ......._____ico

Ácido Carbonoso Ácido Carbónico

Nombre del Ácido ........ ____ico

Ácido Bórico

Observamos que el cloro tiene cuatro números de oxidación, entonces para el sistema común o tradicional es necesario nombrarlo de cuatro maneras diferentes. Para los dos números de oxidación menores, la terminación “oso”, y para los dos números de oxidación mayores, la terminación “ico”. Para diferenciar a los dos menores, al menor de ellos le colocamos el prefijo (hipo) y para diferenciar a los dos mayores, al mayor de ellos le colocamos el prefijo (per).

+1

x

¯2

H N O3

1 (+1) + 1(x) + 3(-2) = 0 1 + x -6=0 x- 5=0 x = +5 El átomo central que es el nitrógeno tiene número de oxidación (+5).

3) Halla el número de oxidación del metal en el siguiente hidróxido Fe (OH)3 Solución: El metal es el hierro (Fe) x

¯1

Fe (OH)3

Pirita

II BIMESTRE

Cristales

1(x) + 3(-1) = 0 x - 3= 0 x = +3 El metal está trabajando con número de oxidación +3.

- 189 -




QUÍMICA

4) Indica nombre del siguiente compuesto: Fe (OH)2 Solución: El metal hierro presenta dos números de oxidación (+2 y +3). ¿Con cuál de ellos estará trabajando? Fex (OH)2¯1

x - 2= 0 x = +2 El metal hierro estátrabajando con el menor (+2), por la nomenclatura común o tradicional le corresponde la terminación “oso”, entonces su nombre será “hidróxido ferroso”. Por la nomenclatura IUPAC (sistemática) sera dihidróxido de hierro, por la nomenclatura stock será hidróxido de hierro (II).

I. Completa el cuadro. 1) Óxido + básico

Solución:

+1

x

¯2

3)

5)

El azufre presenta tres números de oxidación (+2, +4 y +6). Para (+2) hipo _____oso Para (+4) _____oso Para (+6) _____ico

6)

S+6 + O-2 S2O6 SO3

S O3

N2 O3

Se simplifican los números pares

Óxido ácido Anhídrido

S O3 + H2O H2 SO4 Óxido ácido Anhídrido

- 190 -

Ácido Oxácido

H2O

+

H2O

+

H2O

+

H2O

II. Halla el número de oxidación de los siguientes elementos marcados con (x). x

7) S O3 __________________________ __________________________ _______________________.

12) Cu (OH)2 ___________________________ __________________________ IUPAC_____________________ Stock ____________________ 13) H2 SO2 ___________________________ __________________________ Común____________________ 14) H NO3 ___________________________ __________________________ Común____________________ 15) H2 CO3 ___________________________ __________________________ Común____________________

x

8) Al2 O3 __________________________ __________________________ _______________________. x

No metal

+

4)

2(+1) +x + (4)( - 2)= 0 2 +x - 8 =0 x = +6

Como el azufre trabaja con +6 su nombre según la nomenclatura común o tradicional debe tener la terminación "ico". H2 S O4 : Ácido Sulfúrico Porque es un ácido y porque el azufre es un no metal. Los no metales se oxidan dando óxidos ácidos o anhídridos, los cuales al reaccionar con el agua generan ácidos oxácidos de la siguiente manera:

11) Fe (OH)3 ___________________________ __________________________ IUPAC_____________________ Stock ____________________

Óxido + ácido

Al2O3

H2 S O4

III. Indica el nombre de los siguientes compuestos:

2)

Ca O 5) Indica el nombre del siguiente compuesto: H2 SO4

x

10) H N O3 __________________________ __________________________ _________________________.

9) H2C O4 __________________________ __________________________ _______________________.

I. Indica verdadero (V) o falso (F) 1) El H2SO4 es un ácido oxácido. ( ) 2) El Ca(OH)2 es un hidróxido. ( )




QUÍMICA


3) En el ácido nítrico el nitrógeno trabaja con número de oxidación +3. ( )

4) En el hidróxido ferroso el hierro trabaja con +3. ( )

5) En el ácido silfúrico el azufre trabaja con número de oxidación +2. ( )

II BIMESTRE

II. Relaciona usando flechas: 6) Ácido oxácido

•H NO3

7) Hidróxido

•Ca (OH)2

III. Hallar el número de oxidación de los siguientes elementos marcados con (x). x

8) K(OH) __________________________ __________________________ _________________________.

x

9) Co (OH)3 __________________________ __________________________ _________________________.

x

10) Zn(OH)2 __________________________ __________________________ _________________________.

- 191 -




QUÍMICA

NOMENCLATURA INORGÁNICA III SALES OXISALES NEUTRAS Compuestos formados por la combinación de : Óxido Básico + Óxido Ácido BaO + CO2 Hidróaxido NaOH

Sal Oxisal Neutra BaCO3

+ Ácido Oxácido Sal Oxisal Neutra + H2O + HNO3 NaNO3 + H2O

1.– Sal que contiene el catión con un solo número de oxidación. [oxianión] de [Nombre del metal] 2.– Sal que contiene catión con número de oxidación variable. [oxianión] de [Raíz de metal + sufijo] Ejemplos: N. Clásica Na2SO4 Sulfato de Sodio NaClO Hipoclorito de Sodio

Mineral

- 192 -

N. Sistemática IUPAC Tetraoxosulfato de Sodio Monoxoclorato de Sodio

Desinfectantes: Son sustancias químicas capaces de destruir un germen patógeno que debido a su alta toxicidad celular se aplican solamente sobre tejido inanimado, es decir material inerte. Antisépticos: Son antimicrobianos que sí se pueden aplicar en te jido vi vo, p ero só lo localmente, de forma tópica, en piel y mucosas. Los antisépticos no pueden ser administrados por la vía perenteral u oral para tratar infecciones, porq ue las dosis de antisépticos a los cuales se obtiene un efecto antimicrobiano efectivo son altamente tóxicas. Además, la concentración a la cual estos químicos no son tóxicos para el organismo es subterapéutica. La incapacidad para usar estos químicos en forma sistemática constituye la principal diferencia entre este grupo de fármacos y los quimioterápicos. Los quimioterápticos utilizan principalmente la vía sistémica y sus concentraciones efectivas no son tóxicas para el organismo.

Mineral




QUÍMICA


FUNCIONES QUÍMICAS INORGÁNIGAS Personaje del Tema

Compuestos Binarios

Elemento

Metal

+ O2

Óxido Básico

Compuestos Ternarios

+ H 2O

Hidróxido +

No Metal

+ O2

Óxido Ácido

+ H2O

Ácido Oxácido

Sal Oxisal

Alquimia Griega Los primeros filósofos griegos llegaron a la conclusión de que la Tierra estaba formada por unos cuantos elementos o sustancias básicas. Empédocles de Agrigento, alrededor del 430 a.C. estableció que tales elementos eran cuatro: * Tierra * Aire * Agua * Fuego

Neutra

Metal

No Metal

+ H2

Hidruro Metálico

+ H2

Hidruro No metálico

Un siglo más tarde, Aristóteles supuso que el ciclo lo constituía un quinto elemento, el éter.

+ H2O

Ácido Hidrácido

+

Hidróxido

En el año 600 a.C. el filósofo griego Tales de Mileto descubrió que una resina fósil descubierta en las playas del Báltico, a la cual nosotros llamamos ámbar y ellos llamaron elektron, tenía la propiedad de atraer plumas, hilos o pelusa al ser frotada con un trozo de piel.

Sal Haloide

II BIMESTRE

- 193 -




QUÍMICA

1) ¿Cómo se forma una sal oxisal? No Metal

Metal SODIO

AZUFRE

Na +1 + O¯2

S +6 + O¯2

Na2O1 + H2O

S2O6

2Na+1 (OH)¯1

SO3 + H2O

2Na (OH) 2Na+1

H2SO4

+ 2(OH)¯1

2Na+1 + 1 2(OH)¯ +

(SO4)¯2 2 H+1

2H+1

(SO4)¯2

+

Na SO4 ( Sal Oxisal) 2H2O ( Agua)

Observamos que el metal (sodio) se oxida a óxido de sodio, que al reaccionar con el agua forma hidróxido de sodio. El ion sodio trabaja con número de oxidación +1, mientras el ion hidróxido con -1. También observamos que el no metal (azufre) se oxida para dar el anhídrido sulfúrico que al reaccionar con el agua forma el ácido sulfúrico. El ácido sulfúrico se desdobla en el ion hidronio con número de oxidación +1 y el ion sulfato con -2. Cuando este hidróxido de sodio reacciona con el ácido sulfúrico van a formar la sal oxisal más agua. Nota: H2SO4 2H+ + (SO4)-2 Ácido Sulfúrico

Ion Hidronio

Ion Sulfato

2) CALCIO

NITRÓGENO

Ca +2 + O¯2

N+5 + O¯2

Ca2O2

N2O5

CaO + H2O

+

2(OH)¯1

Ca+2 + 2(NO3)¯1 1 2(OH)¯ + 2 H+

- 194 -

H 2O

H2 N2 O6

Ca+2 (OH)¯1 Ca1 (OH)2 Ca+2

+

2 H N O3 2H+

+

2(NO3)¯1

Ca (NO3 )2 ( Sal Oxisal) 2H 2O ( Agua)




QUÍMICA


Nota: NHO3

H+

+

(NO3)-1

Ácido Nítrico

Ion Nitrato

Nomenclatura: Ca (NO3)2

3)

Nitrato de Calcio

No Metal

Metal HIERRO

AZUFRE

Fe+3

S+6

Fe +3 + O¯2

S+6 + O¯2

Fe2O3 + H2O

S2O6

Fe+3 (OH)¯1

SO3 + H2O

Fe1 (OH)3

H2SO4

Fe +3

+

3(OH)¯1

2H+1

2Fe+3 + 3(SO4)¯2 1 2x3(OH)¯ + 3x2 H+

+

(SO4)¯2

Fe2(SO4)3 ( Sal Oxisal) 6 H2O ( Agua)

Nota: H2SO4

2H+

Ácido Sulfúrico

+

(SO4)-2 Ion Sulfato

Nomenclatura: Fe2 (SO4)3 Común

IUPAC

Stock

Sulfato Férrico

Trisulfato de Dihierro

Sulfato de Hierro III

Cristales de Lisosina

II BIMESTRE

- 195 -




QUÍMICA

4)

No Metal

Metal HIERRO

NITRÓGENO

Fe+2

N+3

Fe +2 + O¯2

N+3 + O¯2

FeO

+ H2O

N2O3

Fe+2 (OH)¯1

+

H2O

H2 N2 O4

Fe1 (OH)2 Fe+2

+

2 H N O2

2(OH)¯1

2H+

Fe+2 + 2(NO2)¯1 2(OH)¯1 + 2 H+

2(NO2)¯1

+

Fe1(NO2)2 ( Sal Oxisal) 2 H2O ( Agua)

Nota: HNO2

H+

+

(NO2)-1

Ácido Nitroso

Nomenclatura:

Ion Nitrito

Fe (NO2)2 Nitrito Ferroso 5)

No Metal

Metal CLORO

CALCIO

Cl+7

Ca+2

Cl+7 + O¯2

Ca +2 + O¯2

Cl 2O7

Ca2O2 CaO + H2O

+

2 H Cl O4 2H+

2(OH)¯1

Ca+2 + 1 2(OH)¯ +

H2O

H2 Cl2 O8

Ca+2 (OH)¯1 Ca1 (OH)2 Ca+2

+

2(ClO4)¯1 2 H+

+

2(ClO4)¯1

Ca (ClO4)2 ( Sal Oxisal) 2 H2O ( Agua)

Nota: HClO4

H+

+

Ácido Perclórico

(ClO4)-1 Ión Perclorato

Nomenclatura: Ca (ClO4)2

- 196 -

Perclorato de Calcio




QUÍMICA


x

4) H N O3 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ I. Completa el cuadro. x

1)

+

Sal Oxisal.

+ H2O

2)

+

Sal Oxisal.

+ H2O

5) CaS O4 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

No metal

Metal

II. Señala verdadero (V) o falso (F) +1

K

3)

+

+4

S

6)

+

4)

+

7)

5)

+

7) En el nitrato de potasio el nitrógeno trabaja con número de oxidación +5. ( )

8)

8) En el ácido nítrico, el nitrógeno trabaja con número de oxidación +3. ( )

9)

9) En el perclorato de sodio , el cloro trabaja con números de oxidación +7. ( )

10) Da el nombre del compuesto 4. __________________________

11) Da el nombre del compuesto 5 . __________________________

I.

Señala el número de oxidación del elemento marcado con “x”. x




6) En el sulfato de calcio el azufre trabaja con número de oxidación +4. ( )

1) Ca (OH)2 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

10) El número de oxidación de los elementos centrales en los siguientes compuestos H2SO4, HNO3, HClO, HClO4, es +6, +5, +1 y +5. ( )

x

2) Mg(OH)2 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________ x

15) El número de oxidación del azufre en la sal oxisal es ___________.

II BIMESTRE

3) H2S O4 __________________________ __________________________ __________________________ __________________________

- 197 -




QUÍMICA

- 198 -


Pág.

TEJIDO SANGUÍNEO

201

TEJIDO NERVIOSO

209

APARATO CARDIOVASCULAR

216

APARATO RESPIRATORIO

225

SISTEMA DIGESTIVO

233

SISTEMA URINARIO

242

BIOLOGÍA II BIMESTRE 3ER AÑO DE SECUNDARIA



BIOLOGÍA


TEJIDO SANGUÍNEO MAPA DE SITIO CONTENIDO  Tejido sanguíneo - Características - Funciones - Componentes  Plasma - Características  Glóbulos rojos - Características - Funciones  Glóbulos Blancos - Características - Funciones  Plaquetas - Características - Propiedades - Funciones  Sistemas de grupos sanguíneos

OBJETIVOS Diferenciar los tipos de células que conf orm an el tej id o sanguíneo. Comparar adecuadamente los diferentes tipos de células del tejido sanguíneo. Reconocer la importancia que tiene la sangre en el cuerpo humano.

II BIMESTRE

SIDA El SIDA o Síndrome de Inmunodeficiencia Adquirida es una enfermedad causada por el virus de la inmunodeficiencia humana (VIH). Este virus destruye o daña las células del sistema inmune de la persona interfiriendo en la capacidad del cuerpo de luchar efectivamente contra los virus, bacterias y hongos que causa la enfermedad. La infección por VIH hace que la persona sea más susceptible a infecciones que normalmente el cuerpo humano puede resistir como la neumonía, la meningitis y cierto tipo de cáncer. Al virus y a la infección se les conoce como VIH. El término SIDA es utilizado para catalogar a las etapas tardías de la infección por el virus del VIH. Pero, ambos términos, VIH y SIDA se refieren a la misma enfermedad. Normalmente, los glóbulos blancos y anticuerpos atacan y destruyen a cualquier organismo extraño que entra al cuerpo humano. Esta respuesta es coordinada por un tipo de células llamados linfocitos CD4. Desafortunadamente, el VIH ataca específicamente a los linfocitos CD4 y entra en ellos. Una vez adentro, el virus les inyecta su propio material genético y los utiliza para replicarse o hacer copias de sí mismo. Cuando las nuevas copias del virus salen de las células a la sangre, buscan a otras células para atacar. Mientras, las células de donde salieron mueren. Este ciclo se repite una y otra vez. Por lo tanto, muchas copias del VIH se producen todos los días. Para defenderse de esta producción de virus, el sistema inmune de una persona produce muchas células CD4 diariamente. Sin embargo, el virus gana. El número de células CD4 disminuye progresivamente y la persona sufre de inmunodeficiencia, lo cual significa que la persona no puede defenderse de otros virus y bacterias que causan enfermedades. FACTORES DE RIESGO El VIH se transmite de las siguientes formas: Transmisión sexual, transmisión a través de sangre, transmisión a través de pinchazos por agujas, transmisión de madre a hijo.

- 201 -




BIOLOGÍA

Sangre Es una variedad del tejido conectivo especial, conformado por elementos formes dentro de un intersticio líquido llamado plasma. La sangre es un líquido viscoso y salado que circula por los vasos sanguíneos impulsado por el corazón.

Los glóbulos rojos se conservan en grandes neveras a 4 grados y así pueden estar hasta 35 días. Después se hacen un poco viejos y ya no se pueden usar.

COMPONENTES DE LA SANGRE 1. CARACTERÍSTICAS -

-

-

VOLUMEN: Llamado también volemia, depende del peso corporal, edad y sexo. Equivale aproximadamente de 1/12 a 1/13 del peso corporal (varón: 70 a 80 mL/kg; mujer: 65 a 70 mL/kg), COLOR: Es rojo, pero la tonalidad depende de la concentración de gases (O2 y CO2). La sangre oxigenada, es rojo brillante (escarlata o arterial), mientras que la no oxigenada es rojo oscuro (púrpura o venosa). DENSIDAD: Varía desde 1,054 a 1,060g/cm3 (la densidad del agua es 1g/cm3). VISCOSIDAD: Varía de 4,5 a 5 veces más espesa que el agua (suero: 1,8 y el plasma 2,1). pH: 7,4 (ligeramente alcalino), la sangre venosa tiene un pH menor: 7,35, por el aumento de CO2.

El Dato Microscopio simple con el cual Leeuwenhoek descubrió a los glóbulos rojos.

2. FUNCIONES 1) RESPIRATORIA: Transporta oxígeno desde los pulmones hasta los tejidos y lleva anhídrido carbónico desde los tejidos a los pulmones. 2) NUTRITIVA: Transporta los nutrientes absorbidos en el tracto digestivo, hasta los tejidos. 3) EXCRETORA: Transporta los desechos metabólicos, para su eliminación, desde los tejidos hasta los órganos excretores (emuntorios: riñones, pulmones, piel, intestinos, etc.) 4) DEFENSIVA: Protege al organismo contra las infecciones, a través de los leucocitos y de los anticuerpos circulantes. 5) Mantenimiento del equilibrio normal ácido – básico del organismo. 6) Regula la temperatura corporal, distribuyendo el calor al organismo.

- 202 -




BIOLOGÍA


3. COMPONENTES B. PLASMA: Es la parte líquida de la sangre. A. ELEMENTOS FORMES: Llamados también hematocitos o elementos figurados y comprende a los glóbulos rojos, glóbulos blancos y plaquetas.

-

Otras sustancias: desechos, hormonas, vitaminas, etc.

B. ELEMENTOS FORMES Llamados también hematocitos, elementos figurados o glóbulos sanguíneos, y son los eritrocitos, leucocitos y trombocitos. Hematopoyesis Es la formación de los elementos formes. Ocurre en tres etapas: 1) ETAPA MESOBLÁSTICA: Ocurre en el saco vitelino primitivo. Antes de la tercera semana y hasta la sexta o sétima semana de vida.

La cantidad de glóbulos rojos expresados en un porcentaje y en relación volumétrica con la sangre se llama hematocrito (HTO), y en el varón equivale a 45% y en la mujer a 42%. A. PLASMA Es un líquido que actúa como un medio para las células circulantes y sustancias metabólicas, que son intercambiadas a nivel de los capilares del tejido conectivo.

2) ETAPA HEPÁTICA: Se da en el hígado a partir de la quinta semana (principalmente entre el 3er y 6° mes de vida). También ocurre en el bazo, timo y ganglios linfáticos. 3) ETAPA MEDULAR: Ocurre en la médula ósea roja (MOR) a partir del 5° mes de vida y después del nacimiento; se constituye en el principal órgano hemopoyético.

Características: -

VOLUMEN: equivale al 5% del peso corporal. COLOR: amarillo claro (ámbar pálido), debido a la bilirrubina. COMPOSICIÓN: a) Sustancias inorgánicas - 90 % de agua. - 1 % de iones. Aniones: Cl-, PO4-2, HCO3, SO4-2, I-. Cationes: Na+, K+, Ca2+, Mg2+, etc. b) Sustancias orgánicas - 7 % de proteínas plasmáticas. * Albúminas (4,5%) * Fibrinógeno (0,5%) * Globulinas (2%) - 1% de carbohidratos glucosa (70 – 110 mg%) - 1% de lípidos * Ácidos grasos * Glicerol * Lipoproteínas * Fosfolípidos * Colesterol

II BIMESTRE

Hemocateresis (Hemólisis fisiológica) Es la destrucción de los eritrocitos «viejos» o enfermos, ocurre en el RES de la médula ósea roja, hígado (células de Kupffer) y bazo (pulpa roja).

- 203 -




BIOLOGÍA

B.1. GLÓBULOS ROJOS Son llamados también eritrocitos o hematíes, carecen de núcleo y organelas. No se reproducen. Características -

FOR MA: Disco bicóncavo, por la falta de núcleo y porque favorece el intercambio de gases ya que puede deformarse al pasar a través de los capilares.

-

TA MA ÑO : El diámetro es 7 – 7,5 m y el espesor 1 – 2 m. El volumen medio es de 85 – 90 mm.

-

CANTIDAD: Depende del sexo; en las mujeres, por cada mm3 de sangre hay 4’500,000 y en los varones: 5’000,000. Aumento de hematíes: Policitemia Disminución de hematíes: Anemia

-

-

-

ORIGEN: Se forman exclusivamente en la MOR, después del nacimiento mediante el fenómeno de la Eritropoyesis, que depende de las hormonas Eritropoyetina (90% elaboradas por las células polkissen, en el nefrón y el resto formada en el hígado y las glándulas salivales) y Testosterona (sintetizada por las células de Leydig de los testículos), vitaminas como la B6 y C (síntesis del HEM), B2 y B12 (síntesis del ADN, para la división celular activa); así como también de metales, como el hierro (para la hemoglobinopoyesis) y proteínas. TIEMPO DE VIDA: 120 días ó 4 meses y mueren por envejecimiento al no poder sintetizar nuevas proteínas y consumir sus reservas. La destrucción se realiza mediante la hemocateresis. ESTRUCTURA: Tienen una membrana fosfolipídica, con colesterol y proteínas. Su citoplasma no tiene organelas, pero posee agua, potasio, glucosa, enzima anhidrasa carbónica y hemoglobina (33 % del volumen total).

Funciones 1) Transporte de gases (O2 y CO2) 2) Da color a la sangre. 3) Regula el equilibrio ácido/ básico. 4) Durante su destrucción, la hemoglobina origina pigmentos biliares. 5. HEMOGLOBINA Es llamado también pigmento respiratorio, cromo proteína o metal-proteína. Es tá c on formada po r do s porciones; una proteica, llamada GLOBINA, que presenta 4 cadenas polipeptídicas, y en cada una de estas cadenas se inserta la fracción no proteica o HEM, que contiene un átomo de hierro (Fe2+). La hemoglobina constituye el 33% de la masa total del eritrocito. Se calcula que dentro de cada hematíe, existen en promedio unos 300 millones de moléculas de Hb. VALORES NORMALES - En el varón: 15 g% - En la mujer: 13 g% Funciones 1) TRANSPORTE DE GASES a. OXÍGENO (O2) - O2 + Hb = Oxihemoglobina (97%) · Un gramo de Hb puede transportar 1,34 mL de oxígeno. · Una molécula de Hb va a transportar 4 moléculas de O2. - O2 disuelto en el plasma (3%) b. ANHÍDRIDO CARBÓNICO (CO2) - CO2 + Hb = carba minoHb o Carbo-Hb (23%) - Disuelto en el plasma (7%) - HCO3 = ión bicarbonato (70%)

- 204 -




BIOLOGÍA


c. MONÓXIDO DE CARBONO (CO) - CO + Hb = carboxi-Hb (producto muy tóxico) 2) Actúa como un amortiguador, tampón o Buffer, uniéndose al ión de H+ libre, producto de la disociación del ácido carbónico en el interior del glóbulo rojo. B.2. GLÓBULOS BLANCOS Lo s l eu c o ci t o s o glóbulos blancos son células que están principalmente en la sangre y circulan por ella con la función de combatir las infecciones o cuerpos extraño s; pe ro e n o c as i o n e s p u e d e n atac ar l o s te j i do s normales del propio cuerpo. Es una parte de las defensas inmunitarias del cuerpo humano. Se llaman glóbulos blancos ya que éste color es el de su aspecto al microscopio. Hay diferentes grupos de glóbulos blancos: los llamados polimorfonucleares (neutrófilos, eosinófilos y los basófilos) y los mononucleares (los linfocitos y los monocitos). El origen de todas las formas de leucocitos es a partir de células madres de la médula ósea. B.3. PLAQUETAS Son llamadas también trombocitos y son restos de una célula mayor. Carecen de núcleo, pero poseen algunas organelas. Su membrana celular es trilaminar. Características: -

-

-

Forma: Disco alargado. Tamaño: 2 a 4 m. Cantidad: 200,000 a 300,000 por mm3 de sangre. Aumento : Trombocitosis Disminución: Trombocitopenia Origen: En la MOR, a partir de una célula gigante llamada megacariocito. El proceso de formación de plaquetas se denomina Trombopoyesis y es estimulada por la hormona trombopoyetina (formada en el riñón). Tiempo de vida: 7 a 12 días, siendo luego destruidos en el RES de la médula ósea, hígado y bazo. Estructuras: El citoplasma plaquetario está conformado por dos porciones, una periférica y otra central. A) HIALÓMERO: Está conformado por porciones tubulares, es incolora, periférica y tiene un manto, una membrana y microtúbulos. Presenta a la trombostenina.

Propiedades 1) Adhesividad: Es la capacidad de «pegarse» en el tejido lesionado. Esto es debido a las cargas eléctricas negativas extramembranarias y por el ADP. 2) Aglutinación: Es llamado también agregación, es la capacidad de accionar entre ellas para poder formar el trombo blanco (coágulo p l a qu e ta ri o ) . De p e n d e d e l tromboxano A2. Funciones 1) Mantiene en buen estado al endotelio vascular. La falta o disminución de plaquetas provoca fragilidad capilar con hemorragias espontáneas. 2) De t e r m i n a l a h e mo st a s i a primaria, mediante la aglutinación y la formación del trombo o coágulo blanco. 3) Elabora factores plaquetarios, como son: A) Factor 3 Plaquetario (F3P). Inicia la activación de la coagulación. B) Factor 4 Plaquetario (F4P) Inhibe a la heparina en el tejido lesionado. C) Trombostenina: genera la retrac ción del trombo o coágulo. 4) F U N C I Ó N D E F E N S I VA . Ya qu e f ago c i ta co mp l ej o s antígeno anticuerpo y algunos virus, (ACTH), corticoides y la prednisolona. Esta fase se produce a los 60 minutos después de producirse la lesión, y la separación del coágulo suele ser total en 24 horas.

B) GRANULÓMERO: Es central y se hallan algunas organelas (lisosomas, mitocondrias), posee gránulos alfa (contienen F3P, F4P, fibrinógeno, los factores V y VIII de la coagulación), gránulos densos (contienen Ca2+. Serotonina, ADP y ATP) y gránulos de glucógeno.

II BIMESTRE

- 205 -




BIOLOGÍA


Antonie van Leeuwenhoek (Descubridor de los eritrocitos)

Glóbulos rojos, glóbulos blancos y plaquetas

Sistema de grupos sanguíneos Es una variedad del tejido conectivo especial, conformado por elementos formes dentro de un intersticio líquido llamado plasma. La sangre es un líquido viscoso y salado que circula por los vasos sanguíneos impulsado por el corazón. 1. SISTEMA ABO Existen cuatro grupos sanguíneos que se determinan dependiendo de lo siguiente: Tipo

Aglutinógenos

Aglutininas

Recibe de ...

A

A

Anti - B

OyA

A AB

B

B

Anti - A

OyB

B AB

AB

AyB

O, A, B, AB

AB

O

Anti - A y Anti - B

O

Dona a ...

A, B, AB O

Nació el 24 de octubre de 1632 en Delft, Holanda. Murió en el mismo lugar el 26 de agosto de 1723. Fue el primero en observar bacterias y protozoos. Sus investigaciones contribuyeron a refutar la teoría de la generación espontánea y ayudaron a cimentar las ciencias de la bacteriología y protozoología. Cursó estudios en Amsterdam y a los 20 años regresó a Delft donde trabajó como funcionario, aunque su pasión fue el tallado de lentes que utilizó en el estudio de todo tipo de objetos minúsculos. De est a manera const ruy ó microscopios simples con lentes de muy alta calidad y muy baja distancia focal. Consiguió lentes de entre 70 y 250 aumentos. En 1674 comenzó a observar bacterias y protozoos que llamó «animálculos». Describió por primera vez en 1677 espermatozoides de insectos, perros y hombres, y en 1702, rotíferos. Comunicó sus descubrimientos a la Real Sociedad Científica de Inglaterra en diversas cartas entre los años 1673 a 1723. Sus descubrimientos le hicieron famoso y recibió las visitas entre otros de Pedro I el Grande de Rusia, Jaime II de Inglaterra y Federico II el Grande de Prusia. En Layden (Holanda), Antoni van Leeuwenhoek, fabricó un microscopio simple de unos 10 cm con el que logró convertirse en el descubridor de los eritrocitos.

1) Por la presencia de antígenos o Aglutinógenos, en la membrana del hematíe. Se denominan A y B, y son oligosacáridos. 2) Por la presencia de anticuerpos o Aglutininas en el plasma sanguíneo y son denominados anti-A y anti-B, que son proteínas gammaglobulinas. EN CONSECUENCIA Grupo AB: Receptor Universal de Sangre; pero dador Universal de plasma. Grupo O: Dador Universal de sangre, pero receptor Universal de plasma.

- 206 -




BIOLOGÍA


Vocabulario

2. SISTEMA RHESUS (RH) Fue descubierto en el año 1940, depende de un aglutinógeno hallado inicialmente en los eritrocitos de los monos Macacus rhesus, llamado factor Rh, y que se encuentra en el 85% de los seres humanos. Los que poseen este aglutinógeno, son llamados Rh (+), y los que carecen de él Rh (-). El factor Rh, es llamado también antígeno «D» y es una proteína no glucosilada. Las aglutininas anti-A y anti-B, son ANTICUERPOS NATURALES, ya que nacen con el individuo, en cambio el anti-Rh es un ANTICUERPO ADQUIRIDO, porque lo van a sintetizar los individuos Rh (-) ante un primer contacto con el antígeno D, pero actúan rechazando ante una segunda exposición. En caso de incompatibilidad al Rh entre una madre Rh (-) y su feto Rh (+), se va a provocar la eritroblastosis fetal o hemólisis fetal.

Incompatibilidad de grupos sanguíneos (Rh o problemas con los grupos A, B, AB y O)

1.

HIPOXIA: Disminución en la concentración de oxígeno en la sangre.

2.

VOLEMIA: Volumen total de sangre en el cuerpo.

3.

ERITROPENIA: Disminución de glóbulos rojos en la sangre.

4.

ANEMIA APLÁSICA : Disminución de glóbulos rojos en la sangre a consecuencia de que la médula ósea roja no las produce.

5.

NEUTRÓFILOS: Glóbulos blancos más abundantes y son la primera línea de defensa ante una infección bacteriana.

Si u n b ebé ti ene un grup o sanguíneo distinto al de su madre, es posible que la madre produzca anticuerpos que destruyan los glóbulos rojos del niño, lo que provoca un aumento repentino de la bilirrubina en la sangre del recién nacido. La ictericia

provocada por la incompatibilidad de grupos sanguíneos suele aparecer el primer día de vida. Hace años los problemas de Rh causaban los casos de ictericia más graves, pero ahora pueden prevenirse aplicando la gammaglobulina Anti-D (Rh) a la madre durante el embarazo y dentro de las 72 horas después del parto, lo que impide que la madre forme anticuerpos que puedan poner en peligro al siguiente bebé.

II BIMESTRE

Alrededor de 1820 Joseph Jackson Lister, un óptico inglés, diseñó un microscopio acromático capaz de eliminar los anillos de color que limitaban la claridad de la imagen. Lister descubrió que los glóbulos rojos eran en realidad, discos bicóncavos.

Hans Fischer (Germany, 188107-27 ; 1945-03-31), estudió los pigmentos de la sangre y de las plantas.

- 207 -




BIOLOGÍA

1) Define qué es sangre:

6) Menciona el sinónimo de los glóbulos blancos:

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

2) Menciona 3 funciones de la sangre: a) _____________________ b) _____________________

7) Eritropenia significa: _________________________ _________________________ _________________________

c) _____________________ 8) Volemia significa: 3) ¿Por qué se dice que la sangre tiene función termorreguladora?

_________________________ _________________________

_________________________

_________________________

a) b) c) d) e)

Plaquetas y albúminas Plaquetas y fibrinógenos Glóbulos rojos y fibrinógenos Glóbulos rojos y albúminas Glóbulos blancos

5) Menciona el sinónimo de las plaquetas: _________________________ _________________________ _________________________

a) b) c) d) e)

12) Para determinar la concentración de la glucosa sanguínea se utiliza: a) b) c) d) e)

Glóbulos rojos Leucocitos Plasma Plaquetas Fibrinógeno

13) Los eritrocitos, los leucocitos y las plaquetas se forman exclusivamente en:

9) Células sanguíneas que hacen diapedesis: a) Glóbulos rojos b) Glóbulos blancos c) Plaquetas

10) La sangre es un tejido conectivo especializado. ¿Qué porcentaje del peso corporal representa? a) b) c) d) e)

5% 8% 20% 2% 12%

a) b) c) d) e)

El hígado La médula ósea roja El bazo La médula ósea amarilla El timo

14) Proteína más importante del plasma humano, responsable del 75 al 80% de la presión oncótica del plasma: a) b) c) d) e)

Haptoglobina Albúmina Hemoglobina Transferrina Globulina

15) Los niveles bajos de albúmina producen un paso excesivo de líquido hacia los tejidos, este fenómeno es conocido con el nombre de: a) b) c) d) e)

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Suero Hemoglobina Plasma Agua Linfa

_________________________

_________________________

4) Participan en la coagulación sanguínea:

11) La s ang re se c omp o n e d e elementos sólidos suspendidos en un medio líquido llamado:

Anemia Leucopenia Edema Trombocitopenia Hemofilia




BIOLOGÍA


TEJIDO NERVIOSO El Alzheimer Objetivos 

Conocer y diferenciar los tipos de células neuronales.



Identificar las funciones de cada célula neuronal.



Reconocer las enfermedades mas frecuentes del sistema nervioso.

Contenido 

Tejido Nervioso

      

Neuronas Propiedades Partes de la neurona Clasificación Neuroglías Clasificación Sinapsis

II BIMESTRE

La enfermedad de Alzheimer es la causa más común de la demencia, una condición de deterioro de la memoria y del funcionamiento mental, entre personas de 65 años y más. Por razones desconocidas, algunas personas padecen de un deterioro gradual de sus células cerebrales que causa un daño nervioso irreversible en áreas que son vitales para la memoria, toma de decisiones y otras habilidades mentales. Aproximadamente 4 millones de americanos(as) sufren de la enfermedad de Alzherimer. En la enfermedad de Alzherimer se produce una atrofia cerebral progresiva, bilateral y difusa, que comienza en regiones mesiales temporales para afectar luego al neocórtex, sobre todo al temporoparietal y al frontal. Se produce la lesión y posterior destruc-

ción de la neurona cerebral, en relación con la aparición tanto de depósitos insolubles extracelulares como intracelulares. Al inicio de la enfermedad de Alzheimer, las personas pueden tener problemas para recordar nombres y caras familiares, actividades recientes, la fecha del día, o lo que comieron para el desayuno. A menudo familiares y amigos no reconocen los síntomas tempranos de la enfermedad de Alzheimer porque comienzan con cambios imperceptibles en la conducta y personalidad y progresan lentamente. Otras veces, estos síntomas son considerados como parte del proceso normal de envejecimiento. Tormenta Sin embargo, los síntomas de la enfermedad de AlzheimerEléctrica no son parte natural del envejecimiento.

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Tejido Nervioso Es un tejido altamente especializado que genera y propaga el impulso nervioso como respuesta a estímulos del ambiente, su origen es ectodérmico y está formado por dos tipos de células. El tejido nervioso es importante para nuestro cuerpo ya que a través de sus células llamadas neuronas controlan y regulan las principales funciones orgánicas. 1. LA NEURONA Es la unidad anatómica, fisiológica y genética del tejido nervioso.

A. Propiedades Excitabilidad: Provoca potenciales eléctricos. Conductividad: Conduce los impulsos nerviosos que se han provocado en la excitación. B. Partes de la neurona a) Soma Llamado también cuerpo pericarión, es de forma variada, de acuerdo a su función y localización puede ser estrellada, esférica, piriforme, ovoide, etc. Posee un núcleo con un nucleolo visible, las organelas son el REG. corpúsculo de Nissi (sustancia cromófila que elabora proteína). Neurofibrillas (dan sostén interno al soma); golgisomas y mitocondrias (escasas a este nivel, pero abundante en las prolongaciones). El soma constituye la sustancia gris. Muchas neuronas también contienen lipofuscinas, que son pigmentos que se acumulan en forma de grupos de granulos de color pardo amarillento en el citoplasma.

b) Prolongaciones Son dos que van a determinar la sustancia blanca. Dentritos: son pequeñas y de conducción centrípeta. Axón: Es único, largo y de conducción centrífuga; está revestida por las células de Schwann que elabora la mielina (sustancia lipídica). El axón presenta una ramificación terminal llamada teledendrón, que posee a los botones terminales con abundantes vesículas sinápticas y mitocondrias. dendrita

Es probable que las lipofuscinas sean producidas de los lisosomas neuronales que se acumulan conforme las neuronas.

teledendrón

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C. Clasificación

TIPOS DE NEURONAS

A. Por su estructura: a. Neuronas unipolares.- Las neuronas unipolares son aquellas en las cuales el cuerpo celular tiene una sola neurita que se divide a corta distancia del cuerpo celular en dos ramas, motivo por el cual también se les denomina pseudounipolares (pseudos en griego es falso), una que se dirige hacia una estructura periférica y otra que ingresa en el sistema nervioso central. Se hayan ejemplos de esta forma de neurona en el ganglio de la raíz posterior. b. Neuronas bipolares.- Las neuronas bipolares poseen un cuerpo celular alargado y cada uno de sus extremos parte de una neurita única. El núcleo de este tipo de neurona se encuentra ubicado en el centro de esta, por lo que puede enviar señales hacia ambos polos de la misma. Ejemplo de estas neuronas se hayan en las células bipolares de la retina, del ganglio coclear y vestibular, estos ganglios se especializan de la recepción de las ondas auditivas y del equilibrio. c. Neuronas multipolares.- Las neuronas multipolares tienen una gran cantidad de neuritas que nacen del cuerpo celular. Este tipo de células son la clásica neurona con prolongaciones pequeñas, dendritas o dentritas y una prolongación larga o axón. Representan la mayoría de las neuronas.

B. Por su función y conducción: a. Sensorial.- Lleva estímulos desde la periferia (piel u órgano) hasta el sistema nervioso central. Es de conducción aferente. b. Motores.- Lleva respuestas desde el sistema nervioso central a la periferia. Estas respuestas son a órganos efectores (glándulas, músculos, etc.). Es de conducción eferente.

Se observa la neurona unipolar, bipolar y multipolar, respectivamente.

El sistema nervioso central está formado por unas 100 000 millones de neuronas como dato anecdótico, cabe señalar que ese también es el número de estrellas que se estima que hay en la galaxía de la vía láctea.

c. Interculares.- Llamadas asociativas y establecen conexiones entre neuronas formando circuitos. 2. NEUROGLIAS: Son células de sostén en el tejido nervioso, no transmiten impulsos nerviosos. Se considera que por cada neurona existe de 5 a 50 glías. Se clasifican en : * Astroglias * Oligodendroglía * Microglia

II BIMESTRE

* * * *

Célula ependinaria Célula del plexo coroideo Célula satélite Célula de Schwann

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A. Clasificación de las glías: A. Astrologlía: Núcleo: Ovoide, grande, cromatina laxa. Función: Sostén y nutrición de las neuronas.

Personaje del tema

B. Oligodendroglia: Núcleo: Esférico, cromatina laxa. Función: Sintetiza mielina a nivel del SNC. C. Microglia: Núcleo: Alargado, cromatina regularmente densa. Función: Fago ci to si s, es e l macrófago del sistema nervioso. D. Células ependiculares: Núcleo: Alargado, cromatina laxa. Función: Facilita el desplazamiento del líquido cefalorraquídeo a través del conducto ependimario. E. Célula del plexo coroideo: Núcleo: Esférico central, cromatina laxa. Función: Sintetiza el LCR a través de plexocoroideos. En los ventrículos forma parte de la barrera hemato encefálica. F. Célula de Shwann: Núcleo: Ovoideo, cromatina laxa. Función: Sintetiza mielina en el SNP. G. Célula satélite: Núcleo: Ovoide central, cromatina laxa. Función: Sostiene, protege y nutre a las células ganglionares de los ganglios raquídeos. 3. SINAPSIS: Es la comunicación entre dos neuronas o entre una neurona y el músculo, glándula u otra célula inervada por ella. No se trata de un contacto directo, puesto que existe una separación infinitesimal entre las dos células. El funcionamiento básico de la transmisión de información es como sigue: la información viaja entre las neuronas en forma de impulsos electroquímicos, estos impulsos están formados por iones de sodio y potasio. Cuando se alcanza cierto grado de excitación en las dendritas de una neurona, esta provoca un impulso electroquímico en su axón. Cuando el impulso llega al final del axón, se produce la segregación de sustancias químicas que se encuentran almacenadas en los terminales de los axones, estos neurotransmisores reaccionan con los receptores que se encuentran en la célula o la dendrita a la que esta conectado el axón. Algunos de los neurotransmisores que hay en el cerebro son la serotonina, la dopamina y la acetílcolina.

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Todo hombre puede, por sí solo, ser el escultor de su propio cerebro. Toda obra grande, en arte como en ciencia es el resultado de una gran pasión puesta al servicio de una gran idea. Santiago Ramón y Cajal (1852 - 1934), histólogo y premio Nobel, español conocido por su trabajo pionero sobre la estructura fina, llamada glía, del sistema nervioso; demostró la discontinuidad celular de las neuronas y anticipó el mecanismo de propagación del impulso nervioso. Nació en Petilla de Aragón, estudió medicina en la Universidad de Zaragoza y cursó el doctorado en Madrid. En 1883 obtuvo la cátedra de anatomía descriptiva de la universidad de Valencia y estudió la epidemia de cólera que azotó Valencia en 1885. dos años más tarde, en 1887, se trasladó a Barcelona como catedrático de histología donde realizó sus trabajos más importantes. En 1889 descrubrió los mecanismos que gobiernan la morfología y los procesos conectivios de las células nerviosas de la materia gris del sistema nervioso cerebroespinal. Durante los siguientes dos años desentrañó los cambios básicos que experimentó la neurona durante el funcionamiento del sistema nervioso. Fue también el primero en aislar las células nerviosas, llamadas células de Cajal, que se encuentran cerca de la superficie del cerebro. Por su trabajo en este campo, Cajal compartió en 1906 el Premio Nobel de Fisiología y Medicina con el citólogo italiano Camillo Golgi.




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El Dato

La sinapsis

A. Síndrome de la Abstinencia La nicotina activa una región del cerebro que se conoce como sistema dopaminérgico mesolímbico, estimulando la producción de dopamina, esto se ha tipificado como un sistema de “recompensa” bioquímica y por tanto juega un papel importante en la necesidad por la nicotina y el establecimiento de la dependencia. La abstinencia es también un componente importante en la adicción y es uno de los datos más característicos. La abstinencia está mediada por la noradrenalina que se concentra en las neuronas del locus ceruleus. Cuando una persona adicta se abstiene de fumar o reduce su consumo de cigarrillos, los niveles de nicotina en su organismo bajan y la frecuencia de los disparos de las neuronas noradrenérgicas llega a ser anormalmente alta. Es entonces cuando se presenta el síndrome de abstinencia. Este síndrome está constituído por los síntomas que usted empieza a experimentar al dejar de fumar, lo cual es bueno, por que significa que su organismo se está limpiando y eliminando todos lo químicos dañinos . * * * * * * * * * * * *

Deseo compulsivo de fumar. Irritabilidad, frustación o ira. Ansiedad. Cansancio y dificultad de concentración. Disforia o depresión. Disminución de la frecuencia cardiaca. Palpitaciones. Temblores. Dolor de cabeza. Alteración del sueño. Transtornos digestivos. Sensación de hambre.

B. El Parkinson La enfermedad del Parkinson pertenece a un grupo de condiciones llamadas desórdenes del sistema motor. Los cuatro síntomas principales son el temblor de las manos, los brazos, las piernas, la mandíbula y la cara; la rigidez de las extremidades y el tronco; la bradicinesia o lentitud de movimiento; y la inestabilidad de postura o la coordinación o balance afectados. A medida que estos síntomas se hacen más pronunciados, los pacientes pueden tener dificultad en caminar, hablar y realizar otras tareas simples.

II BIMESTRE

Las sinapsis o contactos tienen una propiedad curiosa y es que se ven reforzadas con el uso, esto es, el contacto se vuelve más permanente. Esto es por ejemplo lo que ocurre en el cerebro cuando realizamos algún tipo de aprendizaje. A esta capacidad se la ha denominado plasticidad cerebral, una de las consecuencias que se derivan del estudio de la plasticidad es que del mismo modo que uno puede hacer ejercicio para mantenerse en forma y tener buena salud, también puede ejercitar el cerebro para tener una buena salud mental. Vamos, que leer, debatir y pensar es bueno para conservar nuestra salud mental. Se estima que cada neurona tiene una media de 10000 contactos sinápticos, si multiplicamos esto por el número de neuronas antes expuesto obtendremos una cifra descomunal de sinapsis, no es de extrañar que el cerebro haga las cosas que hace. Podemos terminar con las palabras de Marian C. Diamond que resume lo sorprendente que es el órgano que nos hace seres humanos. “El cerebro es una masa de un kilo y cuarto que uno puede sostener en una mano y que puede concebir un universo de cien mil millones de años luz de diámetro”.

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La enfermedad de Parkinson ocurre cuando ciertas células nerviosas o neuronas, en un área del cerebro conocida como sustancia nigra, mueren o sufren deterioro. Normalmente estas neuronas producen un producto químico cerebral importante conocido como dopamina. La dopamina es un mensajero químico responsable de transmitir las señales entre la sustancia nigra y la siguiente “estación relevadora” del cerebro, el corpus striatum, para producir actividad muscular fluida y con propósito. La pérdida de dopamina hace que las células nerviosas del striatum actúen sin control, dejando a los pacientes incapaces de dirigir o controlar sus movimientos de forma normal. Los estudios han demostrado que los pacientes de Parkinson tienen una pérdida de 80 % o más de las células productores de dopamina en la sustancia nigra. La causa de esta muerte o deterioro celular se desconoce, pero resultados significativos obtenidos por los científicos de investigación continúan produciendo pistas nuevas y sumamente interesantes de la enfermedad. La enfermedad de Parkinson ataca a hombres y mujeres casi por igual y no conoce fronteras sociales, económicas o geográficas. Algunos estudios demuestran que los afroamericanos y los asiáticos son menos suceptibles que los blancos de adquirir la enfermedad. La edad, no obstante, está correlacionada claramente con el inicio de los síntomas. La enfermedad de Parkinson es una enfermedad de los años intermedios finales, que afecta usualmente a las personas mayores de 50 años.de edad. La edad promedio del inicio de los síntomas es de 60 años.

APLICACIÓN CLÍNICA Anestésicos locales Los anestésicos locales son medicamentos que bloquean el dolor y otras sensaciones somáticas. Entre los ejemplos se encuentran la procaína y la lidocaína, que suelen utilizarse para anestesiar la piel al suturar una herida, en la boca durante intervenciones odontológicas y en la parte inferior del cuerpo durante el trabajo de parto. Estos medicamentos actúan al bloquear la abertura de los canales del NO+, activados por voltaje. Con ello los impulsos nerviosos no pueden cruzar la región obstruida, para transferir las señales de dolor al SNC. Los impulsos dolorosos son más sencibles que las fibras de diámetro grande a las dosis bajas de anestésicos.

Vocabulario A. Sustancia Cromatófila: Sustancia o estructura que tiñen con facilidad. B. Neurotransmisor: Sustancia liberada tras la excitación del axón terminal de una neurona presináptica. C. Plasticidad cerebral: Capacidad para captar nuevos aprendizajes. D. Neuroma: Tumor compuesto principalmente por células y fibras nerviosas o que crece apartir de un nervio. E. Neuromalacia: Reblandecimiento de los nervios o de alguna parte del sistema nervioso.

Bibliografía 1. DORLANO, DICCIONARIO 26a edición. Madrid - España: Editorial MC. Grau, 2003. 2. TORTORA GRABOWSKI. Anatomia y fiología 9na edición. México: Editorial Oxford, 2002. 3. GARONER - GRAY - O´RAITILLY. Anatomia 5ta edición. México: Editorial MC grau, 1989.

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1) El tejido más especializado que genera impulso nervioso es:

7) Las lipofuscinas son: _________________________

_________________________

a) Las neuronas b) Las dendritas c) El axón d) Soma e) N.A.

en el citoplasma, de color:

_________________________ 2) El tejido nervioso es de origen:

12) Se encarga de conducir impulsos nerviosos aferentes

_________________________ 8) Neurona

_________________________ _________________________

Propiedades

13) Conduce impulsos nerviosos eferentes (centrífugos) a) Las neuronas b) Las dendritas c) El axón d) El teledendrón e) N.A.

3) ¿Cuáles son las células que forman el tejido nervioso? _________________________ _________________________ 9) Las _____________ conducen el impulso nervioso de

4) Es la unidad anatómica fisiológica y genética del tejido nervioso.

la_________________________

_________________________ _________________________

14) Son capas de lípidos y proteínas que envuelven al axón a) Fibras nerviosas b) Soma c) Mielinas d) Glías e) Amielina

al soma. 10) El Axón

5) Partes de la neurona:

Presenta

15)

_________________________

Con hielina

_________________________ _________________________ 6) Relaciona: a) b) c) d) ( ( ( (

Pericarión Corpúsculo de Nissl Axón Botón terminal ) ) ) )

R.E.R. Cilindro Soma Botón sináptico

II BIMESTRE

Organelas Como ____________

Prolongaciones Llamadas ____________

11) El citopl asma, el axón, es llamado:

El Axón Sin hielina

16) Las neuronas se clasifican por su estructura en : _________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

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APARATO CARDIOVASCULAR La Isquemia Objetivos 

Conocer la estructura y función del corazón y vasos sanguíneos.



Identificar las principales arterias y venas del organismo.



Conocer la fisiología circulatoria.

Contenido 

El corazón  Generalidades

   

Histología del corazón La pared Las válvulas

Sistema de conducción

 Diferencia entre venas y arterias

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La isquemia es una enfermedad en la que se produce una disminución del flujo de sangre rica en oxígeno a una parte del organismo. La isquemia cardíaca es un aporte deficiente de sangre y oxígeno al músculo cardíaco. Se produce una isquemia cardíaca cuando una arteria es estrecha u obstruye momentáneamente, impidiendo que llegue al corazón sangre rica en oxígeno. Si la isquemia es grave o dura demasiado tiempo, puede dar lugar a un ataque al corazón (infarto de miocardio) y la muerte del tejido cardíaco. En la mayoría de los casos, una interrupción momentánea del flujo de sangre al corazón causa el dolor de la angina de pecho. Pero en algunos casos no se produce dolor, entonces se denomina “isquemia silenciosa”. La isquemina silenciosa (o asintomática) también puede alterar el ritmo cardíaco. Los ritmos anormales, tales como los que se producen en la taquicardia ventricular o la fibrilación ventricular, pueden afectar a la capacidad de bombeo del corazón y causar desmayos o incluso muerte súbita cardíaca. La Asociación Americana del Corazón (AHA) calcula que unos tres o cuatro millones de estadounidenses sufren episodios de isquemia silenciosa. Los que han sufrido ataques cardíacos previamente y los diabéticos corren un mayor riesgo de sufrir una isquemia silenciosa. La enfermedad del músculo cardíaco (cardiomiopatía) ocasionada por una isquemia silenciosa es una de las causas más comunes de insuficiencia cardíaca en los Estados Unidos. Los siguientes son los principales factores de riesgo: Ataques cardíacos previos, enfermedad arterial coronaria, diabetes, presión arterial alta (hipertensión arterial), tabaquismo, obesidad, cardiomiopatía y consumo abusivo de alcohol y drogas.




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I. DEFINICIÓN El sistema circulatorio está formado por un conjunto de órganos tubulares que forman un circuito cerrado por el cual circula la sangre. Los órganos que integran este sistema son los siguientes: el corazón, las arterias, los capilares, las venas y los vasos linfáticos. Por estos úlitmos vasos circula la linfa por vertirse a la sangre a nivel de las venas que formarán luego la cava superior.

A. El corazón Generalidades: El corazón es un órgano hueco con gruesas paredes musculares. Tiene un volumen aproximadamente igual a la de una mano empuñada. Su peso, en una persona adulta es de 250 a 300 g y sus dimensiones son 12 x 9 x 8 x 6 cm. Su forma hace recordar izquierda a un cono con el vértice o punta orientada hacia abajo y a la izquierda. El corazón de los mamíferos está dividido por un tabique longitudinal completo, en dos mitades: derecha e izquierda. La mitad derecha, llamada también corazón derecho contiene sangre venosa y la mitad izquierda, llamada también corazón izquierdo contiene sólo sangre arterial y oxigenada. A su vez, cada una de estas dos mitades está dividida en dos cámaras: la superior pequeña y de paredes delgadas se llama aurícula, y la inferior, de paredes gruesas, se denomina ventrículo. La aurícula derecha se comunica con el ventrículo derecho por intermedio del orificio aurículo - ventricular derecho que está provisto de una válvula de tres hojas o valvas, denominadas tricúspide. De igual modo, la aurícula izquierda se comunica con el ventrículo izquierdo por medio del orificio aurículo - ventricular izquierdo que posee una válvula provista de dos hojas, razón por la cual se le llama también bicúspide o mitral. La disposición de estas válvulas es tal que sólo permite el paso de la sangre de las aurículas a los ventrículos respectivos. Al examinar las cavidades ventriculares se aprecia una superficie brillante con unas proyecciones musculares internas, llamados los pilares del corazón, que terminan en punta en donde se insertan las cuerdas tendinosas que sujetan a las válvulas. El resto de la superficie interior muestra el relieve de varios haces musculares que se denominan columnas carnosas. Las cavidades auriculares son lisas, salvo en la región de las orejuelas auriculares donde hacen relieves varios haces musculares entrecruzados que se conocen con el nombre de músculos pectíneos. La función del corazón es la de hacer circular la sangre por todo el sistema vascular. La circulación se realiza de la siguiente manera: La sangre venosa de la aurícula derecha pasa al ventrículo derecho, de éste sale por la arteria pulmonar y se dirige a los pulmones en donde se oxigena y se convierte en sangre arterial que es llevada por las venas pulmonares hacia la aurícula izquierda. A este recorrido se llama circuito menor. El circuito mayor o gran circulación se inicia con el paso de la sangre de la aurícula izquierda al ventrículo izquierdo y de aqui a la arteria aorta para continuar luego por las arterias de mediano calibre, arteriolas y capilares. A nivel de los capilares, la sangre cede el oxígeno y las sustancias nutritivas y recibe anhídrido carbónico y los productos de desecho del metabolismo tisular, convirtiéndose así en sangre venosa que retorna al corazón por las venas que van confluyendo para terminar por formar las venas cavas superior

II BIMESTRE

e inferior que desembocan en la aurícula derecha. Para completar el estudio del sistema circulatorio falta mencionar a la circulación linfática que lleva la linfa desde la intimidad de los tejidos hasta la confluencia de las venas yugulares con las subclavias respectivas, en donde desembocan los dos grandes troncos linfáticos: el conducto toráxico con el confluente yúngulo - subclavio izquierdo y la gran vena linfática en el confluente yúgulo - subclavio derecho. El estudiante deberá tener presente que recién a este nivel, cercano al corazón, se mezcla la linfa con la sangre venosa. También es necesario hacer notar que la circulación linfática empieza en los capilares linfáticos que tienen un extremo ciego. La linfa se forma al pasar el líquido tisular por las delgadas paredes de estos capilares.

A medida que los animales pluricelulares aumentaron su complejidad estructural y su tamaño, también incrementaron sus necesidades energéticas, es decir, la cantidad total de energía, necesaria para su mantenimiento y desarrollo. En el transcurso del proceso evolutivo aparecieron animales con órganos especializados en la captación de oxígeno como las branquias o pulmones y un tejido conectivo fluido, en el caso de los vertebrados, la sangre, que es capaz de transportar oxígeno hasta las células. La sangre fluye a través del organismo por un sistema de conductos interconectados, gracias a un órgano capacitado para generar la fuerza necesaria para impulsarla, el corazón.

Sangre

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EL CORAZÓN

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II. HISTOLOGÍA DEL CORAZÓN:

RUIDOS CARDÍACOS

La histología del corazón se concreta al estudio de: 1. La pared 2. Las válvulas

1. La pared del corazón La pared del corazón es delgada a nivel de las aurículas y gruesa en los ventrículos. No obstante de ésta diferencia en el espesor, histológicamente se reconocen tres capas, que de adentro hacia afuera son las siguientes: endocardio, miocardio y epicardio.

A. Endocardio.- Es la capa que tapiza toda la cavidad cardíaca, su espesor es mayor cuanto más delgada sea la pared, por lo tanto, el endocardio de los auriculares es más grueso que el de los ventrículos. El endocardio, a su vez consta de las siguientes subcapas: a. Endotelio.- Al igual que el que tapiza a los vasos, está formado por células planas, dispuestas en una sola capa. b. Subendotelio.- Presenta, a su vez dos subcapas. La que se encuentra inmediatamente debajo del endotelio es delgada y está constituida por tejido conectivo laxo. La que sigue es gruesa y está formada por tejido conectivo denso, con fibras elásticas, fibras colágenas y fibroblastos. En la cara profunda de esta subcapa se aprecian algunas células musculares lisas. c. Capa subendocárdica.- Aunque el nombre puede sugerir que se trata de una capa distinta del endocardio, en realidad, forma parte de él. Se caracteriza por su constitución a base de tejido conectivo laxo por el que discurren vasos sanguíneos y filetes nerviosos. En el subendocardio ventricular se encuentran las fibras de Purkinje. El tejido conectivo de esta capa continúa con el endomisio del miocardio.

Los ruidos del corazón que se escuchan mediante la auscultación se deben al cierre de las válvulas. Cuando los ventrículos empiezan a contraerse se oye un ruido de tono bajo y relativamente prolongado que se denomina “primer ruido cardíaco”. Cuando las válvulas aórtica y pulmonar se cierran se percibe un chasquido relativamente breve que se llama segundo ruido cardíaco. También hay: Tercer ruido: Se produce por la vibración de las paredes ventriculares. Se puede escuchar en recién nacidos y en personas de tórax delgado. Cuarto ruido: Es anormal, se produce por contracción auricular.

B. Miocardio.- Es la capa más gruesa y está formada por tejido muscular cardíaco. Aquí sólo resaltaremos que entre las fibras musculares cardíacas se encuentran el tejido conectivo laxo con abundantes capilares.

C. Epicardio.- Es la capa exterior del corazón la que los anatomistas llaman pericardio visceral. El epicardio está formado por una capa superficial de células planas que conforman un mesotelio, que descansa sobre una capa de espesor variable, de tejido conectivo laxo (capa submesotelial) que contiene fibras elásticas, colágenas, filetes nerviosos, vasos sanguíneos y tejido adiposo particularmente abundante en las vecindades de los gruesos vasos coronarios.

2. Válvulas Las válvulas del corazón son de dos tipos anatómicos diferentes.

A. Las aurículas - ventriculares, que están formados por láminas planas llamadas valvas o hojuelas en cuyo borde libre se insertan las cuerdas tendinosas que a su vez, estan unidas a los músculos papilares por el otro extremo.

B. Las sigmoideas o semilunares, que se encuentran en los orificios de salida de las arterias aorta y pulmonares y están formadas por 3 valvas cóncavas (hacia arriba) en forma de nido de paloma.

II BIMESTRE

El aparato valvular que no posee vasos sanguíneos, es asiento de procesos inflamatorios causados por la fiebre reumática que sino es tratada adecuadamente de j a se c u el as c ic atri ci al e s irreversi bles que p ro duce n insuficiencia o estrecheces de los orificios aurículo - ventriculares o arteriales. La presencia de tales lesiones da origen a los llamos “soplos cardíacos” que son percibidos fácilmente por el médico.

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Estructura

Válvula

Vena cava superior

No tiene

Vena cava inferior

Eustaquio

Seno venoso coronario

Thebesio

Venas pulmonares

No tienen

Orificio aurículo – ventricular derecho

Tricúspide

Orificio aurículo – ventricular izquierdo

Bicúspide o mitral

Arteria aorta

Sigmoidea aórtica (semilunar)

Tronco arterial pulmonar

Sigmoidea pulmonar

III. SISTEMA DE CONDUCCIÓN Sistema específico o cardio - nector o autónomo o nodal. Tejido formado por fibras musculares cardíacas especializadas que generan, conducen y transmiten el impulso eléctrico por todo el corazón provocando así su contracción. El sistema nodal determina el “automatismo del corazón” (capacidad funcional del corazón sin el control de la voluntad). A. Nodo Sinusal.- (nodo sinoauricular, nodo de Keith y Flack, marcapaso cardíaco). Ubicado en la aurícula derecha, cerca a la desembocadura de la vena cava superior. Su función es generar impulsos eléctricos recibiendo regulación por parte del sistema nervioso vegetativo. B. Haces internodales: Se ubica en la aurícula derecha y su función es comunicar al nodo sinusal con el nodo aurículo ventricular. Son de tres: Haz de Thorel, de Bachmann y de Weckemback. C. Nodo aurículo - ventricular: También llamado de Aschoff - Tawara. Su función es retardar el impulso eléctrico, permitiendo que se contraiga primero las aurículas y luego los ventrículos. D. Haz de His: Se origina en el nodo aurículo ventricular, penetra en el tabique interventricular dividiéndose en 2 ramas: derecha e izquierda que se distribuye en la pared de los ventrículos. Su función es conducir el impulso eléctrico. E. Fibras de Purkinje: Se forma por la ramificación de Haz de His. Su función es conducir y transmitir el impulso eléctrico a los ventrículos.

El corazón embrionario, al parecer es un órgano sencillo, es un simple tubo compuesto por fusión de dos delicados conductos debajo de la cabeza en desarrollo. En esta fase es más o menos como el corazón de un pez con cuatro cavidades dispuestas en sucesión: senovenoso, una sola aurícula, un solo ventrículo y el cono arterial.

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Christiaan Barnard El 3 de diciembre de 1967, saltó a la fama al realizar el primer transplante de corazón a un hombre de negocios de 53 años, Louis Vashkansky, quien lo recibió de una mujer negra de 25 años, Dense Ann Darwall, quien había quedado con una daño cerebral irreversible en un accidente automovilístico. La cirugía de trasplante en sí fue todo un éxito, pero Washkansky no pudo superar una neumonía, favorecida por los medicamentos inmunosupresores para evitar el rechazo, y falleció a los 18 días de la operación. El segundo trasplante lo realizó el 2 de enero de 1968 a Philip Blaiberg, dentista, quien sobrevivió 563 días después de la operación. Barnard realizó un nuevo y valioso aporte a la cirugía de trasplante cardíaco, al desarrollar una nueva técnica en 1975. En 1983, debido a las artrosis de las manos tuvo que dejar de operar, dedicándose a la investigación, dictar conferencias por todo el mundo y a escribir no sólo de medicina sino también novelas. Fue un visionario; en 1970 pronosticó el trasplante de un corazón completamente artificial antes de finalizar el milenio. Falleció el 3 de septiembre de 2001, en un balneario de Chipre según la autopsia, por un severo ataque de asma.




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SISTEMA NODAL Sistema eléctrico del corazón

Haz de Bachmann Nódulo sinoatrial (su sigla en inglés es SA) Ramificación izquierda del Haz

Tracto Internodular Anterior Tracto Internodular Mediano

Tracto Internodular Posterior

Vías de conducción

Nódulo Atriventricular (su sigla en inglés es NA)

II BIMESTRE

Ramificación derecha del Haz

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BIOLOGÍA

VENAS Y ARTERIAS Los vasos sanguíneos son los conductos por los que circula la sangre. Hay tres clases: arterias, venas y capilares. La sangre sale del corazón por las arterias y llega a él por las venas.

Las venas llevan sangre de los tejidos al corazón. Sus paredes son más delgadas que las arteriales.

Los capilares unen ambos vasos. La circulación es completa: del corazón a los tejidos, de éstos al corazón, de éste a los pulmones y nuevamente al corazón para volver oxigenada a los tejidos.

Las arterias llevan sangre del corazón a los tejidos. Sus paredes son gruesas y expandibles.

Los capilares llevan la sangre interior de los tejidos. Unen las arterias con las venas.

Un esfínter precapilar, hecho de fibras musculosas, controla el flujo de la sangre a la entrada del capilar.

Arteriola

Vénula

Membrama básica Endotelio

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Arteria

Red capilar

Vena




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IV. DIFERENCIA ENTRE ARTERIAS Y VENAS ARTERIAS

VENAS

1. Son vasos sanguíneos (llevan sangre desde el corazón a los tejidos). 2. Histológicamente presenta fibras elásticas. 3. Se originan en los ventrículos del corazón y terminan en los capilares de los tejidos. 4. Transportan sangre oxigenada desde el corazón hacia los tejidos, excepto el tronco arterial pulmonar. 5. Son divergentes, ramificándose, disminuyendo su calibre y presentando válvulas sólo en su nacimiento (sigmoideos). 6. Soportan altas presiones, circulando la sangre a mayor velocidad y al seccionar su pared la sangre fluye a chorro de manera intermitente. 7. Cuando no contienen sangre no se colapsan debido al mayor grosor de su pared.

1. Son vasos sanguíneos (conducen la sangre desde los tejidos y lo llevan de regreso al corazón). 2. Carece de fibras elásticas. 3. Se originan en los capilares de los tejidos y terminan en las aurículas del corazón. 4. Transportan sangre poco oxigenada desde los tejidos hacia el corazón, excepto las venas pulmonares. 5. Son convergentes uniéndose, aumentando su calibre y presentan válvulas en todo su trayecto. 6. Soportan bajas presiones, circulando la sangre a menor velocidad que al seccionar su pared la sangre fluye de manera continua. 7. Cuando no contienen sangre se colapsan debido al menor grosor de su pared.

La dilatación anormal de las arterias se llama Aneurisma y la dilatación anormal de las venas son llamadas Várices.

Vocabulario A. Cardiomegalia: B. Aglutinina:

Aumento de tamaño del corazón. Principio específico o anticuerpo presente en el suero capaz de causar el agrupamiento de baterias. C. Anemia: Transtorno de la sangre en el que el número de eritrocitos funcionales o su contenido de hemoglobina es inferior al normal. D. Cuerpo carotideo: Receptor situado en el seno carotídeo o en su proximidad, que responde a alteraciones de los niveles sanguíneos de oxígeno. E. Paro cardíaco: Cese de una contracción cardíaca eficaz en el que el corazón y que está completamente inmóvil.

Bibliografía 1. www.cardiocaribe.com 2. www.tusalud.com 3. www.texashearinstitute.org

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BIOLOGÍA

1) Las válv ul as s ig moi des se encuentran:

12) Men ciona 2 e nfermedades relacionadas al sistema cardiovascular.

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________ 2) Las válvulas tricúspides están en: _________________________ _________________________ 3) La pared más gruesa del corazón es:

_________________________ 7) Los nódulos o marcapasos son: _________________________ _________________________

_________________________ _________________________ 13) El corazón se ubica en :

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________

_________________________ 4) Menciona 3 características de las venas. _________________________ _________________________ _________________________ 5) Menciona 3 características de las arterias. _________________________

_________________________ _________________________

8) La arteria que irriga al corazón es: _________________________ _________________________

9) La arteria pulmonar transporta:

_________________________

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6) Menciona 3 características de los capilares:.

14) Grafica el corazón.

15) Indica lo siguiente: 10) La arteria aorta transporta:

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10) ¿Dónde nacen las arterias? _________________________ _________________________

_________________________

10) ¿Dónde desembocan las venas? 11) Las venas pulmonares transportan: _________________________

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_________________________

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BIOLOGÍA


APARATO RESPIRATORIO Ataque Asmático Objetivos 

Conocer la estructura y funciones del sistema respiratorio.



Identificar las vías respiratorias y los órganos respiratorios.

Contenido 

Anatomía respiratoria

       

Vías respiratorias Fosas nasales Faringe Laringe Tráquea Bronquios Bronquiolos

Órganos respiratorios o vías pulmonares.  El pulmón  Características

El ataque asmático se produce cuando los bronquios y bronquiolos se inflaman, reduciendo el espacio por el que el aire pasa hasta llegar a los pulmones. La inflamación de las vías respiratorias comienza cuando una sustancia irritante, por ejemplo el humo del cigarro, se pone en contacto con la pared de las vías respiratorias. Esta sustancia desencadena la activación del sistema inmunológico del organismo que envía unas células especializadas, llamadas mastocitos, a la zona que sufre la irritación. Estas células liberan histamina, lo que origina una inflamación localizada y una vasodilatación. Todo este proceso se conoce con el nombre de respuesta inflamatoria. La histamina puede causar un broncoespasmo, lo que provoca una dificultad mayor al paso del aire por las vías respiratorias. Asimismo, se favorece la producción de moco que obstruye aun más las vías, lo que origina ataques de tos y disnea. Una crisis típica empieza con tos, estornudos y respiración entrecortada, aunque ciertos individuos sólo desarrollan una tos seca. Incluso sin tratamiento, el ataque suele ceder en una pocas horas; la tos se hace más húmeda y el sujeto expectora grandes cantidades de moco. Las crisis pueden repetirse en horas o días, o permanecer ausentes durante meses o incluso años. El estatus asmático, crisis prolongada que persiste a pesar del tratamiento, es un forma especialmente grave y a veces mortal de la enfermedad, y por lo general requiere hospitalización. La frecuencia y gravedad de los síntomas asmáticos varía mucho de una persona a otra; en algunos niños con asma, los ataques desaparecen al alcanzar la edad adulta.

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BIOLOGÍA

1. DEFINICIÓN Conjunto de órganos encargados de la oxigenación de la sangre y la eliminación del CO2 producido por el cuerpo. 2. ANATOMÍA RESPIRATORIA El término “respiración” tiene dos significados en biología. A nivel celular, se refiere a las reacciones químicas que requieren oxígeno, que ocurren en las mitocondrias y son la fuente de energía. A nivel de un organismo multicelular completo se designa al proceso de tomar un fluido rico en oxígeno del ambiente y liberar dióxido de carbono. Este proceso de movilización de un fluido, conocido también como ventilación, es esencial para el organismo y lo estudiaremos el día de hoy.

A. Vías respiratorias a) Fosas nasales: * Están tapizadas de pelos y cilios o vibrisas que cumplen la función de atrapar el polvo y otras partículas extrañas. * Las células epiteliales que revisten las cavidades, secretan moco, que humedece el aire y recoge desechos que pueden ser eliminados sonándose la nariz. * Allí encontramos los cornetes nasales.

b) Faringe: * Conducto muscular de aproximadamente 13 cm. * Comunica las fosas nasales con la laringe y el esófago. * Participa en la deglución de los alimentos.

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La Faringe

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BIOLOGÍA


VÍAS RESPIRATORIAS Cornete nasal media

Cornete nasal superior

Órbita Seno maxilar

Las cavidades nasales, separadas por el septo nasal, se encuentran en la faringe, en la parte posterior de la nariz. Los cornetes, pliegues óseos cubiertos de mucosa, guían el aire a lo largo de canales (meatos) donde el polvo queda atrapado.

Cornete nasal inferior Septo nasal

Paladar duro

La extensión hacia abajo de la laringe, la tráquea, consiste en un tubo de 12 cm de longitud y 1,5 cm de ancho que se divide para formar los dos bronquios. Una serie de 15 a 20 piezas de cartílagos con forma de herradura que protege el frente de la tráquea y un músculo la separa del esófago.

La faringe (o garganta) conecta las cavidades nasales, la boca y la laringe. Laringe Esófago

El pulmón derecho tiene tres lóbulos y el izquierdo, que está del mismo lado que el corazón, sólo tiene dos.

Pulmón izquierdo

Corazón

El diafragma es una división musculotendinosa que separa el tórax del abdomen.

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c) Laringe:

LARINGITIS

* Conducto cartilaginoso que unen faringe y tráquea. Mide aproximadamente 4,5 cm de longitud. * Es el órgano de la fonación, en ella se encuentran las cuerdas vocales (2 verdaderas y 2 falsas). * Formada por 3 cartílagos impares (epiglotis, tiroides y cricoides) y 3 pares de cartílagos (aritenoides, corniculados y cuneiformes). La afección más común de la laringe humana es la inflamación o laringitis, que constituye un síntoma común del resfriado, a menudo acompañada de disminución o pérdida completa de la voz. Otras patologías que afectan con frecuencia a la laringe son el crup, la difteria y el cáncer. Se ha demostrado que el cáncer de laringe, en la mayoría de los casos, es consecuencia del tabaquismo y de la ingesta de grandes cantidades de alcohol. Quienes fuman y beben en exceso están expuestos a un riesgo elevado de cáncer de laringe. Éste se trata con radioterapia, sobre todo si se diagnostica con tiempo y cirugía; las intervenciones más comunes son la ablación parcial o total de la laringe. En caso de ablación total, el paciente debe aprender un nuevo método de fonación basado en la inhalación y expulsión de aire. Se han desarrollado otras técnicas quirúrgicas para sustituir los tejidos extirpados y restaurar un habla de calidad casi normal; la implantación de una prótesis por medio de punción traqueoesofágica ha arrojado resultados prometedores en quienes se ha probado.

Faringitis

La lar ingitis, que es simplemente la inflamación de las cuerdas vocales, interfiere en la vibración y así se pierde la voz.

VÍAS RESPIRATORIAS

Fosas nasales Cavidad Bocálica

Faringe

Laringe

Tráquea Lóbulo pulmonar superior Bronquio principal diestro

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En la pubertad, las cuerdas vocales de los varones se tornan más largas y gruesas, a veces el adolescente pierde el control de ellas emitiendo sonidos chillones y embarazosos.

Bronquio principal izquierdo

Bronquio inferior izquierdo




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d) Tráquea: * Tubo largo y membranoso revestido de células epiteliales ciliadas, mide aproximadamente 13 cm de largo. * Sus paredes están reforzadas de anillos de cartílago, son de 16 a 20 anillos. * Comunica la laringe con los bronquios. Su superficie interna está revestida por una membrana mucosa ciliada. Es muy susceptible a infecciones respiratorias. A veces, es necesario realizar una traqueotomía (la apertura quirúrgica de la tráquea) debido a su obstrucción por un cuerpo extraño o a una enfermedad. ´ ´

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No c o n v i e n e c o n t e n e r lo s estornudo s; siempre e s beneficioso limpiar la nariz. Si se contiene un estornudo, la presión ejecutada por el aire comprimido en los pulmones puede resultar perjudicial para el delicado tejido de estos órganos.

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e) Bronquios: Los bronquios son los tubos que transportan aire desde la tráquea a los lugares más apartados de los pulmones, donde pueden transferir oxígeno a la sangre en pequeños sacos de aire denominados alvéolos. Dos bronquios principales, los bronquios derecho e izquierdo, se ramifican desde el extremo inferior de la tráquea en lo que se conoce como la bifurcación de la tráquea. Un bronquio se extiende en cada pulmón. Los bronquios continúan dividiéndose en pasillos menores, denominados bronquiolos, formando ramificaciones como en un árbol que se extienden por todo el esponjoso tejido pulmonar. El exterior de los bronquios se compone de fibras elásticas y cartilaginosas, y presenta refuerzos anulares de tejido muscular liso. Los bronquios pueden expandirse durante la inspiración, permitiendo que se expandan los pulmones a su vez, y contraerse durante la expiración cuando se exhala el aire.

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Recuerda Durante situaciones de estrés, el sistema nervioso simpático dilata los bronquios aumentando su diámetro, y en consecuencia, el flujo de aire oxigenado también aumenta. En algunas ocasiones se producen ESPASMOS bronquiales, como por ejempl o, en un ataqu e de asma, lo que dificulta el intercambio de aire. El asma es una reacción inflamatoria de las vías bronquiales.

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f) Bronquiolos:

Su s p aredes están formadas por células epiteliales llamadas NEUMOCITOS. Neumocito I: Célula epitelial, plana más abundante, realiza el intercambio de O2 y CO2. Neumocito II: Célula epitelial cúbica, produce la sustancia surfactante que evita que el alvéolo colapse durante la respiración. * Pleura: Es una membrana serosa que recubre la superficie del pulmón. -

Son la v ías re spiratorias intermedias en los pulmones. Se ramifican a partir de los bronquios y se extienden a las ramificaciones menores de los conductos alveolares y alveolos. Se denominan a menudo “árbol pulmonar”, debido a que sus extensivas ramificaciones recuerdan a las ramas y hojas de un gran árbol de hoja caduca.

B. Vías Pulmonares Se inician en los bronquiolos y terminan en los alvéolos, ambas estructuras están en:

a) Los Pulmones: * Son dos órganos blandos, esponjosos y elásticos cuya función es realizar el intercambio de gases (O2 y CO2). * Su localización es en la cavidad toráxica sobre el músculo del diafragma.

Tráquea Bronquios

Bronquiolos

Alvéolos pulmonares

Características: * Peso: Pulmón derecho: 600 g Pulmón izquierdo: 500 g * Color: Varía con la edad, es rosado en el recién nacido y gris en el adulto. * Dimensiones: Altura 25 cm, diámetro anteroposterior 16 cm, diámetro transversal derecho 10 cm e izquierdo 7 cm.

El hipo se produce por alguna razón, el diafragma se contrae de forma súbita y no da tiempo a que se separen las cuerdas vocales de la laringe: el aire impacta contra las cuerdas vocales cerradas y genera un ruido caractetirístico. Casi siempre se debe a un estímulo del centro nervioso inoportuno.

Estructura: * * -

Lóbulos: Se encuentran delimitados por las cisuras. El pulmón derecho posee tres lóbulos: superior, medio e inferior. El pulmón izquierdo posee dos lóbulos: superior e inferior. Alvéolos: Son estructuras fundamentales de las vías respiratorias. Su función es llevar a cabo el intercambio gaseoso (O2 y CO2), llamado HEMATOSIS.

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La tráquea Interior de la tráquea El interior de la tráquea, como el resto del árbol bronquial, está cubierto de una mucosa ciliada que dirige las impurezas al exterior. En la carina la tráquea se divide en los bronquios principales, derecho e izquierdo.

Alvéolos Carina

Aorta

Bronquios Bronquiolos

Tráquea

Arterias Pulmonares Vena cava superior

El pulmón está envuelto en una membrana doble, la pleura. El espacio entre las dos capas está lleno de un líquido lubricante, el líquido pleural.

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Cada pulmón tiene cerca de 25000 bronquiolos.

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1) No es un músculo respiratorio: a) Trapecio b) Esternocleidomastoideo c) Deltoides d) Pectoral e) Escaleno 2) Los cornetes se localizan en: a) Nasofaringe b) Rinofaringe c) Fosas nasales d) Laringe e) Tráquea 3) El cartílago Tiroides se localiza en: a) Trompa de Eustaquio b) Faringe c) Laringe d) Fosas nasales e) Tráquea 4) La hematosis ocurre sólo a nivel de: a) Bronquiolos terminales b) Alvéolos c) Bronquios d) Tráquea e) Fosas nasales 5) Estructura respiratoria que contiene a las cuerdas vocales. a) Pulmones b) Tráquea c) Epiglotis d) Laringe e) Bronquios

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6) La membrana que envuelve a los pulmones. a) Peritoneo b) Pericardio seroso c) Endotelio d) Mucosa respiratoria e) Pleura 7) Durante la hematosis, el CO 2 ingresa a .......... y el O2 a .......... a) los pulmones - el corazón b) los bronquiolos - a la tráquea c) los alvéolos - los capilares d) la sangre - los alvéolos e) el neumocito - los bronquiolos 8) Se localizan en la nasofaringe: a) Cuerdas vocales b) Amígdalas faríngeas c) Alveolos d) Epiglotis y glotis e) Catílagos traqueales 9) El pulmón derecho está dividido en ............. lóbulos y el izquierdo en ............. lóbulos. a) 1 - 3 b) 3 - 2 c) 5 - 3 d) 2 - 3 e) 8 - 10 10) Las “células del polvo” son: a) Neumocitos I b) Neumocitos II c) Neumocitos III d) Macrófagos alveolares e) Alvéolos inactivos

11) Estructura respiratoria que desempeña además función digestiva. a) Rinofaringe b) Orofaringe c) Hipofaringe d) a y b e) b y c 12) Los cartílagos Tiroides, Aritenoides y Cricoides pertenecen a: a) Los bronquios b) La tráquea c) La faringe d) La laringe e) Los pulmones 13) El espacio comprendido entre las dos cuerdas vocales se denomina: a) Istmo de las fauces b) Epiglotis c) Glotis d) Meato e) Carina 14) Estructura respiratoria localizada entre la laringe y los bronquios. a) Tráquea b) Bronquiolos c) Faringe d) Alvéolos e) Pulmones 15) No guarda relación con los senos paranasales. a) Disminuyen el peso de la cabeza. b) Sirven como cavidad de resonancia para la voz. c) Calientan el aire inspirado. d) Su afección se denomina Sinusitis. e) Todas guardan relación.




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SISTEMA DIGESTIVO (TUBO DIGESTIVO Y GLÁNDULAS ANEXAS) Objetivos 

Conocer la morfología, histología y función de los órganos del tubo digestivo.



Reconocer los procesos fisiológicos involucrados en la digestión de carbohidratos, proteínas y lípidos.

Contenido



El tubo digestivo Estructura histológica del tubo digestivo.  La boca  La faringe  El esófago  El estómago  El intestino delgado  El intestino grueso

II BIMESTRE

Las infecciones bacterianas pueden causar úlceras Un estómago lleno de jugo digestivo ayudado por un ácido fuerte nos permite digerir una variedad de alimentos. Estos ácidos son suficientemente fuertes para disolver el acero, pueden ser dañinas. Una cubierta de moco protege comúnmente la pared estomacal del efecto corrosivo del jugo gástrico, pero cuando falla, la protección no es completa, porque se pueden desarrollar lesiones conocidas como úlceras gástricas en la pared estomacal. El síntoma, por lo general es un dolor quemante en la parte superior del abdomen. Existe evidencia que un Procoriote en forma de espiral llamado Helicobacter pylori es el culpable principal. El bajo PH del estómago mata a la mayor parte de microorganismos, pero no al H. pylori, el cual se adhiere al recubrimiento estomacal y se rodea de sustancias químicas que neutralizan la acidez. El crecimiento del H. pylori origina pérdida del moco protector y de lesión al recubrimiento estomacal, pudiendo causar gastritis. Se estima que el 50% de la población mundial está infectada con H. pylori. En aproximadamente un 10% de los infectados, la gastritis se Tormenta complica, y se desarrollan úlceras gástricas y finalmente la pared estomacal se corroe al punto de una Eléctrica perforación de ella y desarrollo de ciertos tipos de cáncer estomacal.

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Tubo Digestivo

SISTEMA DIGESTIVO

Los órganos que comprenden el tubo digestivo incluyen la boca, faringe, esófago, estómago, intestino delgado e intestino grueso. La longitud del tubo en un cadáver es de unos 9 metros, mientras que en personas vivas es un poco más corto, a causa del tono muscular en su pared. Los alimentos permanecen en el tubo digestivo desde el momento de su ingestión hasta que termina su digestión y quedan preparados para su eliminación. Las contracciones musculares de la pared del tubo digestivo degradan los alimentos físicamente al mezclarlos. Las secreciones de las células del tubo los degradan en forma química. 1. ESTRUCTURA HISTOLÓGICA DEL TUBO DIGESTIVO La pared del tubo digestivo, en especial desde el esófago hasta el conducto anal, tiene los mismos tejidos básicos. Los 4 tejidos de dicho tubo, de adentro hacia afuera, son: mucosa, submucosa, muscular y serosa o adventicia.

A. Mucosa Es una membrana productora de moco unida a una capa delgada de músculo visceral. Presenta 3 capas: * Epitelio: Tejido de revestimiento en contacto directo con el contenido del tubo digestivo, es Poliestratificado plano desde la boca al cardios y monoestratificado del cardios al ano. * Corión o lámina propia: Se compone de tejido correctivo laxo, brindando sostén al epitelio. * Muscularis Mucosae (muscular de la mucosa): Formada por fibras de músculo liso.

B. Submucosa Consiste en tejido conectivo laxo que une la mucosa a la tercera capa, la muscular. Es un tejido muy vascularizado que contiene una parte del plexo submucoso (MEISSNER), que controla las secreciones del tubo digestivo.

Las paperas es una inflamación de las glándulas parótidas que provoca fiebre, malestar general y dolor intenso en la garganta al deglutir los alimentos. En casi el 30% de varones también se inflaman los testículos, pudiendo provocar esterilidad.

C. Muscular La muscular de boca, faringe y esófago, contienen en parte músculo esquelético (estriado) que permite la deglusión voluntaria. En el resto del tubo digestivo, la muscular está formada por músculo liso.

D. Serosa o adventicia Es la capa más externa del tubo digestivo y se compone de tejido conectivo y epitelio. Recibe el nombre de peritoneo visceral y forma parte del peritoreo. 2. CAVIDAD BUCAL (BOCA) Es la primera porción del tubo digestivo, es una cavidad de forma oval que se localiza en la parte central e inferior de la cara. Se extiende desde los labios hasta los fauces orofaríngeas (istmo de las fauces). Se forma con los carrillos, paladares duro y blando y lengua. Los labios son pliegues carnosos que rodean a la boca, se une a la encía correspondiente mediante un pliegue de la mucosa y al frenillo del labio correspondiente. Además los labios participan en el habla. La boca se divide en dos regiones: * El vestíbulo, que es el espacio comprendido entre la parte posterior del labio y la parte anterior del diente.

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* La cavidad oral, que es el espacio comprendido entre la parte posterior de los dientes y el istmo de las fauces. La boca contiene la lengua, los arcos alveolares, las encías, los dientes y el istmo de las fauces. El paladar duro, es la porción anterior del techo de la boca, está formado por los maxilares superiores y huesos palatinos. El paladar blando, forma la parte posterior del techo de la boca, cuyo borde libre cuelga una prolongación muscular cónica llamada úvula.

Personaje del tema

Robin Warren

A. Lengua Es una órgano accesorio del sistema digestivo que consiste en un músculo esquelético (estriado), cubierto por mucosa y presenta papilas gustativas. Además de permitir saborear el alimento, la lengua lo manipula y ayuda a darle forma, lo que origina una bola conocida como bolo alimenticio. Al tragar, la lengua empuja el bolo hacia la parte posterior de la cavidad oral y hacia la faringe.

Papilas Califormes

B. Dientes Son órganos blanquecinos, duros y lisos que se encuentran insertados en los huesos maxilares, por medio de una articulación denominada gonfosis y en cavidades llamadas alvéolos. Están cubiertos por las encías que penetran formando el surco gingival. Todo diente presenta tres partes: * La corona: es la porción expuesta que se encuentra por encima del nivel de las encías. * El cuello: es la línea angosta de unión de la corona y la raíz. * La raíz: porción del diente incluída en el alvéolo. Histológicamente el diente está formado por : Esmalte, dentina, cemento y ligamento periodental. El esmalte es la sustancia más dura del cuerpo y protege a los dientes contra el desgaste de la masticación. Además es una barrera contra los ácidos que disuelven la dentina con facilidad. En la raíz la dentina está cubierta por cemento que fija la raíz al ligamento periodental. Tipo de diente

Función

Número

Incisivo (I) Canino (C) Premolar (PM)

Cortar

8

Desgarrar

4

Triturar y moler

8

Molar (M)

Triturar y moler

12

Dentición permanente

32

Nació el 11 de junio de 1937 en Adelaide, Autralia. Se graduó en MB. Bs en la Universidad de Adelaide en 1961, después de entrenar en el hospital Real de Melboune. En 1972 el Dr. Warren observó la presencia de bacterias curvadas después de una biopsia de mucosa gástrica. Durante, los próximos 2 años demostró que las bacterias estaban con frecuencia sólo en el epitelio gástrico y que posiblemente causaba su inflamación (gastritis) y úlceras. En 1982, cultivó bacterias, de las cuales identificó una nueva especie llamándolo Helicobacter pylori. La correlación clínica lo realizó junto al Dr. Barry Marshall y juntos reciben el premio Nobel a la Medicina y Fisiología el año 2005 por descubrir la causa de la úlcera gástrica.

Las denticiones temporales son un número de 20 que aparecen a los 6 meses de edad y los definitivos son 32 a partir de los 6 años (primeros dientes) y los últimos molares (de juicio) que aparece entre los 18 - 25 años.

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C. La faringe Es un órgano tubular que se encuentra ubicado por detrás de las fosas nasales, cavidad bucal y laringe, y por delante de las vértebras cervicales. Es un tubo muscular que presenta una longitud aproximada de 14 cm y se extiende desde la base del cráneo hasta el nivel de la vértebra C6 (borde inferior del cartílago cricoides). La faringe se comunica con las fosas nasales, el oído medio (mediante la trompa de Eustaquio), la boca y la laringe, y se continúa con el esófago. Se divide en 3 porciones: * Rinofaringe (Nasofaringe): Se encuentra por detrás de las fosas nasales y se comunica con esta a través de los coamos. Se extiende desde la base del cráneo hasta el velo del paladar. Se le considera una vía respiratoria. * Orofaringe (Bucofaringe): Se ubica detrás de la cavidad oral y se comunica con esta a través del istmo orofaríngeo o de las fauces. Se extiende desde el paladar hasta la altura del huso hioide. Es una vía respiratoria y digestiva a la vez. * Laringofaringe (Hipofaringe): Se localiza detrás de la laringe, se extiende desde el huso hioide hasta la vértebra cervical C6 se continúa con el esófago, es una vía digestiva.

E n e l v ó mi t o , ex p u l s i ó n co n f uerza del co nte nido gastrointestinal por la boca, se transmiten impulsos nerviosos al centro del cerebro, bulbo raquídeo, y los impulsos eferentes se propagan a los órganos gastrointestinales, diafragma y músculos del abdomen.

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Interesante

D. El esófago Es un órgano importante que participa en la diglución, y se trata de un conducto muscular susceptible de colapso, que se sitúa por detrás de la tráquea, tiene 23 - 25 cm de longitud, es continuación de la laringofaringe, cruza el mediastino por delante de la columna vertebral, perfora el diafragma a través de un orificio llamado hiato esofágico y termina en el extremo superior del estómago.

La obesidad es un exceso de grasa corporal que por lo general, y no siempre, se ve acompañada de un incrementeo del peso del cuerpo.

* Actividades: El esófago no produce enzimas digestivos, desempeña funciones de absorción, secreta moco y transporta los alimentos al estómago. En la deglución el bolo alimenticio se desplaza por el esófago como resultado de movimientos involuntarios denominados PERISTALTISMO.

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BIOLOGÍA


E. El estómago Es una porción ensanchada del tubo digestivo en forma de letra “J” que sigue directamente por debajo del diafragma, en las regiones epigástrica, umbilical, e hipocondriaca izquierda del abdomen. La porción superior es continuación del esófago, mientras que la inferior vacía su contenido en el duodeno (1a. porción del intestino delgado). El estómago se divide en 4 áreas: cardias, fondo, cuerpo y píloro. El píloro se comunica con el duodeno por medio del esfínter pilórico. a. Estructura de la pared gástrica: El estómago tiene el mismo plan estructural general en toda su extensión, que consiste en una mucosa, submucosa, muscular y serosa. La superficie interna presenta numerosos pliegues. * Mucosa: Está revestida por epitelio simple cilíndrico y glándulas gástricas(fúndicas) que segregan el jugo gástrico. Estas glándulas se componen de células funcionalmente diferentes: 1. Células mucosas del cuello, secretan moco soluble por estímulo vagal. 2. Células parietales u oxínticas, las que producen el ácido clorhídrico (HCl) y el factor intrínseco de Castle. 3. Células principales o zimógenal, las que producen el pepsinógeno. Las secreciones de los tipos celulares forman el jugo gástrico cuyo volumen es de 2 - 3 litros diarios, y transforma el bolo alimenticio en quimo. b. Funciones del estómago: * Secretora: Elaboran el jugo gástrico y mucus que protege a la superficie gástrica de la acción corrosiva del HCl. * Absorción: Se absorve alcohol y silicatos. * Digestiva: Se inicia la digestión de proteínas. * Antimicrobiano: Impide la proliferación de microorganismos patógenos por la acidez (pH=2). * Antianémica: El factor intrínseco de Castle permite la absorción de la vitamina B12, su ausencia genera anemia perniciosa. * Endocrina: Realizada por la hormona gástrica que estimula la motilidad gástrica y la secresión del HCl.

F. Intestino delgado Porción del tubo digestivo que comienza en el esfínter pilórico gástrico y finaliza en la válvula ileocecal. En promedio tiene 2,5 cm de diámetro y una longitud de unos 3m en personas vivas y de casi 6,5 m en cadáveres. Se divide en 3 partes: * Duodeno: La más corta e inicial del intestino delgado. Se inicia en el esfínter pilórico del estómago y finaliza en el ángulo duodeno - yeyunal (ángulo de Treitz) su longitud es de 25 cm. * Yeyuno: Se extiende desde el duodeno al ciego, de casi 1 m de longitud. * Ileón: Parte final y más larga del intestino delgado de casi 2 m de longitud y termina en el esfínter ileocecal, donde se une al intestino grueso. La gran superficie del intestino delgado se logra por múltiples repliegues denominados vellosidades intestinales.

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a. Glándula de Lieberkühn: Son invaginaciones de la capa mucosa que secretan el jugo intestinal con un pH de 6,5 - 7,5 y produciendose diaramente alrededor de 3 litros. b. Funciones del intestino delgado: * Motora: Existen contracciones de mezcla y propulsión para procesar los alimentos. * Secretora: Elabora el jugo intestinal que tiene enzimas digestivos. * Digestiva: Se realiza el 90 % de la digestión de los alimentos ingeridos. * Absorción: De los productos finales de la digestión.

G. Intestino grueso Es la porción terminal del tubo digestivo que presenta unos 1,5m de longitud y 6,5 cm de diámetro, se extiende entre el ileón y el ano. Desde el punto de vista estructural presenta 4 porciones principales: ciego, colon, recto y conducto anal. El colon a su vez está dividido en: colon ascendente, descendente, transverso y sigmoides.

I. GLÁNDULAS SALIVALES: Son glándulas exocrinas que vierten su contenido en la cavidad oral y son: * Parótidas: Vierten su contenido a través del conducto de Stenon. Ubicación: Por debajo y delante del pabellón auricular. * Submaxilares: Vierten su contenido a través del conducto de Wharton. Ubicación: Por debajo de la lengua. * Sublinguales: Vierten la saliva a través del conducto de RIVINUS o BARTHOLIN. Ubicación: Localizadas por delante de los submaxilares.

a. Función del intestino grueso: * Realiza la absorción de agua y electrolitos. * Secreta moco con el fin de lubricar el colon y proteger a la mucosa. * Formación y almacenamiento de las heces. * Síntesis de vitamina K a través de la flora bacteriana.

GLÁNDULAS ANEXAS Hemos observado la repercución del ritmo de vida moderna sobre el aparato digestivo. Donde quizá mejor se ve la influencia de la civilización sobre el aparato digestivo, es en el tipo de alimentación como es la dieta alimenticia. De los países que se van desarrollando, las dietas son cada vez más ricas en proteínas (carne, pescado, etc.) y más pobres en verduras y frutas, etc. El volúmen de lo ingerido es cada vez menor y el tipo de alimentos es pobre en sustancias vegetales y, por lo tanto, deja muy poco residuo. Este fenómeno, que se ve en proporción extenuada en los países ricos, empieza a verse en las grandes ciudades españolas en países de similar nivel de vida, se considera el responsable del aumento de una afección al colín. La diverticulosis que se manifiesta como una especie de sacos proyectados hacia el exterior a modo de hernia en la pared del intestino grueso.

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a. Funciones de la saliva: * Acción humectante y homogenizante que ayuda a la digestión subsiguiente. * La enzima PTIALINA o amilasa salival inicia en la boca la digestión de los carbohidratos. II. HÍGADO: Órgano más voluminoso; pesa aproximadamente 1,5 kg. Segrega bilis que ayuda a la digestión de grasas. Esta irrigado por la arteria hepática y la vena porta y salen de él las venas hepáticas.




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a. Funciones del hígado: * Detoxificación: Metaboliza, almacena y elimina sustancias tóxicas. * Regulación del metabolismo de carbohidratos: Fabrica glicógeno cuando la glicemia es alta. * Regulación del metabolismo de lípidos: Hace posible el depósito de grasas neutras en el tejido adiposo. * Regulación del metabolismo de proteínas: Fabrica albúmina y factores de coagulación a partir de aminoácidos absorvidos en el tubo digestivo. * Sintetiza Urea: La que proviene del metabolismo proteico, enviada a la sangre y eliminada por el riñón.

ElNota Dato La presencia de iones bicarbonato y fosfato permite neutralizar las sustancias químicas que entran en la boca, manteniendo un pH de 6,35 a 6,85 (ligeramente ácidos.)

Otra de las funciones del hígado es la hematopoyesis que se da en la vida fetal. El hígado tiene un notable poder de regeneración, puede destruirse el 90 % y del 10 % restante puede regularse.

VESÍCULA BILIAR: Glándula ubicada atrás del hígado, delimitada interiormente por el epitelio vesicular biliar. Su función principal es recibir la bilis producida por el hígado y concentrarla, para luego vertirla al duodeno mediante el conducto colédoco.

Recuerda Los principales tipos celulares del páncreas son: III. PÁNCREAS: Es una glándula arracimada de unos 20 cm de longitud y 100 g de peso, ubicada en el abdomen, detrás del esófago y delante de la primera y segunda. vértebra lumbar en medio de las curvaturas del duodeno. Sus partes son: - La extremidad derecha del páncreas se llama cabeza y es la más gruesa. - La extremidad izquierda más estrecha se llama cola.

Células  : Liberan insulina Células  : Secretan Glucagón

a. Funciones del páncreas: * Exocrina: Con producción del jugo pancreático que es vertido al duodeno a través del conducto de Wirsung. Este jugo es rico en enzimas que actúan sobre los alimentos. * Endocrina: Sus células endocrinas se encuentran en los llamados islotes de Langerhans en los cuales se produce INSULINA, GLUCAGÓN y SOMATOSTATINA.

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8) Célula gástrica que produce HCl y que tiene un papel antimicrobiano.

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a) Célula mucosa b) Célula oxíntica c) Célula principal d) Célula zimógena e) Célula G 9) Inicia la digestión de los alimentos proteicos a través de una enzima denominada Pepsina.

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a) Colon b) Yeyuno c) Duodeno d) Estómago e) Esófago

1) Hormona secretada en el estómago. a) Colecistina b) Gastrina c) Factor intrínseco d) Amilasa e) N.A. 2) Vitamina que se absorve en el intestino grueso. a) Vitamina A b) Vitamina B12 c) Vitamina B d) Vitamina K e) N.A. 3) El intestino delgado puede medir hasta: a) 10 m b) 12 m c) 6 m d) 6,5 m e) 9 m 4) La gran absorción del intestino delgado se logra gracias a:

5) La forma del estómago asemeja la letra: a) C b) E c) J d) K e) N.A. 6) Porción del estómago que se comunica con el intestino delgado. a) Cardias b) Fondo c) Cuerpo d) Píloro e) Duodeno 7) Porción redondeada del estómago, situada por encima y a la izquierda del cardios. a) Antro pilórico b) Fondo c) Cuerpo d) Píloro e) Curvatura menor

10) En la (el) _______________ se realiza la mayor parte de la digestión de los alimentos ingeridos. a) Boca b) Esófago c) Estómago d) Intestino delgado e) Intestino grueso 11) Es el pasaje del bolo alimenticio desde la cavidad oral hacia el estómago. a) Defecación b) Digestión c) Deglución d) Absorción e) Masticación 12) Los dientes que sirven para cortar los alimentos son los: a) Molares b) Premolares c) Caninos d) Incisivos e) Maxilares

a) Mucus b) Vellosidades intestinales c) Superficie d) Lubricante intestinal

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Completa el mapa conceptual. 13) GLÁNDULAS SALIVALES

son

tenemos

ubicación

ubicación

ubicación

conducto

conducto

conducto

14)

Vocabulario

HÍGADO es CARACTERÍSTICAS Peso: Ubicación: Irrigado por: 15) PÁNCREAS CARACTERÍSTICAS Partes

A. Gastritis: Inflamación de la mucosa del estómago. B. Vestíbulo: Pequeño espacio o cavidad al inicio de un conducto sobre todo del oído interno, laringe, boca, nariz y vagina. C. Gonfosis: Articulación fibrosa en la que una espiga de un hueso penetra en el hueco de otro. D. Peristalsis: Contracciones musculares sucesivas a lo largo de la pared de una estructura muscular hueca. E. Deglución: Acto de tragar.

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SISTEMA URINARIO

Objetivos 

Reconocer las partes externas e internas del riñón.

 Indentificar la unidad funcional y estructural del riñón. 

Identificar las vías urinarias del sistema urinario.

Contenido Sistema Urinario 

El riñón Morfología externa Morfología interna El nefrón

   

Vías urinarias Cáliz Pelvis renal Ureteres Vejiga Uretra

     

Formación de la orina

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El cálculo renal se puede formar cuando la orina se encuentra muy concentrada con ciertas sustancias. Estas sustancias se pueden agrupar para formar pequeños cristales y posteriormente cálculos, los cuales no manifiestan síntomas hasta que comienzan su descenso por el uréter, produciendo dolor. Dicho dolor es fuerte, con frecuencia comienza en la región del flanco y baja hasta la ingle. Los cálculos renales son muy comunes. Aproximadamente el 5 % de mujeres y el 10 % de los hombres habrán experimentado un episodio, como mínimo antes de llegar a los 70 años de edad. la recurrencia de los cálculos es frecuente y son comunes en bebés prematuros. Entre otros factores de riesgo se encuentran la acidosis tubular renal y la nefrocalcinosis resultante. Algunos tipos de cálculos tienden a darse en familias y algunos tipos pueden estar asociados con otras condiciones tales como enfermedades intestinales, la derivación ileal para la obesidad o defectos en los túbulos renales. Los tipos de cálculos abarcan: Los cálculos de calcio son los más comunes, son de 2 a 3 veces comunes en los hombres y aparecen generalmente entre los 20 y 30 años de edad. Es probable su recurrencia. El calcio puede combinarse con otras sustancias como el oxalato (la sustancia más común en ciertos alimentos), fosfato o carbonato para formar el cálculo. Las enfermedades del intestino delgado aumentan la tendencia a formar cálculos de oxalato del calcio. * Los cálculos de ácido úrico también son más comunes en los hombres. Están asociados con la gota y la quimioterapia y representan aproximadamente un 10 % de todos los cálculos. * Los cálculos de cistina pueden formarse en personas con cistinuria. Este es un trastorno hereditario que afecta tanto a hombres como a mujeres. Tormenta * Los cálculos de estruvita se encuentran principalmente en las mujeres como resultado de una infección del tracto urinario.Eléctrica Pueden crecer hasta ser de tamaño muy grande y obstruir el riñón, los uréteres o la vejiga.




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El sistema urinario o excretor es un conjunto de órganos encargados de mantener la homeostasis del equilibrio ácido - base y del balance hidrosalino, extrayendo de la sangre productos de desecho del metabolismo celular y eliminándolos hacia el exterior del cuerpo.

ESTRUCTURA DEL RIÑÓN

El aparato urinario se compone fundamentalmente de dos partes que son: * *

Los órganos secretores que son los riñones, que producen la orina y desempeñan otras funciones. La vía excretora, que recoge la orina y la expulsa al exterior. Está formado por un conjunto de conductos que son: a) Caliz b) Pelvis renal c) Los uréteres, que conducen la orina desde los riñones a la vejiga urinaria. d) La vejiga urinaria, que es un receptáculo donde se acumula la orina. e) La uretra, que es un conducto por el que sale la orina hacia el exterior, siendo de corta longitud en la mujer y más larga en el hombre.

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Muchos niños ya mayores se orinan en la noche, algunos solo de vez en cuando, otros de manera reiterada. Esto se conoce como Enuresis nocturna y corresponde a la emisión involuntaria de orina durante el reposo nocturno a una edad en que ya se debería controlar el esfínter urinario, más allá de los cuatro a cinco años.

1. RIÑÓN * Es el órgano principal del aparato excretor. * Su principal función es eliminar las sustancias de desecho, al formar la orina como sustancias de excreción.

A. Morfología externa Ubicación:

Ubicados en la región retroperitoneal a ambos lados de la columna vertebral entre D11 y L2 (el riñón derecho se halla 2 cm más abajo en comparación al izquierdo, esto debido al hígado).

Forma:

De frijol o nuez.

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Tamaño:

12 x 6 x 3 cm

Peso:

150 g el riñón izquierdo y 140 el derecho.

Color:

Rojo vinoso (pardo).

Envoltura:

El riñón está envuelto por tres capas de tejido. * La más interna: Cápsula renal * La segunda capa: Cápsula adiposa * La externa: La fascia renal

B. Morfología interna En un corte frontal, el riñón presenta una zona externa llamada corteza y una región más interna llamada médula. a. Corteza: Es periférica, algo amarilla oscura, delgada y granulosa debido a la presencia de los corpúsculos renales o de Malpighi. b. Médula: Es la región interna, roja oscura y estriada debido a la presencia de las pirámides de Malpighi, cuyo número es de 10 a 18.

Los insectos, reptiles y aves no orinan, en estos animales el agua se extrae de la orina y el ácido úrico resultante se mezcla con los desechos sólidos que son excretados juntos.

C. El Nefrón Es la unidad básica, estructural y funcional del riñón. El nefrón consta de dos regiones:

Interesante

a. Corteza: * Los corpúsculos de Malpighi. * Los túbulos contorneados. b. Médula: * El asa de Henle. * Los túbulos colectores. ESQUEMA DE REGIONES Y PARTES DEL NEFRÓN

ESTRUCTURA Corpúsculo Renal de Malpighi

Glomérulo Renal

FUNCIÓN Soporte, filtración, fagocitosis

Cápsula de Bowman Filtración

Tubo contorneado proximal

Reabsorción (65%)

Asa de Henle

Reabsorción (15%)

Tubo contorneado distal

Reabsorción (10%)

Tubo colector

Reabsorción (9%)

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Cada uno de los dos riñones alberga más de un millón de diminutas nefronas en total, alrededor de 2,5 millones de unidades funcionales encargadas de filtrar la sangre y producir la orina.




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EL RIÑÓN Pirámide medular

Vena interiobular

Túbulo colector Cápsula de Bowman Nefrona

Arteria interlobular Corteza

Asa de Henle

Médula Arteria renal Vena renal

Seno renal

Pélvis renal Uréter Cáliz mayor Cáliz menor Papila renal Cápsula fibrosa Un glomérulo se forma de una masa de capilares doblados hacia dentro en una cápsula de Bowman. Cápsula de Bowman

Columna renal Arteriola aferente El túbulo renal desciende hacia la mécula, donde Arteriola forma el asa de henle. eferente Peritubular capilar

Filtrado

La orina es 90% agua, pero también contiene urea, creatinina, ácido úrico e iones. Túbulo renal Los conductos de Bellini recogen la orina hecha en muchos túbulos renales.

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2. VÍAS URINARIAS Son estructuras tubulares o huecas que conducen la orina formada para ser eliminada al exterior. Están formadas por las siguientes estructuras:

Personaje del tema

Malpighi

A. Cáliz Son estructuras en forma de copa. Son de dos tipos. * Cáliz menor: Donde llega la orina recién formada en los nefrones. Su número varía entre 8 y 12 cálices. * Cáliz mayor: Se forma por la unión de cálices menores. Su número varía entre 3 y 4 cálices.

B. Pélvis renal Estructura hueca, se forma al unirse todos los cálices mayores y se continúa con los uréteres.

C. Los uréteres Son un par de conductos que transportan la orina desde la pelvis renal hasta la vejiga urinaria. La orina circula por dentro de los uréteres gracias a movimientos peristálticos. La longitud de los uréteres en el hombre adulto es de 25 a 35 centímetros y su diámetro de unos 3 milímetros. a. Relaciones de los uréteres: En el recorrido de los uréretes por el cuerpo humano se aprecian cuatro porciones que son: * Porción abdominal: El uréter es un órgano retroperitoneal, es decir, se encuentra en el retroperitoneo. Nace a la altura de la tercera vértebra lumbar (L3) y discurre paralelo a los cuerpos vertebrales de L3, L4, y L5. Por delante se encuentra el duodeno, por dentro, la vena cava y la arteria aorta y por los lados, los dos riñones. * Porción Sacroilíaca: El uréter pasa sucesivamente por la aleta sacra y la sinfisis sacroilíaca antes de cruzar por delante de los vasos ilíacos * Porción pélvica: Difiere del hombre al pasar por detrás de las vesículas seminales y del conducto deferente. En la mujer, el uréter está debajo de los ovarios, del ligamento ancho y discurre a corta distancia del cuello del útero y de los fondos de la vagina. * Porción vesical: El uréter atraviesa la pared posterior de la vejiga de forma oblicua durante algunos centímetros, siendo la propia contracción de los músculos de la vejiga los que cierran el meato ureteral y el reflujo de orina hacia los uréteres. b. Histología de los uréteres: Los uréteres tienen tres capas de tejidos que son de adentro hacia afuera: * Capa mucosa: Está recubierta por un tipo de epitelio estratificado que es el epitelio transicional o urinario. * Capa muscular: Contiene fibras musculares longitudinales, circulares y espirales que permiten el peristaltismo del uréter desde los riñones hasta la vejiga. * Capa abventicia: Está formada por tejido conjuntivo que recubre al uréter y lo aisla del resto de tejidos.

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Malpighi nació en Crevalcuore, cerca la Bologna, el 10 de marzo de 1628. Hizo sus estudios en la Unive rs idad de Bol ogn a, donde cursó medicina y filosofía, graduándose de médico a los 25 años de edad (1653). En 1656 fue nombrado profesor auxiliar de anatomía en Bologna; sin embargo, meses después se trasladó a Pisa, como profesor de medicina. Estuvo allí cuatro años, regresando a Bologna. En 1662 aceptó el cargo de profesor en Messina, donde nuevamente trabajó en la cátedra por otros cuatro años, pero regresa a su universidad natal, donde se quedó los 25 años siguientes de su vida. Su mayor contribución fue la observación de los capilares, comunicaciones arterio-venosas del pulmón y ramificaciones bronquiales (De pulmonibus, Bologna 1661). Este descubrimiento (1660 - 1661) realizado después de inyectar tinta por la arteria pulmonar, solos cuatro años después de la muerte de Harvey, incluyó una teoría de la respiración y motivó el comentario siguiente: “Harvey hizo de la existencia del capilar una nececidad lógica; Malpighi una certeza histológica”. En 1665 - 1666, trabajó en la estructura del riñón, hígado y bazo, descubriendo con detalle el ovillo glomerular como también los folículos esplénicos que llevan su nombre. Estos trabajos fueron publicados bajo el título De viscerum structura: exercitalio anatomica en 1669.




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D. Vejiga urinaria La vejiga urinaria es un órgano hueco músculo-membranoso que forma parte del tracto urinario y que recibe la orina de los uréteres y la expulsa a través de la uretra al exterior del cuerpo durante la micción. Situación: La vejiga se encuentra en lo que es la cavidad pelviana, su relación varía según el sexo porque presenta una forma esférica, es aplanada de adelante hacia atrás. En el sexo femenino se relaciona por delante con el útero y por detrás con el recto, lo que en el sexo masculino varía ya que está relacionada por delante con la sínfisis del pubis y por detrás con el recto, por los laterales con los conductos deferentes los cuales recorren desde la parte media y las vesículas seminales en su parte inferior y lateral casi llegando al vértice del mismo, por su vértice anteroinferior se relaciona con la próstata. Forma: La vejiga urinaria cuando está llena tiene una forma esférica y cuando está vacía se asemeja a un tetraedro. La capacidad fisiológica de la vejiga urinaria o hasta que aparece el deseo de orinar oscila entre los 300 y 350 centímetros cúbicos. Y puede aumentar de 2 a 3 litros en caso de retención aguda de orina. Esta capacidad se reduce en casos de cistitis hasta los 50 centímetros cúbicos. El interior de la vejiga se visualiza realizando una cistoscopia, que observa la mucosa vesical, los meatos ureterales y el cuello vesical (la unión con la uretra). Estos tres puntos delimitan el trígono vesical, que es una porción fija y no distensible del órgano. La pared de la vejiga está formada por tres capas: * Capa serosa: El peritoneo parietal recubre la vejiga en su cara superior y parte posterior y laterales cuando está llena. * Capa muscular: Está formada por músculo liso con tres capas: 1. Capa externa o superficial, formada por fibras musculares longitudinales. 2. Capa media: Formada por fibras musculares circulares. 3. Capa interna o profunda: Formada también por fibras longitudinales. Las tres capas musculares forman el músculo detrusor que cuando se contrae expulsa la orina y tiene como antagonista los esfínteres de la uretra. * Capa mucosa: Está formada por el epitelio de transición urinario que es un epitelio estratificado de hasta ocho capas de células, impermeable, en contacto con la orina, y por la lámina propia que es de tejido conjuntivo.

E. Los Uretra La uretra es el conducto por el que discurre la orina desde la vejiga urinaria hasta el exterior del cuerpo durante la micción. La función de la uretra es excretora en ambos sexos y también cumple una función reproductiva en el hombre al permitir el paso del semen desde las vesículas seminales que abocan a la próstata hasta el exterior.

II BIMESTRE

Anatomia de la uretra: La uretra es más corta en la mujer que en el hombre. * En la mujer la uretra tiene una longitud entre 2,5 y 4 centímetros y desemboca en la vulva entre el clítoris y el introito vaginal. Esta corta longitud de la uretra femenina explica la mayor susceptibilidad de infecciones urinarias en las mujeres. * En el hombre la uretra tiene una longitud de unos 20 centímetros y se abre al exterior en el meato uretral del glande. Debido a esta longitud el sondaje urinario masculino es más difícil que el femenino. En este largo recorrido, la uretra masculina tiene distintas porciones que son: 1. Uretra prostática: Discurre a través de la glándula prostática, donde abocan los conductos deferentes. 2. Uretra membronosa: Es una corta porción de uno o dos centímetros a través de la musculatura del suelo de la pelvis que contiene el esfínter uretral externo, un músculo esquelético que controla voluntariamente la micción. La uretra membranosa es la porción más estrecha de la uretra. 3. Uretra esponjosa: Se llama así porque se encuentra en el interior del cuerpo esponjoso del pene, una vaina eréctil que recorre toda la cara ventral del pene. Tiene una longitud de unos 15 - 16 centímetros. Formación de la orina: La formación de la orina es realizada en 3 procesos consecutivos. a) Filtración: Se da en el glomérulo renal. La sangre circulante que llega aquí se filtra originando un filtrado glomerular. b) Reabsorción: Se produce en los túbulos del nefrón. Mayormente se reabsorve agua y parte de materiales disueltos. c) Secreción tubular: Se da en la porción final del tubo colector. Aquí se produce finalmente la formación de la orina, que contiene sustancias que no han sido reabsorvidas y también se adicionan sustancias que deben ser eliminadas.

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Sistema urinario

Aorta Arteria renal Riñón Vena cava Uréter

Vejiga

L a uret ra en la mujer se abre al exterior a r r i b a de la apertura vaginal.

Vejiga Uréter

Detrusor urinario

Vejiga vacía

Mucosa Aperturas de los uréteres

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En el hombre, la uretra pasa a través del pene.

Vejiga llena

Uretra




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1) Órgano principal del aparato excretor: _________________________ 2) La unidad funcional del riñón se llama: _________________________ 3) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) El nefrón es la unidad fisiológica de los riñones. ( )

a) Cáliz - riñones - vejiga - uretra b) Uréteres - vejiga - uretra c) Riñones - próstata - vejiga d) Asa de Henle - cápsula de Bowman - vejiga. 8) Afirma o niega las siguientes oraciones: a) El nefrón se divide en corteza y médula. (Sí) (No)

b) El corpúsculo renal de Malpighi se compone de glomérulo y cápsula de Bowman. ( )

b) La vejiga es parte del riñón. (Sí) (No)

c) La forma del riñón es parecida a una lenteja. ( )

c) El túbulo contorneado proximal se encarga de la filtración. (Sí) (No)

4) Relaciona: a) b) c) d)

Nefrón Riñón Glomérulo Cáliz

( ) Es el órgano principal del aparato excretor. ( ) Es una vía urinaria. ( ) Realiza soporte, fagocitosis y filtración. ( ) Unidad funcional del riñón. 5)

7) M a r c a l a s e c u e n c i a q u e corresponde al orden correcto con respecto al paso de la orina.

Vías urinarias 1) _______________________ 2) _______________________

9) ¿Cuál es la estructura encargada del soporte, la fagocitosis y la filtración? _________________________ _________________________ 10) ¿Qué término no se relaciona con los demás? a) Nefrón b) Cápsula de Bowman c) Asa de Henle d) Médula espinal e) Uretra

Estructura

4) _______________________

* Túbulo contorneado proximal * Asa de Henle * Tubo contorneado distal * Tubo colector

_________________________ _________________________

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La corteza del riñón posee

13) Es la última porción del sistema excretor que lleva al exterior la orina. a) Vejiga b) Nefrón c) Pelvis d) Cáliz e) Uretra 14) Marca el orden correcto según la secuencia de formación de la orina. a) Filtración - Reabsorción Inserción b) Secreción - Reabsorción Filtración c) Filtración - Reabsorción Secreción tubular d) Elaboración - Transformación - Expulsión e) Reciclaje - Absorción - Reabsorción - Excreción 15) Dibuja el aparato excretor.

11) Completa:

3) _______________________

6) El cáliz es una vía urinaria que se divide en:

12) Completa:

Función

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Guia escolar

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